专题06 比例线段与黄金分割压轴（压轴题专项训练）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 以解题通法为核心，构建比例线段与黄金分割的系统性方法体系，通过题型归纳与压轴挑战实现知识逻辑递进与能力迁移，培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|5大核心通法|比例性质双向转化、平行线分线段模型（A字型/8字型）、黄金分割标准通式、参数设k法、方程思想|从基础性质（比例性质）到几何工具（平行线模型），再到特殊比例（黄金分割）及通用方法（参数法、方程思想），形成完整逻辑链| |题型归纳|4题型（每题型含典例+变式）|比例性质分类讨论（分母和为0/不为0）、平行线比例传递技巧、双黄金分割点计算、动态问题参数表示|对应通法模块，实现从单一知识点到综合应用的过渡，覆盖选择填空压轴、几何大题及动态综合| |压轴挑战|综合题组（选择/填空/解答）|跨知识点综合应用（比例+几何变换/函数）、复杂图形比例关系构建|聚焦中考高频压轴题型，提升知识迁移与问题解决能力，强化模型意识与推理能力|

专题06 比例线段与黄金分割压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、比例性质（选择填空压轴） 题型二、平行线分线段成比例综合题（几何大题小压轴） 题型三、黄金分割计算压轴题（填空高频压轴） 题型四、比例线段+动态压轴题（中考大题高频） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 通法1：比例性质双向转化（等积式⇋比例式） 比例性质是所有线段比例题型的核心，压轴题几乎所有等积求值、线段证明都依托该性质转化。 1. 基本性质：若 ，则 （核心：比例式与等积式双向互化） 2. 合比性质： 3. 等比性质：若 ，则 压轴核心陷阱：等比性质使用前，必须检验分母之和不为0，分母和为0时需单独分类讨论，是考试高频丢分点。 通法2：平行线分线段成比例（几何压轴第一工具） 无相似三角形时，优先通过平行线构造比例关系，是转移线段比、求线段长度的核心方法，两大经典必考模型： 1. 通用定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。 2. 三角形两大经典模型： A字型： 8字型（对顶模型）： 压轴解题思路：题目给出线段比值、线段长度关系，无直接等式时，主动作平行线构造A字型、8字型，转移线段比例。 通法3：黄金分割标准通式 定义：点 把线段 分成两段（），若满足 ，则点 为线段 的黄金分割点。 核心公式： （较长线段） （较短线段） 关键结论：一条线段有两个黄金分割点，考试未说明线段长短时，必须分两种情况讨论。 通法4：参数设k法（压轴通用万能法） 所有含线段比例的题型通用：遇到线段比值，直接设1份线段为 ，其余线段全部用含 的代数式表示，代入比例式或等式计算。多数题型无需算出 具体值，可直接约分求解，大幅简化计算。 通法5：方程思想（综合压轴核心） 比例线段、黄金分割综合题必用方法：结合已知线段长度、勾股定理、图形性质，设未知线段长为未知数，根据比例性质、黄金分割定义列一元二次方程，取正数解即为线段长度。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、比例性质（选择填空压轴） 【典例1】．（25-26九年级上·安徽·期中）如果，那么的值为（   ） A．4 B． C． D． 【典例2】．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）若，那么______． 【典例3】．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）已知，，求的值． 题型模版 核心考向：已知连比式求分式值，重点考察等比性质的分类讨论（分母和为0/不为0），是基础压轴高频考点。 【变式1-1】．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知，求的值． 【变式1-3】．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）（1）已知，则_____． （2）已知，求的值． 【变式1-4】．（25-26九年级上·安徽六安·期中）已知线段满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若四条线段a，b，c，d为成比例线段，则线段d的长为 ． 题型二、平行线分线段成比例综合题（几何大题小压轴） 【典例4】．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知∶如图，若，求． 【典例5】．（2025九年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，在中，点D，E，F分别是边上的点，且，且，，求的长．    【典例6】．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，，与相交于点，且、、，求的值 题型模版 1.核心考向：图形内含多组平行线，通过A字型、8字型模型多次传递比例，求解线段长度、线段比值，是几何基础压轴必考题型。 2.解题技巧：多组平行线图形，逐一写出每组比例关系，通过等量代换传递比例，无需复杂计算。 【变式2-1】．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在中，D、E、F分别是、、上的点，且，，，，求的长度．    【变式2-2】．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，直线，分别交直线a，b，c于点A，B，C，D，E，F．若，． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【变式2-3】．（2025·安徽亳州·一模）如图，，它们依次交直线m，n于点A，B，C和点D，E，F，． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 题型三、黄金分割计算压轴题（填空高频压轴） 【典例7】．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）如图，线段的长是，点和点均为线段的黄金分割点，那么线段的长是______． 【典例8】．