专题01 二元一次方程组的概念及其解法重难点题型专训（12大题型+15道提优训练）-2024-2025学年六年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

专题01 二元一次方程组的概念及其解法重难点题型专训（12大题型+15道提优训练） 题型一 二元一次方程的定义 题型二 二元一次方程的解 题型三 判断是否是二元一次方程组 题型四 判断是否是二元一次方程组的解 题型五 代入消元法 题型六 加减消元法 题型七 二元一次方程组的特殊解法 题型八 构造二元一次方程组求解 题型九 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型十 三元一次方程组的定义及解 题型十一 方程组同解问题 题型十二 二元一次方程组的新定义问题 知识点01 二元一次方程（组）的概念 1、二元一次方程 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 知识点02 二元一次方程（组）的解 1、 二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 2、 二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 知识点03 二元一次方程组的解法 1.代入消元法 ①变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； ②代：将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④再代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值； ⑤联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 2.加减消元法 ①化、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等； ②加减、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④代、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值， ⑤联、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 知识点04 三元一次方程（组）的概念与解法 三元一次方程组就是含有三个未知数，并且含有的未知数的项都是1次的整式方程。 一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 解法： （1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，通过代入法或加减法使二元化成一元，未知转化为已知，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。 （2）三元一次方程组解题的基本步骤： ①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。 【经典例题一 二元一次方程的定义】 【例1】（23-24六年级下·上海杨浦·期末）已知方程，下列变形正确的是（  ） A． B． C． D． 1．（2024·上海奉贤·一模）我国古代数学名著《九章算术》卷七记载了一个有关方程的问题，译文为：今有人合伙买玉石，每人出钱，会多出4钱．设人数为人，玉石价格为钱，则可列关于，的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24六年级下·上海虹口·阶段练习）已知关于的方程，当 时，此方程为二元一次方程． 3．（24-25六年级下·全国·随堂练习）已知方程是关于，的二元一次方程，求，的值． 【经典例题二 二元一次方程的解】 【例2】（2024六年级下·全国·专题练习）下列各组数中，方程和的公共解是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24六年级下·上海长宁·期末）某社团计划购买一些篮球和足球，已知篮球单价是120元，足球单价是150元．若该社团用2400元购买这两种球（篮球、足球都购买）且2400元恰好用完，则该社团共有几种购买方案（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25六年级下·上海宝山·阶段练习）若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为 ． 3．（24-25六年级下·上海松江·阶段练习）已知关于，的二元一次方程，是不为零的常数． (1)若是该方程的一个解，求的值； (2)朵拉发现：不论取何值，都是关于，的方程的解．请你求，的值． 【经典例题三 判断是否是二元一次方程组】 【例3】（23-24六年级下·上海闵行·期末）下列方程中是二元一次方程组的有（   ） ①，②，③，④， A．个 B．个 C．个 D．个 1．（23-24六年级下·全国·课后作业）下列方程组中，是二元一次方程组的是(　　) A． B． C． D． 2．（23-24六年级下·上海青浦·期末）观察所给的4个方程组：①；②；③；④，其中，符合二元一次方程组定义的是 （写出所有正确的序号）． 3．（2024六年级下·上海松江·专题练习）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【经典例题四 判断是否是二元一次方程组的解】 【例4】（24-25六年级下·全国·课后作业）已知二元一次方程组，下面说法正确的是（   ） A．同时满足方程①和方程②的x，y的值是方程组的解 B．满足方程①的x，y的值是方程组的解 C．满足方程②的x，y的值是方程组的解 D．满足方程①或方程②的x，y的值一定是方程组的解 1．（23-24六年级下·上海长宁·期末）观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为（    ） 的解 的解 0 1 … 1 5 … 6 4 2 … 3 2 0 … A． B． C． D． 2．（23-24六年级下·上海徐汇·期中）下列各组x，y的值：①，②，③，④中， 是方程的解； 是方程的解； 是方程组的解．（填序号） 3．（23-24六年级下·全国·期末）小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，问小悦买书用了1元和5元的纸币各多少张？设所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，根据题意，列出方程组，并用列表尝试的方法求解． 【经典例题五 代入消元法】 【例5】（23-24六年级下·上海金山·阶段练习）二元一次方程组的解为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24六年级下·上海嘉定·期中）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文对应密文．