2025年重庆中考数学模拟卷01(新题型)-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（重庆专用）

2025年重庆中考数学模拟卷01 （全卷共24题，满分150分，考试时间120分钟） 第Ⅰ卷（选择题） 1、 选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1．-2025的绝对值是（   ） A．2025 B．-2025 C． D． 2．国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（   ） A．B． C． D． 3．若反比例函数的图像经过第二、四象限，则点在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 4．一个含角的直角三角尺如图放置．已知直线，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，与位似，点为位似中心，若，的周长为4，则的周长为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 6．估计的值应在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 7．用相同的小正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有个正方形，第②个图案中有个正方形，第③个图案中有个正方形，...按此规律排列下去，则第个图案中正方形的个数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，在斜边上取中点，使得以点为圆心，长为半径的弧，刚好经过点、、，又以点为圆心，长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在正方形中，点为正方形内一点，延长交于点，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．已知多项式，满足．在这列多项式中任取相邻的项增加绝对值符号后进行化简称为“绝对操作”．比如当，时，其中一种“绝对操作”为．下列说法： ①当，时，“绝对操作”后的结果一共有种； ②当，时，进行“绝对操作”化简后的代数式，结果必然相同的“绝对操作”有种； ③当时，若进行“绝对操作”后共有种化简结果必然相同，则的最小值为．其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题） 2、 填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11．单项式的系数为 ． 12．3月8日女神节那天，小鑫和小华为各自的母亲买一束鲜花，现有四种鲜花可供选择：牡丹花、康乃馨、郁金香和向日葵，两人恰好选择到同种鲜花的概率为 ． 13．如图，点A，B，C，D在同一直线上，，，点C，F分别是，的中点，若，则的长为 ． 14．若关于的不等式组有且仅有4个整数解，且关于、的方程组的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 15．如图，四边形内接于，连结为的直径，是的中点．过点作的切线，交的延长线于点，且，则的长为 ，的半径为 ． 16．一个四位数各数位上的数字互不相等且均不为0，若将的千位数字和百位数字组成的两位数与的十位数字和个位数字组成的两位数相加，和为完全平方数，则称这个四位数为“方数”．例如：四位数，，是“方数”，则最大的“方数”是 ，若是一个“方数”，且是整数，则满足条件的最大值与最小值的差是 ． 三、解答题：（本大题共8个小题，17题16分，18-24题每小题10分，共86分） 17．（1）计算：； （2）解二元一次方程组：； （3）化简：； （4）化简：． 18．在学习了菱形的相关知识后，小明同学进行了关于菱形的判定方法的深入研究，他发现对于一个任意平行四边形，满足对角线平分其中一个内角，则该平行四边形是菱形．可利用三角形的全等和菱形的判定得到此结论，请根据这个思路完成作图和填空． (1)尺规作图：在四边形中，作的角平分线，交于点，在上取一点、使得，连接（不要求写作法，保留作图痕迹）： (2)在（1）所作的图中，其中，求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程） 证明：，_____①_____， 四边形是平行四边形， 平分， _____②_____， ， ， _____③_____， ， 平行四边形是菱形． 请根据题目表述及证明过程，写出你的结论：_____④_____是菱形． 19．临近春节，学校采用随机抽样的方式对师大附中初中部学生了解春节相关知识的情况进行测评，并按成绩高低分成优、良、中、差四个等级进行统计，绘制了两幅尚不完整的统计图，请根据有关信息解答： (1)补全条形统计图，接受测评的学生共有______人，扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为______； (2)若初中部共有1600名学生，根据上述调查结果，估计获得“优”的学生人数为______人： (3)测评成绩前三名的学生恰好是1个女生和2个男生，现从中随机抽取2人代表学校参加市级知识竞赛，求抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的概率． 20．