专题09 四边形的十二大几何模型专项（12大题型+15道拓展培优题）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

专题09 四边形的十二大几何模型专项（12大题型+15道拓展培优题） 【题型目录】 题型一 平行四边形的旋转模型 题型二 平行四边形的翻折模型 题型三 平行四边形的轴对称模型 题型四 平行四边形的平移问题 题型五 平行四边形的最值问题 题型六 平行四边形的动点问题 题型七 平行四边形的新定义问题 题型八 平行四边形与一次函数综合 题型九 矩形的翻折模型 题型十 菱形的翻折模型 题型十一 正方形的翻折模型 题型十二 平行四边形综合 【经典例题一 平行四边形的旋转模型】 【例1】（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）如图1，和都是边长为2的等边三角形． (1)以图1中的某个点为旋转中心，旋转，就能使与重合，则满足题意的点为：_________（写出符合条件的所有点）； (2)将沿方向平移得到，如图2、图3所示，则四边形是平行四边形吗？证明你的结论； 1．（23-24八年级下·上海长宁·阶段练习）如图，已知的周长为10，对角线与相交于点，的周长比的周长小1． (1)求这个平行四边形各边的长； (2)将射线绕点顺时针旋转，交于，当旋转角度为多少度时，平分，说明理由． 2．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）如图1，在中，．将绕点逆时针旋转，旋转角为得到，记点，的对应点分别为，，连接，，射线与交于点．      (1)如图1，求的度数；（用含的式子表示） (2)如图2，当点在射线上时，若，证明：四边形为平行四边形； (3)在旋转过程中是否存在的情形？若存在，求出此时与的数量关系；若不存在，请说明理由． 3．（23-24八年级下·上海松江·期末）【图形定义】连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．类似的，我们把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线． 例如：如图1， 在四边形中，点是的中点，点是的中点，是四边形的中位线．    【方法探究】 如图2，已知是的中位线，以点为中心将旋转得到，可证． 【方法应用】 (1)如图3，是梯形的中位线．若，则 ；若，，且，则 ． (2)如图4，是四边形的中位线．若，与不平行，则的取值范围是 ；若，且，与不平行，则的取值范围是 ． (3)如图5，在五边形中，，，，若点分别是边的中点，则线段的长是 ． 【经典例题二 平行四边形的翻折模型】 【例2】（24-25八年级下·上海徐汇·期末）如图，在中，， (1)求度数． (2)点是上的动点，将沿直线翻折等到，则线段是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． (3)在（2）的条件之下，点是线段上的动点，连接，，是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． 1．（23-24八年级下·上海奉贤·阶段练习）在平行四边形中，，将沿对角线翻折，点B的对应点为点E，线段与边交于点F． (1)，求的度数； (2)若是以为腰的等腰三角形，求线段的长； (3)如图2，连接的延长线交于点N，的延长线交于点M，当点M到的距离最小值时，求出此时的面积． 2．（23-24八年级下·上海长宁·期末）综合与实践 【问题情境】 为了研究折纸过程中蕴涵的数学知识，老师发给每位同学完全相同的纸片，纸片形状如图1，在四边形中，，． 【探究实践】 老师引导同学们在边上任取一点E，连接，将沿翻折，点C的对应点为H，然后将纸片展平，连接并延长，分别交，于点M，G．老师让同学们探究：当点E在不同位置时，能有哪些发现？经过思考和讨论，小莹、小明向同学们分享了自己的发现． (1)如图2，小莹发现：“当折痕与夹角为时， 则四边形是平行四边形”．请你判断小莹的结论是否正确，并说明理由． (2)如图3，小明发现：“当E是的中点时，延长交于点N，连接，则N是的中点”，请你判断小明的结论是否正确，并说明理由． 3．（23-24八年级下·上海金山·期中）【模型建立】 （1）如图1，已知在中，点D是边的中点，将 沿翻折得到，连接，． ①求证：是直角三角形； ②延长，交于点E，判断与的数量关系，并证明你的结论； 【拓展应用】 （2）如图2，已知在中，点D是边的中点，点E是边上一点，将沿翻折得到，连接，． ①判断与的位置关系，并证明你的结论； ②若，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论．    【经典例题三 平行四边形的轴对称模型】 【例3】（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）综合与实践 图形变换的基本方式有：平移变换、旋转变换、轴对称变换在数学综合与实践课上，张老师将两块含30°角的全等三角尺按图1方式摆放在一起，其中∠ADB=∠CBD=30°，∠ABD=∠BDC=90°同时，要求班内各小组对图形进一步操作变换并提出问题，请你帮各小组进行解答， 【独立思考】 （1）张老师首先提出问题：图1中，四边形ABCD是平行四边形吗？说明理由； 【提出问题】 （2）如图2．“励志”小组将沿射线DB方向平移到的位置，分别连接，进一步提出问题：四边形是平行四边形吗？说明理由； 【拓展延伸】 （3）“慎密”小组提出的问题是：如图3，两个全等的三角尺重叠放在△ABD的位置，将其中一个三角尺绕着点B按逆时针方向旋转至△CB的位置，使点A恰好落在边上，AD与相交于点F，若AD=8cm，求BF的长． 1．（2024·上海静安·一模）如图甲，已知ED是△FBC的中位线，沿线段ED将△FED剪下后拼接在图乙中△BEA的位置． （1）从△FED到△BEA的图形变换，可以认为是（填平移或轴对称或旋转）变换； （2）试判断图乙中四边形ABCD的形状，并证明你的结论． 2．（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知，如图点P是△ABC的边BC上的一动点，点E与点P关于直线AB成轴对称，连接EP交AB于点F，连接AP、EC相交于点O，连接AE. （1）判断AE与AP的数量关系，并说明理由. （2）在点P的运动过程中，当AE∥BC时，判断AP与BP的数量关系，并说明理由. （3）若∠BAC=900，点P在运动过程中是否存在线段AP与线段EC互相平分的情况，若存在，请求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 3．（2024·上海崇明·三模）综合实践课上，同学们展开了以“轴对称”为主题的探究活动． 实践操作： 四边形是平行四边形，，，在边上取一点P，如图①，连接，点 B 关于的对称点为点，连接，． 问题解决： (1)当与重合时，连接，则与的位置关系是 ，数量关系是 ； (2)如图②，当 P 是中点时，连接，试求出 的值． (3)若，当时，直接写出线段的长． 【经典例题四 平行四边形的平移问题】 【例4】（23-24八年级下·上海宝山·期末）综合探究 两张全等的纸片和，，，． (1)如图1，两张纸片拼在一起，使点、重合，点、重合，判断四边形的形状并说明理由； (2)将图1中的纸片沿方向平移（如图2），边，相交于点，边、相交于点，当平移距离是多少时，？ (3)如图3，两张纸片拼在一起，使点、重合，点落在边上，点落在边上，将纸片沿方向平移（如图4），边，相交于点，边、相交于点，平移过程（不含点、重合时）中，能平分吗？如果能，求平移的距离，如果不能，说明理由. 1．（24-25八年级下·上海闵行·期末）在四边形中，，对角线交于点O，且．点E、F分别为边上的动点，连结． (1)如图1， ①求证：； ②求证：四边形为平行四边形； ③恰好经过点O，当时，如图2，连接，若，，求的度数． (2)平移，当点E与点A重合时，如图3， 将沿折叠得到，当点恰好落在线段上时，过点D作，交延长线于点G，其中，，，求线段的长． 2．（24-25八年级下·上海闵行·期中）如图1，线段是由线段平移得到的．分别连接，．直线于点，延长与相交于点．点是射线上的一个动点，点不与点、点、点重合．连接，．    (1)线段，的关系是_____； (2)如图1，当点P在线段上运动时，，，之间的数量关系是_____； (3)如图2，当点P在线段上运动时，，，之间的数量关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由； (4)如图3，当点P在点D上方运动时，请直接写出，，之间的数量关系：_____．   3．（2024·上海闵行·三模）（1）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，已知点，，如何求顶点C的坐标呢?下面是小明和小颖的求解思路：    小明：如图，分别过点B，C向x轴作垂线，垂足为D和E，   在平行四边形中，有，，则 ，又，故（ ），所以，…… 小颖：在平行四边形中，有，且，因为点O水平向右平移3个单位长度得到点，所以点水平向右平移3个单位长度得到点C，于是点C的坐标为 ． 请将填空处的内容依次填在横线上： ， ， ． （2）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，已知点，，求顶点R的坐标．    【经典例题五 平行四边形的最值问题】 【例5】（2024·上海闵行·模拟预测）（1）如图，已知△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，求证：DE∥BC，DE=BC． （2）利用第（1）题的结论，解决下列问题： ①如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，求证：EF∥BC，FE=（AD+BC） ②如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝3，点M，N分别在边AB，BC上，点E，F分别为MN，DN的中点，连接EF，求EF长度的最大值．    1．（24-25八年级下·上海杨浦·期末）在四边形中，对角线，交于点O． (1)如图1，若，求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）的条件下，将对角线绕点O顺时针旋转一个角度，分别交，于点E，F（如图2），求证：四边形是平行四边形； (3)如图3，若，过点D作，，连接，求的最小值． 2．（23-24八年级下·上海崇明·期末）在四边形中，对角线交于点O． (1)如图1，若，求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）的条件下，将对角线绕点O顺时针旋转一个角度，分别交于点（如图2），求证：四边形是平行四边形； (3)如图3，若，求的最小值． 3．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）问题探究 (1)如图1，在中，已知，，的平分线交于点G，求的长； 问题解决 (2)某科技公司现有一块形如四边形的研发基地，如图2，已知米，米，，的平分线交于点G．为了响应国家“科教兴国”战略，现需要扩大基地面积．扩建方案如下：点P是射线上一动点，连接，将修建成新能源研发区，为安全起见，要沿一周修建隔离带（宽度忽略不计），为了节省费用，要求隔离带的长度尽可能的短，问隔离带的长度是否存在最小值？若存在，请求出隔离带长度（的周长）的最小值；若不存在，请说明理由． 【经典例题六 平行四边形的动点问题 】 【例6】（24-25八年级下·上海虹口·阶段练习）【模型建立】如图1，在中，点E为边上一动点，连接．设，，的面积分别为，，．写出，，之间的数量关系，并用两种不同的方法证明； 【模型应用】 如图2，在中，，，，点E为边上的一动点，连接．过点B作．求的值； 【模型拓展】 如图3，点P为内一点（点P不在上），点E，F，G，H分别为各边的中点．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中），写出的面积，并说明理由．（用含，的代数式表示） 1．（2025·上海徐汇·一模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对称中心是原点O，点A，D的坐标分别为，，动点P在边上，过点P的反比例函数的图象交边于点Q，连接． (1)求点B的坐标； (2)当点P是边的中点时，求对应的反比例函数的表达式； (3)直接写出图中阴影部分的面积之和． 2．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点，分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明． 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由． 3．（24-25八年级下·上海宝山·期末）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题．如图，在中，点分别为上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图①，当为等边三角形时，甲同学发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，则．你认为甲同学的想法正确吗？请说明理由； 【类比探究】（2）乙同学尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图②，在中，，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）陈老师提出新的探究方向：如图③，在中，，，连接，请直接写出的最小值． 【经典例题七 平行四边形的新定义问题】 【例7】（23-24八年级下·上海松江·阶段练习）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做非凡三角形．例如：某三角形三边长分别是和3，因为，所以这个三角形是非凡三角形．    (1)若是非凡三角形，且，则________． (2)如图，在平行四边形中，于点，且是非凡三角形，求的值． 1．（24-25八年级下·上海静安·期末）【问题情境】我们定义：如图a，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，的边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”． 【特例感知】 （1）在图2和图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为______； ②如图3，当，时，则长为______． 【猜想论证】 （2）如图1，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 2．（23-24八年级下·上海宝山·期中）综合与实践 折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，这样的长方形称为完美长方形． (1)操作发现： 如图1，将纸片按所示折叠成完美长方形，若的面积为12，，则此完美长方形的边长 ，面积为 ． (2)类比探究： 如图2，将纸片按所示折叠成完美长方形，若的面积为20，，求完美长方形的周长． (3)拓展延伸： 如图3，将纸片按所示折叠成完美长方形，若，则此完美长方形的周长为 ，面积为 ． 3．（23-24八年级下·上海嘉定·阶段练习）我们曾借助学习“图形的判定”获得的经验与方法对“平行四边形的判定”进行过探究. 【知识回顾】 如图，四边形中，我们用符号语言表示出所有的个边、角、对角线的数量关系： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧． 我们曾任意选择2个作为条件来探索四边形是否为平行四边形. （1）请选择上面①~⑥中的2个，写出一个除了课本上“平行四边形的定义及3条判定定理”外可以判定四边形为平行四边形的方法： （填序号），并用文字语言表述为 【数学思考】 若将①②组合可以得到新的数量关系⑨：；⑦⑧组合可以得到新的数量关系⑩：.那么它们是否可以再加一个条件来判定平行四边形呢？ （2）若选择④和⑨则可判定四边形是平行四边形. 如图1，在四边形中，，. 求证：四边形是平行四边形. （3）请在①~⑥中选择一个条件和⑩也可判定四边形是平行四边形，并证明. 如图2，在四边形中，、交于点O， （填序号），. 求证：四边形是平行四边形. 【经典例题八 平行四边形与一次函数综合】 【例8】（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式． (2)点在轴负半轴上，连接，过点作，交的图像于点，且，连接．求四边形的面积． 1．（23-24八年级下·上海奉贤·阶段练习）动点P在平行四边形边上沿着的方向匀速移动，到达点D时停止移动．已知P的速度为1个单位长度，其所在位置用点P表示，P到对角线的距离（即垂线段 的长）为d个单位长度，其中d与t的函数图象如图②所示．    (1) ， ， ． (2)若，求出时d与t的函数关系式，并求当时的面积． (3)如图②，点M，N分别在函数第一段和第三段图象上，线段平行于横轴，M、N的横坐标分别为、．设、时点P走过的路程分别为、，若，求、的值． 2．（23-24八年级下·上海金山·单元测试）【阅读新知】如图1，在平面直角坐标系中，点、，点C为线段的中点，这线段的中点的坐标为 【应用新知】利用你阅读获得的新知，解答下面的问题： (1)已知点、，则线段的中点坐标为 ． (2)如图2，中，点A，B．C的坐标分别为，利用中点坐标公式求点D的坐标． (3)如图3，点在函数的图象上，点，点C在x轴上，点D在函数的图象上，以A、B、C、D四个点为顶点，且以为一边构成平行四边形，直接写出所有满足条件的D点坐标． 3．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图1，直线与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数表达式． (2)将线段向右平移m个单位长度，得到对应线段，连接，． ①如图2，当点D恰好落在反比例函数图象上时，过点C作轴于点F，交反比例函数图象于点E，求的值； ②在①的条件下，在坐标平面内是否存在点N，使得以A，D，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题九 矩形的翻折模型】 【例9】（23-24八年级下·上海宝山·期中）如图1，在四边形中，， 点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作于点P，连接交于点Q，连接，设运动时间为t秒． (1)当四边形为平行四边形时，求t的值． (2)如图2，将沿翻折，得，当四边形为正方形时，求的长． 