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）五角星是我们生活中常见的一种图形，如图，，为线段的黄金分割点，如果，则线段的长为__________． 【典例9】．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期中）（1）已知 ，且，求的值． （2） 已知是线段上的一个黄金分割点，，，求线段的长． 题型模版 核心考向：单线段黄金分割求值、双黄金分割点计算、黄金矩形/正方形综合计算，核心陷阱为遗漏双分割点。 【变式3-1】．（26-27九年级·安徽六安·暑假作业）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为________（结果保留根号）． 【变式3-2】．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即将整体一分为二，较小部分与较大部分之比等于较大部分与整体之比．如图，是线段上一点，若，且满足，则称是线段的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台侧进入，他至少走多少米，恰好站在舞台的黄金分割点上？ 【变式3-3】．（2024·安徽合肥·一模）已知：如图，两个和中，，，，且点在一条直线上，连接、，与交于点． (1)求证：． (2)若，求的值． 题型四、比例线段+动态压轴题（中考大题高频） 【典例10】．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒（），连接． (1)线段__________，线段__________（用含有的代数式表示）． (2)当与相似时，求的值； (3)连接、交于点，若点是线段的中点，求的值． 【典例11】．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图1，在中，，点分别是的中点，将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为． (1)问题发现 ①当时，________；②当时，________． (2)拓展探究 试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； (3)问题解决 当旋转至三点共线时，直接写出线段的长． 【变式4-1】．如图1、图2，在中，，，点M，N分别在，上，且.点P从点M出发沿折线匀速移动，到达点N时停止；而点Q在边上随点P移动，且始终保持． (1)若点P在上． ①求证：； ②当将的面积分成上下两部分时，求的长； (2)设点P移动的路程为x． ①当时，求的长； ②当PQ与的边平行时，请直接写出x的取值范围． 【变式4-2】．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A，B，直线过点A交y轴于点C． (1)求直线的表达式； (2)点P是y轴上一动点，且与相似，求点P的坐标； (3)直线与x轴交于点M，分别与直线，交于点D，E，当时，求k的值． 【变式4-3】．矩形和正方形是特殊的平行四边形，我们可以通过如下方式获得矩形和正方形． 【操作1】有一张三角形纸片，顶点分别是，，．部分数据如图①所示．如图②，分别在，上取点，，再沿过点，分别与垂直的虚线剪开，得到①，②，③三块，若这三块能拼接成如图③所示的矩形． (1)的长为 ； (2)求点到的距离； 【操作2】 (3)如图④，将沿，折叠后，点和点在点处重合，点落在点处．若四边形为正方形，，，求的面积； 【操作3】 (4)如图，在四边形中，，点，，，分别为四条边的中点，与的和为与之间距离的2倍． 嘉嘉说：我可以将四边形分成三块图形，重新拼接，无重叠、无缝隙地组成一个正方形； 淇淇说：我可以将四边形分成四块图形，重新拼接，无重叠、无缝隙地组成一个正方形． 请你帮嘉嘉、淇淇设计裁剪方式，使裁剪后的图形能够拼成一个正方形．（用虚线在图中画出裁剪线，在剪出的每一部分图形上标注序号，并画出拼接后的正方形，在正方形相应位置标注对应的序号） 嘉嘉的做法： 淇淇的做法： 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．摄影师们通常会将主体放置在画面中的黄金分割点上，以获得更好的摄影效果．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为，则的长为（    ）． A． B． C． D． 2．如图是一张矩形纸片，点E是中点，点F在上，把该纸片沿折叠，点A、B的对应点分别为、，与BC相交于点G，的延长线经过点C．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，D、E分别为边上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 4．在中，对角线与交于点O，点E在上，点F在上，连接．下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、填空题 5．是的高，为的中点，，如果，那么等于_________________． 6．已知点C是线段AB的黄金分割点，且，则AB的长为______． 7．二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图，一把二胡的弦长为，求“千斤”下面一截琴弦长为__________（保留根号）．    8．“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合思想的典型体现．如图，将弦图放置在以为原点的平面直角坐标系中，，分别是，轴正半轴上的动点，正方形中有如图四个全等的、、、，若是中点，连接并延长交于点，连接并延长交于，点是反比例函数（）图象上一点．    （1）若，则点的坐标为________． （2）若点的坐标为，则________． 三、解答题 9．已知，，求的值． 10．已知：，，求： (1)求，，的值； (2)代数式的值． 11．如图，在中，，点P是BC边的一点，，且，连接DP并延长，交AC于E，交BA的延长线于F． (1)若，，求的长； (2)求证：． 12．在中，点在边上，点在边上，与交于点． (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值． 13．一般地，我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，在“黄金三角形”中，底与腰的比为黄金比． 