第15讲 几何填空压轴题（3个考点7个题型）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（浙江专用）

专题八 填空压轴题 第15讲 几何填空压轴题 （思维导图+3考点+7种题型） 考点一、三角形背景的压轴问题 题型01、三角形背景的压轴问题 考点二、多边形背景的压轴问题 题型01、多边形背景的综合问题 题型02、平行四边形背景的压轴题 题型03、矩形背景的压轴题 题型04、菱形背景的压轴问题 题型05、正方形背景的压轴题 考点三、圆背景的压轴题 题型01、圆背景的压轴题 考点一、三角形背景的压轴问题 题型01、三角形背景的压轴问题 1．（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，，，是斜边上的动点，以线段为一边并在其右侧作等边三角形，连结，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】根据正切定义得， 解得，得，以为边作等边，连接，，过点F作于点G，根据等边三角形性质证明，得，当时，可知的值最小，，，得四边形是矩形，得，可得∴，得，得，故的最小值为． 【详解】解：∵在， ∴， 解得， ∴， 以为边在上方作等边，连接，，过点F作于点G， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴当时，的值最小，的值就最小， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主在考查了相似三角形．熟练掌握勾股定理，等边三角形性质，平行四边形和矩形的判定和性质，含30度的直角三角形性质，相似三角形的判定和性质，是解题的关键． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，，，现将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当时，的长为 ． 【答案】1或2或 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，旋转的性质，特殊角度三角函数，根据得到，再以为边构造等边三角形，根据和在等边三角形上找对应的点即可． 【详解】解：如图，取中点，沿翻折，点对应点，取中点，连接，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴由翻折可得，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，取中点，取中点， ∴， ∴， ∵现将线段绕点顺时针旋转得到线段，， ∴，， ∴点分别与、、重合， 当点与点重合时，， ∴点与点重合时，， ∴点与点重合时，， 故答案为：1或2或． 3．（2025·浙江·模拟预测）如图，中，，，，以斜边为边，向上作等边三角形，则的长为 ． 【答案】 【分析】先根据勾股定理得出，再结合等边三角形的性质得，然后过点分别作，作的延长线于一点，证明四边形是矩形，然后设为，则，，在中，，在中，，则，则，整理得，解得，；在中，，故，故（舍去）；即可作答． 【详解】解：，， ， ∵是等边三角形 ， 过点分别作，作的延长线于一点，如图所示： ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 设为， 则，， 在中， 在中， 则 ∴， ∴， 整理得 ∴， 解得，； 当时，则， ∴； 当时，则 ∴； 在中，， ∴， 故（舍去）； 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质，公式法解一元二次方程，矩形的判定与性质等知识点，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在等腰中，，是边上一点，，连结，点在线段上，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】过点E作交于点P，交于点Q，则，，所以，而，则，推导出，然后可证明，再证明，得，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 【详解】解：过点E作交于点P，交于点Q，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25九年级下·浙江杭州·开学考试）如图，在中，，M是的中点，点D在上，，，垂足分别为E，F，连接，则下列结论中：①；②；③；④．正确的有 ．（只填序号） 【答案】 【分析】由，可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，结合，可得，利用可证得，然后利用全等三角形的性质即可判断结论；由现有条件无法证明，因而不一定成立，由此即可判断结论；连接、，由三线合一及直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，，进而可得，由三角形的内角和定理可得，由对顶角相等可得，于是可得，利用可证得，由全等三角形的性质可得，，进而可得，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，进而可得，由此即可判断结论；由勾股定理可得，进而可得，由此即可判断结论；综上，即可得出所有正确的结论． 【详解】解：是直角三角形， ， ，， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， 故结论正确； 由现有条件无法证明， 不一定成立， 故结论错误； 如图，连接、， ，，是的中点， ，， ， ， 且， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 故结论正确； ，， ， ， ， 故结论正确； 综上，正确的结论有：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三线合一，等边对等角，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，直角三角形的两个锐角互余，三角形的内角和定理等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 6．（2025九年级下·浙江·学业考试）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形⑤；……依此规律，则第2021个等腰直角三角形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性质和面积，根据确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形①的面积，根据确定第2个等腰直角三角形（即等腰直角三角形②的面积，，同理，确定规律可得结论，确定各个等腰直角三角形的边长是本题的关键． 【详解】解：点， 第1个等腰直角三角形的面积， ， 第2个等腰直角三角形的腰长为， 第2个等腰直角三角形的面积， ，， 第3个等腰直角三角形的腰长为， 第3个等腰直角三角形的面积， 则第2021个等腰直角三角形的面积是； 故答案为：． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点G是的重心，连接，作，使与互补，交边于点D，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了重心的性质、相似三角形的性质与判定，掌握三角形重心的性质，学会结合图形添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．连接并延长交于点M，过点G作交于点H，利用三角形重心的性质得出，再利用平行线的性质得到和的长，进而推出，再由相似三角形的对应边成比例得到，代入数据即可求出的长． 【详解】解：如图，连接并延长交于点M，过点G作交于点H， ，， ， 点G是的重心， ，， ， ，， ， ， 与互补， ， ， 又， ， ， ， ． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，和都是等边三角形，，连结，，为直线，的交点，连结，当线段最长时，的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，同弧所对的圆周角相等，圆中最长的弦相关问题，解直角三角形，掌握了以上知识是解答本题的关键； 本题先证明，得出、、、四点共圆，进而作的外接圆，当为直径时，取得最大值，即可求解． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴、、、四点共圆， 如图： 作的外接圆，当为直径时，取得最大值， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）在中，，，为边上一点，．则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，解直角三角形；作于点，则点是的中点，在外作，则，作，，从而证明，结合全等三角形的性质及解直角三角形，可得出答案． 【详解】解：作于点，则点是的中点， 在外作，则， 作，，则（角平分线的性质）， 在和中，， ， 所以． 又因为，， 所以， 因此． 故答案为：． 10．（2024九年级上·浙江金华·竞赛），点P是边上的动点，以为边，在上方构造等边三角形，连接．则面积的最大值是 ． 【答案】 【分析】如图，延长到E，使，连，过Q作交于点F，证出得出，然后利用勾股定理得出，用含的式子表示出面积，最后利用二次函数的性质即可得解． 【详解】如图，延长到E，使，连，过Q作交于点F， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 故答案为：． 【点晴】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，二次函数的性质，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 11．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，中，于点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．首先过点作，使，连接、，利用勾股定理可求，利用两边成比例且夹角相等，可证，根据相似三角形对应边成比例可得，当点、、三点共线时有最大值可求的最大值． 【详解】解：如下图所示，过点作，使，连接、， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 当点、、三点共线时有最大值，． 故答案为： ． 12．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在中，的平分线相交于点的外角的平分线，交的延长线于，连结．若，且与相似，则的长为 ． 【答案】1或2或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了三角形的内心性质和分类讨论思想的运用．先确定点为的内心，则平分，，易得，利用三角形外角性质得，所以，然后分类讨论：当时，写出相等的对应角得到，，，于是在中，则可计算出，然后利用含30度的直角三角形三边的关系得；当或时或时，利用同样的方法可判断为特殊的直角三角形，再利用特殊直角三角形的性质可求出的长． 【详解】解：如图， 、分别平分、， 点为的内心， 平分，， 是的外角的平分线， ， ， ， 当时，，，， 在中， ， ， ； 当时，，，， 在中， ， ， ； 当时，，，， 在中， ； 当时，，，， 在中， ， ； 综上所述，的长为1或2或． 故答案为：1或2或 13．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，，，，连接，过点B作于点E，延长交于点F．则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，过点作，交的延长线于点，比例关系，求出的长，勾股定理求出的长，等积法求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，证明，列出比例式求出的长，进而求出的长，证明，进而求出的长，利用，求出的长即可． 【详解】解：过点作，交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 14．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，，点A在x轴上，，射线与x轴成，把绕点O逆时针旋转a度得，点M在射线上（端点除外），若在的三个顶点中的任意两个顶点与点M构成的三角形与相似，当时，则点M的坐标 ． 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，勾股定理，设点M的横坐标为x，则可得到，由相似可得这个三角形是等腰直角三角形，然后分和两种情况，利用勾股定理分别计算长即可解题． 【详解】解：设点M的横坐标为x， ∵射线与x轴成， ∴纵坐标为， ∴点M的坐标为， ∴， 又∵在的三个顶点中的任意两个顶点与点M构成的三角形与相似， ∴这个三角形是等腰直角三角形， 当时，如图， 则， ∴， 即，解得， ∴点M的坐标为， 当时，如图， 则， ∵，， ∴， ∴ 即，解得， ∴点M的坐标为， 故答案为：或． 15．（2024·贵州遵义·三模）如图，在中，平分，，，点E为的中点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作，交的延长线于，延长交于，连接，易证，，从而得，，则，根据点为的中点得，进而得，再证，从而得，，在中根据求得和，在中由勾股定理求得，则，然后根据列方程，据此可得的长． 【详解】解：过点作，交的延长线于，延长交于，连接，如图所示： 则，， ，， ， ，点为的中点， ， ， 即点为的中点， ， ，， 平分， ， ， 即为等腰三角形， 根据等腰三角形三线合一定理得：， ， 在中，，， ， ， 由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，含的直角三角形的性质等，正确添加辅助线构造相似三角形是解决问题的关键． 16．（24-25九年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，，点D在边上，且满足，连结． 作的平分线分别交于点E，点F．若，则 ， ． 【答案】 2 【分析】过点作的平行线交的延长于点，延长至点，使，连接，延长交于点，利用平行线截线段成比例定理和角平线可得到，设，则，利用全等三角形的判定与性质得到，进而求得，最后利用角平分线的性质定理解答即可得出结论． 