第13讲 几何选择压轴问题（4个考点4个题型）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（浙江专用）

专题七 选择题压轴题 第13讲 几何选择压轴问题 （思维导图+4考点+4种题型） 题型01、三角形有关的选择压轴题 题型02、与四边形有关的选择题压轴题 题型03、与圆有关的选择压轴题 题型04、几何变换背景的旋转综合题 维引航 03核心精讲·题型突破 考点一、三角形有关的选择压轴题 题型01、三角形有关的选择压轴题 1．（2025·浙江衢州·一模）如图，在中，，连接对角线，点为中点，且，点是射线上一点，连接，作，交延长线于点．令，，则关于的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，点在上，点在上，是的中点，是的中点，，，且与所夹得锐角为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·开学考试）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，与交于点．则下列说法正确的个数为（   ） ①；②；③若，则；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2025·浙江宁波·一模）如图，在正方形中，将对角线绕点逆时针旋转角度，使得（为正实数）．设．（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）等腰，，，，则（   ） A．3 B． C． D．4 6．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，平分交于点，点在边上，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，，点D为边上的中点，点E在线段上（点E不与点B，点D重合），过点A作交于点F，过点B作交的延长线于点G．若已知的长，则可求出（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点及点，都是格点，与格线交于点，与交于点．则有以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①② B．①④ C．③④ D．①②③ 9．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，正方形的边长为4，点是边上的动点，连结，作的中垂线交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D．4 10．（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，，延长到点D，使得，连结，过点D作的垂线交BC的延长线于点E，则的值为（   ） A． B． C． D． 11．（2025·浙江宁波·一模）如图， 在中，， ， ， 点N是边上的一点， 且 ，点M是边上一个动点，连接，以为直角边，点M为直角顶点，在的左侧作等腰直角三角形，则的最小值是 （ ） A． B． C． D． 12．（2025九年级下·浙江温州·学业考试）如图，三棱锥的各棱长均为1，点分别在棱上，则的最小值是（   ） A． B． C． D．3 13．（2025九年级下·浙江金华·学业考试）等腰三角形中．若，则，据此求出的值为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·浙江温州·期末）图1是捣谷物的“碓”，图2是其示意图，O为转动支点，于点B，与水平线夹角，，，．当点C绕点O旋转下落到上时，点A上升（   ） A． B． C． D． 15．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，中，，，将绕着点P按顺时针方向旋转得到，连接交于N点，则的值是（    ）    A． B． C． D． 16．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点，分别是，的中点．若，则下列结论错误的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．周长的最小值为18 D．的面积随着点的变化而变化 考点二、与四边形有关的选择题压轴题 题型02、与四边形有关的选择题压轴题 17．（2025·浙江·一模）如图，，连结，两者相交于点与相交于点，连结，若已知的面积，则一定能求出（　　） A．的面积 B．的面积 C．四边形的面积 D．四边形的面积 18．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知扇形和两个正方形，如图放置，，点在上，若已知正方形的面积，则下列可求的是（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．弧的长 19．（24-25九年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，四个全等的直角三角形排成“赵爽弦图”， 其中四边形与四边形都是正方形．连结并延长，交于点，点为的中点．若，则的长为（　　） A．4 B． C． D．3 20．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，4个全等的直角三角形围出一个正方形，过点P，Q分别作的平行线，过点M，N分别作的平行线得四边形．则下列关于线段和的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 21．（2025·浙江宁波·一模）如图，在矩形中，对角线相交于点为边上一个动点（不与点D，E重合）连接，将沿折叠，点落在处，交边于点，当是等腰三角形时，的长是（　　） A． B． C．或 D．或 22．（2025·浙江·模拟预测）如图，，分别是正方形的边，上的点，将正方形纸片沿折叠，使得点的对应点恰好落在边上，要想知道正方形的边长，只需知道（   ） A．的长度 B．的周长 C．的周长 D．的面积 23．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，以为边分别向外作正方形和正方形，交于点交于点．若，则（    ） A． B． C． D． 24．（24-25八年级上·天津南开·期末）如图，在边长为18的正方形中，点，，，分别在边，，，上，点，，都在上，且四边形和均为正方形，记的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，的面积为，则下列结论中错误的是（  ） A． B． C． D． 25．（24-25九年级下·浙江金华·阶段练习）三国时代的数学家刘徽创作了一幅“青朱出入图”（如图1），利用割补的方法可以得到两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，这样就证明了勾股定理，图2也是一幅青朱出入图，设，，的面积分别为，，，已知，，则大正方形的面积为（    ） A．64 B．60 C．56 D．52 26．（2025·浙江·一模）如图，在正方形中，点是上一动点（不与重合），对角线相交于点，过点分别作的垂线，分别交于点，交于点．下列结论：①；②；③；④；⑤点O在M、N两点的连线上．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②③④⑤ D．③④⑤ 27．（2025九年级下·浙江温州·学业考试）正方形，正方形和正方形的位置如图所示，点在线段上，，则的面积为（   ）    A．16 B．18 C．20 D．22 28．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，过点C作于点R，再过点C作分别交边，于点P，Q．若，，则的长为（  ） A． B． C． D． 29．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，矩形的内部有5个全等的小正方形，小正方形的顶点E，F，G，H分别落在边，，，上，若，，则小正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 30．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在矩形中，，，点在直线上运动，以为直角边向右作，使得，，连接，则长的最小值为（   ） A． B． C． D． 31．（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，等边是的内接三角形，点分别为边上的中点，延长交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 32．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，正方形的边长为3，将长为的线段的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点从点出发，在上滑动，同时点在上滑动，当点到达点时，运动停止，那么在这个过程中，线段的中点所经过的路线长为（    ） A． B． C． D． 33．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图1，三个大小不同的相似三角形可以拼成（无重合无空隙）一个矩形．将三角形①和②如图2重新组合，可得到和四边形，已知两个图形的面积满足，则拼成的图1矩形的长与宽之比为（   ） A． B． C．2 D． 34．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，四边形是边长为2的正方形，点P为线段上的动点，E为的中点，射线交的延长线于点Q，过点E作的垂线交于点H、交的延长线于点F，则以下结论：①；②；③当点F与点C重合时；④当时，；⑤当点P和点B重合时，，成立的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 35．（2024九年级上·浙江金华·竞赛）如图所示的矩形内放置5个大小相同的正方形，且E，F，G，H四个顶点分别在矩形的四条边上，为求的值，只要量出下面哪一条线段即可？（   ） A． B． C． D． 36．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，正方形中，，点N为边上一点，连接，作于点P，点M为边上一点，且，连接．下列结论正确的个数有（    ） （1）                             （2） （3）                             （4）若点N为中点，则 （5） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 37．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，在正方形中，分别是边上的点，且分别在边上，且与交于点O，记，若，则（    ） A． B． C． D． 38．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在正方形中，，点E在边上，以BE为边向上作正方形．在AE上取点H，连结，以HF为边作正方形，连结DN．若点M落在边上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 39．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在矩形中，，动点N从A出发，沿边向点D匀速运动，动点M从B出发，沿边向点C匀速运动，连接．动点N，M同时出发，点N运动速度为，点M的运动速度为，且．当点M到达C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形沿翻折，得到四边形．若在某一时刻，点B的对应点恰好与的中点重合，则的值是（   ） A． B． C． D． 40．（2024九年级下·浙江·学业考试）如图，已知中，点，，，分别为，，，上的点，且分别与，相交于点，．若，则的面积一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 考点三、与圆有关的选择压轴题 题型03、与圆有关的选择压轴题 41．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，圆内接正五边形中，对角线，与相交于点，，则的值为（    ） A． B． C． D． 42．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，正十边形内接于，，交于点，则的值为（　　） A． B． C． D． 