专题02 一元一次方程（考题猜想，10大题型）-2024-2025学年六年级数学下学期期中考点大串讲（鲁教版2024）

专题02 一元一次方程（10大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 根据一元一次方程的定义求参数（易错） · 题型二 利用等式的性质解方程（高频） · 题型三 选择合适的方法解一元一次方程（高频） · 题型四 解含绝对值方程（难点） · 题型五 以注重过程性学习的形式考查一元一次方程（易错） · 题型六 已知一元一次方程的解，求参数 · 题型七 已知一元一次方程解的关系，求参数（重点） · 题型八 与一元一次方程有关的新定义问题（难点） · 题型九 一元一次方程与实际问题（重点） · 题型十 一元一次方程与数轴综合（压轴） 题型一 根据一元一次方程的定义求参数（易错） 1．（23-24六年级上·山东东营·期末）已知方程是关于的一元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，根据题意得，，由此计算m的值． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴且， 解得． 故答案为：． 2．（24-25七年级上·四川巴中·期末）如果关于x的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义得出关于的方程是解题的关键． 根据一元一次方程的定义得出且，求解即可得到答案． 【详解】解：关于x的方程是一元一次方程， 且， 解得：， 故答案为： ． 题型二 利用等式的性质解方程（高频） 3．（20-21六年级上·山东泰安·课后作业）用等式性质解下列方程，并检验． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】略 4．（2024七年级上·江苏·专题练习）回答下列问题，并说明变形的根据： (1)怎样从等式得到等式？ (2)怎样从等式得到等式？ (3)怎样从等式得到等式？ 【答案】(1)两边同时减去， (2)两边同时除以5； (3)见解析 【分析】本题考查了等式的性质，性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． （1）根据等式的性质1可得到答案； （2）根据等式的性质2可得到答案； （3）根据等式的性质2可得到答案； 【详解】（1）解：两边同时减去， 等式得到； （2）解：两边同时除以5， 等式得到； （3）解：两边同时乘以8， 等式得到． 5．（2024七年级上·浙江·专题练习）在下列各题的横线上填上适当的数或整式，使所得结果仍是等式，并说明变形是根据等式的哪一条性质以及是怎样变形的． (1)如果，那么 ，根据 ； (2)如果，那么 ，根据 ； (3)如果，那么 ，根据 ； (4)如果 ，那么 ，根据 ． 【答案】(1)，等式的性质2；变形过程见解析 (2)，等式的性质2；变形过程见解析 (3)6，等式的性质2；变形过程见解析 (4)，等式的性质1；变形过程见解析 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练利用等式的性质解一元一次方程是解题的关键． （1）根据等式的性质2，等号两边都乘以，等号仍成立，得出所求； （2）根据等式的性质2，等号两边都除以，等号仍成立，得出所求； （3）根据等式的性质2，等号两边都除以，等号仍成立，得出所求； （4）根据等式的性质1，等号两边都减去，再除以，等号仍成立，得出所求． 【详解】（1）解：如果，根据等式的性质2，等号两边都乘以，等号仍成立，那么； 故答案为：，等式的性质2； （2）解：如果，根据等式的性质2，等号两边都除以，等号仍成立，那么； 故答案为：，等式的性质2； （3）解：如果，根据等式的性质2，等号两边都除以，等号仍成立，那么； 故答案为：6，等式的性质2； （4）解：如果，根据等式的性质1，等号两边都减去，等号仍成立，那么，， 等号两边都除以，那么； 故答案为：，等式的性质1． 题型三 选择合适的方法解一元一次方程（高频） 6．（24-25六年级下·山东东营·阶段练习）解下列方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键： （1）移项，合并，系数化1，进行求解即可； （2）去括号，移项，合并，系数化1，进行求解即可； （3）去分母，移项，合并，系数化1，进行求解即可； （4）去分母，移项，合并，系数化1，进行求解即可． 【详解】（1）解： ∴； （2） ∴； （3） ∴； （4）原方程化为： ∴． 7．（24-25六年级下·山东威海·阶段练习）解方程 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查的是解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1，从而得到方程的解； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1，从而得到方程的解； （3）去括号，移项，合并同类项，系数化为1，从而得到方程的解； （4）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1，从而得到方程的解； （5）去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1，从而得到方程的解； （6）移项，合并同类项，系数化为1，从而得到方程的解； 【详解】（1）解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． （2）解：去分母得， 去括号得， 移项得 合并同类项得， 系数化成1得． （3）解：去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化成1得． （4）解：去分母得， 去括号得， 移项得 合并同类项得， 系数化成1得． （5）解：先去中括号得， 去分母得， 去括号得， 移项得 合并同类项得， 系数化成1得． （6）解：移项得， 合并同类项得， 系数化成1得． 8．（24-25六年级下·山东淄博·阶段练习）解方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤并灵活运用是解题的关键． （1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可； （2）去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可； （3）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可； （4）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可； （5）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可； （6）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可； （7）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可； （8）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可； 【详解】（1）解：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． （2）解：， 整理得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． （3）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． （4）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． （5）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． （6）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． （7）解：， 整理得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：． （8）解：， 整理得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 题型四 解含绝对值方程（难点） 9．