某市政公司承建一段3500米的城市快速路，计划由甲、乙两个工程队同时施工，10天可完成总工程，已知甲工程队每天比乙工程队少施工50米． (1)求甲、乙两个工程队计划每天各施工多少米？ (2)实际施工时，因地质复杂，甲、乙两个工程队平均每天的施工量比计划都减少了米，甲、乙同时施工，完成总工程时，甲工程队施工总量是乙工程队施工总量的．求甲、乙两个工程队实际每天各施工多少米？ 21．如图1．在中，，，点为的三等分点，动点以每秒1个单位的速度从点出发，按照的顺序在边上运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点出发，在线段上运动，当点到达点时，点，都同时停止运动．在运动过程中，设点的运动时间为秒的面积为的面积与的比值为． (1)直接写出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在如图2所示的平面直角坐标系中，画出的函数图象，并根据图象写出函数的一条性质； (3)根据函数图象，直接求出时，的取值范围．（近似值精确到0.1，误差不超过0.2） 22．某户外徒步团在重庆缙云山开辟出了两条经典的徒步路线．如图是两条徒步路线的平面示意图，A、B、C、D、E为徒步路线的五个补给点．已知点E位于点A的东北方向米处，同时位于点B的北偏西方向，点D位于点A的南偏东方向，点C位于点B的西南方向米处，若点C位于点D的正东方，点B位于点A的正东方．路线①为从补给点A出发，经过补给点E，最后到达补给点B；路线②为从补给点A出发，依次经过补给点D、C，最后到达补给点B．（参考数据：，，） (1)求的长度．（结果保留根号） (2)该户外徒步团组织了甲、乙两个队进行登山活动，甲队选择了路线①，其平均速度为60米/分钟，乙队选择了路线②，其平均速度为50米/分钟，若两队同时出发，请通过计算判断哪一支队伍先到达终点．（结果精确到） 23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于两点，点的坐标是，点的坐标是，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点作轴，垂足为，线段与直线相交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，线段与直线相交于点．求当取得最大值时点的坐标，当线段在轴上滑动时，连接，求的最小值； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 24．在等边中，点D，E分别在边，上，连接，． (1)如图1，交于点F，，，若，求线段的长； (2)如图2，连接，过点A作交于点F，若，用等式表示线段，的数量关系，并证明； (3)如图3，，若点D为中点，点E为线段的三等分点，在直线上有一动点P，连接，将绕点P顺时针旋转得到，在平面内有一点F，满足，连接，若点N为中点，当的值最小时，请直接写出的面积． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年重庆中考数学模拟卷01 （全卷共24题，满分150分，考试时间120分钟） 第Ⅰ卷（选择题） 1、 选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1．-2025的绝对值是（   ） A．2025 B．-2025 C． D． 【答案】A 【来源】重庆市渝北中学教育集团2024-2025学年九年级下学期第二学月考试数学试题 【分析】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键．根据绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解：-2025的绝对值是， 故选：A． 2．国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【来源】2025年山西省九年级中考数学模拟百校联考试卷（一） 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是轴对称图形，则此项不符合题意； B、不是轴对称图形，则此项不符合题意； C、是轴对称图形，则此项符合题意； D、不是轴对称图形，则此项不符合题意； 故选：C． 3．若反比例函数的图像经过第二、四象限，则点在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【来源】 重庆市垫江中学校2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题 【分析】本题考查反比例函数性质，根据反比例函数的图像经过第二、四象限得到，即可判断所在象限． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过第二、四象限， ∴， ∴在第四象限， 故选：D． 4．一个含角的直角三角尺如图放置．已知直线，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】重庆市沙坪坝区凤鸣山中学2024-2025学年九年级下学期消化作业（一）数学试题 【分析】此题考查了平行线的性质．根据平行线的性质得到，利用平角的定义即可求出． 【详解】解：如图， ∵直线，， ∴， ∴ 故选：C 5．