43．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，点，，在直线上，，，且过点，，三点的圆的圆心在直线上．若，，则的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 44．（24-25九年级下·浙江温州·期末）如图，点在半圆上，是直径上一点．若，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 45．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，在中，是直径，且，点D是上一点，点C是的中点，于点E，过点D的切线交的延长线于点G，连接，分别交、于点P、Q，连接．关于下列结论：①；②；③点P是的外心；④点P是的内心；⑤若，则．正确的有（　　） A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．②③④⑤ 46．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的直径，点C在上，点D在弧上，交的延长线于点E，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 47．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，在矩形中，，是边上的一点，，以为圆心，为半径的圆弧交于点，交于点．若是弧的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 48．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，点在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的三等分点，，若的半径为，，则的长是（   ） A．8 B． C．6 D． 49．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图是边长为的菱形，，一动点以的速度从出发，沿着菱形的边依次经过后回到点，停止运动．连结，若以为圆心，为半径作，当与相切时，需要时间（    ） A．或秒 B．或秒 C．或秒 D．或秒 50．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，．点在以为直径的半圆上运动，为的三等分点（靠近点），当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长为（   ） A． B． C． D． 51．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，已知A，B，C，D是上依逆时针顺序排列的四个点，且满足，设弦，若的半径为10，则在x，y值的变化过程中，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 52．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的内接三角形，把沿着折叠交弦于点，且点为的中点，若，则下列结论错误的是（   ） A． B．点为的中点 C． D． 53．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图， 已知中， 直径于点H， 点D在上， 且，过点A作于点E， 已知的周长为， 且， 则的半径长为（      ） A． B． C． D． 54．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知为的外接圆，．过作的垂线交延长线于点，则下列选项一定成立的是（    ） A． B． C． D． 55．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，是的直径，为半径，过点作交于点，连接，，，连接交于点，交于点，若图中阴影部分分别用和表示，则下列结论：①；②若为中点，则；③作交于点，则；④若，则；其中正确的个数为（   ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 56．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，，，分别与相切于点E，F，G三点，且，，分别交圆于点M，N，若与的乘积为6，则长（　　） A． B． C． D．6 57．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，. 是边的中点，过点作的平行线，交以为直径的于点，交 于点，连接 并延长，交于点，则的长为(    ) A． B． C． D． 58．（2024·浙江·一模）如图，的顶点在y轴上，边轴，边，分别与轴相交于点，，原点正好是的内心，已知点，则的长是（   ） A．9 B．10 C． D．12 59．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，的两条高线交于点，过三点作，延长交于点，连接．设，，则下列线段中可求长度的是（　　）    A． B． C． D． 考点四、几何变换背景的旋转综合题 题型04、几何变换背景的旋转综合题 60．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，连结，将线段绕着原点O逆时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在y轴上，则点到y轴的距离为（   ） A．3 B．4 C．4.8 D．5 61．（21-22九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）在矩形中，，，点在上，且，点是矩形所在平面内任意一点，且，连结，将线段绕着点顺时针旋转得到，连结．则线段的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 62．（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，的半径为，点是半圆上的一个三等分点，点是的中点，是直径上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 63．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，为半圆O的直径，点O为圆心，点C是弧上的一点，沿为折痕折叠交于点M，连接，若点M为的黄金分割点（），则的值为（   ） A． B． C． D． 64．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，，作如下作图： ①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点、； ②分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点； ③作射线交于点； 根据以上作图，判断下列结论正确的有（   ） ①；②；③；④． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 65．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，点在边上，线段绕点顺时针旋转，点恰巧落在边上的点处．如果，．那么与满足的关系式是（     ） A． B． C． D． 66．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，中，，，点D是的中点，P是以A为圆心，以为半径的圆上的动点，连接，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 67．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，、、三点的坐标分别为，、、，点为线段上的一个动点，连接，过点作交轴于点，点从运动到时，点随之运动．设点的坐标为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 68．（2024·浙江绍兴·二模）如图，在中，，，点是的中点，将绕着点顺时针旋转至，连接，交于点，交于点，则的值是（    ） A． B． C． D． 69．（2024·江苏常州·二模）如图，在中，，，．将绕点A顺时针旋转得到，边上的一点P旋转后的对应点为Q，连接，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 70．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，直角坐标系中，点，，线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，则点的纵坐标为（   ） A．5 B． C． D． 71．（2024·浙江宁波·一模）如图，在矩形中，，，点E在上，且，点F是边上的点，连结，将四边形沿直线EF翻折得到四边形．当D，M，N三点共线时，的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 72．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图所示是一株美丽的“勾股树”的基本图，它由3个正方形和直角三角形构成（）．其中，分别为小正方形边的中点，两小正方形分别沿折叠，分别记两阴影部分的面积为，如图所示，当时，时，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 73．（2024·浙江宁波·一模）将正六边形折叠成三角形后（如图1）用剪刀剪下一个角，展开后得到如图2所示的图形，图2中虚线为折叠时产生的折痕，折痕，若剪完后所得阴影图形的面积为原正六边形面积的，则的值为（   ） A． B． C． D． 74．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，分别以、为边向外作正方形、，连结并延长交于点 H，连结． 若，则的值为（     ）    A． B． C． D． 75．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，正纸片，为边上的一点，连结．将沿翻折得到，过点作的平行线交的延长线于点，若 则的比为（    ）    A． B． C． D． 试卷第2页，共126页 27 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题七 选择题压轴题 第13讲 几何选择压轴问题 （思维导图+4考点+4种题型） 题型01、三角形有关的选择压轴题 题型02、与四边形有关的选择题压轴题 题型03、与圆有关的选择压轴题 题型04、几何变换背景的旋转综合题 维航 03核心精讲·题型突破 考点一、三角形有关的选择压轴题 题型01、三角形有关的选择压轴题 1．（2025·浙江衢州·一模）如图，在中，，连接对角线，点为中点，且，点是射线上一点，连接，作，交延长线于点．令，，则关于的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，设交于点，过点作，得到，勾股定理，求出的长，相似比求出的长，证明，求出的长，证明，列出比例式即可得出结果． 【详解】解：设交于点，过点作， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即：， ∴； 故选B． 2．（24-25九年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，点在上，点在上，是的中点，是的中点，，，且与所夹得锐角为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中线的性质，解直角三角形；连接，过点分别作边上的高，根据三角形中线的性质得出得出，进而求得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点分别作边上的高，设交于点， ∵是的中点，是的中点， ∴ ∵且与所夹得锐角为， ∴， ∴ ∴ 故选：D． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·开学考试）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，与交于点．则下列说法正确的个数为（   ） ①；②；③若，则；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理，角平分线的定义可判定①；根据三角形中线平分三角形面积可判定②；根据三角形的三线合一可判定③；作的角平分线，可证，得到，同理可证，得到，由此可判定④． 【详解】解：在中，， ∴， ∵平分交于点，平分交于点， ∴， ∴， 在中，，故①正确； 当是的中线时，，设点到的距离（高）为， 此时，，则， ∵题目中缺少条件是的中线， ∴的面积不一定相等，故②错误； 当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 根据三线合一得到是中线， ∴，故③正确； 如图所示，作的角平分线交于点， 由①正确可得，，， ∵平分交于点，平分交于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共3个， 故选：C ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，等边三角形的判定和性质，三线合一，全等三角形的判定和性质等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 4．（2025·浙江宁波·一模）如图，在正方形中，将对角线绕点逆时针旋转角度，使得（为正实数）．设．（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】过点E作于H，根据勾股定理和旋转的性质以及正方形的性质求解即可判断． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， 当时，过点E作于H， 当时，则，是等腰直角三角形， ∴，， 在中，， 整理得，故A不符合题意； 当时，则，是等腰直角三角形， ∴，，即点与点重合， ∴，故B符合题意； 当时，则，， ∴，，， 在中，， 则，故C不符合题意； 当时，则，， ∴，，，即点与点重合， ∴，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 5．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）等腰，，，，则（   ） A．3 B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，正确作辅助线是解题的关键. 将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则，，得到，可求出，，可证明，得到，可证明，，则，得出，，则，求出，即可得到结论. 【详解】解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， 故选：B. 6．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，平分交于点，点在边上，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，过作交的延长线于，过作于，可得，即得，，得到，得到，， 得到，进而根据角平分线可得，得到是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过作交的延长线于，过作于， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故选：． 7．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，，点D为边上的中点，点E在线段上（点E不与点B，点D重合），过点A作交于点F，过点B作交的延长线于点G．若已知的长，则可求出（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，延长，交的延长线于，由可证，可得，，由可证，可得，，可证，由勾股定理可得，即可求解．添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：延长，交的延长线于， ，， ， ， 点是的中点， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 已知的长， 可求的长， 故选：A． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点及点，都是格点，与格线交于点，与交于点．则有以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①② B．①④ C．③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】由勾股定理得出，，即可判断①；连接、，则，，证明，由相似三角形的性质即可判断②；取格点、，连接、、，则，，证明，得出，求出，结合，得出，即可判断③；由勾股定理逆定理得出是直角三角形，且，推出，即可判断④． 【详解】解：由勾股定理可得：，， ∴， ∴，故①正确； 如图，连接、，则，， ， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 取格点、，连接、、，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 取格点、，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①②③， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 9．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，正方形的边长为4，点是边上的动点，连结，作的中垂线交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质、垂直平分线的性质、勾股定理、不等式的性质等知识点，掌握不等式的性质是解题的关键． 正方形的性质可得，如图：过Q作于E，设，（），则，，，进而得到；再运用勾股定理可得；设，则，可得，然后根据不等式的性质可得，即的最大值为，进一步求得的最大值即可． 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴， 如图：过Q作于E，设，（），则，， ∵的中垂线交， ∴， ∵， ∴，整理得：， 设，则， ∴， ∴的最大值为， ∴的最大值为． 故选B． 10．（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，，延长到点D，使得，连结，过点D作的垂线交BC的延长线于点E，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角函数、相似三角形、勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形、三角函数的性质；过点B作，交于点F，根据三角函数性质和勾股定理的性质，得，从而得，过点E作，交于点G，再根据相似三角形的性质，得，结合勾股定理计算，即可得到答案． 【详解】如图，过点B作，交于点F， ∵， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵过点D作的垂线交BC的延长线于点E，即 ∴ ∴， 过点E作，交于点G， ∴ ∴ 设 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， 故选：D． 11．（2025·浙江宁波·一模）如图， 在中，， ， ， 点N是边上的一点， 且 ，点M是边上一个动点，连接，以为直角边，点M为直角顶点，在的左侧作等腰直角三角形，则的最小值是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，在的下方作等腰直角，作射线，交的延长线于．证明，可得，，证明在射线上，可得当时，最短，再进一步求解即可. 【详解】解：∵， ， ， 点N是边上的一点， 且 ， ∴，，， 如图，在的下方作等腰直角，作射线，交的延长线于． ∴，， ∵等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在射线上， ∴当时，最短， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：B. 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 12．（2025九年级下·浙江温州·学业考试）如图，三棱锥的各棱长均为1，点分别在棱上，则的最小值是（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】由题意得，三棱锥每个面都是等边三角形，将三棱锥中含有的三个面（即）展开如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接交于点，交于点，连接交于点，得到的最小值为，由等边三角形的性质，特殊角的三角函数的计算，勾股定理得到，，由此即可求解． 【详解】解：由题意得，三棱锥每个面都是等边三角形，将三棱锥中含有的三个面（即）展开如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接交于点，交于点，连接交于点， ∴的最小值为， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为， 故选：． 【点睛】本题属于求多条线段和的最值问题，等边三角形的性质，轴对称求最短路径，特殊角的三角函数值的计算，勾股定理的运用，解此类题的基本思路是将所求的多条线段转化到同一直线上或同一平面图形内求解，解本题的关键是将含有所求四条线段的三个面展开再求解，对空间想象力有一定的要求． 13．（2025九年级下·浙江金华·学业考试）等腰三角形中．若，则，据此求出的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形以及角平分线的定义得，所以，，所以，即得，，证明，得，即，解得，即可求解． 【详解】解析：如图，过点作的平分线交于点，则， ，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ，即， ， 解得（负值已舍）， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，外角的定义，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 14．（24-25九年级上·浙江温州·期末）图1是捣谷物的“碓”，图2是其示意图，O为转动支点，于点B，与水平线夹角，，，．当点C绕点O旋转下落到上时，点A上升（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将和绕点O旋转到和，使点C的对应点为落在上，设上升的高度为h，过点B作于点F，过作于点E，于点G，则，，得，求出，证明，得，得，得，根据，即得． 【详解】解：将和绕点O旋转到和，使点C的对应点为落在上， 设上升的高度为h， 过点B作于点F，过作于点E，于点G， 则四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵于点B，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了旋转变换，矩形判定和性质，含30度直角三角形性质，勾股定理，相似三角形判定和性质，位似三角形性质等知识，正确作出辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关键． 15．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，中，，，将绕着点P按顺时针方向旋转得到，连接交于N点，则的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次根式的混合运算，过作于，由旋转得到为等边三角形， 设，则，再证明，得到，求出，再由勾股定理求出，代入计算即可． 【详解】解：如图，过作于，则，    ∵，将绕着点P按顺时针方向旋转得到， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 16．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点，分别是，的中点．若，则下列结论错误的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．周长的最小值为18 D．的面积随着点的变化而变化 【答案】D 【分析】延长，则是等边三角形，为的中点， 设的中点分别为，连接，在上任取一点，连接并延长，交于点J，说明当点在上运动时，在上运动，作点B关于直线的对称点，连接，交于点P，连接，根据两点之间线段最短，得出此时，求出最小值，即可判定A；点E与点F重合时，最小，即最小，此时点P为的中点， 此时最小，得出最小值为，即可判定B；根据周长等于，得出当最小时，周长最小，求出最小值即可判定C；根据点P在上运动，与间距离为，求出，即可判定D． 【详解】解：如图所示，    延长，交于点Q， 依题意 ∴是等边三角形， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， 则为的中点，   设的中点分别为，连接，在上任取一点，连接并延长，交于点J，如图所示， 则，， ∴， ∴K为的中点， ∴当点在上运动时，在上运动， 连接， ∵F为的中点， ∴，， ∴， ∴与间的距离为，即点B到的距离为， 作点B关于直线的对称点，连接，交于点P，连接， 根据轴对称可知：，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时， ∵， ∴的最小值为，故A正确，不符合题意． ∵，点E在上， 又∵垂线段最短， ∴当点E与点F重合时，最小，即最小，此时点P为的中点， ∴， ∵点P在上， 垂线段最短， ∴此时最小， ∴最小值为，故B选项正确，不符合题意； 周长等于， 即当最小时，周长最小， 如图所示，作平行四边形，连接，    则，，，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 如图，延长,，交于点， 则， ∴是等边三角形， ∴， 在与中， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，    在中，， ∴当时，最短， 此时， ∴周长的最小值为，故C选项正确，不符合题意； ∵点P在上运动，与间距离为， ∴点P到直线的距离为定值， ∴， ∴的面积随着点的变化而不变，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出当点与重合时得出最小值是解题的关键． 考点二、与四边形有关的选择题压轴题 题型02、与四边形有关的选择题压轴题 17．（2025·浙江·一模）如图，，连结，两者相交于点与相交于点，连结，若已知的面积，则一定能求出（　　） A．的面积 B．的面积 C．四边形的面积 D．四边形的面积 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先证明，得出，即，则，再结合平行四边形的性质得，则，得，结合的面积是已知的，即是已知的，根据图形得，,代入数值化简，即可作答． 【详解】解：连接，，如图所示： 则分别记点和点到的距离为， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴点和点到的距离相等，即， 则 ∴， 则， 即， 分别过点作 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 记， ∵的面积是已知的， ∴是已知的， 根据图形得，, 即， 则， ∴， 即能求出， 故选：A． 18．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知扇形和两个正方形，如图放置，，点在上，若已知正方形的面积，则下列可求的是（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．弧的长 【答案】A 【分析】过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，先证出，，根据全等三角形的性质可得，，，，再设，，，，则，求出，，然后根据可得，利用勾股定理可得，由此即可得． 【详解】解：过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可证：， ∴，， 设，，，， 在中，，即， ∵，，，，， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，，，， ∴，， ∴， ， 又∵在扇形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴已知正方形的面积，可求出的长， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、圆的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，通过作辅助线，构造全等三角形和矩形是解题关键． 19．（24-25九年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，四个全等的直角三角形排成“赵爽弦图”， 其中四边形与四边形都是正方形．连结并延长，交于点，点为的中点．若，则的长为（　　） A．4 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，依据题意，根据正方形的性质、全等三角形的性质可得，又为的中点，从而，故，由，进而，最后计算可以得解．解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【详解】解：由题意，，，，，， ． 点为的中点， ． ，． ，即． ， ． ，即． 设， ． 或（舍去）， 经检验，是原方程的解， 故， 故选：C． 20．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，4个全等的直角三角形围出一个正方形，过点P，Q分别作的平行线，过点M，N分别作的平行线得四边形．则下列关于线段和的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，过点C作，，根据正方形的性质可知，由平行线的性质，可得，，设，，根据，可得，再根据， ，可得，，证明四边形是矩形，可得，进而求出线段的长，证明，得到，进行判断即可． 【详解】解：连接、，过点C作，， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴，，， 设，， 由题意可知， ∴，，， ∴，， ∵， ， ∴，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ， 同理：， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质、矩形的判定与性质、平行线的性质及解直角三角形，熟练掌握相关知识是解题的关键． 21．（2025·浙江宁波·一模）如图，在矩形中，对角线相交于点为边上一个动点（不与点D，E重合）连接，将沿折叠，点落在处，交边于点，当是等腰三角形时，的长是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分两种情况：当时，作，根据矩形的性质得，根据勾股定理求出，再根据等腰三角形的性质得，然后求出，接下来可得，最后根据勾股定理求，可根据得出答案； 当时，由上述可知，且，，根据等边三角形的性质求出，可得，然后根据，求出， 再根据，求出，接下来过呢据得出答案． 【详解】解：如图所示，当时，作于点G， ∵四边形是矩形， ∴， 根据勾股定理，得. ∵， ∴． 在中，， ∴， 根据勾股定理，得， ∴； 如图所示，当时，由上述可知，且，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 则， ∴， 在中，， 则， ∴， ∴． 综上所述，的值是或． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质和判定，构造直角三角形应用勾股定理求线段长是解题关键． 22．（2025·浙江·模拟预测）如图，，分别是正方形的边，上的点，将正方形纸片沿折叠，使得点的对应点恰好落在边上，要想知道正方形的边长，只需知道（   ） A．的长度 B．的周长 C．的周长 D．的面积 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，难度较大，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 连接，过点B作于点K，则，先证明，再证明，则，，即可求解． 【详解】解：连接，过点B作于点K，则， ∵四边形是正方形， ∴， 由翻折得，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长为：， 即的周长为正方形边长的2倍，故只需要知道的周长，即可知道正方形的边长，故C符合题意； 对于A、B、D选项条件不足，不能证明， 故选：C． 23．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，以为边分别向外作正方形和正方形，交于点交于点．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，由“”可证，可得，，利用相似三角形的性质分别求出，的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作，交的延长线于点P，交的延长线于点H， 在正方形和正方形中， ，， ∴， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键． 24．（24-25八年级上·天津南开·期末）如图，在边长为18的正方形中，点，，，分别在边，，，上，点，，都在上，且四边形和均为正方形，记的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，的面积为，则下列结论中错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了正方形的性质，三角形的面积，熟练掌握正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积公式是解决问题的关键．先求出，证明是等腰直角三角形，设，则，再证明是等腰直角三角形，则，同理，则，由此解得，进而得，，据此可对选项A，B进行判断；再设，证明是等腰直角三角形，则，，同理，则，由此解出，进而得，，据此可对选项C，D进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：四边形是正方形，且边长为18，是对角线， ，，， 在中，由勾股定理得：， 四边形是正方形， ，，， ， 是等腰直角三角形， 设， 由勾股定理得：， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 同理：， ， ， ，， 故选项A，B均正确，不符合题意； 四边形是正方形， 设，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， 同理：， ， ， ，， 故选项C正确，不符合题意；选项D不正确，符合题意． 故选：D． 25．（24-25九年级下·浙江金华·阶段练习）三国时代的数学家刘徽创作了一幅“青朱出入图”（如图1），利用割补的方法可以得到两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，这样就证明了勾股定理，图2也是一幅青朱出入图，设，，的面积分别为，，，已知，，则大正方形的面积为（    ） A．64 B．60 C．56 D．52 【答案】D 【分析】题目主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，理解题意，找准各个图形之间的关系是解题关键． 根据图得，，结合图形得出，设，利用相似三角形得判定和性质得出，联立方程组求解，最后根据即可得出结果． 【详解】解：由图1得，在图2中， ，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴即， 解得：， 联立 整理得：， 联立得：，解得(舍去)， ∴， 故选：D． 26．（2025·浙江·一模）如图，在正方形中，点是上一动点（不与重合），对角线相交于点，过点分别作的垂线，分别交于点，交于点．下列结论：①；②；③；④；⑤点O在M、N两点的连线上．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②③④⑤ D．③④⑤ 【答案】B 【分析】由正方形的性质知平分，平分，结合，可得 ， 可判断①②，证明为矩形可判断③，由的形状可判断④不成立，连接，证明，可得点是的外接圆的圆心，可得M、O、N共线． 【详解】解：∵四边形是正方形 ∴． ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴，故①正确； ∴， 同理，． ∵正方形中， 又∵， ∴，且中 ∴四边形是矩形． ∴， ∴， 又∵， ∴，故②正确； ∵四边形是矩形， ∴， 在直角中，， ∴，故③正确． ∵是等腰直角三角形，而不一定是等腰直角三角形，故④错误； 连接， ∵垂直平分线段垂直平分线段， ∴， ∴， ∴点是的外接圆的圆心， ∵， ∴为直径， ∴在上， ∴点O在M、N两点的连线上，故⑤正确； 综上所述： ①②③⑤正确． 故故答案：B． 【点睛】本题考查正方形的性质、矩形的判定、勾股定理，圆周角定理的应用等知识，掌握相关性质、定理是关键． 27．（2025九年级下·浙江温州·学业考试）正方形，正方形和正方形的位置如图所示，点在线段上，，则的面积为（   ）    A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】B 【分析】本题主要考查正方形的性质，三角形相似的判定与性质，三角形全等的判定与性质的运用及平行线等分线段定理的运用，掌握性质以及定理是解题的关键． 结合正方形和平行线的判定与性质证明，设，则，利用相似三角形的性质求得，从而可得，然后结合平行线分线段成比例定理分析计算． 【详解】解：四边形均为正方形， ， ， ，． ， ， 设，则， ， 整理，得， ， ∴即， ， ， ， 在正方形中，， ， ， ， 故选：B． 28．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，过点C作于点R，再过点C作分别交边，于点P，Q．若，，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题连接，，设交于点，先证得，可得，进而可求得，，由此可设，则，利用，，可证得四边形为平行四边形，由此可得，再根据勾股定理求得，，利用等积法求得，进而可求得的长． 【详解】解：如图，连接，， ， 设交于点， ∵四边形，四边形都是正方形， ∴， ∵，， ∴，， ∴点、、在同一直线上，点、、在同一直线上， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定及性质、平行四边形的判定及性质、勾股定理的应用及等面积法，做出正确的辅助线并灵活运用相关图形的性质与判定是解决本题的关键． 29．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，矩形的内部有5个全等的小正方形，小正方形的顶点E，F，G，H分别落在边，，，上，若，，则小正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形性质可得，再证明和全等，再过点作，再证明，利用相似三角形性质求出，再求出，继而利用勾股定理求出本题答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵5个全等的小正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 过点作， ， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴小正方形边长：， 故选：B． 【点睛】本题考查矩形性质及判定，全等三角形判定及性质，相似三角形判定及性质，勾股定理等． 30．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在矩形中，，，点在直线上运动，以为直角边向右作，使得，，连接，则长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，与交于点，证明，设，根据相似三角形的相似比，用表示，并求得，进而根据勾股定理，用表示，根据二次函数的性质求得的最小值，最后便可求得的最小值． 【详解】解：过点作于点，与交于点，如图所示： ，， ， ， ， ， ， 设，则， ∵， ， ，， ， ， ，即抛物线开口向上， 当时，的最小值为， 长的最小值为， 故选：D 【点睛】本题主要考查动点最值问题，涉及矩形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 31．（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，等边是的内接三角形，点分别为边上的中点，延长交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，交于点，延长交于点，连接，根据等边是的内接三角形，可得，，，从而得到，，进而得到，，再证得，可得，，，再由勾股定理求出的长，即可求得答案． 【详解】解：如图，连接，交于点，延长交于点，连接， ∵等边是的内接三角形， ∴平分，平分，，， ∴，，， ∴，， ∵，即 ∴，， ∵点，分别为边上的中点， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆内接三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 32．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，正方形的边长为3，将长为的线段的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点从点出发，在上滑动，同时点在上滑动，当点到达点时，运动停止，那么在这个过程中，线段的中点所经过的路线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轨迹，正方形的性质，弧长公式等知识，由直角三角形斜边中线可得，得到点在以为圆心，为半径的圆上运动，再求出两种特殊位置时，，的值，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵正方形的边长为3， ∴，， ∵线段的中点，， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， 当点Q与A重合时，在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴， ∵， ∴， 当与C重合时，同法可得， ∵， ∴， ∴线段的中点M所经过的路线长， 故选：D． 33．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图1，三个大小不同的相似三角形可以拼成（无重合无空隙）一个矩形．将三角形①和②如图2重新组合，可得到和四边形，已知两个图形的面积满足，则拼成的图1矩形的长与宽之比为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的性质和等腰三角形的判定可证，再根据相似三角形的面积比与相似比的关系可得，设，则，根据勾股定理可得，再由相似三角形的性质可得，即可得解． 【详解】解：如图： ， ， ， 由题意知：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 拼成的图1矩形的长与宽之比为， 故选：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，矩形的性质，解题的关键是能够理解题意，知道矩形是如何拼成的，并熟练掌握相似三角形的性质． 34．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，四边形是边长为2的正方形，点P为线段上的动点，E为的中点，射线交的延长线于点Q，过点E作的垂线交于点H、交的延长线于点F，则以下结论：①；②；③当点F与点C重合时；④当时，；⑤当点P和点B重合时，，成立的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据正方形的性质得到，则，再由垂线的定义和平角的定义得到，则，再由，即可证明，故①正确；根据，，可判断②；证明，得到，再证明，设，则，则，，由勾股定理得，解得：，则，故③正确；求出，得到，证明是等腰直角三角形，得到，，则，，同理可得，利用勾股定理，则，故④正确；同理可证明，得到，则；证明，求出，，再证明，求出，则，故⑤错误； 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵，， ∴，故②正确； 当点F与点C重合时，如图2， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴， ∴，故③正确； 如图3所示， ∵，即P是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， 同理可得， ∴， ∴，故④正确； 当点P与点B重合时， 同理可证明， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤错误； ∴正确的有4个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，根据题意画出对应的示意图是解题的关键． 35．（2024九年级上·浙江金华·竞赛）如图所示的矩形内放置5个大小相同的正方形，且E，F，G，H四个顶点分别在矩形的四条边上，为求的值，只要量出下面哪一条线段即可？（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质．熟练掌握矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质是解题的关键． 如图，记以E，G为顶点的边的交点为，过作于，交于，则四边形是矩形，，证明，则，即，设，则，，同理，，可求，如图，作于，则四边形是矩形，则，同理，，可求，则，，然后判断作答即可． 【详解】解：如图，记以E，G为顶点的边的交点为，过作于，交于，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 设，则， ∴， 同理，， ∴，即， ∴， 如图，作于，则四边形是矩形， ∴， 同理，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴只要量出的长，即可求的值， 故选：A． 36．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，正方形中，，点N为边上一点，连接，作于点P，点M为边上一点，且，连接．下列结论正确的个数有（    ） （1）                             （2） （3）                             （4）若点N为中点，则 （5） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】根据互余角性质得，进而得，可以判断（1）；由相似三角形得，进而得，从而判断（2）；由B、C、P、M四点共圆得，进而判断（3）；过P点作，分别交相交于点E、F，由相似三角形得，进而由与的面积之差求得的面积便可判断（4）；由得，再结合，得，便可判断（5）． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故（1）正确； （2）∵， ∴， ∴， 即， 故（2）正确； （3）∵， ∴B、C、P、M四点共圆， ∴， 故（3）正确； （4）过点P作，分别交于E、F点， ∵N为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， 得， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故（4）错误； （5）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故（5）正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形和三角形综合．熟练掌握正方形性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，三角形面积公式，是解题的关键． 37．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，在正方形中，分别是边上的点，且分别在边上，且与交于点O，记，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，过点作交于点，作交于点，延长、交于点，过点作，根据平行线的性质得出，从而得出，设，则，证明四边形是平行四边形，得出，在中，勾股定理算出，得出，证明，得出，根据，得出，在中，列方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作交于点，作交于点，延长、交于点，过点作， ∴， ∴， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴在中，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴解得：或， 当时，， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】该题主要考查了解直角三角形，勾股定理，二次根式的性质，正方形的性质，平行四边形的性质和判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，解一元二次方程等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确做出辅助线． 38．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在正方形中，，点E在边上，以BE为边向上作正方形．在AE上取点H，连结，以HF为边作正方形，连结DN．若点M落在边上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是证明三角形全等，利用二次函数的最值求解．． 过点作于点，证明，得，，设根据勾股定理用表示，进而求得的最小值． 【详解】解：如图，过点N作， ∵正方形， 正方形，正方形， ∴，， ， ∴， ∴， ， 同理可得：， ，， ∴， 设则 ， 当时，有最小值为． 故选：B． 39．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在矩形中，，动点N从A出发，沿边向点D匀速运动，动点M从B出发，沿边向点C匀速运动，连接．动点N，M同时出发，点N运动速度为，点M的运动速度为，且．当点M到达C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形沿翻折，得到四边形．若在某一时刻，点B的对应点恰好与的中点重合，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，设交于点，设，利用勾股定理求出（用表示），再利用相似三角形的性质求出（用表示），可得结论． 【详解】解：如图，设交于点，设， ， 可以假设，， 四边形是矩形， ，，， 点是的中点， ， 由翻折的性质可知，，，，， 在中，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 40．（2024九年级下·浙江·学业考试）如图，已知中，点，，，分别为，，，上的点，且分别与，相交于点，．若，则的面积一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，平行四边形的判定及性质，解直角三角形，相似形的性质，如图，过点作于点，过点作于点，过作于，设，，，，由可得，，再证，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边，得，，，，进而得，又解直角三角形得，，即得，由，可得，又由三角形函数得，即得，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，过作于，设，，，， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴，， ∴，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边， ∴，，，， ∴， ∵于，于， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 考点三、与圆有关的选择压轴题 题型03、与圆有关的选择压轴题 41．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，圆内接正五边形中，对角线，与相交于点，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接正五边形的性质，等腰三角形得判定，相似三角形得判定与性质，根据圆和正五边形的性质可得，，，再由轴对称性可得，故由，同理可得，，，，均为等腰三角形，从而可证明，相似三角形对应边成比例可得，设，，则，，解方程可得值，由，可求出的值，熟练掌握相关知识是解决本题的关键． 【详解】解：五边形圆内接正五边形， ，， ，， ， ，， 同理可得，， ，， ， ，， ， ， 设，，则， 故可得， 解得：或（舍去）， ， 故选：B． 42．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，正十边形内接于，，交于点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形与圆，相似三角形的判定和性质，连接，．首先证明，设，，利用相似三角形的性质求出可得结论．解题的关键是学会利用参数，正确寻找相似三角形解决问题． 【详解】解：如图，连接，． 正十边形内接于， ，， ， ， ， ，， ， 设，， ， ， ， ， ， ， ， （负根已经舍去）， ，， ． 故选：D． 43．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，点，，在直线上，，，且过点，，三点的圆的圆心在直线上．若，，则的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了圆的相关概念，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是运用平方差公式进行化简计算． 设圆心为O，连接，则，则，那么，那么，再化简变形得到，即可求解． 【详解】解：如图，设圆心为O，连接，则， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， 则 ， 故选：A． 44．（24-25九年级下·浙江温州·期末）如图，点在半圆上，是直径上一点．若，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将半圆补充成一个整圆，过点作的垂线，交于点，连接，延长，交于点，连接，先根据垂径定理可得垂直平分，则，，从而可得当点共线时，的值最小，最小值为，再根据圆周角定理可得，然后在中，解直角三角形可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，将半圆补充成一个整圆，过点作的垂线，交于点，连接，延长，交于点，连接， ∵为的直径，， ∴垂直平分， ∴，， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， ∵， ∴， ∴， ∵都是的直径，， ∴，， ∴在中，， 即的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、轴对称的性质、两点之间线段最短、解直角三角形等知识，作点的对称点并将的最小值转化为线段，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题关键． 45．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，在中，是直径，且，点D是上一点，点C是的中点，于点E，过点D的切线交的延长线于点G，连接，分别交、于点P、Q，连接．关于下列结论：①；②；③点P是的外心；④点P是的内心；⑤若，则．正确的有（　　） A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．②③④⑤ 【答案】C 【分析】①用反证法即可判断结论①；②通过证明即可判断结论②；③通过证明即可判断结论③；④说明与不一定相等，即可判断结论④；⑤证明是等边三角形，求出即可判断结论⑤． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 即：、是的三等分点， 这显然不符合题意，故结论①错误； 如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论②正确； ∵是直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点是的外心，故结论③正确； ∵与不一定相等， ∴与不一定相等， ∴点不一定是的内心，故结论④错误； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴点P是的内心， ， ∴，故结论⑤正确； 综上所述，正确的结论有：； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反证法，圆周角定理，切线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等边对等角，直径所对的圆周角是直角，三角形外心内心的性质，等边三角形的判定，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 46．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的直径，点C在上，点D在弧上，交的延长线于点E，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，与相交于点，如图，先利用圆周角定理得到，再根据等腰三角形的性质得到，，证明得到， 设，则，，，利用勾股定理计算出，接着证明，利用相似比可得到，，则，然后证明，利用相似比可得到，，则，利用勾股定理表示出，则在中利用正弦的定义得到，最后根据圆周角定理得到，即可求解． 【详解】解：连接、，与相交于点，如图， 是的直径， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 设，则，， ， 在中，， ，， ， ，即， 解得，， ， ， ， ，即， 解得，， ， 在中， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了相似三角形的判定与性质和解直角三角形． 47．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，在矩形中，，是边上的一点，，以为圆心，为半径的圆弧交于点，交于点．若是弧的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了矩形的性质和解直角三角形．过点作于点，连接、，如图，利用圆心角、弧、弦的关系得到，再证明，则，于是可计算出，设，，则，，在和中利用勾股定理得到，解方程求出，则，，，，然后求出的值． 【详解】解：过点作于点，连接、，如图， 四边形为矩形， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， 为弧的中点， ，， ， 在中，， ∴ 在中，， ， 设，，则， 在和中， ， 解得， ，，， ， ． 故答案为：B 48．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，点在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的三等分点，，若的半径为，，则的长是（   ） A．8 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，首先根据题意可知，，结合垂径定理可知，进而由勾股定理可解得的值；再结合折叠的性质可知弧和弧所在的圆为等圆，进而可得，易知，由等腰三角形的性质可得，证明四边形为矩形，由矩形的性质可得，，在中，由勾股定理解得的值，然后解得，最后在中由勾股定理计算的长即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ∵的半径为，，点为的三等分点，且， ∴，，， ∴， ∵将弧沿折叠， ∴弧和弧所在的圆为等圆， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，弧、弦、圆周角的关系，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键． 49．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图是边长为的菱形，，一动点以的速度从出发，沿着菱形的边依次经过后回到点，停止运动．连结，若以为圆心，为半径作，当与相切时，需要时间（    ） A．或秒 B．或秒 C．或秒 D．或秒 【答案】D 【分析】根据题意分成两种情况讨论，当点在上，与相切时；当点在上，与相切时，结合所对的直角边为斜边的一半，构造一元一次方程，求解即可． 【详解】解：设需要时间， 当点在上，与相切时，， ∴， 设切点为，连接，如图： ∵与相切， ∴，，即， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：； 当点在上，与相切时，， ∴， 设切点为，连接，如图： ∵与相切， ∴，，即， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 综上可得，当与相切时，需要时间或秒， 故选D． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，菱形的性质，直线与圆相切，所对的直角边为斜边的一半，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 50．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，．点在以为直径的半圆上运动，为的三等分点（靠近点），当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在上取一点E使得，在上取一点F使得，连接，取中点O，连接，根据相似三角形的性质和判定可证，即可确定M点的轨迹，即点M在以O为圆心，以的长为半径的圆弧上运动，由三角函数求出半径，根据弧长公式求M点的路径长即可． 【详解】解：如图所示，在上取一点E使得，在上取一点F使得，连接，取中点O，连接， ∵为直径， ， ∵M为的三等分点（靠近点P）， ， ， 又， ， ， 同理可证， ∴， ∴点M在以O为圆心，以为直径的圆弧上运动， ，， ， ， ∵当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M从点E沿半圆运动到点F， ∴点M运动的路径长为， 故选：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形，圆周角定理，弧长，确定点M的运动轨迹是解题的关键． 51．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，已知A，B，C，D是上依逆时针顺序排列的四个点，且满足，设弦，若的半径为10，则在x，y值的变化过程中，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作直径，过点作的直径，连接，，依题意得，则，由此可依据“”判定和全等，则，然后在中，由勾股定理即可得出答案． 【详解】解：过点作直径，过点作的直径，连接，，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵是的直径，的半径是10， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， 即， ∴在x，y值的变化过程中，代数式的值不变． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，理解圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 52．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的内接三角形，把沿着折叠交弦于点，且点为的中点，若，则下列结论错误的是（   ） A． B．点为的中点 C． D． 【答案】B 【分析】连接，过点作垂足为，过点作，垂足为，则四边形是矩形，根据垂径定理可得，根据等弧所对的圆周角相等可得，进而证明是等腰直角三角形，矩形是正方形，得出，证明得出是等腰直角三角形，即可得出，，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作垂足为，过点作，垂足为，则四边形是矩形， ∵是的中点，， ∴，故A选项正确， ∵， ∴，故C选项正确， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴矩形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，故D选项正确， 则无法证明点为的中点，故B选项错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了折叠的性质，弧与圆心角的关系，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 53．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图， 已知中， 直径于点H， 点D在上， 且，过点A作于点E， 已知的周长为， 且， 则的半径长为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，确定圆的条件，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造整体以及发现特殊性．设与交于点G，延长至T，使，连接，可推出，从而得出点共圆，从而得出，从而得出是等腰三角形，进而求得，然后在中求得半径． 【详解】解：如图， 设与交于点G，延长至T，使，连接， ∴， ∵， ∴， ∵直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点共圆， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∵的周长为， ， ， ， 在中，， ， ， 设，则， ， ， 故选择：D 54．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知为的外接圆，．过作的垂线交延长线于点，则下列选项一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理及其推论，圆周角定理，连接，根据得到垂直平分，据此逐个判断即可． 【详解】解：连接交于，延长交于，连接， ∵， ∴，， ∴垂直平分， ∴，， 设， ∴， ∴， ∴当时成立，故A选项不一定成立； ∵过作的垂线交延长线于点， ∴，， ∴，，， ∴，故B选项一定成立； ∵所对圆周角，对圆周角，与大小不确定， ∴与大小不确定，即与大小不确定，故C选项不一定成立， ∵中， ∴， ∵中， ∴，故D选项一定不成立， 综上所述，选项一定成立的是B， 故选：B． 55．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，是的直径，为半径，过点作交于点，连接，，，连接交于点，交于点，若图中阴影部分分别用和表示，则下列结论：①；②若为中点，则；③作交于点，则；④若，则；其中正确的个数为（   ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质．①首先利用平行线的性质得到，然后利用等腰三角形的性质得到，，接着利用三角形的内角和定理即可解决问题；②利用中位线的性质即可求解；③利用已知条件证明，然后利用全等三角形的性质和已知条件证明即可求解；④连接，利用等积变化得到，再利用已知条件证明，由此即可求解． 【详解】解：①， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故①正确； ②，为中点，， ，， ， 故②正确； ③为圆直径， ， ， ， 由①知，， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ， ， ， 故③正确； ④连接，   ， ， ， ， ， ， ， 故④错误； 综上所述，正确的是①②③，共三个． 故选：B． 56．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，，，分别与相切于点E，F，G三点，且，，分别交圆于点M，N，若与的乘积为6，则长（　　） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】连接、、，根据切线的性质，角平分线的判定定理，平行线的性质可得出是直角三角形，再根据相似三角形的判定和性质得出，再勾股定理可求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接、、， ，，分别与相切于点E，F，G三点， ，， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查切线的性质，平行线的性质以及相似三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，勾股定理等；掌握切线的性质，平行线的性质以及相似三角形的性质和判定方法是解题的关键． 57．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，. 是边的中点，过点作的平行线，交以为直径的于点，交 于点，连接 并延长，交于点，则的长为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，平行线等分线段定理，三角形中位线性质，由是的直径可得，进而得，由平行四边形的性质得，，可得，四边形是平行四边形，得到，，，据此得为的中位线，得到，最后根据线段的和差关系即可求解，掌握以上性质定理是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴为的中位线， ∴， ∴， 故选：． 58．（2024·浙江·一模）如图，的顶点在y轴上，边轴，边，分别与轴相交于点，，原点正好是的内心，已知点，则的长是（   ） A．9 B．10 C． D．12 【答案】B 【分析】设交轴于点，连接，作于点，由原点是的内心，得，，从而推出，根据轴，可推出，则，再由，利用勾股定理求得，得到，由，求得，最后由即可得到答案． 【详解】解：设交轴于点，连接，作于点，则 ，分别与轴相交于点， 原点是的内心 平分，平分 ， 轴 ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内心的性质，勾股定理，解直角三角形，平行线的性质等，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 59．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，的两条高线交于点，过三点作，延长交于点，连接．设，，则下列线段中可求长度的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，直径所对的圆周角是直角，四点共圆；连接交于点，则，设，，则,，设的半径为，则，在中，得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接交于点，则，    设，， 依题意，， ∴， ∴,， 设的半径为，则 ∴① 在中， ； ∵，， ∴ ∴ ∴ 故选：B． 考点四、几何变换背景的旋转综合题 题型04、几何变换背景的旋转综合题 60．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，连结，将线段绕着原点O逆时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在y轴上，则点到y轴的距离为（   ） A．3 B．4 C．4.8 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形．熟练掌握旋转性质，勾股定理，锐角三角函数定义，是解题的关键． 如图，连接，过点作轴于点H，过点B作于点T．求出，，得，，根据，得，即得结论． 【详解】解：如图，连接，过点作轴于点H，过点B作于点T， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由旋转知，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 61．（21-22九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）在矩形中，，，点在上，且，点是矩形所在平面内任意一点，且，连结，将线段绕着点顺时针旋转得到，连结．则线段的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】连接，过点A作，截取，连接，通过证明，得，再利用勾股定理求出的长．最后在中，利用三边关系即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，过点A作，截取，连接， ∵将线段绕着点A顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴在中，． ∵， ∴． ∵，且当点G，P，E三点共线时取等号， ∴的最小值为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系的应用等知识．正确作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 62．（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，的半径为，点是半圆上的一个三等分点，点是的中点，是直径上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作点关于的对称点，连接交于点，连接，，此时是最小值，证明是等腰直角三角形，即可得到答案． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接，， 点与关于对称，点是半圆上的一个三等分点， ，， 点是弧的中点， ， ， 又， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了结合图形的性质，考查了对称轴——最短路径问题，也考查了对称的性质，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理等知识，利用弧、弦、圆心角的关系证明是解题关键． 63．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，为半圆O的直径，点O为圆心，点C是弧上的一点，沿为折痕折叠交于点M，连接，若点M为的黄金分割点（），则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点M作，垂足为，延长交半于点，连接，，根据折叠的性质可得：，，从而可得，再根据黄金分割的定义可得，然后利用直径所对的圆周角是直角可得∠，从而证明字模型相似三角形，进而利用相似三角形的性质可得，最后根据圆内接四边形对角互补以及平角定义定义可得：，从而可得，再在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：过点M作，垂足为，延长交半于点，连接，， 由折叠得：，， ∴， ∵点M为的黄金分割点（），， ∴， ∵为半圆O的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是半的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，． 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，黄金分割，解直角三角形，翻折变换（折叠问题），圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 64．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，，作如下作图： ①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点、； ②分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点； ③作射线交于点； 根据以上作图，判断下列结论正确的有（   ） ①；②；③；④． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，进而得到，再利用三角形内角和定理可得，从而可得，然后证明，可得，进而得到，利用等量代换得到，可得点D是的黄金分割点，最后根据黄金分割的定义可得，即可解答． 【详解】解：,， ， ， 故①正确， 由题意得：平分， ， ， ， ， ， ， ， 故②正确， ，， ， ， ， ， 故③正确， ， ，即点D是的黄金分割点， ， 综上所述，正确的有①②③④， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，尺规作图，黄金分割，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 65．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，点在边上，线段绕点顺时针旋转，点恰巧落在边上的点处．如果，．那么与满足的关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，如图，先利用旋转的性质得到，再根据等腰三角形的性质得到，接着利用平行线分线段成比例定理得到，然后利用等线段代换得到，从而得到． 【详解】解：过点作于点，如图， 线段绕点顺时针旋转，点恰巧落在边上的点处， ， ， ，， ， ， ， 即， ，， ， 即． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了旋转的性质和等腰三角形的性质． 66．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，中，，，点D是的中点，P是以A为圆心，以为半径的圆上的动点，连接，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解直角三角形，根据阿氏圆的定义，分别固定，分别确定A点的运动轨迹为阿氏圆O，C点的运动轨迹为阿氏圆，，由此可知，当最最小时，的值最大，进行求解即可. 【详解】解：固定，则， ∴A点的运动轨迹为阿氏圆O， 设，则，，则， ∵，， ∴C点的运动轨迹为阿氏圆， ∴， ∴， ∴当最小时，的值最大， ， ∴， 故选：D． 67．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，、、三点的坐标分别为，、、，点为线段上的一个动点，连接，过点作交轴于点，点从运动到时，点随之运动．设点的坐标为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交轴于点，则轴．连接．证明，得出，设，则，设，代入整理得到 ，，根据二次函数的性质以及，，求出的最小值． 【详解】解：如图，延长交轴于点，则轴．连接． 在与中，，， ， ， 设，则，设， ， ， ，， 时，有最大值，此时， 时，有最小值0，此时， 的取值范围是． 的最小值是． 故选：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，得出与之间的函数解析式是解题的关键． 68．（2024·浙江绍兴·二模）如图，在中，，，点是的中点，将绕着点顺时针旋转至，连接，交于点，交于点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数的计算方法，掌握全等三角形的判定和性质，锐角三角函数的计算方法，合理构造三角形全等是解题的关键． 过点作于点，过点作于点，可证，可得，再证，可得，设，则，，，， ，在中，运用勾股定理可得，根据等面积法，可求出的值，在中，可求出的值，再根据正切值的计算方法即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点是中点， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设，则，， ∴，， 在中，， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∴． 故选：D ． 69．（2024·江苏常州·二模）如图，在中，，，．将绕点A顺时针旋转得到，边上的一点P旋转后的对应点为Q，连接，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是旋转的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，化为最简二次根式，作出适当的辅助线是解本题的关键． 如图，作关于直线的对称点，连接，过作于，由，当三点共线时，最小，再进一步利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，连接，过作于， ∴，共线，， 由旋转可得：，， ∴， 当三点共线时，最小， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴； ∴的最小值是； 故选B 70．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，直角坐标系中，点，，线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，则点的纵坐标为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作交的延长线于点，过作轴，轴，过点作轴，勾股定理，旋转求出的长，先证明，求出的长，证明，利用相似比，求出的长即可． 【详解】解：过点作交的延长线于点，过作轴，轴，过点作轴，则：，， ∵点，， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴点的纵坐标为； 故选D． 【点睛】本题考查坐标与旋转，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，综合性强，属于选择题中的压轴题，解题的关键是添加辅助线构造特殊图形． 71．（2024·浙江宁波·一模）如图，在矩形中，，，点E在上，且，点F是边上的点，连结，将四边形沿直线EF翻折得到四边形．当D，M，N三点共线时，的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况讨论，一是，，三点共线，且点在线段的延长线上，连二是，，三点共线，且点在线段上，设交于点，求得，由，求得，则，由，求得，则． 【详解】解：如图1，，，三点共线，且点在线段的延长线上，连接，设交于点， 四边形是矩形，，，点在上，且， ，，，， ，， 由翻折得，，，， ， ， ， ， ， ， ； 如图2，，，三点共线，且点在线段上，设交于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的值为或， 故选：C． 【点睛】本题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地求出的长是解题的关键． 72．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图所示是一株美丽的“勾股树”的基本图，它由3个正方形和直角三角形构成（）．其中，分别为小正方形边的中点，两小正方形分别沿折叠，分别记两阴影部分的面积为，如图所示，当时，时，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，正切函数等知识，正确作出辅助线是关键．当，作，则，可证明，则，设，，则，，根据列方程可推导出，即，即可求出的值，于是得到结论． 【详解】解：当时，作，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴设，，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∵时， ∴． 故选：D． 73．（2024·浙江宁波·一模）将正六边形折叠成三角形后（如图1）用剪刀剪下一个角，展开后得到如图2所示的图形，图2中虚线为折叠时产生的折痕，折痕，若剪完后所得阴影图形的面积为原正六边形面积的，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，正多边形的性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用这些性质．过点作于点，过点作于点，根据题意得：每个被剪掉的小三角形（如）的面积占大三角形（如）面积的，设，可得，，由，可推出，根据三角形的面积关系求出，进而求出、，最后根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 由折叠的性质知，被剪掉的个小三角形完全相同， 剪完后所得阴影图形的面积为原正六边形面积的， 每个被剪掉的小三角形（如）的面积占大三角形（如）面积的， 设， 则，， ，， ， ，， ， 或（舍去）， ，， ，， 由勾股定理得：，即， ， ， 故选：A． 74．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，分别以、为边向外作正方形、，连结并延长交于点 H，连结． 若，则的值为（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质以及解直角三角形；连接，过点H作于点K，根据，得，可求得，设，则，，，，进一步得，则即可． 【详解】解：连接，过点H作于点K，如图，    设， ∵，， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， 故选：D． 75．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，正纸片，为边上的一点，连结．将沿翻折得到，过点作的平行线交的延长线于点，若 则的比为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于点，设交于点，由是正三角形得，由翻折得，，因为，所以，可证明，得，则，，则，，所以，可求得，即可求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：延长交于点，设交于点，     是正三角形， ， 由翻折得，， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题重点考查等边三角形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形中解所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 试卷第2页，共126页 2 / 124 学科网（北京）股份有限公司 $$