（24-25七年级上·山东德州·期中）阅读下面材料： 我们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： 【知识应用】 （1）求_____； （2）同样道理表示数轴上有理数所对点到和所对的两点距离相等，则_____； （3）类似的表示数轴上有理数所对点到和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的正整数，使得，这样的正整数是_____； 【拓展应用】 （4）由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． （5）思考当为何值时，，请求出符合条件的的值． 【答案】（1）7（2）（3），（4）有，最小值为3（5）的值为或 【分析】本题考查数轴与绝对值，其中能利用分类讨论将绝对值方程转化为一元一次方程，以及理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据两点间距离的定义解答即可； （2）在数轴上，找到和的中点表示的数即可求解； （3）根据和2所对的两点距离之和为7，和2之间的数均满足，从中找出正整数即可； （4）表示数轴上有理数x所对点到和6对的两点距离之和，结合数轴可知最小值为． （5）根据绝对值的性质，将原方程分为①，②，③三种情况讨论，再进行解方程即可得出答案． 【详解】（1）∵5与两数在数轴上所对的两点之间的距离为个单位， ∴． 故答案为：； （2）． 故答案为：； （3）解：， 结合数轴知，当时，， x是正整数， x的值为，， 故答案为：，； （4）解：表示数轴上有理数x所对点到和6所对的两点距离之和， 结合数轴可知，当时，有最小值，最小值为． （5）根据绝对值的性质，将原方程分为三种情况讨论： ①．当时，方程变为， 解得，与条件矛盾，舍去． ②．当时，方程变为， 解得，符合条件． ③．当时，方程变为， 解得，符合条件． 综上，满足条件的值为和． 10．（24-25七年级上·山东滨州·期末）解方程：． 解：①当时，解得；②当时，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)解方程：； (3)探究：当b分别为何值时？方程， ①无解；    ②只有一个解；    ③有两个解． 【答案】(1)或 (2)或 (3)当时，方程无解；当时，方程只有一个解；当时，方程有两个解 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程：解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解． （1）先移项得到，利用绝对值的意义得到或，然后分别解两个一次方程； （2）先利用绝对值的意义得到或，然后分别解两个一次方程； （3）利用绝对值的意义讨论：当或或时确定方程的解的个数即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得或； （2）解：， 或， 解方程，得， 解方程，得， ∴原方程的解为或； （3）解：∵， ∴当时，方程无解； 当时，方程只有一个解； 当时，方程有两个解． 11．（24-25六年级上·山东淄博·期中）已知点A在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，且，之间的距离记为或，请回答问题： (1)直接写出的值，______，______； (2)设点在数轴上对应的数为，若，求的值； (3)如图，点是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为，动点表示的数为． ①若点在点之间，求的值； ②若，求的值． 【答案】(1)，2 (2)8或 (3)①5；②或 【分析】本题考查了数轴和绝对值、一元一次方程的解法，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义． （1）利用数轴知识解答； （2）根据绝对值方程可进行求解； （3）利用数轴知识和绝对值的定义解答． 【详解】（1）解：， ，， ，， 故答案为：，2； （2）解：， 或， 的值为8或； （3）解：①点在点、之间， 的值为； ②， 点在点的右边或点在点的左边， 当点在右边时， ， ， 当点在左边时， ， ， 的值为或． 题型五 以注重过程性学习的形式考查一元一次方程（易错） 12．（23-24七年级上·山东菏泽·期末）下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应问题． ． 解：去分母，得，第一步 去括号，得，第二步 移项，得，第三步 合并同类项，得，第四步 方程两边同除以，得．第五步 问题（1）：以上解题过程中，第一步是依据______进行变形的；第二步是依据______（运算律）进行变形的． 问题（2）：第______步开始出现错误，这一步的错误的原因是______． 问题（3）：请写出该方程的正确解答过程． 【答案】（1）等式的性质2，乘法的分配律 （2）三；移项没变号 （3）过程见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程： （1）根据等式两边同时乘上12，以及结合乘法的分配律的性质，即可作答． （2）观察移项前后符号的变化情况，即可作答． （3）结合解一元一次方程的过程，先去分母再去括号，移项，合并同类项，系数化1，即可作答． 【详解】解：（1）依题意，∵等式两边同时乘上12， ∴第一步是依据等式的性质2进行变形的； ∵去括号过程中，括号前的数值与括号每项相乘， ∴第二步是依据乘法的分配律（运算律）进行变形的； （2）观察式子，第三步开始出现错误，这一步的错误的原因是移项没变号； （3）原式去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得 方程两边同除以，得． 13．（21-22七年级上·山东滨州·期末）学习了一元一次方程的解法后，老师布置了这样一道计算题，甲、乙两位同学的解答过程分别如下： 甲同学： 解方程． 解：      第①步       第②步       第③步       第④步       第⑤步 ．     第⑥步 乙同学： 解方程． 解：     第①步       第②步       第③步      第④步           第⑤步 ．         