1．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）在矩形纸片中，，． (1)如图①，将矩形纸片折叠，点落在对角线上的点处，则的长为 (2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，①证明：．②求的长 (3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点B落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、（包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 2．（24-25八年级下·上海静安·期中）综合与实践 【实践操作】 步骤1：准备一张矩形纸片； 步骤2：按如图所示方式操作：将沿翻折，使点A落在对角线上的点M处； 步骤3：按如图所示方式操作：将沿翻折，使点C落在对角线上的点N处．    【实践探索】 (1)用你所学数学知识说明：四边形是平行四边形； (2)当四边形是菱形时，且，求菱形的面积． 3．（2024·上海宝山·一模）问题呈现：如图①，在一次数学折纸活动中，有一张矩形纸片，点在上，点在上，小华同学将这张矩形纸片沿翻折得到四边形，交于点，小华认为是等腰三角形，你认为小华的判断正确吗？请说明理由． 问题拓展：如图②，在“问题呈现”的条件下，当点的对应点落在上时，已知，，，写出、、满足的数量关系，并证明你的结论． 问题应用：如图③，在 中，，将 沿对角线翻折得到，交于点若点为的中点，则的面积为 【经典例题十 菱形的翻折模型】 【例10】（23-24八年级下·上海嘉定·阶段练习）（1）【问题呈现】在数学活动课上，王老师为每位学生提供了几张长方形纸片和平行四边形纸片，王老师问了小明一个问题：如图，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点E、F．求证：四边形是菱形． 请你帮小明写出证明过程． （2）【类比应用】如图2，王老师要求小明将矩形纸片沿直线翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，直线分别交矩形的边、于点E、F，若，求折痕的长． （3）【拓展延伸】如图3，王老师要求小明将平行四边形沿直线翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，直线分别交平行四边形的边、于点E、F，若，，求四边形的面积． 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图①，菱形纸片，．对其进行如下操作： 把翻折，使点A与点D重合，折痕为；把翻折，使点C与点D重合，折痕为（如图），连接，．设两条折痕的延长线交于点O．    (1)请在图②中将图形补充完整，并求的度数； (2)四边形是菱形吗？请说明理由． 2．（23-24八年级下·上海金山·期末）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第117页的部分内容． 例5：如图，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F. 求证：四边形AFCE是菱形. 结合图①，写出完整的证明过程 【应用】如图②，直线EF分别交矩形ABCD的边AD，BC于点E，F，将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为G，若AB=4，BC=5，则EF的长为 ． 【拓展】如图③，直线EF分别交平行四边形ABCD的边AD，BC于点E，F，将平行四边形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为G，若AB=，BC=6，∠C=45°，则五边形ABFEG的周长为 ． 3．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）综合与实践 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，折纸过程中蕴含着丰富的数学知识．数学活动课上，老师让同学们翻折正方形纸片进行探究活动．同学们经过动手操作，发展了空间观念，并积累了数学活动经验． 【问题背景】： 如图，在边上任意选取一点，以为折痕，折叠纸片，使点的对应点落在正方形内部． 【问题探究】： 探究一： 根据以上操作，如图，若点为折痕的中点，连接，得到四边形，你知道当满足什么数量关系时，才能使得四边形为菱形？为什么？ 探究二： 如图，延长，交边于点，连接， ①的度数大小会随着点的位置变化而发生改变吗? 请说明理由． ②已知正方形纸片的边长为10，当时，请计算的长．                                    【经典例题十一 正方形的翻折模型】 【例11】（23-24八年级下·上海徐汇·期中）在矩形中， AB=10，BC=6，为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点落在点处． (1)若为边上一点． ①如图1，当点落在边上时，直接写出此时　　； ②如图2，连接，若， 则与有何数量关系？请说明理由； (2)如果点在的延长线上，当为直角三角形时，求的长． 1．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N． （1）求证AE＝MN； （2）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数； （3）如图3，若该正方形ABCD边长为10，将正方形沿着直线MN翻折，使得BC的对应边B′C′恰好经过点A，过点A作AG⊥MN，垂足分别为G，若AG＝6，请直接写出AC′的长________． 2．（23-24八年级·上海奉贤·单元测试）探究问题： (1)方法感悟： 如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠BAF＝45°，连接EF，求证DE＋BF＝EF．感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴  ∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，因此，点G，B，F在同一条直线上． ∵  ∠EAF＝45°∴  ∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°． ∵  ∠1＝∠2，∠1＋∠3＝45°． 即∠GAF＝∠________． 又AG＝AE，AF＝AE ∴  △GAF≌△________． ∴  _________＝EF，故DE＋BF＝EF． (2)方法迁移： 如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF＝∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想． 3．（23-24八年级下·上海宝山·期末）问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题： 如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）直接判断： （填“”或“” ； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 问题探究： （2）如图2，在正方形中，点、、分别在边、和上，且，垂足为．那么与相等吗？证明你的结论； 问题拓展： （3）如图3，点在边上，且，垂足为，当在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处． ①四边形是正方形吗？请说明理由； ②若，点在上，，直接写出的最小值为 　　． 【经典例题十二 平行四边形综合】 【例12】（23-24八年级下·上海静安·期中）已知正方形，为对角线上一点．                                      【建立模型】 (1)如图1，连接，．求证：； 【模型应用】 (2)如图2，是延长线上一点，，交于点．求证：是等腰三角形； 【模型迁移】 (3)如图3，是延长线上一点，，交于点，，．求的值． 1．（2024·上海闵行·模拟预测）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，M，N分别在边上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接．用等式写出线段的数量关系，并说明理由； (2)【类比探究】小启改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形的边的延长线上，，连接，用等式写出线段的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】李老师提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点N，M分别在边上，，用等式写出线段的数量关系，并说明理由． 2．（23-24八年级下·上海奉贤·阶段练习）“一线三直角”是解决数学几何问题常用的一种模型，通过证明三角形全等从而解决和相关问题． （一）模型探究： 如图1，，，点E在上，，且． 求证：． （二）拓展提升： 如图2，已知，分别以，为边向外作正方形和．过点A作于点M，反向延长，交于点N． 求证：． （三）实践应用： 如图3是某公园的平面示意图，三个正方形湖泊，面积分别是，和，三个湖泊内侧水面围出一个三角形小岛，三个湖的外侧，每两个湖之间的三角形地带是草坪．求整个公园的面积．    3．（24-25八年级下·上海青浦·期中）李明酷爱数学，勤于思考，善于反思．在学习八年级下册数学知识之后，他发现“二次根式、勾股定理、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联，并且为解决“饮马位置”“最短路径长”等问题，提供了具体的数学方法．于是他撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助李明完成相关问题． “将军饮马”问题的探究与拓展 八年级三班　李明 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？ 【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，使的值最小． 【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 （1）问题1．如图2，经测量得A，B两点到河边l的距离分别为米，米，且米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长． （2）问题2．如图3，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． （3）问题3．如图4，在平面直角坐标系中，点，点．请在x轴上确定一点P，使的值最小，并求出的最小值． 【模型迁移】 （4）问题4．如图5，菱形中，对角线相交于点．点P和点E分别为上的动点，求的最小值． 1．（2025·上海虹口·三模）如图，在中，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，且，则的边上的高是（   ） A． B． C．5 D．4 2．（2025·上海长宁·一模）如图，四边形是菱形，对角线、交于点，于点，是线段的中点，连接．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·上海青浦·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点的运动时间为（单位：），下列结论正确的是（    ） A．当时，四边形为平行四边形 B．当时，四边形为菱形 C．当时，四边形为矩形 D．当时，四边形为正方形 4．（24-25八年级下·上海崇明·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形是菱形，点A坐标为，点B坐标为，直线交y轴于点D，边交y轴于点E，连接，动点P从点C出发，沿折线方向以2个单位/秒的速度向终点A匀速运动，设的面积为，点P的运动时间为t秒，则当P在上运动时，S与t之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·上海杨浦·阶段练习）如图在正方形中，点是对角线，交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点．有下列结论： ①； ②； ③； ④四边形的面积为正方形面积的； ⑤．其中正确的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（24-25八年级下·上海静安·期中）菱形的两条对角线的长分别为6和8，点M、N分别是边的中点，点P是对角线上的一个动点，菱形的边长是 ；则的最小值是 ．   7．（24-25八年级下·上海嘉定·阶段练习）如图，点D，F把线段分成三条线段，分别以这三条线段为一条对角线作菱形，菱形，菱形，连结组成四边形．若菱形的边长为，，则四边形的面积是 ． 8．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）如图，在长方形中，，．点Q从点C出发，以的速度沿边向点D运动，到达点D停止；同时点P从点B出发，以的速度沿边向点C运动，到达点C停止．规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为 时，与全等． 9．（2025八年级下·上海金山·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、B在x轴的负半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线，边交于点E，F，连接，．若点E为的中点，的面积为2，则k值为 ． 10．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，在中，，，分别以的三边为边向外作三个正方形，连接．过点C作的垂线，垂足为J，分别交H于点I，K．若，则四边形的面积是 ． 11．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）综合与实践 【模型探索】如图1，在正方形中，点，分别在边，上，若，则与的数量关系为 　　； 【模型应用】如图2，将边长为2的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在点处，折痕交于点，交于点，求折痕的长度； 【迁移应用】如图3，正方形的边长为12，点是上一点，将沿折叠，使点落在点处，连接；并延长交于点．若，求的长度． 12．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图、图），即“一线三等角”模型和“字”模型． 【问题发现】如图，已知，中，，，一直线过顶点，过，分别作其垂线，垂足分别为，．易证； （1）如图，若改变直线的位置，其余条件与前面相同，请直接写出，，之间的数量关系_________； 【问题提出】 （2）在（）的条件下，若，，则的面积为____________． （3）如图，正方形中，，，求的面积． 13．（2024·上海松江·模拟预测）数形结合思想可以借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系．    (1)2002年世界数学家大会（ICM2002）在北京召开，这届大会会标（如图1）的中央图案是经过艺术处理的“弦图”（如图2），它由4个全等的直角三角形拼成，请观察“弦图”直接写出满足的等量关系为______． (2)某数学兴趣小组，采用数形结合思想解决了如下问题： 已知线段，点在线段上，，求的最小值． 他们解决问题的思路是：如图3，在线段的同侧构造了两个和，，令，利用勾股定理，得出，从而将问题转化成求“最小值”问题，再利用“将军饮马”模型，就完成了解答．请你写出解答过程； (3)如图4，在中，，点分别为上的动点，且，求的最小值． 14．（24-25八年级下·上海徐汇·阶段练习）[模型探究]如图①，等腰直角三角形中，，，过点A作于点D，过点B作于点E．若，，求长． [迁移应用]如图②，在平面直角坐标系中直线与x轴、y轴交于A、B两点． （1）的长为______，的长为______． （2）将直线绕点B顺时针旋转得到直线，则直线所对应的函数表达式为______． [拓展延伸]如图③，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，若点C是第二象限内一点，在平面内是否存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为正方形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）【模型建立】（1）如图1，在正方形中，E，F分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点G，使，连接，先证明，再证明．则，，之间的数量关系为____________． 【类比探究】（2）如图2，在四边形中，，与互补，E，F分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【模型应用】（3）如图3，在四边形中，，，E、F分别是边，延长线上的点，且，请探究线段，，具有怎样的数量关系，并证明． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 四边形的十二大几何模型专项（12大题型+15道拓展培优题） 【题型目录】 题型一 平行四边形的旋转模型 题型二 平行四边形的翻折模型 题型三 平行四边形的轴对称模型 题型四 平行四边形的平移问题 题型五 平行四边形的最值问题 题型六 平行四边形的动点问题 题型七 平行四边形的新定义问题 题型八 平行四边形与一次函数综合 题型九 矩形的翻折模型 题型十 菱形的翻折模型 题型十一 正方形的翻折模型 题型十二 平行四边形综合 【经典例题一 平行四边形的旋转模型】 【例1】（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）如图1，和都是边长为2的等边三角形． (1)以图1中的某个点为旋转中心，旋转，就能使与重合，则满足题意的点为：_________（写出符合条件的所有点）； (2)将沿方向平移得到，如图2、图3所示，则四边形是平行四边形吗？证明你的结论； 【答案】(1)点、点、的中点 (2)四边形是平行四边形．理由见解析 【分析】此题主要考查了矩形的判定和等边三角形的性质和平行四边形的判定以及旋转的性质，熟练掌握相关的定理是解题关键． （1）根据等边三角形的性质，得到四边形是菱形，从而再根据菱形是中心对称图形，得到旋转中心有点、点、的中点； （2）根据平移的性质，得到，根据等边三角形的性质，得到，，从而得到，则，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明． 【详解】（1）等边和等边有公共的底边， ， 四边形是菱形． 要旋转，使与重合，有三点分别为：点、点、的中点， 故答案为：点、点、的中点； （2）四边形是平行四边形．理由如下： 根据平移的性质，得到， 根据等边三角形的性质，得到，， ， ， 又， 四边形是平行四边形； 1．（23-24八年级下·上海长宁·阶段练习）如图，已知的周长为10，对角线与相交于点，的周长比的周长小1． (1)求这个平行四边形各边的长； (2)将射线绕点顺时针旋转，交于，当旋转角度为多少度时，平分，说明理由． 【答案】(1)， (2)当旋转角为时，平分，理由见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，，由的周长为10可得，由的周长比的周长小1可得，进行计算即可得到答案； （2）由平行四边形的性质可得，，从而得到，由，，可得，从而得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，对角线与相交于点， ，，， 的周长为10， ， ， 的周长比的周长小1， ， ， 由得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ，； （2）解：当旋转角为时，平分， 理由如下： 四边形是平行四边形，对角线与相交于点， ，， ， ，， ， ， ， 平分． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的判定等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 2．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）如图1，在中，．将绕点逆时针旋转，旋转角为得到，记点，的对应点分别为，，连接，，射线与交于点．      (1)如图1，求的度数；（用含的式子表示） (2)如图2，当点在射线上时，若，证明：四边形为平行四边形； (3)在旋转过程中是否存在的情形？若存在，求出此时与的数量关系；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见详解 (3)存在的情形，此时或 【分析】（1）由旋转，，所以，进而可得； （2）由已知条件可得旋转角，，，得到，再证明则问题可证； （3）当，，不共线时，过点作的平行线与延长线交于点，连接，．证明四边形为平行四边形，再证明，得到则可推出；当，，共线时，此时，点与点重合．可证明进而可得． 【详解】（1）解：∵将绕点逆时针旋转得到，旋转角为， ∴，，， ∴． 则． （2）∵． ∴旋转角，， 由①可知，，，， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴ ∴， ∴四边形为平行四边形． （3）①当点，，不共线时，如图，过点作的平行线与延长线交于点，连接，．    由（1）可知， ， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴点为，的中点，即，． ∵当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ②当点，，三点共线时，此时，点与点重合．      ∵，且， ∴， 此时． 综上所述，在旋转过程中存在的情形，此时或． 【点睛】本题考查图形的旋转，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定和性质，平行四边形性质和判定，解答关键是运用分类讨论是数学思想，具体问题具体分析． 3．（23-24八年级下·上海松江·期末）【图形定义】连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．类似的，我们把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线． 例如：如图1， 在四边形中，点是的中点，点是的中点，是四边形的中位线．    【方法探究】 如图2，已知是的中位线，以点为中心将旋转得到，可证． 【方法应用】 (1)如图3，是梯形的中位线．若，则 ；若，，且，则 ． (2)如图4，是四边形的中位线．若，与不平行，则的取值范围是 ；若，且，与不平行，则的取值范围是 ． (3)如图5，在五边形中，，，，若点分别是边的中点，则线段的长是 ． 【答案】(1)， (2)， (3)7 【分析】（1）以为中心，将梯形旋转得到梯形，则，，，且四边形、，都是平行四边形，易得，代入计算即可得出答案； （2）以为中心，将梯形旋转得到梯形，连接，，，，，则四边形、，都是平行四边形，则，，，，在中得（、、在同一直线上时，等号成立），从而得出，即，代入计算即可得出答案； （3）连接，以为中心，将梯形旋转得到梯形，连接，，则四边形、，都是平行四边形，则，，，作交的延长线于，求出，，从而得出，由勾股定理得出的长，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，以为中心，将梯形旋转得到梯形，    则，，，且四边形、，都是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 若，则； 若，，且，则； （2）解：如图，以为中心，将梯形旋转得到梯形，连接，，，，，则四边形、，都是平行四边形，    ∴，，，， 在中得（、、在同一直线上时，等号成立）， ∴，即， 若，与不平行，则的取值范围是，即； 若，且，与不平行，则的取值范围是； （3）解：如图，连接，以为中心，将梯形旋转得到梯形，连接，，则四边形、，都是平行四边形，    ∴，，， 作交的延长线于， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质、三角形三边关系等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【经典例题二 平行四边形的翻折模型】 【例2】（24-25八年级下·上海徐汇·期末）如图，在中，， (1)求度数． (2)点是上的动点，将沿直线翻折等到，则线段是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． (3)在（2）的条件之下，点是线段上的动点，连接，，是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，； (3)存在，． 【分析】（1）取的中点，连接、，则，证明是等边三角形得出，再由等边对等角结合三角形外角的定义及性质计算即可得解； （2）得出的轨迹是以为圆心，以为半径的半圆．结合当点在线段上时，线段最小，即可得解； （3）作点关于直线的对称点，连接交于，连交于，点即为所求，当、、共线时，的值最小，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：取的中点，连接、，则， ，，， 是等边三角形 ∴， 又， ∴， ． （2）解：∵到点的距离等于， ∴的轨迹是以为圆心，以为半径的半圆． 当在线段上时，线段最小， 由（1）可得， ∴， 即线段长度最小值为 （3）解：存在． 作点关于直线的对称点，连接交于，连交于，点即为所求． ， 则， 当、、共线时，的值最小， 由题意可得：，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴，即， ∴ ∴，即的最小值为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、轴对称的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 1．（23-24八年级下·上海奉贤·阶段练习）在平行四边形中，，将沿对角线翻折，点B的对应点为点E，线段与边交于点F． (1)，求的度数； (2)若是以为腰的等腰三角形，求线段的长； (3)如图2，连接的延长线交于点N，的延长线交于点M，当点M到的距离最小值时，求出此时的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质，即可求解； （2）先证明，然后分两种情况：当时；当时，即可求解； （3）过点M作于点Q，可得是等腰直角三角形，从而得到当最小时，最小，即当最小时，点M到的距离最小，此时，过点A作于点S，与T，此时是等腰直角三角，再由勾股定理求出，是等腰直角三角形，，即可求解． 【详解】（1）解：由折叠的性质得：， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，此时， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 当时，此时， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 综上所述，线段的长为或； （3）解：如图，过点M作于点Q， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， ∴当最小时，最小，即当最小时，点M到的距离最小，此时， 过点A作于点S，与T，此时是等腰直角三角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴． 【点睛】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，翻折的性质等知识是解题的关键． 2．（23-24八年级下·上海长宁·期末）综合与实践 【问题情境】 为了研究折纸过程中蕴涵的数学知识，老师发给每位同学完全相同的纸片，纸片形状如图1，在四边形中，，． 【探究实践】 老师引导同学们在边上任取一点E，连接，将沿翻折，点C的对应点为H，然后将纸片展平，连接并延长，分别交，于点M，G．老师让同学们探究：当点E在不同位置时，能有哪些发现？经过思考和讨论，小莹、小明向同学们分享了自己的发现． (1)如图2，小莹发现：“当折痕与夹角为时， 则四边形是平行四边形”．请你判断小莹的结论是否正确，并说明理由． (2)如图3，小明发现：“当E是的中点时，延长交于点N，连接，则N是的中点”，请你判断小明的结论是否正确，并说明理由． 【答案】(1)正确，见解析 (2)正确，见解析 【分析】（1）由翻折的性质可得，，则，可证，进而结论得证； （2）由题意知，，由翻折的性质可得，，，，证明，则，由，可得，由，可得，则，进而解得得证． 【详解】（1）解：正确，理由如下； 由翻折的性质可得，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：正确，理由如下； 由题意知，， ∵，， ∴， 由翻折的性质可得，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴N是的中点． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平行四边形的判定，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识．熟练掌握平行线的判定与性质，平行四边形的判定，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 3．（23-24八年级下·上海金山·期中）【模型建立】 （1）如图1，已知在中，点D是边的中点，将 沿翻折得到，连接，． ①求证：是直角三角形； ②延长，交于点E，判断与的数量关系，并证明你的结论； 【拓展应用】 （2）如图2，已知在中，点D是边的中点，点E是边上一点，将沿翻折得到，连接，． ①判断与的位置关系，并证明你的结论； ②若，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论．    【答案】（1）①见解析；②，证明见解析；（2）①，证明见解析；②，证明见解析 【分析】（1）①根据翻折性质得到，利用等腰三角形的性质得到，，再根据三角形的内角和定理求得，即， 进而证得结论； ②同①中方法，利用翻折性质和等腰三角形的判定与性质，结合三角形的内角和定理求得，进而得到即可得出结论； （2）①由（1）知 ，再利用翻折性质得到，，则，再根据三角形的内角和定理推出，利用等角的余角相等得到，进而利用平行线的判定可得结论； ②如图2，延长，交于，由翻折性质可得到 ，，利用平行线的性质和等腰三角形的等角对等边推出 ，证明四边形是平行四边形，得到，进而由可得结论． 【详解】（1）①证明： ∵将沿翻折得到，，则， ∵点是边的中点，，则， ∴ ， ∴， ， 是直角三角形； ②， 证明：如图1，延长，交于点，    ∵将沿翻折得到， ，， ， ∵点是边的中点， ， ， ， ， ， ， ； （2）①， 证明：由（1）知，，， ∵将沿翻折得到， ，，， ， ，又， ， ； ②， 证明：如图2，延长，交于，， ∵将沿翻折得到， ，， ，， ，，   ， 四边形是平行四边形， ，， ， ． 【点睛】本题考查翻折性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握翻折性质以及等腰三角形的判定与性质，（2）②中证得是解答的关键． 【经典例题三 平行四边形的轴对称模型】 【例3】（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）综合与实践 图形变换的基本方式有：平移变换、旋转变换、轴对称变换在数学综合与实践课上，张老师将两块含30°角的全等三角尺按图1方式摆放在一起，其中∠ADB=∠CBD=30°，∠ABD=∠BDC=90°同时，要求班内各小组对图形进一步操作变换并提出问题，请你帮各小组进行解答， 【独立思考】 （1）张老师首先提出问题：图1中，四边形ABCD是平行四边形吗？说明理由； 【提出问题】 （2）如图2．“励志”小组将沿射线DB方向平移到的位置，分别连接，进一步提出问题：四边形是平行四边形吗？说明理由； 【拓展延伸】 （3）“慎密”小组提出的问题是：如图3，两个全等的三角尺重叠放在△ABD的位置，将其中一个三角尺绕着点B按逆时针方向旋转至△CB的位置，使点A恰好落在边上，AD与相交于点F，若AD=8cm，求BF的长． 【答案】（1）是，理由见解析；（2）是，理由见解析；（3） 【分析】（1）根据全等三角形性质得，AB=CD．AD=BC，所以四边形ABCD是平行四边形； （2）根据平移的性质得，故，可得四边形是平行四边形； （3）根据直角三角形性质可证，根据勾股定理可得 【详解】解：(1)四边形ABCD是平行四边形 理由：因为两块三角尺全等， 所以AB=CD．AD=BC 所以四边形ABCD是平行四边形 （2）四边形是平行四边形 理由：四边形ABCD是平行四边形， 所以AD//BC，AD=BC 由平移的性质得 所以四边形是平行四边形． (3)因为∠ADB=∠CB'D'=30°．∠ABD=∠B'D'C=90°． 所以∠C=∠BAD=60°，． 因为AD=8． 所以AB=BC=4． 所以． 在中，根据勾股定理得， 所以BF的长为 【点睛】考核知识点：平行四边形判定．理解平行四边形的判定方法是关键． 1．（2024·上海静安·一模）如图甲，已知ED是△FBC的中位线，沿线段ED将△FED剪下后拼接在图乙中△BEA的位置． （1）从△FED到△BEA的图形变换，可以认为是（填平移或轴对称或旋转）变换； （2）试判断图乙中四边形ABCD的形状，并证明你的结论． 【答案】（1）旋转变换；（2）四边形ABCD是平行四边形，见解析 【分析】（1）由拼接后发现对应点分别是为B与F，A与D，E与E，所以可以得到答案． （2）利用旋转的性质得到ED=EA，结合中位线的性质得到AD∥BC，AD=BC可以得出结论． 【详解】解：(1)拼接后，B与F是对应点，A与D是对应点，E与自身对应，所以是旋转对称关系，即旋转变换. (2)四边形ABCD是平行四边形 证明:∵△FED到△BEA是旋转变换, ∴ED=EA.∴AD=2ED. ∵ED是△FBC的中位线, ∴ED∥CB，CB=2DE, ∴AD∥BC，AD=BC. ∴四边形ABCD是平行四边形. 【点睛】本题考查旋转变换是点对称的特点，同时考查平行四边形的判定，掌握旋转变换的特征与平行四边形的判定方法是解决本题的关键． 2．（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知，如图点P是△ABC的边BC上的一动点，点E与点P关于直线AB成轴对称，连接EP交AB于点F，连接AP、EC相交于点O，连接AE. （1）判断AE与AP的数量关系，并说明理由. （2）在点P的运动过程中，当AE∥BC时，判断AP与BP的数量关系，并说明理由. （3）若∠BAC=900，点P在运动过程中是否存在线段AP与线段EC互相平分的情况，若存在，请求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)相等，理由见解析；（2）相等，理由见解析；（3）存在，点P为BC的中点时，理由见解析 【分析】(1)根据SAS证明△AEF≌△APF，再由全等三角形的面积得到AE＝AP； (2)由AE//BC可得∠EAB=∠B,由(1)可得∠EAB=∠BAP，所以∠B＝∠BAP，再根据等角对等边得BP＝AP； (3)当点P为BC的中点时，由直角三角形的斜边中点可得BP＝CP＝AP，从而得到∠B＝∠BAP，又由（1）可得AE＝AP＝PB＝PC和∠EAB=∠BAP，则∠B＝∠EAB，再得到AE//BC，再根据一组对边平行且相等可得四边形AEPC为平行四边形，由平行四边形的性质可得AP和EC互相平分. 