专题02 因式分解90道计算题专项训练（9大题型）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

第02讲 因式分解90道计算题专项训练（9大题型） 题型一 提公因式进行因式分解 题型二 运用乘法公式进行因式分解 题型三 乘法公式在有理数简算中的应用 题型四 已知因式分解的结果求参数 题型五 十字相乘法 题型六 分组分解法 题型七 因式分解的应用型计算 题型八 利用因式分解求最值 题型九 因式分解的新定义计算 【经典计算题一 提公因式进行因式分解】 1．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 2．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 3．（21-22八年级下·辽宁锦州·期中）因式分解： (1)； (2)； 4．（23-24八年级上·全国·课后作业）用提公因式法将下列各式分解因式： (1)； (2)． 5．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 6．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）因式分解 (1)； (2)． 7．（23-24八年级下·全国·期末）分解因式： (1) (2) 8．（23-24八年级上·全国·单元测试）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．（23-24八年级上·全国·单元测试）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．（24-25八年级上·山东东营·单元测试）用提公因式法分解因式： (1)； (2)． 【经典计算题二 运用乘法公式进行因式分解】11．（24-25八年级上·河南南阳·期末）把下列多项式分解因式 (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（24-25八年级上·河南新乡·期中）因式分解 (1)； (2)＋8＋16． 13．（24-25八年级下·四川乐山·阶段练习）因式分解 (1) (2) (3) (4) 14．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）因式分解： (1)； (2)． 15．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）因式分解 (1) (2) 16．（24-25八年级上·云南昆明·期末）分解因式： (1)； (2)． 17．（24-25八年级下·重庆·开学考试）分解因式 (1) (2) 18．（24-25八年级上·甘肃定西·期末）分解因式： (1) (2) 19．（24-25八年级上·重庆南川·期末）因式分解： (1)； (2)． 20．（24-25八年级上·山东东营·期中）分解因式： (1) (2) 【经典计算题三 乘法公式在有理数简算中的应用】21．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 22．（24-25七年级上·全国·假期作业）简便计算 (1) (2) 23．（23-24八年级上·全国·专题练习）利用乘法公式简便计算． (1) (2) 24．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 25．（23-24八年级上·全国·课后作业）求证：能被7整除． 26．（23-24七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 27．（23-24七年级下·广东深圳·期末）利用乘法公式计算： (1)； (2)． 28．（23-24七年级下·广东清远·期中）用简便方法计算： (1)； (2) 29．（23-24八年级上·全国·课后作业）利用因式分解计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 30．（23-24七年级下·湖南永州·期中）利用因式分解计算： (1) (2) 【经典计算题四 已知因式分解的结果求参数】 31．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知关于，的二次式可分解为两个一次因式的乘积，求的值． 32．（23-24八年级下·辽宁朝阳·期末）仔细阅读下面例题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：，．∴另一个因式为，． 类比上面方法解答： (1)若二次三项式可分解为，则______． (2)若二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及b的值． 33．（23-24八年级下·山东济南·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，则， 即，∴，解得． 故另一个因式为，m的值为-21． 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，则______； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 34．（23-24八年级下·广东茂名·阶段练习）仔细阅读下面例题，并解答问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：．另一个因式为． (1)若二次三项式可分解为，则 ； (2)若二次三项式可分解为，求b，k的值； (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 35．（23-24八年级下·全国·假期作业）仔细阅读下面例题，并解答问题． 例题：已知二次三项式有一个因式是3，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，则，解得另一个因式为的值为． (1)若二次三项式可分解为，则______； (2)若二次三项式可分解为，则______； (3)依照以上方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 36．（23-24八年级下·广东佛山·期中）已知二次三项式可以分解为为常数，求m、n的值． 37．（23-24八年级上·山东济宁·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，则， ，解得：，， 另一个因式为，的值为． 请仿照上述方法解答下面问题： (1)若，则______，______； (2)已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值； (3)已知二次三项式有一个因式是，是正整数，求另一个因式以及的值． 38．（23-24八年级上·山东济南·期末）已知是二元二次式的一个因式，求a，b的值． 39．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）完成下面各题 (1)若二次三项式可分解为，则______； (2)若二次三项式可分解为，则______；______； (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 40．（23-24八年级上·湖南怀化·开学考试）【例题讲解】因式分解：． 为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想可以分解成， 展开等式右边得：， 恒成立． 等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即， 解得， ． 【方法归纳】 设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法． 【学以致用】 (1)若，则________； (2)若有一个因式是，求的值及另一个因式． 【经典计算题五 十字相乘法】 41．（24-25八年级上·江西上饶·期末）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； 42．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如：将式子和分解因式，如图，；． 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)． 43．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 我们发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为（p，q为整数）．因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故有即可将形如的多项式因式分解成（p，q为整数）． 例如：． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式：______． 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是______． 【拓展应用】 （3）分解因式：． 44．（24-25八年级上·山东烟台·期中）《义务教育数学课程标准（23-24年版）》关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力． 因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法—拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式转化为已学过的知识进行分解． 例题：用拆项补项法分解因式 解：添加两项 原式 请你结合自己的思考和理解完成下列各题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 45．（24-25八年级上·福建泉州·期中）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 46．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）你数学老师教你因式分解的场面你一定还记忆犹新吧！现让我们来温故一下因式分解的几种方法并练习！ （1）提取公因式法：提取各单项式中的公因式，提取完后合并单项式分解因式： ； （2）十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数．其实就是运用乘法公式的逆运算来进行因式分解： ①分解因式 ； ②解方程：． （3）拆项添项法：即把多项式中某一项拆成两项或多项，或在多项式中添上两个符合相反的项． ① ； ② ； 除以上方法外因式分解还有双十字相乘法、换元法、因式定理法、待定系数法等． [综合应用]分解因式： ． 47．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0． 利用上述规律，回答下列问题： (1)若是多项式的一个因式，求k的值． (2)若和是多项式的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解． (3)分解因式：． 48．（24-25七年级上·上海宝山·期中）阅读：关于，的二次六项式如果可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，那么可以用一种称为双十字相乘的方法来进行因式分解，具体方法如图所示：先对进行十字相乘分解得，则原式一定可以分解成的形式，然后分别对与进行十字相乘分解，从而确定，，所以． 根据阅读，要求如下： (1)因式分解：； (2)若关于，的多项式可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，求k的值． 49．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 50．（23-24七年级下·全国·单元测试）请你观察下列多项式分解因式的结果与原多项式的关系，然后回答问题： ①； ②； ③； ④． (1)请用一个式子表示你观察到的规律：____________． (2)请用你观察并总结出来的结论把下面各式分解因式： ①； ②． 【经典计算题六 分组分解法】 51．（24-25八年级上·广东湛江·期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将分解因式． 【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法： 原式 【类比】（1）请用分组分解法将分解因式． 【挑战】（2）请用分组分解法将分解因式． 52．（24-25八年级上·河南南阳·期末）常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式： (2)已知的三边长、、满足条件：，判断的形状，并说明理由． 53．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ， 乙： （分成两组） （直接运用公式） 请你在他们的解法的启发下，解答下面各题： (1)因式分解：； (2)已知，求式子的值． 54．（24-25八年级上·山东淄博·期末）观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的因式分解： 甲：        分成两组 ．            各组提公因式因式分解 乙：        分成两组 ．            平方差公式因式分解 请你在他们解法的启发下，因式分解：． 55．（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 56．（2025七年级下·全国·专题练习）分解因式： (1)； (2)； (3)． 57．（24-25七年级上·上海普陀·期末）因式分解： (1)； (2)． 58．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）阅读下列材料：某校数学社团小组的同学在分解因式时，发现可以将这个多项式进行重新分组，先利用完全平方公式，然后再利用平方差公式对这个多项式进行了分解．过程如下： 像这样．