如图，在中，，． (1)请仅用圆规在边上作出点D，E，使，均为黄金三角形，要求保留作图痕迹，不写作法； (2)在（1）的基础上，求的值． 14．如图，在中，，平分，是边上的中线，与交于点，过点作交于点． (1)求的值． (2)若，求的面积． 15．如图，在中，，，D为的中点，是射线上的一点，连接，，F是上一点，且满足，． (1)求证：A； (2)试分析：之间的数量关系； (3)若，求的值． 16．如图1，在中，点为中点，点在上，，交于点，． (1)求证：； (2)若，求的值； (3)如图2，若，，，直接写出的值． 17．在正方形中，点E、F、G分别为边上的一点，垂直平分，垂足为． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，交于点，连接． ①求证：是等腰直角三角形； ②当时，求值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 比例线段与黄金分割压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、比例性质（选择填空压轴） 题型二、平行线分线段成比例综合题（几何大题小压轴） 题型三、黄金分割计算压轴题（填空高频压轴） 题型四、比例线段+动态压轴题（中考大题高频） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 通法1：比例性质双向转化（等积式⇋比例式） 比例性质是所有线段比例题型的核心，压轴题几乎所有等积求值、线段证明都依托该性质转化。 1. 基本性质：若 ，则 （核心：比例式与等积式双向互化） 2. 合比性质： 3. 等比性质：若 ，则 压轴核心陷阱：等比性质使用前，必须检验分母之和不为0，分母和为0时需单独分类讨论，是考试高频丢分点。 通法2：平行线分线段成比例（几何压轴第一工具） 无相似三角形时，优先通过平行线构造比例关系，是转移线段比、求线段长度的核心方法，两大经典必考模型： 1. 通用定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。 2. 三角形两大经典模型： A字型： 8字型（对顶模型）： 压轴解题思路：题目给出线段比值、线段长度关系，无直接等式时，主动作平行线构造A字型、8字型，转移线段比例。 通法3：黄金分割标准通式 定义：点 把线段 分成两段（），若满足 ，则点 为线段 的黄金分割点。 核心公式： （较长线段） （较短线段） 关键结论：一条线段有两个黄金分割点，考试未说明线段长短时，必须分两种情况讨论。 通法4：参数设k法（压轴通用万能法） 所有含线段比例的题型通用：遇到线段比值，直接设1份线段为 ，其余线段全部用含 的代数式表示，代入比例式或等式计算。多数题型无需算出 具体值，可直接约分求解，大幅简化计算。 通法5：方程思想（综合压轴核心） 比例线段、黄金分割综合题必用方法：结合已知线段长度、勾股定理、图形性质，设未知线段长为未知数，根据比例性质、黄金分割定义列一元二次方程，取正数解即为线段长度。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、比例性质（选择填空压轴） 【典例1】．（25-26九年级上·安徽·期中）如果，那么的值为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，根据题意，设，，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴不妨设，， ∴， 故选：C． 【典例2】．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）若，那么______． 【答案】/ 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的基本性质，解题的关键是掌握比例的性质，根据比例关系，设参数表示变量，代入所求表达式计算． 【详解】解：由， 设，（）， 则． 故答案为：． 【典例3】．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）已知，，求的值． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，设．则根据比例的性质，得，，，代入到求出即可． 【详解】解：设． 则根据比例的性质，得，，， ∵， ∴， 解得， ∴． 题型模版 核心考向：已知连比式求分式值，重点考察等比性质的分类讨论（分母和为0/不为0），是基础压轴高频考点。 【变式1-1】．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式化简求值、比例的性质 【分析】本题主要考查了比例的性质，分式的化简求值，由已知方程化简得到，然后代入所求表达式化简计算． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴ ， 故选D． 【变式1-2】．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知，求的值． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】此题考查了比例的性质．设，且，则，代入即可求出答案． 【详解】解：设，且， 则， ∴ 【变式1-3】．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）（1）已知，则_____． （2）已知，求的值． 【答案】（1）4；（2）2或 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键． （1）先根据比例的性质可得，，，再得出，代入化简即可得； （2）先根据比例的性质可得，再分两种情况：①当时，则；②当时，则，代入即可得． 【详解】解：（1）∵， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴，且， ∴， ①当时，则； ②当时，则， ∴； 综上，的值为2或． 【变式1-4】．（25-26九年级上·安徽六安·期中）已知线段满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若四条线段a，b，c，d为成比例线段，则线段d的长为 ． 【答案】(1)，， (2)8 【知识点】成比例线段、比例的性质 【分析】本题主要考查了比例的性质． （1）利用，可设，，，代入求出的值，即可求出、、的值； （2）根据题意得，代入求得d即可． 