【详解】解：过点作的平行线交的延长于点，延长至点，使，连接，延长交于点，如图， ，，， 是的平分线， ， ， ， ， ， 设，则， ， 为的垂直平分线， ， ， ，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是的平分线， ， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了平行线截线段成比例定理，直角三角形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 17．（2024九年级下·浙江金华·专题练习）如图，在中，，，，点为上一点，点在上，且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，． （1）当点D是的中点时，的最小值为 ； （2）当，且点Q在直线上时，连接，则的值为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查勾股定理，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，分两种情况进行讨论是解题的关键． （1）根据勾股定理得到长，当点在上时，最小，计算即可； （2）现根据三角形的面积求出长，然后利用勾勾股定理求出长，分两种情况：当点在上，当点在的延长线上，分别进行计算即可解答． 【详解】解：（1）当点是的中点时，如图所示，以为圆心，以长为半径作圆，交于点，则为最小值， ，，， ， 是的中点， ， ， ， 故答案为：； ； （2）如图： ， ， ， ， ， 点、、在同一条直线上，由旋转得： ， 分两种情况： 当点在上，过点作，交于点， ， ， ， 即， ， ， ， ； 当点在的延长线上，过点作，交于点， 同理可得， 综上所述： 的值为或， 故答案为：或． 18．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，为一条宽为4米的河，河的西岸建有一道防洪堤，防洪堤与东岸的高度差为3米（即米），因为施工需要，现准备将东岸的泥沙通过滑轨送到西岸的防洪堤上，防洪堤上已经建好一座固定滑轨一端的钢架，现准备在东岸找一个点P作为另一端的固定点，已知吊篮的截面为直径为1米的半圆（直径米），绳子米，钢架高度2.2米（米），距离防洪堤边缘为0.5米（米）． （1）西岸边缘点C与东岸边缘点D之间的距离为 米； （2）滑轨在运送货物时保持笔直，要想做到运输过程中吊篮一定不会碰到点C，则的长度应大于 米． 【答案】 5 【分析】（1）连接，利用勾股定理求解即可； （2）延长交于点G，过点Q作于点K，延长与相交于点O，根据等腰三角形的性质和勾股定理求得，从而求得吊篮的总长度为，根据题意可得点C到滑轨的距离不小于1.7，再利用可得，设，根据比例关系即可求出． 【详解】解：（1）如图所示，连接， 由题意可知， 则由勾股定理可得：， 故答案为：5； （2）如图所示，延长交与点G，过点Q作于点K，延长与相交于点O， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∵滑轨在运送货物时保持笔直，要想做到运输过程中吊篮一定不会碰到点C，设切点为J，延长交与点W． 则， ， ， ， 即， ∴， 则至少为米， ∵， ∴， ∴， 设，则，，，， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质，构造相似三角形和求出吊盒的总长度是解题的关键． 考点二、多边形背景的压轴问题 题型01、多边形背景的综合问题 19．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，三个正六边形如图摆放，则＝ ．    【答案】 【分析】本题考查了正多边形的外接圆、锐角三角函数以及直角三角形的边角关系等知识，根据正六边形的性质构造直角三角形，再根据正六边形的性质用正六边形的边长，表示、，由勾股定理求出，再由锐角三角函数的定义进行计算即可，掌握正六边形的性质、直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 【详解】解：如图，取的中点，则点为正六边形的外接圆的圆心，为半径 正六边形的一个中心角为 所以正六边形的边长等于其外接圆的半径 过作 则可得 由多边形内角和得 设正六边形的边长为，则 即 在直角中，， 故答案为：．    20．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边与轴正半轴重合，顶点在轴正半轴上，，将正六边形绕坐标原点顺时针旋转，每次旋转，那么经过第次旋转后，顶点的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，延长交轴于点，根据正六边形的性质及它在坐标系中的位置，求出点的坐标，再根据旋转的性质即可求出旋转次后顶点，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交轴于点，    在正六边形中， ，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， ∴将正六边形绕坐标原点顺时针旋转，第一次旋转后，点的坐标为 ，第二次旋转后，点的坐标为，第三次旋转后，点的坐标为， 故答案为：． 21．（22-23九年级下·浙江衢州·阶段练习）拓展课上，同学们准备用卡纸做一个底面为边长为的正六边形，高为的无盖包装盒，它的表面展开图如图1所示． （1）若选用长方形卡纸按图2方式剪出包装盒的表面展开图，则的长为 ； （2）若选用一块等边三角形卡纸按图3方式剪出包装盒表面展开图，则这个等边三角形的边长为 ． 【答案】 / / 【分析】（1）如图所示，设正六边形的圆心为O，过点O作于N，交于M，连接，先证明四边形是矩形，得到，求出，则可证明是等边三角形，得到，，利用勾股定理求出，得到，则由对称性可知； （2）如图所示，设正六边形的圆心为O，过点O作于N，于M，由（1）可得，先得到，证明，得到，求得，同理可得，则． 【详解】解：（1）如图所示，设正六边形的圆心为O，过点O作于N，交于M，连接， 由题意得，四边形是矩形，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由正六边形的性质可得， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴由对称性可知， 故答案为：； （2）如图所示，设正六边形的圆心为O，过点O作于N，于M， 由（1）可得， ∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，等边三角形的性质与判定，正方形的性质，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键． 题型02、平行四边形背景的压轴题 22．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在平行四边形中，点E，F，G分别在边，，上，且，，，，若，，则的长是 ． 【答案】 【分析】延长交的延长线于点，连接，过点作，，证明，推出，斜边上的中线得到，证明四边形为平行四边形，推出，，设，双勾股定理列出方程求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：延长交的延长线于点，连接，过点作，， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴ 设，则：， ∵， ∴在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线等知识点，添加辅助线构造相似三角形和特殊图形，是解题的关键． 23．（21-22九年级·浙江·自主招生）如图，在中，．将绕点旋转至．使得点落在对角线上，若此时B、E、D、F恰在同一条直线上，则C、G两点间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，连接，可证明是，是等腰三角形，证明求得的长，证明，进而得出、、共线，进一步得出的长． 【详解】如图， 连接， 将绕点旋转至， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ∴，， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∵是等腰三角形， ∴是等腰三角形， ， 点、、共线， ， 故答案为：． 24．（21-22九年级·浙江杭州·自主招生）如图，已知是圆O的直径，，是圆O的切线，圆O与交于点F，点E是的中点，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是切线的性质、平行四边形的性质、圆周角定理及扇形面积公式，正确作出辅助线是解决此题的关键． 如图：连接，根据平行四边形的性质及圆的性质可得，再根据中位线定理得，然后由切线的性质及扇形面积公式、三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接OF， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵是圆O的直径， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴F是的中点， ∴， ∵是圆O的切线， ∴， ∴， ∵， ∴ ． 故答案为：． 25．（2024·浙江宁波·二模）如图，在中，平分交于点，过作交于点，延长至点，使得，连结，若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，等积法求线段长等知识点．连接，过点作，过点作，易得四边形为平行四边形，得到，平行加角平分线，得到，进而得到，设，互余关系结合三角形的内角和定理，推出，根据，得到，进而求出的长，进而求出的长，锐角三角函数求出的长，等积法求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，过点作，过点作， ∵， ∴，，，， ∴， ∵，且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 26．（23-24九年级下·浙江宁波·期中）如图，点B、C、E三点在同一条直线上，矩形矩形，点M，N分别是的中点，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接、、，由矩形的性质和勾股定理求出，由矩形的性质得出是的中点，是的中点，证出是的中位线，由三角形中位线定理得出，由等腰直角三角形的性质得出，进而即可得出结果． 【详解】解：连接、、，如图所示： ∵矩形≌矩形， ∴， ∴， 与互相平分，与互相平分， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵矩形矩形， ∴矩形是矩形绕点顺时针旋转所得， ∴， ∴是等腰直角三角形， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握矩形的性质，由三角形中位线定理求出是解决问题的关键． 27．（2024·浙江·三模）如图，在中，点E和点F分别在和上，，将沿直线EF翻折，点D落在边上的点G处，若 则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形与折叠，相似三角形的判定和性质，连接,交于,交于，先证明，然后根据面积比等于相似比的平方得到，设，则，表示出，，再设，则，然后推导，则有，得到，代入求比值即可． 【详解】连接,交于,交于， ∵由翻折得到， ∴， ∵， ∴ ， ∵四边形为平行四边形 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴，即， 设，则， ∴， 由翻折得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 28．（2024·浙江温州·一模）如图1木工师傅将三块不全等的平行四边形木板拼成了一个邻边长为5和 12的大的平行四边形木板，然后通过裁剪又拼成了一个不重叠，无缝隙的大正方形木板如(图2)，数据如图所示，记图 1 中三个小平行四边形的中心分别为 A，B，C，点 A，C 的图2 中的对应点记为 连结 和 当 时, MN的长为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得，,结合点B是对角线的中点，点C是对角线的中点，计算，正方形的面积等于平行四边形的面积，得到，，设，则，则，，根据勾股定理，得，计算即可，本题考查了平行四边形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，拼图的性质，熟练掌握勾股定理，正方形的性质是解题的关键． 【详解】根据题意，得，,则， ∵点B是对角线的中点，点C是对角线的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则 则， ∵， ∴, 故点C到得距离等于点到得距离，为， 设与的交点是Y， 则， ∵, 故 解得， 故答案为：． 29．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）在矩形中，，点M是平面内一动点，且满足，N为的中点，点M运动过程中线段长度的取值范围是 ．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，圆外一点到圆上点的距离的最值，把求的最值转化为求的最值是关键；确定点M的运动路径；延长到E，使，连接，交于点F、G；利用三角形中位线定理及圆的基本性质即可求得线段长度的取值范围． 【详解】解：∵， ∴在以B为圆心4为半径的圆上运动； ∵四边形为矩形， ∴； 延长到E，使，连接，交于点F、G； ∵N为的中点， ∴； 当M与F重合时，最小，且最小值为长；当M与G重合时，最大，且最大值为长； ∵，， ∴； ∴，， ∴的最小值为，的最大值为， 则线段长度的取值范围是．    故答案为：． 30．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，点分别是各边的中点，，，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的面积，过点作于点，连接，先求出的面积，再根据三角形中位线的性质得到，根据相似三角形的性质推导出，同理推导，即可求解，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，则，连接， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵点分别为的中点， ∴，， ∴，且相似比等于， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得，， ∴， 故答案为：． 31．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）平行四边形中，为对角线，点为上一点，过点作直线交边于点，交于点，连结，若，，，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定与性质，构造相似三角形是解答本题的关键． 