【详解】(1)∵点E与点P关于直线AB成轴对称， ∴AB⊥EP且平分, ∴∠AFE=∠AFP,EF=PF, 在△AEF和△APF中， ， ∴△AEF≌△APF， ∴AE＝AP; (2)如图所示： ∵AE//BC， ∴∠EAB=∠B, ∵△AEF≌△APF， ∴∠EAB=∠BAP， ∴∠B＝∠BAP， ∴BP＝AP; (3)存在，当点P为BC的中点时， ∵P是BC的中点，∠BAC＝90o, ∴BP=PC=AP, ∴∠B=∠BAP, 由（1）中△AEF≌△APF， ∴∠EAB＝∠BAP，AE＝AP， ∴∠B＝∠EAB，AE＝AP＝BP＝PC， ∴AE//PC,AE=PC, ∴四边形AEPC是平行四边形， ∴AP和CE互相平分. 【点睛】考查了平行四边形的判定与性质，解题关键是灵活运用直角三角边斜边上的中线和平行四边形判定、性质. 3．（2024·上海崇明·三模）综合实践课上，同学们展开了以“轴对称”为主题的探究活动． 实践操作： 四边形是平行四边形，，，在边上取一点P，如图①，连接，点 B 关于的对称点为点，连接，． 问题解决： (1)当与重合时，连接，则与的位置关系是 ，数量关系是 ； (2)如图②，当 P 是中点时，连接，试求出 的值． (3)若，当时，直接写出线段的长． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、对称的性质、全等三角形的 判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理．找准点的位置是解题的关键． （1）由对称的性质可知，利用边角边证明即可得到． （2）证明，可得．再根据勾股定理在求得即可． （3）要考虑点在点两侧的情况：①当点在点的右侧时，，可证明，求出，再按照计算即可；②当点在点的左侧时，，过点作于点，利用三角函数求出即可． 【详解】（1）四边形是平行四边形， 且． ， ． ， ， 是等腰直角三角形， ， 当与重合时，如图，连接， 由对称的性质可知，， ， ， 在与中， ， ， ． 故答案为：， ． （2）连接，由轴对称的性质可知，． P 是中点， ， ， ． ， 即， ， ， ， ． 设，则， 在中，由勾股定理可得： ， ． （3）由（1）可知是等腰直角三角形， ， ． 分两种情况讨论：① 当点在点的右侧时，如图， ， ， 由对称的性质得：， ， ， ． ②当点在点的左侧时，如图， ， 由对称的性质得：， 过点作于点， 设，则，，， ，解得， ． 综上所述，的长为或 ． 【经典例题四 平行四边形的平移问题】 【例4】（23-24八年级下·上海宝山·期末）综合探究 两张全等的纸片和，，，． (1)如图1，两张纸片拼在一起，使点、重合，点、重合，判断四边形的形状并说明理由； (2)将图1中的纸片沿方向平移（如图2），边，相交于点，边、相交于点，当平移距离是多少时，？ (3)如图3，两张纸片拼在一起，使点、重合，点落在边上，点落在边上，将纸片沿方向平移（如图4），边，相交于点，边、相交于点，平移过程（不含点、重合时）中，能平分吗？如果能，求平移的距离，如果不能，说明理由. 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析 (2)平移的距离是时， (3)向上平移的距离为0时，即点、重合时平分，平移过程（不含点、重合时）中，不能平分 【分析】（1）根据平行四边形的判定方法进行解答即可； （2）设，则根据直角三角形的性质得出，，，列出关于x的方程，求出，得出，即可得出答案； （3）过点作于，延长交于，证明四边形是平行四边形，得出，假设平移过程中可能平分，证明，得出，证明，根据直角三角形的性质得出，说明这与矛盾，假设不成立，即可得出答案． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 全等的和， ，， 四边形是平行四边形. （2）解：由题可得：，，， ，， 由平移的性质可知：， ，， ， 设， 则，， 若，则， ， 解得：， ， 即平移的距离是时，． （3）解：平移过程中不会平分，理由如下： 过点作于，延长交于，如图所示： 由平移的性质可知：， ， ， ∴， 四边形是平行四边形， ， 假设平移过程中可能平分， 则有：， ，， ， ， ，， 由题意可知：， ， ， 这与矛盾， 假设不成立， 综上所述，平移过程中不能平分． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握平移的性质． 1．（24-25八年级下·上海闵行·期末）在四边形中，，对角线交于点O，且．点E、F分别为边上的动点，连结． (1)如图1， ①求证：； ②求证：四边形为平行四边形； ③恰好经过点O，当时，如图2，连接，若，，求的度数． (2)平移，当点E与点A重合时，如图3， 将沿折叠得到，当点恰好落在线段上时，过点D作，交延长线于点G，其中，，，求线段的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析；③ (2)11 【分析】（1）①根据，得出，即可证明． ②由①得，得出，结合，即可证明四边形为平行四边形； ③根据，，得出，根据平行四边形的性质得出，证出是的垂直平分线，即可得，根据等腰三角形的性质得出，根据，，求出，再根据即可求解． （2）根据平行四边形的性质可得，，根据，得出，由折叠知，，即可得出， ，在中，勾股定理求出，在中，求出 ， 即可求解． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴，   ②证明：由①得， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形； ③解：∵，， ∴， 由②得：四边形为平行四边形， ∴， 又∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：∵在中，，， ∴，， ∵， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴． 在中， ，， ∵，即， ∴， ∵在中， ， ∴ ， ∴． 【点睛】该题主要考查了平行四边形的性质和判定，折叠的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，垂直平分线的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 2．（24-25八年级下·上海闵行·期中）如图1，线段是由线段平移得到的．分别连接，．直线于点，延长与相交于点．点是射线上的一个动点，点不与点、点、点重合．连接，．    (1)线段，的关系是_____； (2)如图1，当点P在线段上运动时，，，之间的数量关系是_____； (3)如图2，当点P在线段上运动时，，，之间的数量关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由； (4)如图3，当点P在点D上方运动时，请直接写出，，之间的数量关系：_____． 【答案】(1)； (2)； (3)不会发生变化，证明见解析； (4)． 【分析】（1）由平移的性质可得，，由“对边平行且相等的四边形为平行四边形”可得四边形为平行四边形，进而可得线段，的关系； （2）由平行线的性质可得，由三角形外角性质可得，进而可得，，之间的数量关系； （3）过点作交于点，易得，由平行线的性质可得，，由得到，以此即可求解； （4）由平行线的性质可得，由三角形外角性质可得，进而得到，，之间的数量关系． 【详解】（1）解：线段是由线段平移得到的， ，， 四边形为平行四边形， ，； 故答案为：，； （2）解：如图，设与交于点，    ∵， ， ， ； 故答案为：； （3）解：当点在线段上运动时，，，之间的数量关系不会发生变化，理由如下： 如图，过点作交于点，    ∵， ∴， ，， ， ； （4）解：如图，设交于点，    ∵， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平移的性质、平行四边形的判定与性质、三角形外角性质、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形外角性质是解题关键． 3．（2024·上海闵行·三模）（1）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，已知点，，如何求顶点C的坐标呢?下面是小明和小颖的求解思路：    小明：如图，分别过点B，C向x轴作垂线，垂足为D和E，   在平行四边形中，有，，则 ，又，故（ ），所以，…… 小颖：在平行四边形中，有，且，因为点O水平向右平移3个单位长度得到点，所以点水平向右平移3个单位长度得到点C，于是点C的坐标为 ． 请将填空处的内容依次填在横线上： ， ， ． （2）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，已知点，，求顶点R的坐标．    【答案】（1），，（2） 【分析】本题考查了平行四边形的性质、点坐标的规律、由平移方式确定点的坐标、全等的判定及性质： （1）根据平行四边形的性质得到两直线平行，同位角相等，证得两个三角形全等，得到对应边相等；根据平移的规律可得到点的坐标； （2）方法一是根据证明两个三角形全等得到结果；方法二是根据平移的规律得到结果； 正确理解平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：（1）小明：由平行四边形的性质得到， ∴， 再根据两个三角形的两个角及一条边对应相等可得到两个直角三角形相等， ∴得到的条件是； 小颖：根据平移的方式，点水平向右平移3个单位长度得到点C，横坐标加3， 即； 故答案为：，，； （2）方法1：如图，作轴于点M，过点P作x轴的平行线，过点R作y轴的平行线，两者交于点N， 则，延长交x轴于点S，    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又点，故点R的坐标为， 方法2：在平行四边形中，有， ∵原点O先水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移1个单位长度，得到点， ∴点，经过同样的平移方式可得到点R，则点R的坐标为． 【经典例题五 平行四边形的最值问题】 【例5】（2024·上海闵行·模拟预测）（1）如图，已知△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，求证：DE∥BC，DE=BC． （2）利用第（1）题的结论，解决下列问题： ①如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，求证：EF∥BC，FE=（AD+BC） ②如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝3，点M，N分别在边AB，BC上，点E，F分别为MN，DN的中点，连接EF，求EF长度的最大值．    【答案】（1）见解析；（2）①见解析，②3 【分析】（1）延长DE到点F，使得EF=DE，连接CF，证明四边形BCFD是平行四边形即得； （2）①连接AF，并延长AF交BC延长线于点M，先证明，进而得出，再根据（1）的结论即得； ②连接DM，根据（1）的结论得出EF=DM，进而得出当DM最大时，EF最大，再根据勾股定理求出DM的值，进而得出EF的值． 【详解】（1）如下图，延长DE到点F，使得EF=DE，连接CF，    ∵D、E分别是AB、AC的中点 ∴，AD=BD 在和中 ∴ ∴∠A=∠ECF，AD=CF ∴CF∥AB 又∵AD=BD ∴CF=BD ∴四边形BCFD是平行四边形 ∴DF=BC，DE∥BC ∵EF=DE ∴DE=DF=BC ∴DE∥BC，DE=BC （2）①连接AF，并延长AF交BC延长线于点M    ∵AD∥BC ∴ ∵F分别是CD的中点 ∴DF=FC ∵ ∴ ∴ ∴BM=AD+BC ∵E、F分别是AB、CD的中点 ∴EF∥BC，FE=BM ∴EF∥BC，FE=（AD+BC） ②解：连接DM    ∵点E，F分别为MN，DN的中点 ∴由（1）知EF=DM ∴DM最大时，EF最大 ∵M与B重合时DM最大 ∴DM=DB==6 ∴EF的最大值为3． 【点睛】本题考查了勾股定理、全等三角的性质及判定，解题关键是根据边的中点构造全等三角形转化边． 1．（24-25八年级下·上海杨浦·期末）在四边形中，对角线，交于点O． (1)如图1，若，求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）的条件下，将对角线绕点O顺时针旋转一个角度，分别交，于点E，F（如图2），求证：四边形是平行四边形； (3)如图3，若，过点D作，，连接，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)13 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的判定可得，再根据平行四边形的判定即可得证； （2）先根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据平行四边形的判定即可得证； （3）连接，先证出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得，，从而可得，再利用勾股定理可得，然后根据等量代换可得，根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）证明：由（1）已证：四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形． （3）解：如图，连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 所以的最小值为13． 2．（23-24八年级下·上海崇明·期末）在四边形中，对角线交于点O． (1)如图1，若，求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）的条件下，将对角线绕点O顺时针旋转一个角度，分别交于点（如图2），求证：四边形是平行四边形； (3)如图3，若，求的最小值． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)的最小值是13 【分析】（1）利用内错角相等证得，即可根据一组对边平行且相等得到结论； （2）证明，推出，由此证得结论； （3）过点D作，连接得到四边形是平行四边形，由此得到，利用勾股定理求出，即可得到． 【详解】（1）证明∶， ． 又， 四边形是平行四边形． （2）证明：由（1）可得四边形是平行四边形， ， ． 又， ， 四边形是平行四边形． （3）解∶如图，过点D作，连接 四边形是平行四边形， ． 又， ， ， ． ， 的最小值是13． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各定理并应用解决问题是解题的关键． 3．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）问题探究 (1)如图1，在中，已知，，的平分线交于点G，求的长； 问题解决 (2)某科技公司现有一块形如四边形的研发基地，如图2，已知米，米，，的平分线交于点G．为了响应国家“科教兴国”战略，现需要扩大基地面积．扩建方案如下：点P是射线上一动点，连接，将修建成新能源研发区，为安全起见，要沿一周修建隔离带（宽度忽略不计），为了节省费用，要求隔离带的长度尽可能的短，问隔离带的长度是否存在最小值？若存在，请求出隔离带长度（的周长）的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的长； (2)隔离带的长度存在最小值，最小值为(米)． 【分析】（1）过A作于H，求出 求出，即可求出答案； （2）如图，作D关于的对称点E，连接交于点，则，连接，交直线于P，过D作于Z，则此时的值最小，且等于长，即的周长最小，求出，即可求出的值，则可求出的周长． 本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，轴对称等知识点的应用，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：过A作于H，如图： 平分 ∵四边形是平行四边形， 在中， 由勾股定理得： ； （2）解：如图，作D关于的对称点E，连接交于点，则，连接，交直线于P，过D作于Z，则此时的值最小，且等于长，即的周长最小， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴ 又∵， 在中， ∴ ∴的周长(米)， ∴隔离带的长度存在最小值，最小值为(米)． 【经典例题六 平行四边形的动点问题 】 【例6】（24-25八年级下·上海虹口·阶段练习）【模型建立】如图1，在中，点E为边上一动点，连接．设，，的面积分别为，，．写出，，之间的数量关系，并用两种不同的方法证明； 【模型应用】 如图2，在中，，，，点E为边上的一动点，连接．过点B作．求的值； 【模型拓展】 如图3，点P为内一点（点P不在上），点E，F，G，H分别为各边的中点．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中），写出的面积，并说明理由．（用含，的代数式表示） 【答案】[模型建立]详见解析 [模型应用] [模型拓展] 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和应用，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键． [模型建立]方法一，利用平行线间的距离相等，结合平行四边形面积公式和三角形的面积公式即可得解；方法二，如图1，过点作交于点，利用平行四边形对角线将平行四边形分为面积相等的两个三角形的性质，进行等量代换即可得解； [模型应用]如图2，过作交的延长线于点，连，由[模型建立]的结论可得出，再利用三角形面积公式即可得解； [模型拓展]如图3中，连接，利用前面的结论进行恒等变形即可得解． 【详解】[模型建立] 解：方法一，设平行四边形的高为（与之间的距离）， ∵平行四边形， ∴， ∴以为底，高就是平行四边形的高， ∴根据三角形面积公式可得， 同理可得，， ∵， ∴； 方法二，如图1，过点作交于点， ∵， ， ∴四边形和四边形都为平行四边形， ∴，， ∵， ∴； [模型应用] 解：如图2，过作交的延长线于点，连， ∵， ∴， ∵， ∴根据勾股定理得，， ∵， ∴， 由得， ∴， ∵， ∴， ∴； [模型拓展] 如图3中，连接， 在中，点是的中点， 可设， 同理，， ， ， ， ∵， ∴． 