例如，明文对应密文.当接收方收到密文时，则解密得到的明文为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24六年级下·上海崇明·阶段练习）如果一个二元一次方程的解中两个未知数的绝对值相等，那么我们把这个解称做这个二元一次方程的等模解．二元一次方程的等模解是 ． 3．（2025六年级下·全国·专题练习）阅读下面解方程组的方法，然后解决问题： 解方程组时，我们如果直接考虑消元，会很繁琐，而采用下面的解法则是轻而易举的． 解：，得，所以③． ，得④． ，得，将代入③，得． 所以原方程组的解是 请用上述方法解方程组 【经典例题六 加减消元法】 【例6】（24-25六年级下·上海静安·阶段练习）由方程组，可得出与的关系是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24六年级下·全国·期末）对于二元一次方程组，我们把，的系数和方程右边的常数分离出来组成一个矩阵：，用加减消元法解二元一次方程组的过程，就是对方程组中各方程中未知数的系数和常数项进行变换的过程．若将，则得到矩阵，用加减消元法可以消去，如解二元一次方程组时，我们用加减消元法消去，得到的矩阵应是（  ） A． B． C． D． 2．（23-24六年级下·全国·单元测试）方程组的解与的和是，则 ． 3．（2024六年级下·上海闵行·模拟预测）解下列二元一次方程组： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【经典例题七 二元一次方程组的特殊解法】 【例7】（23-24六年级下·上海松江·期末）已知关于，的二元一次方程组的解为且，则的值为（　　） A． B． C． D． 1．（23-24六年级下·上海嘉定·阶段练习）若关于、的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C．． D． 2．（24-25六年级下·上海宝山·开学考试）关于x，y的方程组（其中a，b是常数）的解为，则方程组的解为 ． 3．（24-25六年级下·上海闵行·阶段练习）规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是 ； (2)若关于、的方程组为共轭方程组，则 ， ； (3)拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题： 解共轭方程组时，可以采用下面的解法： ②+①得：，所以③ ③得：④ ①-④得：，从而得 所以原方程组的解是 用上述方法求共轭方程组的解． 【经典例题八 构造二元一次方程组求解】 【例8】（23-24六年级下·上海虹口·阶段练习）若和都是方程的解，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．（23-24六年级下·上海嘉定·阶段练习）对于任意实数x，y，定义运算，其中a，b为常数，符号右边的运算是通常意义的加、乘运算，现已知，且，则值为（    ） A．20 B．18 C．16 D．14 2．（23-24六年级下·贵州铜仁·期末）已知中每个数只能取，0，2中的一个，且满足，则 ． 3．（2025六年级下·全国·专题练习）当，，，，0，1，3，23，124，1000时，等式可以得到10个关于和的二元一次方程，问：这10个方程有无公共解？若有，求出公共解；若没有，求出其中两个方程的公共解． 【经典例题九 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 【例9】（24-25六年级下·全国·单元测试）已知关于，的方程组的解满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24六年级下·上海杨浦·期末）若关于x，y的方程组的解满足，则k等于（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 2．（24-25六年级下·上海虹口·开学考试）已知关于x，y的方程组，给出以下结论：①是方程组的一个解；②当时，x，y的值互为相反数；③当时，方程组的解也是方程的解；④x，y之间的数量关系是．其中，正确的是 （填序号）． 3．（23-24六年级下·全国·课后作业）已知关于的方程组 (1)若方程组的解互为相反数，求k的值； (2)若方程组的解满足方程，求k的值． 【经典例题十 三元一次方程组的定义及解】 【例10】（23-24六年级下·全国·课后作业）下列四组数值中，是方程组的解的是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24六年级下·上海闵行·期中）观察方程组的系数特征，若要使求解简便，消元的方法是（   ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．以上说法都不对 2．（24-25六年级下·全国·随堂练习）已知，则代数式的值为 ． 3．（24-25六年级下·上海杨浦·阶段练习）解下列方程组： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【经典例题十一 方程组同解问题】 【例11】（23-24六年级下·上海闵行·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解与方程的解相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24六年级下·上海松江·期中）我国古典数学文献《增删算法统宗正六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙说得甲九只，两家之数相当．二人闲坐恼心肠，画地算了半晌．”，其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊，如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24六年级下·上海徐汇·期中）已知方程组与方程组的解相同．则（2a+b）2004的值为 ． 3．（23-24六年级下·上海金山·阶段练习）阅读与思考 “整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法．数学课上，李老师给出了一个问题，已知实数满足求和的值． 小明：利用消元法解方程组，得的值后，再分别代入和求值． 小逸：发现两个方程中相同未知数的系数之间的关系，通过适当变形，整体求得代数式的值，①，②，由①-②可得，由①+②可得． 李老师对两位同学的方法进行点评，指出小逸同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用．请你参考小逸同学的做法，解决下面的问题． (1)已知二元一次方程组则________，________． (2)已知关于的二元一次方程组若方程组的解满足，求的值． 