将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法． 请你在这种方法的启发下．解决以下问题： (1)分解因式：； (2)已知，，分别是三边的长，且，求的周长． 59．（24-25八年级上·重庆渝北·阶段练习）“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解的过程如下： 甲: （分成两组） （直接运用公式） = 乙 （分成两组） （提公因式） 请在他们解法的启发下，解答下列各题： (1)； (2) 60．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）阅读材料：要把多项式分解因式，可以先把它进行分组再分解因式：，这种分解因式的方法叫做分组分解法． (1)请用上述方法分解因式：； (2)已知，，求式子的值； (3)分解因式：______． 【经典计算题七 因式分解的应用型计算】 61．（2025七年级下·全国·专题练习）【问题发现】小星发现把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式． 例如，由图①，可得到等式：． 【类比探究】（1）如图②，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，通过上面的启发，你能发现什么结论？请用等式表示出来； 【结论应用】（2）①已知，求的值； ②因式分解：_______． 【拓展延伸】（3）类似的，用两种不同的方法计算几何体的体积同样可以得到一个等式．如图③所示的是一个棱长为x的正方体挖去一个底面边长为2的小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图③中两个图形的变化关系，写出一个等式． 62．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）若一个整数能表示成（，是非零整数）的形式，则称这个数为“完美平方数”．例如，5是“完美平方数”，因为，再如（，是非零整数且），所以也是“完美平方数”． (1)请你写一个小于30的“完美平方数”：______ (2)请判断32，33是否是“完美平方数”，并说明理由； (3)已知（是整数，是常数），要使为“完美平方数”，请求出符合条件的一个值． 63．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）综合与实践： 【问题情境】（1）对于一个图形，如图1，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式_____； 【探究实践】 （2）类比图1，写出图2中所表示的数学等式_____； （3）利用（2）中得到的结论，解决问题：若，，求的值； 【拓展应用】 （4）用图3中2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，张边长分别为，的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，直接写出的值． 64．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）阅读理解： 我们已经知道，乘法公式（如平方差公式、完全平方公式）可以用平面图形的面积来表示．    (1)如图1，图中的大正方形由两个小正方形及两个大小相同的小长方形构成，利用大正方形的面积等于其它四个图形的面积之和可以得到一个乘法公式，写出这个公式：________； (2)实际上还有一些等式也可以用这种形式表示，如图2的图形表示的等式是：________； (3)试用画图工具画出一个几何图形，使它能表示等式：，其中． 65．（24-25八年级上·江西赣州·期末）综合与探究 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图1可以得到，基于此，请解答下列问题． 【直接应用】（1）若，，求的值． 【类比应用】（2）若，则 ． 【知识迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板（）按如图2所示的方式放置，其中点A，O，D在同一直线上，点B，O，C也在同一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积． （4）如图3，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为a的大正方形，两块是边长都为b的小正方形，五块是长为a，宽为b的全等小矩形，且．观察图形，分解因式 ． 66．（24-25八年级上·福建泉州·期末）某学校数学项目式学习小组在研究“两数和（差）的平方公式”的应用时，发现这两个公式的用处很大，变式应用也很灵活．请你试着帮他们解决以下问题： 在长方形中，长为，长为，且． (1)若该长方形的周长为，面积为，求的值； (2)若a，b满足，求的值； (3)为美化校园环境，提升校园文化，某学校计划在一块如图所示面积为的长方形空地中划出长方形和长方形，将这两个长方形重叠部分的区域建一个长为，宽为的长方形水池，将图中阴影部分的区域作为花圃，且花圃总周长为，求和的长． 67．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块长是，宽为的相同的小长方形，且． (1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ； (2)若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为，求空白部分的面积． 68．（24-25八年级上·河南商丘·期末）阅读下列材料，并解答相关问题． 【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：因式分解：． 解：原式 【材料2】因式分解：． 解：把看成一个整体，令，则原式，再将代入，得，此题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法． (1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：． (2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：． (3)当分别为的三边，且满足时，判断的形状，并说明理由． 69．（24-25八年级下·四川广元·开学考试）数形结合是一种重要的数学思想．《周髀算经》中记载有“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一”，这表明当时人们已经将几何与代数结合在一起研究，其意义重大、影响深远，例如，对于等式，可由图1进行解释：整个大长方形的长为，宽为a，其面积可用长乘以宽得到，也可用1个小正方形的面积与2个小长方形的面积之和来表示． (1)由图2，你能得到的数学等式为：______； (2)观察图3，解决以下问题：若，，求的值． (3)小灵同学用2张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，7张两边分别为的长方形纸片拼出了一个大长方形，请你直接写出该大长方形的长和宽． 70．（24-25八年级上·河南新乡·期末）分解因式，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生新的公因式，然后提取公因式就可以完成因式分解了，过程如下． ． 上述分解因式的方法叫做分组分解法，请利用这种方法，解答下列问题． (1)分解因式：． (2)分解因式： (3)的三边a，b，c满足，判断的形状，并说明理由． 【经典计算题八 利用因式分解求最值】 71．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）阅读理解并解答：把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解： 解：原式 例2：若利用配方法求M的最小值． 解： ∴当时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的x的值； (3)已知是的三边长，且满足，试判断三角形的形状． 72．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）（1）分解因式： ①_________； ②_________． （2）根据以上两式，试求x、y各取何值时，的值最小？并求此最小值． 73．（24-25八年级上·河南新乡·期中）上数学课时，张老师在讲完因式分解 的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： 当时， 的值最小，最小值是0， 当 时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请根据上述方法，解答下列各题： (1)知识再现：当 时，代数式的最小值是 ； (2)知识运用：若 ，当时， y有最 值 （填“大”或“小”），这个值是 (3)知识拓展：若，求的最小值． 74．（24-25八年级上·江西赣州·期末）阅读理解：我们常常把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题， 例如：， ∵，∴． (1)这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是______． (2)求代数式的最小值，并写出相应的的值． (3)若，试比较、的大小，并说明理由． 75．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）1.阅读理解： （1）为了求代数式的值，我们必须知道x的值． 若，则这个代数式的值为________﹔若，则这个代数式的值为_______；…… 可见，这个代数式的值因x的取值不同而变化，尽管如此，尽管如此；把一个代数式进行变形，可以解决求代数式的最大（或最小）值问题． 例如：例如： ∵ ∴ ∴当时，代数式的最小值是，此时的值为． （2）求代数式的最小值，并写出相应的x的值． （3）代数式的最大值为 ． 76．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）阅读理解并解答： 我们把多项式，叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值的最大（或最小）值问题． (1)例如：①， 是非负数，即，， 则这个代数的最小值是2，这时相应的的值是， ②， 是非负数，即，， 则这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是_______； (2)知识再现：当______时，代数式的最小值是______； (3)知识运用：若，当______时，有最______值（填“大”或“小”），这个值是______； (4)知识拓展：若，求的最小值． 77．（23-24八年级上·云南昆明·期末）小王同学在学校开设的数学课后辅导时，听老师在讲完乘法公式( 的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 的最值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ， ∴ 当 时， 值最小，最小值是0． ∴ 当 时， 的值最小，最小值是1． ∴ 当 时， 的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题： (1)当 时，代数式 有最小值，最小值是 ； (2)若 此时W有 值(填“最大”或“最小”)，即当 时， ； (3)若 则 （用含x的代数式表示） ，请求出 的最值． 78．（23-24八年级下·广东河源·期末）阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，数学研究小组发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．对于形如 的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解成的形式．但对于二次三项式就不能直接用完全平方公式分解了，对此，我们可以添上一项4，使它与 构成一个完全平方式，然后再减去4，这样整个多项式的值不变，即 ．像这样把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法． 同样地，把一个多项式局部分解因式可以解决代数式值的最小(或最大)问题． 例如： ．则这个代数式．的最小值是2，这时相应的x的值是． 请用配方法解答下列问题： (1)用配方法分解因式：； (2)已知，求的值． (3)当x取何值时，有最小值？最小值是多少？ 79．（23-24八年级下·山东济南·期中）先阅读以下材料，然后解答问题： 以上分解因式的方法称为分组分解法． (1)请用分组分解法分解因式： ①    ② (2)拓展延伸 ①若，求x，y的值； ②求当x、y分别为多少时，代数式有最小值，最小的值是多少？ 80．（23-24八年级上·贵州黔东南·阶段练习）阅读材料，解决问题：对形如的整式称为完全平方式，我们可以直接运用公式进行因式分解，例如；而对于这样无法直接运用公式进行因式分解的整式，我们可以先适当变形，再运用公式进行因式分解，例如： (1)若是一个完全平方式，则k的值为______． (2)分解因式：． (3)我们还可以仿照上面的方法解决求整式的最大（或最小）值问题，例如： ． ∵， ∴， 则当时，整式有最小值，其值为． 求当x的值为多少时，整式有最大值或最小值，并求出最大值或最小值． 【经典计算题九 因式分解的新定义计算】 81．（24-25八年级上·山东德州·期末）定义：任意两个数，，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为，的“和积数”． (1)若，，则，的“和积数”_____； (2)若，，求，的“和积数”； (3)已知，且，的“和积数”，若，求的值（用含的式子表示）． 82．（24-25八年级上·福建泉州·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”，例如：，，，因此，，都是“登高数”． (1)特例感知：判断是否为“登高数”，说明理由． (2)规律探究：根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“登高数”都能被整除吗?