如图，与位似，点为位似中心，若，的周长为4，则的周长为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】B 【来源】重庆市北碚区西南大学附属中学校2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题 【分析】本题主要考查了位似变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键； 由与位似，点为位似中心的位似图形，得，，得，然后根据位似图形的周长之比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵与位似，点为位似中心， ∴，， ∴， ∴ ， ∵ ∴ ， ∴的周长为， 故选：B． 6．估计的值应在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【来源】重庆市渝北中学教育集团2024-2025学年九年级下学期第二学月考试数学试题 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的运算，正确的估算的大小是解题的关键．先根据二次根式的运算法则得出，然后利用夹逼法估算的大小，即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴，即， ∴， ∴的值应在4和5之间， 故选：C． 7．用相同的小正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有个正方形，第②个图案中有个正方形，第③个图案中有个正方形，...按此规律排列下去，则第个图案中正方形的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】重庆市沙坪坝区凤鸣山中学2024-2025学年九年级下学期消化作业（一）数学试题 【分析】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得到规律．根据已知图形中正方形的个数得出第个图形正方形个数为个，即可求解． 【详解】解：解：图1中正方形的个数：， 图2中正方形的个数：， 图3中正方形的个数：， 第个图形正方形个数为个， 第个图案中正方形的个数（个）， 故选：B． 8．如图，在中，，，在斜边上取中点，使得以点为圆心，长为半径的弧，刚好经过点、、，又以点为圆心，长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】重庆育才中学2024-2025学年九年级下学期第一次自主作业数学试题 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，扇形面积，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先证明是等腰直角三角形，再运用勾股定理算出，结合三线合一得，，结合题意，分别算出，，，的值，再代入图中阴影部分的面积，进行计算，即可作答． 【详解】解：连接，如图： ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵在斜边上取中点，使得以点为圆心，长为半径的弧，刚好经过点、、，又以点为圆心，长为半径画弧， ∴， 则 ， ， ， 则图中阴影部分的面积， 故选：D． 9．如图，在正方形中，点为正方形内一点，延长交于点，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】重庆市第十八中学 2024—2025 学年下学期3月考九年级数学试题 【分析】如图，作，而，可得，设，求解，，可得，，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，作，而， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A 【点睛】本题考查的是正方形的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的除法运算，作出合适的辅助线是解本题的关键. 10．已知多项式，满足．在这列多项式中任取相邻的项增加绝对值符号后进行化简称为“绝对操作”．比如当，时，其中一种“绝对操作”为．下列说法： ①当，时，“绝对操作”后的结果一共有种； ②当，时，进行“绝对操作”化简后的代数式，结果必然相同的“绝对操作”有种； ③当时，若进行“绝对操作”后共有种化简结果必然相同，则的最小值为．其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】 重庆市渝中区巴蜀中学校2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题 【分析】本题考查不等式的性质，绝对值，熟练掌握利用不等式的性质确定正负来化简绝对值是解题的关键．利用枚举一一列举即可判断①，当，时，利用不等式的性质可得，，， ， ， 可得结果必然相同的“绝对操作”有种，即可判断②；同②的方法即可得出规律，利用规律即可解决③． 