过点作于点，过点作于点，设，则，利用平行四边形的性质，含角的直角三角形的性质，求得，，设，则，利用勾股定理求得，，利用相似三角形的判定与性质，求得，的关系式，求得，再利用相似三角形的性质，得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 四边形ABCD是平行四边形， ，， ， ， ， ， 设，则， ， ，， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ，， ， ． ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 32．（2023·浙江台州·二模）如图，四边形为平行四边形，，，，，延长，，交，于点E，G，若，直线经过中点，则的长度为 ．    【答案】 【分析】设直线分别交、于M、N，则，根据全等三角形的判定与性质和平行四边形的性质证得四边形是矩形，进而得到，，再证明和四边形是平行四边形得到，设，则，，，利用正切定义求得，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设直线分别交、于M、N，则N为的中点，即，    ∵，，，， ∴，，，， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴，，又， ∴四边形是矩形， ∴，，又， ∴，，又， ∴， ∴，即，又， ∴四边形是平行四边形， ∴，则， ∵， 故设，则，，， 由得，则， 解得， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、解直角三角形等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键，本题有点难度，属于填空题的压轴题型． 33．（2023·浙江宁波·一模）如图，在中，点是边上的一点，若，，将沿翻折得，连结，点在的延长线上，恰好平分，则的长为 ，的值为 ． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质以及折叠的性质得出，进而得出，延长交的延长线于点，过点分别作的垂线，垂足分别为，根据，证明，求得，进而勾股定理求得，，根据得出，进而勾股定理求得，根据余弦的定义，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵将沿翻折得， ∴，,， 设 ∵恰好平分， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， 又∵ ∴； 如图所示，延长交的延长线于点，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，则， 在中， ∴ 解得： 则， 在中， ∵ ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，折叠的性质，平行四边形的性质，求余弦，熟练掌握以上知识是解题的关键． 34．（2024·浙江·一模）如图，在中，D为斜边的中点，点E在边上，将沿叠至． 若的延长线经过点D，平分，，则的值为 ，的长为 ． 【答案】 / 【分析】如图所示，取中点H，连接，先证明是的中位线，得到，则，由折叠的性质可得，根据三角形中线平分三角形面积得到，则，即可得到；设，则，，，如图所示，过点A作交延长线于T，证明，得到；再证明，得到，即，可得，由勾股定理得，即，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，取中点H，连接， ∵D为斜边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∵D为斜边的中点， ∴， ∴，即， ∴； 设，则， ∴， ∴， 如图所示，过点A作交延长线于T， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理与折叠问题，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，三角形中线的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 35．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，已知矩形，将矩形绕A顺时针旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，连结．      （1）如图①，当时，的长为 ； （2）如图②，点是的中点，连结，在旋转过程中，线段的最大值为 ． 【答案】 【分析】（1）连接、，根据勾股定理先求出对角线的长，再利用旋转得到，，再次利用勾股定理即可解题； （2）连接，交于点O，连接，，则，即点M在以为圆心，以为半径的圆上运动，根据直径是圆中最长的弦可知，当为直径时，即点M与点D重合时，最大，解题即可． 【详解】解：（1）连接、， ∵是矩形， ∴， 又∵，， ∴， 由旋转可得， ∴； 故答案为：；    （2）连接，交于点O，连接，， ∵是矩形， ∴， ∵点M是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点M在以为圆心，以为半径的圆上运动， 根据直径是圆中最长的弦可知，当为直径时，即点M与点D重合时，最大，最大为：， 故答案为：．    【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线，勾股定理，圆的性质，掌握这些知识点灵活运用是解题关键． 36．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）在平行四边形中（顶点A，B，C，D按逆时针方向排列），，，，，P是边一动点，点C，D同时绕点P按逆时针方向旋转得点，． ①如图1，若点落在射线上时，则 ． ②若是以为直角时，则 ． 【答案】 或 【分析】①求得，证明，得，设，证明，得，即可得解； ②根据旋转的性质得到，，，当以A为直角顶点时，设与射线的交点为T，过C作于点H．，，，根据全等三角形的性质得到，推出，．设，则，进而根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：①在中，，，，， 在中，由勾股定理得：， 如图，过点C作于点H，过作交延长线于点Q， 则， ， ， ， 由旋转的性质得：， ， ， 设，则，，， ，， ， ， ， 即， 解得：， ， 即的长为； 故答案为：； ②点C、D同时绕点P按逆时针方向旋转得点、， ，，， ， ， 当以A为直角顶点时，如图， 设与射线的交点为T，过C作于点H． ， ， 点C，D同时绕点P按逆时针方向旋转得点、， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，． 设，则， ， ，， ， ， ， ， 解得：， ， 的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 37．（2024·浙江·一模）已知四边形是平行四边形，，，点E是边上一个动点，连接，沿将翻折至（如图1），所在的直线与交于点H． （1）当点E与点D重合时（如图2），则的长为 ； （2）当取最大值时，的长为 ． 【答案】 【分析】（1）如图2所示，过D作的延长线于，设，则，由折叠、平行四边形可得，则，，可得，，，由勾股定理得，，即，计算求解即可； （2）由折叠、平行四边形可得，则，由，可知当最短时，最大，如图所示，当时，有最大值，由（1）可得之间的距离为，则 ，设，则，由折叠可得，由勾股定理得，，即，计算求解满足要求的解即可． 【详解】（1）解：如图2所示，过D作的延长线于， 设，则， 由折叠可得， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 由勾股定理得，，即， 解得， 故答案为：． （2）解：由折叠可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当最短时，最大， 如图所示，当时，有最大值， 由（1）可得之间的距离为， ∴当时， ， 设，则， 由折叠可得， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理等知识．熟练掌握折叠的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理是解题的关键． 题型03、矩形背景的压轴题 38．（24-25九年级下·浙江·阶段练习）如图，把一张矩形纸片沿折叠，点的对应点为，交于点．若点为的中点，平分，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握是解答本题的关键．延长交于点，可证，得到，设，，则，根据平行线分线段成比例得到，得到，能够得到，根据勾股定理得，，能够得到，先计算即可求得． 【详解】解：延长交于点， 由折叠得，，，， 平分， ， 在和中， ， ， ， 点为的中点， ， 设，，则， 在矩形中， ，， ， 即， ， 即， ， 即， ， 在中，， 在中，， ， ， 即， 化简得， 解得（舍），， 即， ， 即， 故答案为：． 39．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在矩形中，，动点E从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿向右运动，同时动点F从点D出发、以每秒4个单位长度的速度沿向左运动，当点F到达点A时运动停止，连接，过点C作于点G，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】连接交于点M，取中点，连接，证明，推出，即得到点M为定点，由，得到点G在以为直径的圆上运动，即点G在上运动，当重合时，有最大值，最大值为的长，此时，过点M作于点H，由勾股定理求出，在求出，由，求出，进而求出，利用勾股定理即可求出，进而得解． 【详解】解：连接交于点M，取中点，连接， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即得到点M为定点， ∵， ∴， ∴点G在以为直径的圆上运动，即点G在上运动， 当重合时，有最大值，最大值为的长，此时，过点M作于点H，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了两动点连线经过定点的问题与圆中最值问题，涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形，正确作出辅助线构造相似三角形，找到点G的运动轨迹是解题的关键． 40．（2025九年级下·浙江·学业考试）如图，在中，，在上有50个不同的点，过这50个点分别作的内接矩形，每个内接矩形的周长分别为，则 ．    【答案】200 【分析】此题考查了矩形的性质、勾股定理、等腰三角形性质、三角函数等知识．此题难度较大，注意数形结合思想与转化思想的应用是解此题的关键．首先过点A作于H，交于点M．由，可求得的长，由勾股定理可求得的长，利用等腰三角形的性质和三角形函数得到，又由四边形是矩形，可得，则可求得的值，同理可求得，……，的值，继而求得答案． 【详解】    解析：过点A作于点D，交于点M． ， ， ， 平分 平分且垂直 ， 为矩形，且 ， ∴矩形的周长． 同理可求得其它的内接矩形的周长均为4， ． 41．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，在矩形中，，，点P在直线上运动，以为直角边向右作，使得，，连接，则长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查动点最值问题，涉及矩形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 过点作于点，与交于点，证明，设，根据相似三角形的相似比，用表示，并求得，进而根据勾股定理，用表示，根据二次函数的性质求得的最小值，最后便可求得的最小值． 【详解】解：过点作于点，与交于点，如图所示： ，， ∵， ， ， ， ， 设，则， ∵， ， ，， ， ， ∵，即抛物线开口向上， 当时，的最小值为， 长的最小值为， 故答案为：． 42．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）在一次课题学习中，某学习小组受赵爽弦图的启发，将正方形改编成矩形，如图所示，由两对全等的直角三角形（，）和矩形拼成大矩形．若，矩形与矩形的面积比为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质，直角三角形的内角关系，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．先利用矩形性质和全等三角形的性质判定，得出，设，，再分别表示出，，即可表示出和，利用矩形与矩形的面积比为，列式化简即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵，，且这四个三角形均为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ， ∵矩形与矩形的面积比为， ∴， 化简得：， 则（负值舍）， 即， 故答案为：． 43．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点，平分，交于点，作于点，分别交，于点，．记的面积为，的面积为，当时，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】证，得，过点作交于，则．先证，再证，过点作于，则，利用相似三角形的性质以及勾股定理解决问题即可． 【详解】解：平分， ， ， ， 又， ， ， 如图1，过点作交于， 则． ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ． 如图2，过点作于， 则， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ，， 又，， ∴ ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定和性质、勾股定理以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 44．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠，使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，设，由折叠的性质可得到，利用矩形的性质得到，最后利用相似多边形的性质计算即可求解，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：设， ∵四边形是一张矩形纸片， ∴，， 由折叠的性质得，，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴， ∴， 解得，（不合，舍去）， ∴， 故答案为：． 