第3章 函数 微专题1 平面直角坐标系中的相关计算-【王睿中考】2025年河南中考总复习一本通数学课件PPT

1 第三章 函数 微专题一 平面直角坐标系中的相关计算 2 类型一 点的坐标变化规律 模型一 旋转问题中点的坐标变化 模型分析 在平面直角坐标系中，点的坐标为 ，将 点绕原点 顺时针旋转. （1）如图，每次旋转 ，则点 ， ，，，点 的坐标与点 的坐标相同，即每旋转4次为一个循环.若将点 以 此规律旋转次， 为正整数，且 . . . . . . 3 ，则点的坐标与点的坐标相同.例：将点 以此规律旋转9次， ，则的坐标与相同，即 . （2）每次旋转 ，则点的坐标与点 的坐标相同，即每旋转6次为一 个循环.若将点以此规律旋转次， 为正整数，且 ，则点的坐标与点的坐标相同.例：将点 以此规律旋转10次， ，则的坐标与 相同. （3）每次旋转 ，则点的坐标与点 的坐标相同，即每旋转8次为一 个循环.若将点以此规律旋转次， 为正整数，且 ，则点的坐标与点的坐标相同.例：将点 以此规律旋转20次， ，则的坐标与 相同. . . . . . . . . 5 例1 如图，已知菱形的顶点的坐标为，顶点的坐标为 ， 若将菱形绕原点逆时针旋转 称为1次变换，求经过60次变换后 点 的坐标. . . . . 6 解： ， 菱形绕原点 逆时针旋转8次 变换为一次循环. ， ， 经过60次变换后点的坐标处于点绕原点逆时针旋转 的位置． 顶点的坐标为，顶点的坐标为 ， . 四边形 是菱形， 7 ， . . 经过60次变换后点 的坐标为 ． 变式训练 第1题图 1.如图,矩形的顶点,分别在轴, 轴上, ,,.将矩形绕点 顺时针 旋转,每次旋转 ,则第99次旋转结束时,点 的坐 标为( ) C A. B. C. D. 9 第2题图 2.如图,指针,分别从与轴正半轴和 轴正半轴重 合的位置出发,绕着原点顺时针转动,已知 每秒转 动 ,的转动速度是的,则第102秒时, 的 度数为( ) A A. B. C. D. 10 3.如图,直线与轴,轴分别相交于点, ,过 点作,使,连接.将绕点 顺时针旋转,每次旋转 .若第101次旋转结束时,点 的对应点落在反比例函数的图象上,则 的值 为( ) D A. B.4 C. D.6 11 模型二 运动轨迹中点的坐标变化 模型分析 与旋转问题的思路相似，先依据运动轨迹确定点的变化规律，再根据 规律确定动点的最终位置，从而求出坐标. 例2 如图，在平面直角坐标系中， ，，， ， 一只瓢虫从点 出发以2个单位长度/秒的 速度沿 循环爬行，请分别求出第9秒、第110秒、第 2 024秒瓢虫所在位置的坐标. 12 解：， ， ， ， ， . . ， 瓢虫每7秒爬行一圈. ， 瓢虫第9秒爬行1圈回到点 处后又继续爬行了2秒. 又 ， 13 第9秒瓢虫所在位置的坐标为 . ， 瓢虫第110秒爬行15圈回到点 处 后又继续爬行了5秒. 又 ， 第110秒瓢虫所在位置的坐标为 . ， 瓢虫第2 024秒爬行289圈回到点 处后又继续爬行了1秒. 又 ， 第2 024秒瓢虫所在位置的坐标为 . 变式训练 4.如图,在平面直角坐标系中,半径均为1个单位长度的半圆,,, 组成 一条平滑的曲线.点从原点出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒 个单 位长度,则第99秒时,点 的坐标是_________. 16 5.在平面直角坐标系中,若干个半径为2、圆心角为 的扇形形成了如图 所示的连续的曲线轴上的半径除外,点从原点 出发,沿这条曲线向右上 下起伏运动,在直线上的速度为每秒2个单位长度,在弧线上的速度为每秒 个单位长度,则第100秒时,点 的坐标是________. 17 6.