第⑥步 老师发现这两位同学的解答过程都有错误，请回答以下问题： (1)甲同学的解答过程从第__________步开始出现错误（填序号）； (2)乙同学的解答过程从第__________步开始出现错误（填序号）；错误的原因是_________________________． (3)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)③ (2)①，错用等式的性质2（方程两边漏乘） (3) 【分析】准确运用一元一次方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1，即可得出答案． 【详解】（1）去括号后是，故甲同学第③步错误； （2）乙同学第①步中的1漏乘，应为，故乙同学第①步错误，理由是错用等式的性质2（方程两边漏乘）． （3）解：方程两边同乘以12得： 去括号，得： 移项，得： 合并，得： 系数化1，得： 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法步骤，其中准确去括号、去分母是本题的关键点． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）下面是小聪解方程的过程． 解：去括号，得．…（第一步） 移项，得．…（第二步） 合并同类项，得．…（第三步） 方程两边同时除以5，得．…（第四步） 根据解答过程完成下列任务． （1）任务一：第_______步开始出现错误，这一步错误的原因是_______； （2）任务二：请你根据平时解一元一次方程的经验，再给其他同学提一条建议_______； （3）任务三：请你细心地解下列方程： ． 【答案】（1）一；括号前面是“”号，去括号时括号内的每一项都要变号，没有变号 （2）移项时要变号 （3） 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为． （1）根据去括号法则判断即可得出答案； （2）根据解题的经验给出建议即可（答案不唯一）； （3）按照解一元一次方程的一般步骤解方程即可． 【详解】解：（1）根据题意，小聪在第一步就出现了错误，原因是括号前面是“”号，去括号时括号内的每一项都要变号，没有变号， 故答案为：一；括号前面是“”号，去括号时括号内的每一项都要变号，没有变号； （2）根据解题的经验，给出建议为：移项时要变号， 故答案为：移项时要变号； （3）， 去括号，得： ， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：． 题型六 已知一元一次方程的解，求参数 15．（24-25七年级下·甘肃天水·阶段练习）已知，，关于的方程的解为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减混合运算，一元一次方程的解以及解一元一次方程，掌握方程的解使原方程等式左右两边相等是解题关键．先根据整式加减运算法则求出，进而得到关于的方程，再将方程的解代入，即可求出的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即 ∵该方程的解为， ∴， 解得：，即m的值是． 16．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）小艺在解关于x的方程时，误将看作，得出方程的解为． (1)请帮小艺求出c的值． (2)请帮小艺求出方程正确的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查方程的解． （1）把代入错误方程中计算即可求出c的值； （2）把c的值代入方程，求出解即可． 【详解】（1）解：把代入看错的方程中， 得， 解得； （2）解：把代入原方程，得． 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得． 17．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）已知关于的方程的解是正整数，求符合条件的所有整数的和． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解．先根据等式的性质求出方程的解，根据方程的解为非整数得出m的值，进而得出答案． 【详解】解：      因为方程的解是正整数   则的值为1，2，5，10 所以的值为 所以， 所以符合条件的所有整数的和为． 题型七 已知一元一次方程解的关系，求参数（重点） 18．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）已知关于x的方程，若该方程的解与方程的解互为相反数，求m的值． 【答案】m的值为0 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，相反数的定义，先解方程得出，得出方程的解为，把代入解关于m的方程即可． 【详解】解：， 解得：， ∵方程的解为与方程的解互为相反数， ∴方程的解为， 把代入方程，得： ， 解得：． 故m的值为0． 19．（22-23七年级下·河南新乡·阶段练习）已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值； (2)若已知方程与方程的解互为相反数，求b的值； (3)若已知方程与关于x的方程的解相同，求b的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一元一次方程的定义进行计算即可； （2）先求出方程的解为，然后把代入原方程中进行计算即可； （3）求出两个方程的解，根据同解方程的定义列出关于的方程即可． 【详解】（1）解：由题意得： 且， 且， ， 的值为； （2）解：， ， ， 已知方程与方程的解互为相反数， 把，代入中可得： ， ， 的值为：； （3）解：把代入中可得： ， ， ， ， 已知方程与关于的方程的解相同， ， 解得： 的值为：． 【点睛】本题考查了同解方程，一元一次方程的定义，绝对值，熟练掌握一元一次方程的定义，是解题的关键． 20．（22-23七年级上·山东德州·期末）当m为何值时，关于x的方程的解比关于x的方程的解大2？ 【答案】 【分析】将m看作已知数解关于x的方程，得出两个方程的解，根据两个方程解的关系列出关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由题意得：， 解得： 答：m的值为． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是用m表示出方程的解． 21．（20-21六年级上·山东烟台·期末） (1)已知关于x的方程是关于x的一元一次方程，求的值； (2)已知：方程2-3（x+1）＝8的解与关于x的方程-k+5＝-2x的解互为倒数，求k的值． 【答案】(1)k-x= (2) 【分析】（1）根据一元一次方程的定义得出k的值，求出x的值，最后代入k-x求值即可； （2）先解方程2-3（x+1）＝8，得出x的值，再把x的值代入-k+5＝-2x，求出k的值即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴， ∴k=2，或k=0， 当k=2时，k-2=0，（不符合题意，舍去） ∴k=0， 把k=0代入方程得：-2x+1=0， 解得x=， ∴=0-=-． （2）2-3（x+1）＝8， 2-3x-3=8， x=-3， 由题意将x=代入方程-k+5＝-2x得： 解得：， ∴k的值为． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义、解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤、绝对值的意义、倒数的定义是解题的关键． 题型八 与一元一次方程有关的新定义问题（难点） 22．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）对于有理数定义一种新运算“※”，规定：，例如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，新定义运算，解题的关键是熟练掌握新定义． （1）根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可； （2）首先根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，根据题意列出方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：根据题意，得， 即， 解得． 23．（24-25七年级上·河北保定·期末）阅读下列材料，并完成相应的任务． 定义：如果两个一元一次方程的解的和为，我们就称这两个方程为“美好方程”． 例如：方程的解为，方程的解为；，所以方程与方程为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否为“美好方程”，并说明理由； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值． 【答案】(1)是“美好方程”，理由见解析 (2) 【分析】（）先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义进行判断即可； （）先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义得出，求出的值即可； 本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算． 【详解】（1）解：方程与方程是“美好方程”，理由如下： 解方程，得， 解方程，得， ∵， ∴方程与方程是“美好方程”； （2）解：解方程，得， 解方程，得， ∵关于的方程与方程是“美好方程”， ∴， ∴． 24．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）对于整数m，n，定义一种新的运算“⊙”：当为偶数时，规定；当为奇数时，规定， (1)当，时， ； (2)已知a、b为正整数，，求的值． (3)已知a为正整数，且满足，求a的值． 【答案】(1)10 (2) (3)6或15 【分析】根据m和n判断其和为偶数，利用新的运算法则计算即可； 首先判断和的和为奇数，利用新的运算法则化简，结合题意可得为正去绝对值得到，整体代入即可求得代数式的值； 首先得到，必为偶数，则；当a为偶数时，也为偶数，；当a为奇数时，也为奇数， ，分别解得a即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：10； （2）∵为奇数， ∴ ， ∵a、b为正整数， ∴，解得， 则． （3）∵，必为偶数， ∴； 当a为偶数时，，也为偶数，， 解得：； 当a为奇数时，，也为奇数， ，解得：． 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查新定义下的整式混合运算、有理数混合运算、绝对值的性质、求解代数式的值和解一元一次方程，解题的关键是熟练合并同类项和绝对值的性质，以及应用分类讨论思想． 25．（23-24六年级上·山东烟台·期末）【阅读材料】 在学习一元一次方程后，数学老师给出一个新定义：若x是关于x的一元一次方程的解，y是关于y的方程的解或所有解的其中一个解，且x，y满足，则称关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”． 例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或．当时，，所以是一元一次方程的“友好方程”． 【问题解决】 (1)已知关于y的方程：①；②．请通过计算说明哪个方程是一元一次方程的“友好方程”？ (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”，求a的值． 【答案】(1)②是的“友好方程” (2)或 【分析】本题主要考查新定义下解一元一次方程以及绝对值的应用， 首先解得x的值，再分别求得y的值，进一步判断“友好方程”； 首先求得y的值，再分别求得与其“友好方程”的x的值，进一步求得a即可． 【详解】（1）解：由，解得， 由，解得， ∵， ∴①不是的“友好方程”． 方程的解是或． 当时，，则②是的“友好方程”． （2）方程的解是或． 当时，由题意，得， 将代入，得，解得， 当时，由题意得， 将代入，得，解得． 则a的值为或． 26．（21-22六年级上·山东济宁·期末）[现场学习] 定义：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”． 如：|x|＝2，|2x﹣1|＝3，||﹣x＝2，…都是含有绝对值的方程． 怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程． 我们知道，根据绝对值的意义，由|x|＝2，可得x＝2或x＝﹣2． [例]解方程：|2x﹣1|＝3． 我们只要把2x﹣1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题． 解：根据绝对值的意义，得2x﹣1＝3或2x﹣1＝-3． 解这两个一元一次方程，得x＝2或x＝﹣1； 经检验可知，原方程的解是x＝2或x＝﹣1． [解决问题] 解方程：||﹣x＝2． 解：根据绝对值的意义，得 ＝　 　或＝　 　， 解这两个一元一次方程，得x＝　 　或x＝　 　， 经检验可知，原方程的解是 　 　． [学以致用] 解方程：|2x+1|＝|5x﹣6|． 【答案】[解决问题]：2+x，﹣2﹣x，﹣5，﹣1，x＝﹣5或x＝﹣1，[学以致用]：或 【分析】[解决问题]根据题目中的例子及绝对值的意义求解即可得； [学以致用]考虑两个绝对值相等，则这两个数或（代数式）相等或互为相反数，求解即可得． 【详解】[解决问题]：， ， 根据绝对值的意义，得： 或， 解这两个一元一次方程，得或， 经检验可知，原方程的解为或， 故答案为：；；；；或； [学以致用] ， 或， 解这两个一元一次方程，得：或， 经检验可知，原方程的解为或． 【点睛】题目主要考查绝对值的意义及解一元一次方程，理解题目中的例题，结合绝对值的意义是解题关键． 题型九 一元一次方程与实际问题（重点） 27．（24-25七年级上·山东菏泽·期末）2024年巴黎奥运会，跳水小将全红婵表现出色，收获了2枚金牌．某跳水爱好粉丝团，在女子双人10米台跳水比赛前准备给全红婵送绿龟礼物，第一次购买了10个绿龟玩偶和10个绿龟挂件，共花费了1400元，已知玩偶的单价比挂件贵50元． (1)第一次购买时，绿龟玩偶和绿龟挂件的单价分别是多少元？ (2)在第二场女子10米台跳水比赛时，跳水爱好粉丝团又组织了一次购买，第二次购买在第一次购买的基础上，挂件单价优惠了a元，玩偶单价优惠了5a元．已知购买总费用不变，挂件的个数也不变，玩偶比挂件多了3个，请求出a的值． 【答案】(1)绿龟玩偶的单价为95元，则绿龟挂件的单价为45元 (2) 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题，读懂题意，找到等量关键是解题的关键． （1）设绿龟玩偶的单价为x元，则绿龟挂件的单价为元，根据“第一次购买了10个绿龟玩偶和10个绿龟挂件，共花费了1400元”即可列出方程，求解即可． （2）根据题意得到第二次购买时，玩偶的单价为元，挂件的单价为元，购买挂件10个，玩偶13个，根据“购买总费用不变”即可列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设绿龟玩偶的单价为x元，则绿龟挂件的单价为元，根据题意，得 ， 解得， ∴， 答：绿龟玩偶的单价为95元，则绿龟挂件的单价为45元． （2）解：根据题意，得 ， 解得． 28．（24-25七年级上·山东聊城·期末）为迎接元旦，某工厂要制作一批礼盒，每个礼盒由2个A盲盒和3个B盲盒组成．已知工厂有17名技术工人，平均每人每天可加工A盲盒24个或B盲盒15个． (1)应如何分配工人才能使每天生产的A盲盒和B盲盒配套？ (2)若每套礼盒成本为200元，按标价的八折出售，所得利润率为，则每套礼盒的标价是多少元？ 【答案】(1)A盲盒5人，B盲盒12人 (2)280 元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键； （1）设有名工人生产盲盒，则有名工人生产盲盒，根据每个礼盒由2个A盲盒和3个B盲盒组成，平均每人每天可加工A盲盒24个或B盲盒15个，列出方程进行求解即可； （2）设每套礼盒的标价为元，根据利润等于售价减成本，等于成本乘以利润率，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设有名工人生产盲盒，则有名工人生产盲盒． 根据题意得 解得 ， ； 答：应分配 5 名工人生产 盲盒，12 名工人生产 盲盒． （2）设每套礼盒的标价为 元， 根据题意得： ， 解得：； 答：每套礼盒的标价为 280 元． 29．（24-25六年级上·山东淄博·期末）用灰、白两种颜色的正方形地砖，按如图所示的规律拼成图案．    (1)在第4个图案中，白色地砖有________块，灰色地砖有_______块； (2)第（为正整数）个图案中，白色地砖有________块，灰色地砖有_______块； (3)第100个图案中，白色地砖比灰色地砖多几块？ (4)已知每个小正方形的边长为，若学校用第个图案铺设长为的长廊，则需要灰色地砖多少块？ 【答案】(1)23，4 (2)， (3)403 (4)40 【分析】本题考查的是图形类的规律探究，一元一次方程的应用，掌握探究的方法是解本题的关键； （1）分别计算前面3个图形的白色和灰色地砖的数量，然后找到规律求解即可； （2）由前面几个图形白色和灰色地砖的数量，总结规律即可； （3）将代入求出白色地砖的数量和灰色地址的数量，进而求解即可； （4）首先根据题意求出第n个图案的长为，然后得到，求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：由图形可知： 在第1个图案中，白色地砖有块，灰色地砖有1块； 在第2个图案中，白色地砖有块，灰色地砖有2块； 在第3个图案中，白色地砖有块，灰色地砖有3块； ∴在第4个图案中，白色地砖有块，灰色地砖有4块； （2）由（1）可得， 第（为正整数）个图案中，白色地砖有块，灰色地砖有块； （3）由（2）可得，当时， ∴第100个图案中，白色地砖有块，灰色地砖有100块； ∴ ∴第100个图案中，白色地砖比灰色地砖多403块； （4）∵第1个图案的长为； 第2个图案的长为； 第3个图案的长为； ∴第n个图案的长为； ∴当时，解得 ∴需要灰色地砖40块． 30．（24-25七年级上·河南信阳·阶段练习）“曹冲称象”的故事取材于《三国志》，故事中的称象方案是这样的：先将象牵到船上，并在船的侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个体重相同的士兵，这时水位恰好在标记位置；如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个士兵，水位在标记位置不变，已知每块条形石的质量都是140千克．设每个士兵的体重是x千克． (1)可列出等量关系：20块条形石的质量个士兵的体重=_______块条形石的质量+_______个士兵的体重． (2)求x的值． (3)象的质量是_______千克． 【答案】(1)21，1 (2) (3)3010 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，正确理解题意，找出等量关系是解题关键， （1）根据题意得增加1块条石留下1个士兵即相等，完成解答； （2）根据等量关系列方程并解方程即可解决； （3）根据象的重量等于20块等重的条形石加上3个体重相同的士兵重量之和计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：“20块条形石的重量”+“3个士兵的体重”=“21块条形石的重量”+“1个士兵的体重”， 故答案为：21，1； （2）解：由题意得： 解得：； （3）解：象的重量千克， 故答案为：3010． 31．（24-25七年级上·山东德州·期末）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价80元，利润率为；乙种商品每件进价40元． (1)甲种商品每件的进价为______元． (2)若该商场问时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2100元，求购进甲种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对甲种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小明购买了甲种商品，实际付款432元，求小明在该商场购买甲种商品多少件？ 【答案】(1)50 (2)10件 (3)6 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设甲种商品每件的进价为元，根据题意可得，求解即可获得答案； （2）设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，根据题意列出方程并求解，即可获得答案； （3）设小明购买了甲种商品件，可分小明购买甲种商品的原售价超过380元，但不超过500元和购买甲种商品的原售价超过500元两种情况，分别列方程并求解，并结合生活实际，即可获得答案． 【详解】（1）解：设甲种商品每件的进价为元， 根据题意，可得， 解得（元）， 所以，甲种商品每件的进价为50元． 故答案为：50； （2）设购进甲种商品件，则购进乙种商品件， 根据题意，可得 ， 解得 ， 所以，购进甲种商品10件； （3）根据题意，小明购买了甲种商品，实际付款432元， 设小明购买了甲种商品件，可分两种情况讨论， ①若小明购买甲种商品的原售价超过380元，但不超过500元， 则有，解得 ， 即购买了甲种商品6件； ②若小明购买甲种商品的原售价超过500元， 则有，解得 ，不合题意，舍去． 综上所述，明购买了甲种商品6件． 32．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）运用一元一次方程解答． 西安到延安的距离约是300千米，一辆货车从西安出发开往延安，另一辆轿车从延安出发开往西安，若轿车的平均速度为每小时90千米，货车的平均速度为每小时60千米． (1)若两车同时出发，则它们经过多少小时相遇？ (2)若货车先行驶60千米，则轿车要开出多少小时才能与货车相遇？ 【答案】(1)它们经过个小时相遇 (2)轿车要开出个小时才能与货车相遇 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，列出方程是解题的关键： （1）设它们经过小时相遇，根据相遇时两车的路程之和为300千米，列出方程进行求解即可； （2）设轿车要开出小时才能与货车相遇，根据两个相遇时所走的路程加上货车先行驶的路程等于300千米，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设它们经过小时相遇，由题意，得： ， 解得：； 答：它们经过小时相遇； （2）设轿车要开出小时才能与货车相遇，由题意，得： ， 解得：； 答：轿车要开出个小时才能与货车相遇． 题型十 一元一次方程与数轴综合（压轴） 33．（24-25六年级上·山东济南·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，在数轴上，若C点到A点的距离刚好是5，则C点叫做A点的“幸运点”；若C点到A、B两点的距离之和为10，则C点叫做A、B两点的“幸运中心”．点A所表示的数为0，点B表示的数为6． (1)如图1，点A的“幸运点”C所表示的数是____________； (2)如图2，若点C在点B的右边，且点C是A、B两点的“幸运中心”，求点C表示的数； (3)如图3，点C表示的数是10，若点C以1个单位长度/秒的速度向左运动，经过多长时间后，点C是点A、点B的“幸运中心”？ 【答案】(1)5或 (2)8 (3)2秒或12秒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上的两点之间距离，数轴上的动点问题，正确理解新定义是解题的关键． （1）设点A的“幸运点”C所表示的数是，根据定义得到，即可求解； （2）设点C表示的数为,根据定义得到，解方程即可； （3）设经过秒后，点C是点A、点B的“幸运中心”，则点C表示的数为由题意得：，然后分类讨论，去绝对值，解方程即可． 【详解】（1）解：设点A的“幸运点”C所表示的数是， 由题意得：， 解得：， ∴点A的“幸运点”C所表示的数是5或， 故答案为：5或 （2）解：设点C表示的数为, 由题意得：， 解得：， ∴点C表示的数是8； （3）解：设经过秒后，点C是点A、点B的“幸运中心”，则点C表示的数为 由题意得：， 即， 当时，，解得：； 当时，，此方程无解； 当时，，解得：， 综上所述：经过2秒或12秒后，点C是点A、点B的“幸运中心”． 34．（24-25六年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在数轴上有这三个点．点表示的数是， (1)点表示的数是__________． (2)将数轴对折，此时点与点刚好重合，折痕与数轴交于点，求点表示的数． (3)若点到点和点的距离之和为，求点所表示的数． (4)点和点同时从初始位置沿数轴向右运动，它们的速度分别是每秒个单位长度和每秒个单位长度，运动时间是秒．是否存在的值，使秒后点到原点的距离与点到原点的距离相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)存在，的值为或 【分析】本题考查了数轴和有理数，两点间距离，一元一次方程的应用，掌握两点间距离公式是解题的关键． （）根据数轴即可求解； （）设点表示的数为，由题意可知，点为线段的中点，利用两点间距离公式列出方程即可求解； （）由可得点不可能在点之间，设点表示的数为，分点在点左侧和右侧两种情况利用两点间距离公式列出方程解答即可求解； （）分点在原点两侧和同侧两种情况利用两点间距离公式列出方程解答即可求解； 【详解】（1）解：由数轴可得，点表示的数是， 故答案为：； （2）解：设点表示的数为，由题意可知，点为线段的中点， ∴， ∴， ∴点表示的数为； （3）解：∵， ∴点不可能在点之间， 设点表示的数为， 当点在点左侧时，由题意可得，， 解得； 当点在点右侧时，由题意可得，， 解得； 综上，点所表示的数为或； （4）解：存在． 当点在原点两侧时，由题意得，， 解得； 当点在原点同侧时，即点重合时，由题意得，， 解得； 综上，存在的值为或时，点到原点的距离与点到原点的距离相等． 35．（24-25六年级上·山东威海·期中）如图点、在数轴上分别表示有理数、，且．请回答以下问题： (1)点A表示的数为______，点表示的数为______，到A，B距离相等的点对应的数是______． (2)若点对应的数为，只移动点，要使得A，，其中一点到另两点之间的距离相等，请写出所有的移动方法． (3)若点从A点出发，以每秒个单位长度的速度向左做匀速运动，点从出发，以每秒个单位长度的速度向左做匀速运动，，同时运动，则运动时间为多少，点和点重合？并求出此时P或Q表示的数是多少？ 【答案】(1)；； (2)A点到B、C两点的距离相等，C向左移动5个单位或向右移动7个单位；B到A，C的距离相等时，C向右移动13个单位或1个单位；C到A，B的距离相等时，C向右移动4个单位 (3)当时，点和点重合，此时P或Q表示的数是 【分析】本题主要考查了数轴，非负数的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，熟练掌握数轴上两点间距离公式． （1）利用非负数的性质求出，得出结果即可； （2）分情况讨论C点的运动，再根据距离来判断符合题意的可能情况； （3）设点P运动t秒，用t表示出点P和Q，然后应用一元一次方程，解决问题即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∴点A表示的数为，点B表示的数为4， A，B中点对应的数为：， 故答案为：；4；1． （2）解：∵点C对应的数为， ∴当C点移动到位置时，A点到B、C两点的距离相等，都是6，此时点C需要向左移动个单位； 当C点移动到1位置时，C点到B、A两点的距离相等，都是3，此时点C需要向右移动个单位； 当C点移动到10位置时，B点到A、C两点的距离相等，都是6，此时点C需要向右移动个单位； 当C点与A重合时，B点到A、C两点的距离相等，都是6，此时点C需要向右移动个单位； 当C点与B重合时，A点到B、C两点的距离相等，都是6，此时点C需要向右移动个单位． （3）解：设运动时间为t秒，则点P表示的数为，点Q表示的数为，根据题意得： ， 解得：， ∴当时，点P和点Q重合； 此时，点P表示的数为：． $$专题02 一元一次方程（10大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 根据一元一次方程的定义求参数（易错） · 题型二 利用等式的性质解方程（高频） · 题型三 选择合适的方法解一元一次方程（高频） · 题型四 解含绝对值方程（难点） · 题型五 以注重过程性学习的形式考查一元一次方程（易错） · 题型六 已知一元一次方程的解，求参数 · 题型七 已知一元一次方程解的关系，求参数（重点） · 题型八 与一元一次方程有关的新定义问题（难点） · 题型九 一元一次方程与实际问题（重点） · 题型十 一元一次方程与数轴综合（压轴） 题型一 根据一元一次方程的定义求参数（易错） 1．（23-24六年级上·山东东营·期末）已知方程是关于的一元一次方程，则的值为 ． 2．（24-25七年级上·四川巴中·期末）如果关于x的方程是一元一次方程，则 ． 题型二 利用等式的性质解方程（高频） 3．（20-21六年级上·山东泰安·课后作业）用等式性质解下列方程，并检验． （1）； （2）． 4．（2024七年级上·江苏·专题练习）回答下列问题，并说明变形的根据： (1)怎样从等式得到等式？ (2)怎样从等式得到等式？ (3)怎样从等式得到等式？ 5．（2024七年级上·浙江·专题练习）在下列各题的横线上填上适当的数或整式，使所得结果仍是等式，并说明变形是根据等式的哪一条性质以及是怎样变形的． (1)如果，那么 ，根据 ； (2)如果，那么 ，根据 ； (3)如果，那么 ，根据 ； (4)如果 ，那么 ，根据 ． 题型三 选择合适的方法解一元一次方程（高频） 6．（24-25六年级下·山东东营·阶段练习）解下列方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 7．（24-25六年级下·山东威海·阶段练习）解方程 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 8．（24-25六年级下·山东淄博·阶段练习）解方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 题型四 解含绝对值方程（难点） 9．（24-25七年级上·山东德州·期中）阅读下面材料： 我们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： 【知识应用】 （1）求_____； （2）同样道理表示数轴上有理数所对点到和所对的两点距离相等，则_____； （3）类似的表示数轴上有理数所对点到和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的正整数，使得，这样的正整数是_____； 【拓展应用】 （4）由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． （5）思考当为何值时，，请求出符合条件的的值． 10．（24-25七年级上·山东滨州·期末）解方程：． 解：①当时，解得；②当时，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)解方程：； (3)探究：当b分别为何值时？方程， ①无解；    ②只有一个解；    ③有两个解． 11．（24-25六年级上·山东淄博·期中）已知点A在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，且，之间的距离记为或，请回答问题： (1)直接写出的值，______，______； (2)设点在数轴上对应的数为，若，求的值； (3)如图，点是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为，动点表示的数为． ①若点在点之间，求的值； ②若，求的值． 题型五 以注重过程性学习的形式考查一元一次方程（易错） 12．（23-24七年级上·山东菏泽·期末）下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应问题． ． 解：去分母，得，第一步 去括号，得，第二步 移项，得，第三步 合并同类项，得，第四步 方程两边同除以，得．第五步 问题（1）：以上解题过程中，第一步是依据______进行变形的；第二步是依据______（运算律）进行变形的． 问题（2）：第______步开始出现错误，这一步的错误的原因是______． 问题（3）：请写出该方程的正确解答过程． 13．（21-22七年级上·山东滨州·期末）学习了一元一次方程的解法后，老师布置了这样一道计算题，甲、乙两位同学的解答过程分别如下： 甲同学： 解方程． 解：      第①步       第②步       第③步       第④步       第⑤步 ．     第⑥步 乙同学： 解方程． 解：     第①步       第②步       第③步      第④步           第⑤步 ．         第⑥步 老师发现这两位同学的解答过程都有错误，请回答以下问题： (1)甲同学的解答过程从第__________步开始出现错误（填序号）； (2)乙同学的解答过程从第__________步开始出现错误（填序号）；错误的原因是_________________________． (3)请写出正确的解答过程． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）下面是小聪解方程的过程． 解：去括号，得．…（第一步） 移项，得．…（第二步） 合并同类项，得．…（第三步） 方程两边同时除以5，得．…（第四步） 根据解答过程完成下列任务． （1）任务一：第_______步开始出现错误，这一步错误的原因是_______； （2）任务二：请你根据平时解一元一次方程的经验，再给其他同学提一条建议_______； （3）任务三：请你细心地解下列方程： ． 题型六 已知一元一次方程的解，求参数 15．（24-25七年级下·甘肃天水·阶段练习）已知，，关于的方程的解为，求的值． 16．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）小艺在解关于x的方程时，误将看作，得出方程的解为． (1)请帮小艺求出c的值． (2)请帮小艺求出方程正确的解． 17．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）已知关于的方程的解是正整数，求符合条件的所有整数的和． 题型七 已知一元一次方程解的关系，求参数（重点） 18．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）已知关于x的方程，若该方程的解与方程的解互为相反数，求m的值． 19．（22-23七年级下·河南新乡·阶段练习）已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值； (2)若已知方程与方程的解互为相反数，求b的值； (3)若已知方程与关于x的方程的解相同，求b的值． 20．（22-23七年级上·山东德州·期末）当m为何值时，关于x的方程的解比关于x的方程的解大2？ 21．（20-21六年级上·山东烟台·期末） (1)已知关于x的方程是关于x的一元一次方程，求的值； (2)已知：方程2-3（x+1）＝8的解与关于x的方程-k+5＝-2x的解互为倒数，求k的值． 题型八 与一元一次方程有关的新定义问题（难点） 22．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）对于有理数定义一种新运算“※”，规定：，例如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 23．（24-25七年级上·河北保定·期末）阅读下列材料，并完成相应的任务． 定义：如果两个一元一次方程的解的和为，我们就称这两个方程为“美好方程”． 例如：方程的解为，方程的解为；，所以方程与方程为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否为“美好方程”，并说明理由； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值． 24．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）对于整数m，n，定义一种新的运算“⊙”：当为偶数时，规定；当为奇数时，规定， (1)当，时， ； (2)已知a、b为正整数，，求的值． (3)已知a为正整数，且满足，求a的值． 25．（23-24六年级上·山东烟台·期末）【阅读材料】 在学习一元一次方程后，数学老师给出一个新定义：若x是关于x的一元一次方程的解，y是关于y的方程的解或所有解的其中一个解，且x，y满足，则称关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”． 例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或．当时，，所以是一元一次方程的“友好方程”． 【问题解决】 (1)已知关于y的方程：①；②．请通过计算说明哪个方程是一元一次方程的“友好方程”？ (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”，求a的值． 26．（21-22六年级上·山东济宁·期末）[现场学习] 定义：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”． 如：|x|＝2，|2x﹣1|＝3，||﹣x＝2，…都是含有绝对值的方程． 怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程． 我们知道，根据绝对值的意义，由|x|＝2，可得x＝2或x＝﹣2． [例]解方程：|2x﹣1|＝3． 我们只要把2x﹣1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题． 解：根据绝对值的意义，得2x﹣1＝3或2x﹣1＝-3． 解这两个一元一次方程，得x＝2或x＝﹣1； 经检验可知，原方程的解是x＝2或x＝﹣1． [解决问题] 解方程：||﹣x＝2． 解：根据绝对值的意义，得 ＝　 　或＝　 　， 解这两个一元一次方程，得x＝　 　或x＝　 　， 经检验可知，原方程的解是 　 　． [学以致用] 解方程：|2x+1|＝|5x﹣6|． 题型九 一元一次方程与实际问题（重点） 27．（24-25七年级上·山东菏泽·期末）2024年巴黎奥运会，跳水小将全红婵表现出色，收获了2枚金牌．某跳水爱好粉丝团，在女子双人10米台跳水比赛前准备给全红婵送绿龟礼物，第一次购买了10个绿龟玩偶和10个绿龟挂件，共花费了1400元，已知玩偶的单价比挂件贵50元． (1)第一次购买时，绿龟玩偶和绿龟挂件的单价分别是多少元？ (2)在第二场女子10米台跳水比赛时，跳水爱好粉丝团又组织了一次购买，第二次购买在第一次购买的基础上，挂件单价优惠了a元，玩偶单价优惠了5a元．已知购买总费用不变，挂件的个数也不变，玩偶比挂件多了3个，请求出a的值． 28．（24-25七年级上·山东聊城·期末）为迎接元旦，某工厂要制作一批礼盒，每个礼盒由2个A盲盒和3个B盲盒组成．已知工厂有17名技术工人，平均每人每天可加工A盲盒24个或B盲盒15个． (1)应如何分配工人才能使每天生产的A盲盒和B盲盒配套？ (2)若每套礼盒成本为200元，按标价的八折出售，所得利润率为，则每套礼盒的标价是多少元？ 29．（24-25六年级上·山东淄博·期末）用灰、白两种颜色的正方形地砖，按如图所示的规律拼成图案．    (1)在第4个图案中，白色地砖有________块，灰色地砖有_______块； (2)第（为正整数）个图案中，白色地砖有________块，灰色地砖有_______块； (3)第100个图案中，白色地砖比灰色地砖多几块？ (4)已知每个小正方形的边长为，若学校用第个图案铺设长为的长廊，则需要灰色地砖多少块？ 30．（24-25七年级上·河南信阳·阶段练习）“曹冲称象”的故事取材于《三国志》，故事中的称象方案是这样的：先将象牵到船上，并在船的侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个体重相同的士兵，这时水位恰好在标记位置；如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个士兵，水位在标记位置不变，已知每块条形石的质量都是140千克．设每个士兵的体重是x千克． (1)可列出等量关系：20块条形石的质量个士兵的体重=_______块条形石的质量+_______个士兵的体重． (2)求x的值． (3)象的质量是_______千克． 31．（24-25七年级上·山东德州·期末）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价80元，利润率为；乙种商品每件进价40元． (1)甲种商品每件的进价为______元． (2)若该商场问时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2100元，求购进甲种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对甲种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小明购买了甲种商品，实际付款432元，求小明在该商场购买甲种商品多少件？ 32．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）运用一元一次方程解答． 西安到延安的距离约是300千米，一辆货车从西安出发开往延安，另一辆轿车从延安出发开往西安，若轿车的平均速度为每小时90千米，货车的平均速度为每小时60千米． (1)若两车同时出发，则它们经过多少小时相遇？ (2)若货车先行驶60千米，则轿车要开出多少小时才能与货车相遇？ 题型十 一元一次方程与数轴综合（压轴） 33．（24-25六年级上·山东济南·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，在数轴上，若C点到A点的距离刚好是5，则C点叫做A点的“幸运点”；若C点到A、B两点的距离之和为10，则C点叫做A、B两点的“幸运中心”．点A所表示的数为0，点B表示的数为6． (1)如图1，点A的“幸运点”C所表示的数是____________； (2)如图2，若点C在点B的右边，且点C是A、B两点的“幸运中心”，求点C表示的数； (3)如图3，点C表示的数是10，若点C以1个单位长度/秒的速度向左运动，经过多长时间后，点C是点A、点B的“幸运中心”？ 34．（24-25六年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在数轴上有这三个点．点表示的数是， (1)点表示的数是__________． (2)将数轴对折，此时点与点刚好重合，折痕与数轴交于点，求点表示的数． (3)若点到点和点的距离之和为，求点所表示的数． (4)点和点同时从初始位置沿数轴向右运动，它们的速度分别是每秒个单位长度和每秒个单位长度，运动时间是秒．是否存在的值，使秒后点到原点的距离与点到原点的距离相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 35．（24-25六年级上·山东威海·期中）如图点、在数轴上分别表示有理数、，且．请回答以下问题： (1)点A表示的数为______，点表示的数为______，到A，B距离相等的点对应的数是______． (2)若点对应的数为，只移动点，要使得A，，其中一点到另两点之间的距离相等，请写出所有的移动方法． (3)若点从A点出发，以每秒个单位长度的速度向左做匀速运动，点从出发，以每秒个单位长度的速度向左做匀速运动，，同时运动，则运动时间为多少，点和点重合？并求出此时P或Q表示的数是多少？ $$