期中重难点真题特训之压轴满分题型（70题11个考点）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

期中重难点真题特训之压轴满分题型（70题11个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、等腰三角形的性质和判定 1．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，，，求C的坐标． 2．（2025·湖南岳阳·模拟预测）如图，在中，以为直径的经过的中点E，过点E作于点D，延长交的延长线于点P． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，正方形的对角线、相交于点O，平分，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)过点E作，交于点F，若，求线段的长． 4．（2025·河北保定·一模）如图1，在中，，，，动点P和Q分别从点A和点C同时出发，点P沿着方向以每秒的速度运动，点Q沿着的路线以每秒的速度运动，点P运动的时间为，连接，在的右侧（下方）以为斜边构造等腰直角三角形． (1)的长为______； (2)如图2，当点D和点C重合时，求的长； (3)①在图3中尺规作图，作的平分线和边相交于点E；（保留作图痕迹，不写作图过程） ②当点D在射线上时，求t的值； (4)如图4，当点D恰好落在边上时，直接写出t的值和点在内部的时长． 5．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）【问题背景】在矩形纸片中，，，点P在边上，点Q在边上，将纸片沿折叠，使顶点B落在点E处． 【初步认识】 （1）如图①，折痕的端点P与点A重合． ①当时， ______． ②若点E恰好在线段上，则的长为_______． 【深入思考】 （2）点E恰好落在边上． ①请在图②中用无刻度的直尺和圆规作出折痕；（不写作法，保留作图痕迹） ②如图③，过点E作交于点F，连接．请根据题意，补全图③并证明四边形是菱形； 【拓展提升】 （3）如图④，若，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 压轴满分题二、等边三角形的判定和性质 6．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在中，D、E分别是的中点，，延长到点F，使得，连接． (1)证明四边形是菱形； (2)已知，求菱形的面积． 7．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）（1）如图1，是等边内一点，连接，，，且，，，将绕点顺时针旋转后得到，连接，完成下列各题． ①线段的长 ； ②求的度数． （2）如图2，是等腰直角内一点，连接，，，将绕点顺时针旋转后得到，连接．当时，求之间的数量关系． 8．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）课本再现 在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分． （1）如图1，在平行四边形中，对角线与交于点，求证：，． 知识应用 （2）在中，点为的中点．延长到，使得，使得，连接．如图2，若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论 9．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图1，．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点M、N．分别以点M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点E．作射线．过点C作，交于点D． (1)求的长； (2)如图2，连接．分别以点A、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P、Q．作直线，交的延长线于点F．连接，交于点G．当时，求的值． 10．（2025·江苏南通·一模）某研究学习小组给出了一个问题，让同学们探究．在中，，点D在直线上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，过点E作，交直线于点F． (1)当点D在线段上时，如图，求证：； 分析问题：某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在AB 上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论： 推理证明：写出图的证明过程： 探究问题： (2)当点D在线段的延长线上时，如图：当点D在线段的延长线上时，如图，请判断线段，，之间的数量关系并证明； 拓展思考： (3)在（1）（2）的条件下，若，面积是面积两倍，则的面积为______． 压轴满分题三、全等的性质和HL综合（HL） 11．（24-25八年级上·四川德阳·期中）如图，在梯形中，，点E为的中点，平分． (1)求证：平分； (2)求证：． 12．（24-25八年级下·贵州黔南·阶段练习）如图，在中，，，，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，设运动时间为秒． (1)若点在上，且满足，求此时的值； (2)若点恰好在的平分线上，求此时的值． 13．（24-25八年级上·山东聊城·期末）在中，，分别是边，边上的点，作于点，于点，连接，若，． (1)求证：； (2)若，的面积为6，求的面积． 14．（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）小丽和小明在研究一个尺规作图问题． 如图1，在四边形中，，．用直尺和圆规作，交边于点E． 小丽：如图2，以点B为圆心，长为半径作弧，交边于点E，连接，则． 小明：如图3，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，连接，则．    (1)填空：判断他们的作图方法是否正确．（填“正确”或“错误”）； ①小丽的作法______； ②小明的作法______． (2)请从（1）中任选一项判断说明理由．（要求：写出推理过程） 15．（24-25八年级下·广东揭阳·阶段练习）【操作实验】 如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称．所以，所以． 【归纳结论】如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等． 根据上述内容，回答下列问题： 【思考验证】如图（1），在中，．试说明的理由． 【探究应用】如图（4），，垂足为，，垂足为．为的中点，，． （1）与是否相等？为什么？ （2）小明认为垂直并且平分线段，你认为对吗？说说你的理由． （3）与相等吗？试说明理由． 压轴满分题四、勾股定理逆定理的实际应用 16．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，公园内有一个四边形步道，其中，从点到点有两条路线，分别是和．已知米，米，米，米． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)通过计算比较两条路线，哪条更短？ 17．（24-25八年级下·四川自贡·阶段练习）如图，一工厂位于点处，河边原有两个取水点，，其中，由于从工厂到取水点的路受阻，为了取水更方便，工厂新建一个取水点（点，，在一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)请判断是否为从工厂到河边最近的一条路（即与是否垂直）？并说明理由； (2)求的长． 18．（24-25八年级上·河南南阳·期末）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)的度数为__________． (2)在飞机飞行过程中，飞机距离着火点的最短距离为__________． (3)若该飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要秒，那么着火点能否被该飞机扑灭？请你通过计算说明． 19．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路的同侧，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，供水点M在小路上，供水点M到的距离的长为，的长为． (1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长； (2)请求出喷泉B到小路的最短距离． 20．（23-24八年级下·重庆·期末）已知图1是某超市小号购物车，图2是超市小号购物车的侧面示意图，现已测得支架，，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），、均与地面平行． (1)猜想两支架与的位置关系并说明理由： (2)若的长度为，，求购物车把手到的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：） 压轴满分题五、线段垂直平分线的性质与判定 21．（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）如图，在中，，是的角平分线， (1)尺规作图：求作的高线； (2)在（）的条件下，连接，求证：垂直平分． 22．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在中，分别垂直平分和，交于两点，与相交于点． (1)若的周长为，求的长； (2)若，求的度数． 23．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）在中，，，是线段上任一点（不与重合），作交于，是延长线上一点，连结交于，． (1)求证：； (2)过作，若， ①证明：； ②求的长（结果不化简）． 24．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）【问题发现】我们知道“线段垂直平分线上点到线段两端的距离相等”，那么不在线段垂直平分线上的点到线段两端的距离大小如何判断呢？ 【自主研究】（1）如图①，直线l是线段 的垂直平分线，点P在直线l的左侧，经测量， 请证明这个结论； 【迁移研究】（2）如图②，直线l是线段的垂直平分线，点C在直线l外，且与点A在直线l的同测，点D 是直线l上的任意一点，连结，试判断和之间的大小关系，并说明理由． 25．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）风筝（图1）的起源可以追溯到春秋时期，距今已有2000多年的历史．相传，墨翟（墨子）用木头制作了一只木鸟，经过三年的研制，最终成功飞行，这被认为是人类最早的风筝起源．某同学依据风筝模型，设计了图2中的筝形，已知． (1)说明垂直平分； (2)回顾所学公式，试猜想与的大小，并说明理由； (3)在（1）（2）的基础上解决下面问题：某同学要做一个面积为的筝形风筝时，用来做对角线的竹条有75厘米，请问能否做成？并说明理由． 压轴满分题六、角平分线性质的实际应用 26．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，是的角平分线， ，．求点D到的距离． 27．（24-25八年级上·甘肃临夏·期中）如图，和都是等边三角形，且点在一条直线上，连接和，交、于点．和相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，请判断的形状，并说明理由． (3)求证：平分 28．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）在中，，点是上一点，过点作于点． (1)如图1，证明：； (2)已知平分，点是上一点，与交于点，，． ①如图2，当时，求的值； ②如图3，当点为的中点时，求的值． 29．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）角平分线的轴对称性可以为解题提供思路和方法：    (1)如图1，在的两边上取两点A、B，使，点P为角平分线上任意一点，连接、，根据角的轴对称性易得______； (2)如图2，中，，求证：． 证明：作的平分线交边于点D，在边上截取，连接．（请完成证明） (3)如图3，在中，，为的角平分线，写出、、之间的数量关系并说明理由． 30．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）已知直线，两条直线相交于点O，为等腰三角形，点A在射线上，点B在射线上． (1)如图1，点C在内部，若于H，证明： (2)如图2，，点C在射线上，点E、F分别是边BC、AB上的点，若．求证：； (3)如图3，点C与点O重合时点E在内部，，连接，求的度数． 压轴满分题七、一元一次不等式（组）的综合应用 31．（24-25八年级下·山东菏泽·阶段练习）某工程队负责在山脚下修建一座水库的施工任务，该工程队有两种型号的挖掘机，已知台型和台型同时施工小时挖土；台型和台型挖掘机同时施工小时挖土.每台型挖掘机每小时施工费用为元，每台型挖掘机每小时施工费用为元． (1)每台型、型挖掘机每小时分别挖土多少？ (2)若型和型挖掘机共台同时施工，至少完成的挖土量，该工程队施工的最低费用是多少元？ 32．（2025·河南郑州·一模）小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录．小亮周六进行了两组运动，第一组安排30个深蹲，20个开合跳，健身软件显示消耗热量34千卡；第二组安排20个深蹲，40个开合跳，健身软件显示两组运动共消耗热量70千卡． (1)小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？ (2)小亮想设计一个10分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量不少于开合跳的数量．每个深蹲用时4秒，每个开合跳用时2秒，小亮安排多少个深蹲消耗的热量最多？ 33．（2025七年级下·全国·专题练习）小聪同学想乘公共汽车，他走到两车站之间的C处，拿出手机查看了公共汽车到站情况，发现公共汽车距离他（示意图如下）．若公共汽车的速度是小聪速度的6倍，小聪无论选择去哪个车站都不会错过这辆公共汽车．求两车站之间的最大距离． 34．（24-25八年级下·湖南岳阳·阶段练习）当今时代，科技的发展日新月异，扫地机器人受到越来越多的消费者青睐，市场需求不断增长．某公司旗下扫地机器人配件销售部门，当前负责销售A、B两种配件．已知购进50件A配件和125件B配件需支出成本20000元；购进40件A配件和40件B配件需支出成本12400元． (1)求A、B两种配件的进货单价； (2)若该配件销售部门计划购进A、B种配件共400件，B配件进货件数不低于A配件件数的3倍．据市场销售分析，A配件提价销售，B配件的售价比进价多20元，怎样安排A、B两种配件的进货数量，才能让本次销售的利润达到最大？最大利润是多少？ 35．