【详解】（1）解：∵， 设，，， 又， ，即， 合并同类项，得， 系数化为，得， ，，； （2）解：∵线段a，b，c，d是成比例线段， ， ， 解得． 故答案为：． 题型二、平行线分线段成比例综合题（几何大题小压轴） 【典例4】．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知∶如图，若，求． 【答案】6 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握该定理并正确应用． 利用平行线分线段成比例定理，找出对应线段的比例关系，进而求解的长度． 【详解】解：， ，即， ． 【典例5】．（2025九年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，在中，点D，E，F分别是边上的点，且，且，，求的长．    【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查平行线分线段成比例，先得出，进而可得出答案． 【详解】解：， ． ， ， ， ． 【典例6】．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，，与相交于点，且、、，求的值 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：， ， ，，， ． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 题型模版 1.核心考向：图形内含多组平行线，通过A字型、8字型模型多次传递比例，求解线段长度、线段比值，是几何基础压轴必考题型。 2.解题技巧：多组平行线图形，逐一写出每组比例关系，通过等量代换传递比例，无需复杂计算。 【变式2-1】．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在中，D、E、F分别是、、上的点，且，，，，求的长度．    【答案】4 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、相似三角形的判定与性质综合、由平行判断成比例的线段 【分析】首先根据题意，证明四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质，得出，然后再根据相似三角形的性质，得出，，再根据即可得出的长，进而得出的长． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、相似三角形的判定和性质、比例的性质，解本题的关键在熟练掌握平行线分线段成比例定理． 【变式2-2】．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，直线，分别交直线a，b，c于点A，B，C，D，E，F．若，． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入数据计算即可； （2）根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入数据计算即可． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】（1）∵， ， ，，， ， 解得：； （2）∵， ，即， 解得：． 【变式2-3】．（2025·安徽亳州·一模）如图，，它们依次交直线m，n于点A，B，C和点D，E，F，． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理． （1）求出，根据平行线分线段成比例定理得到，进而计算即可； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，即，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：； （2）解：∵， ∴， 即， ∴， 解得：． 题型三、黄金分割计算压轴题（填空高频压轴） 【典例7】．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）如图，线段的长是，点和点均为线段的黄金分割点，那么线段的长是______． 【答案】 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割点，熟练掌握黄金分割比是解题的关键． 根据黄金分割点的定义得到，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵点和点均为线段的黄金分割点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【典例8】．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）五角星是我们生活中常见的一种图形，如图，，为线段的黄金分割点，如果，则线段的长为__________． 【答案】 【知识点】黄金分割 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义及线段的和差计算，熟练掌握黄金分割点的比例关系并结合线段和差进行推导是解题的关键．利用黄金分割点的定义，先求出线段和的长度，再结合线段的和差关系推导出的长度． 【详解】解：∵，为线段的黄金分割点，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【典例9】．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期中）（1）已知 ，且，求的值． （2）已知是线段上的一个黄金分割点，，，求线段的长． 【答案】（1）；（2） 【知识点】比例的性质、黄金分割 【分析】本题考查了比例的性质，黄金分割点的定义； （1）设 ，则，代入已知等式求得，进而求得的值； （2）根据黄金分割的定义可得，进而求得的长． 【详解】（1）解：设 ，则， ， ，解得， ． （2）解：点是线段的黄金分割点，，若， ， 题型模版 核心考向：单线段黄金分割求值、双黄金分割点计算、黄金矩形/正方形综合计算，核心陷阱为遗漏双分割点。 【变式3-1】．（26-27九年级·安徽六安·暑假作业）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为________（结果保留根号）． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质求线段长、黄金分割 【分析】先证明四边形是矩形，求出的长，再根据黄金分割的定义，可得，代入即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ， 又， ， ， 四边形是矩形， ． 又， ， 则的长为． 【变式3-2】．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即将整体一分为二，较小部分与较大部分之比等于较大部分与整体之比．如图，是线段上一点，若，且满足，则称是线段的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台侧进入，他至少走多少米，恰好站在舞台的黄金分割点上？ 【答案】米 【知识点】黄金分割、分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查了黄金分割，分式方程的应用，设米，则米，把数据代入，得到关于的分式方程，解方程即可求解，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解题的关键． 【详解】解：设米，则米， ∵， ∴， 整理得，， 解得，， 经检验，，为分式方程的解， ∵， ∴， 答：他至少走米，恰好站在舞台的黄金分割点上． 【变式3-3】．（2024·安徽合肥·一模）已知：如图，两个和中，，，，且点在一条直线上，连接、，与交于点． (1)求证：． (2)若，求的值． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 即； (2)． 【知识点】比例的性质、相似三角形的判定与性质综合、黄金分割 【分析】（）证明得到，再证明得到，推导出，即可求证； （）证明得到，进而由得到，又由（）的结论可得，即得到，得到点是线段的黄金分割点，故而得到，推导出，利用比例的性质即可求解； 本题考查了相似三角形的判定和性质，黄金分割，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 若， 则， 由（）知， ∴， ∴， ∴， ∴点是线段的黄金分割点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型四、比例线段+动态压轴题（中考大题高频） 【典例10】．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒（），连接． (1)线段__________，线段__________（用含有的代数式表示）． (2)当与相似时，求的值； (3)连接、交于点，若点是线段的中点，求的值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【知识点】公式法解一元二次方程、用勾股定理解三角形、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，平行线分线段成比例等知识，综合性较强，理解题意，熟知相关知识，根据题意进行分类讨论是解题关键． （1）根据题意得到，，问题得解； （2）先求出，再分和两种情况讨论，问题得解； （3）过点作，则，进而可知，求得，再证，得，即，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，， 则， 故答案为：，； （2）解：依题意知，在中，， 若与相似，因为, ∴分两种情况讨论： 当时，有，即，解得； 当时，有，即，解得． ∴若与相似，或； （3）解：过点作，则， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∵，，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：（负值舍去）， 即：点是线段的中点，的值为． 【典例11】．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图1，在中，，点分别是的中点，将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为． (1)问题发现 ①当时，________；②当时，________． (2)拓展探究 试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； (3)问题解决 当旋转至三点共线时，直接写出线段的长． 【答案】(1)①2；②2 (2) 不变，证明如下： 如图2所示，旋转过程中，、、、长度不变， 即， ∵， ∴， ， ， ∴当时，的大小不变； (3)1或3 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、根据旋转的性质求解、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查旋转的性质，三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）①当时，由三角形的中位线定理得到，从而有； ②当时，同理①可得； （2）如图2所示，旋转过程中，、、、长度不变，故，，的大小无变化； （3）点A，C，E三点共线时，或，根据线段的和差分别求解即可． 【详解】（1）解：①当时， 点分别是的中点， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2； ②当时，如图所示： 则三点共线，，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：2． （2）略 （3）解：①当在如图位置时，点A，C，E三点共线，此时， ∵，点D是的中点， ∴． ②当旋转到如图位置时，，，E三点共线，此时， ∴点B，C，D三点也共线， ∵，， ∴． 综上所述，的长为1或3． 【变式4-1】．如图1、图2，在中，，，点M，N分别在，上，且.点P从点M出发沿折线匀速移动，到达点N时停止；而点Q在边上随点P移动，且始终保持． (1)若点P在上． ①求证：； ②当将的面积分成上下两部分时，求的长； (2)设点P移动的路程为x． ①当时，求的长； ②当PQ与的边平行时，请直接写出x的取值范围． 【答案】(1) ①证明：∵点P在上，， ∴， ∴； ② (2)①； ②或 【知识点】由平行判断成比例的线段、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）①根据， ，可得两直线平行即可得到证明； ②根据相似比与面积比之间的关系即可得到答案； （2）①根据，得到，再得到，即可得到三角形相似即可得到答案； ②根据题意易得，即可得到答案． 