45．（18-19九年级上·山东青岛·单元测试）如图，已知正方形纸片，E为延长线上一点，F为边上一点，将纸片沿翻折，点C恰好落在边上的点H，连接，，．交于点N，、、恰好交于一点M．若，，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】作于P，首先证明，，推出，设正方形边长为a，在中利用勾股定理求出a，再由，得，由，得，分别求出、即可解决问题． 【详解】解：作于P， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 由翻折性质可知，， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴，， ∴，， ∴， 设正方形边长为a，在中，∵， ∴， ∴或（舍弃）， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 46．（2024·浙江·模拟预测）如图，矩形，点P是边上一点，连接，将沿折叠得，连接并延长交于点M，若，，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了翻折的性质，矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，相似三角形的判定与性质，交交于点E，根据，，得，，根据四边形是矩形得，，根据，以及勾股定理得，将沿折叠得得垂直平分，则，，根据得，可得，根据，得，，可得，即可得，则，计算得，在中，根据勾股定理得，即可得，掌握所考查的知识点，能灵活运用相关图形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示，交交于点E， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵将沿折叠得， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ， ， 在中，根据勾股定理得， ， ∴， 故答案为：． 47．（2025·浙江宁波·一模）如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点B的对称点F在边上，G为中点，连结分别与交于M，N两点，若，，则的长为 ，的长为 ． 【答案】 4 【分析】根据矩形的性质及，可得，从而得到，然后连接，可得四边形是菱形，从而得出平分，再证明，可得，最后证明，即可得解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴ ∵点G是的中点， ∴． 如图，连接， 根据题意，得． ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得（舍去）或， ∴， ∴． 故答案为：4，． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，菱形的性质和判定，作出辅助线构造全等（相似）三角形是解题的关键． 48．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在矩形内放置6个与正方形相同大小的正方形，点E，F，M，N分别落在上，则的值是 ，若点C，H，G在同一直线上，正方形的边长是1，则矩形的周长是 ． 【答案】 /0.5 / 【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活利用相似三角形的判定与性质成为解题的关键． 先利用矩形的性质及已知条件证明、进而得到，再利用相似三角形的性质即可求得的值；设，则、、，由可得，即；再证明可得，从而求得，然后求出、的长度，最后根据矩形的周长公式即可解答． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴； 设，则，，， ∵， ∴，解得：， ∴ ∵， ∴， ∵ ∵， ∴，即，解得：， ∴，， ∴矩形的周长是． 故答案为：，． 49．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在矩形中，，，E，F分别为，边的中点．动点P从点E出发沿向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿向点C运动，连接，过点B作于点H，连接．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段扫过的面积为 ，线段长度的最小值为 ． 【答案】 / 【分析】连接交于M，连接，取的中点O，连接，过点O作于N，易得四边形为矩形，，推出和的长，根据，得到当O，H，D共线时，最小；再当点P运动到点A时，点Q运动到点N，则在点P从点E运动至点A的过程中，线段扫过的面积为，进行求解即可． 【详解】解：连接交于M，连接，取的中点O，连接，过点O作于N，连接， 则， ∵矩形，，E，F分别为，边的中点， ∴，，，， ∴四边形为矩形，，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，由于M和B点都是定点，所以其中点O也是定点，当O，H，D共线时，此时最小， ∴的最小值为； ∵点P的速度是点Q的速度的2倍， ∴当点P运动到点A时，点Q运动到点N， ∴在点P从点E运动至点A的过程中，线段扫过的面积为， ∴； 故答案为：，． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线．解题的关键是条件辅助线，构造相似三角形和直角三角形，利用两点之间线段最短得到线段的最小值． 50．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，在长方形ABCD中，，点P为边AD上的一个动点，以BP为边向右作等边，连接．当点落在边BC上时，的度数为 ；当线段的长度最小时，的度数为 ． 【答案】 【分析】当点落在边上时，作出图形，根据等边三角形的性质，可求出的度数；以为边向右作等边，连接．利用全等三角形的性质证明，推出点在射线上运动，当时，的长最小，设交于点，再证明是等腰直角三角形，可得结论． 【详解】解：当点落在边上时，如图， 是等边三角形， ， ； 以为边向右作等边，连接． 是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， 点在射线上运动， 如图，设交于点， 当时，的长最小，此时， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：，． 【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 51．（24-25九年级下·浙江杭州·开学考试）如图，在矩形中，，将矩形对折，得到折痕；沿着折叠，点D的对应点为E，与的交点为F；再沿着折叠，使得与重合，折痕为，此时点B的对应点为G，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质与判定、勾股定理与折叠问题、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点，结合图形证出合适的直角三角形和相似三角形是解题的关键．由折叠的性质得到，，利用角的和差以及平角的定义推出；利用矩形的性质得到，，，，结合折叠的性质证出四边形、都是矩形，设，通过证明得到，再设，在中利用勾股定理建立方程，解出的值得到，即可解答． 【详解】解：由折叠的性质得，，， ， ； 矩形， ，，，， ， ， ， 设，则， 由折叠知，， 又，， 四边形、都是矩形， ，， ， ，即， ， ， ，即， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ． 故答案为：；． 52．（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，矩形中，，，点是线段上一个动点，连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接，． （1）当时，求 °； （2）当 时，能使与面积相等． 【答案】 或． 【分析】（1）作于点，可证明，可得，，从而得到，即可求解； （2）点在矩形的内部，作于点，设，则，由（1）得，从而得到，，根据，求出m的值；点在矩形的外部，作交的延长线于点，可证明，设，则，可得，，根据，求出m的值，即可． 【详解】解：（1）如图1，作于点， 四边形是矩形， ，，， 由旋转得，， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， ， 故答案为：． （2）如图2，点在矩形的内部，作于点， ， ， 设，则， 由（1）得， ，， ， ，，且， ， 解得，（不符合题意，舍去）， ； 如图3，点在矩形的外部，作交的延长线于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， 设，则， ，， ， ，，且， ， 解得，（不符合题意，舍去）， ， 综上所述，当或时，能使与面积相等， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，一元二次方程的解法，作适当辅助线得到全等三角形是解题的关键． 53．（2024·浙江温州·三模）在矩形中，， 如图1， 将矩形沿折叠， 使得点B和点D重合， 则折痕的长为 ； 如图2，将矩形沿折叠．使得点D落在 边上的点G处，点C落在点 P处，得到四边形， 若 则的长为 ． 【答案】 / / 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，折叠与轴对称的性质，三角函数的应用，勾股定理的应用，相似三角形的性质与判定，解决本题的关键是作出正确的辅助线． 连接，过点E作，根据矩形的性质及各角之间的等量代换得出，再由相似三角形的判定和性质即可求解； 先证明，利用三角函数求出的长，利用勾股定理在中求出，在中求出与，在中求出，从而求得与的长，证明，由此求出与的长，从而得的长，在中利用勾股定理求． 【详解】解：如图所示，连接，过点E作， ∴，， ∵矩形， ∵矩形沿折叠， 使得点B和点D重合， ， ∴， ∴， ∴， ， ， ； 过点作于，过点作于， 四边形是矩形， ，，， ， 四边形是矩形， ，． 由轴对称的性质可知，，， ， ， ， ， ，即， ，解得． 在中，． 设，则， 在中，，即， 解得， ，． 在中，． ． ， ， 又， ， ，即， ，， ． 在中，． 故答案为：；． 题型04、菱形背景的压轴问题 54．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在菱形中，，对角线，相交于点，直线分别与边，交于点，，将沿翻折得，的对应边恰好经过点，与交于点，已知，，则与的面积之比为 ． 【答案】 【分析】本题主考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积比的相关知识点，掌握知识点的应用是解题的关键． 由菱形性质得，，，又和，设，，则，易求，再解可得，然后根据折叠可知，结合，建立方程求出，证，求出和，进而求出，最后证，然后根据面积比等于相似比的平方即可得解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴设，，则， 在中，， ∴， 如图，过作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 由折叠性质可知：， ∴，解得：， ∴，，， 由折叠性质可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴相似比为， ∴与 的面积之比为， 故答案为：． 55．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在菱形中，，，点是直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，当点的对应点恰好落在菱形的边所在的直线上时，线段的长为 ． 【答案】或或 【分析】如图，过点作于，在直线上，点右边取一点，使，过点作于，过点作于，由在菱形和垂直可得，得到四边形为矩形，推出，，再旋转可证明，得到，，再证明，得到，即可得到、、都在一条直线上，即点运动轨迹为直线，最后根据点的对应点恰好落在菱形的边所在的直线上分情况讨论，分别求解即可． 【详解】解：如图，过点作于，在直线上，点右边取一点，使，过点作于，过点作于， ∵在菱形中，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴∥，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵点、、都在直线上， ∴、、都在一条直线上，即点运动轨迹为直线， ∵点的对应点恰好落在菱形的边所在的直线上， ∴当点的对应点恰好落在菱形的边所在直线时，此时在处，在处，此时； 当点的对应点恰好落在菱形的边和所在直线时，此时在处，连接，则，，可得，由可得是等腰直角三角形，即在处，此时； 当点的对应点恰好落在菱形的边所在直线时，如图，过点作于，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵中，， ∴，， ∴， 解得， 综上所述，当点的对应点恰好落在菱形的边所在的直线上时，线段的长为或或； 故答案为：或或． 【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是确定点的运动轨迹． 56．（2024·浙江杭州·二模）如图，在菱形中，过顶点作，，垂足分别为，，连结．若，的面积为1，则菱形的面积为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、锐角三角函数定义、勾股定理以及三角形面积等知识，过点作于点，证明，得，则，设，再由平行线的性质得，进而由锐角三角函数定义得，则，由三角形面积公式求出，然后由勾股定理求出，即可解决问题，熟练掌握菱形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， 四边形是菱形， ，，， 在和中， ， ， ， ， 即， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：18． 57．（2024·浙江·中考真题）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，．线段与关于过点O的直线l对称，点B的对应点在线段上，交于点E，则与四边形的面积比为 【答案】/ 【分析】此题考查了菱形的性质，轴对称性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 设，，首先根据菱形的性质得到，，连接，，直线l交于点F，交于点G，得到点，D，O三点共线，，，，然后证明出，得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】∵四边形是菱形， ∴设， ∴， 如图所示，连接，，直线l交于点F，交于点G， ∵线段与关于过点O的直线l对称，点B的对应点在线段上， ∴，， ∴ ∴点，D，O三点共线 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 由对称可得， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 58．