精品解析：2025年河南省洛阳市瀍河区九年级中考一模数学试题

2025年河南省洛阳市瀍河区九年级中考一模数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行求解即可． 【详解】解：的相反数是． 故选：D． 【点睛】本题考查了求一个数的相反数，熟练掌握相反数的概念以及求解方法是解题的关键． 2. 据泰山景区2024年1月4日消息，2023年泰山景区累计接待进山游客超860万人次，同比增长301.36%，刷新了历年游客量最高记录，数据860万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，正确确定a的值以及n的值是解题的关键．直接运用科学记数法的定义解答即可． 【详解】解：860万． 故选：D． 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法、积的乘方、二次根式的加法法则、平方差公式分别计算判断即可．本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方、二次根式的加法法则、平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 4. 如图是由个棱长为立方体堆积而成的几何体，则这个几何体的左视图的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体三视图面积，根据左视图计算即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由几何体可得，左视图面积为， 故选：． 5. 如图，直线，等边的两个顶点分别落在直线，上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．过点作，由平行公理的推论得出，根据等边三角形的性质得出，据平行线的性质得出，再由平行线的性质求出的度数． 【详解】解：如图，过点作， 直线， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 6. 如图，是的直径，是上两点，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理得，再根据三角形内角和定理进行计算，求得．然后利用平角定义得，最后由圆周角定理可得：，即可解答． 【详解】解：是的直径， ， ． 平分， ， ， 故选：C． 7. 点是抛物线上的点，且，则与大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的对称性，解题关键是正确应用对称性．由，得到轴的距离大于到轴的距离，由抛物线的对称轴为轴，开口向上，即可得． 【详解】解：由， 得到轴的距离大于到轴的距离， 由抛物线的对称轴为轴，开口向下， 得． 故选：B． 8. 如图，在中，直径是圆上一点，将弧BC沿BC折叠，折叠后的弧恰好经过点，则图中阴影部分的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算，折叠问题，关键是求出，证明． 作半径于N，由折叠的性质得到，得到，由，求出，得到，由弧长公式求出的长，即可求出阴影的周长． 【详解】解：作半径于N，     由折叠的性质得到，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影的周长==． 故选A． 9. “准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”（如图1），由于使用时安放的位置不同，能测定物体的高低远近及大小，把矩放置在如图2所示的位置，令（单位：m），（单位：m），若，则关于的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据题意，四边形是矩形，可得，，，再根据，可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴，   故选：A ． 10. 如图1所示是烟雾报警器的简化原理图，其中电源电压保持不变，为定值电阻，为光敏电阻，的阻值随光照强度的变化而变化（如图2），射向光敏电阻的激光（恒定）被烟雾遮挡时会引起光照强度的变化，进而引起电压表示数变化，当指针停到某区域时，就会触动报警装置．下列说法正确的是（ ） A. 该图象是反比例函数图象 B. R随的增大而增大 C. 当烟雾浓度增大时，电压表示数变大 D. 当光照强度增大时，电路中消耗的总功率减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据图象与纵轴相交，即可判断A；根据图②即可判断B；当烟雾浓度增大时，电流减小，电阻变大，所以定值电阻两端的电压变小，而电源电压保持不变，根据串联电路电压规律即可判断C；当光照强度增大时，电流变大，电阻变小，而电源电压保持不变，根据电路总功率即可判断D． 【详解】解：A、该图象与纵轴相交，所以不是反比例函数图象，故本选项说法错误，不符合题意； B、根据图象可知，R随E增大而减小，故本选项说法错误，不符合题意； C、当烟雾浓度增大时，光照强度减小，电流减小，电阻变大，所以定值电阻两端的电压变小，而电源电压保持不变，电压表测光敏电阻R的电压，根据可知，电压表示数变大，故本选项说法正确，符合题意； D、当光照强度增大时，电流变大，电阻变小，而电源电压保持不变，根据电路总功率可知，电路中消耗的总功率增大，故本选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】x＞5 【解析】 【分析】若代数式 有意义,则分母即≠0,可得出x≠5.根据根式的性质能够得出x-5≥0,结合前面x≠5,即可得出x的取值范围. 