第2级 题型专项练 题型8 新函数图象与性质的探究-【王睿中考】2025年河南中考总复习一本通数学课件PPT

1 第二级 题型专项练 题型八 新函数图象与性质的探究 2 类型一 新函数问题 1.在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象， 并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数 的图 象和性质及其应用的部分过程,请按要求完成下列各小题． … 0 1 2 3 4 5 … … 4 5 8 1 0 … （1）填空：自变量的取值范围是________，___， ___； 4 1. 1 2 3 4 5 6 7 3 （2）在给出的平面直角坐标系中，补全这个函数的图象，并写出该函数 的一条性质； 1 2 3 4 5 6 7 4 解：补全函数图象如图所示. 性质：①当时，随增大而增大，当时，随 增大而 减小，当时，随 增大而增大； ②当 时，函数取最小值0.（写出其中一条即可） 1 2 3 4 5 6 7 5 （3）已知函数 的图象如图所示， 根据函数图象，直接写出不等式 的解集．（保留一位小 数，误差不超过 ） 解：或 . 1 2 3 4 5 6 7 6 2.有这样一个问题：探究函数 的图象与性质并解决问题，小明根 据学习函数的经验，对问题进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1） 的自变量 的取值范围是_______； . 1 2 3 4 5 6 7 7 （2）与 的几组对应值列表如下： … 0 1 1.2 1.25 … 1 1.5 2 3 6 7.5 8 2.75 2.8 3 4 5 6 8 … 8 7.5 6 3 1.5 1 … 的值为___； 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 （3）如图，在平面直角坐标系 中，描出补全后的表中各组对应值所 对应的点，并画出该函数的图象； 解：函数图象如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 9 （4）获得性质，解决问题： ①通过观察、分析、证明，可知函数 的图象是________图形； （填“轴对称”或“中心对称”） 轴对称 1 2 3 4 5 6 7 10 ②过点作直线轴，与函数 的图象交于点 ，（点在点的左侧），则 的值为___． 2 [解析] 由题意，可得， ， ， . . 故答案为2． 1 2 3 4 5 6 7 11 类型二 与几何图形结合 图1 3.在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系 中画出了和 的图象，两个函数 图象交于，两点，在线段 上选取一 点，过点作轴的平行线交反比例函数图象于点 （如图1）．在点移动的过程中，发现 的长度随着 点的运动而变化．为了进一步研究的长度与点 的横坐标之间的关系， 小华提出了下列问题： 1 2 3 4 5 6 7 12 图1 （1）设点的横坐标为，的长度为，则与 之间 的函数关系式为_ ______________ ； 解： 点的横坐标为 ， ， . .故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 13 （2）为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表、描点、连线的 方法绘制函数的图象. 图1 1 2 3 4 5 6 7 14 ①列表： 1 2 3 4 0 3 0 表中_ _， __； [解析] ， . 故答案为， . 1 2 3 4 5 6 7 15 ②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点； 图2 [答案] 1 2 3 4 5 6 7 16 ③连线：请在图2中画出该函数的图象．观察函数图象，当___时， 的 最大值为___； 1 3 [答案] 函数图象如图所示. [解析] 观察函数图象，当时， 有最大值为3. 故答案为1，3. 1 2 3 4 5 6 7 17 （3）应用：已知某矩形的一组邻边长分别为，，且该矩形的周长 与 存在函数关系，求 取最大值时矩形的对角线长． 图1 1 2 3 4 5 6 7 18 图1 [答案] 根据题意，可得 ， ，即 . 由（2），可知在时，函数 取得最 大值为3， 当时， 取得最大值为8. 此时，矩形的对角线长为 ． 1 2 3 4 5 6 7 19 图1 4.如图1，点是上一动点，以点 为旋转中心，将 线段绕点顺时针旋转，使点的对应点 落在弦 上，作直线.若，点是 上一定点， 过点作于点 . 小李尝试结合学习函数的经验，对线段，， 的长度之间的关系进 行探究．请将以下小李的探究过程补充完整． 1 2 3 4 5 6 7 20 （1）列表：下表的数据是根据点在 上的不同位置进行画图，通过测 量线段，， 的长度，分别得到的几组对应值： 位置线段 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 3.60 3.15 2.68 2.18 1.45 0 1.45 2.41 0.45 0.52 0.55 0.54 0.45 0 0.89 1.88 0.51 1.02 1.52 2.03 2.74 4.04 5.23 5.96 1 2 3 4 5 6 7 21 在，，的长度这三个量中，确定____的长度是自变量 ，另外两 条线段的长度都是这个自变量的函数 ； 图1 1 2 3 4 5 6 7 图1 解：由题，可知在的变化过程中，， 都随之 发生变化，且都有唯一确定的值与其对应，所以 的 长度是自变量，， 的长度是关于这个自变量的 函数.