第14讲 代数填空压轴问题（3个考点5个题型）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（浙江专用）

专题八 填空压轴题 第14讲 代数填空压轴问题 （思维导图+3考点+5种题型） 考点一、与代数运算有关的压轴题 题型01、与代数运算有关的压轴题 考点二、与方程不等式有关的压轴题 题型02、与方程不等式有关的压轴题 考点三、与函数有关的压轴题 题型01、一次函数背景的压轴题 题型02、二次函数背景的压轴题 题型03、反比例函数的背景的压轴题 考点一、与代数运算有关的压轴题 题型01、与代数运算有关的压轴题 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，则代数式的值为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了代数式求值．熟练掌握分解因式，是解题的关键． 把拆分重组分解因式变形为，x值代入计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴当时， 原式 ． 2．（23-24九年级下·浙江宁波·自主招生）若实数，满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次函数的性质．首先根据二次根式中被开方数的非负性质可得、，所以可得，然后再分当和两种情况讨论． 【详解】解：由题意易知， ， 显然时，， 当时，不妨设， 此时， 解得：， 由，可得：， 由，可得：， ， 则， 若，则，则，不符合题意， 若，则，则，也不符合题意， ， 即， 易知时，， ， 令，则， 由二次函数的性质可知， 综上，的取值范围为． 故答案为：． 3．（21-22九年级·浙江宁波·自主招生）已知三角形的三边a，b，c都是整数，且满足，则此三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了因式分解的应用．以及三角形的面积的求法，解答此题的关键是熟练掌握分组法分解因式，求出三角形的三边a，b，c的长度各是多少． 根据，得到，且三角形的三边a，b，c都是整数，得到，求出，然后根据等边三角形面积的求法，求出此三角形的面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵三角形的三边a，b，c都是整数， ∴， 解得，， ∴此三角形是边长为1的三角形， ∴此三角形的面积为：． 故答案为：． 4．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知a，b，c为整数，满足，，则的最小值是 ． 【答案】2116 【分析】本题考查整式的运算，因式分解的应用．解题关键是利用因式分解把已知和所求整式变形．根据已知条件把已知和所求式子进行整理变形，即可解答． 【详解】解：． ，，， ， 可因式分解，变为， 同理， ， 原式 ， 故为一个平方数， 且，，为整数， ，，至少有一个是偶数，于是为偶数， ， ． 故答案为：2116． 5．（23-24九年级下·浙江宁波·自主招生）用表示自然数的数字和，例如：．若对任意自然数，都有，则满足这个条件的最大的两位整数的值是 ． 【答案】97 【分析】本题考查数字类规律探究， 对数字在不同数位上所代表的值的理解是解题的关键；列出，，80时的值，再判断且n为自然数时的取值情况，即可得解． 【详解】解：因为，，， ，，， ，，， 当且为自然数时，， 当且为自然数时，， ∵，，，，…… 若对任意自然数，都有， 则满足这个条件的最大的两位整数的值为． 故答案为：． 6．（2022·浙江台州·一模）定义：若一个两位数k，满足（m，n为正整数），则称该两位数k为“类完全平方数”，记．例如：，则39是一个“类完全平方数”，且． （1）已知37是一个“类完全平方数”，则 ； （2）若两位数a是一个“类完全平方数”，且，则a的最大值= ． 【答案】 12 93 【分析】（1）根据（，为正整数）进行推导即可求出答案； （2）根据两位数是一个“类完全平方数”，推出是3的倍数并且满足，求的最大值，逐个尝试即可求出正确答案． 【详解】解：（1）∵37是一个“类完全平方数”，37=3²+3×4+4² ∴F（37）=12 故答案为：12 （2）∵两位数是一个“类完全平方数”，且 ∴是3的倍数 当=99时，108，不满足是两位数； 当=96时，105，不满足是两位数； 当=93时，102，不满足是两位数； 当=90时，99，满足是两位数， ∵ 又∵，，，， ∴99不符合题意， 当=87时，96，满足是两位数， ∵， 又∵， ∴96不符合题意， 当=84时，93，满足是两位数， ∵， 又∵， ∴93符合题意， ∴的最大值为93， 故答案为：93． 【点睛】本题考查了阅读材料题，认真读懂题干中的例子是解答本题的关键． 7．（22-23九年级·浙江宁波·自主招生）4只猴子分桃，第一只猴子把桃分成数量相同的四份，多了一个自己偷吃，并把自己一份藏起来，第二只猴子把剩下的桃再次分成相同的四份，多了一个自己偷吃，并把自己一份藏起来，第三只，第四只猴子以此类推，问桃子至少 个． 【答案】253 【分析】设第四只猴子分过后每份桃子有个，则由题意可知：第四只猴子所分的桃子有个，第三只猴子所分的桃子有个，第二只猴子所分的桃子有个，第一只猴子有个，再由“是正整数，是正整数”求出的最小值，从而得出结论． 【详解】解：设第四只猴子分过后每份桃子有个，则第四只猴子所分的桃子有个， 第三只猴子所分的桃子有个，即个， 第二只猴子所分的桃子有个，即个， 第一只猴子所分的桃子有个，即个， ∵，且，是正整数， ∴正整数， ∴是27的倍数， ∴的最小值是26， 此时． 故桃子至少253个． 故答案为：253． 【点睛】此题考查了列代数式应用类问题，属于逆向推理问题，考查学生能够运用所学知识推断一些简单的逻辑问题的能力，同时还培养了学生公平、公正的生活作风． 8．（23-24九年级下·浙江宁波·自主招生）已知，，是大于1的正整数，且为整数，则 ． 【答案】12 【分析】先求出，再不妨设，则，据此得到，当时，则，不符合题意，据此可得或，当时，，则，可得，则；当时，，则，则，可得． 【详解】解： ， 、、是大于1的正整数， ∴不妨设， ∴，， ∴， ∵为整数， ∴， 当时，则，不符合题意， ∴或， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，分式的乘法计算，根据题意推出，且或是解题的关键． 9．（23-24九年级下·浙江台州·开学考试）已知，，则的值为 （用含m，n的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了分式混合运算．先化简原式，再根据，，求出，最后整体代入进行化简即可． 【详解】解： ， ∵，， 故， ， ∴，，， 将，，，代入原式，得： 原式． 故答案为：． 10．（23-24九年级下·浙江·自主招生）设则不超过的最大整数为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，能正确化简是解答本题的关键． 首先将化简，可得，然后再代入原式求出即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 不超过的最大整数， 故答案为：． 11．（23-24九年级下·浙江杭州·自主招生）设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，则 ．（结果用含p的代数式表示） 【答案】 【分析】由条件可以知道是完全平方数，设，，，从而是平方数，设为，则，p是奇质数，，则，可以得到代入就可以求出k值． 【详解】解：设，，， 从而是平方数，设为，，则， ∵p是质数，， ∴， 解得： ∴， ∴（负值舍去） 故答案为： 【点睛】本题考查了有理数和无理数的意义的运用，完全平方公式，质数的性质，二次根式的性质及对相关概念的理解． 12．（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）化简 ． 【答案】 【分析】将原式变形为，再求出，继而化简得到． 【详解】解：设 则 ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则和二次根式的性质． 13．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）温故知新：若满足不等式的整数k只有一个，则正整数n的最大值 ． 阅读理解：任意正整数，，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（、均为正实数）中，只有当时，有最小值．若，有最小值为 ． 【答案】 112 3 【分析】温故知新：由，可得，即，根据整数k只有一个得，即可得n的最大值为112； 阅读理解：． 【详解】解：温故知新： ∵， ∴， ∴，即， ∵整数k只有一个， ∴， 解得：， 当时，或均符合，与整数k只有一个矛盾，舍去； 当时，符合，与整数k只有一个相符； 此时n的最大值为112； 故答案为：112； 阅读理解： ， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了分式和二次根式的变形求值，解决本题的关键是读懂题意，灵活运用分式的基本性质． 14．（2024·北京·中考真题）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。 若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为 min； 若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按 的先后顺序彩排 【答案】 60 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意，熟练计算是解题的关键． ①节目D的演员的候场时间为；②先确定C在A的前面，B在D前面，然后分类讨论计算出每一种情况下，所有演员候场时间，比较即可． 【详解】解：①节目D的演员的候场时间为， 故答案为：60； ②由题意得节目A和C演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面，那么C在A的前面，B和D彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么B在D前面， ∴①按照顺序，则候场时间为：分钟； ②按照顺序，则候场时间为：分钟； ③按照顺序，则候场时间为：分钟； ④按照顺序，则候场时间为：分钟； ⑤按照顺序，则候场时间为：分钟； ⑥按照顺序，则候场时间为：分钟． ∴按照顺序彩排，候场时间之和最小， 故答案为：． 15．（23-24九年级下·北京海淀·开学考试）小亮有黑、白各10张卡片，分别写有数字0~9．把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，排成四行，排列规则如下： ①从左至右按从小到大的顺序排列： ②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边． 小亮每行翻开了两张卡片，如图所示： 其余卡片上数字小亮让小明根据排列规则进行推算，小明发现有的卡片上数字可以唯一确定，例如第四行最后一张白色卡片上数字只能是 有的卡片上的数字并不能唯一确定，小明对不能唯一确定的卡片上数字进行猜测，则小明一次猜对所有数字的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查概率问题，图形类规律探索，根据规则确定数值，然后根据不能确定的数字进行求概率即可． 【详解】解：黑卡8在左边， 白卡数字可能为8或9， 又白卡9排在第一行， 第四行最后一张白色卡片上数字只能是8； 每行能确定的数字为： 第一行：1 5 6 7 9 第二行： 3 4 5 第三行：0 6 7 9 第四行：0 2 8 8 不能确定的是黑色2，3和4，共有三种填法，是等可能性的，填对的有一种，即概率为， 故答案为：8；． 考点二、与方程不等式有关的压轴题 题型02、与方程不等式有关的压轴题 16．（2023·浙江绍兴·中考真题）若关于x的方程所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了方程的解、解一元二次方程等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分、两种情况先求出原方程的实数根，再根据两个实数根都是比1小的正实数，列出不等式求解即可． 【详解】解：当时，． 当时，可得，解得：，符合题意； 当时，可得，解得：，不符合题意； 当时， ，则 ∴． ∵关于x的方程的所有根都是比1小的正实数， ∴，解得：，，解得：，即． 综上可得，实数m的取值范围是或． 故答案为：或． 17．（2022·浙江金华·一模）现有A，B，C三种型号的纸片若干张，大小如图所示．从中取出一些纸片进行无空隙、无重叠拼接，拼成一个长宽分别为11和5的新矩形，在各种拼法中，B型纸片最多用了 张． 【答案】7 【分析】设需要的A卡片x张，B卡片y张，C卡片z张，x、y、z均为正整数，从面积入手，A的面积为4，B的面积为6，C的面积为9，再结合总面积为55，来讨论求解． 【详解】由图可知，A的面积为4，B的面积为6，C的面积为9， 则有方程，x、y、z均为正整数， 则未知数的取值范围为：x取0至11的正整数，y取0至9的正整数，z取0至6的正整数； 当x=0时，此时表明只选择了B、C两张纸片，则有：，即， 55无法被3整除，显然此时y、z无法取正整数，不合题意，则必选了A纸片； 当z=0时，此时表明只选择了A、B两种纸片，则有：，即， 55无法被2整除，显然此时x、y无法取正整数，不合题意，则必选了C纸片； 从题目所求可知，不必讨论当y=0时的情况， 综上可以发现除B纸张外，A、C至少都取了一张， 则有，即， 即B型纸张最多用了7张， 故答案为：7． 【点睛】本题考了三元一次方程的正整数解的知识，通过题中条件找到未知数的范围，即可求解．题目包含有不定方程的知识，本题作为填空题难度较大． 18．（23-24九年级下·浙江杭州·自主招生）已知，，，，是满足条件的五个不同的整数，若是关于的方程的整数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是方程的整数根问题，根据已知条件可知，，，，是五个不同的整数，再把分解成五个整数积的形式，再把，，，，五个整数相加可得它们的和，最后把代入计算即可求解，根据题意把分解成几个整数积的形式是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的整数根， ∴， ∵，且，，，，是五个不同的整数， ∴，，，，也是五个不同的整数， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 19．