1．（2025·上海徐汇·一模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对称中心是原点O，点A，D的坐标分别为，，动点P在边上，过点P的反比例函数的图象交边于点Q，连接． (1)求点B的坐标； (2)当点P是边的中点时，求对应的反比例函数的表达式； (3)直接写出图中阴影部分的面积之和． 【答案】(1)点的坐标 (2) (3) 【分析】本题考查了中心对称图形的性质、待定系数法求反比例函数解析式，求得平行四边形的顶点的坐标是解此题的关键． （1）根据中心对称的性质即可得出点的坐标； （2）先求出点，再利用待定系数法求解即可； （3）由图形可得阴影部分的面积为平行四边形的面积的一半，求出平行四边形的面积即可． 【详解】（1）解：的对称中心是原点，点的坐标为， 点的坐标； （2）解：∵，点P是边的中点， ∴， ∵点P在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数为； （3）解：∵，， ∴， ∴，与之间的距离为6， ∴由图结合中心对称图形的性质可得：． 2．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点，分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明． 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）四边形为平行四边形，理由见解析 【分析】本题是四边形的综合题，考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定、旋转的性质及等边三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）证明，得到； （2）证明，得出四边形为平行四边形． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ，， 绕点逆时针旋转得到， ，， ， ，， ， ； （2）解：四边形为平行四边形，理由如下， ，， ， 绕点逆时针旋转得到， ，，， ，则， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 则四边形为平行四边形； 3．（24-25八年级下·上海宝山·期末）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题．如图，在中，点分别为上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图①，当为等边三角形时，甲同学发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，则．你认为甲同学的想法正确吗？请说明理由； 【类比探究】（2）乙同学尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图②，在中，，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）陈老师提出新的探究方向：如图③，在中，，，连接，请直接写出的最小值． 【答案】[初步尝试]（1）正确，理由见解析； [类比探究]（2）四边形为平行四边形，理由见解析； [拓展延伸]（3） 【分析】[初步尝试]（1）根据等边三角形的性质，旋转的性质可证，即可求解； [类比探究]（2）根据旋转的性质可得，得到，由（1）的证明方法得到，则，根据垂直的定义可得，得到，根据平行四边形的判定即可求解； [拓展延伸]（3）如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，可得四边形是平行四边形，可证，得到，则，当点三点共线时，，此时的值最小，根据题意可得，由勾股定理可得，则，在中，由勾股定理可得，由此即可求解． 【详解】解：[初步尝试]（1）正确，理由如下， ∵是等边三角形， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； [类比探究]（2）四边形为平行四边形，理由如下， ∵， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； [拓展延伸]（3）∵， ∴，， 如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，      ， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 当点三点共线时，，此时的值最小， 如图所示，过点作延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理与最短路径的计算，掌握平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【经典例题七 平行四边形的新定义问题】 【例7】（23-24八年级下·上海松江·阶段练习）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做非凡三角形．例如：某三角形三边长分别是和3，因为，所以这个三角形是非凡三角形．    (1)若是非凡三角形，且，则________． (2)如图，在平行四边形中，于点，且是非凡三角形，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据非凡三角形定义及三角形三边关系求出即可； （2）根据四边形是平行四边形，得出，由是非凡三角形，分情况计算的值即可． 【详解】（1）是非凡三角形，， ∴当时， 则， ∴， 当时， 则， ∴， 当时， 则， ∴（显然不符合题意，舍去）， ，， ， ∴符合题意；不符合题意，舍去， 故答案为：； （2）四边形是平行四边形， ，， 又， 垂直平分， ， 是非凡三角形， ∴①当时， 则， （舍负）， ， 在中，， ； ②当时， 则， （舍负）， ， 在中，， ； ③当时， 则， （舍负）， ， 在中，， ； 综上所述，AC的值为或． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，垂直平分线的判定与性质，勾股定理的应用等相关知识，正确理解非凡三角形的定义，学会运用分类讨论思想是解题的关键． 1．（24-25八年级下·上海静安·期末）【问题情境】我们定义：如图a，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，的边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”． 【特例感知】 （1）在图2和图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为______； ②如图3，当，时，则长为______． 【猜想论证】 （2）如图1，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 【答案】（1）①；②8；（2）结论：，详见解析 【分析】（1）①根据含30度的直角三角形的性质解答；②证明，根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质计算； （2）证明四边形是平行四边形，得到，根据全等三角形的性质得到，得到答案． 【详解】解：（1）①∵是等边三角形， ∴， ∵是的“旋补三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵是的“旋补三角形”， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∵，是的“旋补中线”， ∴， 故答案为：8； （2）猜想． 证明：如图，延长至点E使得，连接， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、理解“旋补三角形”的定义是解题的关键． 2．（23-24八年级下·上海宝山·期中）综合与实践 折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，这样的长方形称为完美长方形． (1)操作发现： 如图1，将纸片按所示折叠成完美长方形，若的面积为12，，则此完美长方形的边长 ，面积为 ． (2)类比探究： 如图2，将纸片按所示折叠成完美长方形，若的面积为20，，求完美长方形的周长． (3)拓展延伸： 如图3，将纸片按所示折叠成完美长方形，若，则此完美长方形的周长为 ，面积为 ． 【答案】(1)3，6 (2)13 (3)42，108 【分析】（1）由折叠可知点H是中点，，过点A作于M，根据三角形面积求的长，由，点H是中点可知是中位线，得到 进而求完美长方形面积； （2）根据折叠可知，，从而可得 ，根据平行四边形面积可求得的长为4进而可求周长； （3）由折叠可证点E，G分别是中点，进一步可证四边形是平行四边形，所以，即长方形对角线长为15，设，根据勾股定理得到方程，解出x，从而可得完美长方形的边长和宽，最后求周长面积即可． 【详解】（1）由折叠可知，， ∴，点H是中点 ∵ ∴ 即， 过点A作于M ∵四边形是矩形 ∴，， ∴ ∴H是中点 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴完美长方形的面积为 故答案为：3，6 （2）由折叠可知 同理可知 ∴长方形的面积为         ∴长方形的周长为 （3）由折叠可证点E，G分别是的中点 ∴ 由题意知 ∴ ∴为平行四边形 ∴ 在中，设，则 由勾股定理得 ∴ ∴周长为：    面积为： 故答案为：42，108 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质与判定等知识，熟练掌握其性质是解决此题的关键．   3．（23-24八年级下·上海嘉定·阶段练习）我们曾借助学习“图形的判定”获得的经验与方法对“平行四边形的判定”进行过探究. 【知识回顾】 如图，四边形中，我们用符号语言表示出所有的个边、角、对角线的数量关系： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧． 我们曾任意选择2个作为条件来探索四边形是否为平行四边形. （1）请选择上面①~⑥中的2个，写出一个除了课本上“平行四边形的定义及3条判定定理”外可以判定四边形为平行四边形的方法： （填序号），并用文字语言表述为 【数学思考】 若将①②组合可以得到新的数量关系⑨：；⑦⑧组合可以得到新的数量关系⑩：.那么它们是否可以再加一个条件来判定平行四边形呢？ （2）若选择④和⑨则可判定四边形是平行四边形. 如图1，在四边形中，，. 求证：四边形是平行四边形. （3）请在①~⑥中选择一个条件和⑩也可判定四边形是平行四边形，并证明. 如图2，在四边形中，、交于点O， （填序号），. 求证：四边形是平行四边形. 【答案】（1）④⑥；一组对角相等，且一组对边平行的四边形是平行四边形；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定以及平行线的性质，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． （1）利用两角分别相等的四边形是平行四边形可证明一组对角相等，且一组对边平行的四边形是平行四边形； （2）延长、并截取，．先证四边形是平行四边形．得，，再证得，，从而即可证明结论成立； （3）法：①，分别在、上截取、．延长、，过点、作、，垂足为点、．证明得，再证，进而证明即可，法：③，分别在、上截取、，先证得．得即可，法：④，方法同③． 【详解】解：（1）解：选择④⑥，一组对角相等，且一组对边平行的四边形是平行四边形． 已知：如图，四边形中，，， 求证：四边形是平行四边形， 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：④⑥；一组对角相等，且一组对边平行的四边形是平行四边形． （2）证明：延长、并截取，． ，即． 四边形是平行四边形． ，． ， ，． ． ． ． ． 四边形是平行四边形． （3）解：选择①或③或④之一 法：①， 分别在、上截取、．延长、，过点、作、，垂足为点、． ，． ，． ， ． ． ， ，即． 即． ． ． 又， ． ． 又， ．即． 又 四边形是平行四边形 法：③， 分别在、上截取、． ，． ，． ， ． ． ， ． ， ，即． 即． ． ． 又， 四边形是平行四边形． 法：④，方法同③ 【经典例题八 平行四边形与一次函数综合】 【例8】（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式． (2)点在轴负半轴上，连接，过点作，交的图像于点，且，连接．求四边形的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2) 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象与性质、求一次函数和反比例函数解析式、平行四边形的判定与性质、坐标与图形，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象与性质、数形结合是解题的关键． （1）把代入求解，得出反比例函数的表达式，求出，把、代入求解，得出一次函数的表达即可； （2）连接，交轴于点，根据一次函数的表达式，求出，得出，根据，，证明四边形是平行四边形，得出，根据点在轴负半轴上，结合图形与坐标，，，得出点的纵坐标，的边上的高，的边上的高，求出点的纵坐标，代入求出，求出点的横坐标，得出，根据求出，根据计算，得出，根据四边形的面积，计算求出面积即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点， ∴把代入得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为， ∴把代入得：， 解得：， ∴， 把、代入得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：如图，连接，交轴于点， ∵一次函数的表达式为， ∴当时，， 解得：， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点在轴负半轴上，由（1）得：，， ∴点的纵坐标，的边上的高，的边上的高， ∴点的纵坐标， ∵点在反比例函数上， ∴当时，， 解得：， ∴， ∴点的横坐标， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 1．（23-24八年级下·上海奉贤·阶段练习）动点P在平行四边形边上沿着的方向匀速移动，到达点D时停止移动．已知P的速度为1个单位长度，其所在位置用点P表示，P到对角线的距离（即垂线段 的长）为d个单位长度，其中d与t的函数图象如图②所示．    (1) ， ， ． (2)若，求出时d与t的函数关系式，并求当时的面积． (3)如图②，点M，N分别在函数第一段和第三段图象上，线段平行于横轴，M、N的横坐标分别为、．设、时点P走过的路程分别为、，若，求、的值． 【答案】(1)，，； (2)， (3)，． 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，动点问题的函数图象，一次函数与几何综合： （）当点运动到点时，，结合图，可知的值；当点运动到点时，得值最长，根据图可知，，根据图可知； （）结合（）当时，点在边上，即，则时对应的点在和之间的函数图象上，用待定系数法求得此段函数解析式，代入点可得，在中，由勾股定理求出，最后利用三角形的面积公式计算即可； （）由题意可得，，根据线段平行于横轴，可得出即，从而可得方程组， 解方程组即可． 【详解】（1）如图，    由题意知：当时，点与点重合时，此时最长为， 即， 当点运动到点时，， ∴， 当点运动到点时，得值最长，根据图可知，， ∵四边形是平行四边形， ∴， 根据图可知， 故答案为：，，； （2）结合（）当时，点在边上，即， ∴ ，则时对应的点在和之间的函数图象上， 设此时函数为， 把，分别代入得： ，解得：， ∴此时函数为， 当时，， 在中，由勾股定理得， ∴， （3）如图，    由题意可得，，，， ∵线段平行于横轴， ∴，即此时的值相同， ∴， 即 ， 联立得：， 解得：， ∴，． 2．（23-24八年级下·上海金山·单元测试）【阅读新知】如图1，在平面直角坐标系中，点、，点C为线段的中点，这线段的中点的坐标为 【应用新知】利用你阅读获得的新知，解答下面的问题： (1)已知点、，则线段的中点坐标为 ． (2)如图2，中，点A，B．C的坐标分别为，利用中点坐标公式求点D的坐标． (3)如图3，点在函数的图象上，点，点C在x轴上，点D在函数的图象上，以A、B、C、D四个点为顶点，且以为一边构成平行四边形，直接写出所有满足条件的D点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，一次函数与几何综合，平行四边形的性质： （1）根据中点坐标公式求解即可； （2）设，根据平行四边形对角线中点坐标相同结合中点坐标公式求解即可； （3）分当为对角线时， 当为对角线时，两种情况根据平行四边形对角线中点坐标相同结合中点坐标公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点、， ∴线段的中点坐标为，即， 故答案为：； （2）解：设， ∵中，点A、B、C的坐标分别为，且平行四边形对角线中点坐标相同， ∴ ∴， ∴点D的坐标为； （3）解；设点C的坐标为，点D的坐标为， 当为对角线时，则，解得， ∴点D的坐标为； 当为对角线时，则，解得， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或． 3．