如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)拓展应用：求不超过的所有“登高数”的和． 83．（24-25八年级上·云南普洱·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式．则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”．理由：因为，所以10是“完美数”；代数式可配方成（，为常数）．也可以求代数式的最大值或最小值，即：，因为，所以，所以最小值为4． (1)解决问题： 下列各数中，“完美数”有______（填序号）． ①29；    ②48；    ③13；    ④28． (2)探究问题： ①已知（，是整数，是常数），猜想当为何值时，为“完美数”，并说明理由． ②已知实数，满足，求的最小值． 84．（23-24八年级上·福建厦门·期末）某数学兴趣小组将如下一些关于a的多项式因式分解后，发现各因式的常数项是两个连续的整数，且与多项式的系数之间存在着某种联系： ．．．．．． 我们定义具有这种规律的多项式为“关于a的连续式”．观察上述规律，思考以下问题： (1)请根据上述规律，再写一个“关于a的连续式”，并写出其因式分解的形式：___________； (2)已知k为整数，多项式能否成为“关于a的连续式”？若能，请求出k的值，并将该式写成因式分解的形式；若不能，请说明理由． 85．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）定义：对于任意一个两位数，交换个位数字与十位数字的位置得到一个新数，我们把这样的两个数叫互为“翠屏数”；如25的“翠屏数”是52． (1)填空：34、48的“翠屏数”分别是________、________； (2)对于任意一个两位数，设它的个位数字为a，十位数字为b，试说明这个数与它的“翠屏数”之和一定能被11整除； (3)若一个两位数为x，它的个位数字记为m，十位数字记为n，x与它“翠屏数”之和与11的商记为y，若，直接写出符合条件的x的值． 86．（23-24七年级下·浙江金华·期中）配方法是将一个式子的某一部分通过恒等变形转化为完全平方式的形式．此法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 解决问题：（1）①29是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式___________； ②若可配方成（m、n为常数），则___________； 探究问题：（2）①已知，则___________； ②已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试写出符合条件的一个k值___________ 拓展结论：（3）已知实数x、y满足，求的最值，并求出此时x的值． 87．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）数学兴趣小组在进行因式分解时发现，若多项式能分解成两个一次整式相乘的形式，则或时，原多项式的值为0，尝试定义和为多项式的“零值”，两个“零值”的平均值为该多项式的“对称值”．例如：多项式，当或时，的值为0，则多项式的“零值”为和，“对称值”为． 根据上述材料，解决下列问题． (1)多项式的“零值”为__________，“对称值”为__________； (2)若多项式（实数m为常数）的两个“零值”相等，求m的值及多项式的“对称值”． 88．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 利用上面提到的数学思想方法解决下列问题： 【应用】（1）数61__________“完美数”（填“是”或“不是”）； 【探究】（2）已知，则__________； （3）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值； 【拓展】（4）已知x、y满足，求代数式的最小值． 89．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）定义：若一个整数能表示成（a，b都是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为，所以13是“完美数”； 再如：因为，所以也是“完美数”． (1)请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”可以是_______；判断53_______（填“是”或“不是”）“完美数”； (2)已知（x，y是整数），k是常数，要使M为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； (3)如果数m，n都是“完美数”，，试说明是“完美数”． 90．（2024七年级下·上海·专题练习）皓皓同学在学习了“平方根”这节课后知道了“负数在实数范围内没有平方根”，她对这句话产生了兴趣，她想知道负数在其他范围内是否有平方根，所以她上网查找了以下一些资料． 数的概念是从实践中产生和发展起来的，在学习了实数以后，像这样的方程还是没有实数解的，因为没有一个实数的平方等于，即负数在实数范围内没有平方根，所以为了了解形如这类方程的解，就要引入一个新的数． 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位． 在这种情况下，可以与实数相乘再同实数相加从而得到形如“” 、为实数）的数，人们把这种数叫作复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 比如： （1） （2） （3） 这样数的范围就由实数扩充到了复数，在这种规定下，负数在复数范围内就有平方根．比如：就是的平方根． 根据上面的材料解答以下问题： (1)计算： ①___________②___________③___________ (2)在复数范围内的平方根是___________ (3)在复数范围内分解因式___________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 因式分解90道计算题专项训练（9大题型） 题型一 提公因式进行因式分解 题型二 运用乘法公式进行因式分解 题型三 乘法公式在有理数简算中的应用 题型四 已知因式分解的结果求参数 题型五 十字相乘法 题型六 分组分解法 题型七 因式分解的应用型计算 题型八 利用因式分解求最值 题型九 因式分解的新定义计算 【经典计算题一 提公因式进行因式分解】 1．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解： ， ， ， ． 2．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）用提公因式法分解因式即可； （2）用提公因式法分解因式即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 3．（21-22八年级下·辽宁锦州·期中）因式分解： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）原式提取公因式即可； （2）原式提取公因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（23-24八年级上·全国·课后作业）用提公因式法将下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查提公因式法分解因式，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键； （1）提公因式法提取分解因式即可求解； （2）提公因式法提取分解因式即可求解； 【详解】（1）解： （2）解： ． 5．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】此题考查提公因式法与单项式乘多项式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先提取公因式，再对余下的进行单项式乘多项式，最后合并同类项即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 6．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）因式分解 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）直接提取公因式分解因式即可； （2）直接提取公因式分解因式即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 7．（23-24八年级下·全国·期末）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分解因式； （1）直接提公因式分解因式即可； （2）直接提公因式分解因式即可． 【详解】（1）； （2）． 8．（23-24八年级上·全国·单元测试）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是提公因式分解因式，确定公因式是解本题的关键； （1）直接利用提公因式法分解因式即可； （2）直接利用提公因式法分解因式即可； （3）直接利用提公因式法分解因式即可； （4）直接利用提公因式法分解因式即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 9．（23-24八年级上·全国·单元测试）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是提公因式法分解因式，掌握公因式的确定是解本题的关键； （1）直接利用提公因式分解因式即可； （2）直接利用提公因式分解因式即可； （3）直接利用提公因式分解因式即可； （4）直接利用提公因式分解因式即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 10．（24-25八年级上·山东东营·单元测试）用提公因式法分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法和步骤是解题关键． （1）提公因式，即可完成因式分解； （2）提公因式，即可完成因式分解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【经典计算题二 运用乘法公式进行因式分解】 11．（24-25八年级上·河南南阳·期末）把下列多项式分解因式 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）用提取公因式法直接求解即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式即可得到结果； （3）先提取公因式，再利用完全平方公式即可得到结果； （4）用两次提取公因式法直接求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． （3）解：． （4）解：． 12．（24-25八年级上·河南新乡·期中）因式分解 (1)； (2)＋8＋16． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查因式分解的方法， （1）先提取公因式，再根据平方差公式分解因式； （2）根据完全平方公式和平方差公式分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解：816 ． 13．（24-25八年级下·四川乐山·阶段练习）因式分解 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用提公因式法分解因式即可； （2）利用平方差公式分解因式即可； （3）综合提公因式和公式法分解因式即可； （4）利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题主要考查了提公因式法分解因式，平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式，综合提公因式和公式法分解因式等知识点，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 14．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式． （1）先提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可； （2）将原式展开合并同类项后，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 15．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的因式分解，掌握提取公因式法和平方差公式是解决本题的关键． （1）先提取公因式，再运用平方差公式； （2）原式整理后运用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ＝ ； （2）解： ． 16．（24-25八年级上·云南昆明·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）直接运用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．（24-25八年级下·重庆·开学考试）分解因式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）直接利用平方差因式分解即可； （2）先分组，利用完全平方公式对因式分解，再利用平方差公式因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（24-25八年级上·甘肃定西·期末）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解； （1）先提公因数，根据平方差公式进行计算即可求解； （2）先提，然后根据完全平方公式因式分解，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 19．