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，将菱形的边翻折到，使C的对应点落在对角线上，再将边翻折到，使B的对应点与的外心重合，连结．则与的面积比为 ． 【答案】 【分析】连接，则，由菱形性质，则点A、在线段的垂直平分线上，即三点在同一直线上，即在菱形的对角线上，设交于点O，则，设菱形的边长为a；易证，由相似三角形的性质得，从而可求得，则与的面积比为，从而可求得比值． 【详解】解：如图，连接， 为的外心， ， 四边形是菱形， ， 点A、在线段的垂直平分线上，即三点在同一直线上， 在菱形的对角线上； 设交于点O，菱形的边长为a； 四边形是菱形， ，，， ； ， ， ， ， ； 即， 由已知得， ， 解得（负值已舍去）， ， ，， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，解一元二次方程，外心的性质，关键是证明三点共线． 59．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，在菱形中，以对角线上一点为圆心，长为半径的圆恰好经过点，，连结并延长交于点．若，，则半径长为 ； ． 【答案】 8 【分析】连接交于点，过点作，由两次勾股定理得，解得，设，则，则，由得到解得：，则半径；由，得到，则，那么，而，则，则，由菱形的对称性可知：，则，即可求解． 【详解】解：连接交于点，过点作， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， 设，则， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴ 解得：， ∴半径； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由菱形的对称性可知：， ∴， ∴， 故答案为：8，． 【点睛】本题考查了圆的概念，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，难度较大，熟练掌握知识点是解题的关键． 60．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，在菱形中，E是上一点，连接，将沿直线翻折，使得点B落在上的点处，连接并延长交于点F， （1）若点E恰为中点，则的值为 ； （2）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】（1）如图，延长、，交于，由折叠的性质可得，，，由E为中点，可得，由菱形的性质可得，，，则，，，证明，则，，证明，则，计算求解即可； （2）如图，延长、，交于，由折叠的性质可得，，，，设，则，先证明，得到，则，证明，求出，则，再证明，得到；由，得到，则，可得，则，如图所示，过点D作于G，则，则． 【详解】解：（1）如图，延长、，交于，    由折叠的性质可得，，， ∵E为中点， ∴， 由菱形的性质可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，延长、，交于，    由折叠的性质可得，，，， 设，则， 由菱形的性质可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点D作于G， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造相似三角形和全等三角形是解题的关键． 题型05、正方形背景的压轴题 61．（2025·浙江·模拟预测）七巧板是中国古代人民创造的益智玩具，被誉为“东方魔板”．小明用一个边长为4的正方形制作出如图1的七巧板，再用这副七巧板拼出了如图2的“灵蛇献瑞”图．过该图形的三个顶点作圆，则这个圆的半径长为 ． 【答案】 【分析】如图，由题意易得，，④⑥⑤都为等腰直角三角形，③是正方形，⑦是平行四边形，然后根据拼图前后可知，进而可得四边形是平行四边形，，，最后根据垂径定理及勾股定理可进行求解． 【详解】解：如图1， ∵四边形是正方形，且边长为4， ∴，， ∴， 由图可知：④⑥⑤都为等腰直角三角形，③是正方形，⑦是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， 设该圆的圆心为I，连接，延长，交于一点J，与交于一点R， 由拼图可知：， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理可知：， 在中，由勾股定理可知：， ∴， 解得：， ∴， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质与判定、垂径定理及勾股定理，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题的关键． 62．（2025·浙江宁波·一模）已知正方形中，射线与边交于点，过点分别作射线的垂线，垂足分别为．设，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形性质，勾股定理，三角形的面积的应用，根据题意得出是解题的关键． 连接，，根据三角形的面积公式得出，根据，推出，当时，有最小值． 【详解】如图，连接，， ∵正方形的边长为1， 由勾股定理得： ∵和的边上的高， ， ， 当时，有最小值， 故答案为：． 63．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，正方形的边长为1，为边上一点，将沿翻折至，连结．若，则 ． 【答案】 【分析】过点作，过点作，交于点，交于点，可证明，则，，利用勾股定理求出，，进而求出，，，，，，最后利用，得出，求得． 【详解】解：过点作，过点作，交于点，交于点． 正方形， ， 由折叠可知，， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 在中， ， ， ，， ， ，，，， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，掌握翻折的性质，正方形的性质和相似三角形的判定与性质是正确解答的关键． 64．（24-25九年级下·浙江金华·阶段练习）如图，正方形中，点是边的中点．连接，在上找一点，连接，将绕点顺时针旋转到．，延长线交于点．若，当F，E，G三点共线时， ． 【答案】 【分析】连接，过H作，交的延长线于P，判定，得出，，根据，即可得到，，再设，则，根据，可得，根据，可得方程，即可得到，最后根据进行计算即可． 【详解】解：如图所示，连接，过H作，交的延长线于P， 绕点A顺时针旋转到，则，， 即是等腰直角三角形， 又∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵正方形中，点是边的中点，， ∴， ∴中，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴中，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及旋转变换性质等知识的综合运用，根据题意作出辅助线，利用全等三角形的对应边相等和相似三角形的对应边成比例是解决问题的关键． 65．（24-25九年级下·浙江温州·阶段练习）如图，在正方形中，是边上一点，．将沿翻折得，延长、分别交于点、，过作交于点，则与的面积比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求得，可得，再利用勾股定理求得，最后利用相似三角形的性质，即可解答，正确做出辅助线，利用勾股定理表示出的长是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 根据折叠的性质可得， 四边形为正方形， ， 在与中， ， ， ， 设，则, 设，则，, 在直角三角形中，， 即， 解得， ， ， ， 与的面积比为， 故答案为：． 66．（2025·浙江宁波·一模）如图， 已知正方形的边长为3， P是中点， 点F在上且满足，延长分别交于点M，交的延长线于点E，则 的长为 ． 【答案】 【分析】连接，过作于，交于，证明，求解，证明四点在同一个圆上，可得，证明，设，则，求解，，求解， ，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，过作于，交于， ∵正方形， ∴四边形，四边形为矩形，， ，， ∴，， ∵P是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四点在同一个圆上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∴， 解得：，（舍去）， ∴，， ∵， ∴， 解得：，经检验符合题意； ∵，， 同理：， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，圆周角定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 67．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）如图，两条互相垂直的线段，将正方形分割成①、②、③、④四块，恰好拼成一个如图所示的大正方形．连接，若图1中的，，则图中的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数，正方形的性质，全等三角形，勾股定理等知识，解题的关键是掌握锐角三角函数的应用，正方形的性质，全等三角形判定和性质，勾股定理的应用，根据全等三角形的判定和性质，得，得到，，根据勾股定理，求出，根据，，得到，根据勾股定理，求出，再根据平移的性质，可得，，，过点作，过点作，连接，根据全等三角形的判定和性质，得，推出，，最后根据勾股定理，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由图可得，正方形以为边长，且，，， 过点作，过点作，连接， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 68．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，已知正方形，边长为4，正方形内有一动点，．连接，则线段的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】先得出动点在的外接圆中的劣弧上，过圆心作，交延长线于点，连接，设的优弧上有一点，连接，再解直角三角形求出的长，然后利用勾股定理可得的长，最后根据即可得． 【详解】解：∵正方形，边长为4， ∴， ∵正方形内有一动点，， ∴如图，动点在的外接圆中的劣弧上， 过圆心作，交延长线于点，连接， 设的优弧上有一点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由三角形的三边关系可知，（当且仅当点共线时，等号成立）， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、解直角三角形、勾股定理、三角形的三边关系、正方形的性质等知识，正确得出动点的运动轨迹是解题关键． 69．（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）如图，正方形的边长为，点，分别为边，上一动点，且连接，相交于点，点，分别是，的中点，连接，点为的中点点从点运动到点的过程中，线段扫过的面积为 ． 【答案】/ 【分析】取的中点，连接，取的中点，连接，，可证明，得，再证明，则，以点为圆心，以长为半径作，则点、点都在上，可证明在上运动，则线段扫过的面积为所对的“弓形”的面积，求所对的“弓形”的面积即可． 【详解】解：取的中点，连接，取的中点，连接，，则， 四边形是边长为的正方形， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， 连接并延长交于点，连接， 、分别为、的中点， ，， 点在上，，， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是正方形， ， ， ， 经过的中点，即在上运动， 以点为圆心，以长为半径作， ， 点、点都在上， 当点与点重合时，则点与点重合，点与点重合， 线段扫过的面积为所对的“弓形”的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形的中位线定理、平行线分线段成比例定理、扇形面积的计算、点的运动轨迹问题的求解等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 70．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在边长为的正方形纸片的四条边上依次取点，，，，使，先沿着所在的直线折叠使点落在处，再沿垂直于的直线折叠，使点落在上，记作，折痕交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的折叠问题，解答中涉及勾股定理，相似三角形的判定和性质，根据和这一条件作为突破口，得到和，从而得出，再利用平行线，得到，得到线段的比，进而求出，，根据即可求解，熟练掌握折叠和正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设与交于点，补上字母， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，且， 垂直平分，即，且， 四边形沿折叠， ， ，即， 沿折叠得到， ， ， ， ， ， ， ， 又， ． 故答案为：． 71．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图1是我校小杰同学设计的“温”字图案，图2是他在设计图案前所绘制的基本框架图，其中是等腰三角形，，四边形是正方形且点E在上，分别交于H，I．已知，C，D，F在同一直线上，则的值为 ． 【答案】 【分析】连接，，由正方形的性质得，，则，，所以，再推导出，则，所以，由，得，可证明，由垂直平分，得，则，，即可求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，， 四边形是正方形， ，， ，， ， ，，三点在同一直线上， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 72．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，把正方形的对角线绕着顶点旋转到，以为一边作正方形，过，作直线，过作，垂足为，连接，则的值是 ． 