（2025·河南信阳·一模）学校准备为演讲比赛优胜者颁发笔记本作为奖品，经问询知，甲种笔记本的单价比乙种笔记本贵8元，若购买5个甲种笔记本和5个乙种笔记本共需160元． (1)分别求出甲、乙两种笔记本的单价； (2)现购买甲乙两种笔记本共45个，且甲种笔记本的数量不低于乙种笔记本数量的2倍，因购买数量较多，商家同意甲种笔记本可以打八折，请你设计一种费用最低的购买方案，并求出最低费用． 压轴满分题八、一元一次不等式与一次函数的综合应用 36．（24-25八年级下·江西·阶段练习）如图，根据图中信息解答下列问题： (1)求关于的不等式的解集； (2)当时，求的取值范围． 37．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B，与正比例函数的图象交于点．已知点的坐标为，点的纵坐标为6． (1)求一次函数的表达式； (2)当时，直接写出自变量的取值范围． 38．（24-25八年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，直线与x轴交于点A，且经过点，直线与交于点． (1)求m的值； (2)求直线的表达式； (3)求的面积； (4)根据图象，直接写出关于x的不等式组的解集． 39．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）先画图再填空： 作出函数的图象，并根据图象回答下列问题： (1)y的值随x的增大而______； (2)图象与x轴的交点坐标是______；与y轴的交点坐标是______； (3)当x______时，； (4)求函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积． 40．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，是平面直角坐标系中的一个动点，直线与轴、轴分别交于点，． (1)求直线的解析式； (2)判断点是否有可能落在直线上？并说明理由； (3)点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点． 直接写出点的坐标； 当点在的内部（不包括边界）时，求的取值范围． 压轴满分题九、平移综合题(几何变换) 41．（2024·吉林·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数第一象限的图象交于点，与x轴，y轴分别交于点A，B． (1)求m的值及反比例函数的解析式； (2)将线段沿x轴向右平移得到，当点在反比例函数图象上时，请直接写出四边形的面积． 42．（23-24七年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，将线段平移至，点在轴的正半轴上移动（不与点重合），连接，且． (1)直接写出点的坐标； (2)点在运动过程中，是否存在点，满足，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点在运动过程中，请直接写出三者之间存在的数量关系． 43．（23-24八年级下·吉林松原·期末）有一根直尺短边长，长边长，还有一块锐角为的直角三角形纸板，它的斜边长为，如图，将直尺的短边与直角三角形纸板的斜边重合，且点与点重合．将直尺沿射线方向平移，设平移的长度为，且直尺和三角形纸板重叠部分的面积为． (1)当直角顶点落在直尺的长边上时，______． (2)当时，求与之间的函数关系式． (3)是否存在一个位置，使重叠部分面积为？若存在直接写出的值；若不存在说明理由． 44．（23-24七年级下·重庆江津·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标，点B的坐标是，将线段向右平移得到线段，点D的坐标为，过点D作轴，垂足为E，动点P以每秒2个单位长度的速度匀速从点A出发，沿着A→E→D的方向向终点D运动，设运动时间为t秒. (1)点C的坐标是______，当点P出发5秒时，则点P的坐标是______； (2)当点P运动时，用含t的式子表示出点P的坐标； (3)当点P在线段上运动时，是否存在点P使得三角形的面积是四边形面积的，若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由. 45．（23-24七年级下·广东江门·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，现将线段先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段，连接，． (1)如图1，求点，的坐标及四边形的面积； (2)如图1，在轴上是否存在点，连接，，使？若存在这样的点，求出点的坐标；若不存在，试说明理由； (3)如图2，点为与轴交点，在直线上是否存在点，连接，使？若存在这样的点，直接写出点的坐标；若不存在，试说明理由； 压轴满分题十、坐标与旋转规律问题 46．（23-24八年级上·山东威海·期末）线段AB，CD在正方形网格中的位置如图所示，将线段AB绕点O按顺时针方向旋转一定角度α，可以得到线段CD． (1)请在下图中画出点O； (2)若点A、B、C、D的坐标分别为A(﹣5，5)、B(1，1)、C(5，1)、D(1，﹣5)，则点O的坐标为_______. (3)α＝_____.    47．（23-24八年级上·安徽·阶段练习）如图所示的是某市市政府周边的一些建筑，以市政府为坐标原点，建立平面直角坐标系（每个小方格的边长为1）. （1）请写出商会大厦和医院的坐标. （2）王老师在市政府办完事情后，沿的路线逛了一下，然后到汽车站坐车回家，写出他路上经过的地方. 48．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在下列8×8的网格中，横、纵坐标均为整点的数叫做格点，△ABC的顶点的坐标分别为A（3，0）、B（0，4）、C（4，2）． （1）直接写出△ABC的形状； （2）要求在下图中仅用无刻度的直尺作图：将△ABC绕点B逆时针旋转角度2α得到△A1BC1，其中α＝∠ABC，A、C的对应点分别为A1、C1，请你完成作图； （3）在网格中找一个格点G，使得C1G⊥AB，并直接写出G点的坐标． 49．（23-24八年级下·浙江台州·阶段练习）如图，在直角坐标系中，已知点M0的坐标为（1，0），将线段O M0绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M1，使得M1 M0⊥O M0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M2，使得M2M1⊥OM1，得到线段OM2，如此下去，得到线段OM3，OM4，…，OMn （1）写出点M5的坐标； （2）求△M5OM6的周长； （3）我们规定：把点Mn（xn，yn）（n=0，1，2，3…）的横坐标xn，纵坐标yn都取绝对值后得到的新坐标（|xn|，|yn|）称之为点Mn的“绝对坐标”．根据图中点Mn的分布规律，请你猜想点Mn的“绝对坐标”，并写出来． 50．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，其中点A与点P，点B与点Q，点C与点R是对应的点，在这种变换下： (1)直接写出下列各点的坐标 ①A(____，_____)与P(_____，_____)；B(_____，_____)与Q(______，_____)；C(_____，______)与R(______，______) ②它们之间的关系是：______(用文字语言直接写出) (2)在这个坐标系中，三角形ABC内有一点M，点M经过这种变换后得到点N，点N在三角形PQR内，其中M、N的坐标M(，6(a+b)﹣10)，N(1﹣，4(b﹣2a)﹣6)，求关于x的不等式﹣＞b﹣1的解集． 压轴满分题十一、旋转的综合应用 51．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）在中，，将绕点顺时针旋转得到，其中点的对应点分别为点． (1)如图1，当点落在的延长线上时，则的长为______； (2)如图2，当点落在的延长线上时，连接，交于点，求的长； (3)如图3，连接，直线交于点，若，连接．在旋转过程中，是否存在最小值？若存在，请直接写出的最小值；若不存在，请说明理由． 52．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）[问题情境]如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度（），点，的对应点分别为点，． [问题解决]    (1)如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长； (2)若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)在绕点逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段长度的最大值． 53．（2024·山东济宁·二模）某校数学兴趣小组将两个边长不相等的正方形和正方形按照图方式摆放，点，，在同一条直线上，点在上． (1)操作与发现 如图2，将正方形绕点逆时针旋转． ①当时，求，，的度数； ②正方形旋转过程中，你发现与的有何数量关系？与的有何数量关系？请直接写出你发现的结论，不需要证明． (2)类比探究 如图3，将正方形绕点顺时针旋转．上面②中你发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 54．（23-24八年级下·北京·期中）阅读下列材料： 小明遇到了一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形． 他的做法是：按照图2所示的方法分割后，将三角形纸片绕的中点旋转至三角形纸片处，依此法继续操作，即可拼接成一个新的正方形． 请你参考小明的做法解决下列问题： (1)现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示．请将其分割后拼接成一个平行四边形．要求：在图3中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）． (2)如图4，在面积为的平行四边形中，点分别是边的中点，分别连接得到一个新的平行四边形．请在图4中探究平行四边形面积的大小（画图并直接写出结果）． 55．（23-24八年级下·浙江·期末）综合实践， 问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在中，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，．    (1)探究发现 旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (2)性质应用 如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长． (3)延伸思考 如图4，在中，，分别取，的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接，．当边平分线段时，求的值． 1．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）若关于x的一元一次方程的解为正整数，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（   ） A．6 B．5 C．4 D．2 2．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，等边的顶点A、B分别在直线a，b上，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，是的一条高线．若，分别是和上的动点，则的最小值是（　　）    A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·福建福州·阶段练习）如图，点A、B的坐标分别是为，，若将线段平移至的位置，与坐标分别是和，则线段在平移过程中扫过的图形面积为（   ）． A．32 B．40 C．52 D．66 6．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）已知，则= ． 7．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别为，若满足条件的整数n有且只有4个，则m的值为 ． 8．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，于点B，于点D．若，，则阴影部分的面积之和为 ． 9．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）如图，等腰三角形的底边的长为4，面积为12，腰的垂直平分线分别交，于点E，F，若D为底边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为 ． 10．（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，，，，AC在直线上，将绕点A按顺时针方向旋转到位置①，可得到点；将位置①的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置②，可得到点；将位置②的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置③，可得到点…，按此规律继续旋转.则 . 11．（24-25八年级下·宁夏银川·阶段练习）下列不等式，并在数轴上表示解集． (1) (2) 12．（2025八年级下·湖北·专题练习）为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我校校园里现有一块四边形的空地，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：，，，，．根据你所学过的知识解决下列问题： (1)求证：； (2)求四边形的面积． 13．（23-24八年级下·广西百色·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为点． (1)请在图中画出将向左平移4个单位长度得到的，并写出点的坐标； (2)请在图中画出将绕着原点顺时针旋转得到的，并写出点的坐标； (3)在x轴上找一点P，使得最小，并写出点P的坐标． 14．（24-25八年级下·广东深圳·阶段练习）【阅读理解】我们解决数学问题时，经常要用“作差法”比较两个数或代数式的大小，依据是不等式(或等式)的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知， ，其中，求证：． 证明： ，故． 【新知理解】（1）比较大小： (填“”“”或“”) 【问题解决】（2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示(a为正整数)，其面积分别为，，请比较、的大小关系． 【拓展应用】（3）请运用“作差法比较大小”解决下面这个问题．制作某产品有两种用料方案，方案一：用5块A型钢板，6块型钢板；方案二：用4块A型钢板，7块型钢板．每块A型钢板的面积比每块型钢板的面积小，方案一的总面积记为，方案二的总面积记为，试比较的大小． 15．