【经典例题十二 二元一次方程组的新定义问题】 【例12】（23-24六年级下·上海嘉定·期末）对于有理数x、y，定义新运算：，其中是常数，例：．已知，，那么（   ） A． B． C． D． ab 1．（23-24六年级下·上海宝山·阶段练习）对x、y定义一种新运算T，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：， 若，，则下列结论正确的有（    ）个．①，；②若，则；③若，则m、n有且仅有3组整数解； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（2024六年级下·全国·专题练习）新趋势·新定义  对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”．若方程组的解与都是正整数且具有“邻好关系”，则正整数的值为 ． 3．（23-24六年级下·上海静安·期中）新趋势·新定义  对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足．我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解是否具有“邻好关系”？说明你的理由： (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 1．（24-25六年级下·上海徐汇·阶段练习）下列各式中，为二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24六年级下·上海虹口·单元测试）已知与是同类项，那么的值是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24六年级下·上海普陀·期末）已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A． B．3 C．或4 D．3或15 4．（23-24六年级下·上海虹口·期末）若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24六年级下·上海长宁·期末）某一商场经销的A、B两种商品，A商品每件进价40元，利润率为；B商品每件售价80元．在“元旦”期间，该商场对A、B两种商品开展如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B两种商品（两种商品每种商品不少于1件），实际共付款522元．则以下说法正确的个数是（   ） ①可能购买A商品3件，B商品5件； ②购买A商品与B商品的总件数可能为8件、9件、10件； ③如果在打折前买相同的物品，要比打折后多付58元或138元． A．0 B．1 C．2 D．3 6．（24-25六年级下·上海青浦·阶段练习）语句“的3倍比大5”用方程表示为 ． 7．（23-24六年级下·上海虹口·期中）将方程变形，用含有的代数式表示为 ． 8．（23-24六年级下·全国·单元测试）定义运算“”，规定，其中为常数，且，则 ． 9．（23-24六年级下·上海宝山·期末）为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，王老师让学生把长的彩绳截成或的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费的前提下，你有 种不同的截法． 10．（24-25六年级下·上海嘉定·阶段练习）若关于，的二元一次方程组的解为，则关于，二元一次方程组的解为 ． 11．（24-25六年级下·上海崇明·阶段练习）解下列方程组： (1) (2) 12．（24-25六年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的方程组 (1)若方程组的解满足，求m的值； (2)无论实数m取何值，方程总有一个公共解，请直接写出这个公共解． 13．（24-25六年级下·上海奉贤·阶段练习）如图，在趣味数学拓展课中，小红在的方格中填入了一些表示数的代数式，使得每一行、每一列以及对角线上的个代数式的和都相等． (1)用含的代数式表示的值； (2)求右下角的值． 14．（23-24六年级下·全国·课后作业）小明在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组． (1)如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过“换元”可以解决问题．设，则原方程组可化为_______，解关于的方程组，得，所以解这个方程组，得_______． (2)运用上述方法解方程组：． (3)已知关于的二元一次方程组的解为，求关于的二元一次方程组的解． 15．（23-24六年级下·上海徐汇·期中）阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解． 例：由，得：．根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程的正整数解为． 问题： (1)请你直接写出方程的一组正整数解______． (2)若为正整数，则满足条件的正整数x的值有______个． (3)2022-2023学年七年级某班为了奖励学生学习的进步，购买单价为4元的笔记本与单价为6元的钢笔两种奖品，共花费56元，问有哪几种购买方案？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二元一次方程组的概念及其解法重难点题型专训（12大题型+15道提优训练） 题型一 二元一次方程的定义 题型二 二元一次方程的解 题型三 判断是否是二元一次方程组 题型四 判断是否是二元一次方程组的解 题型五 代入消元法 题型六 加减消元法 题型七 二元一次方程组的特殊解法 题型八 构造二元一次方程组求解 题型九 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型十 三元一次方程组的定义及解 题型十一 方程组同解问题 题型十二 二元一次方程组的新定义问题 知识点01 二元一次方程（组）的概念 1、二元一次方程 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 知识点02 二元一次方程（组）的解 1、 二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 2、 二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 知识点03 二元一次方程组的解法 1.代入消元法 ①变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； ②代：将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④再代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值； ⑤联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 2.