【答案】 【分析】过作于点，过作于点，根据等腰三角形的性质可得，又四边形是正方形，可得，，通过同角的余角相等得，即可证明，根据性质得，过作交于点，设与交于点，再证明，则，由勾股定理得出，最后代入即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，过作于点， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 过作交于点， ∴， ∴， ∴， 设与交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，同角的余角相等，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 73．（2024·浙江湖州·模拟预测）如图，四边形、四边形和四边形都是正方形，连接IG，若，则正方形与正方形的面积之比为 . 【答案】16 【分析】本题考查了勾股定理的证明，解直角三角形，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键. 解析过作于,由题意得: ≌得出设分别表示出与，再根据正切的定义即可求出与的关 系， 即可求解. 【详解】如图，过作于, ∴，， ∴， ∴ ∴， ∵四边形、四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴ ∴， 设 则 ， ， 解得或(不合题意，舍去)， 所以面积比为 故答案为:. 74．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点，以为边作正方形，点坐标为，过点作交于点，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，连接，以为边作正方形，点的坐标为．过点作交于，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，连接，以为边作正方形，，则长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质和一次函数的性质，解题关键是通过计算线段长，发现线段长度变化规律．先求出、的长，再根据规律可得的长． 【详解】解：直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点， 当时，， 当时，， 点坐标为，点坐标为， 即， ， ， ， 是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， 又以为边作正方形，点坐标为， ， ， ，， 设， 则， ， 即：， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ， ， 以为边作正方形， 轴， 是等腰直角三角形， ， ， ， 点的坐标为， 正方形的边长为3， 按照前面的方法可得：， ， 设， 则， ， ， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ，， ， ， 同理：第三个正方形的边长是9，，，，，， ， 依此类推，，为整数）， ， 的长为． 故答案为：． 75．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，点在上，沿折叠．如图1，当点对应点落在上时， ；如图2，连接，当点对应点落在上时， ． 【答案】 【分析】过点H作的平行线交，于点Q，R，由矩形的判定及性质，由折叠的性质得，，，由勾股定得可求出， 再由勾股定理得，即可求解； 延长，交于点M，折叠的性质及等腰三角形的判定及性质得，由勾股定理得，由正切函数得，可得，即可求解． 【详解】解：如图1，过点H作的平行线交，于点Q，R， 四边形，四边形，四边形均是矩形， ， ， 由翻折得：， ， ， ， ， 在中， ， ， ， 在中， ， ， 解得：； 延长，交于点M，如图所示： ∵四边形为正方形， ， ， ∴， 由折叠得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：（）； 故答案：，． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理；掌握折叠的性质，能相关是线段转化到直角三角形中，熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 76．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，两个边长为1的正方形的顶点D，E，F，I，J均在的边上，，令，当时， ；当时， ．    【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形、正方形的性质等知识，过点J作于点K，过点G作于点L，过点J作于点M，求出即可得到答案，证明，得到设，则，证明，得到，在中，，即，解得（不合题意的解已经舍去），得，，，则，证明，进一步即可得到答案． 【详解】解：过点J作于点K，过点G作于点L，过点J作于点M， 当时，即时， ∵两个边长为1的正方形的顶点D，E，F，I，J均在的边上， ∴，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 即； ∵ ∴四边形是矩形， ∴， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 设，则 ∵ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， 解得， 在中， 即， 解得（不合题意的解已经舍去） ∴，，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为：， 77．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）如图，已知正方形的边长为1，点M是边上的动点（不与B，C重合），点N是的中点，过点N作，分别交于点E，K，F，设． （1）的长为 （用含x的代数式表示）； （2）设，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形的性质，以及直角三角形斜边上的中线的性质，证得是解题的关键． （1）根据勾股定理求得，进而得出，证得，由相似三角形的性质即可求得的长； （2）连接、、，构建全等三角形和直角三角形，证明，再根据四边形的内角和定理得，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，然后根据相似三角形的性质求得，即可得出，利用勾股定理得到，解得，即可求得答案． 【详解】（1）解：正方形的边长为1，， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 故答案为：； （2）解：如图，连接、、， ， ， ，， ，为中点， ， ，， ， ， ， 又四边形的内角和为，， ， 在中，为斜边，为的中点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 连接、， ，为中点， ， ，即， 整理得，， 解得或1（舍去）， ． 故答案为：． 78．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在正方形中，点是边上的动点(不与点重合)，，交延长线于点于点，连结交于点，点是的中点，连结．求： ①的度数为 ②当时， ．(用的代数式表示) 【答案】 【分析】先证明，得出是等腰直角三角形，根据点是的中点，得出，进而根据得出四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等得出；根据题意设，，则，连接，延长交的延长线于点，由，则点在上，证明得出，设，则，证明，得出，进而代入，即可求解． 【详解】∵四边形是正方形， ，， ， ，， ， 四边形是矩形， 在与中， ； ，， ， ， ， ， ， 四边形是正方形， 四边形是正方形， ， 且， ， ， 即． 是等腰直角三角形， 又点是的中点， ，， ， ， 四点共圆， ； ②四边形都是正方形，共线， ， ，设，，则， 如图所示，连接，延长交的延长线于点， ， ，则点在上， ， ， ， 又， ，即， ， ， 设，则， ， ， 即， 解得：，即， ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了直角所对的圆周角是直径，同弧所对的圆周角相等，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识的解题的关键． 79．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，，点E是对角线上一动点，连接，过E作，交边于点F，以，为邻边作矩形． （1）当时，则的长为 ； （2）点H在上，且，连接，则长的最小值是 ． 【答案】 / //4.4 【分析】（1）过点E作于点M，延长交于点N，根据勾股定理求出，证明，得出，求出，，，得出，根据勾股定理求出，证明，得出，求出最后结果即可； （2）连接并延长交的延长线于L，根据，得出，证明，得出，从而得出，证明，得出，得出， ∴当时，最小，连接，根据等积法求出结果即可． 本题主要考查了三角形相似的判定和性质，勾股定理，三角函数的应用，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相似三角形的判定方法． 【详解】解：（1）如图，过点E作于点M，延长交于点N， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． （2）如图，连接并延长交的延长线于L， 根据解析（1）可知，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，最小，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 80．（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，正方形的边长为，点是平面内一点，连接，，且，点是正方形的中心，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则： （1）的最大值是 ； （2）若，则点到边的距离是 ． 【答案】 【分析】（）连接，以为直径作，为圆心，连接，根据，得点在上运动，证为的中位线，得，，则点在上，由旋转性质得，，则，此时要求的最大值，只需求出的最大值即可，由于点，都在上，根据圆内最大的弦为直径得的最大值为，据此可求出的最大值； （）过作于，于，过点作于，先证四边形为矩形得，根据垂径定理得，再根据，，得，进而得，由此得，进而再求出，然后由三角形的面积公式得，由此可求出，在中由勾股定理求出，据此可得点到边的距离． 【详解】（）连接，以为直径作，为圆心，连接，如图所示： 则点为的中点， ∵点是平面内一点，且， ∴点在上运动， ∵四边形为正方形，点为正方形的中心，边长为， ∴过点，且，，， ∵点为的中点，即， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴点在上， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， 由勾股定理得：， ∴当为最大时，则为最大， ∵点都在上， ∴为弦， 根据圆内最大的弦为直径得：的最大值为的直径，即的最大值为， 此时的最大值为， 故答案为：； （）过作于，于，过点作于，如图所示： ∵，， ∴， 又∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点为圆心，为的弦，且， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， 由三角形的面积公式得：， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， 即点到边的距离是， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，三角形的中位线定理，圆周角定理的推论，垂径定理，图形的旋转变换及其性质，勾股定理，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 81．（2024·浙江温州·二模）如图，点P 是正方形的中心，过点P 的线段和将正方形分割成4个相同的四边形，这4个四边形拼成正方形． 连接， 记和的面积分别为，设； （1）若A，B，Q 三点共线，则 （2）正方形和的面积之比为 ． （用含k 的代数式表示） 【答案】 【分析】（1）如图1，连接，，则，，证明，则，，，是等腰直角三角形，同理可得，，证明四边形是正方形，则，，设，，，由题意知，，，由这4个四边形拼成正方形，可得，则，由A，B，Q 三点共线，可得，则，即，可求，由勾股定理得，，即，可求，由勾股定理得，，，则，可求，根据，求解即可； （2）由（1）可知，，，则，即，由题意知，正方形的边长为，的边长为，根据正方形和的面积之比为，求解作答即可． 【详解】（1）解：如图1，连接，， ∵和将正方形分割成4个相同的四边形， ∴，， ∵正方形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 同理可得，， ∴四边形是正方形， ∴，， 设，，， 由题意知，，， ∵这4个四边形拼成正方形， ∴， ∴， ∵A，B，Q 三点共线， ∴， ∴，即， 解得，， 由勾股定理得，，即， ∴， 由勾股定理得，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）可知，，， ∴，即， 由题意知，正方形的边长为，的边长为， ∴正方形和的面积之比为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正切，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正切，勾股定理是解题的关键． 考点三、圆背景的压轴题 题型01、圆背景的压轴题 89．（2024·浙江·模拟预测）如图，的弦垂直平分半径，点是弦上一点，且，连接并延长交于点，连结，，设． （1）当点是中点时，的度数为 °； （2）连接，当时，则与之间的关系式为 ． 【答案】 30 【分析】本题考查垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）连接，设和相交于点，因为垂直平分，则，，，推出，因为，是中点，则，，所以，则，推出，则，即 的度数为； （2）连接，由题可得，，则，设则由垂直平分，可得，，再证明，可得，从而得出，可得答案． 【详解】解：（1）连接，设和相交于点， 垂直平分， ，，， ， ，是中点， ，， ， ， ， ， 即 的度数为， 故答案为：30； （2）连接，由题可得，， ， 设则 垂直平分， ，， ， ， ， ， ， （负值舍去） 故答案为：． 