（24-25八年级上·重庆南川·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和公式法进行因式分解； （1）利用提公因式和平方差公式进行因式分解； （2）利用提公因式和完全平方和进行因式分解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 20．（24-25八年级上·山东东营·期中）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的关键． （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可； （2）先将式子进行变形，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式． 【经典计算题三 乘法公式在有理数简算中的应用】 21．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用完全平方公式因式分解进行简便计算，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行因式分解后即可求解； （2）利用完全平方公式进行因式分解后即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 22．（24-25七年级上·全国·假期作业）简便计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式与平方差公式的计算； （1）根据完全平方公式进行计算即可求解． （2）根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2） 23．（23-24八年级上·全国·专题练习）利用乘法公式简便计算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟知平方差公式和完全平方公式是解题的关键． （1）把原式变形为，再利用平方差公式进行求解即可； （2）原式根据完全平方公式变形为，据此求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 24．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式因式分解，即可求解； （2）根据平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 25．（23-24八年级上·全国·课后作业）求证：能被7整除． 【答案】见解析 【分析】将原式因式分解，继而即可得证． 【详解】∵ ， ∴能被7整除． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 26．（23-24七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）把原式化为，再进行简便运算即可； （2）把原式化为，再利用平方差公式进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【点睛】本题考查的是利用平方差公式进行简便运算，熟记平方差公式的特点是解本题的关键． 27．（23-24七年级下·广东深圳·期末）利用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方差公式将原式化为，即即可； （2）利用平方差公式将原式化为进而得到，再利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 【点睛】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提． 28．（23-24七年级下·广东清远·期中）用简便方法计算： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用完全平方公式，进行计算即可解答； （2）先提公因数，再利用平方差公式进行计算，即可解答. 【详解】（1）解： ； （2）解： . 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法因式分解的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式 29．（23-24八年级上·全国·课后作业）利用因式分解计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）提取后计算即可； （2）提取后计算即可； （3）原式变形为，然后提取后计算即可； （4）利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查了利用因式分解进行简便计算，掌握因式分解的方法是解题的关键． 30．（23-24七年级下·湖南永州·期中）利用因式分解计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方差公式进行求解即可； （2）根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了利用因式分解进行简便计算，熟知完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 【经典计算题四 已知因式分解的结果求参数】 31．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知关于，的二次式可分解为两个一次因式的乘积，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是利用待定系数法分解因式，设 ，再整理可得，从而可得答案. 【详解】解：， 且 ， 设 ， 整理得：， 由对应项系数得： ， 解得 ，， ， 的值为 32．（23-24八年级下·辽宁朝阳·期末）仔细阅读下面例题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：，．∴另一个因式为，． 类比上面方法解答： (1)若二次三项式可分解为，则______． (2)若二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及b的值． 【答案】(1)4 (2)另一个因式为，b值为1 【分析】本题主要考查了多项式乘法与因式分解的关系： （1）由题意得，，据此把等式右边展开即可得到答案； （2）设另一个因式为，则，据此仿照题意求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴； （2）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴另一个因式为，b值为1． 33．（23-24八年级下·山东济南·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，则， 即，∴，解得． 故另一个因式为，m的值为-21． 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，则______； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】(1)40 (2)另一个因式为，k的值为20 【分析】本题考查了因式分解的方法．解题关键是对题中所给解题思路的理解． （1）设另一个因式为，可得，再进一步解题即可； （2）设另一个因式为，可得，再进一步解答即可； 【详解】（1）解：设另一个因式为， 由题意得：， 即， 则有， 解得， ∴另一个因式为：，的值为40． （2）解：二次三项式有一个因式是，设另一个因式为， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴另一个因式为，k的值为． 34．（23-24八年级下·广东茂名·阶段练习）仔细阅读下面例题，并解答问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：．另一个因式为． (1)若二次三项式可分解为，则 ； (2)若二次三项式可分解为，求b，k的值； (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】(1)4 (2)， (3)另一个因式是，的值为 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、因式分解，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题关键． （1）根据多项式乘多项式法则计算，由此可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得； （2）根据多项式乘多项式法则计算，再与进行比较即可得； （3）设另一个因式为，根据多项式乘多项式法则计算，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意得：， 所以， 所以， 解得， 故答案为：4． （2）解：由题意得：， 所以， 所以， 所以，； （3）解：设另一个因式为， 则， 所以， 所以，， 解得，， 所以另一个因式是，的值为． 35．（23-24八年级下·全国·假期作业）仔细阅读下面例题，并解答问题． 例题：已知二次三项式有一个因式是3，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，则，解得另一个因式为的值为． (1)若二次三项式可分解为，则______； (2)若二次三项式可分解为，则______； (3)依照以上方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】(1) (2)9 (3)； 【分析】本题考查的是多项式的乘法与因式分解，待定系数法的运用，理解题意是解本题的关键． （1）将展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值； （2）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值； （3）设另一个因式为，得，可知，，继而求出n和k的值及另一个因式． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）∵， ∴； （3）设另一个因式为，得， 则，， 解得：，， 故另一个因式为，k的值为12． 36．（23-24八年级下·广东佛山·期中）已知二次三项式可以分解为为常数，求m、n的值． 【答案】， 【分析】本题考查根据因式分解的结果求参，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 先计算，再比较即可得到答案 【详解】解：∵ ∴ 解得：． 37．（23-24八年级上·山东济宁·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，则， ，解得：，， 另一个因式为，的值为． 请仿照上述方法解答下面问题： (1)若，则______，______； (2)已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值； (3)已知二次三项式有一个因式是，是正整数，求另一个因式以及的值． 【答案】(1)， (2)， (3)另一个因式是，的值是2 【分析】（1）将，等式右边展开，根据对应项系数相等，即可求解， （2）设另一个因式为：，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解， （3）设另一个因式是，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解， 本题考查了，根据因式分解的结果求参数，多项式乘多项式，解题的关键是：理解因式分解与多项式乘法互为逆运算． 【详解】（1）解：， ，， 故答案为：，， （2）解：设另一个因式为：， 则， ，解得：，， 另一个因式是， 故答案为：，， （3）解：设另一个因式是，则 则，解得：或， 是正整数， ，另一个因式是；（不符合题意舍去）， 另一个因式是，a的值是2． 38．（23-24八年级上·山东济南·期末）已知是二元二次式的一个因式，求a，b的值． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了因式分解与整式乘法之间的关系，设另一个因式为，利用多项式乘法得到，进而得到，求出，则，． 【详解】解：为的一个因式， 可设另一个因式为 ∴ ， ， ∴，． 39．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）完成下面各题 (1)若二次三项式可分解为，则______； (2)若二次三项式可分解为，则______；______； (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】(1) (2)9，5 (3)另一个因式为，的值为12． 【分析】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式． （1）将展开，根据所给出的二次三项式即可求出的值； （2）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出的值； （3）设另一个因式为，得，可知，，继而求出和的值及另一个因式． 【详解】（1）解：， ， 解得：； 故答案为：； （2）解：， ， ； 故答案为：9，5； （3）解：设另一个因式为，得， 则，， 解得：，， 故另一个因式为，的值为12． 40．（23-24八年级上·湖南怀化·开学考试）【例题讲解】因式分解：． 为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想可以分解成， 展开等式右边得：， 恒成立． 等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即， 解得， ． 【方法归纳】 设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法． 【学以致用】 (1)若，则________； (2)若有一个因式是，求的值及另一个因式． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）将展开，再根据题干的方法即可求解； （2）设多项式另一个因式为，利用题干给出的待定系数法求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）设多项式另一个因式为， 则 ，，， ，， ，即另一个式子为：． 