如图,在平面直角坐标系中,一只蚂蚁从原点 出发,沿着 运动,每次移动1个单位长度,则 该蚂蚁运动102次时所在位置的坐标为________. ,0 18 模型三 图形渐变中点的坐标变化 模型分析 需要从两个方面考虑：（1）位置变化规律，同旋转问题的思路相似， 通常为旋转或平移；（2）大小变化规律，求出每次变化后对应坐标的数 值变化，通常为倍数关系. . . . . 19 例3 在平面直角坐标系中，等边三角形 如 图放置，点的坐标为，每一次将 绕着点沿逆时针方向旋转 ，同时每边扩 大为原来的2倍，第一次旋转后得到 ， 第二次旋转后得到 依次类推， 则点 的坐标为( ) A A. B. C. D. . . . . . . 20 变式训练 7.如图，在平面直角坐标系中，点，，，， 在轴上且，， ， , 按此规律，分别过点，，， ， 作轴的垂线，分别与直线交于点， ， ，, 则点 的纵坐标为( ) C A. B. C. D. 21 8.如图，过原点的两条直线分别为 ， .过点作轴的垂线与交于点 ，过 点作轴的垂线与交于点，过点作 轴的垂线 与交于点，过点作轴的垂线与交于点 ，过 点作轴的垂线与交于点 依次进行下去， 则点 的坐标为_______________. 22 9.在平面直角坐标系中，由12个有公共顶点 的直角三角形拼成如图所示 的图形， .若点 的坐标为 ，则与 位似的三角形的直角顶点坐标为_ __________. 23 类型二 三角形的面积问题 模型一 三角形的一边在坐标轴上或平行于坐标轴 模型分析 直接公式法：如图，在中， 是三角形在坐标轴上（或平行于坐标 轴）的边，为边上的高，则直接使用三角形的面积公式 . . . . . 24 例1 如图，在平面直角坐标系中，已 知点，， ，求 的面积． . . 25 解：如图，过点作轴于点 . 点，， ， ， . ． 26 变式训练 1.如图，一次函数的图象经过，两点，与 轴交于 点，则 的面积为___． 1 第1题图 27 第2题图 2.如图，在同一平面直角坐标系中，直线为常数 与反比例函数，的图象分别交于点， ， 连接，，则 的面积为( ) C A. B. C. D.5 28 3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的 图象与轴交于点，，与轴交于点 . （1）求， 的值； 解： 点，在二次函数 的图 象上， 解得 29 （2）若点在该二次函数的图象上，且，求点 的坐标. 30 解：如图，连接， . 由题意，可得 ， ， ， . 31 点 在该二次函数的图象上， 设点 . ， . ， 解得， . 点的坐标为或 . 模型二 三角形的三边不在坐标轴上或不平行于坐标轴 模型分析 水平底×铅垂高. （1）分割法：①如图，的一个顶点在坐标轴上， 被坐标轴 分为两个三角形，则 . . . . . 33 ②如图，的顶点均不在坐标轴上，过点作 轴交于点，分别过点，向 作垂线，则 . 34 （2）增补法：如图，在中，过点作 轴， 分别过点，向作垂线，垂足为， ，则 . 35 例2 如图，直线与轴交于点，与直线交于点 ， 且直线与轴交于点，交轴于点，求 的面积. 36 解：如图，过点作轴于点 . 直线与轴交于点 ， 点的坐标为 . 与轴交于点 ， 37 点的坐标为. . 令，则，故点的坐标为 . 点为直线与直线 的交点， 解得 故点的坐标为 . , . . 变式训练 4.如图，平面直角坐标系中，点，，，连接 ， ，．则 的面积为___. 第4题图 40 第5题图 5.如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于，两点，点的坐标为 ，线 段，点在轴负半轴上， ．则 的面积为____． 36 41 6.如图,抛物线与轴交于,两点,与轴交于点 ,直线 经过点,交轴于点,且与抛物线交于另一点,点是直线 上方 抛物线上的一动点,连接,,求面积的最大值，并求出此时点 的 坐标. 42 解：如图，过点作轴交直线于点 . 令 ， 43 解得， . ， . 设点 , 则 . . . ， 当时，取得最大值，最大值为27，此时 . $$