加减消元法 ①化、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等； ②加减、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④代、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值， ⑤联、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 知识点04 三元一次方程（组）的概念与解法 三元一次方程组就是含有三个未知数，并且含有的未知数的项都是1次的整式方程。 一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 解法： （1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，通过代入法或加减法使二元化成一元，未知转化为已知，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。 （2）三元一次方程组解题的基本步骤： ①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。 【经典例题一 二元一次方程的定义】 【例1】（23-24六年级下·上海杨浦·期末）已知方程，下列变形正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了解二元一次方程，熟练掌握解二元一次方程组时，用一个未知数的代数式表示另一个未知数是解决问题的关键． 对于方程，用含的代数式表示，得，由此可对选项A，B进行判断；用含的代数式表示，得，由此可对选项C、D进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：对于方程，用含的代数式表示，得， 故选项A，B不正确，不符合题意； 对于方程，用含的代数式表示，得， 故选项C不正确，不符合题意；选项D正确，符合题意； 故选：D． 1．（2024·上海奉贤·一模）我国古代数学名著《九章算术》卷七记载了一个有关方程的问题，译文为：今有人合伙买玉石，每人出钱，会多出4钱．设人数为人，玉石价格为钱，则可列关于，的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，根据总的钱数不变，即可得出关于，的二元一次方程，此题得解，找准等量关系解题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 整理得：， 故选：B． 2．（23-24六年级下·上海虹口·阶段练习）已知关于的方程，当 时，此方程为二元一次方程． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义即可求解，掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵方程为二元一次方程， ∴，且，， ∴， 故答案为：． 3．（24-25六年级下·全国·随堂练习）已知方程是关于，的二元一次方程，求，的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握系数不等于且次数等于的知识点是解题关键． 根据二元一次方程的定义可得、项的系数不等于且次数等于从而得到关于、的不等式及方程，然后求解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得或， 又， ， ，的值分别为，． 【经典例题二 二元一次方程的解】 【例2】（2024六年级下·全国·专题练习）下列各组数中，方程和的公共解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程的公共解，熟练掌握二元一次方程的公共解是解题的关键．讲解代入进行判断即可． 【详解】解：当，，，故选项A错误； 当，，，，故选项B错误； 当，，，，故选项C正确； 当，，，，故选项D错误； 故选C． 1．（23-24六年级下·上海长宁·期末）某社团计划购买一些篮球和足球，已知篮球单价是120元，足球单价是150元．若该社团用2400元购买这两种球（篮球、足球都购买）且2400元恰好用完，则该社团共有几种购买方案（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系式．根据题意，设购买了个篮球，购买了个足球，根据题意，列出方程，分类讨论即可． 【详解】解：根据题意，设购买了个篮球，购买了个足球， ， 整理得：且，为正整数， 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，该社团共有3种购买方案． 故选：C． 2．（24-25六年级下·上海宝山·阶段练习）若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，理解二元一次次方程组的解是解题的关键． 令，，得到关于X和Y的二元一次方程组的解，再代入并求出x和y即可求解． 【详解】解：令，，则方程组可变形为： ， ∵方程组的解为， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．（24-25六年级下·上海松江·阶段练习）已知关于，的二元一次方程，是不为零的常数． (1)若是该方程的一个解，求的值； (2)朵拉发现：不论取何值，都是关于，的方程的解．请你求，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． （1）根据方程的解的定义，直接把，的值代入方程，即可求出的值； （2）先把方程整理为，可知当，不论取任何一个不为0的值时，都有，从而求出，的值即可得到答案． 【详解】（1）解：将代入方程， 得， 解得． （2）解：原方程可化为， 根据题意，当，不论取任何一个不为0的值时，都有， 解得，， 即，． 【经典例题三 判断是否是二元一次方程组】 【例3】（23-24六年级下·上海闵行·期末）下列方程中是二元一次方程组的有（   ） ①，②，③，④， A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组，逐项进行分析即可判断求解，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键． 【详解】解：方程组中是二元二次方程，故不是二元一次方程组，不合题意； 方程组是二元一次方程组，故符合题意； 方程组中不是整式方程，故不是二元一次方程组，不合题意； 方程组中含有个未知数，故不是二元一次方程组，不合题意； ∴是二元一次方程组的有个， 故选：． 1．（23-24六年级下·全国·课后作业）下列方程组中，是二元一次方程组的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义逐一判断即可，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的基本形式及特点． 