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 23 （2）描点、连线：在图2的平面直角坐标系 中，画出（1）中所确定 的两个函数的图象； 图2 [答案] 两个函数的图象如图所示. （3）解决问题：结合图象，当时， 的长度大约是__________ _________________________________ .（保留两位小数） . （答案不唯一，均得分） 1 2 3 4 5 6 7 24 5.小王在学习中遇到了这样一个问题： 如图1，在菱形中，对角线,，点是 上的动 点，是的中点，连接,，当是等腰三角形时，求线段 的 长度． 图1 图2 1 2 3 4 5 6 7 25 小王分析发现，此问题可以用函数思想解决，于是尝试结合学习函数的经 验探究此问题．请将下面的探究过程补充完整： 根据点在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段,, 的长 度，得到下表的几组对应值． 0 1 2 3 4 5 6 7 8 2.5 1.8 1.5 1.8 3.4 4.3 5.2 6.2 5.0 4.2 3.6 3.2 3 3.2 3.6 4.2 5.0 1 2 3 4 5 6 7 26 （1） 的值是____； 2.5 图1 图2 1 2 3 4 5 6 7 27 解： 在菱形中，对角线 , ， ， ， . . 当时，点与对角线和的交点 重合， 此时 为直角三角形． 图1 图2 1 2 3 4 5 6 7 28 为 的中点， ，即 . 故答案为2.5. 图1 图2 1 2 3 4 5 6 7 （2）将线段的长度作为自变量，,的长度都是关于 的函数，分 别记为,，并在平面直角坐标系中画出了 的函数图象，如图2所 示，请在同一平面直角坐标系中描点，并画出 的函数图象； 图1 图2 1 2 3 4 5 6 7 30 [答案] 画出 的函数图象如图所示． 1 2 3 4 5 6 7 31 （3）观察图象，可知函数 有最小值，请你利用学习过的几何知识，直 接写出 的最小值；（写出准确值） 图1 图2 1 2 3 4 5 6 7 32 [答案] 由垂线段最短，可知当时，的值最小，即 取得最小 值． ， ． 为 的中点， 为 的中位线. ，即 的最小值为1.5． 图1 图2 1 2 3 4 5 6 7 33 （4）根据图象，在点从移动到的过程中，当 是等腰三角形时， 直接写出的长．（结果精确到 ） 图1 图2 1 2 3 4 5 6 7 34 [答案] 由题意，可知当 是等腰三角形时，需分以下两种情况进行讨 论： ①当 时， 观察图象，可知或 （舍去）． ②当 时， 观察图象，可知的长约为 . 综上所述，线段的长度约为或 ． 图1 图2 1 2 3 4 5 6 7 35 类型三 与实际问题结合 6.6月13日，某港口的潮水高度和时间 的部分数据及函数图象如 下（数据来自某海洋研究所） … 11 12 13 14 15 16 17 18 … … 189 137 103 80 101 133 202 260 … 1 2 3 4 5 6 7 36 （1）数学活动： ①根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象； 1 2 3 4 5 6 7 37 解：该函数的图象如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 38 ②观察函数图象，当时，的值为多少？当的值最大时， 的值为多少？ 解：观察函数图象，可得当时， . 当的值最大时， ． 1 2 3 4 5 6 7 39 （2）数学思考： 请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论； [答案] 性质一：当时，随 的增大而增 大；性质二：当时，有最小值 （答案不唯一，合理即可） 1 2 3 4 5 6 7 40 （3）数学应用： 根据研究，当潮水高度超过 时，货轮能 够安全进出该港口．请问当天什么时间段适合 货轮进出此港口？ [答案] 根据图象，可得当或 时，潮水高度超过 . 1 2 3 4 5 6 7 41 图1 7.如图1，小明的家中有一张长为，宽为 的长方 形纸板，他想将这张纸板的四个角裁去四个相同的小正方 形，然后把四边折起来做成一个无盖的小收纳盒，为了使 收纳盒的容积尽可能大，小明根据学习函数的经验，将小 下面是探究过程，请补充完整： 正方形的边长设为，小收纳盒的容积设为，并对函数 随自变 量 的变化而变化的规律进行了探究． 1 2 3 4 5 6 7 42 图1 （1）与 之间的关系式为_____________________，自变 量 的取值范围是___________; . 解：根据题意，可得 . ，，， . 故答案为， . 1 2 3 4 5 6 7 43 （2）与 的几组对应值列表如下： … … 1.3 2.2 2.7 3.0 1 … 2.8 2.5 1.5 0.9 … 请写出，的值：____， ____；（保留一位小数） 1 2 3 4 5 6 7 44 （3）在图2的平面直角坐标系 中，描出以补全后的表中各对对应值为 坐标的点，并画出该函数的图象； 图2 [答案] 该函数的图象如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 45 （4）结合画出的函数图象，当小正方形的边长约为____ 时，小收纳盒 的容积最大，最大值约为____.（结果精确到 ） 图1 1 2 3 4 5 6 7 46 $$