【详解】（1）①略 ②∵PQ将的面积分成上下两部分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴； （2）解：①当时，点P在上，且， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； ②∵点Q在上，当时， ∴； 当时， .∵，∴ 又∵，∴， ∴，，即， ∴， ∴． 综上所述：或． 【点睛】本题考查相似三角形性质和判定及平行线截线段对应线段成比例，解题的关键是根据题意找到对应的角相等判定三角形相似． 【变式4-2】．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A，B，直线过点A交y轴于点C． (1)求直线的表达式； (2)点P是y轴上一动点，且与相似，求点P的坐标； (3)直线与x轴交于点M，分别与直线，交于点D，E，当时，求k的值． 【答案】(1) (2)、、 、； (3)或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合、由平行截线求相关线段的长或比值、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题主要考查了一次函数与几何的综合、相似三角形的性质、平行线等分线段定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先求得，然后代入求得a的值即可解答； （2）先求得，，设点P的坐标为，则，然后分和两种情况，分别利用相似三角形的性质以及坐标与图形解答即可； （3）先求得、，再分两种情况分别用平行线等分线段定理求解即可． 【详解】（1）解：直线交x轴于点A ，解得：，即， 将代入中可得： ，解得：， 直线的表达式：． （2）解：∵直线分别交x轴、y轴于点A，B ∴令，则，即， 直线过点A交y轴于点C 令，则，即 ∴， 设点P的坐标为，则 ①当， ，即 ，即， ∴，； ②当； ，即， ，即， ∴，． 综上，P的坐标为、、、． （3）解：直线与x轴交于点M，分别与直线，交于点D，E， ，解得： ， ∴ 同理 ，解得：，即； ①如图1，过D作轴，交x轴于点F，过E作轴，交x轴于点G， ， ∴，即，解得：； ②如图2，过D作轴，交x轴于点P，过E作轴，交x轴于点Q ， ，解得：． 综上所述：或． 【变式4-3】．矩形和正方形是特殊的平行四边形，我们可以通过如下方式获得矩形和正方形． 【操作1】有一张三角形纸片，顶点分别是，，．部分数据如图①所示．如图②，分别在，上取点，，再沿过点，分别与垂直的虚线剪开，得到①，②，③三块，若这三块能拼接成如图③所示的矩形． (1)的长为 ； (2)求点到的距离； 【操作2】 (3)如图④，将沿，折叠后，点和点在点处重合，点落在点处．若四边形为正方形，，，求的面积； 【操作3】 (4)如图，在四边形中，，点，，，分别为四条边的中点，与的和为与之间距离的2倍． 嘉嘉说：我可以将四边形分成三块图形，重新拼接，无重叠、无缝隙地组成一个正方形； 淇淇说：我可以将四边形分成四块图形，重新拼接，无重叠、无缝隙地组成一个正方形． 请你帮嘉嘉、淇淇设计裁剪方式，使裁剪后的图形能够拼成一个正方形．（用虚线在图中画出裁剪线，在剪出的每一部分图形上标注序号，并画出拼接后的正方形，在正方形相应位置标注对应的序号） 嘉嘉的做法： 淇淇的做法： 【答案】(1) (2) (3) (4) 嘉嘉的方法： 淇淇的方法： 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、折叠问题、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】（1）由图形的变化可得点N为BC中点，可得BN的长度； （2）过点作于点，由勾股定理可得方程，解出AE的长度，证明，得，解出NQ即可； （3）由翻折的性质，根据线段关系求出BC、AE长度，结合平行四边形的面积为即可得出结果； （4）根据题意作图即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，这三块能拼接成如图③所示的矩形， 即， ∴． （2）解：如解图，过点作于点， 在中，； 在中，， ∴， 即， 解得， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴点到的距离为． （3）解：由折叠的性质，得，，， ∴， ∵四边形为正方形，，， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积为． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．摄影师们通常会将主体放置在画面中的黄金分割点上，以获得更好的摄影效果．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为，则的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．由黄金分割点的定义求出的长，即可解决问题． 【详解】解：是的黄金分割点，线段的长为， ， ， 故选：B． 2．如图是一张矩形纸片，点E是中点，点F在上，把该纸片沿折叠，点A、B的对应点分别为、，与BC相交于点G，的延长线经过点C．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接，过点G作于点T，然后设，， ， ，得出，由翻折的性质知，，，求出，接着推出，求出，，最后利用勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】如图，连接，过点G作于点T， 设，， ， 设，则， 点E是AD中点， ， 由翻折的性质知，，， ， ， ， ， ， C，，共线，， ， ， ， （舍去）或， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、平行线分段成比例及勾股定理等知识，学会利用参数构建方程解决问题是解题的关键． 3．如图，在中，D、E分别为边上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，A错误，不符合题意； ∵， ∴，B正确，符合题意； ∵， ∴，C错误，不符合题意； ∵， ∴，D错误，不符合题意， 故选：B． 4．