【详解】解：A选项不是二元一次方程组，因为含有三个未知数； C选项中的次数是2，所以不是二元一次方程组； D选项中不是二元一次方程，因为分母中含有未知数； 只有B选项符合二元一次方程组的条件． 故选：B． 2．（23-24六年级下·上海青浦·期末）观察所给的4个方程组：①；②；③；④，其中，符合二元一次方程组定义的是 （写出所有正确的序号）． 【答案】①②④ 【分析】含有两个未知数，且未知数的最高次数是1，这样的整式方程组是二元一次方程组，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：① ，符合二元一次方程组定义； ② ，符合二元一次方程组定义； ③ ，未知数x的最高次数是2，不符合二元一次方程组定义； ④ ，符合二元一次方程组定义； 所以符合二元一次方程组定义的是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的定义，熟记定义是解本题的关键． 3．（2024六年级下·上海松江·专题练习）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)该方程组不是二元一次方程组，理由见解析 (2)该方程组是二元一次方程组，理由见解析 (3)该方程组不是二元一次方程组，理由见解析 (4)该方程组不是二元一次方程组，理由见解析 (5)该方程组是二元一次方程组，理由见解析 (6)该方程组是二元一次方程组，理由见解析 【分析】（1）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． （2）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． （3）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． （4）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． （5）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． （6）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． 【详解】（1）中含有3个未知数，所以它不是二元一次方程组； （2）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组； （3）中一个方程的未知数的最高次数是2，所以它不是二元一次方程组； （4）中的一个方程不是整式方程，是分式方程，所以它不是二元一次方程组； （5）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组； （6）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的定义是关键． 【经典例题四 判断是否是二元一次方程组的解】 【例4】（24-25六年级下·全国·课后作业）已知二元一次方程组，下面说法正确的是（   ） A．同时满足方程①和方程②的x，y的值是方程组的解 B．满足方程①的x，y的值是方程组的解 C．满足方程②的x，y的值是方程组的解 D．满足方程①或方程②的x，y的值一定是方程组的解 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的解的概念，解题的关键是掌握方程组概念：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 根据二元一次方程组的解的概念对各选项进行判断，找出正确的一项，问题即可得解． 【详解】解：根据二元一次方程组的解的概念可知，同时适合方程①和方程②的x，y的值是方程组的解，故A正确，B、C、D错误． 故选：A． 1．（23-24六年级下·上海长宁·期末）观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为（    ） 的解 的解 0 1 … 1 5 … 6 4 2 … 3 2 0 … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握解是能使得等式成立的值，观察表格得知能使得两个方程都成了，即可得出答案． 【详解】解：通过观察表格知，与有一组公共解为， 故二元一次方程组的解为， 故选：A． 2．（23-24六年级下·上海徐汇·期中）下列各组x，y的值：①，②，③，④中， 是方程的解； 是方程的解； 是方程组的解．（填序号） 【答案】 ②④/④② ①②③ ② 【分析】分别把四组值代入两个方程，如果方程左右两边相等则是方程的解，如果左右两边不相等则不是方程的解． 【详解】解：当时，， ∴不是方程的解，是方程的解； 当时，， ∴是方程的解，是方程的解； 当时，， ∴不是方程的解，是方程的解； 当时，， ∴是方程的解，不是方程的解； 故答案为：②④；①②③；②． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程和二元一次方程组的解，熟知二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 3．（23-24六年级下·全国·期末）小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，问小悦买书用了1元和5元的纸币各多少张？设所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，根据题意，列出方程组，并用列表尝试的方法求解． 【答案】小悦买书用了1元纸币3张，5元纸币9张． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，由所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，x、y均必须取非零自然数，，买书共用48元，逐步取值，看符合条件的x、y值即为方程组的解． 【详解】解：均必须取非零自然数， ∴列表尝试如下： x 1 2 3 4 5 y 11 10 9 8 7 56 52 48 44 40 ∴方程组的解为 答：小悦买书用了 1元纸币 3张，5元纸币9张． 【经典例题五 代入消元法】 【例5】（23-24六年级下·上海金山·阶段练习）二元一次方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组,掌握运用代入法解二元一次方程组成为解题的关键． 直接运用代入法解二元一次方程组即可． 【详解】解:, 由①得:， 将③代入②得:， 解得， 将代入③解得:， 原二元一次方程组的解为． 故选C． 1．（23-24六年级下·上海嘉定·期中）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文对应密文．例如，明文对应密文.