【详解】解：①中，当，时， 第一种：； 第二种：； 第三种：； 第四种：； 第五种：； 其中第一、四、五种结果相同，第二、三种不同， 则“绝对操作”后的结果一共有种， 故①错误； ②当时，多项式为， 对于时，即任取相邻的项增加绝对值符号， ∵， ∴，，， ， ， 其余相邻三项增加绝对值符号的结果无法确定或不等于其本身， ∴第，，项、第，，项、第，，项、第，，项、第，，项增加绝对值符号的结果相同， ∴结果必然相同的“绝对操作”有种； 故②正确； ③对于时，即任取相邻的项增加绝对值符号， ∵， ∴，，， ， ， 其余相邻四项增加绝对值符号的结果无法确定或不等于其本身， ∴第，，，项、第，，，项、第，，，项、第，，，项、第，，，项、增加绝对值符号的结果相同， 即从第项开始，每个一循环， ∵若进行“绝对操作”后共有种化简结果必然相同， ∴绝对值符号的结果相同的最后一种增加绝对值符号是第，，，项， ∴或或或， ∴则的最小值为， 故③错误； 综上所述，正确的是②， 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题） 2、 填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11．单项式的系数为 ． 【答案】 【来源】重庆市南开中学2024-2025学年下学期九年级第一次月考数学试卷 【分析】此题考查单项式的系数定义，熟记定义并应用解答问题是关键．单项式中的数字因数是单项式的系数，根据定义即可得到答案． 【详解】解：单项式的系数为， 故答案为：． 12．3月8日女神节那天，小鑫和小华为各自的母亲买一束鲜花，现有四种鲜花可供选择：牡丹花、康乃馨、郁金香和向日葵，两人恰好选择到同种鲜花的概率为 ． 【答案】/0.25 【来源】重庆市万州二中教育集团 2024-2025学年九年级下学期第一次定时作业数学试卷 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择到同种鲜花的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：标记牡丹花、康乃馨、郁金香和向日葵为A，B，C，D． 画树状图得： 共有16种等可能的结果，其中两人恰好选择到同种类型鲜花的有4种结果， 因此两人恰好选择到同种鲜花的概率为， 故答案为：． 13．如图，点A，B，C，D在同一直线上，，，点C，F分别是，的中点，若，则的长为 ． 【答案】6 【来源】重庆市江北中学校2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题 【分析】此题主要考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，先证为的中位线得，，进而得，，由此可证和全等，从而得，据此可得的长，熟练掌握三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【详解】解：点，分别是，的中点， 为的中位线， ，， ，， 在和中， ， ， ． 故答案为：6． 14．若关于的不等式组有且仅有4个整数解，且关于、的方程组的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【答案】 【来源】重庆市第二十九中学校2024-2025学年九年级下学期定时作业（一）数学试题 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和解二元一次方程组，先求出一元一次不等式组的解集，再根据不等式组有且仅有4个整数解，得出，进而求得a的取值范围，再根据加减消元法用a表示出y的值，根据方程组的解为整数，即可得出满足条件的整数的值，进而即可求出答案． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 关于的不等式组有且仅有4个整数解， ， 解得， ， 得，， ∵方程组有解，且a为整数， ∴或， ， 关于、的方程组的解为整数， 当时，，， 当时，，， 所有满足条件的整数的值之和为， 故答案为：． 15．如图，四边形内接于，连结为的直径，是的中点．过点作的切线，交的延长线于点，且，则的长为 ，的半径为 ． 【答案】 【来源】重庆市渝北中学教育集团2024-2025学年九年级下学期第二学月考试数学试题 【分析】连接，则，由勾股定理得：，即；由圆周角定理得到，继而，则，可求直径，继而可求半径． 【详解】解：连接， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：， ∴； ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴半径为， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，弧与弦的关系，正确添加辅助线是解题的关键． 16．一个四位数各数位上的数字互不相等且均不为0，若将的千位数字和百位数字组成的两位数与的十位数字和个位数字组成的两位数相加，和为完全平方数，则称这个四位数为“方数”．例如：四位数，，是“方数”，则最大的“方数”是 ，若是一个“方数”，且是整数，则满足条件的最大值与最小值的差是 ． 【答案】 【来源】重庆市南开中学2024-2025学年下学期九年级第一次月考数学试卷 【分析】本题考查了完全平方数，整式的加减，二元一次方程组的解，整除；根据题意最大的方数前两位为，再找，根据，求得最大的“方数”；根据①各数位上的数字互不相等且均不为0；②是的倍数，③是一个完全平方数，得出，进而找到最大的和最小的，即可求解． 【详解】解：依题意，一个四位数各数位上的数字互不相等且均不为0， 最大的方数前两位为， 又∵， ∴ ∴是最大的“方数”； ∵ 是的倍数， ∴是的倍数， 当时，不是的倍数， ∵是一个“方数”， 则即是一个完全平方数，各数位上的数字互不相等且均不为0， ∴ 当时，或 经检验，，，满足 且是的倍数，则最大为 当时，，经检验，没有满足条件的值， 当时，，经检验，没有满足条件的值， 当时，， 经检验，，，满足 且是的倍数，则最小为 ∴满足条件的最大值与最小值的差是 故答案为：，． 