90．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，为锐角的外接圆，点在上，交于点，且满足，连接，设． （1）则 ．（用含的代数式表示） （2）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由题意结合，计算即可得解； （2）连接，由圆周角定理得出，根据平行线的性质得出，由等腰三角形的性质得出，求出，得到，根据全等三角形的性质得出，根据相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：（1），， ， ， ， 故答案为：； （2）连接，如图， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 91．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点的半径为，是线段上的一点，连接交于点，在的左侧过点作的切线，切点为，连接． （1）当时，线段的长是 ； （2）点在线段上运动时，线段长度的取值范围是 ． 【答案】 【分析】（1）根据切线的性质，可得，根据得出，证明是等边三角形，即可求解； （2）延长交于点，连接，证明，设，，根据相似三角形的性质得出，则随的增大而增大，分别求得的最值，即可求解． 【详解】解：（1）∵是的切线， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． （2）如图所示，延长交于点，连接， ∵是的切线， ∴ ∴ 又∵是的直径， ∴ ∴ 又∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， 设，， ， 又∵， ∴ ∴ ∵ 解得： ∴随的增大而增大， ∴当最小时，最小，当最大时最大， 由图可知，当在点时，最大，最大为， 即的最大值为， 即最大值为， 当时，最小，即最小， ∵， ∴， ∴当时，， ∴的最小值为， ∴的最小值为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直径，函数关系式，求函数值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 92．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，的半径为1，P是线段上的一点，连接交于点A，在的左侧过点P作的切线，切点为B，连接，． （1）当时，线段的长是 ； （2）点P在线段上运动时，线段长度的取值范围是 ． 【答案】 【分析】（1）由切线的性质得，判定是等边三角形，即可求解； （2）延长交于，连接，可判定，由相似三角形的性质得，设，，可求，由勾股定理得，代入得， 依此可得当最小值时，取最小值，当最大值时，取最大值，①当与重合时，最大，②当时，最小，此时最小，即可求解． 【详解】解：（1）是的切线， ， ， ， 是等边三角形， ， 故答案：； （2）延长交于，连接， ， ， ， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 设，， ， ， ， 整理得：， ， 当取最小值时，取最大值，此时取最小值， 当取最小值时，取最小值，取最小值， 当最小值时，取最小值， 同理可得：当最大值时，取最大值， ①当与重合时，最大，如图， 此时 ， 当时， ， 解得：，（舍去）， 故最大值为； ② ， 当时，最小， 此时最小，如图， ， ， ， 解得：， ， ， 解得：，（舍去）， 故最大值为； 综上所述：． 故答案：． 【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定及性质，圆外一点到圆心的距离；掌握切线的性质，相似三角形的判定及性质，能找出取得最值的条件是解题的关键． 93．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知，与都相切，的半径为．矩形的边分别与重合， ，．若与矩形沿同时向右移动，的移动速度为，矩形的移动速度为，设移动时间为． （1）如图②，两个图形移动一段时间后，到达的位置，矩形到达的位置，此时点恰好在同一直线上，则移动时间 ． （2）在移动过程中，圆心O到矩形对角线所在直线的距离在不断变化，设该距离为．当时，求t的取值范围 ． 【答案】 【分析】（1）连接，并延长交于点E，过点作于点F，当点恰好在同一直线上时，，进而即可求解； （2）当时，与直线相切，且直线与相切有两种情况，①当直线在的左边时，；②当直线在的右边，． 【详解】 解：（1）连接，并延长交于点E，如图1， 过点作于点F， ∴由题意知： ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）当时， 此时与直线相切， 当直线在的左边，如图2， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， 当直线在的右边，如图3， 此时， ∴， ∴， ∴， 综上所述，当时，t的取值范围为： ． 故答案为：（1）；（2）． 【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及切线的性质，锐角三角函数，解方程等知识，内容较为综合，考查学生灵活运用知识的能力． 94．（24-25九年级上·浙江金华·期中）小明为了充分利用房子的空间，他计划在过道上放置一张折叠的桌子（如图1）．如图2所示为小明初步的设计方案，已知厨房和过道的宽度分别为和，其中的矩形为固定餐桌，左侧紧靠墙壁，右侧是宽为厘米的可翻折矩形，边缘是拱高为的圆弧形，点为圆弧所在圆的圆心，点对准厨房门口的中央（图中为厨房门框点，为门口中央，、为桌边中央两点）． （1）圆弧所在圆的半径为 ． （2）为了保证餐桌在展开时，一个人还能挤得过去，使得过道右侧墙壁与桌子的距离不少于，试问图中的最多为 ． 【答案】 80 10 【分析】（1）如图，作，则为直径，连接，设的半径为，则，根据题意可得，根据垂径定理得，证明，得出，即，即可求出； （2）根据题意可得出，，根据勾股定理得出，根据桌子与右侧墙壁的距离不少于，即可求出的取值范围． 【详解】解：（1）如图，作，则为直径，连接， 设的半径为，则， 根据题意可得， ∵是半径， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故圆弧所在圆的半径为， 故答案为：80； （2）∵， ∴， ∴， 要使桌子与右侧墙壁的距离不少于， 即，故， 解得：． 因此，最多取， 故答案为：10． 【点睛】该题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 试卷第2页，共164页 2 / 166 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题八 填空压轴题 第15讲 几何填空压轴题 （思维导图+3考点+7种题型）考点一、三角形背景的压轴问题 题型01、三角形背景的压轴问题 考点二、多边形背景的压轴问题 题型01、多边形背景的综合问题 题型02、平行四边形背景的压轴题 题型03、矩形背景的压轴题 题型04、菱形背景的压轴问题 题型05、正方形背景的压轴题 考点三、圆背景的压轴题 题型01、圆背景的压轴题 考点一、三角形背景的压轴问题 题型01、三角形背景的压轴问题 1．（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，，，是斜边上的动点，以线段为一边并在其右侧作等边三角形，连结，则的最小值是 ． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，，，现将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当时，的长为 ． 3．（2025·浙江·模拟预测）如图，中，，，，以斜边为边，向上作等边三角形，则的长为 ． 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在等腰中，，是边上一点，，连结，点在线段上，若，则的值为 ． 5．（24-25九年级下·浙江杭州·开学考试）如图，在中，，M是的中点，点D在上，，，垂足分别为E，F，连接，则下列结论中：①；②；③；④．正确的有 ．（只填序号） 6．（2025九年级下·浙江·学业考试）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形⑤；……依此规律，则第2021个等腰直角三角形的面积是 ． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点G是的重心，连接，作，使与互补，交边于点D，，，则的长为 ． 8．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，和都是等边三角形，，连结，，为直线，的交点，连结，当线段最长时，的值是 ． 9．（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）在中，，，为边上一点，．则的值为 ． 10．（2024九年级上·浙江金华·竞赛），点P是边上的动点，以为边，在上方构造等边三角形，连接．则面积的最大值是 ． 11．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，中，于点，则的最大值为 ． 12．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在中，的平分线相交于点的外角的平分线，交的延长线于，连结．若，且与相似，则的长为 ． 13．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，，，，连接，过点B作于点E，延长交于点F．则的长为 ． 14．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，，点A在x轴上，，射线与x轴成，把绕点O逆时针旋转a度得，点M在射线上（端点除外），若在的三个顶点中的任意两个顶点与点M构成的三角形与相似，当时，则点M的坐标 ． 15．（2024·贵州遵义·三模）如图，在中，平分，，，点E为的中点，，则的长为 ． 16．（24-25九年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，，点D在边上，且满足，连结． 作的平分线分别交于点E，点F．若，则 ， ． 17．（2024九年级下·浙江金华·专题练习）如图，在中，，，，点为上一点，点在上，且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，． （1）当点D是的中点时，的最小值为 ； （2）当，且点Q在直线上时，连接，则的值为 ． ； 18．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，为一条宽为4米的河，河的西岸建有一道防洪堤，防洪堤与东岸的高度差为3米（即米），因为施工需要，现准备将东岸的泥沙通过滑轨送到西岸的防洪堤上，防洪堤上已经建好一座固定滑轨一端的钢架，现准备在东岸找一个点P作为另一端的固定点，已知吊篮的截面为直径为1米的半圆（直径米），绳子米，钢架高度2.2米（米），距离防洪堤边缘为0.5米（米）． （1）西岸边缘点C与东岸边缘点D之间的距离为 米； （2）滑轨在运送货物时保持笔直，要想做到运输过程中吊篮一定不会碰到点C，则的长度应大于 米． 考点二、多边形背景的压轴问题 题型01、多边形背景的综合问题 19．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，三个正六边形如图摆放，则＝ ．    20．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边与轴正半轴重合，顶点在轴正半轴上，，将正六边形绕坐标原点顺时针旋转，每次旋转，那么经过第次旋转后，顶点的坐标为 ．    21．（22-23九年级下·浙江衢州·阶段练习）拓展课上，同学们准备用卡纸做一个底面为边长为的正六边形，高为的无盖包装盒，它的表面展开图如图1所示． （1）若选用长方形卡纸按图2方式剪出包装盒的表面展开图，则的长为 ； （2）若选用一块等边三角形卡纸按图3方式剪出包装盒表面展开图，则这个等边三角形的边长为 ． 题型02、平行四边形背景的压轴题 22．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在平行四边形中，点E，F，G分别在边，，上，且，，，，若，，则的长是 ． 23．（21-22九年级·浙江·自主招生）如图，在中，．将绕点旋转至．使得点落在对角线上，若此时B、E、D、F恰在同一条直线上，则C、G两点间的距离为 ． 24．（21-22九年级·浙江杭州·自主招生）如图，已知是圆O的直径，，是圆O的切线，圆O与交于点F，点E是的中点，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积是 ． 25．（2024·浙江宁波·二模）如图，在中，平分交于点，过作交于点，延长至点，使得，连结，若，，，则 ． 26．（23-24九年级下·浙江宁波·期中）如图，点B、C、E三点在同一条直线上，矩形矩形，点M，N分别是的中点，连接，若，则的长为 ． 27．（2024·浙江·三模）如图，在中，点E和点F分别在和上，，将沿直线EF翻折，点D落在边上的点G处，若 则 ． 28．（2024·浙江温州·一模）如图1木工师傅将三块不全等的平行四边形木板拼成了一个邻边长为5和 12的大的平行四边形木板，然后通过裁剪又拼成了一个不重叠，无缝隙的大正方形木板如(图2)，数据如图所示，记图 1 中三个小平行四边形的中心分别为 A，B，C，点 A，C 的图2 中的对应点记为 连结 和 当 时, MN的长为 ． 29．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）在矩形中，，点M是平面内一动点，且满足，N为的中点，点M运动过程中线段长度的取值范围是 ．    30．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，点分别是各边的中点，，，，则四边形的面积为 ． 31．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）平行四边形中，为对角线，点为上一点，过点作直线交边于点，交于点，连结，若，，，，则的值为 ． 32．（2023·浙江台州·二模）如图，四边形为平行四边形，，，，，延长，，交，于点E，G，若，直线经过中点，则的长度为 ．    33．（2023·浙江宁波·一模）如图，在中，点是边上的一点，若，，将沿翻折得，连结，点在的延长线上，恰好平分，则的长为 ，的值为 ． 34．（2024·浙江·一模）如图，在中，D为斜边的中点，点E在边上，将沿叠至． 若的延长线经过点D，平分，，则的值为 ，的长为 ． 35．