当接收方收到密文时，则解密得到的明文为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用代入法解方程，根据题意，可得，，，，先求出的值，再利用代入法解答即可求解，掌握解方程的方法是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，，，， 解得，，，， ∴解密得到的明文为，，，， 故选：． 2．（23-24六年级下·上海崇明·阶段练习）如果一个二元一次方程的解中两个未知数的绝对值相等，那么我们把这个解称做这个二元一次方程的等模解．二元一次方程的等模解是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据题意得，解题的关键是需要分两种情况解方程组，注意不要漏解． 【详解】解：根据题意得：， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 3．（2025六年级下·全国·专题练习）阅读下面解方程组的方法，然后解决问题： 解方程组时，我们如果直接考虑消元，会很繁琐，而采用下面的解法则是轻而易举的． 解：，得，所以③． ，得④． ，得，将代入③，得． 所以原方程组的解是 请用上述方法解方程组 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，利用题意解方程即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：解法一：， ，得，即③， ，得， 把代入③，得， 所以原方程组的解为； 解法二：， ，得，即， 所以③．把③代入②， 得， 解得， 将代入③，得， 所以原方程组的解为． 【经典例题六 加减消元法】 【例6】（24-25六年级下·上海静安·阶段练习）由方程组，可得出与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握“消元思想”是解答本题的关键． 将原方程化为，即可求解． 【详解】解：原方程可化为， ，得， 故选：C． 1．（23-24六年级下·全国·期末）对于二元一次方程组，我们把，的系数和方程右边的常数分离出来组成一个矩阵：，用加减消元法解二元一次方程组的过程，就是对方程组中各方程中未知数的系数和常数项进行变换的过程．若将，则得到矩阵，用加减消元法可以消去，如解二元一次方程组时，我们用加减消元法消去，得到的矩阵应是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．将所求方程组化为，再结合定义即可求解． 【详解】解：对于解二元一次方程组时， 我们用加减消元法消去，即，， 可得到， 则得到的矩阵应为， 故选：C． 2．（23-24六年级下·全国·单元测试）方程组的解与的和是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减法求出方程组的解，再根据与的和是列出关于的一元一次方程，解方程即可求解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：， 得，， ∴， 把代入①得，， 解得， ∵与的和是， ∴， 解得， 故答案为：． 3．（2024六年级下·上海闵行·模拟预测）解下列二元一次方程组： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握消元法解二元一次方程组，是解题的关键： （1）加减消元法解方程组即可； （2）加减消元法解方程组即可； （3）加减消元法解方程组即可； （4）加减消元法解方程组即可； （5）加减消元法解方程组即可； （6）加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， ，得：，解得：， 把代入，得：，解得：， ∴方程组的解为：； （2） ，得：，解得：； 把代入，得：，解得：， ∴方程组的解为：； （3） ，得：，解得：； 把代入，得：，解得：， ∴方程组的解为：； （4） ，得：，解得：； 把代入，得：，解得：， ∴方程组的解为：； （5）原方程组可化为：， ，得：，解得：； 把代入，得：，解得：， ∴方程组的解为：； （6）原方程组可化为： ，得：，解得：； 把代入，得：，解得：， ∴方程组的解为：． 【经典例题七 二元一次方程组的特殊解法】 【例7】（23-24六年级下·上海松江·期末）已知关于，的二元一次方程组的解为且，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．利用关于x，y的二元一次方程组的解为得到，，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴， 两式相加得， ∴， ∴， 故选：A． 1．（23-24六年级下·上海嘉定·阶段练习）若关于、的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C．． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，解题关键是根据整体思想及方程组的解法进行求解． 根据方程组的特点可得方程组的解是，再利用加减消元法即可求出a，b． 【详解】解：∵二元一次方程组的解是， ∴方程组的解是， 解， 得， 故选：C． 2．（24-25六年级下·上海宝山·开学考试）关于x，y的方程组（其中a，b是常数）的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，换元法求方程组的解，将转化为：，进而，得到方程组的解为，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于x，y的方程组（其中a，b是常数）的解为， ∴方程组的解为， 解得：； 故答案为：． 3．（24-25六年级下·上海闵行·阶段练习）规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是 ； (2)若关于、的方程组为共轭方程组，则 ， ； (3)拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题： 解共轭方程组时，可以采用下面的解法： ②+①得：，所以③ ③得：④ ①-④得：，从而得 所以原方程组的解是 用上述方法求共轭方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，解二元一次方程组，理解新定义是解题的关键． （1）根据共轭二元一次方程的定义即可求解； （2）根据共轭二元一次方程组的定义得到，，然后解方程组即可求解； （3）根据拓展的解法即可求解． 【详解】（1）解：根据共轭二元一次方程的定义，方程的共轭二元一次方程是 故答案为：； （2）解：根据共轭二元一次方程组的定义，得，， 解得，， 故答案为：； （3）解： 得 ， ， ，得 ， ，得 ， 把代入③，得， ∴原方程组的解为． 【经典例题八 构造二元一次方程组求解】 【例8】（23-24六年级下·上海虹口·阶段练习）若和都是方程的解，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】把和代入，建立方程组，再解方程组即可. 【详解】解：和都是方程的解， ， 解②得：， 把代入①得：， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查的是二元一次方程的解，二元一次方程组的解法，掌握“利用方程的解建立新的二元一次方程”是解本题的关键. 1．（23-24六年级下·上海嘉定·阶段练习）对于任意实数x，y，定义运算，其中a，b为常数，符号右边的运算是通常意义的加、乘运算，现已知，且，则值为（    ） A．20 B．18 C．16 D．14 【答案】D 【分析】根据定义及，可得二元一次方程组，求解得到a和b的值，即可求解得到的值． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用和新定义的运算，构造二元一次方程组是解题的关键． 2．（23-24六年级下·贵州铜仁·期末）已知中每个数只能取，0，2中的一个，且满足，则 ． 【答案】500 【分析】本题考查了解二元一次方程组．列出关于p、q的二元一次方程组是解答此题的关键． 设有p个x取，q个x取2，根据，可得出关于p，q的二元一次方程组，求出p，q的值，再把p，q及x的值代入求解． 【详解】解：设有个，q个2， ∵， ∴， 解得， ∴原式． 故答案为：500． 3．（2025六年级下·全国·专题练习）当，，，，0，1，3，23，124，1000时，等式可以得到10个关于和的二元一次方程，问：这10个方程有无公共解？若有，求出公共解；若没有，求出其中两个方程的公共解． 【答案】有公共解， 【分析】本题主要考查二元一次方程的性质和求解方法，解题关键在于理解方程结构，采用合理的方法寻找公共解，并进行验证； 选取两个特定的值得到两个方程组成方程组求解，然后将解代入原方程进行验证，并且通过验证确保得到的解是所有方程的公共解． 【详解】解：设当，时，有，这两个方程的公共解， 解得：， 把代入等式，得 左边， ∴无论m取何值恒为0， ∴是原方程的解， ∴这 10 个方程有公共解，公共解为． 【经典例题九 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 【例9】（24-25六年级下·全国·单元测试）已知关于，的方程组的解满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及整体代换的思想在解题中的应用，掌握以上知识点是解答本题的关键． 将两个方程相加，得到，再将代入，即可求出的值． 【详解】解：， 由得：， 将代入得：， 解得：， 故选：C． 1．（23-24六年级下·上海杨浦·期末）若关于x，y的方程组的解满足，则k等于（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题考查根据二元一次方程解的情况求参数、解二元一次方程组，先利用加减消元法求得x、y的值，再代入，求解即可． 【详解】解：， 由得，， 解得， 把代入②得，， 解得， ∵方程组的解满足， ∴， 解得， 故选：D． 2．（24-25六年级下·上海虹口·开学考试）已知关于x，y的方程组，给出以下结论：①是方程组的一个解；②当时，x，y的值互为相反数；③当时，方程组的解也是方程的解；④x，y之间的数量关系是．其中，正确的是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 将代入方程组，可得，据此判断即可； 当时，解方程组，由加减消元法解得，据此判断即可； ③当时，方程组为，由加减消元法解得，再将解代入方程中，据此判断即可； 由加减消元法解方程组得，则，据此判断即可． 【详解】解：①将代入方程组，可得， 故①符合题意； ②当时，方程组为， ①②得，， 将代入①得，， 、互为相反数， 故②符合题意； ③当时，方程组为， ①②得，， 将代入②得，， 方程组的解为， 将满足方程， 故③符合题意； ④， ①②得，， 将代入②得，， ， ④不符合题意； 故答案为①②③． 3．（23-24六年级下·全国·课后作业）已知关于的方程组 (1)若方程组的解互为相反数，求k的值； (2)若方程组的解满足方程，求k的值． 【答案】(1)k值为 (2)k值为1 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是准确求出方程组的解． （1）解方程组得出，，根据方程组的解互为相反数，得出，即，解关于k的方程即可； （2）根据方程组的解满足，得出，解关于k的方程即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴方程组的解为， ∵方程组的解互为相反数， ∴， 即， 解得：； （2）解：∵方程组的解满足， ∴， 解得：． 【经典例题十 三元一次方程组的定义及解】 【例10】（23-24六年级下·全国·课后作业）下列四组数值中，是方程组的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是三元一次方程组的解法，属于基础题型．消元法的使用是解决这个问题的关键．首先利用和得出关于和的二元一次方程组，从而求出和的值，然后将和代入任何一个式子得出的值，从而得出方程组的解． 【详解】解：， 可得：④， 可得：⑤， 可得：， 解得：，将代入④可得：， 将，代入①可得：， ∴方程组的解为：， 故选：． 1．（23-24六年级下·上海闵行·期中）观察方程组的系数特征，若要使求解简便，消元的方法是（   ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．以上说法都不对 【答案】B 【分析】本题的实质是考查三元一次方程组的解法．先把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”，把复杂问题转化为简单问题的思想方法．经观察发现，3个方程中先消去y，即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，再用加减消元法和代入法解方程即可． 【详解】解： 方程可直接消去未知数y， 即可得到一个关于x、z的二元一次方程组， ∴要使运算简便，消元的方法应选取先消去y， 故选：B． 2．（24-25六年级下·全国·随堂练习）已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组，代数式求值，非负数的性质：绝对值；偶次方；解决本题的关键是当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目． 先根据非负数的性质列出方程组，求出x、y、z的值，再代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意得，解得， 故． 故答案为：． 3．（24-25六年级下·上海杨浦·阶段练习）解下列方程组： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】此题考查了解二元一次方程组和三元一次方程组，熟练掌握加减法和代入法是关键． （1）利用代入法解方程组即可； （2）利用加减法解方程组即可； （3）利用加减法解方程组即可； （4）利用加减法解方程组即可； （5）利用加减法解方程组即可； （6）利用加减法得到二元一次方程组，解得，，再求出即可． 