三、解答题：（本大题共8个小题，17题16分，18-24题每小题10分，共86分） 17．（1）计算：； （2）解二元一次方程组：； （3）化简：； （4）化简：． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【来源】重庆实验外国语学校2024-2025学年九年级下学期一诊数学试题 【分析】（1）根据负整数指数幂，正切函数，绝对值的化简解答即可； （2）利用加减消元法解方程组解可； （3）完全平方公式展开，去括号，合并同类项解答即可； （4）根据分式的混合运算解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：解二元一次方程组：， ①+②得， 解得； 把代入②得， 解得， 故方程组的解为． （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查了负整数指数幂，正切函数，绝对值，解方程组，整式的化简，分式的化简，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键． 18．在学习了菱形的相关知识后，小明同学进行了关于菱形的判定方法的深入研究，他发现对于一个任意平行四边形，满足对角线平分其中一个内角，则该平行四边形是菱形．可利用三角形的全等和菱形的判定得到此结论，请根据这个思路完成作图和填空． (1)尺规作图：在四边形中，作的角平分线，交于点，在上取一点、使得，连接（不要求写作法，保留作图痕迹）： (2)在（1）所作的图中，其中，求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程） 证明：，_____①_____， 四边形是平行四边形， 平分， _____②_____， ， ， _____③_____， ， 平行四边形是菱形． 请根据题目表述及证明过程，写出你的结论：_____④_____是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)，，，对角线平分其中一个内角的平行四边形 【来源】重庆市渝北中学教育集团2024-2025学年九年级下学期数学第一次月考试卷 【分析】本题考查了作角平分线，平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定； （1）根据题意作出的角平分线，作 （2）根据平行四边形的判定，角平分线的定义，等角对等边，完成填空，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：，， 四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， ， ， 平行四边形是菱形． 请根据题目表述及证明过程，写出你的结论：对角线平分其中一个内角的平行四边形是菱形． 故答案为：，，，对角线平分其中一个内角的平行四边形． 19．临近春节，学校采用随机抽样的方式对师大附中初中部学生了解春节相关知识的情况进行测评，并按成绩高低分成优、良、中、差四个等级进行统计，绘制了两幅尚不完整的统计图，请根据有关信息解答： (1)补全条形统计图，接受测评的学生共有______人，扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为______； (2)若初中部共有1600名学生，根据上述调查结果，估计获得“优”的学生人数为______人： (3)测评成绩前三名的学生恰好是1个女生和2个男生，现从中随机抽取2人代表学校参加市级知识竞赛，求抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的概率． 【答案】(1)160， (2)600 (3) 【来源】重庆市长寿中学校2024-2025学年九年级下学期第一次素养测评数学试题 【分析】本题考查的是用列表法或树状图求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能结果，适合两步或两步以上完成的事件．注意概率等于所求情况数与总情况之比． （1）根据等级为中的人数及其所占百分比可得总人数，用乘以“优”等级人数所占比例； （2）用1600乘以“优”等级人数所占比例； （3）画树状图列出所有等可能结果，从中找出符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：接受测评的学生共有（人）， 扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为， 故答案为：160，； （2）解：， 答：估计获得“优”的学生人数为600人， 故答案为：600； （3）解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中抽到的2个学生恰好是一个男生与一个女生的有4种情况， ∴抽到的2个学生恰好是一个男生与一个女生的概率是． 20．某市政公司承建一段3500米的城市快速路，计划由甲、乙两个工程队同时施工，10天可完成总工程，已知甲工程队每天比乙工程队少施工50米． (1)求甲、乙两个工程队计划每天各施工多少米？ (2)实际施工时，因地质复杂，甲、乙两个工程队平均每天的施工量比计划都减少了米，甲、乙同时施工，完成总工程时，甲工程队施工总量是乙工程队施工总量的．