【详解】若代数式有意义, 则≠0,得出x≠5. 根据根式的性质知中被开方数x-5≥0 则x≥5, 由于x≠5,则可得出x＞5, 答案为x＞5. 【点睛】本题主要考查分式及根式有意义的条件,易错点在于学生容易漏掉其中之一. 12. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键．对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此可得，求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 13. 某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动．小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颍准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查列表法与树状图法、概率公式等知识，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 先列表可得出所有等可能的结果数以及小明和小颖恰好选中书名相同的书的结果数，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：将《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》、《朝花夕拾》分别记为A，B，C，D， 列表如下： A B D A （A，A） （A，B） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） 共有9种等可能的结果，其中小明和小颖恰好选中书名相同的书的结果有2种， ∴小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率为． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形的性质，规律型问题，坐标与图形变化——旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第次旋转后点的坐标即可． 【详解】解：∵正六边形边长为1，中心与原点O重合，轴， ∴， ∴， ∴第1次旋转结束时，在x轴的正半轴上，点A在第四象限，此时点A的坐标为， 第2次旋转结束时，正好与原来点A的坐标关于原点对称，则此时点A的坐标为， 第3次旋转结束时，在x轴的负半轴上，点A在第二象限，此时点A的坐标为， 第4次旋转结束时，点A回到原来的位置，此时点A的坐标为， ∴4次一个循环， ∵， ∴第次旋转结束时，点A的坐标为． 故答案为：． 15. 一大一小两个三角板按照如图所示的方式摆放，其中，，．三角板固定不动，将小三角板绕点顺时针在平面内旋转，当点在同一条直线上时，点到直线的距离为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，分两种情况讨论是解题的关键． 分点E在上方和下方两种情况讨论求解即可． 【详解】①当点E在上方时， 如图2，过点D作，垂足为H， 在中，，，， ， ， 在中，，，，， ， 点在同一条直线上，且， ， 在中，，，， ， ， 在中，， ； ②当点E在下方时， 如图3， 在中，，，， ， ， 过点作，垂足为， 在中，， ； 综上所述，点到直线的距离为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查计算能力，正确掌握分式混合运算，零次幂，负整数指数幂，实数混合运算法则是解题的关键． （1）先计算零次幂，负整数指数幂，化简绝对值，再合并即可； （2）先计算括号中的异分母分式减法，再计算除法． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 某超市打算购进一批苹果，现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个，测得它们的直径（单位：），并制作统计图如下： 根据以上信息，解答下列问题： （1） 统计量 供应商 平均数 中位数 众数 甲 80 80 乙 76 则____________，____________，____________． （2）苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断，____________供应商供应的苹果大小更为整齐．（填“甲”或“乙”） （3）超市规定直径82（含82）以上的苹果为大果，超市打算购进甲供应商的苹果3500个，那么大果约有多少个？ 【答案】（1）80，，83 （2）甲 （3）1050 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数、中位数、众数、方差以及用样本估计总体等知识点，掌握相关统计量的计算方法是解题的关键. （1）分别根据算术平均数，中位数和众数定义解答即可； （2）根据方差的意义解答即可； （3）利用样本估计总体，即用 3500 乘样本中直径82（含82）以上所占比例即可. 【小问1详解】 解：， 对乙的10个数据进行排序为：75,76,76,76,79,80,81,83,86,88， 所以，中位数为， 通过观察甲的数据可知83出现的次数最多，故众数． 故答案为：80，，83． 【小问2详解】 解： 所以，甲的方差比乙的方差小， 故答案为：甲． 【小问3详解】 解：（个） 所以，大果约有1050个． 18. 朱樱塔位于洛阳市瀍河区，是洛阳八小景之一“瀍壑朱樱”的主要景观．2015年，在洛河水系综合整治工程中，以隋唐洛阳城为原型新建了朱樱塔，还原“瀍壑朱樱”景观．朱樱塔为八角塔，五层六檐，其塔的层数明五暗九，暗合“九五之尊”，八角形塔身契合周易八卦八个方位．如图，周末，某学校九年级课外兴趣小组在老师的指导下测量塔的高度，他们先在塔一侧的水平面上一个台阶的底部处测得塔顶点的仰角，然后走上台阶顶部处，测得塔顶点的仰角．若台阶的高，求朱樱塔的高度PE．（点在一条直线上，结果保留整数，参考数据：） 【答案】37米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题．设朱樱塔高，则，，台阶的高，得出，再得出，根据，列出，求解即可． 【详解】解：设朱樱塔高，则，， 台阶高， ， 在Rt中，， ， ， ， 在RtPEA中，， ， ， ， 解得 答：朱樱塔的高度约为37米． 19. 筒车亦称为“水转筒车”，是一种以水流作为动力，取水灌田的工具，据史料记载筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是中国古代人民的杰出发明．这种靠水力自动的筒车，在家乡郁郁葱葱的山涧、溪流间构成了一幅幅优美的田园春色图，下面是一个筒车灌田的示意图． 如图所示，筒车在水流的动力作用下将水沿筒车运送到点处，在点处人们修筑了一条木制水道，将水流从处引导至与在同一水平线的处的田地，由于水在筒车上做圆周运动，速度方向与圆相切，为了便于水流的输送，木制水道也与圆相切．小花在查阅资料后发现，如图所示的筒车灌田系统，筒车半径为5米，点到的距离为42米，筒车上的盛水桶在水面之下的最大深度为2米，请你解答下列问题： （1）若连接和，求证：； （2）求木制水道的长度． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的切线定理，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，并灵活应用． （1）构造辅助线，利用圆的切线定理和圆周角定理，即可证明出相等角； （2）构造辅助线，利用垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质即可求出线段长度． 【小问1详解】 证明： 如图，连接 并延长交  于点 ， 连接， 则 ，  ，  为  的切线， ， ， ， 又 ， ． 【小问2详解】 解：连接 ，，过点  作  于点 ， 则 ， ，由垂径定理得， ， 在中，由勾股定理得， ，  ， ， 由（1）知 ， 又 ， ， ， ， ． ∴水槽  的长度为  米． 20. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． （1）求k与m的值； （2）为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值． 【答案】（1）k的值为，的值为6 （2）或 【解析】 【分析】（1）把代入，先求解k的值，再求解A的坐标，再代入反比例函数的解析式可得答案； （2）先求解．由为x轴上的一动点，可得．由，建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：把代入， 得． ∴． 把代入， 得． ∴． 把代入， 得． ∴k的值为，的值为6． 【小问2详解】 当时，． ∴． ∵为x轴上的一动点， ∴． ∴， ． ∵， ∴． ∴或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数与一次函数的解析式，坐标与图形面积，利用数形结合的思想，建立方程都是解本题的关键． 21. 河南省洛阳市洛宁县上戈苹果，因其果型端正、色泽鲜艳、松脆多汁、酸甜适度，富含多种营养成分且易储存，具有一定的健康功效等特点而闻名．已知甲、乙两果园预计今年苹果的产量分别为120吨和130吨，打算成熟后运到两个仓库存放，已知仓库可储存110吨，仓库可储存140吨．甲，乙两果园运送苹果到两仓库的费用如下表： 甲果园 乙果园 仓库 160元/吨 150元／吨 仓库 200元／吨 180元/吨 （1）设甲果园运往仓库的苹果吨，则运往仓库的苹果____________吨；乙果园运往仓库的苹果____________吨，则运往仓库的苹果____________吨． （2）求总运费关于的函数表达式及自变量的取值范围． （3）当甲果园运往仓库多少吨苹果时，总运费最少？总运费最少是多少元？ 【答案】（1），， （2）总运费关于的函数解析式为 （3）甲果园运往A仓库110吨苹果时，总运费最少，最少的总运费是43000元． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）列出代数式运往仓库的苹果吨；乙果园运往仓库的苹果吨，则运往仓库的苹果吨即可； （2）根据题意，按照运费数量单价得出总运费关于的函数解析式即可； （3）利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设甲果园运往仓库的苹果吨，则运往仓库的苹果吨；乙果园运往仓库的苹果吨，则运往仓库的苹果吨， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：由题意得， ， 由题意，得， ， 总运费关于的函数解析式为； 小问3详解】 解：，， 随的增大而减小， 当时，最小，最小值为． 答：甲果园运往A仓库110吨苹果时，总运费最少，最少的总运费是43000元． 22. 如图，是一个可以在水平地面上左右移动的机械杆，水平地面，在点处有一个抛射装置，每次拋出的木球的运动路径都相同，是拋物线的一部分．斜坡与地面的夹角是米，斜坡上有个球洞米．某次投射，木球恰好落在点处，木球运动到与的水平距离为6米处时达到最高位置．已知米．请建立适当的平面直角坐标系，解决下列问题． （1）求出木球飞行的最大高度； （2）若把向右平移米，木球恰好能落入球洞，求的值．（结果精确到1米，） 【答案】（1）米 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际问题，掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键． （1）以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）过点A作于点C，根据解直角三角形得到和的长度，然后求出点P关于对称轴的对称点坐标解题即可． 【小问1详解】 解：以点为原点，直线为轴，建立如图（1）所示的平面直角坐标系，设单位长度为1米， ． 木球运动到与的水平距离为6米处时达到最高位置， 可设抛物线的表达式为， 将分别代入， 得解得 木球飞行的最大高度为米； 【小问2详解】 解：如图（1），过点A作于点C，则， （米）， （米）． 由（1）知，点P关于抛物线的对称轴对称的点的坐标为 ． 23. 综合与实践 《数学》八年级上册的数学活动中，让用全等三角形研究“筝形” 定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”（如图1） （1）［性质探究］根据“筝形”的定义，学生们通过探究，得出下列命题： ①“筝形”有一组对角相等 ②“筝形”的对角线互相垂直平分 ③“筝形”的每一条对角线平分每一组对角 ④“筝形”的面积等于两条对角线长的乘积的一半 其中，____________是真命题（填序号）； （2）［综合应用］如图1，筝形中，，，若，求筝形的面积的最大值； （3）［拓展实践］如图2是一块矩形铁片，其中厘米，厘米，张华想从这块铁片中裁出一个筝形，要求点是边的中点，点分别在上（含端点），是否存在一种裁剪方案，使得筝形的面积最大？若存在，求出筝形的面积最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①④ （2）12.5 （3）存在，3000 【解析】 【分析】（1）由题意证明，然后得到垂直平分，然后逐项求解判断即可； （2）由得到，，根据，求出面积的最值即可； （3）由题意可知，分两种情况讨论：①当为中点时，如图2，筝形中，，，，则厘米，厘米，由（2）可知，根据，求出筝形的面积；②当与重合时，如图3，筝形中，，，，在中，由勾股定理得，求出的值，设，则，在中，由勾股定理得，即，求出的值，设，则，根据，可得，求出的值，如图3，作于，则，在中，由勾股定理得，求出的值，根据，求出筝形的面积；然后比较①②的大小，进而可得结论． 【小问1详解】 解：如图所示，设，交于点O， 在和中， ∵， ∴， ∴，故①正确，是真命题； ∵， ∴垂直平分，但不一定垂直平分，故②错误，是假命题； ∴，， ∴平分和，但不一定平分和，故③错误，是假命题； ∵ ∴“筝形”的面积，故④正确，是真命题； 综上所述，①④是真命题； 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴时，面积最大，值为； 【小问3详解】 解：由题意可知，分两种情况讨论： ①当为中点时，如图2，筝形中，，，， ∴厘米，厘米， 由（1）可知，平方厘米； ②当与重合时，如图3，筝形中，，，， 在中，由勾股定理得， 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， 如图3，作于，则， 在中，由勾股定理得， ∴平方厘米； ∵， ∴存在一种裁剪方案，使得筝形的面积最大，面积为3000平方厘米． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，二次函数的最值等知识．解题的关键在于明确筝形面积与对角线乘积的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年河南省洛阳市瀍河区九年级中考一模数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（　　） A B. C. D. 2. 据泰山景区2024年1月4日消息，2023年泰山景区累计接待进山游客超860万人次，同比增长301.36%，刷新了历年游客量最高记录，数据860万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由个棱长为立方体堆积而成几何体，则这个几何体的左视图的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，等边的两个顶点分别落在直线，上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，是上两点，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 点是抛物线上的点，且，则与大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 如图，在中，直径是圆上一点，将弧BC沿BC折叠，折叠后的弧恰好经过点，则图中阴影部分的周长为（ ） A. B. C. D. 9. “准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”（如图1），由于使用时安放的位置不同，能测定物体的高低远近及大小，把矩放置在如图2所示的位置，令（单位：m），（单位：m），若，则关于的函数解析式为（ ） A. B. C D. 10. 如图1所示是烟雾报警器的简化原理图，其中电源电压保持不变，为定值电阻，为光敏电阻，的阻值随光照强度的变化而变化（如图2），射向光敏电阻的激光（恒定）被烟雾遮挡时会引起光照强度的变化，进而引起电压表示数变化，当指针停到某区域时，就会触动报警装置．下列说法正确的是（ ） A. 该图象是反比例函数图象 B. R随的增大而增大 C. 当烟雾浓度增大时，电压表示数变大 D. 当光照强度增大时，电路中消耗的总功率减小 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则x的取值范围是______． 12. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为___________． 13. 某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动．小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颍准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是__________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点的坐标为___________． 15. 一大一小两个三角板按照如图所示的方式摆放，其中，，．三角板固定不动，将小三角板绕点顺时针在平面内旋转，当点在同一条直线上时，点到直线的距离为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简：． 17. 某超市打算购进一批苹果，现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个，测得它们的直径（单位：），并制作统计图如下： 根据以上信息，解答下列问题： （1） 统计量 供应商 平均数 中位数 众数 甲 80 80 乙 76 则____________，____________，____________． （2）苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断，____________供应商供应的苹果大小更为整齐．（填“甲”或“乙”） （3）超市规定直径82（含82）以上的苹果为大果，超市打算购进甲供应商的苹果3500个，那么大果约有多少个？ 18. 朱樱塔位于洛阳市瀍河区，是洛阳八小景之一“瀍壑朱樱”的主要景观．2015年，在洛河水系综合整治工程中，以隋唐洛阳城为原型新建了朱樱塔，还原“瀍壑朱樱”景观．朱樱塔为八角塔，五层六檐，其塔的层数明五暗九，暗合“九五之尊”，八角形塔身契合周易八卦八个方位．如图，周末，某学校九年级课外兴趣小组在老师的指导下测量塔的高度，他们先在塔一侧的水平面上一个台阶的底部处测得塔顶点的仰角，然后走上台阶顶部处，测得塔顶点的仰角．若台阶的高，求朱樱塔的高度PE．（点在一条直线上，结果保留整数，参考数据：） 19. 筒车亦称为“水转筒车”，是一种以水流作为动力，取水灌田的工具，据史料记载筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是中国古代人民的杰出发明．这种靠水力自动的筒车，在家乡郁郁葱葱的山涧、溪流间构成了一幅幅优美的田园春色图，下面是一个筒车灌田的示意图． 如图所示，筒车在水流的动力作用下将水沿筒车运送到点处，在点处人们修筑了一条木制水道，将水流从处引导至与在同一水平线的处的田地，由于水在筒车上做圆周运动，速度方向与圆相切，为了便于水流的输送，木制水道也与圆相切．小花在查阅资料后发现，如图所示的筒车灌田系统，筒车半径为5米，点到的距离为42米，筒车上的盛水桶在水面之下的最大深度为2米，请你解答下列问题： （1）若连接和，求证：； （2）求木制水道的长度． 20. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． （1）求k与m的值； （2）为x轴上一动点，当△APB的面积为时，求a的值． 21. 河南省洛阳市洛宁县上戈苹果，因其果型端正、色泽鲜艳、松脆多汁、酸甜适度，富含多种营养成分且易储存，具有一定的健康功效等特点而闻名．已知甲、乙两果园预计今年苹果的产量分别为120吨和130吨，打算成熟后运到两个仓库存放，已知仓库可储存110吨，仓库可储存140吨．甲，乙两果园运送苹果到两仓库的费用如下表： 甲果园 乙果园 仓库 160元/吨 150元／吨 仓库 200元／吨 180元/吨 （1）设甲果园运往仓库的苹果吨，则运往仓库的苹果____________吨；乙果园运往仓库的苹果____________吨，则运往仓库的苹果____________吨． （2）求总运费关于的函数表达式及自变量的取值范围． （3）当甲果园运往仓库多少吨苹果时，总运费最少？总运费最少是多少元？ 22. 如图，是一个可以在水平地面上左右移动的机械杆，水平地面，在点处有一个抛射装置，每次拋出的木球的运动路径都相同，是拋物线的一部分．斜坡与地面的夹角是米，斜坡上有个球洞米．某次投射，木球恰好落在点处，木球运动到与的水平距离为6米处时达到最高位置．已知米．请建立适当的平面直角坐标系，解决下列问题． （1）求出木球飞行最大高度； （2）若把向右平移米，木球恰好能落入球洞，求的值．（结果精确到1米，） 23. 综合与实践 《数学》八年级上册的数学活动中，让用全等三角形研究“筝形” 定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”（如图1） （1）［性质探究］根据“筝形”的定义，学生们通过探究，得出下列命题： ①“筝形”有一组对角相等 ②“筝形”的对角线互相垂直平分 ③“筝形”的每一条对角线平分每一组对角 ④“筝形”的面积等于两条对角线长的乘积的一半 其中，____________是真命题（填序号）； （2）［综合应用］如图1，筝形中，，，若，求筝形的面积的最大值； （3）［拓展实践］如图2是一块矩形铁片，其中厘米，厘米，张华想从这块铁片中裁出一个筝形，要求点是边的中点，点分别在上（含端点），是否存在一种裁剪方案，使得筝形的面积最大？若存在，求出筝形的面积最大值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$