【点睛】本题主要考查了多项式的乘法，因式分解等知识，掌握题干给出的待定系数法，是解答本题的关键． 【经典计算题五 十字相乘法】 41．（24-25八年级上·江西上饶·期末）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分解因式—十字相乘法， （1）根据十字相乘法分解因式即可； （2）根据十字相乘法分解因式即可； 掌握十字相乘法分解因式的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：； （2）①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：． 42．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如：将式子和分解因式，如图，；． 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查十字相乘法分解因式，仿照题中例题求解过程分解因式即可． 【详解】（1）解：如图， 由图知． （2）解：如图， 由图知． （3）解：如图， 由图知． 43．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 我们发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为（p，q为整数）．因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故有即可将形如的多项式因式分解成（p，q为整数）． 例如：． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式：______． 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是______． 【拓展应用】 （3）分解因式：． 【答案】（1）（2）8或或4（3） 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用． （1）按照已知条件中方法进行分解因式即可； （2）先找出乘积为的两个整数有哪些，然后按照条件中的方法，求出m的值即可； （3）按照已知条件中的方法，把分解成，然后把多项式进行分解因式即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：； （2）∵， ∴， ， ， ， ∴整数的值可能为：或或或， ∴整数m的值可能是8或或4， 故答案为：8或或4； （3） ． 44．（24-25八年级上·山东烟台·期中）《义务教育数学课程标准（23-24年版）》关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力． 因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法—拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式转化为已学过的知识进行分解． 例题：用拆项补项法分解因式 解：添加两项 原式 请你结合自己的思考和理解完成下列各题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）先把原式变形为，再仿照题意分解因式即可； （2）先把原式变形为，再仿照题意分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 45．（24-25八年级上·福建泉州·期中）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】该题主要考查了十字相乘法分解因式，解题的关键是理解题意． （1）根据题干方法解答即可； （2）根据题干方法解答即可； （3）根据题干方法解答即可； （4）根据题干方法解答即可； 【详解】（1）解：， ①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项：， ③横向写出两因式：． （2）解：， ①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项：， ③横向写出两因式：． （3）解：， ①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项：， ③横向写出两因式：． （4）解：， ①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项：， ③横向写出两因式：． 46．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）你数学老师教你因式分解的场面你一定还记忆犹新吧！现让我们来温故一下因式分解的几种方法并练习！ （1）提取公因式法：提取各单项式中的公因式，提取完后合并单项式分解因式： ； （2）十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数．其实就是运用乘法公式的逆运算来进行因式分解： ①分解因式 ； ②解方程：． （3）拆项添项法：即把多项式中某一项拆成两项或多项，或在多项式中添上两个符合相反的项． ① ； ② ； 除以上方法外因式分解还有双十字相乘法、换元法、因式定理法、待定系数法等． [综合应用]分解因式： ． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）①；②；综合应用： 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键； （1）根据提公因式法可进行分解因式； （2）①根据十字相乘法可进行分解因式；②先移项，然后再对方程左边进行十字相乘，进而问题可求解； （3）①把拆分，然后再根据提公因式和完全平方公式可进行分解因式；②把拆开，然后根据提公因式和平方差公式可进行分解因式； 综合应用：根据完全平方公式、十字相乘法及整体思想可进行分解因式． 【详解】解：（1）； 故答案为； （2）①； 故答案为； ② ∴或， ∴； （3）① ； ② ； 故答案为；； 综合应用： ； 故答案为． 47．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0． 利用上述规律，回答下列问题： (1)若是多项式的一个因式，求k的值． (2)若和是多项式的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解． (3)分解因式：． 【答案】(1)； (2)m、n的值分别为和0； (3) 【分析】本题主要考查了分解因式，解二元一次方程组： （1）根据题意当时，，则，据此求解即可； （2）根据题意可得当或时，，则可得关于m、n的方程组，解方程组求出m、n的值，进而把原多项式分解因式即可； （3）先分组得到，再利用提公因式法和十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵是多项式的一个因式， ∴当时，， ∴， ∴ （2）解：∵和是多项式的两个因式， ∴当或时，， ∴或时，， ∴， 解得， ∴原多项式为； （3）解： ． 48．（24-25七年级上·上海宝山·期中）阅读：关于，的二次六项式如果可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，那么可以用一种称为双十字相乘的方法来进行因式分解，具体方法如图所示：先对进行十字相乘分解得，则原式一定可以分解成的形式，然后分别对与进行十字相乘分解，从而确定，，所以． 根据阅读，要求如下： (1)因式分解：； (2)若关于，的多项式可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，解题的关键是理解题意，熟练掌握十字相乘法． （1）根据题干中提供的信息，进行因式分解即可； （2）分两种情况对将进行因式分解，得出或，然后再分别代入进行验证即可． 【详解】（1）解：∵式子相乘分解得：， ∴原式一定可以分解成的形式， 分别对与进行十字相乘分解，如图所示： ∴． （2）解：将进行因式分解，如图所示： 或 ∴或 ∴或， 当时，无法用十字相乘法进行因式分解； 当时，可以用十字相乘法进行因式分解， 此时原式为，对，，用十字相乘法因式分解，如图所示： ∴此时， ∴时，符合题意． 49．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．令，将原式变为，然后将代入再分解因式即可． 【详解】解：令则原式变为： ， ∴原式 ． 50．（23-24七年级下·全国·单元测试）请你观察下列多项式分解因式的结果与原多项式的关系，然后回答问题： ①； ②； ③； ④． (1)请用一个式子表示你观察到的规律：____________． (2)请用你观察并总结出来的结论把下面各式分解因式： ①； ②． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查因式分解-十字相乘法，根据给出的多项式分解因式的结果总结出规律是银题的关键． （1）通过观察分析总结出规律即可； （2）利用（1）总结的规律求解即可． 【详解】（1）解： 答案为：． （2）解：① ； ② ． 【经典计算题六 分组分解法】 51．（24-25八年级上·广东湛江·期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将分解因式． 【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法： 原式 【类比】（1）请用分组分解法将分解因式． 【挑战】（2）请用分组分解法将分解因式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是利用分组分解法分解因式； （1）把原式化为，再进一步分解因式即可； （2）把原式化为，再进一步分解因式即可； 【详解】解：（1） ； （2） ； 52．（24-25八年级上·河南南阳·期末）常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式： (2)已知的三边长、、满足条件：，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等腰三角形或直角三角形，理由见解析 【分析】此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的定义，勾股定理逆定理，正确分组分解得出是解题关键． （1）先将前三项进行完全平方公式因式分解，再进行平方差公式因式分解； （2）将原式进行分组和，然后利用平方差公式、提取公因式进行分解． 【详解】（1）解 ； （2）解：是等腰三角形或直角三角形，理由如下． 或 或 是等腰三角形或直角三角形． 53．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ， 乙： （分成两组） （直接运用公式） 请你在他们的解法的启发下，解答下面各题： (1)因式分解：； (2)已知，求式子的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，巧妙的运用分组分解因式解答问题． （1）分组后，可先利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）分组后，再次提公因式后代入数值计算即可． 【详解】（1）解： （2） 当时， 原式 54．（24-25八年级上·山东淄博·期末）观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的因式分解： 甲：        分成两组 ．            各组提公因式因式分解 乙：        分成两组 ．            平方差公式因式分解 请你在他们解法的启发下，因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用公式法和提取公因式因式分解成为解题的关键． 按照乙的思路运用分组法和公式法因式分解即可． 【详解】解： ． 55．（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查多项式的因式分解，解题的关键是合理分组，然后运用公式法（平方差公式、完全平方公式等）进行因式分解． （1）先通过对多项式进行适当分组，使分组后的式子能运用公式进行因式分解，再提取公因式得出最终结果； （2）先通过对多项式进行适当分组，使分组后的式子能运用公式进行因式分解，得出最终结果； （3）先通过对多项式进行适当分组，使分组后的式子能运用公式进行因式分解，得出最终结果． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 56．（2025七年级下·全国·专题练习）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （）先分组，再利用提公因式进行因式分解即可； （）先分组，再利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可； （）先分组，再利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可； 【详解】（1）解： ． （2）解： ； （3）解： ． 57．（24-25七年级上·上海普陀·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解：十字相乘法、分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先分组为，再变形，然后利用提公因式法分解因式即可； （2）先根据十字相乘法分解因式，再根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 58．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）阅读下列材料：某校数学社团小组的同学在分解因式时，发现可以将这个多项式进行重新分组，先利用完全平方公式，然后再利用平方差公式对这个多项式进行了分解．过程如下： 像这样．