在中，对角线与交于点O，点E在上，点F在上，连接．下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】平行线分线段成比例结合平行四边形的对边相等，判断A；先证明四边形是菱形，得到，分和，两种情况，判断B，根据平行线分线段成比例的推论，判断C；先证明四边形是菱形，再证明，得到，判断D． 【详解】解：如图： ∵四边形是平行四边形， ∴； 若，则：， ∴；故选项A正确，不符合题意； 若，则：四边形是菱形； ， ， 如图，当与不垂直时，上还存在一点，使， 假设， 在和中， ， ， ， ， ， 而另一点也满足，但与不平行， 与不一定平行，故B选项错误，符合题意； 若，则：， ∴，故C选项正确，不符合题意； 若，则：， ∴， ∴四边形是菱形； ∵，， ∴， ∴， ， ，故选项D正确，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行线分线段成比例等知识，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 二、填空题 5．是的高，为的中点，，如果，那么等于_________________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理知识的应用．由是的高，，即可证得，又由E为的中点，根据平行线分线段成比例定理，可得，又由，即可求得的值． 【详解】解：∵是的高，， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 6．已知点C是线段AB的黄金分割点，且，则AB的长为______． 【答案】 【分析】根据，可得，然后根据黄金分割点的定义进行求解即可 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了黄金分割点和分母有理化，解题的关键在于能够熟练掌握黄金分割比例． 7．二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图，一把二胡的弦长为，求“千斤”下面一截琴弦长为__________（保留根号）．    【答案】 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割的定义即可解决问题．熟知黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：因为二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处，且“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短， 则令“千斤”下面一截琴弦长为， 所以， 解得， 所以“千斤”下面一截琴弦长为． 故答案为：． 8．“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合思想的典型体现．如图，将弦图放置在以为原点的平面直角坐标系中，，分别是，轴正半轴上的动点，正方形中有如图四个全等的、、、，若是中点，连接并延长交于点，连接并延长交于，点是反比例函数（）图象上一点．    （1）若，则点的坐标为________． （2）若点的坐标为，则________． 【答案】 【分析】（1）证明四边形是正方形，由是的中点，可得，，则，由，，可得，由，可得，同理，则，设，则，计算求出满足要求的解，进而可得结果； （2）由（1）可知，，则，可求，即，，． 【详解】（1）解：由题意可知，，，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设， ∵点是反比例函数（）图象上， ∴， 解得，，（舍去）， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）可知，， ∵坐标为， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵点是反比例函数（）图象上， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，正方形的判定与性质，平行线分线段成比例，反比例函数与几何综合，反比例函数解析式等知识．熟练掌握全等三角形的性质，正方形的判定与性质，平行线分线段成比例，反比例函数与几何综合，反比例函数解析式是解题的关键． 三、解答题 9．已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查比例的基本性质，利用设k法是解题的关键． 由，得到，设 ，则，，然后代入求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 设 ，则，， ． 10．已知：，，求： (1)求，，的值； (2)代数式的值． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题考查了条件代数式求值及比例的性质，解答的关键在于通过设中间量，辅助求出、、． （1）设，将、、用表示出来，然后再通过求出，进而确定、、的值； （2）将、、代入即可得解． 【详解】（1）解：设，则，， 又，即，解得 ∴，，； （2）解：当，，时，． 11．如图，在中，，点P是BC边的一点，，且，连接DP并延长，交AC于E，交BA的延长线于F． (1)若，，求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2) 证明：连接， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据可证，，根据比例的性质可得，再证，可得，由此即可求解； （2）连接，由已知可证四边形为平行四边形，根据平行线分线段成比例定理可知 ，，则，则题目可证． 【详解】（1）解：， 设，，则， ， ， ， ， 则，且， ， ， ， ，， ， ， 的长为． （2）略 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，比例的性质，平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质和判定，掌握相关知识是解题的关键． 12．在中，点在边上，点在边上，与交于点． (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， 点D是中点， ∴， ∴， ∵点F是中点，， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)． 