（24-25八年级上·河南南阳·期末）综合与实践 在学习特殊三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“兄弟三角形”进行研究． 新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． (1)操作判断 如图1，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．请直接写出线段与之间的数量关系：__________． (2)性质探究 如图2，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，点D，E均在外，连结，交于点M，连结．则与是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由． (3)拓展应用 如图3，和互为“兄弟三角形”，点C为重合的顶角顶点，，点A，D，E在同一条直线上，为的高，连结，请直接写出线段，，之间的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中重难点真题特训之压轴满分题型（70题11个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、等腰三角形的性质和判定 1．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，，，求C的坐标． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，过点C作垂直x轴于D，证明，结合题意得出，，求出，即可得解． 【详解】解：过点C作垂直x轴于D， 则， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为． 2．（2025·湖南岳阳·模拟预测）如图，在中，以为直径的经过的中点E，过点E作于点D，延长交的延长线于点P． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）先证明是的中位线，则，所以，再运用直角三角形两个锐角互余得，即可作答． （2）先根据勾股定理，得出，，再运用和，得，运用三线合一得平分，得，最后根据等面积法进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图所示： ∵点E是的中点，点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：过点作，连接，，如图所示： 设为， 由（1）得， ∵， 则， 在中，则， 则， 解得， ∴ 由（1）得， ∵ 则， ∵点E是的中点， ∴平分， ∵，， ∴， 则， 即， 则， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，正方形的对角线、相交于点O，平分，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)过点E作，交于点F，若，求线段的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键； （1）依据角的关系推导出，进而得到，即可求解； （2）求出，根据全等三角形的性质得出，进而利用解答即可； 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 为等腰三角形； （2）解：在正方形中，，， 在直角三角形中，， ，， ，， ， 在和在中， ， ， ， ； 4．（2025·河北保定·一模）如图1，在中，，，，动点P和Q分别从点A和点C同时出发，点P沿着方向以每秒的速度运动，点Q沿着的路线以每秒的速度运动，点P运动的时间为，连接，在的右侧（下方）以为斜边构造等腰直角三角形． (1)的长为______； (2)如图2，当点D和点C重合时，求的长； (3)①在图3中尺规作图，作的平分线和边相交于点E；（保留作图痕迹，不写作图过程） ②当点D在射线上时，求t的值； (4)如图4，当点D恰好落在边上时，直接写出t的值和点在内部的时长． 【答案】(1) (2) (3)①见解析；② (4)， 【分析】（1）根据勾股定理计算即可求解； （2）当点D和点C重合时，根据，求得的值，进而求解的值， （3）①根据题意，作图即可，②当点D在射线上时，根据对称性，可知，进而求解的值， （4）当点D恰好落在边上时，过点Q作，判定，，当点D落在上时，进而求解的值； 【详解】（1）解：，，， ， 故答案为：； （2）解：当点D和点C重合时，如图1，，，， 则由题意可得， 所以， 解得：， ∴； （3）解：①如图2所示，线段即为所求． ②当点D在射线上时，根据对称性，可知， ∵，， ∴，解得：； （4）解：当点D恰好落在边上时，过点Q作，垂足为点E，如图3． ∴， ∴． ∴， 设，则，． ∵，， ， ， ∴， ∴． 由，得，， 解得， ， 将代入，得， 解得：． 如图4，当点D落在上时， ∵， ∴，，． ∵， ∴， 解得：． 所以点D在内部的时长为， 综上，t的值为，． 【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； 5．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）【问题背景】在矩形纸片中，，，点P在边上，点Q在边上，将纸片沿折叠，使顶点B落在点E处． 【初步认识】 （1）如图①，折痕的端点P与点A重合． ①当时， ______． ②若点E恰好在线段上，则的长为_______． 【深入思考】 （2）点E恰好落在边上． ①请在图②中用无刻度的直尺和圆规作出折痕；（不写作法，保留作图痕迹） ②如图③，过点E作交于点F，连接．请根据题意，补全图③并证明四边形是菱形； 【拓展提升】 （3）如图④，若，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 【答案】（1）①②；（2）①见详解②见详解（3）或 【分析】本题考查了矩形中的折叠问题，线段垂直平分线的尺规作图，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，菱形的判定，等腰三角形的判定及性质等； （1）①由折叠的性质得，即可求解； ②连接，设，由矩形的性质结合折叠的性质，， 由勾股定理得，即可求解； （2）①连接，作的垂直平分线交于，交于，即可求解； ②由折叠的性质及等腰三角形的性质得，即可得证； （3）当时，设，由勾股定理得，即可求解；过作交于，由等腰三角形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，即可求解； 掌握线段垂直平分线的尺规作图作法，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定及性质，菱形的判定，等腰三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理进行求解，并能以等腰三角形的腰不同进行分类讨论是解题的关． 【详解】解：（1）①， ， 由折叠得：， 故答案为：； ②连接， 四边形是矩形， ， ， ， 设， 由折叠得： ，， ， ， ， ， 在中， ， ， 解得：， ， 故答案为：； （2） ①如图， 为所求作； ②如图，补全图如下： 由折叠得：， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； （3）当时， 设， 由折叠得：， ， ， ， ， 解得：； 当时， 如图，过作交于， ， ， ， ， ， 由折叠得：， ， 在和中 ， （）， ， ， 解得：， ； 综上所述：的长为或． 压轴满分题二、等边三角形的判定和性质 6．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在中，D、E分别是的中点，，延长到点F，使得，连接． (1)证明四边形是菱形； (2)已知，求菱形的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据中点得出，根据得出，得出平行四边形，然后根据得出菱形； （2）根据得出，根据菱形的边长得出高，然后计算面积． 【详解】（1）证明：∵分别是的中点， ∴且， 又 ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又 ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ， ， ， ∴是等边三角形， ∴ ， 过点作， 则， ∴， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质等知识，判定四边形是菱形是关键． 7．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）（1）如图1，是等边内一点，连接，，，且，，，将绕点顺时针旋转后得到，连接，完成下列各题． ①线段的长 ； ②求的度数． （2）如图2，是等腰直角内一点，连接，，，将绕点顺时针旋转后得到，连接．当时，求之间的数量关系． 【答案】（1）①，②；（2） 【分析】（1）①根据等边三角形的性质得，，再根据旋转的性质得，，加上，则可判断为等边三角形，所以； ②由为等边三角形得到，再利用旋转的性质得，然后根据勾股定理的逆定理可证明为直角三角形，，所以； （2）根据旋转的性质得，，，则，进一步由勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）①∵为等边三角形， ∴，， ∵绕点B顺时针旋转后得到，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为：4； ②由旋转的性质可得，， 在中，，，， ∵，即， ∴为直角三角形，且， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴； （2）当时，，证明如下： ∵绕点B顺时针旋转后得到， ∴，，， 在直角三角形中，由勾股定理得：． ∵， ∴是直角三角形， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∴， ∴当，，满足时，． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形，熟练掌握性质定理是解题的关键． 8．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）课本再现 在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分． （1）如图1，在平行四边形中，对角线与交于点，求证：，． 知识应用 （2）在中，点为的中点．延长到，使得，使得，连接．如图2，若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论 【答案】（1）见解析；（2），见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得到，证明，即可证明； （2）过点作交于，连接，则，先证明是等边三角形，得到，，进而证明是等边三角形，得到，接着证明四边形是平行四边形，得到互相平分，则，证明，得到，则． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ； （2）解：，证明如下： 如图所示，过点作交于，连接， ， ， ，即， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， 四边形是平行四边形， 互相平分， 点为的中点， 三点共线， ， 在中， ， ， ， ． 9．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图1，．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点M、N．分别以点M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点E．作射线．过点C作，交于点D． (1)求的长； (2)如图2，连接．分别以点A、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P、Q．作直线，交的延长线于点F．连接，交于点G．当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线定义和平行线性质、等腰三角形的判定证明即可； （2）先证明是等边三角形，然后求出的长，再证，即可求出的值． 【详解】（1）解：由作图可知：平分， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． （2）解：由作图可知：垂直平分， ∴． ∵， ∴为等边三角形． ∴． ∵， ∴． ∴． 由（1）知，，， ∴，． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图—作角的平分线、作线段的垂直平分线，考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确理解尺规作图的原理是解本题的关键． 10．（2025·江苏南通·一模）某研究学习小组给出了一个问题，让同学们探究．在中，，点D在直线上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，过点E作，交直线于点F． (1)当点D在线段上时，如图，求证：； 分析问题：某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在AB 上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论： 推理证明：写出图的证明过程： 探究问题： (2)当点D在线段的延长线上时，如图：当点D在线段的延长线上时，如图，请判断线段，，之间的数量关系并证明； 拓展思考： (3)在（1）（2）的条件下，若，面积是面积两倍，则的面积为______． 【答案】(1)详见解析 (2)或，证明见解析 (3)或 【分析】（1）在边上截取，连接，根据题意证明出，得到，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可； （2）图②：在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接，首先证明出是等边三角形，得到，然后求出，然后证明出，得到，，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可； 图③：在上取点H使，同理证明出，得到，，进而求解即可； （3）根据勾股定理和含角直角三角形的性质求出，，然后结合，分别（1）（2）的条件下求出的长度，进而求解即可． 【详解】（1）证明：在边上截取，连接． 在中，． ， ． 又， ． 又，， ． 又， ． ． ． ． ， ． 是等边三角形． ， ， ； （2）解：图②：当点D在线段的延长线上时，，证明如下： 如图所示，在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 图③：当点D在线段的延长线上时，，证明如下∶ 如图所示，在上取点H使， ∵， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过E作于H， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵面积是面积两倍， ∴，又， ∴，则， 由（1）可知，， ∴， 在中，， ∴，则， ∴； 如图所示，当点D在线段的延长线上时， ∵，与矛盾， ∴不符合题意； 如图所示，当点D在线段的延长线上时， ∵，， ∴，则， 由（2）可知，， ∵， ∴， 过A作于M，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的面积为或． 