将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法． 请你在这种方法的启发下．解决以下问题： (1)分解因式：； (2)已知，，分别是三边的长，且，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式与平方差公式、利用分组法和提取公因式法分解因式． （1）利用分组分解法与完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）利用分组分解法与完全平方公式分解因式，得出，，，求出，，，进而可得出答案． 【详解】（1）解： ． （2） ∵， ∴． ∴，，， ∴，，， ∴的周长． 59．（24-25八年级上·重庆渝北·阶段练习）“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解的过程如下： 甲: （分成两组） （直接运用公式） = 乙 （分成两组） （提公因式） 请在他们解法的启发下，解答下列各题： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查因式分解，灵活运用分组分解法是解答本题的关键． （1）原式先进行分组，再提取公因式，最后运用平方差公式进行因式分解即可； （2）原式先进行分组，再运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 60．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）阅读材料：要把多项式分解因式，可以先把它进行分组再分解因式：，这种分解因式的方法叫做分组分解法． (1)请用上述方法分解因式：； (2)已知，，求式子的值； (3)分解因式：______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，解题的关键是掌握分组分解法． （1）根据分组分解法因式分解即可； （2）先将所求代数式因式分解，再代入值求解即可； （3）根据分组分解法因式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2），， ． （3） ． 故答案为：． 【经典计算题七 因式分解的应用型计算】 61．（2025七年级下·全国·专题练习）【问题发现】小星发现把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式． 例如，由图①，可得到等式：． 【类比探究】（1）如图②，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，通过上面的启发，你能发现什么结论？请用等式表示出来； 【结论应用】（2）①已知，求的值； ②因式分解：_______． 【拓展延伸】（3）类似的，用两种不同的方法计算几何体的体积同样可以得到一个等式．如图③所示的是一个棱长为x的正方体挖去一个底面边长为2的小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图③中两个图形的变化关系，写出一个等式． 【答案】（1）；（2）①144；②；（3） 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法并灵活运用是解题的关键． （1）用两种方法表示图②的面积即可得到恒等式； （2）①整体代入求值即可； ②根据（1）中的结论因式分解即可； （3）用两种不同的方法表示图3的体积，即可得到恒等式． 【详解】解：（1）由图2得：正方形的面积；正方形的面积， ∴； （2）①因为， 所以； ②， 故答案为：； （3）因为原几何体的体积，新几何体的体积， 所以． 62．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）若一个整数能表示成（，是非零整数）的形式，则称这个数为“完美平方数”．例如，5是“完美平方数”，因为，再如（，是非零整数且），所以也是“完美平方数”． (1)请你写一个小于30的“完美平方数”：______ (2)请判断32，33是否是“完美平方数”，并说明理由； (3)已知（是整数，是常数），要使为“完美平方数”，请求出符合条件的一个值． 【答案】(1)10（答案不唯一） (2)32是为“完美平方数”，33不是为“完美平方数”，理由见解析 (3)符合条件的一个值为5（答案不唯一） 【分析】本题考查了新定义的运算以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据新定义，判断，并写出一个小于20的“完美平方数数”即可求解； （2）根据新定义，分别判断32，33； （3）先运用完全平方公式将进行化简，再根据“完美平方数”的定义得出即可； 【详解】（1）解：， 是“完美平方数”； 故答案为：10（答案不唯一）； （2）解：依题意，32是为“完美平方数”，33不是为“完美平方数”，理由如下： ， 32是为“完美平方数”， 33找不到满足的，的值， 故33不是为“完美平方数”； （3）解：是整数，且为“完美平方数”， ， 由题意可得为一个数的平方， 符合条件的一个值为5． 63．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）综合与实践： 【问题情境】（1）对于一个图形，如图1，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式_____； 【探究实践】 （2）类比图1，写出图2中所表示的数学等式_____； （3）利用（2）中得到的结论，解决问题：若，，求的值； 【拓展应用】 （4）用图3中2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，张边长分别为，的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）； （3）14； （4）5或7 【分析】（1）根据大正方的面积有整体看和分开看两种求法，即可得到结果； （2）大正方的面积有整体看和分开两种求法，即可得到答案； （3）由（2）的结论，把已知条件代入即可； （4）根据题意可知，拼成图形的面积为，要把这个式子变成因式分解的形式，就是变成把因式看成图形的长和宽，根据因式分解的方法分解因式即可； 【详解】解：（1）大正方形的面积有两种求法：可以是，也可以是， ， 故答案为：； （2）边长为的正方形的面积为：， 分9部分来看，正方形的面积为， 两部分面积相等， ， 故答案为：； （3）由（2）知， ，， ． 的值为14； （4）由题意可得，所拼成的长方形或正方形的面积为：， 从因式分解的角度看，可分解为或， 或， 的值为5或7． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，因式分解中十字相乘法和完全平方公式在集合图形中的相关计算，解决此题的关键是要合理运用饮食分解的方法． 64．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）阅读理解： 我们已经知道，乘法公式（如平方差公式、完全平方公式）可以用平面图形的面积来表示．    (1)如图1，图中的大正方形由两个小正方形及两个大小相同的小长方形构成，利用大正方形的面积等于其它四个图形的面积之和可以得到一个乘法公式，写出这个公式：________； (2)实际上还有一些等式也可以用这种形式表示，如图2的图形表示的等式是：________； (3)试用画图工具画出一个几何图形，使它能表示等式：，其中． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题是完全平方公式的应用，因式分解，仔细观察图形是解题的关键． （1）根据图形的两种面积计算方法，即可解答； （2）根据图形的两种面积计算方法，即可解答； （3）根据分解结果画出图形即可． 【详解】（1）解：根据图形的两种面积计算方法，可得， 故答案为：； （2）解：根据图形的两种面积计算方法，可得， 故答案为：； （3）解：根据， 可得大长方形的长为，宽为， 并且化分为2个边长为的正方形，2个边长为的正方形，5个长为，宽为的矩形， 如图所示： 65．（24-25八年级上·江西赣州·期末）综合与探究 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图1可以得到，基于此，请解答下列问题． 【直接应用】（1）若，，求的值． 【类比应用】（2）若，则 ． 【知识迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板（）按如图2所示的方式放置，其中点A，O，D在同一直线上，点B，O，C也在同一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积． （4）如图3，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为a的大正方形，两块是边长都为b的小正方形，五块是长为a，宽为b的全等小矩形，且．观察图形，分解因式 ． 【答案】（1）3.5；（2）12；（3）16；（4） 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，全等三角形的性质，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式变形即可求解． （2）将看成，进而根据，即可求解； （3）设，，根据可得，而，进而根据完全平方公式变形即可求解． （4）结合图形由长方形的面积为，即可得出结果． 【详解】解：（1） 又 ， ； （2）∵，则 故答案为：； （3）∵两块直角三角板全等， ，， 点A，O，D在同一直线上，点B，O，C也在同一直线上， ，． 设，． ， 又， ， ， ， ， 答：一块直角三角板的面积为16． （4）根据图形长方形的面积为：， 则分解因式． 66．（24-25八年级上·福建泉州·期末）某学校数学项目式学习小组在研究“两数和（差）的平方公式”的应用时，发现这两个公式的用处很大，变式应用也很灵活．请你试着帮他们解决以下问题： 在长方形中，长为，长为，且． (1)若该长方形的周长为，面积为，求的值； (2)若a，b满足，求的值； (3)为美化校园环境，提升校园文化，某学校计划在一块如图所示面积为的长方形空地中划出长方形和长方形，将这两个长方形重叠部分的区域建一个长为，宽为的长方形水池，将图中阴影部分的区域作为花圃，且花圃总周长为，求和的长． 【答案】(1) (2) (3)和的长分别为，． 【分析】此题考查了完全平方公式和平方差公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）由完全平方公式得到，利用整体代入求值即可； （2）根据题意得到，，利用乘法公式即可得到答案； （3）根据题意得到，，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵长为，长为，且．长方形的周长为，面积为， ∴， 即， ∴ （2）∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ∴ （3）∵图中阴影部分的区域作为花圃，且花圃总周长为，长方形水池的长为，宽为， ∴ ， 则 ∴， ∵长方形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得 即和的长分别为，． 67．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块长是，宽为的相同的小长方形，且． (1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ； (2)若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为，求空白部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的应用． （1）题目中给的代数式是图形的面积，因式分解恰好是长方形形长与宽的乘积从而得出答案； （2）根据长方形的周长是即可得出的值；由图可得空白部分的面积是，故我们可以根据求出的的值，以及阴影部分的面积，即可推出空白部分的面积． 【详解】（1）解：通过观察图形可以得出图形的面积是：， 长方形的长是，宽是， 由此可得：， 故答案为：； （2）解：根据长方形的周长为，可得： ， ， ， ， 空白部分的面积为， ∵阴影部分的面积为， 且阴影部分的面积表示为， 故， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：空白部分的面积为． 68．（24-25八年级上·河南商丘·期末）阅读下列材料，并解答相关问题． 【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：因式分解：． 解：原式 【材料2】因式分解：． 解：把看成一个整体，令，则原式，再将代入，得，此题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法． (1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：． (2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：． (3)当分别为的三边，且满足时，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是等腰三角形，理由见解析 【分析】此题考查了因式分解的应用，乘法公式，配方法的应用以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）凑完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解； （2）利用完全平方进行因式分解； （3）先因式分解，判断字母、、三边的关系，再判定三角形的形状． 【详解】（1）解： ； （2）设 ， 则 ， ； （3）解： 是等腰三角形． 理由： ， ， ， ， 解得 ， ， 是等腰三角形． 69．（24-25八年级下·四川广元·开学考试）数形结合是一种重要的数学思想．