8.4～8.5抽签方法合理吗+概率帮你做估计（2大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

8.4　抽签方法合理吗 8.5　概率帮你做估计（二大题型提分练） 题型一 用概率判断游戏规则是否公平 1．甲、乙两人玩一个游戏，判定这个游戏公平的标准是（    ） A．游戏的规则由甲方确定 B．游戏的规则由乙方确定 C．游戏的规则由甲、乙双方商定 D．甲、乙双方赢的概率相等 【答案】D 【解析】根据游戏是否公平不在于谁定游戏规则，游戏共是否公平的取决于游戏双方要各有50%赢的机会， A.游戏的规则由甲方确定，故此选项错误； B. 游戏的规则由乙方确定，故此选项错误； C. 游戏的规则由甲乙双方商定，故此选项错误； D. 游戏双方赢的概率相等，故此选项正确. 故选：D. 2．一个不透明的箱子中放有红色、黄色、黑色三种小球，三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回，摸出红色、黄色小球得0分，摸出黑色小球得1分，得分高者获胜，则这个游戏（    ） A．公平 B．不公平 C．先摸者赢的可能性大 D．后摸者赢的可能性大 【解析】∵一个箱子中放有红、黄、黑三种小球，三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回， ∴三个人摸到每种球的概率均相等，故这个游戏是公平的. 故选：A. 3．小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个正整数，然后都拿给对方看．他们约定：若两人所写的数都是奇数或都是偶数，则小明获胜；若两个人所写的数一个是奇数，另一个是偶数，则小亮获胜．这个游戏（　　） A．对小明有利 B．对小亮有利 C．游戏公平 D．无法确定对谁有利 【答案】C 【解析】根据游戏规则，总结果有4种，分别是奇偶，偶奇，偶偶，奇奇； 由此可得两人获胜的概率相等，故游戏公平， 故选：C. 4．“十•一”假期，某超市为了吸引顾客，设立了一个转盘游戏进行摇奖活动，并规定顾客每购买200元商品，就获得一次转盘机会，小亮根据摇奖情况制作了一个统计图（如图），请你求出每转动一次转盘获得购物券的平均数是（　　）    A．43.5元 B．26元 C．18元 D．43元 【答案】B 【解析】解：根据题意得：每转动一次转盘获得购物券的平均数＝100×10%+50×20%+20×30%+0×40%＝26元． 故选：B． 5．甲、乙两人投掷两个普通的正方体骰子，规定掷出“和为”算甲赢，掷出“和为”算乙赢，这个游戏是否公平？（      ） A．公平 B．对甲有利 C．对乙公平 D．不能判断 【答案】B 【解析】两骰子上的数字之和是7的有3+4=7；4+3=7，2+5=7；5+2=7，1+6=7；6+1=7共6种情况，和为8的有2+6=8；6+2=8，3+5=8；5+3=8；4+4=8共5种情况，甲赢的概率大， 故选：B． 6．小亮和小刚按如下规则做游戏，每人从中任意选择一个数，然后两人各掷一次均匀的骰子，谁事先选择的数等于两人掷得的点数之和谁就获胜；如果两人选择的数都不等于掷得的点数之和，就再做一次上述游戏，直至决出胜负，从概率的角度分析，游戏者事先选择 获胜的可能性较大． 【解析】解：∵两人抛掷骰子各一次 ∴共有种等可能的结果 ∴点数之和为的结果有种，最多 ∴选择获胜的可能性较大． 故答案是：． 7．某口袋中有10个球，其中白球个，绿球个，其余为黑球，甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜．要使游戏对甲、乙双方公平，则 应该是 ． 【解析】解：由题意得：甲获胜的概率为；甲获胜的概率为; 则： 解得x=2 故答案为：2． 8．有3个好朋友意外获得一张超级女生演唱会的门票，她们都想去，究竟谁去好呢？小丽对小明和小杰说：“我们来抛硬币，我有两枚硬币，如果两面都朝正就小明去，如果两面都朝反就小杰去，一正一反就我去”你认为这样决定公平吗？为什么？ ，理由： 【解析】解：根据题意，会出现四种结果：正正，正反，反正，反反， 小明：1÷4 = ， 小杰：1÷4 = ， 小丽：2÷4 = ∵， ∴不公平； 故答案为：不公平；因为会出现四种结果，而不是两种． 9．芳芳和明明要玩一个游戏：两人轮流在一个正方形硬纸上放同样大小的硬币，规则是：每人每次只能放一枚，让硬币平躺在桌面上，任何两枚硬币不能重合．谁放完最后一枚，使得对方再也找不到空地放下一枚硬币的时候，谁就赢了．如果芳芳走第一步，她应该放在哪里才可能稳操胜券？请说明你的理由． ． 【解析】芳芳的第一步应放正方形硬纸板的中心位置，这时，明明放一枚硬币，芳芳总可以在硬纸板上放一枚硬币，使它与明明的硬币关于中心对称，直到明明无处可放，芳芳就赢了. 10．转动如图所示的两个转盘（每个转盘被分成五个面积相等的扇形）各一次，两次转得的数字之和大于7的概率是 ． 【解析】解：列表得：       A盘B盘 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8√ 4 5 6 7 8√ 9√ 5 6 7 8√ 9√ 10√ 6 7 8√ 9√ 10√ 11√ ∵共有25种等可能的结果，数字之和大于7的有10种情况， ∴小明获胜的概率是：． 故答案为：． 11．现有两组相同的扑克牌，每组两张牌的牌面数字分别为2和3，从每组牌中各随机摸出一张牌．若摸到的牌面数字相同，则小红胜，否则小明胜，请用列表格或树状图的方法说明这个游戏是否公平. 【解析】根据题意，树状图如下： 由图可知，共有4种等可能的结果，数字相同的有2种，数字不同的也有2种. ∴小红胜的概率为：，小明胜的概率为：. ∴这个游戏公平. 12．小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下扣在桌子上．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张． （1）用列表或画树状图等方法，列出小明和小亮抽得的卡片上所标数字的所有可能情况； （2）计算小明和小亮抽得的两张卡片上的数字之和，如果和为奇数则小明胜，和为偶数则小亮胜，请判断游戏是否公平？并说明理由． 【解析】解：（1）由题意可得， 出现的可能性是：（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，1）、（3，2）、（3，3）； （2）游戏不公平， 理由：出现和为奇数的可能性是：（1，2）、（2，1）、（2，3）、（3，2）， ∴小明获胜的概率是 ，则小亮获胜的概率是， 故该游戏不公平． 13．一个不透明的布袋中有完全相同的三个小球，把它们分别标号为1，2，3. 小林和小华做一个游戏，按照以下方式抽取小球：先从布袋中随机抽取一个小球，记下标号后放回布袋中搅匀，再从布袋中随机抽取一个小球， 记下标号. 若两次抽取的小球标号之和为奇数，小林赢；若标号之和为偶数，则小华赢. （1）用画树状图或列表的方法，列出前后两次取出小球上所标数字的所有可能情况； （2）请判断这个游戏是否公平，并说明理由. 【解析】解：方法一：（1）由题意画出树状图 所有可能情况如下： ； （2）由（1）可得：标号之和分别为2，3，4，3，4，5，4，5，6， ， ， 因为，所以不公平； 方法二：（1）由题意列表 小林 小华 1 2 3 1 2 3 所有可能情况如下： ； （2）由（1）可得：标号之和分别为2，3，4，3，4，5，4，5，6， ， ， 因为，所以不公平． 14．小李和小王两位同学做游戏，在一个不透明的口袋中放入1个红球、2个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀． （1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是多少? （2）两人约定：从袋中一次摸出两个球，若摸出的两个球是-红一黑，则小李获胜：若摸出的两个球都是白色，则小王获胜，请用列举法（画树状图或列表）分析游戏规则是否公平． 