【点睛】此题考查了旋转性质、全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质和判定，含角直角三角形的性质，三角形的外角性质，平行线的性质等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加辅助线构造全等三角形和等边三角形是解题的关键． 压轴满分题三、全等的性质和HL综合（HL） 11．（24-25八年级上·四川德阳·期中）如图，在梯形中，，点E为的中点，平分． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查角平分线的判定和性质，全等三角形的判定与性质，根据角平分线这个条件添加辅助线是解题的关键． （1）作，垂足为M，先根据角平分线性质定理得到，再等量代换，根据角平分线判定即可证明； （2）证明和即可． 【详解】（1）证明：作，垂足为M，如图所示： ∵平分，， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴平分； （2）证明：由（1）得，， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∵， ∴． 12．（24-25八年级下·贵州黔南·阶段练习）如图，在中，，，，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，设运动时间为秒． (1)若点在上，且满足，求此时的值； (2)若点恰好在的平分线上，求此时的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质及角平分线性质，利用勾股定理建立方程是解题的关键． （1）在中，用勾股定理计算出，用表示出，再在中，利用勾股定理建立方程求解即可； （2）过作于点，由角平分线性质可得，再证明，利用全等的性质及线段之间的关系求出，用表示出，在中，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， 在中，， 由题意得，， ， ， 在中，，即， 解得：． （2）解：作的平分线，过作于点，如图所示， 平分，，， ， 在和中，， ， ， ， 由题意得，则， 在中，，即， 解得：． 13．（24-25八年级上·山东聊城·期末）在中，，分别是边，边上的点，作于点，于点，连接，若，． (1)求证：； (2)若，的面积为6，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据题意得到，然后证明，即可得到； （2）根据题意得到为的中线，推出，然后得到，求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中，， ， ， ； （2）解：， 为等腰三角形， 由（1）知， ∴， 即为的平分线， 为的中线， ， 在中 ， ， ∵，， ， ， 为中线， ， 的面积为． 14．（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）小丽和小明在研究一个尺规作图问题． 如图1，在四边形中，，．用直尺和圆规作，交边于点E． 小丽：如图2，以点B为圆心，长为半径作弧，交边于点E，连接，则． 小明：如图3，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，连接，则．    (1)填空：判断他们的作图方法是否正确．（填“正确”或“错误”）； ①小丽的作法______； ②小明的作法______． (2)请从（1）中任选一项判断说明理由．（要求：写出推理过程） 【答案】(1)正确，正确 (2)见解析 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意可得到结论； （2）利用平行四边形的判定和矩形的判定证明四边形是矩形，再根据矩形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：小丽和小李的作法正确， 故答案为：正确，正确 （2）如图2中，∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故小丽作法正确； 如图3中，连接，    ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 15．（24-25八年级下·广东揭阳·阶段练习）【操作实验】 如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称．所以，所以． 【归纳结论】如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等． 根据上述内容，回答下列问题： 【思考验证】如图（1），在中，．试说明的理由． 【探究应用】如图（4），，垂足为，，垂足为．为的中点，，． （1）与是否相等？为什么？ （2）小明认为垂直并且平分线段，你认为对吗？说说你的理由． （3）与相等吗？试说明理由． 【答案】思考验证：理由见解析；探究应用：（1）相等，理由见解析；（2）对，理由见解析；（3）相等，理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 思考验证：过A点作于D，证明即可求解； （1）先证明，再根据证明即可求解； （2）可证点A，C在线段的垂直平分线上，进而可说明垂直并且平分线段； （3）由得，等量代换得，从而可证． 【详解】解：思考验证： 如图，过A点作于D， ∴， 在和中， ∴， ∴； 探究应用： （1）∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴． ∴． （2）∵E是中点， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴C在线段的垂直平分线上． ∵， ∴A在线段的垂直平分线上． ∴是线段． （3）∵， ∴． ∵， ∴． ∴由已知中的结论可得． 压轴满分题四、勾股定理逆定理的实际应用 16．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，公园内有一个四边形步道，其中，从点到点有两条路线，分别是和．已知米，米，米，米． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)通过计算比较两条路线，哪条更短？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)路线更短 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． （1）根据勾股定理的逆定理解答； （2）根据勾股定理求出，比较大小得到答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 在中，米，米，米， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ 在中，米，米， 由勾股定理得：（米）， ∴米，（米）， ∵， ∴路线更短． 17．（24-25八年级下·四川自贡·阶段练习）如图，一工厂位于点处，河边原有两个取水点，，其中，由于从工厂到取水点的路受阻，为了取水更方便，工厂新建一个取水点（点，，在一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)请判断是否为从工厂到河边最近的一条路（即与是否垂直）？并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)是从工厂到河边最近的一条路，理由见详解 (2) 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用、垂线段最短，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解答的关键． （1）根据勾股定理的逆定理和垂线段最短进行计算判断即可； （2）设，则，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：是从工厂到河边最近的一条路，理由为： ，，， ， 是直角三角形，且，则， 根据垂线段最短，是从工厂到河边最近的一条路； （2）解：设，则， 在中，由得 解得， 即； 18．（24-25八年级上·河南南阳·期末）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)的度数为__________． (2)在飞机飞行过程中，飞机距离着火点的最短距离为__________． (3)若该飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要秒，那么着火点能否被该飞机扑灭？请你通过计算说明． 【答案】(1) (2) (3)能，见解析 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，熟练掌握这两个定理是解题的关键． （1）过点作于点，先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形， （2）利用直角三角形的面积计算出的长，即可得出结论； （3）当时求出的长，进而得出的长，再根据路程、速度、时间之间的关系即可求出时间，从而作出判断． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ，，， ，， ， 是直角三角形， 故答案为：． （2）， ， 即飞机距离着火点的最短距离为， 故答案为：． （3）解：着火点C能被该飞机扑灭． 如图所示，当时，飞机正好喷到着火点C， 在中，， 所以． 因为飞机的速度为，所以， 因为20秒秒， 所以着火点C能被飞机扑灭． 19．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路的同侧，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，供水点M在小路上，供水点M到的距离的长为，的长为． (1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长； (2)请求出喷泉B到小路的最短距离． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用． （1）利用勾股定理求出，得到，勾股定理求出，再根据勾股定理即可得到答案； （2）用勾股定理逆定理证明是直角三角形，，则即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，， 在中，， ∴， ， 在，， ∴， ， 即供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长为； （2）解：在中，， ， ∴是直角三角形，， ， ∴喷泉B到小路的最短距离为． 20．（23-24八年级下·重庆·期末）已知图1是某超市小号购物车，图2是超市小号购物车的侧面示意图，现已测得支架，，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），、均与地面平行． (1)猜想两支架与的位置关系并说明理由： (2)若的长度为，，求购物车把手到的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：） 【答案】(1)两支架与为垂直的位置关系，理由见解析 (2)购物车把手到的距离为． 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，含度角的直角三角形的性质； （1）根据题意可得，根据勾股定理的逆定理即可得出，即可求解； （2）过点作的垂线，交的延长线于点，根据平行线的可得出，在中，勾股定求得，根据等面积法，即可求解． 【详解】（1）解：两支架与为垂直的位置关系，理由如下： 在中． ∵，，，且， ∴ ∴， 答：两支架与为垂直的位置关系； （2）解：如图所所示，过点作的垂线，分别交的延长线于点，设点C到的距离为h， ∴ ∵，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 答：购物车把手到的距离为． 压轴满分题五、线段垂直平分线的性质与判定 21．（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）如图，在中，，是的角平分线， (1)尺规作图：求作的高线； (2)在（）的条件下，连接，求证：垂直平分． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了经过一点作已知直线的垂线，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，掌握以上知识点是解题的关键． （）过点作的垂线即可； （）证明，得到，，再根据线段垂直平分线的判定即可求证； 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）证明：由（）得是的高线， ∴， ∴， ∵， ∴, ∵是的角平分线， ∴, 在和中, ， ∴， ∴，， ∴点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 22．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在中，分别垂直平分和，交于两点，与相交于点． (1)若的周长为，求的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用． （）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后求出的周长； （）根据三角形的内角和定理列式求出，根据等边对等角可得，，再计算即可得解． 【详解】（1）解：∵、分别垂直平分和， ∴，， ∴的周长， ∵的周长为， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 23．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）在中，，，是线段上任一点（不与重合），作交于，是延长线上一点，连结交于，． (1)求证：； (2)过作，若， ①证明：； ②求的长（结果不化简）． 【答案】(1)证明见解析； (2)①证明见解析；② 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）根据同位角相等，直线平行可得：，根据两直线平行，内错角相等得出，，根据等腰直角三角形的判定和性质得出，推得，根据全等三角形的判定和性质即可证明； （2）①如图2，连接，根据全等三角形的判定和性质得出，，根据垂直平分线的判定和性质得出，根据等边对等角得出，即可求解； ②设，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，根据，列出方程，解方程的值，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴． （2）①证明：连接，如图： ∵， ∴， 在与， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴； ②解：设， 在中，， 故， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， 即， 解得， ∴． 