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图1，直线与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数表达式． (2)将线段向右平移m个单位长度，得到对应线段，连接，． ①如图2，当点D恰好落在反比例函数图象上时，过点C作轴于点F，交反比例函数图象于点E，求的值； ②在①的条件下，在坐标平面内是否存在点N，使得以A，D，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，点的坐标为或或 【分析】（1）根据点在直线上，可确定，再将点的坐标代入反比例函数中求出的值即可； （2）①先确定，再根据平移的性质及函数图像上点的坐标特征可得出，继而得到，，即可得出结论；②设，分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴ ， ∴， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∴， ∴反比例函数表达式为； （2）①∵直线与轴交于点， 当时，得， ∴， ∵将线段向右平移个单位长度，得到对应线段，且点恰好落在反比例函数的图像上， 轴， 当时，得：， ∴， ∴， ∴， 当时，得：， ∴，， ∴， ∴； ②在坐标平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 理由： 设， 由①知：，，， 可分以下三种情况： 当且，以为对角线时， 即将线段向右平移个单位再向上平移个单位得到线段，此时可得平行四边形， 此时点的坐标为； 当且，以为对角线时， 即将线段向右平移个单位得到线段，此时可得平行四边形， 此时点的坐标为； 当且，以为对角线时， 即将线段向左平移个单位得到线段，此时可得平行四边形， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数综合题，考查了平移的性质、点坐标平移的规律，函数图像上点的坐标特征，待定系数法确定反比例函数的解析式，平行四边形的判定等知识，运用分类讨论思想是解题的关键． 【经典例题九 矩形的翻折模型】 【例9】（23-24八年级下·上海宝山·期中）如图1，在四边形中，， 点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作于点P，连接交于点Q，连接，设运动时间为t秒． (1)当四边形为平行四边形时，求t的值． (2)如图2，将沿翻折，得，当四边形为正方形时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得，，根据条件证明矩形，即可表示出；然后依据平行四边形性质即可求解； （2）根据正方形性质可得，进而得到，即可求出． 【详解】（1）解：由题意得：，， ， ，， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， 四边形为平行四边形时，， ， 解得：； （2）解：四边形为正方形， ， 沿翻折得到， ， ， ， ， ， ， ， 在中，． 【点睛】本题主要考查了四边形综合题，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，菱形的判定，正方形的性质等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想是解题的关键． 1．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）在矩形纸片中，，． (1)如图①，将矩形纸片折叠，点落在对角线上的点处，则的长为 (2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，①证明：．②求的长 (3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点B落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、（包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1)2 (2)①见解析② (3)的最大值为，最小值为1 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键． （1）在中，由勾股定理得出，由折叠得，从而可求出； （2）由证明，得出，，，因此，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）当折痕所在直线经过点A时，此时最小；当折痕所在直线经过点C时，最大，，由勾股定理得． 【详解】（1）解：∵矩形纸片中，， ∴， 由折叠得，点落在对角线上的点E处， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）解：①证明：由折叠得 在和中， ， ∴， ②设， 由折叠的性质得：，， ∵ ∴， ∴，即， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； （3）解：当折痕所在直线经过点A时，如图所示： 此时最小； 当折痕所在直线经过点C时，如图所示： 此时最大，， 由勾股定理得：， ∴的最大值为，最小值为1． 2．（24-25八年级下·上海静安·期中）综合与实践 【实践操作】 步骤1：准备一张矩形纸片； 步骤2：按如图所示方式操作：将沿翻折，使点A落在对角线上的点M处； 步骤3：按如图所示方式操作：将沿翻折，使点C落在对角线上的点N处．    【实践探索】 (1)用你所学数学知识说明：四边形是平行四边形； (2)当四边形是菱形时，且，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了矩形和菱形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据折叠和矩形的性质以及平行四边形的判定证明即可； （2）根据折叠的性质、菱形的性质和面积解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ，，则， 由折叠性质可得： ，， ， ， 又 ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是矩形， ， ∵四边形是菱形， ，， 由折叠性质可知，， ， 又， 设，则， 由勾股定理得：， 解得：， ， ． 3．（2024·上海宝山·一模）问题呈现：如图①，在一次数学折纸活动中，有一张矩形纸片，点在上，点在上，小华同学将这张矩形纸片沿翻折得到四边形，交于点，小华认为是等腰三角形，你认为小华的判断正确吗？请说明理由． 问题拓展：如图②，在“问题呈现”的条件下，当点的对应点落在上时，已知，，，写出、、满足的数量关系，并证明你的结论． 问题应用：如图③，在 中，，将 沿对角线翻折得到，交于点若点为的中点，则的面积为 【答案】问题呈现：小华的判断是正确的，理由见解析；问题拓展：，证明见解析；问题应用： 【分析】 问题呈现：根据矩形性质可知由折叠，得，进而得到所以是等腰三角形． 问题拓展：由矩形性质可知，由折叠，得，，，，由问题呈现，得在中，利用勾股定理得到； 问题应用：先证明与全等，得到，，过点作于，则，在中，由勾股定理求出，从而求出，最后求的面积． 此题属于四边形的综合题．考查了矩形的性质、平行四边形的判定以及折叠的性质．注意掌握折叠前后图形的对应关系是解此题的关键． 【详解】 解：问题呈现：小华的判断是正确的． 在矩形中，， ． 由折叠，得， ． ． 是等腰三角形． 问题拓展：． 在矩形中，， 由折叠，得，，，， 由问题呈现，得 在中，， ； 问题应用： 四边形为平行四边形，，， ，，， 由折叠性质可知， ，，， ，， 点为的中点， ， ， ． ， 如图，过点作于， 则， 在中，， ， ． 故答案为：． 【经典例题十 菱形的翻折模型】 【例10】（23-24八年级下·上海嘉定·阶段练习）（1）【问题呈现】在数学活动课上，王老师为每位学生提供了几张长方形纸片和平行四边形纸片，王老师问了小明一个问题：如图，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点E、F．求证：四边形是菱形． 请你帮小明写出证明过程． （2）【类比应用】如图2，王老师要求小明将矩形纸片沿直线翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，直线分别交矩形的边、于点E、F，若，求折痕的长． （3）【拓展延伸】如图3，王老师要求小明将平行四边形沿直线翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，直线分别交平行四边形的边、于点E、F，若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】 （1）由“”可证，可得，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形是平行四边形，即可证平行四边形是菱形； （2）连接，，求解，证明垂直平分，设，则，由勾股定理得：，可得，结合菱形的面积公式可得答案； （3）如图3，过点A作，交延长线于点N，证明，，求解，设，则，再利用勾股定理求解，进一步可得答案． 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）如图2，连接，， ∵，， ∴， ∵将矩形沿直线翻折，使点C的对称点与点A重合， ∴垂直平分， 由（1）得：四边形是菱形， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图3，过点A作，交延长线于点N， ∵将平行四边形沿直线翻折，使点C的对称点与点A重合， 则由（1）可知：四边形是菱形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键． 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图①，菱形纸片，．对其进行如下操作： 把翻折，使点A与点D重合，折痕为；把翻折，使点C与点D重合，折痕为（如图），连接，．设两条折痕的延长线交于点O．    (1)请在图②中将图形补充完整，并求的度数； (2)四边形是菱形吗？请说明理由． 【答案】(1)画图见解析， (2)是，理由见解析 【分析】本题考查了翻折变换，菱形的判定和性质，三角形全等的判定与性质，灵活运用折叠的性质是本题的关键． （1）由菱形的性质可得，，，由折叠的性质可得，，，，，，由四边形的内角和定理可求解； （2）由题意可证，可证四边形是平行四边形，由“”可证，可得，即可证四边形是菱形． 【详解】（1）解：如图，延长，交于点，   四边形是菱形，， ，，， 把翻折，使得点与点重合，折痕为；把翻折，使得点与点重合，折痕为， ，，，，，， ， ； （2）证明：，， ，且，， ， 四边形是平行四边形， ，，， ，且，， ， ， 四边形是菱形． 2．（23-24八年级下·上海金山·期末）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第117页的部分内容． 例5：如图，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F. 求证：四边形AFCE是菱形. 结合图①，写出完整的证明过程 【应用】如图②，直线EF分别交矩形ABCD的边AD，BC于点E，F，将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为G，若AB=4，BC=5，则EF的长为 ． 【拓展】如图③，直线EF分别交平行四边形ABCD的边AD，BC于点E，F，将平行四边形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为G，若AB=，BC=6，∠C=45°，则五边形ABFEG的周长为 ． 【答案】【教材呈现】见解析；【应用】 ；【拓展】 【分析】（教材呈现）由“ASA”可证△AOE≌△COF，可得OE＝OF，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形AFCE是平行四边形，即可证平行四边形AFCE是菱形； （应用）过点F作FH⊥AD于H，由折叠的性质可得AF＝CF，∠AFE＝∠EFC，由勾股定理可求BF、EF的长， （拓展）过点A作AN⊥BC，交CB的延长线于N，过点F作FM⊥AD于M，由等腰直角三角形的性质可求AN＝BN＝3，由勾股定理可求AE＝AF，再利用勾股定理可求EF的长，再求出五边形ABFEG的周长． 【详解】解：（教材呈现）∵四边形ABCD是矩形， ∴AECF， ∴∠EAO＝∠FCO， ∵EF垂直平分AC， ∴AO＝CO，∠AOE＝∠COF＝90°， ∴△AOE≌△COF（ASA） ∴OE＝OF， 又∵AO＝CO， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∵EF⊥AC， ∴平行四边形AFCE是菱形； （应用）如图，连接AC、EC 由（教材呈现）可得平行四边形AFCE是菱形， ∴AF＝CF，∠AFE＝∠EFC， ∵AF2＝BF2＋AB2， ∴（5−BF）2＝BF2＋16， ∴BF＝， ∴AF＝CF＝， ∵AB⊥BC， ∴△ABC是直角三角形 ∴AC= ∵S四边形AFCE=， ∴ ∴EF＝， 故答案为：． （拓展）如图，过点A作AN⊥BC，交CB的延长线于N，过点F作FM⊥AD于M， ∵四边形ABCD是平行四边形，∠C＝45°， ∴∠ABC＝135°， ∴∠ABN＝45°， ∵AN⊥BC， ∴∠ABN＝∠BAN＝45°， ∴△ANB是等腰直角三角形 ∵AN2+BN2=AB2，AN＝BN ∴AN＝BN＝3，NC=6+3=9 ∵将▱ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合， ∴AF＝CF，∠AFE＝∠EFC， ∵ADBC， ∴∠AEF＝∠EFC＝∠AFE， ∴AE＝AF， ∵AF2＝AN2＋NF2， ∴AF2＝9＋（9−AF）2， ∴AF＝5， ∴AE＝AF＝5， ∵ANMF，ADBC， ∴四边形ANFM是平行四边形， ∵AN⊥BC， ∴四边形ANFM是矩形， ∴AN＝MF＝3， ∴AM＝=4， ∴ME＝AE−AM＝1， ∴EF＝=， ∵BF=NF-BN=9-AF-BN=1，DE=GE=AD-AE=1 ∴五边形ABFEG的周长为AB+BF+EF+GE+AG=AB+BF+EF+CD+DE=+1+++1= 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，菱形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键． 3．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）综合与实践 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，折纸过程中蕴含着丰富的数学知识．数学活动课上，老师让同学们翻折正方形纸片进行探究活动．同学们经过动手操作，发展了空间观念，并积累了数学活动经验． 【问题背景】： 如图，在边上任意选取一点，以为折痕，折叠纸片，使点的对应点落在正方形内部． 【问题探究】： 探究一： 根据以上操作，如图，若点为折痕的中点，连接，得到四边形，你知道当满足什么数量关系时，才能使得四边形为菱形？为什么？ 探究二： 如图，延长，交边于点，连接， ①的度数大小会随着点的位置变化而发生改变吗? 请说明理由． ②已知正方形纸片的边长为10，当时，请计算的长． 【答案】探究一：当时,四边形为菱形，理由见解析；探究二：的度数大小不会随着点的位置变化而发生改变，理由见解析，长为 【分析】探究一：当时,四边形为菱形，利用正方形和轴对称的性质得出，再由勾股定理和直角三角形的性质得出，然后利用菱形的判定即可得解； 探究一：①延长交边于点，由得出，由翻折得出，然后即可得出，进而即可得解；②由得出，设，然后由勾股定理得出，进而即可得解． 【详解】探究一： 当时,四边形为菱形，            理由如下： ， ， ∵翻折， ， ，                        ， ， ∴， ∴ ， ， ∴四边形为菱形；         探究二： ①的度数大小不会随着点的位置变化而发生改变，         理由如下： 延长交边于点， ， ∴在和中， ， ， ∵翻折， ∴， ∴， 的度数大小不会随着点的位置变化而发生改变.          ②正方形纸片的边长为， ， ， ， 设 ， ， ， ， ，               解得，                   ∴长为． 【点晴】本题主要考查了正方形的性质、直角三角形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理及动点问题的探究与解答等知识与方法，解题的关键是把折叠问题抽象为轴对称问题，以便于用轴对称的性质解决问题． 【经典例题十一 正方形的翻折模型】 【例11】（23-24八年级下·上海徐汇·期中）在矩形中， AB=10，BC=6，为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点落在点处． (1)若为边上一点． ①如图1，当点落在边上时，直接写出此时　　； ②如图2，连接，若， 则与有何数量关系？请说明理由； (2)如果点在的延长线上，当为直角三角形时，求的长． 【答案】(1)①2；②BC＝2BP，见解析 (2)BP＝10或30 【分析】（1）①利用勾股定理求出DE的长即可；②根据平行线的性质和翻折的性质可证EP=CP，BP=PE，从而BP=PC，进而得BC＝2BP； （2）由△PEC是直角三角形，∠EPC=90°时，这时四边形ABPE是正方形，得PB=AB=10；当∠ECP=90°时，设BP=x，则PC=x-6，在Rt△ECP中，利用勾股定理列方程即可求解，当∠PEC=90°时，点P在线段BC上，不符合题意，舍去． 【详解】（1）解：①如图：点E为折叠后的点B的对应点 ∵AE=AB=10，AD=6，∠D=90°， ∴， ∴CE=DC-DE=10-8=2； 故答案为：2； ②BC＝2BP，理由如下： ∵将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置， ∴∠APB＝∠APE，PE＝BP， ∵CEAP， ∴∠CEP＝∠APE，∠ECP＝∠APB， ∴∠PEC＝∠ECP， ∴EP＝CP， ∴BP＝BC， ∴BC＝2BP； （2）∵△PEC是直角三角形 当∠EPC＝90°时， ∵∠EPC＝∠AEP＝∠B＝90°，且EP＝BP， ∴四边形ABPE是正方形， ∴PB＝AB＝10； 当∠ECP＝90°时， 则∠ECP=∠B=90°， ∴， ∵， ∴点E、D、C三点共线， 由翻折知AE＝AB＝10，根据勾股定理得DE＝8， ∴EC＝18， 设BP＝x，则PC＝x﹣6， 在Rt△ECP中，由勾股定理得： 182+（x﹣6）2＝x2， 解得x＝30， ∴PB＝30； 当∠PEC＝90°时，点P在线段BC上， 不符合题意，舍去， 综上：BP＝10或30． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质、正方形的判定、翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 1．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N． （1）求证AE＝MN； （2）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数； （3）如图3，若该正方形ABCD边长为10，将正方形沿着直线MN翻折，使得BC的对应边B′C′恰好经过点A，过点A作AG⊥MN，垂足分别为G，若AG＝6，请直接写出AC′的长________． 【答案】（1）见解析；（2）∠AEF＝45°；（3）10﹣2 【分析】（1）过点B作BF∥MN交CD于点F，则四边形MBFN为平行四边形，得出MN＝BF，BF⊥AE，由ASA证得△ABE≌△BCF，得出AE＝BF，即可得出结论； （2）连接AQ，过点Q作HI∥AB，分别交AD、BC于点H、I，则四边形ABIH为矩形，得出HI⊥AD，HI⊥BC，HI＝AB＝AD，证△DHQ是等腰直角三角形，得HD＝HQ，AH＝QI，由HL证得Rt△AHQ≌Rt△QIE，得∠AQH＝∠QEI，证∠AQE＝90°，得△AQE是等腰直角三角形，即可得出结果； （3）延长AG交BC于E，则EG＝AG＝6，得AE＝12，由勾股定理得BE＝＝2，则CE＝BC﹣BE＝10﹣2，由折叠的性质即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABE＝∠BCD＝90°，AB＝BC，AB∥CD， 过点B作BF∥MN交CD于点F，如图1所示： ∴四边形MBFN为平行四边形， ∴MN＝BF，BF⊥AE， ∴∠ABF+∠BAE＝90°， ∵∠ABF+∠CBF＝90°， ∴∠BAE＝∠CBF， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴AE＝BF， ∴AE＝MN； （2）解：连接AQ，过点Q作HI∥AB，分别交AD、BC于点H、I，如图2所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴四边形ABIH为矩形， ∴HI⊥AD，HI⊥BC，HI＝AB＝AD， ∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴∠BDA＝45°， ∴△DHQ是等腰直角三角形， ∴HD＝HQ，AH＝QI， ∵MN是AE的垂直平分线， ∴AQ＝QE， 在Rt△AHQ和Rt△QIE中， ， ∴Rt△AHQ≌Rt△QIE（HL）， ∴∠AQH＝∠QEI， ∴∠AQH+∠EQI＝90°， ∴∠AQE＝90°， ∴△AQE是等腰直角三角形， ∴∠EAQ＝∠AEQ＝45°，即∠AEF＝45°； （3）解：延长AG交BC于E，如图3所示： 则EG＝AG＝6， ∴AE＝12， 在Rt△ABE中，， ∴CE＝BC﹣BE＝10﹣2， 由折叠的性质得：AC'＝CE＝10﹣2， 故答案为：10﹣2． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、折叠的性质、垂直平分线的性质、勾股定理、平行线的性质等知识；熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是解题的关键． 2．（23-24八年级·上海奉贤·单元测试）探究问题： (1)方法感悟： 如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠BAF＝45°，连接EF，求证DE＋BF＝EF．感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴  ∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，因此，点G，B，F在同一条直线上． ∵  ∠EAF＝45°∴  ∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°． ∵  ∠1＝∠2，∠1＋∠3＝45°． 即∠GAF＝∠________． 又AG＝AE，AF＝AE ∴  △GAF≌△________． ∴  _________＝EF，故DE＋BF＝EF． (2)方法迁移： 如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF＝∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)EAF、△EAF、GF；(2)DE＋BF＝EF. 【分析】（1）利用角之间的等量代换得出∠GAF=∠FAE，再利用SAS得出△GAF≌△EAF，得出答案； （2）将△ADE顺时针旋转90°得到△ABG，再证明△AGF≌△AEF，即可得出答案； 【详解】解：（1）如图①所示； 根据等量代换得出∠GAF=∠FAE， 利用SAS得出△GAF≌△EAF， ∴GF=EF， 故答案为FAE；△EAF；GF； (2)DE＋BF＝EF，理由如下： 假设∠BAD的度数为m，将△ADE绕点A顺时针旋转，m°得到△ABG，如图，此时AB与AD重合，由旋转可得：     AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，     ∴  ∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，     因此，点G，B，F在同一条直线上．     ∵  ，     ∴  ． ∵  ∠1＝∠2， ∴ ∠1＋∠3＝．     即∠GAF＝∠EAF． ∵在△AGF和△AEF中， ， ∴  △GAF≌△EAF（SAS）．     ∴  GF＝EF． 又∵ GF＝BG＋BF＝DE＋BF， ∴  DE＋BF＝EF． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、以及折叠的性质和旋转变换性质等知识，证得△GAF≌△EAF是解题的关键． 3．（23-24八年级下·上海宝山·期末）问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题： 如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）直接判断： （填“”或“” ； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 问题探究： （2）如图2，在正方形中，点、、分别在边、和上，且，垂足为．那么与相等吗？证明你的结论； 问题拓展： （3）如图3，点在边上，且，垂足为，当在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处． ①四边形是正方形吗？请说明理由； ②若，点在上，，直接写出的最小值为 　　． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）①是，理由见解析；② 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）过点作，证明，由此可得； （3）①如图3，连接，证明，所以，；由折叠可知，，，由四边形内角和和平角的定义可得，所以，则，所以四边形是菱形，再由“有一个角是直角的菱形是正方形”可得结论； ②作交的延长线于点，作于点，可证明，由此可得；易证是等腰直角三角形，所以，则，可得，则；作关于的对称点，则，可得，求出的值即可得出结论． 【详解】解：（1）， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：； （2），理由如下： 如图2，过点作，交于点，交于点， ， ， 四边形是正方形， ，，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）①如图3，连接， 由（2）的结论可知，， 四边形是正方形，是正方形的对角线， ，， ， ， ，， 由折叠可知，，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， 菱形是正方形； ②如图4，作交的延长线于点，作于点， ， 由上知四边形是正方形， ，，， ， ， ， ，； ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ； 如图4，作关于的对称点，则，过点作交延长线于点， 则是等腰直角三角形， ，即当，，三点共线时，最小，最小值为的长． ， ， ， ， ， ， ，即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角 形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 【经典例题十二 平行四边形综合】 【例12】（23-24八年级下·上海静安·期中）已知正方形，为对角线上一点．                                      【建立模型】 (1)如图1，连接，．求证：； 【模型应用】 (2)如图2，是延长线上一点，，交于点．求证：是等腰三角形； 【模型迁移】 (3)如图3，是延长线上一点，，交于点，，．求的值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3) 【分析】（1）利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； （2）利用正方形的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到，再利用平行线的性质和等量代换的性质解答即可； （3）利用等腰直角三角形的性质得到，由（1）（2）知，和，则，再把代入计算即可． 【详解】（1）证明：是正方形的对角线， ，， ， ， ； （2）证明：四边形是正方形， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （3）解：， ， 在中，， ， 由（1）知，， 由（2）知，， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 1．（2024·上海闵行·模拟预测）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，M，N分别在边上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接．用等式写出线段的数量关系，并说明理由； (2)【类比探究】小启改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形的边的延长线上，，连接，用等式写出线段的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】李老师提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点N，M分别在边上，，用等式写出线段的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)；理由见解析 (2)；理由见解析 (3)；理由见解析 【分析】（1）由旋转的性质和正方形的性质，先证E，B，C三线共线．再证，进而证明，推出，可得． （2）在上取，连接．依次证明，，可得． （3）将绕点A逆时针旋转得，先证E，D，C三点共线，由（1）同理可得，进而可得． 【详解】（1）解：．理由如下： 由旋转的性质，可知，，，， ∴， ∴E，B，C三线共线． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）解：．理由如下： 如图，在上取，连接． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）解：．理由如下： 如图，将绕点A逆时针旋转得， ∴． ∵， ∴， ∴E，D，C三点共线． 由（1）同理可得， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用“半角模型”，正确作出辅助线是解题的关键． 2．（23-24八年级下·上海奉贤·阶段练习）“一线三直角”是解决数学几何问题常用的一种模型，通过证明三角形全等从而解决和相关问题． （一）模型探究： 如图1，，，点E在上，，且． 求证：． （二）拓展提升： 如图2，已知，分别以，为边向外作正方形和．过点A作于点M，反向延长，交于点N． 求证：． （三）实践应用： 如图3是某公园的平面示意图，三个正方形湖泊，面积分别是，和，三个湖泊内侧水面围出一个三角形小岛，三个湖的外侧，每两个湖之间的三角形地带是草坪．求整个公园的面积．    【答案】（一）见解析；（二）见解析；（三） 【分析】（一）根据证明即可； （二）过点作于点H，于点P，证明，得出，同理，得出，证明，证明，即可证明结论； （三）过点A作于点J，反向延长，交于点K，过点作于点H，于点P，根据全等三角形的性质证明，设，，则，根据勾股定理得出，求出，得出，求出，得出，即，最后求出结果即可． 【详解】解：（一）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （二）过点作于点H，于点P，如图所示：    ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （三）过点A作于点J，反向延长，交于点K，过点作于点H，于点P，如图所示：    根据解析（二）可知，，，， ∴ ， 即， 同理，， ∴， ∵三个正方形湖泊，面积分别是，和， ∴，，， 设，，则， 根据勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴整个公园的面积为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 3．（24-25八年级下·上海青浦·期中）李明酷爱数学，勤于思考，善于反思．在学习八年级下册数学知识之后，他发现“二次根式、勾股定理、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联，并且为解决“饮马位置”“最短路径长”等问题，提供了具体的数学方法．于是他撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助李明完成相关问题． “将军饮马”问题的探究与拓展 八年级三班　李明 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？ 【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，使的值最小． 【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 （1）问题1．如图2，经测量得A，B两点到河边l的距离分别为米，米，且米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长． （2）问题2．如图3，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． （3）问题3．如图4，在平面直角坐标系中，点，点．请在x轴上确定一点P，使的值最小，并求出的最小值． 【模型迁移】 （4）问题4．如图5，菱形中，对角线相交于点．点P和点E分别为上的动点，求的最小值． 【答案】（1）米；（2）；（3）见解析，；（4）的最小值为 【分析】（1）问题1．作点A关于直线l的对称点，连接，根据勾股定理计算即可； （2）问题2．由于点B与D关于对称，所以连接，与的交点即为P点．此时最小，而是直角的斜边，利用勾股定理即可得出结果； （3）问题3．作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，利用对称的性质得到，则，于是利用两点之间线段最短可判断P点满足条件；先写出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后求得P点坐标；利用两点间的距离公式求出即可； （4）问题4．过A作，交于P，连接，利用菱形的性质和勾股定理的知识解答即可． 【详解】解：（1）问题1：作点A关于直线l的对称点，连接，过点作并交于点M， ∴米， 在中，米，米， （米）， ∴“将军饮马”问题中的最短路径长为1500米； （2）问题2：如图，连接， 设与交于点P， ∵四边形是正方形， ∴点B与D关于对称， ∴， ∴最小． 即P在与的交点上时，最小，为的长度． ∵中，，，， ∴． 故答案为：． （3）问题3．如图，作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，P点即为所求： 利用对称的性质得到，则，的值最小； A点关于x轴对称的点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 当时，，解得， ∴P点坐标为； 的最小值； （4）问题4．过A作，交于P，连接， 此时线段最小，且， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 设，则，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，即， ∴， ∴线段的最小值是． 【点睛】本题考查了轴对称-最短问题，垂线段最短，等腰三角形的性质，菱形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，要灵活运用对称性解决此类问题．找出P点位置是解题的关键． 1．（2025·上海虹口·三模）如图，在中，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，且，则的边上的高是（   ） A． B． C．5 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，菱形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，连接，，设的边上的高为h，与于点O，先证明，得出，则可证明四边形是菱形，得出，，，根据勾股定理求出，然后根据等面积法求解即可． 