（2022·重庆·一模）2022年2月，北京冬奥会举行期间，某官方特许商品零售店有冬奥会吉祥物冰墩墩和雪融融两种商品（冰墩墩的价格高于雪融融的价格）深受广大市民的喜爱，导致“一墩难求”．该零售店试销第一天购进两种商品共10个，第二天购进两种商品共16个，第三天购进两种商品共26个，并且每天都能全部售完，结算后发现这三天的营业额均为3500元，两种商品的售价不变且均为整数，则冰墩墩的售价是 元． 【答案】 【分析】本题考查的是三元一次方程组的应用，设出适当的未知数建立方程组，结合方程组的正整数解解方程组是解题的关键． 设冰墩墩的价格为每个x元，雪融融的价格为每个y元，第一天，第二天，第三天依次购买冰墩墩a个，b个，c个，根据题意得到，整理得，然根据题意得到，求出，，，然后代入方程组求解即可． 【详解】解：设冰墩墩的价格为每个x元，雪融融的价格为每个y元， 第一天，第二天，第三天依次购买冰墩墩a个，b个，c个， 整理得，， 整理得，， 得，， ∵该零售店试销第一天购进两种商品共10个， ∴， ∴，，， ∴原方程组为， 解得， ∴冰墩墩的价格为元． 故答案为：． 20．（2025九年级下·浙江温州·学业考试）关于的方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】应用换元法，，将原方程转化为，根据方程有实根，及该实根的范围，列出的范围，即可求解， 本题考查了换元法解分式方程，一元二次方程的实根，解题的关键是：设． 【详解】解：设，则原方程变形为， ∵原方程有实数根， 方程有实数根， 设的两个实数根为， ∵是对称轴， ∴， 令， 当时，， 当时，， ∴． 故答案为： 21．（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）满足方程的正整数解为 ． 【答案】，， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程；先将方程变形为关于的一元二次方程，进而根据题意得出判别式为完全平方数，进而求得的值，逐个代入，解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴ ∴ ∴ ，是完全平方公式 ∴或或或或 解得： 当时，， 解得：（不合题意），， 当时，， 解得：，， ∴，， 故答案为：，，． 22．（21-22九年级上·浙江金华·期末）某校航天社团模拟火星探测器的发射过程，如图，地球，火星的运行轨道抽象成以太阳O为圆心的圆，探测器从地球到火星的转移轨道则抽象成以为圆心，AC为直径的半圆．点O在AC上，点A，B分别代表探测器从地球发射时地球和火星的位置，火星沿运行，与探测器同时抵达C点，已知，火星的公转周期（绕太阳逆时针转动一周所用时间）为687天，地球与火星的轨道半径OA，OC分别为1A．U.和1.5A．U.（A．U.为天文单位）． （1）探测器从发射到抵达火星需要 天（精确到个位）． （2）当探测器运行到点T时，太阳爆发活动向探测器方向抛射速度为的体积巨大的“等离子体云”，此时TC恰好等于点到TC中点的距离，则最快 h后，探测器会受到“等离子体云”的干扰（短时间内探测器的运行路程可忽略不计）． 【答案】 260 【分析】（1）设探测器从发射到抵达火星需要天，根据探测器从发射到抵达火星需要的时间＝火星沿运行的时间，列出方程，求解即可； （2）连接、、，过点作的垂线交于点，取的中点，连接，根据，算出，即可求得，由已知条件可知，根据等腰三角形三线合一的性质得到，设，则，，求出的值，再根据，求出的值，根据勾股定理分别求出、的值，再根据“时间=路程÷速度”即可求解． 【详解】解：（1）设探测器从发射到抵达火星需要天 ∵探测器从发射到抵达火星需要的时间＝火星沿运行的时间 ∴。，解得： ∴探测器从发射到抵达火星需要260天 （2）连接、、，过点作的垂线交于点，取的中点，连接，如图所示 ∵ ∴ ∴ A.U. ∵ ∴ A.U. ∵此时TC恰好等于点到TC中点的距离 ∴ ∵点是的中点， ∴（三线合一） 设，则， ∴ A.U. ∴ A.U. ∴ A.U.， A.U. ∵ ∴ A.U. ∴ A.U. ∴ A.U. ∴ A.U. ∵短时间内探测器的运行路程可忽略不计 ∴h ∴最快 h后，探测器会受到“等离子体云”的干扰 故答案为：260；． 【点睛】本题是一道和圆相关的综合题，考查了一元一次方程的应用、圆的一些基础知识点、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理、同一个三角形的面积不变性等知识点，正确作出辅助线，找到对应关系是解答本题的关键． 23．（2025·浙江·一模）如图1，矩形纸片裁去等腰直角三角形，将剩余部分分割为五块图形后，拼成如图2的正方形．则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设，，根据图形可得，则，则可得图1为正方形，利用面积之差可得关于的一元二次方程，解方程可得的关系，即可解答，熟练图中各个线段的关系是解题的关键． 【详解】解：设，， 根据图1，可得， 四边形为正方形， ，即， 三角形为直角三角形， ， 图1中， 则，， 矩形纸片为正方形， 根据图2中正方形的面积等于图1中正方形面积减去等腰直角三角形的面积可得， ， ， 解得（负值舍去）， 故可得， 故答案为：． 24．（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）满足的所有实数对，使取最大值，此最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，图象法解一元二次不等式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根；设，则，代入整理得关于x的一元二次方程，由题意可知，方程恒有解，根据判别式可得，再解不等式即可求得最大值． 【详解】解：设，则， ， ， ， 满足所有实数对， 一元二次方程有实数根， ， ， 设， 令，得， 解得：或， 的解集为：，即， 的最大值为， 故答案为：． 25．（23-24九年级下·浙江宁波·自主招生）对实数，，定义运算“”为：．已知关于的方程，若该方程有两个相等的实数根，则实数的值是 ：若该方程有两个不等负根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新运算、一元二次方程根的判别式．解决本题的关键是根据新运算规定的运算规律把等式转化为一般的一元二次方程，然后再利用一元二次方程根与系数的关系求解． 【详解】解：， ， 又， ， 即， 若该方程有两个相等的实数根，则， 由得：， 由得：或， ； 若该方程有两个不等负根，则， 解得：． 故答案为：，． 26．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个根，，且满足．记，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，不等式的性质，由根和系数的关系可得，，，得到，由可得，即得到，即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 【详解】解：由根和系数的关系可得，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 27．（2023·浙江金华·中考真题）如图是一块矩形菜地，面积为．现将边增加．    （1）如图1，若，边减少，得到的矩形面积不变，则的值是 ． （2）如图2，若边增加，有且只有一个的值，使得到的矩形面积为，则的值是 ． 【答案】 6 / 【分析】（1）根据面积的不变性，列式计算即可． （2）根据面积，建立分式方程，转化为a一元二次方程，判别式为零计算即可． 【详解】（1）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为， ∵，边减少，得到的矩形面积不变， ∴， 解得， 故答案为：6． （2）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵有且只有一个的值， ∴， ∴， 解得（舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的面积变化，一元二次方程的应用，正确转化为一元二次方程是解题的关键． 28．（22-23八年级上·全国·单元测试）已知关于x的方程的两根均大于1且小于2，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查根与系数的关系和代数式取值范围问题，熟练进行解方程，解不等式，正确运算是解题的关键． 先化简分式方程得一元二次方程，再根据根与系数的关系列出两个根与a，b，的关系式，最后根据根的范围，求出的取值范围． 【详解】解：， 去分母得，， 设的两个根为，， 由根与系数的关系可知，，， ∴， ∵，均大于1且小于2， ∴，， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 29．（2023·河北衡水·二模）五张完全相同的小矩形纸片C与A，B两张矩形纸片恰好能拼成一个相邻边长为m，50的大矩形，部分数据如图所示． （1）若，则矩形A的水平边长为 ； （2）请用含m，n的代数式表示矩形A的周长： ； （3）若矩形A，B的面积相等，则 ． 【答案】 【分析】（1）根据图可得矩形A的长个小矩形宽，即可得到矩形A的水平边长； （2）根据图可得矩形A的宽个小矩形宽，进而得到矩形A的竖直边长，即可得到答案； （3）分别表示出矩形A，B的面积，根据矩形A，B的面积相等即可得到答案． 【详解】解：设矩形A的水平边长为 ，矩形A的竖直边长 ， （1）由图可知， ； （2）由（1）可知， 由图可知 矩形A的周长 ； （3）由题知，矩形A的面积； 由图知，矩形B的面积 矩形A，B的面积相等, ① 小矩形纸片长，矩形A的水平边长为 由图可知小矩形纸片长矩形A的水平边长 ② 联立①②解得，（舍去）． 故答案为：；；． 【点睛】本题主要考查列多项式，多项式的值，一元二次方程，掌握解题的方法以及解方程的方法是解题的关键． 30．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知关于的方程有实数解，则的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一元二次方程，换元法解一元高次方程，方程有实数解的问题等知识点，对于高次方程，可以尝试通过变形将其转化为我们熟悉的解一元二次方程的形式来求解，然后根据非负数的性质和不等式的性质来确定a的取值范围，熟练掌握换元法变形方程是解决此题的关键． 【详解】∵当时，方程左边， ∴不是方程的解， ∴将方程两边同时除以得， ， 整理可得， 令，则， ∴， ∴原方程就变为，即， ∵方程有实数解， ∴， ∴或， 当时， ， ∴， ∴， 当时， ， ∴， ∴， ∵， ∴或， 设方程的两根，， ∴，， ∴， ∴， 当时，， ∴当时，， ∴， ∴， 同理可得，时，， 综合以上情况，a的取值范围是或， 故答案为：或． 31．（2024·浙江嘉兴·一模）已知，当取最小值时，S的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质及完全平方公式，解决本题的关键是熟练掌握运用不等式的性质解决问题，先求出，，求得，再求得当时，取最小值，再求得，再求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 当时，取最小值， ， ， ， 故答案为： 32．（21-22九年级下·重庆·开学考试）春节期间，某超市推出了甲、乙、丙三种腊味套盒，各套盒均含有香肠、腊肉、腊排骨、腊猪脚等四种腊味各若干袋，每袋腊味的重量为500克，一袋腊肉的售价不低于30元，一袋香肠的售价比一袋腊肉的售价贵，单袋腊味的售价均为整数元，套盒的售价即为单袋腊味的售价之和，甲套盒中含有香肠2袋，腊肉5袋，腊排骨2袋，腊猪脚2袋，乙套盒中含有香肠4袋，腊肉5袋，腊排骨1袋，腊猪脚1袋，丙套盒中含有香肠3袋，腊肉5袋，腊排骨2袋，腊猪脚1袋，甲、乙礼盒售价均为415元，丙礼盒售价比甲礼盒贵10元，则腊排骨每袋 元． 【答案】50 【分析】设香肠、腊肉、腊排骨、腊猪脚四种腊味的单价分别为每袋元，元，元，元，再列方程组，分别用含的代数式 再利用都为正整数，且 求解的范围，从而可得答案. 【详解】解：设香肠、腊肉、腊排骨、腊猪脚四种腊味的单价分别为每袋元，元，元，元， 则 由①②得： 由②③得： 则 把代入①可得： 都为正整数，且 当时， 则 或 当时， 不合题意，舍去， 当时， 符合题意， 此时， 所以：腊排骨每袋50元. 故答案为：50 【点睛】本题考查的是方程组的应用，方程组的正整数解问题，一元一次不等式组的应用，熟练的利用方程组与不等式组解决实际问题是解本题的关键. 33．（2020·浙江·一模）对于实数a，b，c，定义，例如；．若，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分不同情况得出a的不等式组，可得出a的取值范围． 【详解】：∵a+1＞a-1， ∴分三种不同情况考虑， ①若a+1≥1≥a-1，mid{1，a-1，a+1}=1， ∴a+1≥1，1≥a-1， ∴a≥0，a≤2， 即0≤a≤2． ②若a+1≥a-1≥1，mid{1，a-1，a+1}=a-1， ∴， 即2≤a≤3， ③若1≥a+1≥a-1，mid{1，a-1，a+1}=a+1， ， ∴a=0． 综合以上可得a的取值范围是0≤a≤3． 故答案为：0≤a≤3． 【点睛】本题考查了新定义下的实数的运算，一元一次不等式组的解法，根据新定义得出a的不等式组是解题的关键． 考点三、与函数有关的压轴题 题型01、一次函数背景的压轴题 34．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在直角坐标系中，，是直线上一点，连结，沿着折叠，点的对应点为，过点作轴，交直线于点，交轴于点．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】先根据点在直线上，得，结合折叠性质，得，，，再运用两点距离公式列式，得出，，则，同理设，结合，故，解得，同理得，把数值代入进行化简，即可作答． 【详解】解：过点作轴，如图所示： ∵点在直线上，过点作轴， ∴设点， ∵， ∴， ∵，是直线上一点，连结，沿着折叠，点的对应点为， ∴，， 则， ∴， 解得， ∴，； ∴， ∵是直线上一点， ∴设， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得， ∴， ∴， 则， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，正比例函数，解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 35．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，，点A，B关于直线的对称点分别为点E，F，当k为 时，直线恰好经过点C． 【答案】3 【分析】本题考查了矩形与一次函数相结合的综合题，熟练掌握图形对称的性质是解题的关键，根据题目作点关于直线的对称点，连接，直线交于点，利用线段对称的垂直平分的性质可得到，，再根据勾股定理分别求出，的长，即可得到的坐标，代入直线即可求出值． 【详解】解：∵直线需要恰好经过点C． ∴过点作直线的对称点交于，连接，直线交于点，如图： ∴直线垂直平分， ∴，， ∵四边形为矩形，， ∴，，， ∴在中，由勾股定理可得：， ∴， 在，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴， 将代入中， ∴， 故答案为：3． 36．（2023·浙江宁波·一模）如图1，在中，，动点，从点同时出发，分别沿和的方向都以每秒1个单位长度的速度运动，到达点后停止运动．设运动时间为，的面积为，与的大致函数关系如图2所示．则当时，的值为 ． 【答案】1或 【分析】因为、运动到不同位置时，的面积不同，所以对的取值范围进行分类，，，，然后进行分别求解即可. 【详解】解：四边形是平行四边形，由图得： ∴，， 当时，， ， 是等边三角形， ， ， 解得，（舍去）； 当时，如图， ，， ， ， 解得：（舍去）； 当时，如图， ，，， ∴ ， ， 解得：或（舍去）； 综上所述得：当时， 或． 【点睛】本题考查了动点在平行四边形中产生的面积问题，求二次函数解析式，掌握“化动为静”是解题的关键． 37．（21-22九年级·浙江宁波·自主招生）如图，在平面直角坐标系中与x轴正半轴，y轴负半轴分别交于点A，B，点在上，点D为的中点，连结并延长交于点E，点F在x轴的正半轴上，连接交于点G，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数表达式的求法，结合了一线三直角模型求点的坐标，关键是确定． 先求出，再过D作，构造一线三直角模型，求出点H，由C、D两点确定直线的表达式，求出点K，由C、H两点确定直线的表达式，求出点F，最后利用求解即可． 【详解】解：过D作，垂足为H，过H作轴，交x轴于点Q，过C作，垂足为M，过D作，垂足为N，设直线交x轴于点K，交y轴于点P，如图： ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的表达式为∶，代入点， 解得：， ∴，令，得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的表达式为：，代入点、得， ∴， ∴，令，得， ∴， ∴， ∴． 38．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点，以为边作正方形，点坐标为，过点作交于点，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，连接，以为边作正方形，点的坐标为．过点作交于，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，连接，以为边作正方形，，则长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质和一次函数的性质，解题关键是通过计算线段长，发现线段长度变化规律．先求出、的长，再根据规律可得的长． 【详解】解：直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点， 当时，， 当时，， 点坐标为，点坐标为， 即， ， ， ， 是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， 又以为边作正方形，点坐标为， ， ， ，， 设， 则， ， 即：， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ， ， 以为边作正方形， 轴， 是等腰直角三角形， ， ， ， 点的坐标为， 正方形的边长为3， 按照前面的方法可得：， ， 设， 则， ， ， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ，， ， ， 同理：第三个正方形的边长是9，，，，，， ， 依此类推，，为整数）， ， 的长为． 故答案为：． 39．（18-19九年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知，是轴上的点，且，分别过点作轴的垂线交直线于点，连接，依次相交于点，，的面积依次为，则为 ． 【答案】 【分析】此题考查的知识点是一次函数的综合应用，同时也考查了学生对数字规律问题的分析归纳的能力由已知可以得到，，，点的坐标分别为：，，，，则点，，，的坐标分别为，，，，由此可推出点，，，的坐标为，，，，．由函数图象和已知可知要求的的坐标是直线和直线的交点．在这里可以根据推出的四点求出两直线的方程，从而求出点，再跟进从而求得结果． 【详解】解：由已知得，，，的坐标为：，，，， ∵分别过点作轴的垂线交直线于点， ∴点，，，的坐标分别为，，，． 由此可推出，，，四点的坐标为，，，，． 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴点， ∴ ， 故答案为： ． 40．（21-22九年级上·江苏南通·期中）直线分别与轴、轴相交于点、，边长为2的正方形的一个顶点在坐标系的原点，直线与相交于点，若正方形绕着点旋转一周，则点到点长度的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】由题意可得，则有，由，，进而可得，旋转同理可证，则P在以为直径的圆上，可得圆心G为，半径为，由，可知当圆心G，点P，三点共线时，最小，由，进而可得最小值． 【详解】解：如图： ∵直线与轴、轴交于点、， ∴、， ∴， 在和中， ． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， 在正方形旋转的过程中，同理可证，，可得，， ∴在以为直径的圆上， ∴圆心为，半径为，连接， ∵， ∴当圆心，点，三点共线时，最小， ∵， ∴， ∴点到点长度的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与几何变换、正方形的性质、三角形全等的判定与性质，圆的有关知识，解题的关键是发现点P在以为直径的圆上，确定点P的位置是解题的关键． 41．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，点A是直线上一动点，将点A向右平移1个单位得到点B，点，则的最小值为 ，此时点B坐标为 ． 【答案】 【分析】设，，即将C，O均向左移动一个单位，可证四边形和四边形是平行四边形，得，这样的最值问题转化为最值问题，作D点关于直线的对称点E，连接，由对称性可证的最小值为，即的最小值为，求出一次函数与坐标轴的交点，并求出，，在中，即可取出，由同角的余角相等，可证，由解直角三角形，在中， ，，再由勾股定理即可求出；求出直线的解析式，并与直线联立，求出交点A，由平移即可求出B点坐标； 【详解】如图，设，，作D点关于直线的对称点E，连接交直线于A，连接， 交直线于G，作轴于S， 将点A向右平移1个单位得到点B，，，， 轴， 四边形和四边形是平行四边形， ， 点D，E关于直线对称， ，，， ， 的最小值为， 令，得，解得， ， ， ， 令，得， ， ， 在中，， ，， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中， ， 设直线的解析式为，把，代入得， ，解得， 直线的解析式为， 联立，解得， ， ． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，轴对称最短路线问题，平行四边形的性质、勾股定理的应用，一次函数与方程的关系，解直角三角形，解题的关键是通过转化思想的运用，证得的最小值为． 42．（22-23九年级下·浙江金华·期中）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D，点P是外部的第一象限内一动点，且，点Q是直线上的一个动点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】先求出点A、B、C、D坐标，得出，以点O为圆心，为半径画圆，点E为下方，圆上任意点，连接点，根据圆的内接四边形对角互补可推出点A、P、B、E四点共圆，即点P在上运动，，将逆时针旋转，交x轴于点T，使，证明，得出，，则，当取最小值时，最小，过点T作的垂线，交于点P，交于点Q，此时点T、P、Q共线，且，取最小值，解直角三角形，求出，即可求解． 【详解】解：把代入得：， 把代入得：，解得：， ∴， 把代入得：， 把代入得：，解得：， ∴， ∴， ∴，则， 以点O为圆心，为半径画圆，点E为下方，圆上任意点，连接点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点A、P、B、E四点共圆，即点P在上运动，， 将逆时针旋转，交x轴于点T，使， ∵，， ∴， ∴，则，， 则点T为定点， ∴， 当取最小值时，最小， 过点T作的垂线，交于点P，交于点Q， 此时点T、P、Q共线，且，取最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了圆的综合，相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确画出辅助线，构造相似三角形，根据相似三角形的性质求解． 题型02、二次函数背景的压轴题 43．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）规定：，设，则y的最大值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了新定义的理解，绝对值函数，二次函数，熟练掌握函数的性质是解题的关键，注意数形结合思想的应用． 先根据新定义求得，再根据一次函数与二次函数的性质求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴当时，， ∵当时，y随x增大而增大 ， ∴当时，y有最大值为， ∵当时，y随x增大而减小， ∴当时，y有最大值为， 当时，函数无最大值， 当时，， ∵， ∴当时，函数有最大值为4， 综上，y的最大值为4． 故答案为：4． 44．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）设函数与x轴的交点坐标为，若函数，则时自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意先求得h的值，然后根据二次函数的平移性质求得与x轴的交点，最后根据二次函数性质求得答案即可． 【详解】解：∵函数与x轴的交点坐标为， ∴该函数的对称轴为直线， 解得： ， 则， 那么函数的图象是由函数的图象向右平移2个单位长度所得， 则函数的图象与x轴的交点坐标为， ∵该函数图象开口向上， ∴时自变量x的取值范围为， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握其图象与性质是解题的关键． 45．（24-25九年级上·浙江金华·期末）在电磁场中，带电粒子的运动是一个复杂而迷人的物理现象，在如图所示的平面直角坐标系中，x轴上方区域存在沿y轴负方向的匀强电场，x轴下方区域存在方向垂直纸面向外的匀强磁场．一个带电粒子从A处射出，先沿抛物线运动至点，再沿运动至点．已知点的坐标为，，则的长为 ． 【答案】8 【分析】记的圆心为，连接，过点E作于点F， 先根据圆周角定理和三线合一得到，则，设，那么，由建立方程求出，再求出点的坐标，即可求出抛物线解析式，继而可求解与y轴交点坐标． 【详解】解：记的圆心为，连接，过点E作于点F， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴ 解得：， ∴， ∴， ∴， 将代入得，， 解得：， ∴抛物线解析式为：， 当， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了二次函数与圆的综合问题，解直角三角形，涉及待定系数法求函数解析式，圆周角定理，两点之间距离公式，等腰三角形的性质等知识点，难度较大，解题的关键在于圆周角的运用． 46．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，我们称为“m蛋型”抛物线，如：称“2蛋型”抛物线，如图所示，点A在“4蛋型”抛物线的第一象限上，其横坐标为1，现将“4蛋型”抛物线绕O点顺时针旋转度，A旋转后的对应点为，过作x轴的平行线，交旋转后的“4蛋型”抛物线于，若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象、勾股定理、旋转及全等三角形，灵活运用以上知识点是解题的关键． 根据题意画出函数图象和旋转后的图象，由旋转的性质构造全等三角形，将转化成全等三角形的对应线段进行求值，最后利用及勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：由题意知，“4蛋型”抛物线的解析式为，，如图： 设旋转前在原图象的处，连接、、、、，与交于点， 由旋转的性质知，≌，， ∴，， 过点作轴，过点作轴， 则，且， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∴ 解得：， 由图知， ∴， ∴，，， ， ∴． 故答案为： ． 47．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，（P在第一象限）恰好经过A、B、C三点，且的弦心距为，则a的值为 ．    【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质，圆的性质，垂径定理，勾股定理，先由得出，，，即可得，过作于，连接，，，再根据圆的性质得，再由垂径定理得，再由的弦心距为得，进而可得点P的坐标，由勾股定理得，再由列等式方程，解方程即可得解． 【详解】解：∵的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C， ∴，，， ∴， 如图，过作于，连接，，，    ∵（P在第一象限）恰好经过A、B、C三点， ∴， ∴， ∵的弦心距为， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：或． 48．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点B，抛物线顶点为P．若直线交直线于点C，且，则a的值为 ． 【答案】 【分析】先求出A、B两点坐标，再分两种情况：当点C在线段上时，当点C在线段延长线上时，根据，分别求得点C坐标，然后用等定系数法求得直线的解析式为，把点C坐标代入计算即可． 【详解】解：令，则， ∴， ∵过点A作x轴的平行线交抛物线于点B，则点B纵坐标为1， 当时，， 解得，， ∴， ∴， ∵， 当点C在线段上时，如图1： ∴， ∴， 当点C在线段延长线上时，如图2： ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线解析式为， 把代入，得， ∴； 把代入，得， 解得：， 把代入，得， 解得：； 综上，a的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题是一次函数与二次函数的综合，主要考查二次函数的图象与坐标轴交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求正比例函数的解析式等，求出点C的坐标和直线的解析式，再把点C的坐标代入直线的解析式是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． 49．（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数k的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与坐标轴的交点问题，解题的关键是根据已知列出满足条件的不等式组． 由抛物线与x轴有交点，可得，故或；分两种情况：①当时，可得，②当时，，分别解不等式可得答案． 【详解】解：∵抛物线与x轴有交点， ∴，即， ∴， ∴， ∴或 解得：或； 抛物线对称轴为直线， ①当时，抛物线对称轴在直线左侧，此时抛物线与轴的一个交点为，，如图： ∴， 解得：， ∴； ②当时，抛物线对称轴在直线右侧，此时抛物线与轴的一个交点为，，如图： ∴， 解得：， ∴； 综上所述，或； 故答案为∶ 或． 50．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点B，抛物线顶点为P．若直线交直线于点C，且，则a的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象及其性质，二次函数图象上点的坐标，正确求出二次函数于y轴的交点坐标，顶点坐标，理解函数图象上的点满足函数的表达式，满足函数表达式的点都在函数的图象上是解决问题的关键．先求出点，点，则，根据得，再求出抛物线顶点，然后分两种情况讨论如下：①当时，与线段交于点C，此时，则点，由此得直线的表达式为，将点代入之中可得a的值；②当时，与线段的延长线交于点C，此时，则点，由此得直线的表达式为，将点代入之中可得a的值，综上所述即可得出答案． 【详解】解：对于，当时，， ∴点， ∵轴， ∴点B的纵坐标为， ∴当时，得，， ∴点B的坐标是， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴抛物线的顶点P的坐标为， ∵直线交直线于点C， ∴有以下两种情况： ①当时，抛物线的开口向上，与线段交于点C，如图1所示： 此时， ∴点C的坐标为， 设直线的表达式为：， 将点代入，得：， ∴直线的表达式为：， ∵点在直线上， ∴， 解得：； ②当时，抛物线的开口向上，与线段的延长线交于点C，如图2所示： 此时， ∴点C的坐标为， 设直线的表达式为：， 将点代入，得：， ∴直线的表达式为：， ∵点在直线上， ∴， 解得：， 综上所述：a的值为或． 51．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，已知直线经过点，抛物线W：与y轴交于点C．点E、F分别是抛物线对称轴和直线l上的动点，连结，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】首先利用待定系数法求出直线的表达式，设点关于抛物线对称轴的对称点为，由对称的性质可得，则可知当、、三点一线且与垂直时最小，由点坐标可确定出，设点的坐标，利用勾股定理得到关于m的关系式，再根据二次函数的性质即可求得的最小值． 【详解】解：如图，设点关于抛物线对称轴的对称点为，由对称的性质可得， ， 当、、三点一线且与垂直时，最小， 由题意可得，解得， 直线解析式为； 对于，当时，， ， ， 抛物线W：的图象关于直线对称， ， 设点的坐标， ， 中，， 当，有最小值，最小值为， 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的应用、轴对称最短问题，勾股定理，等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题． 52．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）二次函数的大致图象如图，顶点坐标为，点是抛物线上一点，若点是抛物线上任意一点，下列结论：①；②若，则；③若，则；④若方程有两个实数根和，且，则．其中正确的是 ． 【答案】①④ 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．①由抛物线的对称轴方程，和顶点坐标为，便可用的代数式表示、与，进而代入便可由的取值范围确定此小题的结论正确与否；②点关于直线的对称点为，当，则或，便可确定此小题的结论正确与否；③当时，，当，则，便可确定此小题的结论正确与否；④方程有两个实数根和，可得抛物线与直线交点的坐标，和，，再由抛物线与轴的两个交点坐标分别为和，便可确定此小题的结论正确与否． 【详解】解：①二次函数的大致图象开口向上，顶点坐标为， ,，且， ，， 于是①的结论正确； ②点关于直线的对称点为， 当，则或， 于是②错误； ③当时，， 当，则， 于是③错误； ④方程有两个实数根和，且， 抛物线与直线交点的坐标，和，， 抛物线时，或3， 即抛物线与轴的两个交点坐标分别为和， ， 于是④正确． 故答案为：①④． 53．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）在“探索二次函数的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：，，，．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式，则的最大值等于 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式及求函数值等知识；数形结合是解题的关键．首先确定抛物线可能经过A、D、C或者B、D、C或者A、B、D，画出图象后，只有经过A、D、C三点的抛物线，当时，y的值最大，然后用待定系数法求出函数解析式，求出当时的函数值即可． 【详解】解：∵A、B、C的纵坐标相同， ∴抛物线不会同时经过A、B、C三点， ∴抛物线可能经过A、D、C或者B、D、C或者A、B、D， 如图，经过A、D、C三点的抛物线，当时，y的值最大， 把代入，得， 解得， ∴经过A、D、C三点的抛物线的解析式为， 当时，， 故的最大值等于2， 故答案为：2． 54．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点，点为抛物线上第三象限内一动点，当时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理逆定理，求一次函数解析式等知识；证得是解题的关键．由抛物线的解析式求得、、的坐标，利用勾股定理的逆定理证得，即可得出，由，得出，作轴，交的延长线与，作的平分线，交于，则，根据轴对称的性质得出，从而求得，利用待定系数法求得直线的解析式，与二次函数解析式联立，解方程组即可求得的坐标． 【详解】解：抛物线与轴交于点和点两点， 当时，， 解得或1， ，， ， 当时，， ， ，，， ， ， ， ， ， ∴， ， 如图，过A作轴，交的延长线与，作的平分线，交于，则， ， ， ，则， ， 设直线的解析式为， 把的坐标代入得，， ， 直线的解析式为， 解，得或， 点的坐标为， 故答案为：． 55．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）对于实数，，定义运算“”：；，关于的方程恰好有两个不相等的实数根，则的值是 ． 【答案】0或 【分析】本题考查定义新运算，二次函数的图象和性质，令，分和两种情况讨论，得到，将程恰好有两个不相等的实数根，转化为与直线恰有两个交点，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】解：当，即时， ； 当，即时， ， ， ， 令， 则：， 画出函数图象如图： ∵关于的方程恰好有两个不相等的实数根， ∴与直线有两个交点 由图象可知，当时，满足题意， 当的顶点坐标在直线上时，满足题意， ∵， ∴顶点坐标为， ∴当时，满足题意， 综上：当或时，关于的方程恰好有两个不相等的实数根， 故答案为：0或． 56．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，水平地面点处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为，小武在直线上点（靠点一侧）竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶，已知米，米，网球飞行最大高度米，圆柱形桶的直径为米，高为米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．    （1）当竖直摆放8个圆柱形桶时，网球 （填“能”或“不能”）落入桶内． （2）当竖直摆放圆柱形桶至少 个时，网球能落入桶内． 【答案】 不能 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，求能否落入桶内时高度的比较关系是解题关键． （1）建立直角坐标系，根据题意顶点、点，利用待定系数法可求出函数解析式；当桶的左侧最高点位于抛物线以下，右侧最高点位于抛物线以上时，球才能落入桶内，据此可分别计算和时的值，与桶高比较可知； （2）可设桶的个数为，根据（1）中关系列出不等式，即可求出的范围，从而求出的最小值． 【详解】解：（1）以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系（如图），    ∴顶点、点， 设抛物线的解析式为， 抛物线过点， ， 解得， 抛物线解析式为：， ，且， ，， 即点的横坐标是1.5，点的横坐标是1， 当时，；当时，； 若竖直摆放8个圆柱形桶，则桶高为， ， 网球不能落在桶内， 故答案为：不能； （2）设竖直摆放的圆柱形桶有个时，网球能落入桶内， 则， 解得：， 为整数， 的值为或， 当竖直摆放圆柱形桶至少个时，网球能落入桶内． 故答案为：． 57．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）对于二次函数（），有下列说法： ①对于任何满足条件的a，该函数的图象都经过点和两点； ②若该函数图象的对称轴为直线，则必有； ③当时，y随x的增大而增大； ④若，是图象上的两点，若总成立，则． 以上说法正确的是 （填序号）． 【答案】①④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的对称性、增减性，是解题关键． ①把已知两点坐标代入二次函数，即可判断； ②根据，得到对称轴，即可作出判断； ③抛物线的开口向下，对称轴，得到当时，y随x的增大而增大，即可判断； ④根据，得到，根据，抛物线的开口向下，得到对称轴，解出即可判断． 【详解】解：对于（）， 当时， ， 则二次函数的图象都经过点； 当时，， 则二次函数的图象都经过点， 则说法①正确； ∵二次函数的对称轴为直线，， ∴， ∴， 则说法②错误； ∵， ∴抛物线的开口向下， ∵， ∴当时， y随x的增大而增大； 即说法③错误； ∵， ∴， ∵总成立， ∴对称轴， 解得， 则说法④正确． 综上，说法正确的是①④． 故答案为：①④． 58．（19-20九年级上·江苏盐城·期末）如图，已知抛物线与轴交于，两点，对称轴与抛物线交于点，与轴交于点，的半径为，为上一动点，为的中点，则线段长的最大值为 ． 【答案】 【分析】连接并取的中点，连接，，于是可得，，然后求得抛物线与轴的交点，的坐标，进而可求得的长，接下来求得抛物线顶点的坐标，即可求得的长，于是利用勾股定理即可求得的长，进而可求得的长，最后利用三角形三边之间的关系即可得解． 【详解】解：如图，连接并取的中点，连接，， 为的中点，为的中点， 是的中位线， ， 轴， ， 又为的中点， ， 令， 解得：或， ，， ，， ， 抛物线是轴对称图形， ， ， ， 当时，， ， ， 由勾股定理得：， ， ， 即：长的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，直角三角形的性质（斜边中线等于斜边的一半），求抛物线与轴的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，已知两点坐标求两点距离，轴对称的性质，求函数值，勾股定理，三角形三边之间的关系等知识点，添加适当的辅助线，巧妙利用三角形的中位线定理及直角三角形的性质是解题的关键． 59．（2024·四川自贡·中考真题）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙于点O（如图），其中上的段围墙空缺．同学们测得m，m，m，m，m．班长买来可切断的围栏m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用．要利用围墙和围栏围成一个面积最大的封闭的矩形菜地，那就必须尽量使用原来的围墙，观察图形，利用和才能使该矩形菜地面积最大，分情况，利用矩形的面积公式列出二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：要使该矩形菜地面积最大，则要利用和构成矩形， 设矩形在射线上的一段长为，矩形菜地面积为， 当时，如图， 则在射线上的长为 则， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，的最大值为； 当时，如图， 则矩形菜园的总长为， 则在射线上的长为 则， ∵， ∴当时，随的增大而减少， ∴当时，的值均小于； 综上，矩形菜地的最大面积是； 故答案为：． 60．（2024·四川广安·模拟预测）如图，抛物线在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为，，…，将抛物线沿直线：向上平移，得到一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点，，…，都在直线：上；②抛物线依次经过点，，…；则顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设，则以为顶点的抛物线为，进而可根据，求坐标，根据题意确定，则；同理可求，；；进而可得，最后代值求解即可． 【详解】解：设，，， ∵抛物线沿直线：向上平移，抛物线的顶点，，…，都在直线：上， ∴以为顶点的抛物线为， ∵与的交点为， ∴，即， 解得：， ∵为整数点， ∴，； ∴以为顶点的抛物线为， ∵与的交点为， ∴，即， 解得：， ∵为整数点， ∴，； ∴以为顶点的抛物线为， ∵与的交点为， ∴，即， 解得：， ∵为整数点， ∴，； ∴， ∴，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，二次函数的顶点式，交点坐标，点的规律探究．熟练掌握二次函数图象的平移，二次函数的顶点式，交点坐标并推导一般性规律是解题的关键． 61．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，三角板的直角边紧靠轴上．将一条不可伸缩的（与等长）绳子的一端固定于点处，另一端固定在轴正半轴上的点处，铅笔笔尖紧靠着三角板边把绳子绷紧，当三角板沿着轴左右平移时笔尖就能画出一条抛物线．已知，，现将点向上平移若干个单位后重新作抛物线，所得新抛物线的开口最大宽度增加了，则新抛物线的表达式为 ．    【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，先找到抛物线的顶点，然后求得点能到达的最左边的位置点，进而待定系数法求解析式，根据题意新抛物线的开口最大宽度增加了，结合图形，即可求解． 【详解】解：当与轴重合时， ∵，， ∴， 设抛物线解析式为 当重合时，则，如图所示，过点作轴于点    又∵的纵坐标为，则， ∴ ∴ 代入 ∴ 解得： ∴抛物线解析式为 如图所示，现将点向上平移若干个单位后重新作抛物线，所得新抛物线的开口最大宽度增加了， 设 ∴，， ∴ 解得：， ∴新的抛物线的顶点坐标为 设新抛物线解析式为， 将点代入得， 解得： ∴新的抛物线解析式为 故答案为：． 62．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，，，是的中点，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动．点，同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也同时停止运动． （1）出发2秒后，点P，Q之间的距离是 ． （2）当的面积最小时，点，之间的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值，勾股定理在直角三角形中的运用，考查了三角形面积的计算，正确表示出线段的长度是解题的关键． （1）求得、的长度，由勾股定理定理可得解； （2）设点、同时出发，秒钟后，的面积最小，此时，，，，到的距离为，到的距离为，此时，由二次函数的性质得出当时，的面积最小，求出此时，，由勾股定理定理可得解． 【详解】解：（1）如图， 在中，，，， ， 由题意可知，， ． 点，之间的距离是； 故答案为：； （2）设经过时，的面积最小， 在中，，，，， 是的中点， 到的距离为，到的距离为， ， 当时，的面积最小，此时，， ． 当的面积最小时，点，之间的距离是． 故答案为：． 63．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）如图，乒乓球桌桌面是长，宽的矩形，E，F分别是和的中点，在E，F处设置高的拦网．一次运动员在端发球，在P点击打乒乓球后经过桌面O点反弹后的运行路径近似二次项系数的抛物线的一部分．已知本次发球反弹点O在到桌面底边的距离为，到桌面侧边的距离为处．若乒乓球沿着正前方飞行（垂直于），此时球在越过拦网时正好比拦网上端高，则乒乓球落在对面的落点Q到拦网的距离为 ；若乒乓球运行轨迹不变，飞行方向从O点反弹后飞向对方桌面，落点Q在距离为的Q点处，此时的长度为 m． 【答案】 1.35 【分析】本题主要考查了二次函数的应用——投球问题．熟练掌握适当建立坐标系，待定系数法求函数解析式，函数与方程的关系，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键． 以点O为原点，x轴平行于，y轴平行于，建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为：，设I为拦网正上方抛物线上的点，求出，代入解析式求得 ，得到抛物线表达式为：，解方程，得，即得点Q到拦网的距离；若落点Q在距离为处，设x轴交于点J，根据， ，由勾股定理即得． 【详解】①如图，以点O为原点，x轴平行于，y轴平行于，建立平面直角坐标系， 则抛物线的表达式为：， 设I为拦网正上方抛物线上的点， 由题意知，，O点到的距离为， 则，， ∴， ∴， 解得：， ∴抛物线表达式为：， 当时，， 解得（舍去），， ∴点Q到拦网的距离为：； ②若落点Q在距离为处， 设x轴交于点J， 则， ∵， ∴， ∴在中，． 故答案为：1.35，． 题型03、反比例函数的背景的压轴题 64．（2023·浙江温州·模拟预测）如图所示，的顶点B，C分别在x轴正半轴，y轴负半轴上，点A在第一象限内，交x轴于点D，反比例函数分别交于点E，F，过点E作轴交于点G，且，若的面积为，则k的值为 ． 【答案】 【分析】由，可设，则，，，再设，，分别过点作的垂线，垂足分别为，由得，则，据此得进而得，则点，同理得，然后根据得，则，设，得点，据此列方程整理①，由△ABD的面积得，整理得②，由①②解出，进而可得k的值． 【详解】 ， 设，则，， ， ，即：， 设，， 分别过点作的垂线，垂足分别为，如图： ， ， ， 即：， ， 同理：， ， 点E的坐标为， ， ， ， ， 设，则， ，， 点F的坐标为， 点，均在反比例函数的图象上， ， 整理得：①， 的面积为， ， ， ②， 由①②得：， ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，相似三角形的判定和性质，三角形的面积等，根据题意，设置适当的辅助未知数分别表示出点E，F的坐标，理解根据函数图象上的点满足函数的解析式，满足函数解析式的点都在函数的图象上是解答此题的关键． 65．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在直角坐标系中，点A、B在反比例函数（，）的图象上，点C在y轴上，轴，若，，则 ． 【答案】15 【分析】本题考查了反比例函数的性质，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．过点B作于点D，设，利用勾股定理，平行线间的距离处处相等，反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：过点B作于点D，设， ∵，， ∴，， 由， ∴， 解得， ∴，， ∵轴， ∴A，C两点的纵坐标相同，设为， 根据平行线间的距离处处相等，得到，， 故 解得， 故， 故答案为：15． 66．（2024九年级下·浙江舟山·学业考试）如图，已知反比例函数的图象上有，两点，连接，，且，是轴上的点，连接，且，连接，交于点，连接，若，点坐标，则面积为 ． 【答案】7.5 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上的点，反比例函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数的解析式．过点作轴于，过点作轴于，延长与的延长线交于，过点作轴于，设，证明为等腰直角三角形得，则点，进而得点，再求出直线的表达式为，再证明得，，则点，将点的坐标代入之中求出，进而得点，点，点，由此即可求出的面积． 【详解】解：过点作轴于，过点作轴于，延长与的延长线交于，过点作轴于，如图所示： 设， ， ， 为等腰直角三角形， ， 点， ， 点， ，两点在反比例函数的图象上，且， 根据反比例函数的对称性可知点， 设直线的表达式为：， 将点，点代入， 得：，解得：， 直线的表达式为：， ， ， 轴，轴， ， ， 即， ，， 点的坐标为， 点在直线上， ， 解得：， 点，点， 点， ，，， ， ，，， ． 故答案为：7.5． 67．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，，点P在反比例函数图象上，，且y轴平分，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，轴对称图形，求得点的坐标是解题的关键． 作轴点，则，通过证得，求得，，证得是轴对称图形，得到，即可证得，，再证得，求得，则，得到，然后利用待定系数法即可求得的值． 【详解】解：作轴点，则， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ，轴平分， 是轴对称图形， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， 点在反比例函数图象上， ， 故答案为：． 68．（2024·江苏盐城·三模）如图，的直角顶点A在反比例函数（x＞0）的图像上，点C在y轴上，轴，延长交x轴于点D，连接，当且的面积为时，点A的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数，设，可得点的坐标，再求出直线的解析式，再求出点的坐标，根据的面积为，列方程，即可解答，表示出直线的解析式是解题的关键． 【详解】解：设， 为直角三角形，且， ，， 设直线的解析式为， 把，代入解析式可得， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，解得， ， 的面积为， ， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 故答案为：． 69．（2024·浙江宁波·一模）如图，直线与反比例函数的图象相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点D是x轴负半轴上的一点，连结和，交y轴于点E，且，若，的面积为6，则k的值为 ． 【答案】 【分析】过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，过点作轴于，设交轴于，则，由此得，设，，则，从而得点，点，证和相似从而得，证得，则，从而得，再证和全等得，则，然后根据的面积为6可求出的值． 【详解】解：过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，过点作轴于，设交轴于，如图所示： ∴， ， 可设，，则， 点，在反比例函数的图象上， 点，点， ， ， ， 即：， ， 轴， ，， ，轴， ，， ， ， ， 即， ， ， 轴，轴，， 四边形为矩形， ， 在和中， ， ， ， ， 的面积为6， ， 即， 解得：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上的点，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活利用相似三角形的性质进行计算是解决问题的关键． 70．（2024·浙江宁波·一模）如图，4个小正方形拼成“L”型模具，其中两个顶点在y轴正坐标轴上，一个顶点在x轴负半轴上，顶点D在反比例函数的图象上，若，则    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形性质是解答本题的关键． 先根据三角形面积求出小正方形的边长，再利用两次相似求出点D的坐标，最后把D的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出k值． 【详解】∵， ∴ ∴， ∴小正方形边长为2， ∴，，， 如图， 作轴，垂足为点E，    ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴，， 同理， ， 即， ∴， ∴ ∴， ∵点D在反比例函数图象上， ∴． 故答案为：． 71．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，直线与函数的图象交于点，过点作轴的平行线与函数的图象交于点，直线与图象交于点，当为直角三角形时，的值为 ． 【答案】或． 【分析】设点，则，进而得点，由此可得直线的表达式为，解方程组，得点，再由两点间的距离公式得，，，当为直角三角形时，有以下两种情况：①当时，由勾股定理得，则，由此解出，②当时，由勾股定理得，则，由此解出，综上所述即可得出的值． 【详解】解：设点的横坐标为， 轴， 点的横坐标为， 点在直线上， 点， 又点在反比例函数的图象上， ， 点在反比例函数的图象上， 点， 设直线的表达式为：， ， ， 直线的表达式为：， 解方程组：，得，（不合题意，舍去）， 点， 点， ，，， ， 当为直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，由勾股定理得：， ， 整理得：， 即：， ， ， ， 解得：，（不合题意，舍去）； ②当时，由勾股定理得：， ， 整理得：， ， ， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 综上所述：当为直角三角形时，的值为或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交，直角三角形的性质，勾股定理，公式法解一元二次方程等，熟练掌握待定系数法求正比例函数解的析式，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的解析式，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 72．（23-24九年级上·四川成都·期末）对于平面直角坐标系中的图形M和直线m，给出如下定义：若图形M上有点到直线m的距离为d，那么称这个点为图形M到直线m的“d距点”．如图，双曲线C：和直线：，若图形C到直线l的“距点”只有2个，则n的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】由直线：可知是等腰直角三角形，则，设点为图形到直线的“距点”，作交于，则，作轴交于，则，，则是等腰直角三角形，先找图形到直线的“距点”只有1个时，即只有1个解，亦即：或只有1个解，分两种情况来讨论可得当，时，为图形到直线的“距点”作出当，时的草图，通过作图发现，当时图形在直线上方必定还有两个点到直线的距离为，再根据这两个临界点求解即可． 【详解】解：令直线：与轴，轴分别交于点，点， 对于直线：，当时，，当时，， ∴，，则， ∴是等腰直角三角形，则， 设点为图形到直线的“距点”，作交于，则， 作轴交于，则，， 则是等腰直角三角形， ∴，则， 即：， 先找图形到直线的“距点”只有1个时， 即：只有1个解， 亦即：或只有1个解， ∵，则， ∴， 若，即， 则，解得：， 此时，，解得，即为图形到直线的“距点” 若，即， 则，解得：， 此时，，解得，即为图形到直线的“距点” 作出当，时的草图，如下： 通过作图发现，当时图形在直线上方必定还有两个点到直线的距离为， ∴当图形到直线的“距点”只有1个，当图形到直线的“距点”只有3个， 则当图形到直线的“距点”只有2个时，的取值范围， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，勾股定理，一元二次方程根的问题，利用数形结合的数学思想作出草图，找到满足条件的临界点是解决问题的关键． 73．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴负半轴上，函数的图象经过顶点和对角线的中点，作交y轴于点N，若的面积为6，则k的值为 ． 【答案】 【分析】解：本题考查了反比例函数的图象与菱形的综合问题，涉及三角形的面积、中线的性质、反比例函数的几何意义等知识，先表示出直线表达式，由中线的性质和反比例函数的表达式即可得出答案，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，延长交y轴于点F， ∵点是菱形对角线的中点， ∴点三点共线．轴 设点，则， 故直线 故直线 点是的中点， 故答案为：． 74．（22-23九年级上·浙江·周测）如图平面直角坐标系中放置绕点转动，、所在直线分别交轴、轴正半轴于点，点在上．当均为正整数时，则 ． 【答案】或 【分析】如图，将线段绕点P逆时针旋转90°得到线段．连接，点N是的中点．求出直线的解析式，求出a,b的关系，根据整数解解决问题． 【详解】解：如图，将线段绕点P逆时针旋转90°得到线段．连接，点N是的中点．过点M作垂直交于点H,过点A作垂直于于点J; 又 ， 又 ，， ， 点M的横坐标为： 纵坐标为： 直线的解析式为：, 点B在射线上， ， ∵均为正整数， 或 ， 点 或， 点C在上， 或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是学会有添加常用辅助线，构造等腰直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 75．（23-24九年级上·浙江金华·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，分别在轴、轴上，为正方形对角线的交点，反比例函数的图象经过点，．若点，则的值是 ．    【答案】16 【分析】设，表示出点E坐标，代入函数表达式，可得，作轴于，再利用证明，得，，从而得出点的坐标，即可得出答案． 【详解】解：设， 四边形是正方形， 点为的中点， ， 点在反比例函数上， ， 解得：， 作轴于，     ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，利用全等三角形的判定与性质求出点的坐标是解题的关键． 76．（2023·浙江温州·一模）如图，点A，B，C在函数（常数，）图象上的位置如图所示，分别过点A，C作x轴与y轴的垂线，过点B作y轴与的垂线．若，图中所构成的阴影部分面积为2，则矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】设，进而表示出的坐标，用含的代数式表示出阴影部分的面积，求出的值，即可得解． 【详解】解：∵， 设， 则：， ∴， ∴阴影部分的面积为：， ∴， ∴矩形的面积为； 故答案为：． 【点睛】本题考查已知图形面积求值，熟练掌握值的几何意义，是解题的关键． 77．（2022·浙江宁波·模拟预测）如图，一组x轴正半轴上的点满足条件，抛物线的顶点依次是反比例函数图象上的点，第一条抛物线以为顶点且过点O和；第二条抛物线以为顶点且经过点和；…第n条抛物线以为顶点且经过点，．依次连结抛物线的顶点和与x轴的两个交点，形成、、…、．若三角形是一个直角三角形，则它相对应的抛物线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】根据题意得三角形为等腰三角形，根据可得到点，，，，根据抛物线的顶点依次是反比例函数图象上的点，设点，根据建立等式，化简后得到，因此可以得到点，再根据等腰直角三角形的性质可以得到，从而求出n的值，从而得到三角形三个点的坐标值，再根据待定系数法解求出二次函数的解析式． 【详解】解：由题意得，、、…、均为等腰三角形， ∵， ∴点，，， 设点， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴点， ∵是直角三角形， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴n＝5， ∴ ∴， 设抛物线的解析式为， 将点代入解析式，得， ∴， ∴抛物线的解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰直角三角形、反比例函数的性质、二次函数的性质，解题的关键是根据题意得到三角形为等腰三角形，根据腰长相等建立等式，从而求出n的值． 78．（22-23九年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，点在函数的图象上，点为轴正半轴上一点，，轴于点，将沿翻折得到，点正好落在的图象上，已知，，，，则 ， ．    【答案】 【分析】根据，构造一个圆心为的圆，使，则点在圆上，借助垂径定理可求出点坐标．过点作轴垂线，借助于全等和勾股定理可求出点的坐标． 【详解】解：在直线上取点，以为圆心作，则经过，两点，    连接，，∵，， ∴， 又， ∴点在上． 连接，过点作于， 则． 又∵， 在中，，， ∴，则， 故． ∴． 过点作轴垂线，垂足为，记与轴交点为． 则， 又，且 ∴，则． 在中， ，得． 则，． 过点作轴垂线，垂足为． 则由面积法可知：， 解得． 在中，   ：． ． 所以． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了圆周角定理，反比例函数的性质，折叠的性质，勾股定理，得出点在圆上，借助垂径定理可求出点坐标是解题的关键． 79．（2024·浙江宁波·一模）如图，菱形的对角线轴，顶点A，B和边的中点E在反比例函数图象上，顶点C，D在反比例函数图象上．边与y轴的交点为F，则的值为 ；若，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】如图，连接交于，交轴于，设，，可得，结合为的中点，可得，可得：，可得，解得，由，可得，再结合，可得：，，再利用菱形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接交于，交轴于， ∵菱形， ∴，，，， 设，， ∴，， ∴，即， ∴， ∵为的中点， ∴ ∴， 整理得：， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍去），， ∵， ∴， ∴， ∵， 解得：，， ∴菱形的面积为： ； 故答案为：， 【点睛】本题考查的是菱形的性质，反比例函数的几何应用，一元二次方程的解法，平行线分线段成比例的应用，本题难度大，计算量大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 80．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，四边形为矩形，点A在第二象限，点A关于的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，轴于点E．若的延长线交x轴于点F，当矩形的面积为时，的值为 ，点F的坐标为 ． 【答案】 【分析】连接，作轴，设点，，根据矩形的面积得出三角形的面积，将三角形的面积转化为梯形的面积，从而得出a，b的等式，将其分解因式，从而得出a，b的关系，进而在直角三角形中，根据勾股定理列出方程，进而求得B，D的坐标，进一步可求得结果． 【详解】解：如图， 作轴于G，连接，设和交于I， 设点，， 由对称性可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴(， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴），即：， 在中，由勾股定理得， ， ∴， ∴， ∴， ∵直线的解析式为：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“k”的几何含义，勾股定理，一次函数及其图象性质，分解因式等知识，解决问题的关键是变形等式，进行分解因式． 81．（22-23九年级·浙江宁波·自主招生）如图，点A，B，C，D是菱形的四个顶点，其中点A，D在反比例函数的图象上，点B，C在反比例函数的图象上，且点B，C关于原点成中心对称，点A，C的横坐标相等，则的值为 ；过点A作轴交反比例函数的图象于点E，连结并延长交x轴于点F，连结．若，则m的值为 ． 【答案】 18 【分析】本题反比例函数与几何综合，根据几何的性质判断出点坐标的关系，设出未知数，找准关系是解题的关键． 通过菱形的性质及已知可知道A、B、C、D四点之间的坐标关系，设出坐标，分别表示出反比例函数的系数即可，通过，，可得到线段之间的关系，表示出F点坐标，再由面积代入求值，即可知道答案． 【详解】如图，延长交x轴于点G，连结交x轴于点P，连交于点H，过点AD作x轴的垂线交于点Q． ∵四边形是菱形， ∴，． 由题意，设点，则． ∵点A，C的横坐标相同，且， ∴点A坐标为， ∴，， ∴； ∵轴， ∴点E的纵坐标为， ∵点B、E都在反比例函数的图象上，， ∴点E坐标为． ∵， ∴点D坐标． ∵， ∴； ∵， ∴， ∴点G坐标为； ∵轴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 故答案为：，18． 82．（2023·浙江宁波·一模）如图，菱形的顶点与对角线交点都在反比例函数的图像上，对角线交轴于点，，且的面积为15，则 ；延长交轴于点，则点的坐标为 ． 【答案】 8 【分析】通过构造延长线得到直角三角形，再用射影定理求出之间的数量关系，在通过面积为15求出实际长度，再通过求D点到y轴的距离求出D点坐标，也解出k，进而得出B点坐标．再过点作于，然后通过相似求出A点坐标，进而得出直线解析式，最后得出F点坐标． 【详解】解：延长交轴于点，设，则，， ∵， ∴， ∴中，，， ∴， ∵， ∴， ∴ 过作轴，则， 即， ∵， ∴，即． ∵， ∴，过点作于，易证， ∵， ∴，， ∴，联立得， ∴ 【点睛】本题考查反比例函数解析式求解、相似三角形的应用、射影定理应用、菱形的性质、一次函数应用，掌握这些是本题关键． 83．（2023·浙江湖州·一模）如图1，点A是反比例函数的图象上一点，连接，过点A作轴交的图象于点，连接并延长交的图象于点，过点作轴交的图象于点，已知点的横坐标为1，，连接，小明通过对和的面积与的关系展开探究，发现的值为 ；如图2，延长交的图象于点，过点作轴交的图象于点，依此进行下去．记，，则 ． 【答案】 4 /0.75 【分析】根据反比例函数系数的几何意义，得到，，进而得到，又因为，得到，再根据反比例函数的性质，得到，从而得到，，证明，得到，利用勾股定理求出，得到点B的坐标，即可求出的值，将的值代入，得到，同理可得，推出规律，面积恒等于，即可得到答案． 【详解】解：延长交轴于点，延长交轴于点， 点A是的图象上一点，是的图象上一点，轴 ，， ， 点B是的图象上一点，是的图象上一点，轴 ，， ， ， ， ， ， 是的图象上一点，且点的横坐标为1， ， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，， ， 点B是的图象上一点， ， ， 同理可证，，， ，， ， 故答案为：4，． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题关键． 84．（2022·浙江宁波·中考真题）如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为时，的值为 ，点F的坐标为 ． 【答案】 （，0） 【分析】连接OD，作DG⊥x轴，设点B（b，），D（a，），根据矩形的面积得出三角形BOD的面积，将三角形BOD的面积转化为梯形BEGD的面积，从而得出a，b的等式，将其分解因式，从而得出a，b的关系，进而在直角三角形BOD中，根据勾股定理列出方程，进而求得B，D的坐标，进一步可求得结果． 【详解】解：如图， 作DG⊥x轴于G，连接OD，设BC和OD交于I， 设点B（b，），D（a，）， 由对称性可得：△BOD≌△BOA≌△OBC， ∴∠OBC=∠BOD，BC=OD， ∴OI=BI， ∴DI=CI， ∴， ∵∠CID=∠BIO， ∴△CDI∽△BOI， ∴∠CDI=∠BOI， ∴CD∥OB， ∴S△BOD=S△AOB=S矩形AOCB=， ∵S△BOE=S△DOG=|k|=3，S四边形BOGD=S△BOD+S△DOG=S梯形BEGD+S△BOE， ∴S梯形BEGD=S△BOD=， ∴ (+)•（a-b）=， ∴2a2-3ab-2b2=0， ∴（a-2b）•（2a+b）=0， ∴a=2b，a=-（舍去）， ∴D（2b，），即：（2b，）， 在Rt△BOD中，由勾股定理得， OD2+BD2=OB2， ∴[（2b）2+（）2]+[（2b-b）2+（-）2]=b2+（）2， ∴b=， ∴B（，2），D（2，）， ∵直线OB的解析式为：y=2x， ∴直线DF的解析式为：y=2x-3， 当y=0时，2x-3=0， ∴x=， ∴F（，0）， ∵OE=，OF=， ∴EF=OF-OE=， ∴， 故答案为：，（，0）． 【点睛】本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“k”的几何含义，勾股定理，一次函数及其图象性质，分解因式等知识，解决问题的关键是变形等式，进行分解因式． 85．（2023·浙江宁波·三模）如图，的顶点B，C分别落在反比例函数和的图象上，连结，将沿着翻折，点的对应点恰好落在的图象上，与交于点．已知的面积为，，则的值为 ，的值为 ． 【答案】 16 / 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，折叠问题．根据已知条件可得，进而得出根据反比例函数系数的几何意义得出；过点，点，点作轴，轴，轴，垂足分别为，证明得出，，则，根据得出，进而求得，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． 过点，点，点作轴，轴，轴，垂足分别为，如图所示 则． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， 又∵ ∴， ，， ， ， ， ， 解得． ， ． 故答案为：． 86．（2023·浙江嘉兴·二模）如图，已知点是反比例函数第一象限图像上的一个动点，连结并延长交该图像另一支于点，以为边作等边，点在第四象限，记点的运动轨迹为． （1）若点的坐标为，则的解析式是 ； （2）过点作轴交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，则四边形周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】（1）如图所示，连接，过点作轴于，过点作轴于，可得，再证，根据相似相似三角形的判定和性质即可求解； （2）点是反比例函数第一象限图像上，点是反比例函数第四象限图像上，设，则，可用含的式子表示出四边形的周长，根据不等式的性质即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，连接，过点作轴于，过点作轴于， 根据题意，，是等边三角形，根据等边三角形“三线合一”， ∴，平分，即， 在中，，，点是反比例函数第一象限图像上，设， ∵， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴，且，， ∴，解得，， ∵点在第四象限， ∴，即点的轨迹是反比例函数，解析式为， 故答案为：； （2）根据题意，画图如下，    ∵点是反比例函数第一象限图像上，点是反比例函数第四象限图像上，设，则， ∴，， ∴四边形周长为， ∵， ∴， ∴四边形周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数，几何图形的变换，不等式的综合，掌握相似三角形的判定和性质，几何图形的变换，不等式的计算方法是解题的关键． 87．（21-22九年级下·浙江·阶段练习）在平面直角坐标系中，P是平面内的点，不在坐标轴上，过P作x轴，y轴垂线，如果由P点，原点和两个垂足为顶点的矩形面积和周长相等，我们就称这个点P是平面直角坐标系中的“奇异点”，如点，向坐标轴作垂线面积和周长都是16，所以P点就是奇异点． （1）已知点， ，，其中，是平面坐标系的奇异点的是 ； （2）如图，在第一象限内，矩形的边长，反比例函数与边，和交于P，Q，已知P和Q点为“奇异点”，连接、，则的值为 ． 【答案】 ， 2 【分析】(1)设点，根据定义，得，只需验证等式成立即可． (2)根据题意，得点，根据定义，得，得到，继而得到，设点，根据定义，得，得到，判定四边形是正方形，是等腰直角三角形，连接交于点H，交于点G，解，即可． 【详解】(1)解：设点，根据定义，得， ∵点， 根据定义，得， 故该点不是奇异点； ∵点， 根据定义，得， 故该点是奇异点； ∵点， 根据定义，得， 故该点是奇异点； 故答案为：D，E． (2)根据题意，设点，根据定义，得， 解得， ∴， ∴， 设点，根据定义，得， 解得， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，是等腰直角三角形， 连接交于点H，交于点G， 则，， ∴， ∴，，， 在中， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了新定义问题，反比例函数解析式的确定和性质，正方形的判定和性质，等要直角三角形的判定和性质，锐角三角函数的计算，熟练掌握新定义，反比例函数解析式的确定和性质，正方形的判定和性质，锐角三角函数是解题的关键． 试卷第2页，共132页 2 / 129 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题八 填空压轴题 第14讲 代数填空压轴问题 （思维导图+3考点+5种题型） 考点一、与代数运算有关的压轴题 题型01、与代数运算有关的压轴题 考点二、与方程不等式有关的压轴题 题型02、与方程不等式有关的压轴题 考点三、与函数有关的压轴题 题型01、一次函数背景的压轴题 题型02、二次函数背景的压轴题 题型03、反比例函数的背景的压轴题 考点一、与代数运算有关的压轴题 题型01、与代数运算有关的压轴题 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，则代数式的值为 ． 2．（23-24九年级下·浙江宁波·自主招生）若实数，满足，则的取值范围为 ． 3．（21-22九年级·浙江宁波·自主招生）已知三角形的三边a，b，c都是整数，且满足，则此三角形的面积为 ． 4．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知a，b，c为整数，满足，，则的最小值是 ． 5．（23-24九年级下·浙江宁波·自主招生）用表示自然数的数字和，例如：．若对任意自然数，都有，则满足这个条件的最大的两位整数的值是 ． 6．（2022·浙江台州·一模）定义：若一个两位数k，满足（m，n为正整数），则称该两位数k为“类完全平方数”，记．例如：，则39是一个“类完全平方数”，且． （1）已知37是一个“类完全平方数”，则 ； （2）若两位数a是一个“类完全平方数”，且，则a的最大值= ． 7．（22-23九年级·浙江宁波·自主招生）4只猴子分桃，第一只猴子把桃分成数量相同的四份，多了一个自己偷吃，并把自己一份藏起来，第二只猴子把剩下的桃再次分成相同的四份，多了一个自己偷吃，并把自己一份藏起来，第三只，第四只猴子以此类推，问桃子至少 个． 8．（23-24九年级下·浙江宁波·自主招生）已知，，是大于1的正整数，且为整数，则 ． 9．（23-24九年级下·浙江台州·开学考试）已知，，则的值为 （用含m，n的式子表示）． 10．（23-24九年级下·浙江·自主招生）设则不超过的最大整数为 ． 11．（23-24九年级下·浙江杭州·自主招生）设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，则 ．（结果用含p的代数式表示） 12．（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）化简 ． 13．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）温故知新：若满足不等式的整数k只有一个，则正整数n的最大值 ． 阅读理解：任意正整数，，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（、均为正实数）中，只有当时，有最小值．若，有最小值为 ． 14．（2024·北京·中考真题）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。 若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为 min； 若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按 的先后顺序彩排 15．（23-24九年级下·北京海淀·开学考试）小亮有黑、白各10张卡片，分别写有数字0~9．把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，排成四行，排列规则如下： ①从左至右按从小到大的顺序排列： ②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边． 小亮每行翻开了两张卡片，如图所示： 其余卡片上数字小亮让小明根据排列规则进行推算，小明发现有的卡片上数字可以唯一确定，例如第四行最后一张白色卡片上数字只能是 有的卡片上的数字并不能唯一确定，小明对不能唯一确定的卡片上数字进行猜测，则小明一次猜对所有数字的概率是 ． 考点二、与方程不等式有关的压轴题 题型02、与方程不等式有关的压轴题 16．（2023·浙江绍兴·中考真题）若关于x的方程所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是 ． 17．（2022·浙江金华·一模）现有A，B，C三种型号的纸片若干张，大小如图所示．从中取出一些纸片进行无空隙、无重叠拼接，拼成一个长宽分别为11和5的新矩形，在各种拼法中，B型纸片最多用了 张． 18．（23-24九年级下·浙江杭州·自主招生）已知，，，，是满足条件的五个不同的整数，若是关于的方程的整数根，则的值为 ． 19．（2022·重庆·一模）2022年2月，北京冬奥会举行期间，某官方特许商品零售店有冬奥会吉祥物冰墩墩和雪融融两种商品（冰墩墩的价格高于雪融融的价格）深受广大市民的喜爱，导致“一墩难求”．该零售店试销第一天购进两种商品共10个，第二天购进两种商品共16个，第三天购进两种商品共26个，并且每天都能全部售完，结算后发现这三天的营业额均为3500元，两种商品的售价不变且均为整数，则冰墩墩的售价是 元． 20．（2025九年级下·浙江温州·学业考试）关于的方程有实数根，则的取值范围是 ． 21．（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）满足方程的正整数解为 ． 22．（21-22九年级上·浙江金华·期末）某校航天社团模拟火星探测器的发射过程，如图，地球，火星的运行轨道抽象成以太阳O为圆心的圆，探测器从地球到火星的转移轨道则抽象成以为圆心，AC为直径的半圆．点O在AC上，点A，B分别代表探测器从地球发射时地球和火星的位置，火星沿运行，与探测器同时抵达C点，已知，火星的公转周期（绕太阳逆时针转动一周所用时间）为687天，地球与火星的轨道半径OA，OC分别为1A．U.和1.5A．U.（A．U.为天文单位）． （1）探测器从发射到抵达火星需要 天（精确到个位）． （2）当探测器运行到点T时，太阳爆发活动向探测器方向抛射速度为的体积巨大的“等离子体云”，此时TC恰好等于点到TC中点的距离，则最快 h后，探测器会受到“等离子体云”的干扰（短时间内探测器的运行路程可忽略不计）． 23．（2025·浙江·一模）如图1，矩形纸片裁去等腰直角三角形，将剩余部分分割为五块图形后，拼成如图2的正方形．则的值为 ． 24．（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）满足的所有实数对，使取最大值，此最大值为 ． 25．（23-24九年级下·浙江宁波·自主招生）对实数，，定义运算“”为：．已知关于的方程，若该方程有两个相等的实数根，则实数的值是 ：若该方程有两个不等负根，则实数的取值范围是 ． 26．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个根，，且满足．记，则的取值范围是 ． 27．（2023·浙江金华·中考真题）如图是一块矩形菜地，面积为．现将边增加．    （1）如图1，若，边减少，得到的矩形面积不变，则的值是 ． （2）如图2，若边增加，有且只有一个的值，使得到的矩形面积为，则的值是 ． 28．（22-23八年级上·全国·单元测试）已知关于x的方程的两根均大于1且小于2，则的取值范围是 ． 29．（2023·河北衡水·二模）五张完全相同的小矩形纸片C与A，B两张矩形纸片恰好能拼成一个相邻边长为m，50的大矩形，部分数据如图所示． （1）若，则矩形A的水平边长为 ； （2）请用含m，n的代数式表示矩形A的周长： ； （3）若矩形A，B的面积相等，则 ． 30．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知关于的方程有实数解，则的取值范围为 ． 31．（2024·浙江嘉兴·一模）已知，当取最小值时，S的取值范围是 ． 32．（21-22九年级下·重庆·开学考试）春节期间，某超市推出了甲、乙、丙三种腊味套盒，各套盒均含有香肠、腊肉、腊排骨、腊猪脚等四种腊味各若干袋，每袋腊味的重量为500克，一袋腊肉的售价不低于30元，一袋香肠的售价比一袋腊肉的售价贵，单袋腊味的售价均为整数元，套盒的售价即为单袋腊味的售价之和，甲套盒中含有香肠2袋，腊肉5袋，腊排骨2袋，腊猪脚2袋，乙套盒中含有香肠4袋，腊肉5袋，腊排骨1袋，腊猪脚1袋，丙套盒中含有香肠3袋，腊肉5袋，腊排骨2袋，腊猪脚1袋，甲、乙礼盒售价均为415元，丙礼盒售价比甲礼盒贵10元，则腊排骨每袋 元． 33．（2020·浙江·一模）对于实数a，b，c，定义，例如；．若，则a的取值范围是 ． 考点三、与函数有关的压轴题 题型01、一次函数背景的压轴题 34．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在直角坐标系中，，是直线上一点，连结，沿着折叠，点的对应点为，过点作轴，交直线于点，交轴于点．若，则的值为 ． 35．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，，点A，B关于直线的对称点分别为点E，F，当k为 时，直线恰好经过点C． 36．（2023·浙江宁波·一模）如图1，在中，，动点，从点同时出发，分别沿和的方向都以每秒1个单位长度的速度运动，到达点后停止运动．设运动时间为，的面积为，与的大致函数关系如图2所示．则当时，的值为 ． 37．（21-22九年级·浙江宁波·自主招生）如图，在平面直角坐标系中与x轴正半轴，y轴负半轴分别交于点A，B，点在上，点D为的中点，连结并延长交于点E，点F在x轴的正半轴上，连接交于点G，若，则的面积为 ． 38．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点，以为边作正方形，点坐标为，过点作交于点，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，连接，以为边作正方形，点的坐标为．过点作交于，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，连接，以为边作正方形，，则长为 ． 