求甲、乙两个工程队实际每天各施工多少米？ 【答案】(1)甲工程队每天施工150米，乙工程队每天施工200米 (2)甲工程队实际每天施工100米，乙工程队实际每天施工150米 【来源】重庆市沙坪坝区凤鸣山中学2024-2025学年九年级下学期消化作业（一）数学试题 【分析】本题考查一元一次方程，分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． （1）根据题意，甲乙每天施工效率施工时间=施工总量，设乙工程队计划每天施工米，可得，解方程即可得甲工程队计划每天施工150米，乙工程队计划每天施工200米； （2）根据题意，甲施工时间=乙施工时间，先求出甲工程队施工总量为（米），乙工程队施工总量为（米），可得，解得，从而可得答案． 【详解】（1）解：设乙工程队每天施工米，则甲工程队每天施工米． 根据题意，得． 解这个方程，得． 甲工程队每天施工：（米）． 答：甲工程队每天施工150米，乙工程队每天施工200米． （2）解：甲工程队施工总量：（米）； 乙工程队施工总量：（米）． 根据题意，得 解这个方程，得． 经检验，是原分式方程的解且符合题意． 甲：（米）； 乙：（米）． 答：甲工程队实际每天施工100米，乙工程队实际每天施工150米． 21．如图1．在中，，，点为的三等分点，动点以每秒1个单位的速度从点出发，按照的顺序在边上运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点出发，在线段上运动，当点到达点时，点，都同时停止运动．在运动过程中，设点的运动时间为秒的面积为的面积与的比值为． (1)直接写出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在如图2所示的平面直角坐标系中，画出的函数图象，并根据图象写出函数的一条性质； (3)根据函数图象，直接求出时，的取值范围．（近似值精确到0.1，误差不超过0.2） 【答案】(1)，； (2)图见解析，性质：当时，函数取得最大值为6； (3)时，的取值范围为． 【来源】重庆市第十八中学 2024—2025 学年下学期3月考九年级数学试题 【分析】本题考查了动点的函数，包括求函数的解析式，画函数图象，根据图象写函数的性质，比较函数值的大小，正确求出函数解析式并画出图象是解题的关键． （1）点分两种情况：点在上运动和点在上运动，分别确定三角形的底和高求解即可；点在射线上运动，直接确定三角形的底和高求解即可； （2）画出图象，再观察的图象，可以从增减性写出函数的一条性质； （3）先从图象上确定交点的横坐标，再利用确定在下面的范围即可． 【详解】（1）解：当点在线段上时，， ∴， 当点在线段上时，， ∵，， ∴， 作于点， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：列表： x 0 1 2 3 6 2 6 6 3 1 描点，连线，的函数图象，如图， 性质：当时，函数取得最大值为6； （3）解：观察图象，时，的取值范围为． 22．某户外徒步团在重庆缙云山开辟出了两条经典的徒步路线．如图是两条徒步路线的平面示意图，A、B、C、D、E为徒步路线的五个补给点．已知点E位于点A的东北方向米处，同时位于点B的北偏西方向，点D位于点A的南偏东方向，点C位于点B的西南方向米处，若点C位于点D的正东方，点B位于点A的正东方．路线①为从补给点A出发，经过补给点E，最后到达补给点B；路线②为从补给点A出发，依次经过补给点D、C，最后到达补给点B．（参考数据：，，） (1)求的长度．（结果保留根号） (2)该户外徒步团组织了甲、乙两个队进行登山活动，甲队选择了路线①，其平均速度为60米/分钟，乙队选择了路线②，其平均速度为50米/分钟，若两队同时出发，请通过计算判断哪一支队伍先到达终点．（结果精确到） 【答案】(1)； (2)甲队伍先到达终点． 【来源】 重庆市渝中区巴蜀中学校2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题 【分析】本题考查了方位角，勾股定理，矩形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点作，交于点，是等腰直角三角形，通过解直角三角形求出，的长，即可求解； （2）分别过点作，分别交于，通过解直角三角形求出路线和路线的总路程即可求解． 【详解】（1）解：过点作，交于点，如图： 由题意可知，，，米， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴米， ∴米， ∴米， ∴米； （2）解：分别过点作，分别交于，如图： 由题意可知，，，米，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴米， ∴米， ∴米， ∴米， ∵米， ∴米， ∴米， ∵，米， ∴路线①的路程为：米， 路线②的路程为：米， ∴甲队所用的时间为：， 乙队所用的时间为：， ∴甲队伍先到达终点． 23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于两点，点的坐标是，点的坐标是，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点作轴，垂足为，线段与直线相交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，线段与直线相交于点．