【详解】解：连接，，设的边上的高为h，与于点O， ∵折叠，使点C与点A重合， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 即的边上的高是， 故选：A． 2．（2025·上海长宁·一模）如图，四边形是菱形，对角线、交于点，于点，是线段的中点，连接．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题重点考查菱形的性质、勾股定理，由菱形的性质得， 则， 因为F是线段AD的中点，求出长，然后根据求出长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线、交于点， ∴， ∴， ∵是线段的中点，， ， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ， 故选： D． 3．（24-25八年级下·上海青浦·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点的运动时间为（单位：），下列结论正确的是（    ） A．当时，四边形为平行四边形 B．当时，四边形为菱形 C．当时，四边形为矩形 D．当时，四边形为正方形 【答案】B 【分析】当时，四边形为平行四边形，列方程求出t的值，可判断A；当时，四边形为平行四边形，再根据求t的值，可判断B；根据当时，四边形为矩形，列方程求出t的值，可判断C；当时，四边形为矩形，再根据列方程求出t的值，可判断D． 【详解】解：A． ∵， ∴当时，四边形为平行四边形， ∴， ∴，故A不符合题意； B． 由A知，当时，四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形． 作于点H，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故B符合题意； C．∵，， ∴当时，四边形为矩形， ∴， ∴，故C不符合题意； D． ∵当时，四边形为矩形， ∴当时，四边形为正方形， ∴，故不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，正方形的判定，熟练掌握判定方法是解答本题的关键． 4．（24-25八年级下·上海崇明·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形是菱形，点A坐标为，点B坐标为，直线交y轴于点D，边交y轴于点E，连接，动点P从点C出发，沿折线方向以2个单位/秒的速度向终点A匀速运动，设的面积为，点P的运动时间为t秒，则当P在上运动时，S与t之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形，菱形的性质，求一次函数的解析式等知识，根据菱形的性质一次函数的性质得出，再根据求得D到直线的距离为h，最后利用三角形的面积公式求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，点A坐标为，点B坐标为， ∴，． 设直线的解析式， 得， 解得：， ∴直线的解析式：， 设D到直线的距离为h， 当时， ， 即，， 由 得：， 即， 解得， 当P在上运动时，，． ∴． 故选：C． 5．（24-25八年级下·上海杨浦·阶段练习）如图在正方形中，点是对角线，交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点．有下列结论： ①； ②； ③； ④四边形的面积为正方形面积的； ⑤．其中正确的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据正方形的性质得到，，，，利用全等三角形判定推出，可判断①；由全等三角形的性质可得，，可判断②；由和得出，可判断③；由得到，可判断④；利用勾股定理可判断⑤，即可得出结论． 【详解】解：正方形， ，，，， ， ， ，即， ，故①正确； ， ，， ，即，故②正确； ，， 是等腰直角三角形， ， 若需证，则需证，而题目条件无法证明，故③不正确； ， ， ， 正方形， ， 四边形的面积为正方形面积的，故④正确； ， ，故⑤正确； 综上所述，其中正确的有①②④⑤，正确的个数是4． 故选：C． 6．（24-25八年级下·上海静安·期中）菱形的两条对角线的长分别为6和8，点M、N分别是边的中点，点P是对角线上的一个动点，菱形的边长是 ；则的最小值是 ．   【答案】 5 5 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，菱形的对角线互相垂直平分，则可得到的长，再利用勾股定理求出的长即可得到菱形的边长；取中点E，连接，可证明，得到，则当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，证明四边形是平行四边形，可求出的长，据此可得答案． 【详解】解；如图所示，连接交于O， ∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，即， ∴，， ∴， ∴菱形的边长为5； 如图所示，取中点E，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵点E和点M分别为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵点N为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的最小值为5． 故答案为：5；5． 7．（24-25八年级下·上海嘉定·阶段练习）如图，点D，F把线段分成三条线段，分别以这三条线段为一条对角线作菱形，菱形，菱形，连结组成四边形．若菱形的边长为，，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理，解题关键是运用菱形的对角线互相垂直且平分是解题的关键． 连接、、，分别交于点、、，设，，求出，，，运用勾股定理求得，，即可得解． 【详解】解：连接、、，分别交于点、、，如图所示， ，， ， 设，， 即， 四边形、、都是菱形， ，，， ，， ，， 菱形的边长为，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）如图，在长方形中，，．点Q从点C出发，以的速度沿边向点D运动，到达点D停止；同时点P从点B出发，以的速度沿边向点C运动，到达点C停止．规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为 时，与全等． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 可分两种情况：①得到，，②得到，，然后分别计算出的值，进而得到的值． 【详解】解：设点Q从点C出发，同时点P从点B出发， ①当，时，， ， ， ， ∵点Q从点C出发，以的速度沿边向点D运动， ， 解得：， ， ， 解得：； ②当，时，， ， ， ， ， ， 解得：， 综上所述，当或时，与全等， 故答案为：2或 9．（2025八年级下·上海金山·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、B在x轴的负半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线，边交于点E，F，连接，．若点E为的中点，的面积为2，则k值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的综合应用，设点坐标，根据中点坐标公式表示线段和的长是解决本题的关键．设，根据已知条件表示出点，点坐标，易得，，由的面积为2，得的面积为4，所以，即可求出的值． 【详解】解：设， 是矩形，且点为的中点， 点纵坐标为， 代入反比例函数解析式得， ∴， ， 点横坐标为， 点横坐标为，代入反比例函数解析式，得， ， ， 的面积为2， 的面积为4， ， ， 解得． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，在中，，，分别以的三边为边向外作三个正方形，连接．过点C作的垂线，垂足为J，分别交H于点I，K．若，则四边形的面积是 ． 【答案】320 【分析】本题考查勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．作交的延长线于点M，作于点N，依次证明，，，，设，根据全等三角形的性质表示出相关线段的长度，最后用勾股定理解求出x的值，即可求解． 【详解】解：如图，作交的延长线于点M，作于点N， ，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，； 同理，可证， ，， ， 在和中， ， ， ，； 在和中， ， ， ； 设，则， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， ， ， 四边形的面积， 故答案为：320． 11．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）综合与实践 【模型探索】如图1，在正方形中，点，分别在边，上，若，则与的数量关系为 　　； 【模型应用】如图2，将边长为2的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在点处，折痕交于点，交于点，求折痕的长度； 【迁移应用】如图3，正方形的边长为12，点是上一点，将沿折叠，使点落在点处，连接；并延长交于点．若，求的长度． 【答案】模型探索：，理由见解析；模型应用：；迁移应用： 【分析】本题是相似形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键． [模型探索]根据“”可证，根据全等三角形的性质得出； [模型应用]如图2，连接，过作交于，根据轴对称的性质得到，根据勾股定理得到；由[模型探索]知，根据平行四边形的性质即可得到结论； [迁移应用]根据勾股定理得到，根据轴对称的性质得到于，，由[模型探索]知，，，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：[模型探索]；理由如下： 四边形是正方形， ，， ， ∴， ∵， ∴， ， ， 故答案为：； [模型应用]如图2，过作交于， 将边长为2的正方形折叠，使点落在边的中点处， 点与点关于对称， ， ， 点是边的中点， ， ， 由[模型探索]知， ，， 四边形是平行四边形， ； [迁移应用]四边形是正方形， ， ，， ， 将沿折叠，使点落在点处， 点与点关于对称， 于，， 由[模型探索]知，，， ， ， ， ． 12．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图、图），即“一线三等角”模型和“字”模型． 【问题发现】如图，已知，中，，，一直线过顶点，过，分别作其垂线，垂足分别为，．易证； （1）如图，若改变直线的位置，其余条件与前面相同，请直接写出，，之间的数量关系_________； 【问题提出】 （2）在（）的条件下，若，，则的面积为____________． （3）如图，正方形中，，，求的面积． 【答案】（）；（）；（）的面积为． 【分析】（）根据垂直的定义和余角的性质得到 ，证明，根据全等三角形的性质和线段和差即可求解； （）由（）得，，设，则，求出，，最后用面积公式即可求解； （）过作，交延长线于点，由四边形是正方形得，，根据同角的余角相等得，证明，根据全等三角形的性质得，最后用面积公式即可求解； 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 【详解】解：（）∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， 故答案为：； （）由（）知：，， 设，则， ∴， 解得：， ∴，， ∴的面积为， 故答案为：； （）如图，过作，交延长线于点， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的面积为． 13．（2024·上海松江·模拟预测）数形结合思想可以借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系．    (1)2002年世界数学家大会（ICM2002）在北京召开，这届大会会标（如图1）的中央图案是经过艺术处理的“弦图”（如图2），它由4个全等的直角三角形拼成，请观察“弦图”直接写出满足的等量关系为______． (2)某数学兴趣小组，采用数形结合思想解决了如下问题： 已知线段，点在线段上，，求的最小值． 他们解决问题的思路是：如图3，在线段的同侧构造了两个和，，令，利用勾股定理，得出，从而将问题转化成求“最小值”问题，再利用“将军饮马”模型，就完成了解答．请你写出解答过程； (3)如图4，在中，，点分别为上的动点，且，求的最小值． 【答案】(1)； (2)的最小值为； (3)的最小值为． 【分析】（）根据正方形面积公式求出面积即可； （）延长 到点 ，使，连接 交于点，作，交延长线于点，当三点共线时； （）过点作，并截取，连接，过点作，交的延长线于点，得，从而证明，当三点共线时，； 本题主要考查勾股定理的应用，矩形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练应用数形结合思想是解题的关键． 【详解】（1）由图得，正方形的面积为或， ∴， 故答案为：； （2）延长 到点 ，使，连接 交于点，作，交延长线于点，    ∵，， ∴， ∴（当三点共线时，取“=”号） ∵， ∴四边形是矩形， ∴，； ∴， ∴， ∴最小值为，即最小值为； （3）过点作，并截取，连接，过点作，交的延长线于点，    ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴（当三点共线时，取“=”号） ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 14．（24-25八年级下·上海徐汇·阶段练习）[模型探究]如图①，等腰直角三角形中，，，过点A作于点D，过点B作于点E．若，，求长． [迁移应用]如图②，在平面直角坐标系中直线与x轴、y轴交于A、B两点． （1）的长为______，的长为______． （2）将直线绕点B顺时针旋转得到直线，则直线所对应的函数表达式为______． [拓展延伸]如图③，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，若点C是第二象限内一点，在平面内是否存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为正方形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】[模型探究]7；[迁移应用] （1）2；4；（2）；[拓展延伸] 或或 【分析】[模型探究]证明，可得，即可解答； [迁移应用] （1）分别把当，代入解析式，即可求解； （2）过点A作交直线于点C，过点C作轴于点N，则，由旋转的性质可得是等腰直角三角形，同理[模型探究]得：，从而得到，从而得到点，即可求出直线的解析式； [拓展延伸]分三种情况讨论，即可求解． 【详解】[模型探究] 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； [迁移应用] 解：（1）对于， 当时，，当时，， ∴， ∴； 故答案为：2；4 （2）如图，过点A作交直线于点C，过点C作轴于点N，则， 由旋转的性质得：， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理[模型探究]得：， ∴， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为； [拓展延伸] 解：存在， 对于， 当时，；当时，， ∴点， ∴， ①当四边形是正方形时，分别过点D，C作轴于点E，轴于点N，则， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴点； ②当四边形为正方形时，此时点D的坐标就是①中点C的坐标，即点D的坐标为； ③当四边形为正方形时，如图，过点D作x轴的垂线，垂足为点G，过B作于点H，则， 同理可证， ∴， 设， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点； 综上所述，点D的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 15．（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）【模型建立】（1）如图1，在正方形中，E，F分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点G，使，连接，先证明，再证明．则，，之间的数量关系为____________． 【类比探究】（2）如图2，在四边形中，，与互补，E，F分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【模型应用】（3）如图3，在四边形中，，，E、F分别是边，延长线上的点，且，请探究线段，，具有怎样的数量关系，并证明． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），证明见解析． 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）沿着小明的思路，先证，再证，即可得出结论； （2）延长至点M，使得，连接，先证，再证，即可得出结论； （3）在上截取，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】解：（1）， 理由如下： 沿着小明的思路进行证明， 在正方形中，有，， 即有， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：； （2），理由如下： 延长至点M，使得，连接，如图： ∵与互补， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴，， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3），理由如下： 如下图中，在上截取，使，连接， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$