《周髀算经》中记载有“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一”，这表明当时人们已经将几何与代数结合在一起研究，其意义重大、影响深远，例如，对于等式，可由图1进行解释：整个大长方形的长为，宽为a，其面积可用长乘以宽得到，也可用1个小正方形的面积与2个小长方形的面积之和来表示． (1)由图2，你能得到的数学等式为：______； (2)观察图3，解决以下问题：若，，求的值． (3)小灵同学用2张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，7张两边分别为的长方形纸片拼出了一个大长方形，请你直接写出该大长方形的长和宽． 【答案】(1) (2)3 (3)长方形的长为，宽为 【分析】（1）根据大长方形的面积等于各部分的面积之和求解即可； （2）先得出，再将，代入计算即可； （3）由题意得，再分解因式即可得到答案． 【详解】（1）解：由图可得． 故答案为：； （2）解：从总体看，大正方形的边长为，面积为， 从部分看，图形的面积为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：由题意可知：， ∴大长方形的长为，宽为． 【点睛】本题考查的是多项式乘多项式、完全平方公式的应用、因式分解的应用，利用面积法列出等式是解题的关键． 70．（24-25八年级上·河南新乡·期末）分解因式，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生新的公因式，然后提取公因式就可以完成因式分解了，过程如下． ． 上述分解因式的方法叫做分组分解法，请利用这种方法，解答下列问题． (1)分解因式：． (2)分解因式： (3)的三边a，b，c满足，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查因式分解，掌握提取公因式法，公式法，分组分解法进行因式分解是解题的关键． （1）根据材料提示作为一组，运用平方差公式分解，作为一组，运用提取公因式法分解即可； （2）根据材料提示作为一组，运用完全平方公式分解，再与作为一组，运用平方差分解即可； （3）根据题意，将原式变为，再运用分组分解法得到，结合非负性得到且，即，由此即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：是等边三角形， 理由：∵， ∴， ∴， ∴， ∴且， ∴， ∴是等边三角形． 【经典计算题八 利用因式分解求最值】 71．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）阅读理解并解答：把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解： 解：原式 例2：若利用配方法求M的最小值． 解： ∴当时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的x的值； (3)已知是的三边长，且满足，试判断三角形的形状． 【答案】(1) (2)代数式的最大值为，此时． (3)是等腰三角形 【分析】本题考查了因式分解、非负数的性质、完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握运算法则及公式． （1）原式化为，利用完全平方公式，平方差公式分解因式即可； （2）先添括号与负号，将原式的前两项利用完全平方公式配平方，再利用非负数的性质确定最大值即可； （3）分别对用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质确定的值即可求出结果． 【详解】（1）解： ． （2）解： ； ∵， ∴， ∴代数式的最大值为，此时． （3）解：∵， ， 即， ， ， 是等腰三角形． 72．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）（1）分解因式： ①_________； ②_________． （2）根据以上两式，试求x、y各取何值时，的值最小？并求此最小值． 【答案】（1）①；②；（2），时，有最小值5 【分析】（1）根据完全平方公式，即可求解， （2）运用完全平方公式变形，根据有最小值列式，求出x、y和的最小值即可． 本题考查了，公式法分解因式，完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题关键． 【详解】解：（1）①； ②， 故答案为①；②； （2） ， ∵，， ∴当，时，即，时，有最小值5． 73．（24-25八年级上·河南新乡·期中）上数学课时，张老师在讲完因式分解 的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： 当时， 的值最小，最小值是0， 当 时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请根据上述方法，解答下列各题： (1)知识再现：当 时，代数式的最小值是 ； (2)知识运用：若 ，当时， y有最 值 （填“大”或“小”），这个值是 (3)知识拓展：若，求的最小值． 【答案】(1)3，3 (2)大， (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用及非负数的性质， 解题的关键是能够对二次三项式进行分解因式． （1）利用完全平方公式后即可确定最小值； （2）利用完全平方公式后即可确定当时能取到最大值； （3）首先得到有关的代数式，然后利用完全平方公式确定最小值即可． 【详解】（1）解：； 而 当时， 的值最小，最小值是0， ； ∴当时，有最小值3； （2）解：， 而， 当时， 的值最大，最大值是0， ； ∴当时有最大值； （3）解：∵， ， ， ∴当 时， 的最小值为． 74．（24-25八年级上·江西赣州·期末）阅读理解：我们常常把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题， 例如：， ∵，∴． (1)这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是______． (2)求代数式的最小值，并写出相应的的值． (3)若，试比较、的大小，并说明理由． 【答案】(1)2； (2)当时，代数式的最小值为6 (3)，见解析 【分析】本题主要考查因式分解的应用，完全平方式，解答的关键是对完全平方式的掌握与应用． （1）由题意可得出答案； （2）根据例中的方法，求解即可； （3）求得，即可得出答案． 【详解】（1）解： ∵ ∴ ∴代数式的最小值是2，这时相应的的值是． 故答案为：2；． （2）解： ∵ ∴ ∴当时，的最小值为6． （3）解：． 理由：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 75．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）1.阅读理解： （1）为了求代数式的值，我们必须知道x的值． 若，则这个代数式的值为________﹔若，则这个代数式的值为_______；…… 可见，这个代数式的值因x的取值不同而变化，尽管如此，尽管如此；把一个代数式进行变形，可以解决求代数式的最大（或最小）值问题． 例如：例如： ∵ ∴ ∴当时，代数式的最小值是，此时的值为． （2）求代数式的最小值，并写出相应的x的值． （3）代数式的最大值为 ． 【答案】（1）6，11；（2）当时，代数式的最小值是5；（3）． 【分析】此题考查了因式分解的应用，用到的知识点是完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的性质进行解答． （1）把和分别代入代数式中，再进行计算即可得出答案； （2）模仿示例，根据完全平方公式把给出的式子进行整理，即可得出答案； （3）模仿示例，根据完全平方公式把给出的式子进行整理，即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入中，得：； 若，则这个代数式的值为； 故答案为：6，11； （2）， ， ∴， ∴当时，代数式的最小值是5，相应的x的值是； （3）根据题意得： ， ， ∴， ∴当时，代数式的最大值是，相应的x的值是． 76．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）阅读理解并解答： 我们把多项式，叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值的最大（或最小）值问题． (1)例如：①， 是非负数，即，， 则这个代数的最小值是2，这时相应的的值是， ②， 是非负数，即，， 则这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是_______； (2)知识再现：当______时，代数式的最小值是______； (3)知识运用：若，当______时，有最______值（填“大”或“小”），这个值是______； (4)知识拓展：若，求的最小值． 【答案】(1)，3 (2)2，1 (3)1，大，3 (4) 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）根据可得当时，取得最小值，由此即可得； （2）利用完全平方公式可得，根据是非负数求解即可得； （3）利用完全平方公式可得，根据是非负数求解即可得； （4）先根据已知等式可得，再利用完全平方公式可得，根据是非负数求解即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴这个代数式的最小值是，此时， ∴这个代数式取得最小值时，相应的的值是， 故答案为：，3． （2）解： ， ∵是非负数，即， ∴， ∴当，即时，代数式取得最小值，最小值为1， 故答案为：2，1． （3）解： ， ∵是非负数，即， ∴， ∴当，即时，有最大值，最大值为3， 故答案为：1，大，3． （4）解：， ， 则 ， ∵是非负数，即， ∴， ∴的最小值为． 77．（23-24八年级上·云南昆明·期末）小王同学在学校开设的数学课后辅导时，听老师在讲完乘法公式( 的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 的最值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ， ∴ 当 时， 值最小，最小值是0． ∴ 当 时， 的值最小，最小值是1． ∴ 当 时， 的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题： (1)当 时，代数式 有最小值，最小值是 ； (2)若 此时W有 值(填“最大”或“最小”)，即当 时， ； (3)若 则 （用含x的代数式表示） ，请求出 的最值． 【答案】(1)；； (2)大，， (3)，当时，的最小值为； 【分析】本题考查的是利用完全平方公式的应用，非负数的性质； （1）由，再结合非负数的性质可得答案； （2）由，再结合非负数的性质可得答案； （3）由可得，结合，再进一步解答即可； 【详解】（1）解：∵，而； ∴当时，有最小值2； （2）解：∵，而； ∴当时有最大值； 故有最大值，当时，最大值为． （3）解：∵， ∴， ∵，而； ∴当时，的最小值为； 78．（23-24八年级下·广东河源·期末）阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，数学研究小组发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．对于形如 的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解成的形式．但对于二次三项式就不能直接用完全平方公式分解了，对此，我们可以添上一项4，使它与 构成一个完全平方式，然后再减去4，这样整个多项式的值不变，即 ．像这样把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法． 同样地，把一个多项式局部分解因式可以解决代数式值的最小(或最大)问题． 例如： ．则这个代数式．的最小值是2，这时相应的x的值是． 请用配方法解答下列问题： (1)用配方法分解因式：； (2)已知，求的值． (3)当x取何值时，有最小值？最小值是多少？ 【答案】(1) (2)4 (3)时，有最小值，最小值是 【分析】此题考查了完全平方公式的运用，平方差公式因式分解，解题的关键是读懂题意并根据题目要求做题． （1）按照题目中配方法进行因式分解即可； （2）按照题目配方法进行因式分解，求出的值，即可求解； （3）按照题目中配方法进行因式分解并取最小值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， ； （3）解： ， ， 时，有最小值，最小值是． 79．（23-24八年级下·山东济南·期中）先阅读以下材料，然后解答问题： 以上分解因式的方法称为分组分解法． (1)请用分组分解法分解因式： ①    ② (2)拓展延伸 ①若，求x，y的值； ②求当x、y分别为多少时，代数式有最小值，最小的值是多少？ 【答案】(1)； (2)①；②当，时，代数式有最小的值，最小的值是 【分析】本题考查了分组分解法分解因式，公式法分解因式； （1）根据分组分解法分解因式即可；根据分组分解法分解因式即可； （2）利用完全平方式分解因式即可求解；利用完全平方式分解因式即可求解． 【详解】（1）解： ； ②解： ； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ② ∵，， ∴，时，代数式有最小的值，最小的值是．此时， ∴，， 即当，时，代数式有最小的值，最小的值是． 80．（23-24八年级上·贵州黔东南·阶段练习）阅读材料，解决问题：对形如的整式称为完全平方式，我们可以直接运用公式进行因式分解，例如；而对于这样无法直接运用公式进行因式分解的整式，我们可以先适当变形，再运用公式进行因式分解，例如： (1)若是一个完全平方式，则k的值为______． (2)分解因式：． (3)我们还可以仿照上面的方法解决求整式的最大（或最小）值问题，例如： ． ∵， ∴， 则当时，整式有最小值，其值为． 求当x的值为多少时，整式有最大值或最小值，并求出最大值或最小值． 【答案】(1) (2) (3)当时，整式有最大值，最大值为31 【分析】本题主要考查了完全平方式．熟练掌握完全平方式，配方法，公式法分解因式，是解题的关键． （1）由，得，求解即可； （2）将通过配方变形为，再用平方差公式分解因式即可； （3）将通过配方变形为，再根据，得到，即可求解． 【详解】（1）∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）由题意， ． （3）由题意， ． 