【分析】本题主要考查了平行线截线段成比例定理，中点的性质等知识点， （1）利用平行线截线段成比例定理和中点的性质得出，即可得解； （2）过点D作，利用平行线截线段成比例定理和已知得出，，代入计算即可得解； 熟练掌握了平行线截线段成比例定理是解决此题的关键． 【详解】（1）略 （2）过点D作交于点H， ∵，， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴的值为． 13．一般地，我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，在“黄金三角形”中，底与腰的比为黄金比． 如图，在中，，． (1)请仅用圆规在边上作出点D，E，使，均为黄金三角形，要求保留作图痕迹，不写作法； (2)在（1）的基础上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等边对等角可知，则分别以点B和点C为圆心，为半径画弧交于点D和点E，即可解答； （2）连接，，根据“黄金三角形”的定义得到，，，可知为黄金三角形，根据“黄金三角形”的性质作答即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：如图，连接，． 由（1）知，，为黄金三角形， ∴，， ∴，，， ∴为黄金三角形，可得， 即， ∴． 14．如图，在中，，平分，是边上的中线，与交于点，过点作交于点． (1)求的值． (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】主要考查知识点等腰三角形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中线的性质、三角形面积公式相关知识点，解题的关键在于利用等腰三角形三线合一性质：准确识别等腰三角形中角平分线、中线和高的关系，从而得出线段相等和垂直关系，这是后续计算的基础， 熟练运用平行线分线段成比例定理，准确把握三角形中线与面积的关系：理解中线将三角形面积平分以及同高三角形面积比与底边比的关系，对于计算三角形各部分面积至关重要． （1）根据等腰三角形三线合一性质得到．利用平行线分线段成比例定理得到线段成比例，根据中线性质进行等量代换即可求解 ； （2）先根据等腰三角形三线合一求出的面积（已知底和高），再由中线性质得到，由第一问得到的比例关系推出．最后根据同高的三角形面积比等于底边的比即可求出． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴． ∵， ∴，． ∵是边上的中线， ∴， ∴，， ∴． （2）解：∵，平分， ∴，， ∴． ∵是中线， ∴． ∴， ∴， ∴． 15．如图，在中，，，D为的中点，是射线上的一点，连接，，F是上一点，且满足，． (1)求证：A； (2)试分析：之间的数量关系； (3)若，求的值． 【答案】(1) 证明：，，D为的中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 即； (2) 解：，理由如下： ，，D为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ，， ， ； (3) 【分析】本题涉及几何综合题，涉及三角形相似、等腰直角三角形、全等三角形、线段关系等知识点，解题的关键是灵活运用相关知识； （1）可通过证明三角形全等，得到角的关系，，进而推出垂直； （2）分析之间的数量关系，需要结合等腰直角三角形的边长关系，再通过构造相似三角形，利用相似的性质求解即可； （3）首先证明出，利用性质进一步证明，得出，进一步证明，得出为的黄金分割点，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， ， ，， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 即为的黄金分割点， ． 16．如图1，在中，点为中点，点在上，，交于点，． (1)求证：； (2)若，求的值； (3)如图2，若，，，直接写出的值． 【答案】(1) 证明：∵，，， ∴ (2)； (3)． 【分析】（1）直接根据三角形内角和定理证明即可； （2）过D点作交于M，根据证明，可得，根据相似三角形的判定得，根据相似三角形的性质得出结果． （3），点D为中点，得，在直角三角形中，由勾股定理结合（2）的结论可得结果． 【详解】（1）略． （2）过点作交于，则，如图1， 在和中，， ∴ ∴，． ∵， ∴， 又∵， ∴ 又∵， ∴， ∴，即， 设，， 则，， 解得， ∴， ∴； （3）结论：． 如图2，过点作交于M， ∵点D为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 由（2）知， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，三角形内角和定理等知识．解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质． 17．在正方形中，点E、F、G分别为边上的一点，垂直平分，垂足为． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，交于点，连接． ①求证：是等腰直角三角形； ②当时，求值． 【答案】(1) 过点G作于点N， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； (2) ①证明：连接，由正方形的性质可知点B与点D关于对称， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形； ② 【分析】（1）过点G作于点N，则可证是矩形，根据得到，即可得到结论； （2）①连接，由正方形的性质可知点B与点D关于对称，则有，根据垂直平分线的性质得到，即有得以证明结论；②设，则，可以推导出，再根据平行线分线段成比例解题即可． 【详解】（1）略 （2）① 略 ②设，则， 由①可知是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴， 又∵是正方形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，等腰直角三角形的判定和性质，综合性较强，能作辅助线构造全等三角形是解题的关键. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $