第2级 题型专项练 题型7 与圆有关的证明与计算-【王睿中考】2025年河南中考总复习一本通数学课件PPT

1 第二级 题型专项练 题型七 与圆有关的证明与计算 2 类型一 与圆的性质有关的证明与计算 1.如图，在中， ，以为直径作，交于点 ， 过点作的切线交于点 ． （1）求证： ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 证明：如图，连接， . 为 的切线， . ， . ， . 为直径， . ， . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4 （2）已知的半径为，若，求 的 长． 解：的半径为，， . ， . 又 ， 四边形 是矩形. . 由（1），得 . ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5 2.如图，内接于，是的直径，过点作 的切线，交 的延长线于点，点在上，连接，．易证命题：“若是 的切线，则 ”是真命题． （1）请写出该命题的逆命题是_______________________________； 若，则是的切线． （2）判断（1）中的命题是否为真命题，并说明理由； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6 解：是真命题.理由如下：如图，连接 . ，， . ， . 在和中， . 是的切线， . 是 的切线． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7 （3）若的半径为4，，且，求 的长． 解：的半径为4，， ， . ， ， . . ，解得. ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8 3.如图，四边形内接于，为 的直径， ，过点的直线交的延长线于点，交 的 延长线于点，且 ． （1）求证：是 的切线； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9 证明：如图，连接， . ， . 四边形内接于，为 的直径， . 是等腰三角形. 又，垂直平分 . ， . ，即是 的切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 （2）求证： ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 解：如图，连接 . ， . ， ， . . ， ， ， ，即 . 又， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （3）当，时，求 的长． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 解：如图，设与交于点 . ， . ，. . ， . . 在 中， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 14 . 在 中， . ，， ， 四边形 为矩形. . ，，即 . ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 类型二 特殊四边形的动态探究题 4.如图，为的直径，过圆外一点作切线，，交于点 ， ，连接交于点，连接，， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 16 （1）求证： ； 证明：，为 的切线， . ， ， . . ， . ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 17 （2）填空： 解：① 四边形为菱形， . ，为等边三角形. . 又 ， .故答案为30. ② 四边形为正方形， . ， . 又 ， .故答案为22.5． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 18 ①当____ 时，四边形 为菱形； 30 ②当_____ 时，四边形 为正方形． 22.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 19 5.如图，已知的直径，点，分别为 上的两 点，，过点作于点，的切线 与 直线交于点，且过点，连接， ． （1）求证： ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 证明：如图，连接， ， 是的切线， . 是的直径， . ， 即 . ， . 又，， . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 21 ， . 在和中， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2）填空： ①当_____时，四边形 是菱形； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 23 [解析] 如图，连接，交于点 . 四边形 是菱形， ， . 又， 是等边三角形. . . 故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 24 ②当_____时，四边形 是正方形． [解析] 四边形是正方形， . 是的切线， . 点与点重合，点与点 重合. . 故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 25 6.如图，四边形中，，，以点为圆心， 为 半径的交于点， ． （1）求证：是 的切线； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 26 证明：如图，延长交于点，连接 ，则 ． ， ． 是直径， ，即 . ，即 . 是的半径，是 的切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 27 （2）填空： 解： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 28 ①当_______时，四边形 是正方形； [解析] 四边形 是正方形， ，. . 故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 29 ②当___时，以点，，， 为顶点的四边形是菱形． 1 [解析] 以点，，，为顶点的四边形是菱形， . ，为等边三角形. . 由（1），知 ， . . 故答案为1． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 30 类型三 与尺规作图结合 7.在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊 数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知 ， 点是弦 上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 31 （1）请按要求尺规作图（保留作图痕迹） ①作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接， ； ②以点为圆心，长为半径作弧，交于点（， 两点不重合），连 接，， ． 解：如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 32 （2）猜想线段， 的数量关系，并证明． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 33 解： ． 证明：垂直平分线段 ， . ， ， . . 四边形为 的内接四边形， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 34 又 ， . 在和中， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8.如图，，为的两条半径，直线与相切于点 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 36 （1）请用无刻度的直尺和圆规过点作线段 的垂线（要求：不写作法， 保留作图痕迹）； 解：如图， 即为所作. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 37 （2）连接，若（1）中所作垂线分别与，直线交于点和点 ． ①求证： ； ②若的半径为4，，求 的长． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 38 解：①证明： 直线与相切于点 ， ， 即 . ， . ， . ， . ②在中，, ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 39 . ， . 设，则, . 在中，，解得 . ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9.如图，已知在中， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 41 （1）请按下列要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）； ①作的平分线，交于点 ； ②作线段的垂直平分线，与相交于点 ； ③以点为圆心，以长为半径画圆，交边于点， ． 解：如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 42 （2）在（1）的条件下，求证：是 的切线； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 43 解：如图，连接垂直平分， . . 平分 ， . ， . 是的半径，是 的切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 44 （3）在（1）的条件下，若，，求 的半径． 解：设的半径为，则， ， ， . ， ， 即，解得 的半径为6． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 45 类型四 情境与应用 10.如图1，展示的是曲柄连杆运动的示意图，滑块 在弧形漏槽内运动， 通过连杆带动点绕点 做圆周运动．某数学兴趣小组利用示意图，构建 了数学模型．如图2，点在上运动，利用连杆，使得点在 上 运动． 图1 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 46 （1）当点运动到如图3这一时刻时，连接交于点，连接 ， ．请判断此时与 的位置关系，并说明理由； 图3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 47 图3 解：与 相切. 理由：由题意，可得 ， . . . 是 的半径， 与 相切. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 48 （2）点在上运动一个来回，则点恰好绕点 运动一周，若 ，请求出 的度数． 图1 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 49 解：由题意，可知点与点 运动的路程相等. 设，则，令的度数为 ， 点运动一周的路程为 ， 点运动的路程为 . ，解得 . 的度数为 ． 图1 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 50 11.筒车,亦称“水转筒车”,是一种以水 流作为动力,取水灌田的工具,它由立 式水轮、竹筒、支撑架和水槽等部件 请解答下列问题： 组成.如图是一个筒车灌田的简化示意图，立式水轮 在水流的作用下利 用竹筒将水运送到点处,水沿水槽流到田地里,与水面交于点, , 且点,,在同一直线上,与相切.若的半径为5米,点到点 的距 离为42米,立式水轮的最低点到水面的距离为2米，连接, . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 51 （1）求证: ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 52 证明:如图,连接并延长交 于点 ,连接,则 , . 为的切线, . . 又, . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2）请计算出水槽 的长度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 54 [答案] 如图，连接,,过点作于点,则 （米）. , . 由勾股定理，得 米, 米. （米）. 由（1），知 ， 又, . . . 米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 55 答:水槽的长度为 米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 56 $$