39．（18-19九年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知，是轴上的点，且，分别过点作轴的垂线交直线于点，连接，依次相交于点，，的面积依次为，则为 ． 40．（21-22九年级上·江苏南通·期中）直线分别与轴、轴相交于点、，边长为2的正方形的一个顶点在坐标系的原点，直线与相交于点，若正方形绕着点旋转一周，则点到点长度的最小值是 ． 41．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，点A是直线上一动点，将点A向右平移1个单位得到点B，点，则的最小值为 ，此时点B坐标为 ． 42．（22-23九年级下·浙江金华·期中）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D，点P是外部的第一象限内一动点，且，点Q是直线上的一个动点，则的最小值为 ．    题型02、二次函数背景的压轴题 43．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）规定：，设，则y的最大值是 ． 44．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）设函数与x轴的交点坐标为，若函数，则时自变量x的取值范围是 ． 45．（24-25九年级上·浙江金华·期末）在电磁场中，带电粒子的运动是一个复杂而迷人的物理现象，在如图所示的平面直角坐标系中，x轴上方区域存在沿y轴负方向的匀强电场，x轴下方区域存在方向垂直纸面向外的匀强磁场．一个带电粒子从A处射出，先沿抛物线运动至点，再沿运动至点．已知点的坐标为，，则的长为 ． 46．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，我们称为“m蛋型”抛物线，如：称“2蛋型”抛物线，如图所示，点A在“4蛋型”抛物线的第一象限上，其横坐标为1，现将“4蛋型”抛物线绕O点顺时针旋转度，A旋转后的对应点为，过作x轴的平行线，交旋转后的“4蛋型”抛物线于，若，则的值是 ． 47．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，（P在第一象限）恰好经过A、B、C三点，且的弦心距为，则a的值为 ．    48．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点B，抛物线顶点为P．若直线交直线于点C，且，则a的值为 ． 49．（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数k的取值范围是 ． 50．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点B，抛物线顶点为P．若直线交直线于点C，且，则a的值为 ． 51．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，已知直线经过点，抛物线W：与y轴交于点C．点E、F分别是抛物线对称轴和直线l上的动点，连结，则的最小值为 ． 52．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）二次函数的大致图象如图，顶点坐标为，点是抛物线上一点，若点是抛物线上任意一点，下列结论：①；②若，则；③若，则；④若方程有两个实数根和，且，则．其中正确的是 ． 53．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）在“探索二次函数的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：，，，．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式，则的最大值等于 ． 54．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点，点为抛物线上第三象限内一动点，当时，点的坐标为 ． 55．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）对于实数，，定义运算“”：；，关于的方程恰好有两个不相等的实数根，则的值是 ． 56．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，水平地面点处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为，小武在直线上点（靠点一侧）竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶，已知米，米，网球飞行最大高度米，圆柱形桶的直径为米，高为米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．    （1）当竖直摆放8个圆柱形桶时，网球 （填“能”或“不能”）落入桶内． （2）当竖直摆放圆柱形桶至少 个时，网球能落入桶内．    57．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）对于二次函数（），有下列说法： ①对于任何满足条件的a，该函数的图象都经过点和两点； ②若该函数图象的对称轴为直线，则必有； ③当时，y随x的增大而增大； ④若，是图象上的两点，若总成立，则． 以上说法正确的是 （填序号）． 58．（19-20九年级上·江苏盐城·期末）如图，已知抛物线与轴交于，两点，对称轴与抛物线交于点，与轴交于点，的半径为，为上一动点，为的中点，则线段长的最大值为 ． 59．（2024·四川自贡·中考真题）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙于点O（如图），其中上的段围墙空缺．同学们测得m，m，m，m，m．班长买来可切断的围栏m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是 ． 60．（2024·四川广安·模拟预测）如图，抛物线在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为，，…，将抛物线沿直线：向上平移，得到一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点，，…，都在直线：上；②抛物线依次经过点，，…；则顶点的坐标为 ． 61．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，三角板的直角边紧靠轴上．将一条不可伸缩的（与等长）绳子的一端固定于点处，另一端固定在轴正半轴上的点处，铅笔笔尖紧靠着三角板边把绳子绷紧，当三角板沿着轴左右平移时笔尖就能画出一条抛物线．已知，，现将点向上平移若干个单位后重新作抛物线，所得新抛物线的开口最大宽度增加了，则新抛物线的表达式为 ．    62．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，，，是的中点，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动．点，同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也同时停止运动． （1）出发2秒后，点P，Q之间的距离是 ． （2）当的面积最小时，点，之间的距离是 ． 63．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）如图，乒乓球桌桌面是长，宽的矩形，E，F分别是和的中点，在E，F处设置高的拦网．一次运动员在端发球，在P点击打乒乓球后经过桌面O点反弹后的运行路径近似二次项系数的抛物线的一部分．已知本次发球反弹点O在到桌面底边的距离为，到桌面侧边的距离为处．若乒乓球沿着正前方飞行（垂直于），此时球在越过拦网时正好比拦网上端高，则乒乓球落在对面的落点Q到拦网的距离为 ；若乒乓球运行轨迹不变，飞行方向从O点反弹后飞向对方桌面，落点Q在距离为的Q点处，此时的长度为 m． 题型03、反比例函数的背景的压轴题 64．（2023·浙江温州·模拟预测）如图所示，的顶点B，C分别在x轴正半轴，y轴负半轴上，点A在第一象限内，交x轴于点D，反比例函数分别交于点E，F，过点E作轴交于点G，且，若的面积为，则k的值为 ． 65．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在直角坐标系中，点A、B在反比例函数（，）的图象上，点C在y轴上，轴，若，，则 ． 66．（2024九年级下·浙江舟山·学业考试）如图，已知反比例函数的图象上有，两点，连接，，且，是轴上的点，连接，且，连接，交于点，连接，若，点坐标，则面积为 ． 67．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，，点P在反比例函数图象上，，且y轴平分，则 ． 68．（2024·江苏盐城·三模）如图，的直角顶点A在反比例函数（x＞0）的图像上，点C在y轴上，轴，延长交x轴于点D，连接，当且的面积为时，点A的坐标为 ． 69．（2024·浙江宁波·一模）如图，直线与反比例函数的图象相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点D是x轴负半轴上的一点，连结和，交y轴于点E，且，若，的面积为6，则k的值为 ． 70．（2024·浙江宁波·一模）如图，4个小正方形拼成“L”型模具，其中两个顶点在y轴正坐标轴上，一个顶点在x轴负半轴上，顶点D在反比例函数的图象上，若，则    71．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，直线与函数的图象交于点，过点作轴的平行线与函数的图象交于点，直线与图象交于点，当为直角三角形时，的值为 ． 72．（23-24九年级上·四川成都·期末）对于平面直角坐标系中的图形M和直线m，给出如下定义：若图形M上有点到直线m的距离为d，那么称这个点为图形M到直线m的“d距点”．如图，双曲线C：和直线：，若图形C到直线l的“距点”只有2个，则n的取值范围是 ． 73．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴负半轴上，函数的图象经过顶点和对角线的中点，作交y轴于点N，若的面积为6，则k的值为 ． 74．（22-23九年级上·浙江·周测）如图平面直角坐标系中放置绕点转动，、所在直线分别交轴、轴正半轴于点，点在上．当均为正整数时，则 ． 75．（23-24九年级上·浙江金华·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，分别在轴、轴上，为正方形对角线的交点，反比例函数的图象经过点，．若点，则的值是 ．    76．（2023·浙江温州·一模）如图，点A，B，C在函数（常数，）图象上的位置如图所示，分别过点A，C作x轴与y轴的垂线，过点B作y轴与的垂线．若，图中所构成的阴影部分面积为2，则矩形的面积为 ． 77．（2022·浙江宁波·模拟预测）如图，一组x轴正半轴上的点满足条件，抛物线的顶点依次是反比例函数图象上的点，第一条抛物线以为顶点且过点O和；第二条抛物线以为顶点且经过点和；…第n条抛物线以为顶点且经过点，．依次连结抛物线的顶点和与x轴的两个交点，形成、、…、．若三角形是一个直角三角形，则它相对应的抛物线的函数表达式为 ． 78．（22-23九年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，点在函数的图象上，点为轴正半轴上一点，，轴于点，将沿翻折得到，点正好落在的图象上，已知，，，，则 ， ．    79．（2024·浙江宁波·一模）如图，菱形的对角线轴，顶点A，B和边的中点E在反比例函数图象上，顶点C，D在反比例函数图象上．边与y轴的交点为F，则的值为 ；若，则菱形的面积为 ． 80．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，四边形为矩形，点A在第二象限，点A关于的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，轴于点E．若的延长线交x轴于点F，当矩形的面积为时，的值为 ，点F的坐标为 ． 81．（22-23九年级·浙江宁波·自主招生）如图，点A，B，C，D是菱形的四个顶点，其中点A，D在反比例函数的图象上，点B，C在反比例函数的图象上，且点B，C关于原点成中心对称，点A，C的横坐标相等，则的值为 ；过点A作轴交反比例函数的图象于点E，连结并延长交x轴于点F，连结．若，则m的值为 ． 82．（2023·浙江宁波·一模）如图，菱形的顶点与对角线交点都在反比例函数的图像上，对角线交轴于点，，且的面积为15，则 ；延长交轴于点，则点的坐标为 ． 83．（2023·浙江湖州·一模）如图1，点A是反比例函数的图象上一点，连接，过点A作轴交的图象于点，连接并延长交的图象于点，过点作轴交的图象于点，已知点的横坐标为1，，连接，小明通过对和的面积与的关系展开探究，发现的值为 ；如图2，延长交的图象于点，过点作轴交的图象于点，依此进行下去．记，，则 ． 84．（2022·浙江宁波·中考真题）如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为时，的值为 ，点F的坐标为 ． 85．（2023·浙江宁波·三模）如图，的顶点B，C分别落在反比例函数和的图象上，连结，将沿着翻折，点的对应点恰好落在的图象上，与交于点．已知的面积为，，则的值为 ，的值为 ． 86．（2023·浙江嘉兴·二模）如图，已知点是反比例函数第一象限图像上的一个动点，连结并延长交该图像另一支于点，以为边作等边，点在第四象限，记点的运动轨迹为． （1）若点的坐标为，则的解析式是 ； （2）过点作轴交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，则四边形周长的最小值是 ． 87．（21-22九年级下·浙江·阶段练习）在平面直角坐标系中，P是平面内的点，不在坐标轴上，过P作x轴，y轴垂线，如果由P点，原点和两个垂足为顶点的矩形面积和周长相等，我们就称这个点P是平面直角坐标系中的“奇异点”，如点，向坐标轴作垂线面积和周长都是16，所以P点就是奇异点． （1）已知点， ，，其中，是平面坐标系的奇异点的是 ； （2）如图，在第一象限内，矩形的边长，反比例函数与边，和交于P，Q，已知P和Q点为“奇异点”，连接、，则的值为 ． 试卷第2页，共132页 26 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$