24．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）【问题发现】我们知道“线段垂直平分线上点到线段两端的距离相等”，那么不在线段垂直平分线上的点到线段两端的距离大小如何判断呢？ 【自主研究】（1）如图①，直线l是线段 的垂直平分线，点P在直线l的左侧，经测量， 请证明这个结论； 【迁移研究】（2）如图②，直线l是线段的垂直平分线，点C在直线l外，且与点A在直线l的同测，点D 是直线l上的任意一点，连结，试判断和之间的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）理由见解析；（2），理由见解析 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形三边的关系，关键是掌握线段垂直平分线上的任意一点，到线段两端点的距离相等． （1）如图①，连接，由线段垂直平分线的性质推出，由三角形三边关系定理得到，推出； （2）如图②，当D不在线段上时，连接，由线段垂直平分线的性质推出，由三角形三边关系定理得到，当D在线段上时，，于是． 【详解】（1）证明：如图①，连接， ∵直线l是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图②，，理由如下： 当D不在线段上时，连接， ∵直线l是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 当D在线段上时，， 综上可知，． 25．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）风筝（图1）的起源可以追溯到春秋时期，距今已有2000多年的历史．相传，墨翟（墨子）用木头制作了一只木鸟，经过三年的研制，最终成功飞行，这被认为是人类最早的风筝起源．某同学依据风筝模型，设计了图2中的筝形，已知． (1)说明垂直平分； (2)回顾所学公式，试猜想与的大小，并说明理由； (3)在（1）（2）的基础上解决下面问题：某同学要做一个面积为的筝形风筝时，用来做对角线的竹条有75厘米，请问能否做成？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)不能做成，理由见解析 【分析】本题主要查了线段垂直平分线的判定，完全平方公式的应用．熟练掌握线段垂直平分线的判定，完全平方公式是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的判定定理解答即可； （2）根据完全平方公式解答即可； （3）设，可得，从而得到．再由（2）知，，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴点A在线段的垂直平分线上，点C也在线段的垂直平分线上． 又∵线段的垂直平分线只有一条， ∴垂直平分． （2）解：与的大小关系为：， 理由如下： ∵， ∴， ∴． （3）解：不能做成，理由如下： 设， ∵筝形的对角线互相垂直， ∴， ∴． 由（2）知，， ∴， 即， ∴用来做对角线的竹条至少要80厘米． ∵， ∴不能做成． 压轴满分题六、角平分线性质的实际应用 26．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，是的角平分线， ，．求点D到的距离． 【答案】点D到的距离为 【分析】本题考查角平分线性质，熟练掌握角平分线性质是解题的关键．过点D作于点E．得到，设，则，结合角平分线性质建立等式求解，即可解题． 【详解】解：如图，过点D作于点E． 是的角平分线， ． 由题意可设，则， ， 解得， ，即点D到的距离为． 27．（24-25八年级上·甘肃临夏·期中）如图，和都是等边三角形，且点在一条直线上，连接和，交、于点．和相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，请判断的形状，并说明理由． (3)求证：平分 【答案】(1)证明见解析 (2)为等边三角形，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质和角平分线的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，则； （2）由（1）得：，即，证明，则，进而可证是等边三角形． （3）过点分别作于点，于点，由全等三角形对应边上的高相等得，根据角平分线的性质证明平分． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． （2）解：为等边三角形，理由如下： 由（1）得：， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形． （3）证明：过点分别作于点，于点， 由（1）知，根据全等三角形的性质，全等三角形对应边上的高相等， ∴， ∵，，， ∴点在的平分线上， ∴平分． 28．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）在中，，点是上一点，过点作于点． (1)如图1，证明：； (2)已知平分，点是上一点，与交于点，，． ①如图2，当时，求的值； ②如图3，当点为的中点时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①，② 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平分的性质定理，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意可证，由此即可求证； （2）①在中，运用勾股定理可得，根据垂直的定义可得即，可证，由此即可求解；②根据，平分，由角平分线的性质定理可得，可证，由（1）可知，可得，过点作，与延长线交于点，如图，则，可证，得到，则，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， 又， ， ，即； （2）解：①在中，， 平分， ， ，， ，即， ， ； ②，，平分， ， 又，， ， ，则， 由（1）可知，则，且， ， 解得， 过点作，与延长线交于点，如图，则， ，， 又点是的中点，即， ， ， ，则， ． 29．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）角平分线的轴对称性可以为解题提供思路和方法：    (1)如图1，在的两边上取两点A、B，使，点P为角平分线上任意一点，连接、，根据角的轴对称性易得______； (2)如图2，中，，求证：． 证明：作的平分线交边于点D，在边上截取，连接．（请完成证明） (3)如图3，在中，，为的角平分线，写出、、之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据角的轴对称性，即可得到； （2）证明，得到，根据三角形的外角的性质，即可得出结论； （3）在上截取，证明，得到，，利用外角的性质，得到，进而得到，于是，利用即可得出． 【详解】（1）解：∵角关于角平分线所在的直线对称，， ∴点A、B关于直线对称， ∴； 故答案为：； （2）证明：作的平分线交边于点D，在边上截取，连接，则：，    又， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴； （3）；理由如下： 在上截取，连接，    ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键． 30．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）已知直线，两条直线相交于点O，为等腰三角形，点A在射线上，点B在射线上． (1)如图1，点C在内部，若于H，证明： (2)如图2，，点C在射线上，点E、F分别是边BC、AB上的点，若．求证：； (3)如图3，点C与点O重合时点E在内部，，连接，求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 (3) 【分析】（1）利用证明，即可求解； （2）设，则，推导出，则，再证明，即可得到； （3）过点O作交于点G，过点O作交于的延长线于点H，证明，可得是的角平分线，再求． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点O作交于点G，过点O作交于的延长线于点H， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键． 压轴满分题七、一元一次不等式（组）的综合应用 31．（24-25八年级下·山东菏泽·阶段练习）某工程队负责在山脚下修建一座水库的施工任务，该工程队有两种型号的挖掘机，已知台型和台型同时施工小时挖土；台型和台型挖掘机同时施工小时挖土.每台型挖掘机每小时施工费用为元，每台型挖掘机每小时施工费用为元． (1)每台型、型挖掘机每小时分别挖土多少？ (2)若型和型挖掘机共台同时施工，至少完成的挖土量，该工程队施工的最低费用是多少元？ 【答案】(1)每台型挖掘机每小时挖出立方米，每台型挖掘机每小时挖出立方米； (2)施工时用型型都是台时，总费用最低元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，读懂题意，找准数量关系，列出方程组，列出不等式，函数关系式是解题的关键． （）设每台型挖掘机每小时挖出立方米，每台型挖掘机每小时挖出立方米，根据题意可得，然后解方程组即可； （）设型挖掘机要台，总费用为元，根据题意可得，再求出的范围，再利用一次函数增减性求出最低费用． 【详解】（1）解：设每台型挖掘机每小时挖出立方米，每台型挖掘机每小时挖出立方米， 根据题意可得：， 解得：， 答：每台型挖掘机每小时挖出立方米，每台型挖掘机每小时挖出立方米； （2）解：设型挖掘机要台，总费用为元， 根据题意可得：， ， 解得：， ∵， ∴随的增大而增大， ∴时，费用最低元， 答：施工时用型型都是台时，总费用最低元． 32．（2025·河南郑州·一模）小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录．小亮周六进行了两组运动，第一组安排30个深蹲，20个开合跳，健身软件显示消耗热量34千卡；第二组安排20个深蹲，40个开合跳，健身软件显示两组运动共消耗热量70千卡． (1)小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？ (2)小亮想设计一个10分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量不少于开合跳的数量．每个深蹲用时4秒，每个开合跳用时2秒，小亮安排多少个深蹲消耗的热量最多？ 【答案】(1)小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗0.8千卡，0.5千卡热量 (2)100个 【分析】本题主要考查二元一次方程组，不等式，一次函数求最值，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗x千卡，y千卡热量，由此列式求解即可； （2）设小亮安排a个深蹲，则安排开合跳的个数为，由题意得到，设消耗的热量为W千卡，由此列式，根据一次函数求最值的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：设小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗x千卡，y千卡热量， 由题意得：， 解得：， 答：小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗0.8千卡，0.5千卡热量． （2）解：设小亮安排a个深蹲，则安排开合跳的个数为：， 由题意得：， 解得：， 设消耗的热量为W千卡， 则， ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当时，即取得最大值为：， 答：小亮安排100个深蹲消耗的热量最多． 33．（2025七年级下·全国·专题练习）小聪同学想乘公共汽车，他走到两车站之间的C处，拿出手机查看了公共汽车到站情况，发现公共汽车距离他（示意图如下）．若公共汽车的速度是小聪速度的6倍，小聪无论选择去哪个车站都不会错过这辆公共汽车．求两车站之间的最大距离． 【答案】． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设看手机时小聪距离A站，距离B站.到A公交站，由小聪到A站所用时间不能多于公交车到A站所用时间，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可求出x的取值范围；到B公交站，由小聪到B站所用时间不能多于公交车到B站所用时间，即可得出关于y的一元一次不等式，解之即可求出y的取值范围，进而可得出的取值范围，再取其最大值即可得出结论． 【详解】解：设看手机时小聪距离A站，距离B站． 到A车站：，解得． 到B车站：，解得． 故， 所以两车站之间的最大距离为． 34．（24-25八年级下·湖南岳阳·阶段练习）当今时代，科技的发展日新月异，扫地机器人受到越来越多的消费者青睐，市场需求不断增长．某公司旗下扫地机器人配件销售部门，当前负责销售A、B两种配件．已知购进50件A配件和125件B配件需支出成本20000元；购进40件A配件和40件B配件需支出成本12400元． (1)求A、B两种配件的进货单价； (2)若该配件销售部门计划购进A、B种配件共400件，B配件进货件数不低于A配件件数的3倍．据市场销售分析，A配件提价销售，B配件的售价比进价多20元，怎样安排A、B两种配件的进货数量，才能让本次销售的利润达到最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)A配件的进货单价是250元，B配件的进货单价是60元 (2)当购进100件A配件，300件B配件时，才能让本次销售的利润达到最大，最大利润是10000元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组，不等式和一次函数，是解题的关键： （1）设A配件的进货单价是x元，B配件的进货单价是y元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设购进m件A配件，则购进件B配件，根据题意，得到，求出的范围，设购进的两种配件全部售出后获得的总利润为w元，列出函数关系式，利用一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设A配件的进货单价是x元，B配件的进货单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A配件的进货单价是250元，B配件的进货单价是60元； （2）设购进m件A配件，则购进件B配件， 根据题意得：， 解得：， 设购进的两种配件全部售出后获得的总利润为w元，则， 即， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，最大值为，此时． 