【解析】解：（1）4个小球中有1个红球， 则任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是： （2）列表如下： 红     白 白 黑 红 --- （白，红） （白，红） （黑，红） 白 （红，白） --- （白，白） （黑，白） 白 （红，白） （白，白） --- （黑，白） 黑 （红，黑） （白，黑） （白，黑） --- 所有等可能的情况有12种，其中两次都摸到一红一黑有2种可能，摸出的两个球都是白色的有有2种可能， 则P（小李获胜）=，P（小王获胜）=， 故游戏公平． 15．有一个不透明口袋，装有分别标有数字1，2，3，4的4个小球（小球除数字不同外，其余都相同），另有3张背面完全一样、正面分别写有数字1，2，3的卡片．小敏从口袋中任意摸出一个小球，小颖从这3张背面朝上的卡片中任意摸出一张，然后计算小球和卡片上的两个数的积． （1）请你求出摸出的这两个数的积为6的概率； （2）小敏和小颖做游戏，她们约定：若这两个数的积为奇数，小敏赢；否则，小颖赢．你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平． 【解析】解：（1）列表如下： 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 6 8 3 3 6 9 12 总结果有12种，其中积为6的有2种， ∴P（积为6）=． （2）游戏不公平，因为积为偶数的有8种情况，而积为奇数的有4种情况． 游戏规则可改为：若积为3的倍数，小敏赢，否则，小颖赢． 题型二 用频率估计概率 1．数学家皮尔逊为了研究概率问题，进行了大量重复抛硬币试验，并用频率来估计概率．当他把一枚硬币抛掷24000次时，则下列正面朝上的次数与该实验结果比较符合的是（　） A．11011 B．12012 C．13013 D．14014 【答案】B 【解析】解：当重复实验够多时，正面朝上的概率为， ， 12012与12000最接近，该实验结果比较符合， 故选：B． 2．随着移动互联网的兴起和智能手机的普及，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为30的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码黑色阴影部分的面积为（　） A． B． C．12 D．18 【答案】D 【解析】解：∵经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在阴影部分的概率为， 设阴影部分面积为S，则， 即：， ∴黑色阴影的面积为18， 故选：D． 3．箱子里有若干个红球、白球和黄球，从箱子中一次拿两个球出来．多次实验统计如下：小明估计至少有一个球是白球的概率约是 （保留一位小数）． 至少有一个球是白球的次数 13 20 35 71 107 146 288 至少有一个球是白球的频率 0.65 0.67 0.70 0.71 0.713 0.73 0.72 【解析】解：由题意得，随着实验次数的增加，至少有一个球是白球的频率稳定在附近， 小明估计至少有一个球是白球的概率约是， 故答案为：． 4．一个不透明的箱子里装有仅颜色不同的红色卡片和蓝色卡片共张，随机从箱子里摸出张卡片，记下颜色后再放回，经过多次的重复试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在附近，由此估计箱子中蓝色卡片有 张． 【解析】解：设箱子中蓝色卡片有张，根据题意得： ， 解得， 则箱子中蓝色卡片有张． 故答案为：． 5．一个不透明的箱子里有若干个小球，这些小球除颜色外完全相同．箱子中有12个白球，剩下的都是红球，小颖经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则红球的个数为 ． 【解析】解：∵摸到红球的频率稳定在， ∴摸到白球的频率稳定在， ∴箱子里球的总个数（个）， ∴红球的个数（个）， 故答案为：4． 6．孔雀鱼凭借其华丽的外观，皮实易养的特性，得到了鱼友们的广泛好评．同时，孔雀鱼是卵胎生鱼，号称“百万鱼”，又说明了其容易繁殖且繁殖率高．但初生的孔雀鱼小鱼苗，体质差，抵抗力差，对水温、水质的变化极为敏感，因此，极易因水环境动荡生病，或是受到外界寄生虫、病菌的侵扰而患病．从孔雀鱼的出生到成年，需要三个月左右，成年后即可出售．下表记录的是在相同的条件下初生的小鱼苗的数量与饲养三个月后存活的可出售的成年鱼数量： 初生的小鱼苗的数量（尾） 100 1000 10000 100000 三个月后存活的可出售的成年鱼数量（尾） 46 445 4506 45002 若饲养9000尾该品种初生的孔雀鱼小鱼苗，请估计三个月后存活的可出售的成年鱼数量． 【解析】解：由题意可得：三个月三后存活的可出售的成年鱼的存活率， ∴饲养9000尾该品种初生的孔雀鱼小鱼苗，三个月后存活的可出售的成年鱼数量尾， 答：三个月后存活的可出售的成年鱼数量约为4050尾. 7．某园林基地，特地考察一种花卉移植的成活率，对本基地这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图． 请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)这种花卉成活的频率稳定在 附近，估计成活概率为 （精确到0.1）． (2)该园林基地已经移植这种花卉10000棵． ①估计这批花卉成活的棵数； ②根据某大型小区需要成活99000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？ 【解析】（1）解：由图可知，这种花卉成活的频率稳定在0.9附近，估计成活概率为0.9； 故答案为：0.9，0.9； （2）①（棵）， 答：估计这种花卉成活9000棵； ②（棵）， 答：估计还要移植100000棵． 8．在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共50个（除颜色不同外其它都一样），某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602 (1)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近________（精确到0.1）； (2)试估计袋子中有白球________个： (3)若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，可以怎样调整白球或黑球的个数？请给出合理的方案. 【解析】（1）观察表格得：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6， 故答案为：0.6； （2）黑球的个数约为个， 则估计袋子中有白球个， 故答案为：20； （3）想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以使得黑球和白球的个数相同，即再添加10个相同的白球． 9．如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明设计了如下方法： 在此封闭图形内画出一个半径为米的圆． 在此封闭图形旁边闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似的看成点），记录如下：    掷小石子落在不规则图形内的总次数 小石子落在圆内（含圆上）的次数 小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数 (1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，的值越来越接近______（结果精确到）； (2)若以小石子所落的有效区域为总数（即），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在______附近（结果精确到）； (3)请你利用（）中所得频率的值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？（结果保留） 【解析】（1）解：根据；；，，， 当投掷的次数很大时，则的值越来越接近， 故答案为：； （2）解：观察表格得：；； ，， 随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在， 故答案为：； （3）解：设封闭图形的面积为， 根据题意得：， 解得：， 答：封闭图形的面积为平方米． 10．【项目主题】估计的值． 【项目实施】 步骤一：在纸上画一个正方形及其内切圆，如图． （1）该内切圆与正方形面积的比值用表示，求的值； 步骤二：随机撒一把米到画有正方形及其内切圆的纸上，统计并计算落在圆内的米粒数与正方形内的米粒数的比． 落在圆内的米粒数 落在正方形内的米粒数 频率 450 600 （2）________； 步骤三：利用与的关系，估计的值． （3）________； 【项目反思】小贤同学发现，上述的估计精度不够高，那怎样提高的估计精度呢？请你给出至少一条合理化建议． （4）建议：________． 【解析】（1）设内切圆的半径为r，则； （2）， 故答案为： （3） 故答案为：3 （4）建议：增加撒在画有正方形及其内切圆纸上的米粒数， 故答案为：增加撒在画有正方形及其内切圆纸上的米粒数（答案不唯一） 1．甲、乙、丙三位同学玩抛掷、两枚硬币的游戏，游戏规则是这样：抛出币正面和币正面，甲赢；抛出币反面和币反面，乙赢；抛出币正面和币反面，丙赢．在这个游戏中，谁赢的机会最大(       ) A．甲 B．甲和乙 C．丙 D．甲、乙、丙三人赢的机会均等 【答案】D 【解析】∵掷A、B两枚硬币可能出现的情况为：正正，正反，反正，反反； ∴甲赢的概率为；乙赢的概率为；丙赢的概率为； 甲、乙、丙三人赢的机会均等， 故选：D. 2．小刚和小丽一起玩一种转盘游戏．转盘分成面积相等的三个区域，分别用“1”，“2”，“3”表示，固定指针转动转盘，任其自由停止．若指针所指的数字为奇数，小刚获胜；否则小丽获胜．此规则（    ） A．公平 B．对小丽有利 C．对小刚有利 D．公平性不可预测   【答案】C 【解析】解：∵转盘分成面积相等的三个区域，分别用“1”，“2”，“3”表示，其中奇数有2个， ∴在该游戏中小刚获胜的概率是，小丽获胜的概率是， ∵＞， ∴对小刚有利， 故选：C． 3．暑假快到了，父母找算带兄妹俩去某个景点旅游一次，长长见识，可哥哥坚持去黄山，妹妹坚持去泰山，争执不下，父母为了公平起见，决定设计一款游戏，若哥哥赢了就去黄山，妹妹赢了就去泰山．下列游戏中，不能选用的是（ ） A．掷一枚硬币，正面向上哥哥赢，反面向上妹妹赢 B．同时掷两枚硬币，两枚都正面向上，哥哥赢，一正一反向上妹妹赢 C．掷一枚骰子，向上的一面是奇数则哥哥赢，反之妹妹赢 D．在不透明的袋子中装有两黑两红四个球，除颜色外，其余均相同，随机摸出一个是黑球则哥哥赢，是红球则妹妹赢 【答案】B 【解析】A、掷一枚硬币，正面向上的概率为，反向向上的概率为，概率相等可选，故此选项不符合题意；B、根据分析可知两枚都正面向上的概率为，一正一反向上的概率为，概率不相等可选，故此选项符合题意；C、掷一枚骰子，向上的一面是奇数和偶数的概率都为，概率相等，故此选项不符合题意；D、在不透明的袋子中装有两黑两红四个球，除颜色外，其余均相同，随机摸出一个是黑球的概率为，是红球的概率为，概率相等，故此选项不符合题意， 故选：B. 4．做随机抛掷一枚质地均匀的纪念币的试验，得到的结果如下表所示： 抛掷次数m 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 265 512 793 1034 1306 1558 2083 2598 “正面向上”的频率 （精确到0.001） 0.530 0.512 0.529 0.517 0.522 0.519 0.521 下面有4个推断：①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，所以“正面向上”的概率是0.512；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520；③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，所以当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次；④表格空白处的数值是0.520．其中合理推断的序号是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，但“正面向上”的概率不一定是0.512，本推断不合理； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520，本推断合理； ③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次，本推断合理； ④表格空白处的数值是，本推断合理； 综上，合理的推断有：， 故选：． 5．下列说法错误的是（    ） A．袋中装有一个红球和两个白球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，充分摇动后，再从中随机摸出一个球，两次摸到不同颜色的球的概率是 B．甲、乙、丙三人玩“石头、剪刀、布”的游戏，游戏规则是如果甲、乙两人的手势相同，那么丙获胜，如果甲、乙两人的手势不同，按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定甲、乙的获胜者．这个游戏规则对甲、乙、丙三人是公平的 C．连续抛两枚质地均匀的硬币，“两枚正面朝上”“两枚反面朝上”和“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，这三种结果发生的概率是相同的 D．一个小组的八名同学通过依次抽签（卡片外观一样，抽到不放回）决定一名同学获得元旦奖品，先抽和后抽的同学获得奖品的概率是相同的，抽签的先后不影响公平 【答案】C 【解析】A.两次摸球所有可能出现的结果，用表列举如下： ∵有9种等可能的结果，两次摸球颜色不同有4种， ∴两次摸球颜色不同的概率为．故该选项正确； B.甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率也为，所以这个游戏规则对三人是公平的．故该选项正确； C.设正面朝上为A，反面朝上为B，画树状图如下： ∴P（两枚正面朝上）（两枚反面朝上）， P（―枚正面朝上，一枚反面朝上）．故该选项错误； D.等可能事件，每人抽签获奖的概率均为．故该选项正确， 故选：C． 6．为了测试某种芯片的良品率，设计团队开展实验，记录了如下的实验数据： 累计试验芯片数 （单位：千块） 1 4 6 8 10 12 14 累计试验良品芯片数 （单位：千块） 0.9 3.5 5.2 6.8 8.5 10.2 11.9 如果需要425块良品芯片，请根据如表的数据，用频率估计概率的思想判断需要准备的试验芯片数是 ．（单位：块） 【解析】解：由表格数据可知：随着累计试验芯片数的增大，良品率测试的频率稳定在， 如果需要425块良品芯片，需要准备的试验芯片数是： （块）， 故答案为：． 7．小贤同学要测量图中不规则图案（恐龙）的面积，采用的办法是：先用边长为的正方形将该图案围起来，再向正方形区域内掷点，通过大量的重复试验，发现点落在不规则图案部分的频率稳定在附近，请你根据小贤同学的试验数据，得出该不规则图案（恐龙）的面积为 ． 【解析】解：点落在图案部分的频率稳定在左右， 此不规则图案的面积大约为， 故答案为：． 8．小明用一张扑克牌设计了一个游戏：任意掷出纸牌，如果正面着地，则小明胜；如果背面着地，则小明输．你认为这个游戏 （“公平”或“不公平”）． 【解析】解：质地均匀的纸牌，落地时只有两种情况，正面着地，或反面着地概率均为50%，所以公平． 故答案为：公平. 9．甲、乙两人做游戏，他们准备了一个质量分布均匀的正六面体骰子，骰子的正六面分别标有1，2，3，4，5，6．若掷出的骰子的点数是偶数，则甲赢；若掷出的骰子的点数是3的倍数，则乙赢，这个游戏对甲、乙来说是 的．（填“公平”或“不公平”） 【解析】解：∵骰子的点数是偶数的有2，4，6，其概率为， 骰子的点数是3的倍数的有3，6，其概率为， 故游戏规则对甲有利． 故答案为：不公平. 10．袋中有个白球和个红球，从中任意摸出一个球，甲、乙两人约定，摸出红球甲胜，摸出白球乙胜，谁胜可能性大 ． 【解析】由题意得出： ∵袋中有3个白球和2个红球， ∴摸出白球的概率为：3÷(3+2)=， 摸出红球的概率为：2÷(3+2)=， 故摸到白球的可能性大，则乙胜的可能性大. 故答案为：乙. 11．为庆祝“六·一”儿童节，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘开展有奖购买活动．顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品，下表是该活动的一组统计数据： 转动转盘的次数n 落在“铅笔”区域的次数m 落在“铅笔”区域的频率 a b    根据以上信息解答下列问题： (1)求a=______，b=______； (2)试估计：假如你去转动一次转盘，获得铅笔的概率约为______．（结果精确到） 【解析】（1）解：， 所以，． 故答案是：，． （2）解：∵当转动转盘的次数很大时，落在“铅笔”区域的频率稳定在， ∴去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是， 故答案是：． 12．下表记录了某纺织厂对一批衬衣进行抽检统计的结果 抽取件数n 50 100 150 200 500 800 1000 合格数m 48 93 143 189 478 759 952 合格率 a (1)______； (2)估计从这批衬衣中任抽一件是合格品的概率为______；（精确到） (3)若从这批衬衣中抽检1200件，估计其中的次品有多少件？ 【解析】（1）解：， 故答案为：． （2）解：抽查总体件数：， 合格品数：， ∴抽合格品的频率为：， ∴估计从这批衬衣中任抽一件是合格品的概率约为， 故答案为：． （3）解：（件）， 答：从这批衬衣中抽检1200件，估计其中的次品有60件． 13．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，表格是实验中的部分统计数据： 摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000 摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252 摸到白球的频率m 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.01）； (2)试估算盒子里白球有 个； (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是 （填写所有正确结论的序号）． ①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“大于4”． ③从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ④在一道单选题A、B、C、D四个选项任选一个，正好选中正确选项． 【解析】（1）解：由表可知，当n很大时，摸到白球的频率将会接近； 故答案为：； （2）解：根据题意得：（个）， 故答案为：； （3）解：①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率为，故此选项不符合题意； 掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“大于4”的概率为，故此选项不符合题意； 从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率为，故此选项符合题意； 在一道单选题A、B、C、D四个选项任选一个，正好选中正确选项的概率为，故此选项符合题意． 故答案为：③④． 14．同学们要善于用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯． (1)观察发现 为了解某种小麦的发芽率，小明团队进行了试验，他们在相同条件下进行发芽试验，结果如下表： 试验的麦粒数 发芽的麦粒数 发芽的频率 0.954 ①当试验的麦粒数位时，发芽的频率为，是小麦发芽的概率吗？（ ） A． 是     B．不是 ②当任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率是 （结果精确到） (2)迁移应用 如图，学校操场旁的地面上铺满了正方形的地砖，  现在向这一地面上抛掷半径为的圆碟，圆碟与地砖间的缝隙相交的概率是 ．（直接写出答案） 【解析】（1）解：①当试验的麦粒数位时， 发芽的频率为，只是一次试验的频率，不能代表概率，即不是小麦发芽的概率，故选：B； ②从表格看，经过多次大量重复试验，频率稳定在左右， 当任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率是， （2）正方形的地砖是，向这一地面上抛掷半径为的圆碟， ， 圆碟的圆心如果在正方形的地砖的中心部位的范围外，则圆碟与地砖间隙相交， 圆碟与地砖间的间隙相交的概率大约是． 故答案为：． 15．在七年级数学《谁转出的“四位数”大》一节课中，小明和小新分别转动标有“0﹣9”十个数字的转盘四次，每次将转出的数填入表示四位数的四个方格中的任意一个，比较两人得到的四位数，谁大谁获胜．已知他们四次转出的数字如下表： 第一次 第二次 第三次 第四次 小明 9 0 7 3 小新 0 5 9 2 （1）小明和小新转出的四位数最大分别是多少？ （2）小明可能得到的四位数中“千位数字是9”的有哪几个？小新呢？ （3）小明一定能获胜吗？请说明理由． 【解析】解：(1)小明转出的四位数最大是9730;小新转出的四位数最大是9520. (2)小明可能得到的“千位数字是9”的四位数有6个,分别为9730,9703,9370,9307,9073,9037; 小新可能得到的“千位数字是9”的四位数有6个,分别为9520,9502,9250,9205,9052,9025. (3)不一定,因为如果小明得到的是9370,小新得到的是9520,则小新获胜. 16．袋子中装有2个红球，1个黄球，它们除颜色外其余都相同．小明和小英做摸球游戏，约定一次游戏规则是：小英先从袋中任意摸出1个球记下颜色后放回，小明再从袋中摸出1个球记下颜色后放回，如果两人摸到的球的颜色相同，小英赢，否则小明赢． （1）请用树状图或列表格法表示一次游戏中所有可能出现的结果； （2）这个游戏规则对双方公平吗？请说明理由. 【解析】解：列表格如下： 所以，游戏中所有可能出现的结果有以下9种：红1红1，红1红2，红1黄，红2红1， 红2红2，红2黄，黄红1，黄红2，黄黄，这些结果出现的可能性是相等的．    （2）这个游戏对双方不公平． 理由如下：由（1）可知，一次游戏有9种等可能的结果，其中两人摸到的球颜色相同的结果有5种，两人摸到的球颜色不同的结果有4种. ∴P（小英赢）＝，P（小明赢）＝． ∵P（小英赢）≠P（小明赢）, ∴这个游戏对双方不公平． 17．在一个不透明的盒子中放入三个红色小球和四个白色小球，每个小球上写有一个数字．其中，红色小球上的数字分别是1，2，3，白色小球上的数字分别是1，2，3，4，这些小球除颜色和数字外，其余完全相同． （1）从盒子中任意摸出一个小球，求摸出小球上的数字小于3的概率； （2）现将四个白色小球取出后，放入另外一个不透明的盒子内，此时，小明和小亮做游戏，他俩约定游戏规则：从这两个盒子中各随机摸出一个小球，若小球上的数字之和为奇数，则小明获胜；若和为偶数，则小亮获胜，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平． 【解析】解：（1）根据题意可得：盒子中共有7个球，其中有4个小于3， 故摸出小球上的数字小于3的概率为：P（数字小于3）＝； （2）画树状图为：    共有12种等可能的结果，小球上的数字之和为奇数的结果数为6， ∴小明获胜的概率为：P（小明获胜）＝，小亮获胜的概率为：P（小亮获胜）＝， ∵， ∴这个游戏规则对双方公平． 18．某校举行数学竞赛活动，晓晨和阿进两位同学得分相同，获并列第一名，于是每人可在准备好的2件奖品中获得其中一件，为了决定谁先选择奖品，并同时检验学生所学的数学知识，某位数学老师设计了一个趣味性游戏，游戏规则为：将如图1所示的四张扑克牌（方块2、黑桃4、黑桃5、梅花5）洗匀后，背面朝上放置在桌面上，晓晨从中随机抽取一张，记下牌面数字；如图2是一枚质地均匀的正方体骰子，六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6，阿进掷一次骰子，记下骰子朝上一面的点数；若晓晨记下的牌面数字大于阿进记下骰子的点数，则晓晨先挑取奖品，否则，阿进先挑取奖品． （1）晓晨从四张扑克牌中随机抽取一张，牌面数字是5的概率是多少？ （2）请用画树状图或列表的方法说明这个游戏对双方公平吗？ 【解析】（1）解：∵共有4张扑克牌．其中牌面数字是5的有2张，∴晓晨从四张扑克牌中随机抽取一张，牌面数字是5的概率是= （2）解：根据题意列表如下： 1 2 3 4 5 6 2 1，2 2，2 3，2 4，2 5，2 6，2 4 1，4 2，4 3，4 4，4 5，4 6，4 5 1，5 2，5 3，5 4，5 5，5 6，5 5 1，5 2，5 3，5 4，5 5，5 6，5 由列表可知，共有24种等可能的情况数．其中晓晨记下的牌面数字大于阿进记下的骰子点数的情况有12种，则晓晨先挑取奖品的概率是=，阿进先挑取奖品的概率也是， ∴这个游戏规则公平． 19．阅读下列材料，回答问题： 任务1：估计不规则封闭图形的面积 如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个边长为0.5米的正方形后，在附近闭上眼睛向封闭图形内丢掷绿豆（可把绿豆近似看成点），并记录如下数据（有效丢掷绿豆落在该封闭图形内，含边界）： 有效丢掷绿豆总次数 50 150 300 600 … 绿豆落在正方形内 （含正方形的边）的次数 10 35 78 149 … 0.200 0.233 0.257 0.248 … （1）当有效丢掷绿豆总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数n最可能是________； A．105        B．249        C．518        D．815 （2）请根据表格中的数据估计，如果你随机丢掷一颗绿豆（落在该封闭图形内，含边界），那么该绿豆恰好落在正方形内（含正方形的边）的概率约为___________（精确到0.01）； （3）请你利用（2）中所得概率，估计该不规则封闭图形的面积； 任务2：估计圆周率的大小 关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，请借鉴任务1的探究思路，设计一个估算圆周率的实验，写出相应的步骤，以及需要记录的数量（具体数值）或数据（用字母，…，表示），画出示意图，并写出的计算公式． 【解析】解：任务1：（1）观察表格得：随着投掷次数的增大，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的频率值稳定在0.25， ∴如果你掷一次绿豆，那么绿豆落在正方形内（含正方形边上）的概率约为0.25； 当掷绿豆所落的总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数最可能为，只有249比较接近， 故答案为：B； （2）由（1）可知如果你掷一次绿豆，那么绿豆落在正方形内（含正方形边上）的概率约为0.25， 故答案为：0.25； （3）设封闭图形的面积为， 根据题意得：， 解得：， 即：估计整个不规则封闭图形的面积约是1平方米． 任务2：如图，地面上有一个边长为2米的正方形，在此正方形内画出一个半径为1米的圆． 在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录如下： 有效丢掷绿豆总次数 … 绿豆落在圆内 （含圆的边）的次数 … … 当很大时，绿豆落在圆内（含圆的边上）的频率值稳定在， 所以如果掷一次绿豆，那么绿豆落在圆内（含圆的边上）的概率约为； 则， ∴． 20．综合与实践 主题：池塘里有多少条鱼 活动一 情境引入 问题1：一个袋子中装有除颜色外其余都相同的红球、黑球共10个，摸到红球的概率为0.3，则袋子中有红球___________个； 问题2：在一副不完整的扑克牌中有4张A，任意抽取一张，抽到A的概率为0.2，则这副扑克牌有_____________张； 活动二：摸棋试验 分组活动进行摸球试验收集数据，每个小组的盒中有10个黑棋和若干个白棋．利用两种方法估计盒中的总棋数（将全班的小组分成两部分做不同的试验）． （1）试验并填表记录试验数据： ①方案一：每次摸1个棋子，记下棋子的颜色，放回盒中摇均匀，重复试验多次，计算黑棋出现的频率（可用画正字计算次数）． ②方案二：每次摸10个棋子，记下黑棋的个数，放回盒中摇均匀，重复试验10次，计算黑棋与样本的比值； （2）计算试验得出的总棋数（计算结果保留两位小数）； 试验次数 50 100 150 200 摸到黑棋的次数 12 26 38 50 摸到黑棋的次数 0.24 0.26 0.253 注意：每次试验前是否将盒中的棋子摇匀，每次试验后是否将棋子放回、记录数据的方法是否正确、小组成员的参与度等等． ①方案一： 估计黑球的概率是______，总棋数是_____个； 试验次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平均值 黑棋与样本的比值 黑棋个数 3 4 4 2 3 2 2 1 3 2 2.6 0.26 ②方案二：试验次数10次，每次摸10个； 活动三 设计方案： 根据刚才的两种方案，小组讨论设计方案估计池塘里鱼的数目． （1）先捞出若干条鱼，将它们记上标记，然后再放回鱼塘，等鱼分布均匀后，再捞出一条鱼，观察是否有记号后放回，经过多次重复后，并以其中有标记的鱼的比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的比例，据此可估计鱼塘中鱼的数量； （2）先捞出若干条鱼，将它们记上标记，然后再放回鱼塘，等鱼分布均匀后，再从中随机捕捞若干条鱼，并以其中有标记的鱼的比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的比例，据此可估计鱼塘中鱼的数量； 活动四 解决问题： 某人对自己鱼塘中的鱼的总条数进行估计，第一次捞出100条，并将每条鱼作出记号放入水中；当它们完全混合于鱼群后，又捞出300条，其中带有记号的鱼有20条，试估计鱼塘中有多少条鱼？ 根据以上活动，完成活动一、活动二的填空，并解决活动四提出的问题． 【解析】解：活动一： 袋子中有红球有3个 ； 这副扑克牌有20张； 故答案为：3，20； 活动二：， 表格中摸到黑棋的频率在0.25上下波动，且随着摸棋的次数增加，频率逐渐稳定于0.25， 黑球的概率是； 总棋数是， 故答案为：、40； 活动四：解：设该人池塘里有x条鱼，则： 解得： 经检验，是所列方程的解， ∴估计鱼塘中有1500条鱼． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.4　抽签方法合理吗 8.5　概率帮你做估计（二大题型提分练） 题型一 用概率判断游戏规则是否公平 1．甲、乙两人玩一个游戏，判定这个游戏公平的标准是（    ） A．游戏的规则由甲方确定 B．游戏的规则由乙方确定 C．游戏的规则由甲、乙双方商定 D．甲、乙双方赢的概率相等 2．一个不透明的箱子中放有红色、黄色、黑色三种小球，三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回，摸出红色、黄色小球得0分，摸出黑色小球得1分，得分高者获胜，则这个游戏（    ） A．公平 B．不公平 C．先摸者赢的可能性大 D．后摸者赢的可能性大 3．小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个正整数，然后都拿给对方看．他们约定：若两人所写的数都是奇数或都是偶数，则小明获胜；若两个人所写的数一个是奇数，另一个是偶数，则小亮获胜．这个游戏（　　） A．对小明有利 B．对小亮有利 C．游戏公平 D．无法确定对谁有利 4．“十•一”假期，某超市为了吸引顾客，设立了一个转盘游戏进行摇奖活动，并规定顾客每购买200元商品，就获得一次转盘机会，小亮根据摇奖情况制作了一个统计图（如图），请你求出每转动一次转盘获得购物券的平均数是（　　）    A．43.5元 B．26元 C．18元 D．43元 5．甲、乙两人投掷两个普通的正方体骰子，规定掷出“和为”算甲赢，掷出“和为”算乙赢，这个游戏是否公平？（      ） A．公平 B．对甲有利 C．对乙公平 D．不能判断 6．小亮和小刚按如下规则做游戏，每人从中任意选择一个数，然后两人各掷一次均匀的骰子，谁事先选择的数等于两人掷得的点数之和谁就获胜；如果两人选择的数都不等于掷得的点数之和，就再做一次上述游戏，直至决出胜负，从概率的角度分析，游戏者事先选择 获胜的可能性较大． 7．某口袋中有10个球，其中白球个，绿球个，其余为黑球，甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜．要使游戏对甲、乙双方公平，则 应该是 ． 8．有3个好朋友意外获得一张超级女生演唱会的门票，她们都想去，究竟谁去好呢？小丽对小明和小杰说：“我们来抛硬币，我有两枚硬币，如果两面都朝正就小明去，如果两面都朝反就小杰去，一正一反就我去”你认为这样决定公平吗？为什么？ ，理由： 9．芳芳和明明要玩一个游戏：两人轮流在一个正方形硬纸上放同样大小的硬币，规则是：每人每次只能放一枚，让硬币平躺在桌面上，任何两枚硬币不能重合．谁放完最后一枚，使得对方再也找不到空地放下一枚硬币的时候，谁就赢了．如果芳芳走第一步，她应该放在哪里才可能稳操胜券？请说明你的理由． ． 10．转动如图所示的两个转盘（每个转盘被分成五个面积相等的扇形）各一次，两次转得的数字之和大于7的概率是 ． 11．现有两组相同的扑克牌，每组两张牌的牌面数字分别为2和3，从每组牌中各随机摸出一张牌．若摸到的牌面数字相同，则小红胜，否则小明胜，请用列表格或树状图的方法说明这个游戏是否公平. 12．小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下扣在桌子上．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张． （1）用列表或画树状图等方法，列出小明和小亮抽得的卡片上所标数字的所有可能情况； （2）计算小明和小亮抽得的两张卡片上的数字之和，如果和为奇数则小明胜，和为偶数则小亮胜，请判断游戏是否公平？并说明理由． 13．一个不透明的布袋中有完全相同的三个小球，把它们分别标号为1，2，3. 小林和小华做一个游戏，按照以下方式抽取小球：先从布袋中随机抽取一个小球，记下标号后放回布袋中搅匀，再从布袋中随机抽取一个小球， 记下标号. 若两次抽取的小球标号之和为奇数，小林赢；若标号之和为偶数，则小华赢. （1）用画树状图或列表的方法，列出前后两次取出小球上所标数字的所有可能情况； （2）请判断这个游戏是否公平，并说明理由. 14．小李和小王两位同学做游戏，在一个不透明的口袋中放入1个红球、2个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀． （1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是多少? （2）两人约定：从袋中一次摸出两个球，若摸出的两个球是-红一黑，则小李获胜：若摸出的两个球都是白色，则小王获胜，请用列举法（画树状图或列表）分析游戏规则是否公平． 15．有一个不透明口袋，装有分别标有数字1，2，3，4的4个小球（小球除数字不同外，其余都相同），另有3张背面完全一样、正面分别写有数字1，2，3的卡片．小敏从口袋中任意摸出一个小球，小颖从这3张背面朝上的卡片中任意摸出一张，然后计算小球和卡片上的两个数的积． （1）请你求出摸出的这两个数的积为6的概率； （2）小敏和小颖做游戏，她们约定：若这两个数的积为奇数，小敏赢；否则，小颖赢．你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平． 题型二 用频率估计概率 1．数学家皮尔逊为了研究概率问题，进行了大量重复抛硬币试验，并用频率来估计概率．当他把一枚硬币抛掷24000次时，则下列正面朝上的次数与该实验结果比较符合的是（　） A．11011 B．12012 C．13013 D．14014 2．随着移动互联网的兴起和智能手机的普及，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为30的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码黑色阴影部分的面积为（　） A． B． C．12 D．18 3．箱子里有若干个红球、白球和黄球，从箱子中一次拿两个球出来．多次实验统计如下：小明估计至少有一个球是白球的概率约是 （保留一位小数）． 至少有一个球是白球的次数 13 20 35 71 107 146 288 至少有一个球是白球的频率 0.65 0.67 0.70 0.71 0.713 0.73 0.72 4．一个不透明的箱子里装有仅颜色不同的红色卡片和蓝色卡片共张，随机从箱子里摸出张卡片，记下颜色后再放回，经过多次的重复试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在附近，由此估计箱子中蓝色卡片有 张． 5．一个不透明的箱子里有若干个小球，这些小球除颜色外完全相同．箱子中有12个白球，剩下的都是红球，小颖经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则红球的个数为 ． 6．孔雀鱼凭借其华丽的外观，皮实易养的特性，得到了鱼友们的广泛好评．同时，孔雀鱼是卵胎生鱼，号称“百万鱼”，又说明了其容易繁殖且繁殖率高．但初生的孔雀鱼小鱼苗，体质差，抵抗力差，对水温、水质的变化极为敏感，因此，极易因水环境动荡生病，或是受到外界寄生虫、病菌的侵扰而患病．从孔雀鱼的出生到成年，需要三个月左右，成年后即可出售．下表记录的是在相同的条件下初生的小鱼苗的数量与饲养三个月后存活的可出售的成年鱼数量： 初生的小鱼苗的数量（尾） 100 1000 10000 100000 三个月后存活的可出售的成年鱼数量（尾） 46 445 4506 45002 若饲养9000尾该品种初生的孔雀鱼小鱼苗，请估计三个月后存活的可出售的成年鱼数量． 7．某园林基地，特地考察一种花卉移植的成活率，对本基地这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图． 请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)这种花卉成活的频率稳定在 附近，估计成活概率为 （精确到0.1）． (2)该园林基地已经移植这种花卉10000棵． ①估计这批花卉成活的棵数； ②根据某大型小区需要成活99000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？ 8．在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共50个（除颜色不同外其它都一样），某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602 (1)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近________（精确到0.1）； (2)试估计袋子中有白球________个： (3)若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，可以怎样调整白球或黑球的个数？请给出合理的方案. 9．如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明设计了如下方法： 在此封闭图形内画出一个半径为米的圆． 在此封闭图形旁边闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似的看成点），记录如下：    掷小石子落在不规则图形内的总次数 小石子落在圆内（含圆上）的次数 小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数 (1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，的值越来越接近______（结果精确到）； (2)若以小石子所落的有效区域为总数（即），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在______附近（结果精确到）； (3)请你利用（）中所得频率的值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？（结果保留） 10．【项目主题】估计的值． 【项目实施】 步骤一：在纸上画一个正方形及其内切圆，如图． （1）该内切圆与正方形面积的比值用表示，求的值； 步骤二：随机撒一把米到画有正方形及其内切圆的纸上，统计并计算落在圆内的米粒数与正方形内的米粒数的比． 落在圆内的米粒数 落在正方形内的米粒数 频率 450 600 （2）________； 步骤三：利用与的关系，估计的值． （3）________； 【项目反思】小贤同学发现，上述的估计精度不够高，那怎样提高的估计精度呢？请你给出至少一条合理化建议． （4）建议：________． 1．甲、乙、丙三位同学玩抛掷、两枚硬币的游戏，游戏规则是这样：抛出币正面和币正面，甲赢；抛出币反面和币反面，乙赢；抛出币正面和币反面，丙赢．在这个游戏中，谁赢的机会最大(       ) A．甲 B．甲和乙 C．丙 D．甲、乙、丙三人赢的机会均等 2．小刚和小丽一起玩一种转盘游戏．转盘分成面积相等的三个区域，分别用“1”，“2”，“3”表示，固定指针转动转盘，任其自由停止．若指针所指的数字为奇数，小刚获胜；否则小丽获胜．此规则（    ） A．公平 B．对小丽有利 C．对小刚有利 D．公平性不可预测   3．暑假快到了，父母找算带兄妹俩去某个景点旅游一次，长长见识，可哥哥坚持去黄山，妹妹坚持去泰山，争执不下，父母为了公平起见，决定设计一款游戏，若哥哥赢了就去黄山，妹妹赢了就去泰山．下列游戏中，不能选用的是（ ） A．掷一枚硬币，正面向上哥哥赢，反面向上妹妹赢 B．同时掷两枚硬币，两枚都正面向上，哥哥赢，一正一反向上妹妹赢 C．掷一枚骰子，向上的一面是奇数则哥哥赢，反之妹妹赢 D．在不透明的袋子中装有两黑两红四个球，除颜色外，其余均相同，随机摸出一个是黑球则哥哥赢，是红球则妹妹赢 4．做随机抛掷一枚质地均匀的纪念币的试验，得到的结果如下表所示： 抛掷次数m 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 265 512 793 1034 1306 1558 2083 2598 “正面向上”的频率 （精确到0.001） 0.530 0.512 0.529 0.517 0.522 0.519 0.521 下面有4个推断：①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，所以“正面向上”的概率是0.512；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520；③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，所以当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次；④表格空白处的数值是0.520．其中合理推断的序号是（   ） A． B． C． D． 5．下列说法错误的是（    ） A．袋中装有一个红球和两个白球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，充分摇动后，再从中随机摸出一个球，两次摸到不同颜色的球的概率是 B．甲、乙、丙三人玩“石头、剪刀、布”的游戏，游戏规则是如果甲、乙两人的手势相同，那么丙获胜，如果甲、乙两人的手势不同，按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定甲、乙的获胜者．这个游戏规则对甲、乙、丙三人是公平的 C．连续抛两枚质地均匀的硬币，“两枚正面朝上”“两枚反面朝上”和“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，这三种结果发生的概率是相同的 D．一个小组的八名同学通过依次抽签（卡片外观一样，抽到不放回）决定一名同学获得元旦奖品，先抽和后抽的同学获得奖品的概率是相同的，抽签的先后不影响公平 6．为了测试某种芯片的良品率，设计团队开展实验，记录了如下的实验数据： 累计试验芯片数 （单位：千块） 1 4 6 8 10 12 14 累计试验良品芯片数 （单位：千块） 0.9 3.5 5.2 6.8 8.5 10.2 11.9 如果需要425块良品芯片，请根据如表的数据，用频率估计概率的思想判断需要准备的试验芯片数是 ．（单位：块） 7．小贤同学要测量图中不规则图案（恐龙）的面积，采用的办法是：先用边长为的正方形将该图案围起来，再向正方形区域内掷点，通过大量的重复试验，发现点落在不规则图案部分的频率稳定在附近，请你根据小贤同学的试验数据，得出该不规则图案（恐龙）的面积为 ． 8．小明用一张扑克牌设计了一个游戏：任意掷出纸牌，如果正面着地，则小明胜；如果背面着地，则小明输．你认为这个游戏 （“公平”或“不公平”）． 9．甲、乙两人做游戏，他们准备了一个质量分布均匀的正六面体骰子，骰子的正六面分别标有1，2，3，4，5，6．若掷出的骰子的点数是偶数，则甲赢；若掷出的骰子的点数是3的倍数，则乙赢，这个游戏对甲、乙来说是 的．（填“公平”或“不公平”） 10．袋中有个白球和个红球，从中任意摸出一个球，甲、乙两人约定，摸出红球甲胜，摸出白球乙胜，谁胜可能性大 ． 11．为庆祝“六·一”儿童节，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘开展有奖购买活动．顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品，下表是该活动的一组统计数据： 转动转盘的次数n 落在“铅笔”区域的次数m 落在“铅笔”区域的频率 a b    根据以上信息解答下列问题： (1)求a=______，b=______； (2)试估计：假如你去转动一次转盘，获得铅笔的概率约为______．（结果精确到） 12．下表记录了某纺织厂对一批衬衣进行抽检统计的结果 抽取件数n 50 100 150 200 500 800 1000 合格数m 48 93 143 189 478 759 952 合格率 a (1)______； (2)估计从这批衬衣中任抽一件是合格品的概率为______；（精确到） (3)若从这批衬衣中抽检1200件，估计其中的次品有多少件？ 13．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，表格是实验中的部分统计数据： 摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000 摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252 摸到白球的频率m 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.01）； (2)试估算盒子里白球有 个； (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是 （填写所有正确结论的序号）． ①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“大于4”． ③从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ④在一道单选题A、B、C、D四个选项任选一个，正好选中正确选项． 14．同学们要善于用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯． (1)观察发现 为了解某种小麦的发芽率，小明团队进行了试验，他们在相同条件下进行发芽试验，结果如下表： 试验的麦粒数 发芽的麦粒数 发芽的频率 0.954 ①当试验的麦粒数位时，发芽的频率为，是小麦发芽的概率吗？（ ） A． 是     B．不是 ②当任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率是 （结果精确到） (2)迁移应用 如图，学校操场旁的地面上铺满了正方形的地砖，  现在向这一地面上抛掷半径为的圆碟，圆碟与地砖间的缝隙相交的概率是 ．（直接写出答案） 15．在七年级数学《谁转出的“四位数”大》一节课中，小明和小新分别转动标有“0﹣9”十个数字的转盘四次，每次将转出的数填入表示四位数的四个方格中的任意一个，比较两人得到的四位数，谁大谁获胜．已知他们四次转出的数字如下表： 第一次 第二次 第三次 第四次 小明 9 0 7 3 小新 0 5 9 2 （1）小明和小新转出的四位数最大分别是多少？ （2）小明可能得到的四位数中“千位数字是9”的有哪几个？小新呢？ （3）小明一定能获胜吗？请说明理由． 16．袋子中装有2个红球，1个黄球，它们除颜色外其余都相同．小明和小英做摸球游戏，约定一次游戏规则是：小英先从袋中任意摸出1个球记下颜色后放回，小明再从袋中摸出1个球记下颜色后放回，如果两人摸到的球的颜色相同，小英赢，否则小明赢． （1）请用树状图或列表格法表示一次游戏中所有可能出现的结果； （2）这个游戏规则对双方公平吗？请说明理由. 17．在一个不透明的盒子中放入三个红色小球和四个白色小球，每个小球上写有一个数字．其中，红色小球上的数字分别是1，2，3，白色小球上的数字分别是1，2，3，4，这些小球除颜色和数字外，其余完全相同． （1）从盒子中任意摸出一个小球，求摸出小球上的数字小于3的概率； （2）现将四个白色小球取出后，放入另外一个不透明的盒子内，此时，小明和小亮做游戏，他俩约定游戏规则：从这两个盒子中各随机摸出一个小球，若小球上的数字之和为奇数，则小明获胜；若和为偶数，则小亮获胜，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平． 18．某校举行数学竞赛活动，晓晨和阿进两位同学得分相同，获并列第一名，于是每人可在准备好的2件奖品中获得其中一件，为了决定谁先选择奖品，并同时检验学生所学的数学知识，某位数学老师设计了一个趣味性游戏，游戏规则为：将如图1所示的四张扑克牌（方块2、黑桃4、黑桃5、梅花5）洗匀后，背面朝上放置在桌面上，晓晨从中随机抽取一张，记下牌面数字；如图2是一枚质地均匀的正方体骰子，六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6，阿进掷一次骰子，记下骰子朝上一面的点数；若晓晨记下的牌面数字大于阿进记下骰子的点数，则晓晨先挑取奖品，否则，阿进先挑取奖品． （1）晓晨从四张扑克牌中随机抽取一张，牌面数字是5的概率是多少？ （2）请用画树状图或列表的方法说明这个游戏对双方公平吗？ 19．阅读下列材料，回答问题： 任务1：估计不规则封闭图形的面积 如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个边长为0.5米的正方形后，在附近闭上眼睛向封闭图形内丢掷绿豆（可把绿豆近似看成点），并记录如下数据（有效丢掷绿豆落在该封闭图形内，含边界）： 有效丢掷绿豆总次数 50 150 300 600 … 绿豆落在正方形内 （含正方形的边）的次数 10 35 78 149 … 0.200 0.233 0.257 0.248 … （1）当有效丢掷绿豆总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数n最可能是________； A．105        B．249        C．518        D．815 （2）请根据表格中的数据估计，如果你随机丢掷一颗绿豆（落在该封闭图形内，含边界），那么该绿豆恰好落在正方形内（含正方形的边）的概率约为___________（精确到0.01）； （3）请你利用（2）中所得概率，估计该不规则封闭图形的面积； 任务2：估计圆周率的大小 关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，请借鉴任务1的探究思路，设计一个估算圆周率的实验，写出相应的步骤，以及需要记录的数量（具体数值）或数据（用字母，…，表示），画出示意图，并写出的计算公式． 20．综合与实践 主题：池塘里有多少条鱼 活动一 情境引入 问题1：一个袋子中装有除颜色外其余都相同的红球、黑球共10个，摸到红球的概率为0.3，则袋子中有红球___________个； 问题2：在一副不完整的扑克牌中有4张A，任意抽取一张，抽到A的概率为0.2，则这副扑克牌有_____________张； 活动二：摸棋试验 分组活动进行摸球试验收集数据，每个小组的盒中有10个黑棋和若干个白棋．利用两种方法估计盒中的总棋数（将全班的小组分成两部分做不同的试验）． （1）试验并填表记录试验数据： ①方案一：每次摸1个棋子，记下棋子的颜色，放回盒中摇均匀，重复试验多次，计算黑棋出现的频率（可用画正字计算次数）． ②方案二：每次摸10个棋子，记下黑棋的个数，放回盒中摇均匀，重复试验10次，计算黑棋与样本的比值； （2）计算试验得出的总棋数（计算结果保留两位小数）； 试验次数 50 100 150 200 摸到黑棋的次数 12 26 38 50 摸到黑棋的次数 0.24 0.26 0.253 注意：每次试验前是否将盒中的棋子摇匀，每次试验后是否将棋子放回、记录数据的方法是否正确、小组成员的参与度等等． ①方案一： 估计黑球的概率是______，总棋数是_____个； 试验次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平均值 黑棋与样本的比值 黑棋个数 3 4 4 2 3 2 2 1 3 2 2.6 0.26 ②方案二：试验次数10次，每次摸10个； 活动三 设计方案： 根据刚才的两种方案，小组讨论设计方案估计池塘里鱼的数目． （1）先捞出若干条鱼，将它们记上标记，然后再放回鱼塘，等鱼分布均匀后，再捞出一条鱼，观察是否有记号后放回，经过多次重复后，并以其中有标记的鱼的比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的比例，据此可估计鱼塘中鱼的数量； （2）先捞出若干条鱼，将它们记上标记，然后再放回鱼塘，等鱼分布均匀后，再从中随机捕捞若干条鱼，并以其中有标记的鱼的比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的比例，据此可估计鱼塘中鱼的数量； 活动四 解决问题： 某人对自己鱼塘中的鱼的总条数进行估计，第一次捞出100条，并将每条鱼作出记号放入水中；当它们完全混合于鱼群后，又捞出300条，其中带有记号的鱼有20条，试估计鱼塘中有多少条鱼？ 根据以上活动，完成活动一、活动二的填空，并解决活动四提出的问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$