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，已知矩形，将矩形绕A顺时针旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，连结．      （1）如图①，当时，的长为 ； （2）如图②，点是的中点，连结，在旋转过程中，线段的最大值为 ． 36．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）在平行四边形中（顶点A，B，C，D按逆时针方向排列），，，，，P是边一动点，点C，D同时绕点P按逆时针方向旋转得点，． ①如图1，若点落在射线上时，则 ． ②若是以为直角时，则 ． 37．（2024·浙江·一模）已知四边形是平行四边形，，，点E是边上一个动点，连接，沿将翻折至（如图1），所在的直线与交于点H． （1）当点E与点D重合时（如图2），则的长为 ； （2）当取最大值时，的长为 ． 题型03、矩形背景的压轴题 38．（24-25九年级下·浙江·阶段练习）如图，把一张矩形纸片沿折叠，点的对应点为，交于点．若点为的中点，平分，则 ． 39．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在矩形中，，动点E从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿向右运动，同时动点F从点D出发、以每秒4个单位长度的速度沿向左运动，当点F到达点A时运动停止，连接，过点C作于点G，则的最大值为 ． 40．（2025九年级下·浙江·学业考试）如图，在中，，在上有50个不同的点，过这50个点分别作的内接矩形，每个内接矩形的周长分别为，则 ．       41．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，在矩形中，，，点P在直线上运动，以为直角边向右作，使得，，连接，则长的最小值为 ． 42．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）在一次课题学习中，某学习小组受赵爽弦图的启发，将正方形改编成矩形，如图所示，由两对全等的直角三角形（，）和矩形拼成大矩形．若，矩形与矩形的面积比为，则 ． 43．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点，平分，交于点，作于点，分别交，于点，．记的面积为，的面积为，当时，则的值为 ． 44．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠，使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为 ． 45．（18-19九年级上·山东青岛·单元测试）如图，已知正方形纸片，E为延长线上一点，F为边上一点，将纸片沿翻折，点C恰好落在边上的点H，连接，，．交于点N，、、恰好交于一点M．若，，则线段的长度为 ． 46．（2024·浙江·模拟预测）如图，矩形，点P是边上一点，连接，将沿折叠得，连接并延长交于点M，若，，，则的长为 ． 47．（2025·浙江宁波·一模）如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点B的对称点F在边上，G为中点，连结分别与交于M，N两点，若，，则的长为 ，的长为 ． 48．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在矩形内放置6个与正方形相同大小的正方形，点E，F，M，N分别落在上，则的值是 ，若点C，H，G在同一直线上，正方形的边长是1，则矩形的周长是 ． 49．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在矩形中，，，E，F分别为，边的中点．动点P从点E出发沿向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿向点C运动，连接，过点B作于点H，连接．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段扫过的面积为 ，线段长度的最小值为 ． 50．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，在长方形ABCD中，，点P为边AD上的一个动点，以BP为边向右作等边，连接．当点落在边BC上时，的度数为 ；当线段的长度最小时，的度数为 ． 51．（24-25九年级下·浙江杭州·开学考试）如图，在矩形中，，将矩形对折，得到折痕；沿着折叠，点D的对应点为E，与的交点为F；再沿着折叠，使得与重合，折痕为，此时点B的对应点为G，则 ， ． 52．（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，矩形中，，，点是线段上一个动点，连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接，． （1）当时，求 °； （2）当 时，能使与面积相等． 53．（2024·浙江温州·三模）在矩形中，， 如图1， 将矩形沿折叠， 使得点B和点D重合， 则折痕的长为 ； 如图2，将矩形沿折叠．使得点D落在 边上的点G处，点C落在点 P处，得到四边形， 若 则的长为 ． 题型04、菱形背景的压轴问题 54．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在菱形中，，对角线，相交于点，直线分别与边，交于点，，将沿翻折得，的对应边恰好经过点，与交于点，已知，，则与的面积之比为 ． 55．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在菱形中，，，点是直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，当点的对应点恰好落在菱形的边所在的直线上时，线段的长为 ． 56．（2024·浙江杭州·二模）如图，在菱形中，过顶点作，，垂足分别为，，连结．若，的面积为1，则菱形的面积为 ． 57．（2024·浙江·中考真题）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，．线段与关于过点O的直线l对称，点B的对应点在线段上，交于点E，则与四边形的面积比为 58．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，将菱形的边翻折到，使C的对应点落在对角线上，再将边翻折到，使B的对应点与的外心重合，连结．则与的面积比为 ． 59．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，在菱形中，以对角线上一点为圆心，长为半径的圆恰好经过点，，连结并延长交于点．若，，则半径长为 ； ． 60．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，在菱形中，E是上一点，连接，将沿直线翻折，使得点B落在上的点处，连接并延长交于点F， （1）若点E恰为中点，则的值为 ； （2）若，则的值为 ． 题型05、正方形背景的压轴题 61．（2025·浙江·模拟预测）七巧板是中国古代人民创造的益智玩具，被誉为“东方魔板”．小明用一个边长为4的正方形制作出如图1的七巧板，再用这副七巧板拼出了如图2的“灵蛇献瑞”图．过该图形的三个顶点作圆，则这个圆的半径长为 ． 62．（2025·浙江宁波·一模）已知正方形中，射线与边交于点，过点分别作射线的垂线，垂足分别为．设，若，则的最小值为 ． 63．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，正方形的边长为1，为边上一点，将沿翻折至，连结．若，则 ． 64．（24-25九年级下·浙江金华·阶段练习）如图，正方形中，点是边的中点．连接，在上找一点，连接，将绕点顺时针旋转到．，延长线交于点．若，当F，E，G三点共线时， ． 65．（24-25九年级下·浙江温州·阶段练习）如图，在正方形中，是边上一点，．将沿翻折得，延长、分别交于点、，过作交于点，则与的面积比为 ． 66．（2025·浙江宁波·一模）如图， 已知正方形的边长为3， P是中点， 点F在上且满足，延长分别交于点M，交的延长线于点E，则 的长为 ． 67．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）如图，两条互相垂直的线段，将正方形分割成①、②、③、④四块，恰好拼成一个如图所示的大正方形．连接，若图1中的，，则图中的长为 ． 68．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，已知正方形，边长为4，正方形内有一动点，．连接，则线段的最小值为 ． 69．（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）如图，正方形的边长为，点，分别为边，上一动点，且连接，相交于点，点，分别是，的中点，连接，点为的中点点从点运动到点的过程中，线段扫过的面积为 ． 70．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在边长为的正方形纸片的四条边上依次取点，，，，使，先沿着所在的直线折叠使点落在处，再沿垂直于的直线折叠，使点落在上，记作，折痕交于点，则的长为 ． 71．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图1是我校小杰同学设计的“温”字图案，图2是他在设计图案前所绘制的基本框架图，其中是等腰三角形，，四边形是正方形且点E在上，分别交于H，I．已知，C，D，F在同一直线上，则的值为 ． 72．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，把正方形的对角线绕着顶点旋转到，以为一边作正方形，过，作直线，过作，垂足为，连接，则的值是 ． 73．（2024·浙江湖州·模拟预测）如图，四边形、四边形和四边形都是正方形，连接IG，若，则正方形与正方形的面积之比为 . 74．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点，以为边作正方形，点坐标为，过点作交于点，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，连接，以为边作正方形，点的坐标为．过点作交于，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，连接，以为边作正方形，，则长为 ． 75．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，点在上，沿折叠．如图1，当点对应点落在上时， ；如图2，连接，当点对应点落在上时， ． 76．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，两个边长为1的正方形的顶点D，E，F，I，J均在的边上，，令，当时， ；当时， ．    77．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）如图，已知正方形的边长为1，点M是边上的动点（不与B，C重合），点N是的中点，过点N作，分别交于点E，K，F，设． （1）的长为 （用含x的代数式表示）； （2）设，则的值为 ． 78．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在正方形中，点是边上的动点(不与点重合)，，交延长线于点于点，连结交于点，点是的中点，连结．求： ①的度数为 ②当时， ．(用的代数式表示) 79．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，，点E是对角线上一动点，连接，过E作，交边于点F，以，为邻边作矩形． （1）当时，则的长为 ； （2）点H在上，且，连接，则长的最小值是 ． 80．（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，正方形的边长为，点是平面内一点，连接，，且，点是正方形的中心，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则： （1）的最大值是 ； （2）若，则点到边的距离是 ． 81．（2024·浙江温州·二模）如图，点P 是正方形的中心，过点P 的线段和将正方形分割成4个相同的四边形，这4个四边形拼成正方形． 连接， 记和的面积分别为，设； （1）若A，B，Q 三点共线，则 （2）正方形和的面积之比为 ． （用含k 的代数式表示） 考点三、圆背景的压轴题 题型01、圆背景的压轴题 89．（2024·浙江·模拟预测）如图，的弦垂直平分半径，点是弦上一点，且，连接并延长交于点，连结，，设． （1）当点是中点时，的度数为 °； （2）连接，当时，则与之间的关系式为 ． 90．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，为锐角的外接圆，点在上，交于点，且满足，连接，设． （1）则 ．（用含的代数式表示） （2）若，，则 ． 91．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点的半径为，是线段上的一点，连接交于点，在的左侧过点作的切线，切点为，连接． （1）当时，线段的长是 ； （2）点在线段上运动时，线段长度的取值范围是 ． 92．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，的半径为1，P是线段上的一点，连接交于点A，在的左侧过点P作的切线，切点为B，连接，． （1）当时，线段的长是 ； （2）点P在线段上运动时，线段长度的取值范围是 ． 93．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知，与都相切，的半径为．矩形的边分别与重合， ，．若与矩形沿同时向右移动，的移动速度为，矩形的移动速度为，设移动时间为． （1）如图②，两个图形移动一段时间后，到达的位置，矩形到达的位置，此时点恰好在同一直线上，则移动时间 ． （2）在移动过程中，圆心O到矩形对角线所在直线的距离在不断变化，设该距离为．当时，求t的取值范围 ． 94．（24-25九年级上·浙江金华·期中）小明为了充分利用房子的空间，他计划在过道上放置一张折叠的桌子（如图1）．如图2所示为小明初步的设计方案，已知厨房和过道的宽度分别为和，其中的矩形为固定餐桌，左侧紧靠墙壁，右侧是宽为厘米的可翻折矩形，边缘是拱高为的圆弧形，点为圆弧所在圆的圆心，点对准厨房门口的中央（图中为厨房门框点，为门口中央，、为桌边中央两点）． （1）圆弧所在圆的半径为 ． （2）为了保证餐桌在展开时，一个人还能挤得过去，使得过道右侧墙壁与桌子的距离不少于，试问图中的最多为 ． 试卷第2页，共164页 2 / 27 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