答：当购进100件A配件，300件B配件时，才能让本次销售的利润达到最大，最大利润是10000元． 35．（2025·河南信阳·一模）学校准备为演讲比赛优胜者颁发笔记本作为奖品，经问询知，甲种笔记本的单价比乙种笔记本贵8元，若购买5个甲种笔记本和5个乙种笔记本共需160元． (1)分别求出甲、乙两种笔记本的单价； (2)现购买甲乙两种笔记本共45个，且甲种笔记本的数量不低于乙种笔记本数量的2倍，因购买数量较多，商家同意甲种笔记本可以打八折，请你设计一种费用最低的购买方案，并求出最低费用． 【答案】(1)甲种笔记本的单价是20元，乙种笔记本的单价是12元 (2)购买30个甲种笔记本，购买15个乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是660元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程，不等式及函数关系式． （1）设甲种笔记本的单价是元，则乙种笔记本的单价是元，根据“购买5个甲种笔记本和5个乙种笔记本共需160元”列出一元一次方程，即可解得； （2）设购买个甲种笔记本，根据甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的2倍，可得，设所需费用为元，，由一次函数性质即可求解． 【详解】（1）解：设甲种笔记本的单价是元，则乙种笔记本的单价是元， 根据题意得：， 解得， ， 答：甲种笔记本的单价是20元，乙种笔记本的单价是12元； （2）解：设购买个甲种笔记本，则购买个乙种笔记本， 甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的2倍， ， 解得， 设所需费用为元， ， ， 随的增大而增大， 时，最小，最小值为（元， 此时， 答：购买30个甲种笔记本，购买15个乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是660元． 压轴满分题八、一元一次不等式与一次函数的综合应用 36．（24-25八年级下·江西·阶段练习）如图，根据图中信息解答下列问题： (1)求关于的不等式的解集； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，两直线交点问题等知识，数形结合是解题的关键． （1）根据图象和y轴的交点坐标进行解答即即可； （2）一次函数的图象知，两条直线的交点坐标是，据此进行解答即可． 【详解】（1）解：∵直线与y轴的交点是， ∴当时，， 即不等式的解集是； （2）解：由一次函数的图象知，两条直线的交点坐标是，当函数的图象在的下面时，有． ∴当时， 37．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B，与正比例函数的图象交于点．已知点的坐标为，点的纵坐标为6． (1)求一次函数的表达式； (2)当时，直接写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握待定系数法和数形结合思想是解题的关键． （1）先求出，再根据待定系数法求解； （2）根据数形结合思想求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， 的图象经过点和， 解得：， 一次函数的表达式为：； （2）解：由图象得：时，自变量的取值范围为：． 38．（24-25八年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，直线与x轴交于点A，且经过点，直线与交于点． (1)求m的值； (2)求直线的表达式； (3)求的面积； (4)根据图象，直接写出关于x的不等式组的解集． 【答案】(1) (2) (3)3 (4) 【分析】（）把点的坐标代入直线的解析式求出的值； （）根据点的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式解答； （）根据两直线解析式确定A、D点的坐标，然后利用三角形面积公式计算； （4）观察图象，可直接写出的解集． 【详解】（1）解：把的坐标代入，得， 解得：； （2）解：把，的坐标代入， 得， 解得， ∴直线的表达式为； （3）解：对于直线，当时，，解得，则， 对于直线，当时，，解得，则， ∴； （4）解：观察图象，可知解集是． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 39．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）先画图再填空： 作出函数的图象，并根据图象回答下列问题： (1)y的值随x的增大而______； (2)图象与x轴的交点坐标是______；与y轴的交点坐标是______； (3)当x______时，； (4)求函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积． 【答案】(1)作图见解析，减小 (2)， (3) (4) 【分析】（1）分别求时x的值、时y的值即可画出函数图象，根据一次项的图象判断增减性即可； （2）由（1）即可解答； （3）根据图象在x轴上方的部分对应的x的值解答即可； （4）根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：令，则，故函数图象与x轴的交点坐标为， 令，则，故函数图象与y轴的交点坐标为， 画图如下： 从图象可以看出随的增大而减小； 故答案为：减小； （2）解：图象与轴的交点坐标是，与轴的交点坐标是； 故答案为：，； （3）解：由图象可知：当时，； 故答案为：； （4）解：函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积是． 【点睛】此题考查了一次函数中的综合知识，涉及作图、增减性、交点坐标、与不等式的关系及与坐标轴围成的图形的面积，熟练掌握和运用一次函数的图象和性质是解决本题的关键． 40．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，是平面直角坐标系中的一个动点，直线与轴、轴分别交于点，． (1)求直线的解析式； (2)判断点是否有可能落在直线上？并说明理由； (3)点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点． 直接写出点的坐标； 当点在的内部（不包括边界）时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)有可能，当的坐标是时，点落在直线上，见解析； (3)点的坐标是；． 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质、一次函数的平移、求一次函数的解析式，解决本题的关键是待定系数法求一次函数的解析式，然后再利用一次函数的图象与性质求解． 把点的坐标代入，得到关于的一次方程，解方程求出的值即可； 把代入，得到关于的一元一次方程，解方程求出的值，再根据的值求出点的坐标即可判断； 先根据一次函数的解析式求出点的坐标，再根据平面直角坐标中点平移时，左减右加，上加下减求出点的坐标； 根据点的坐标可知：点在直线上，用待定系数法求出直线的解析式为，因为点在的内部（不包括边界），所以可得不等式组，解不等式组求出的取值范围． 【详解】（1）解：点在直线上， ， 解得：， 直线l的解析式为； （2）解：有可能，理由如下： 把代入， 得：， 解得：， ， 当的坐标是时，点落在直线上； （3）解：当时，可得：， 点的坐标为， 把点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度可得：点的坐标是； 是平面直角坐标系中的一个动点， 点在直线上， 设直线的解析式为， 把点，代入， 可得：， 解得：， 可得：直线的解析式为， 在的内部（不包括边界）的点的坐标满足： 当时，解得：； 当时，解得：， 在的内部（不包括边界）的点的坐标满足：， 点在的内部（不包括边界）， ． 压轴满分题九、平移综合题(几何变换) 41．（2024·吉林·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数第一象限的图象交于点，与x轴，y轴分别交于点A，B． (1)求m的值及反比例函数的解析式； (2)将线段沿x轴向右平移得到，当点在反比例函数图象上时，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)， (2)8 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，平行四边形的面积，求得平移的距离是解题的关键． （1）由一次函数的解析式求得点的坐标，代入，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式； （2）求得，把代入反比例函数的解析式即可求得，然后利用平行四边形的面积公式即可求得四边形的面积． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数第一象限的图象交于点， ， ， ， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：令，则， 把代入，解得， ， 由题意可知，四边形是平行四边形， 四边形的面积． 42．（23-24七年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，将线段平移至，点在轴的正半轴上移动（不与点重合），连接，且． (1)直接写出点的坐标； (2)点在运动过程中，是否存在点，满足，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点在运动过程中，请直接写出三者之间存在的数量关系． 【答案】(1) (2)存在点满足，点的坐标为或 (3)点在运动过程中，或． 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图象的变换，掌握图形的平移规律，几何图形面积的计算方法，平行线的判定和性质等知识是解题的关键． （1）根据平移的性质可得点向左边平移了6个单位，由此即可求解； （2）根据题意，设点，则，用含的式子表示，根据绝对值的性质即可求解； （3）根据题意，图形结合，分类讨论，当点在上时；当点在点的右边时；根据平行线的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：已知点，点，将线段平移至， ∴点的纵坐标为，横坐标为， ∴； （2）解：存在，理由如下， 设点，则，且，， ∴，， ∵， ∴，整理得，， 当时，， 解得，，则； 当时，， 解得，，则； 综上所述，存在点满足，点的坐标为或； （3）解：已知点在轴的正半轴上移动（不与点重合）， 第一种情况，当点在上时，如图所示，作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 第二种情况，当点在点的右边时，如图所示，作， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，点在运动过程中，或． 43．（23-24八年级下·吉林松原·期末）有一根直尺短边长，长边长，还有一块锐角为的直角三角形纸板，它的斜边长为，如图，将直尺的短边与直角三角形纸板的斜边重合，且点与点重合．将直尺沿射线方向平移，设平移的长度为，且直尺和三角形纸板重叠部分的面积为． (1)当直角顶点落在直尺的长边上时，______． (2)当时，求与之间的函数关系式． (3)是否存在一个位置，使重叠部分面积为？若存在直接写出的值；若不存在说明理由． 【答案】(1)4或8 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据等腰三角形的高的性质求解即可； （2）设直尺与直角三角形的直角边交于、两点，分情况讨论：①当时，②当时；③当时，用含的式子表示梯形各边，再根据梯形的面积公式列出式子化简即可； （3）根据重叠部分面积为，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，，，直角三角形的锐角为， 当直角顶点落在直尺的点边上时，为等腰直角的高， , ， 当直角顶点落在直尺的点D边上时，为等腰直角的高， ， 故答案为：4或8； （2）解：设直尺与直角三角形的直角边交于、两点， ①当时，如图1所示， 由题意可知：，， ； ②当时，如图2，过点作于点， ，，，，， ； ③当时，如图3， ，， ， 综上，． （3）解：当时，， 所以当时，必然大于4，即， 解得， 所以当时，阴影部分面积为． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，梯形的面积，分类思想的应用，方程思想的应用，二次函数的应用，综合性较强，解题的关键是对于每个涉及到的知识点和性质较为熟悉，能够灵活运用． 44．（23-24七年级下·重庆江津·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标，点B的坐标是，将线段向右平移得到线段，点D的坐标为，过点D作轴，垂足为E，动点P以每秒2个单位长度的速度匀速从点A出发，沿着A→E→D的方向向终点D运动，设运动时间为t秒. (1)点C的坐标是______，当点P出发5秒时，则点P的坐标是______； (2)当点P运动时，用含t的式子表示出点P的坐标； (3)当点P在线段上运动时，是否存在点P使得三角形的面积是四边形面积的，若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由. 【答案】(1)； ； (2)点在上运动时，，点P在上运动时， (3)存在，或. 【分析】本题是平移综合题，考查了三角形的面积，动点问题，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）根据题意，，进而求出点的坐标；由题意得，，，点在上，且，进而表示出点的坐标； （2）当点在上运动时，当点在上运动时，分别表示出点的坐标即可作答； （3）先求出四边形的面积,点在上运动时列方程求解即可． 【详解】（1）解：点的坐标是，点的坐标为， 由平移的性质得， 点的坐标， ； 由题意得，，， 点的运动速度为每秒2个单位长度， 出发5秒时，运动的距离为10个单位长度， 此时点在上，且， 点的坐标为， 故答案为：，； （2）解：当点在上运动时， ， 点的坐标为； 当点在上运动时， ， 点的坐标为， 点的坐标为； （3）解：四边形的面积为， ， 当点在上运动时，边上的高为4， 即， 解得， 点的坐标为或， 45．（23-24七年级下·广东江门·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，现将线段先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段，连接，． (1)如图1，求点，的坐标及四边形的面积； (2)如图1，在轴上是否存在点，连接，，使？若存在这样的点，求出点的坐标；若不存在，试说明理由； (3)如图2，点为与轴交点，在直线上是否存在点，连接，使？若存在这样的点，直接写出点的坐标；若不存在，试说明理由； 【答案】(1)12； (2)或； (3)或． 