求当取得最大值时点的坐标，当线段在轴上滑动时，连接，求的最小值； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)存在，点的横坐标为，理由见解析 【来源】重庆市珊瑚初级中学校2024-2025学年九年级下学期数学开学考试试题 【分析】（1）利用待定系数法，将点，的坐标代入解析式中求解即可． （2）设出点的坐标，易得，，当取最大值时，取得最大值，利用利用二次函数的性质即可求出点P的坐标；设滑动后的对应点分别为，过点作的平行线，截取，连接，易证四边形是平行四边形，推出，求出，根据为定值，当三点共线时，有最小值，得到有最小值，即有最小值，利用两点间距离公式求解即可； （3）在轴负半轴上取点，使得，连接，证明，进而证明，得到，设出点坐标，进而建立方程求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， ， 解得． 该抛物线的解析式为． （2）解：抛物线与轴交于点，且当时，， ， ， 设直线的解析式为， 直线经过点，， ， 解得， 直线的解析式为， 设点，则，， ， 轴， ， ， 当取最大值时，取得最大值， 即， ， ∴当时，取得最大值， 则 点的坐标为； 设滑动后的对应点分别为，过点作的平行线，截取，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵为定值， 当三点共线时，有最小值， ∴有最小值，即有最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为，即的最小值为， （3）解：存在，点的横坐标为，使得，理由如下： 在轴负半轴上取点，使得，连接，如图． 设点的坐标为，则，． 在中， ， ， 解得， ， ． ， ， ， ， ． 又∵， ∴， ∴，即， 设， ∴， 解得或（舍去）． 存在点，当点的横坐标为时，． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，平行四边形的判定与性质，勾股定理，一次函数与几何综合，等边对等角，三角形外角的性质等等，通过作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 24．在等边中，点D，E分别在边，上，连接，． (1)如图1，交于点F，，，若，求线段的长； (2)如图2，连接，过点A作交于点F，若，用等式表示线段，的数量关系，并证明； (3)如图3，，若点D为中点，点E为线段的三等分点，在直线上有一动点P，连接，将绕点P顺时针旋转得到，在平面内有一点F，满足，连接，若点N为中点，当的值最小时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【来源】重庆市第一中学校2024——2025学年九年级下学期第一次月考数学试题 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，结合题意可得，，证明 ，作于，于，则、为等腰直角三角形，得出，，求出，得到，，结合题意可得，由勾股定理可得，设，则，建立方程，求出，即可得解； （2）作，且，连接、、，则四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可得，，由等边三角形的性质可得，，证明，得出，又等边对等角结合三角形外角的定义及性质可得，从而可得，求出，得出、、、四点共圆，由圆周角定理可得，解直角三角形得出，即可得解； （3）由等边三角形的性质可得，，由题意可得，，，取的中点，过点、作直线，连接、，则，，由旋转的性质可得，，则为等边三角形，得出，，证明，得出，推出点在直线上运动，由题意可得点在上运动，取的中点，则，为的中位线，证明，得出点在以为圆心，为半径的圆上，作点关于的对称点，连接，交于，交于，连接、，由轴对称的性质可得，由两点之间线段最短可得，此时的值最小，求出，得出，作于，则，从而可得，，求出，，作于，则，证明，求出，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图1，作于，于， ， 则、为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图2：作，且，连接、、， ， 则四边形为平行四边形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴、、、四点共圆， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵点D为中点，点E为线段的三等分点， ∴，，， 如图3，取的中点，过点、作直线，连接、，则，， ， ∵将绕点P顺时针旋转得到， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， ∵在平面内有一点F，满足，连接， ∴点在上运动， 取的中点，则， ∵点N为中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， 作点关于的对称点，连接，交于，交于，连接、， 由轴对称的性质可得， ∴，由两点之间线段最短可得，此时的值最小， ∵， ∴， ∴， 作于，则， ∴，， ∴，， 作于，则， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即的面积为． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$