又， ∴， ∴当时，整式有最大值，最大值为31． 【经典计算题九 因式分解的新定义计算】 81．（24-25八年级上·山东德州·期末）定义：任意两个数，，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为，的“和积数”． (1)若，，则，的“和积数”_____； (2)若，，求，的“和积数”； (3)已知，且，的“和积数”，若，求的值（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)c的值为或 (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算、因式分解的应用、利用完全平方公式进行计算、求代数式的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据“和积数”的定义进行计算即可； （2）利用完全平方公式的变形求出或，再由，代入数值进行计算即可； （3）把的右边利用提公因式法分解因式，再根据，对应相等即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴的“和积数”c为； 故答案为：； （2）解：由题意得：， ∵，，， ∴， ∴或， 当时，， 当时，， 综上所述，c的值为或； （3）解：由题意得：， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 82．（24-25八年级上·福建泉州·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”，例如：，，，因此，，都是“登高数”． (1)特例感知：判断是否为“登高数”，说明理由． (2)规律探究：根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“登高数”都能被整除吗?如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)拓展应用：求不超过的所有“登高数”的和． 【答案】(1)是“登高数”，详见解析； (2)“登高数”能被整除，详见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是是熟练掌握平方差公式的结构特征，灵活运用平方差公式进行计算，难点是理解“登高数”都是的倍数，即如果一个数是的倍数，那么这个数一定是“登高数”． （1）设求出方程的解，然后由计算结果可得出答案； （2）利用平方差公式计算，然后由计算结果可得出答案； （3），通过计算即可得出不超过的所有“登高数”的和． 【详解】（1）解：（1）是“登高数”， 理由：设， 解得：， ， 是 “登高数”； （2）解：“登高数”能被整除， 理由：， ， ， 是正整数， 能被整除， 能被整除， “登高数”都能被整除； （3）解：由（2），可知“登高数”能被整除， ， 不超过的所有“登高数”有，，，，，， ， ， ， ， ． 83．（24-25八年级上·云南普洱·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式．则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”．理由：因为，所以10是“完美数”；代数式可配方成（，为常数）．也可以求代数式的最大值或最小值，即：，因为，所以，所以最小值为4． (1)解决问题： 下列各数中，“完美数”有______（填序号）． ①29；    ②48；    ③13；    ④28． (2)探究问题： ①已知（，是整数，是常数），猜想当为何值时，为“完美数”，并说明理由． ②已知实数，满足，求的最小值． 【答案】(1)①③ (2)①当时，为“完美数”，理由见解析；② 【分析】本题考查了新定义的运算法则，因式分解的应用，完全平方公式的运算： （1）根据“完美数”的定义分别进行判断即可； （2）利用配方法进行转化，然后求得对应字母的值； （3）利用配方法和非负数的性质求得最小值； 仔细阅读材料，理解新定义含义，把算式灵活配方是解决问题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴29是“完美数”， ∵， ∴13是“完美数”， 故答案为：①③； （2）①当时，为“完美数”，理由如下：， 当时完全平方数时，即， 即时，是“完美数”； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 84．（23-24八年级上·福建厦门·期末）某数学兴趣小组将如下一些关于a的多项式因式分解后，发现各因式的常数项是两个连续的整数，且与多项式的系数之间存在着某种联系： ．．．．．． 我们定义具有这种规律的多项式为“关于a的连续式”．观察上述规律，思考以下问题： (1)请根据上述规律，再写一个“关于a的连续式”，并写出其因式分解的形式：___________； (2)已知k为整数，多项式能否成为“关于a的连续式”？若能，请求出k的值，并将该式写成因式分解的形式；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)能，， 【分析】本题考查因式分解： （1）参照题干写出一个“关于a的连续式”即可； （2）设，得到，进而得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：，； （2）能， 由题意，设， 则：， ∴，解得， ∴． 85．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）定义：对于任意一个两位数，交换个位数字与十位数字的位置得到一个新数，我们把这样的两个数叫互为“翠屏数”；如25的“翠屏数”是52． (1)填空：34、48的“翠屏数”分别是________、________； (2)对于任意一个两位数，设它的个位数字为a，十位数字为b，试说明这个数与它的“翠屏数”之和一定能被11整除； (3)若一个两位数为x，它的个位数字记为m，十位数字记为n，x与它“翠屏数”之和与11的商记为y，若，直接写出符合条件的x的值． 【答案】(1)43，84 (2)见解析 (3)81或82或91或92或93 【分析】本题考查了因式分解的应用、解一元一次不等式、理解“翠屏数”的定义，并按照定义分析是解题的关键． （1）由 “翠屏数”的定义可得答案； （2）由题意可得：这个两位数是，它“翠屏数”是，从而可得，再证明即可； （3）根据题意可得：，从而可转化为：， 即，再由为正整数求解即可． 【详解】（1）由“翠屏数”的定义可得，34、48的“翠屏数”分别是43，84； 故答案为：43，84； （2）一个两位数，它的个位数字为a，十位数字为b， 这个两位数是，它“翠屏数”是， ， 为正整数， 能被11整除， 这个数与它的“翠屏数”之和一定能被11整除； （3）x的个位数字记为m，十位数字记为n，x与它“翠屏数”之和与11的商记为y， ， ， 可转化为：， 即， 为正整数， 或或或或， 符合条件的x的值为81或82或91或92或93 86．（23-24七年级下·浙江金华·期中）配方法是将一个式子的某一部分通过恒等变形转化为完全平方式的形式．此法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 解决问题：（1）①29是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式___________； ②若可配方成（m、n为常数），则___________； 探究问题：（2）①已知，则___________； ②已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试写出符合条件的一个k值___________ 拓展结论：（3）已知实数x、y满足，求的最值，并求出此时x的值． 【答案】（1）①，②；（2）①，②13；（3）的最大值，此时x为 【分析】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）①把29分为两个整数的平方和，即可； 5原式利用完全平方公式配方后，确定出与的值，即可求出的值； （2）①已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，即可求出的值； ②根据为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可； （3）由已知等式表示出，代入中，配方后再利用非负数的性质求出最大值即可． 【详解】解：（1）①根据题意得：； ②根据题意得：， ，， ∴； （2）①∵， ∴， ∴， ，， ，， 解得：，， ∴； ②当时，为“完美数”，理由如下： ， ，是整数， ，也是整数， 是一个“完美数”； （3）∵， ∴，即， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ∴当时，最大，最大值为． 87．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）数学兴趣小组在进行因式分解时发现，若多项式能分解成两个一次整式相乘的形式，则或时，原多项式的值为0，尝试定义和为多项式的“零值”，两个“零值”的平均值为该多项式的“对称值”．例如：多项式，当或时，的值为0，则多项式的“零值”为和，“对称值”为． 根据上述材料，解决下列问题． (1)多项式的“零值”为__________，“对称值”为__________； (2)若多项式（实数m为常数）的两个“零值”相等，求m的值及多项式的“对称值”． 【答案】(1)和， (2)的值为6或，多项式的“对称值”为或 【分析】本题考查了新定义，因式分解的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照示例，求出多项式的“零值”和“对称值”； （2）根据题意，求出值，再仿照示例，求出多项式的“零值”和“对称值”． 【详解】（1）解：， 当或时，， 多项式的“零值”为和， “对称值”为， 故答案为：和，； （2）解：多项式（实数为常数）的两个“零值”相等， 多项式是完全平方式， 即， 当时，多项式可化为， ，“零值”为和，“对称值”为； 当时，多项式可化为， ，“零值”为和，“对称值”为， 综上所述，的值为6或，多项式的“对称值”为或． 88．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 利用上面提到的数学思想方法解决下列问题： 【应用】（1）数61__________“完美数”（填“是”或“不是”）； 【探究】（2）已知，则__________； （3）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值； 【拓展】（4）已知x、y满足，求代数式的最小值． 【答案】（1）是；（2）1；（3）9；（4） 【分析】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式的特点是解题的关键． （1）根据新定义求解； （2）先把等式的左边进行配方，再根据非负数的性质求出、的值，再求； （3）先根据的前四项进行配方，再根据相等的条件求解； （4）根据条件求出的值，再进行配方求解． 【详解】（1）解：， 是“完美数”， 故答案为：是； （2）解：， ，， ， 故答案为：1； （3）解： ， 为“完美数”， ， ； （4）解：， ， ， ， 当时，的最小值为． 89．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）定义：若一个整数能表示成（a，b都是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为，所以13是“完美数”； 再如：因为，所以也是“完美数”． (1)请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”可以是_______；判断53_______（填“是”或“不是”）“完美数”； (2)已知（x，y是整数），k是常数，要使M为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； (3)如果数m，n都是“完美数”，，试说明是“完美数”． 【答案】(1)2或5或8（写一个即可），是； (2)； (3)见解析． 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键． （1），，，这些数都是小于10的“完美数”； 利用即可判断； （2）由，根据“完美数”的定义得出，即可求解； （3）设，，则，进行整理可得：，从而可判断． 【详解】（1）解：根据题意可得：，，， 故2，5，8都是“完美数”，且都小于10， ∵， 故53是“完美数”， 故答案为：2或5或8（写一个即可）；是； （2）解：， ， 为“完美数”， ， ； （3）证明：设，则有 是“完美数”． 90．（2024七年级下·上海·专题练习）皓皓同学在学习了“平方根”这节课后知道了“负数在实数范围内没有平方根”，她对这句话产生了兴趣，她想知道负数在其他范围内是否有平方根，所以她上网查找了以下一些资料． 数的概念是从实践中产生和发展起来的，在学习了实数以后，像这样的方程还是没有实数解的，因为没有一个实数的平方等于，即负数在实数范围内没有平方根，所以为了了解形如这类方程的解，就要引入一个新的数． 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位． 在这种情况下，可以与实数相乘再同实数相加从而得到形如“” 、为实数）的数，人们把这种数叫作复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 比如： （1） （2） （3） 这样数的范围就由实数扩充到了复数，在这种规定下，负数在复数范围内就有平方根．比如：就是的平方根． 根据上面的材料解答以下问题： (1)计算： ①___________②___________③___________ (2)在复数范围内的平方根是___________ (3)在复数范围内分解因式___________． 【答案】(1)①②③ (2) (3) 【分析】本题考查的是实数的运算和因式分解的应用，理解新定义、正确运用因式分解的方法是解题的关键． （1）①根据合并同类项法则计算即可； ②根据积的乘方进行运算，③根据完全平方公式计算； （2）根据平方根的概念计算； （3）根据因式分解的方法进行计算即可． 【详解】（1）①， ②， ③； （2）； （3） ． 学科网（北京）股份有限公司 $$