【分析】（1）根据平移的性质求出点，的坐标，根据平行四边形的面积公式求出四边形的面积； （2）根据三角形的面积公式计算即可； （3）根据直线上点的坐标特征设出点的坐标，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：（1）∵点，的坐标分别为，，线段先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段， ∴点的坐标为，点的坐标为，， ∴四边形的面积； （2）存在， 设点的坐标为， 由题意得：， 解得：， ∴点的坐标为或； （3）设点的坐标为， 则， 由题意得：， 解得：或， 则点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是平移的性质、三角形的面积计算、点的坐标特征，根据平移变换的性质求出点，的坐标是解题的关键． 压轴满分题十、坐标与旋转规律问题 46．（23-24八年级上·山东威海·期末）线段AB，CD在正方形网格中的位置如图所示，将线段AB绕点O按顺时针方向旋转一定角度α，可以得到线段CD． (1)请在下图中画出点O； (2)若点A、B、C、D的坐标分别为A(﹣5，5)、B(1，1)、C(5，1)、D(1，﹣5)，则点O的坐标为_______. (3)α＝_____.    【答案】(1)见解析；(2)(-2，-2)；(3)90°. 【分析】(1)连接AC，BD，分别作AC，BD的垂直平分线交于O，正确点O即为所求；(2)构建平面直角坐标系解决问题即可.(3)构建旋转角的定义即可判断. 【详解】解：(1)如图所示，点O即为所求；    (2)观察图象可知，O(﹣2，﹣2). 故答案为(﹣2，﹣2). (3)观察图象可知α＝90°. 故答案为90°. 【点睛】本题考查了旋转的定义、旋转的性质，解决本题的关键（1）熟练掌握旋转的定义，会找旋转中心,（2）正确理解旋转的性质. 47．（23-24八年级上·安徽·阶段练习）如图所示的是某市市政府周边的一些建筑，以市政府为坐标原点，建立平面直角坐标系（每个小方格的边长为1）. （1）请写出商会大厦和医院的坐标. （2）王老师在市政府办完事情后，沿的路线逛了一下，然后到汽车站坐车回家，写出他路上经过的地方. 【答案】（1）商会大厦的坐标为，医院的坐标为;（2）大剧院，体育公园，购物广场 【分析】（1）根据原点的位置，直接可以得出商会大厦和医院的坐标. （2）根据点的坐标找出对应的地点，即可解决； 【详解】（1）    根据图像可得：商会大厦的坐标为，医院的坐标为; （2）根据图像可得王老师经过：大剧院，体育公园，购物广场 【点睛】本题考查坐标确定位置，解题关键是根据原点的位置找出对应的地点. 48．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在下列8×8的网格中，横、纵坐标均为整点的数叫做格点，△ABC的顶点的坐标分别为A（3，0）、B（0，4）、C（4，2）． （1）直接写出△ABC的形状； （2）要求在下图中仅用无刻度的直尺作图：将△ABC绕点B逆时针旋转角度2α得到△A1BC1，其中α＝∠ABC，A、C的对应点分别为A1、C1，请你完成作图； （3）在网格中找一个格点G，使得C1G⊥AB，并直接写出G点的坐标． 【答案】（1）证明见解析；（2）画△A1BC1见解析；（3）点G（0， 3）． 【分析】（1）利用勾股定理以及勾股定理的逆定理解决问题． （2）利用数形结合的思想解决问题． （3）利用数形结合的思想解决问题． 【详解】解：（1）∵A（3，0）、B（0，4）、C（4，2）， ∴， AC＝，， ∴， ∴， ∴△ABC是直角三角形． （2）根据题目已知条件，将△ABC绕点B逆时针旋转角度2∠ABC得到△A1BC1，则△A1BC1如图所示． （3）如图示，过C1点，作直线C1G使得C1G⊥AB交y轴于点G， 由图可知，点G坐标为：（0，3）． 【点睛】本题考查作图-旋转变换，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，． 49．（23-24八年级下·浙江台州·阶段练习）如图，在直角坐标系中，已知点M0的坐标为（1，0），将线段O M0绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M1，使得M1 M0⊥O M0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M2，使得M2M1⊥OM1，得到线段OM2，如此下去，得到线段OM3，OM4，…，OMn （1）写出点M5的坐标； （2）求△M5OM6的周长； （3）我们规定：把点Mn（xn，yn）（n=0，1，2，3…）的横坐标xn，纵坐标yn都取绝对值后得到的新坐标（|xn|，|yn|）称之为点Mn的“绝对坐标”．根据图中点Mn的分布规律，请你猜想点Mn的“绝对坐标”，并写出来． 【答案】（1）；（2）；（3）当点M在x轴上时，点的“绝对坐标”为；当点M在y轴上时，点的“绝对坐标”为；当点M在各象限的角平分线上时，点的“绝对坐标”为 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质分别求出M1、M2、M3、M4的坐标，然后求M5的坐标． （2）要求周长，就先根据各点的坐标求出三角形的三边长，然后再求周长． （3）点Mn的“绝对坐标”可分三类情况来一一当点M在x轴上时；当点M在各象限的分角线上时；当点M在y轴上时． 【详解】（1）由题得：OM0=M0M1， ∴M1的坐标为（1，1）． 同理M2的坐标为（0，2）， M3的坐标为（-2，2）， M4的坐标为（-4，0）， M5（-4，-4）； （2）由规律可知，OM5＝， M5M6=，OM6=8， ∴△ M5OM6的周长为8+； （3）由题意知，OM0旋转8次之后回到x轴的正半轴， 在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的分角线上或x轴或y轴上， 但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数， 因此，各点的“绝对坐标”可分三种情况： ①当n=4k时（其中k=0，1，2，3，），点在x轴上，则Mn； ②当n=4k-2时（其中k=1，2，3，），点在y轴上，点Mn； ③当n=2k-1时，点在各象限的角平分线上，则点Mn 【点睛】本题综合考查了旋转的性质及坐标系的知识． 50．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，其中点A与点P，点B与点Q，点C与点R是对应的点，在这种变换下： (1)直接写出下列各点的坐标 ①A(____，_____)与P(_____，_____)；B(_____，_____)与Q(______，_____)；C(_____，______)与R(______，______) ②它们之间的关系是：______(用文字语言直接写出) (2)在这个坐标系中，三角形ABC内有一点M，点M经过这种变换后得到点N，点N在三角形PQR内，其中M、N的坐标M(，6(a+b)﹣10)，N(1﹣，4(b﹣2a)﹣6)，求关于x的不等式﹣＞b﹣1的解集． 【答案】(1)①4，3，﹣4，﹣3，3，1，﹣3，﹣1，1，2，﹣1，﹣2；②两个三角形各顶点横、纵坐标互为相反数；(2)x＜﹣1． 【分析】（1）根据点的位置写出坐标，再根据坐标的特征写出规律即可； （2）利用（1）中规律，构建方程组，求出a、b的值，解不等式即可； 【详解】解：(1)由图可得，①A(4，3)与P(﹣4，﹣3)； B(3，1)与Q(﹣3，﹣1)； C(1，2)与R(﹣1，﹣2)． ②由①可得：两个三角形各顶点横、纵坐标互为相反数． 故答案为4，3，﹣4，﹣3，3，1，﹣3，﹣1，1，2，﹣1，﹣2； (2)∵M、N关于原点对称， ∴M、N两点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数， ∴+1﹣＝0，6(a+b)﹣10+4(b﹣2a)﹣6＝0， 解得a＝2，b＝2， ∴﹣＞2﹣1 ∴6x+4﹣7x+3＞8 ∴x＜﹣1． 【点睛】本题考查几何变换﹣中心对称，不等式，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 压轴满分题十一、旋转的综合应用 51．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）在中，，将绕点顺时针旋转得到，其中点的对应点分别为点． (1)如图1，当点落在的延长线上时，则的长为______； (2)如图2，当点落在的延长线上时，连接，交于点，求的长； (3)如图3，连接，直线交于点，若，连接．在旋转过程中，是否存在最小值？若存在，请直接写出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8 (2) (3)存在最小值，最小值为 【分析】（1）根据旋转的性质可知，然后由等腰三角形的性质，可得，再根据题意利用勾股定理可求出长为4．即可求出的长． （2）过C作于点D，作交于点E，由旋转可得，，．再由平行线的性质可知，即可推出，从而间接求出，．由三角形面积公式可求出．再利用勾股定理即可求出，进而求出．最后利用平行线分线段成比例即可求出． （3）作且交的延长线于点P，连接．由题意易证明，可得．然后根据三角形中位线定理可得， 根据锐角三角函数求出的值，由三角形三边关系可得，即当点E在线段上时最小，由此即可求出的最小值． 【详解】（1）解：由旋转的性质得：， ∵， ∴点落在的延长线上， ∴， ∴， ∴； 故答案为：8 （2）解：如图，过C作于点D，作交于点E， 由旋转的性质得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， 解得：， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：如图，作且交的延长线于点P，连接，作，交于点，作中点，连接、， ∵， ∴， ∵，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 即点D为的中点， ∵点为的中点， ∴， ∵，即：，解得：，，即：，解得：， ∴， 在中，， 根据题意得：， 即当点E在线段上时最小，且最小值为， 故答案为：存在最小值，最小值为． 【点睛】本题为旋转综合题．考查旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行线分线段成比例，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，中位线的判定和性质以及三角形三边关系，综合性强，为困难题．正确的作出辅助线为难点也是解题关键． 52．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）[问题情境]如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度（），点，的对应点分别为点，． [问题解决]    (1)如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长； (2)若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)在绕点逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)四边形是正方形，理由见解析 (3) 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判断与性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解决本题的关键． （1）由勾股定理求出，再求出，由旋转的性质得：，则可得出答案； （2）先证四边形是矩形，再证明是正方形； （3）点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，当点、、依次共线时，最大，计算即可． 【详解】（1）解：（1），，， ， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质得：， ； （2）解：四边形是正方形，理由如下： 由旋转的性质得：，， ，， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形； （3）解：是固定值，点是定点，点是动点， 点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，如图：    当点、、依次共线时，最大， 此时，， 即长度的最大值为． 53．（2024·山东济宁·二模）某校数学兴趣小组将两个边长不相等的正方形和正方形按照图方式摆放，点，，在同一条直线上，点在上． (1)操作与发现 如图2，将正方形绕点逆时针旋转． ①当时，求，，的度数； ②正方形旋转过程中，你发现与的有何数量关系？与的有何数量关系？请直接写出你发现的结论，不需要证明． (2)类比探究 如图3，将正方形绕点顺时针旋转．上面②中你发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)①；；② (2)，理由见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，角度的计算； （1）①根据旋转的性质，角度的计算即可求解； ②根据旋转的性质，角度的计算，即可求解； （2）根据旋转的性质即可求解． 【详解】（1）解：①∵，四边形是正方形， ∴， ； ②∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 54．（23-24八年级下·北京·期中）阅读下列材料： 小明遇到了一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形． 他的做法是：按照图2所示的方法分割后，将三角形纸片绕的中点旋转至三角形纸片处，依此法继续操作，即可拼接成一个新的正方形． 请你参考小明的做法解决下列问题： (1)现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示．请将其分割后拼接成一个平行四边形．要求：在图3中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）． (2)如图4，在面积为的平行四边形中，点分别是边的中点，分别连接得到一个新的平行四边形．请在图4中探究平行四边形面积的大小（画图并直接写出结果）． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析，平行四边形面积为． 【分析】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质，正方形的性质； （1）同小明的做法分割和拼接即可． （2）将平行四边形分割和拼接成个与平行四边形同样的平行四边形，故平行四边形的面积是平行四边形面积的． 【详解】（1）如图，拼接成的平行四边形为平行四边形． （2）如图，平行四边形面积为． 55．（23-24八年级下·浙江·期末）综合实践， 问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在中，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，．    (1)探究发现 旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (2)性质应用 如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长． (3)延伸思考 如图4，在中，，分别取，的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接，．当边平分线段时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应角相等，对应边相等；相似三角形对应角相等，对应边成比例，以及解直角三角形的方法和步骤． （1）根据中点的定义得出，进而得出，易得，通过证明，即可得出结论； （2）根据题意推出当所在直线经过点B时，，根据勾股定理可得，根据（1）可得，即可求解； （3）令相交于点Q，过点E作于点G，根据直角三角形斜边中线的性质得出，则，根据相似三角形的性质得出，进而推出，则，求出，，则，即可解答． 【详解】（1）解：∵点D和点E为分别为中点， ∴由图1可知，， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 根据旋转的性质可得：， ∴， ∴； （2）解：由图1可知∵点D和点E为分别为中点， ∴，， ∴， ∴， ∴当所在直线经过点B时，， 根据勾股定理可得：， 由（1）可得：， ∴， 解得：； （3）解：令相交于点Q，过点E作于点G， 根据题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∵边平分线段，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据旋转的性质可得：， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴．    1．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）若关于x的一元一次方程的解为正整数，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（   ） A．6 B．5 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的整数解、一元一次不等式组的解集，熟练掌握解一元一次方程，根据不等式组的解的情况求参数是解题的关键．先求出的解为，从而推出，再整理不等式组为，结合不等式组无解得到，最后利用整数k的值以及是正整数的条件即可解答． 【详解】解：由，得， ∵方程的解为正整数， ∴， 解得：， ∵， ∴解①得， 解②得， ∴， ∵不等式组无解， ∴， ∴， 即整数， ∵为正整数， ∴，或， 则符合条件的整数的值的和为． 故选：D． 2．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，等边的顶点A、B分别在直线a，b上，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形外角的定义及性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 由平行线的性质可得，再根据等边三角形的性质结合三角形外角的定义及性质求解即可． 【详解】解：如图： ∵， ； ∵是等边三角形， ， ． 故选：A． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，是的一条高线．若，分别是和上的动点，则的最小值是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，对称的性质，解题的关键是掌握相关知识．作关于的对称点，过作于，交于，则的长度即为的最小值，根据直角三角形的性质得到，根据已知条件得到，推出，于是得到． 【详解】解：如图，作关于的对称点，过作于，交于，   ， 的长度即为的最小值， ，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ． 故选：C． 4．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次不等式组即可，掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得： ， 故选：B． 5．（24-25七年级下·福建福州·阶段练习）如图，点A、B的坐标分别是为，，若将线段平移至的位置，与坐标分别是和，则线段在平移过程中扫过的图形面积为（   ）． A．32 B．40 C．52 D．66 【答案】D 【分析】本题主要考查坐标系中点、线段的平移规律．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．直接利用平移中点的变化规律求出m，n的值，再根据线段在平移过程中扫过的图形面积四边形的面积的面积求解即可． 【详解】解：∵点A、B的坐标分别是为，，若将线段平移至的位置，与坐标分别是和， ∴可知将线段向右平移7个单位，向上平移6个单位得到的位置， ∴，， ∴与坐标分别是和， ∴与轴平行， ∴， ∴线段在平移过程中扫过的图形面积四边形的面积的面积， 故选：D． 6．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）已知，则= ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解不等式组，分母有理化．根据题意先列出根式有意义时的x取值范围，继而求得y值，再代入分母有理化即可求出本题答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别为，若满足条件的整数n有且只有4个，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的乘法法则、解不等式组，先表示出，，从而得出，结合满足的整数n有且只有4个得出，解不等式组即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：，， ， 为正整数， ， 满足的整数n有且只有4个，， 整数的值为，，，， ， ， ， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，于点B，于点D．若，，则阴影部分的面积之和为 ． 【答案】12 【分析】此题考查了中心对称的性质、长方形的面积等知识，由曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点，于点D，，则，图形①与图形②面积相等，即可得到答案． 【详解】解：如图， ∵直线a、b垂直相交于点O，点A的对称点是点，于点D，， ∴， ∴图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和长方形的面积． 故答案为：12． 9．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）如图，等腰三角形的底边的长为4，面积为12，腰的垂直平分线分别交，于点E，F，若D为底边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查三角形的周长最值问题，结合等腰三角形的性质、垂直平分线的性质以及中点的相关属性进行分析． 连接交于点，连接，由线段垂直平分线的性质可知，则，故此当A、M、D在一条直线上时，有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明为底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得的长． 【详解】解：如图，连接交于点，连接． 是等腰三角形，D是的中点，， ，， ， 解得． 是线段的垂直平分线， ， ， 当点M位于点处时，收得最小值，最小值为的长度． 的周长为， 其最小值为． 故答案为：8． 10．（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，，，，AC在直线上，将绕点A按顺时针方向旋转到位置①，可得到点；将位置①的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置②，可得到点；将位置②的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置③，可得到点…，按此规律继续旋转.则 . 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律探索，旋转的性质及勾股定理，根据题意，发现将绕点A顺时针旋转，每旋转一次，的长度依次增加，2，，且三次一循环，按此规律即可求解． 【详解】解：在中，，，， ， 由题意知，， ， ， …… 以此类推，每旋转一次，的长度依次增加，2，，且三次一循环， ， ， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·宁夏银川·阶段练习）下列不等式，并在数轴上表示解集． (1) (2) 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，正确求出对应不等式的解集是解题的关键． （1）按照移项，合并同类项的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可； （2）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】（1）解： 移项得：， 合并同类项得：， 数轴表示如下所示： （2）解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得： 数轴表示如下所示： 12．（2025八年级下·湖北·专题练习）为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我校校园里现有一块四边形的空地，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：，，，，．根据你所学过的知识解决下列问题： (1)求证：； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，即可解答； （2）根据四边形的面积的面积的面积进行计算，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴； （2）解：四边形的面积的面积的面积 ． 13．（23-24八年级下·广西百色·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为点． (1)请在图中画出将向左平移4个单位长度得到的，并写出点的坐标； (2)请在图中画出将绕着原点顺时针旋转得到的，并写出点的坐标； (3)在x轴上找一点P，使得最小，并写出点P的坐标． 【答案】(1)图见解析，点的坐标为 (2)点的坐标为，图见解析 (3)点P的坐标为，图见解析 【分析】此题考查了平移、旋转、轴对称最短路径的作图，熟练掌握作图方法是解题的关键． （1）找到向左平移4个单位长度得到的对应点，顺次连接即可得到，写出点的坐标； （2）找到绕着原点顺时针旋转得到的对应点，顺次连接即可得到，写出点的坐标； （3）根据轴对称最短路径的要求进行作图，即可找到点P的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标为， （2）如图，即为所求，点的坐标为， （3）如图，点P即为所求，点P的坐标为 14．（24-25八年级下·广东深圳·阶段练习）【阅读理解】我们解决数学问题时，经常要用“作差法”比较两个数或代数式的大小，依据是不等式(或等式)的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知， ，其中，求证：． 证明： ，故． 【新知理解】（1）比较大小： (填“”“”或“”) 【问题解决】（2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示(a为正整数)，其面积分别为，，请比较、的大小关系． 【拓展应用】（3）请运用“作差法比较大小”解决下面这个问题．制作某产品有两种用料方案，方案一：用5块A型钢板，6块型钢板；方案二：用4块A型钢板，7块型钢板．每块A型钢板的面积比每块型钢板的面积小，方案一的总面积记为，方案二的总面积记为，试比较的大小． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查了整式运算的应用． （1）作差即可作出判断； （2）分别求出，然后作差，根据a是正整数即可做出判断； （3）设A型钢板的面积为，型钢板的面积为，，分别求出，然后作差，最后根据即可得出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ， ∴ ∵a为正整数， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）设A型钢板的面积为，型钢板的面积为，， 根据题意可知：，， ， ∵， ∴， ∴ 15．（24-25八年级上·河南南阳·期末）综合与实践 在学习特殊三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“兄弟三角形”进行研究． 新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． (1)操作判断 如图1，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．请直接写出线段与之间的数量关系：__________． (2)性质探究 如图2，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，点D，E均在外，连结，交于点M，连结．则与是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由． (3)拓展应用 如图3，和互为“兄弟三角形”，点C为重合的顶角顶点，，点A，D，E在同一条直线上，为的高，连结，请直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2)相等 (3) 【分析】（1）根据“兄弟三角形”的定义得到，进而得到，再证明即可得到答案； （2）过点A作于G，于H，证明，根据全等三角形的对应高相等得到，根据角平分线的判定定理证明结论． （3）证明，推出，由等腰三角形三线合一的性质可知，最后依据可得到、、之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵和互为“兄弟三角形”， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴； 故答案为； （2）解：，理由如下： 如图，过点A作于G，于H， ∵和互为“兄弟三角形”， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， ∴平分，即； （3）解：， 同理得，， ∴， 在等腰中，， ∴N为中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是“兄弟三角形”的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，正确理解“兄弟三角形”的定义是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$