【详解】（1）解： 把①代入②得，， 解得 把代入①得到， ∴ （2）解： 由①得，③ 把③代入②得，， 解得 把代入③得到， ∴ （3） ②－①得，， 解得 把代入①得，， 解得 ∴ （4） ①×③－②得，， 解得， 把代入①得， 解得 ∴ （5） ①－②得， ∴ ∴③ 把③代入①得，， 解得 把代入③得，， ∴ （6） ①－②得，④ ②＋③得，⑤ 得到， 把代入④得， 解得， 把，代入②得，， 解得 ∴ 【经典例题十一 方程组同解问题】 【例11】（23-24六年级下·上海闵行·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解与方程的解相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，先联立两个已知的方程求出x和y的值，然后代入求出m的值即可． 【详解】解：解方程组得：， 把代入得， 故选C． 1．（23-24六年级下·上海松江·期中）我国古典数学文献《增删算法统宗正六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙说得甲九只，两家之数相当．二人闲坐恼心肠，画地算了半晌．”，其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊，如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据题意正确的列方程组是解题的关键．由乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍，可得；由如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，可得，进而可列方程组． 【详解】解：∵如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍， ∴； ∵如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同， ∴． ∴根据题意可列方程组． 故选：D． 2．（23-24六年级下·上海徐汇·期中）已知方程组与方程组的解相同．则（2a+b）2004的值为 ． 【答案】1 【分析】因为两个方程组有相同的解，故只需把两个方程组中不含字母系数的方程和含有字母系数的方程分别组成方程组，求出未知数的值，再代入另一组方程组即可，最后求出的值． 【详解】解：∵两个方程组的解相同， ∴解方程组，得， 代入另两个方程，得， 解得， ∴=1    ， 故答案为：1． 【点睛】解题关键是根据两个方程组的解相同，可列出新的方程组求解，再把x和y的值代入求出a和b的值． 3．（23-24六年级下·上海金山·阶段练习）阅读与思考 “整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法．数学课上，李老师给出了一个问题，已知实数满足求和的值． 小明：利用消元法解方程组，得的值后，再分别代入和求值． 小逸：发现两个方程中相同未知数的系数之间的关系，通过适当变形，整体求得代数式的值，①，②，由①-②可得，由①+②可得． 李老师对两位同学的方法进行点评，指出小逸同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用．请你参考小逸同学的做法，解决下面的问题． (1)已知二元一次方程组则________，________． (2)已知关于的二元一次方程组若方程组的解满足，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组，整体思想的运用； （1）将两个方程相加或相减，即可求解； （2）利用加减消元法即可求出，根据题意，即可求解． 【详解】（1）解： ∴得，； 得， ∴， 故答案为：，． （2）解： 得，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 【经典例题十二 二元一次方程组的新定义问题】 【例12】（23-24六年级下·上海嘉定·期末）对于有理数x、y，定义新运算：，其中是常数，例：．已知，，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是得出关于a、b的方程组，难度一般，根据题意求出，即可求解． 【详解】由题意得：，解得 ∴ 故选：C． 1．（23-24六年级下·上海宝山·阶段练习）对x、y定义一种新运算T，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：， 若，，则下列结论正确的有（    ）个．①，；②若，则；③若，则m、n有且仅有3组整数解； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，正确理解题目所给的新定义是解题的关键．首先根据题意可得，求解即可判断结论①；由可得，结合即可判断结论②；由可得，整理可得，结合均为整数可知，进一步求得的值，即可判断结论③． 【详解】解：根据题意，，， ∴， 解得，故结论①正确； ∵，即， ∵， ∴，故结论②正确； ∵，即， ∵， ∴， 又∵均为整数， ∴， ∴或， ∴满足条件的值为或，故结论③错误． 故选：C． 2．（2024六年级下·全国·专题练习）新趋势·新定义  对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”．若方程组的解与都是正整数且具有“邻好关系”，则正整数的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查解二元一次方程组，通过解方程组得到和，根据与都是正整数求出符合条件的正整数的值，最后根据再由验证即可． 【详解】解：， ①+②得，， ∴， 把代入得， ∵方程组的解与都是正整数， ∴或或或， ∴a的值为或0或1或2， ∴正整数的值的值只能是1或2， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 综上所述，， 故答案为：． 3．（23-24六年级下·上海静安·期中）新趋势·新定义  对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足．我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解是否具有“邻好关系”？说明你的理由： (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 【答案】(1)具有“邻好关系”，见解析 (2)或6 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据方程，即可得到，即可得出结论； （2）先解二元一次方程组，根据新定义，得到关于的绝对值方程，进行求解即可． 【详解】（1）具有“邻好关系”．理由如下：方程组 由②得． 所以方程组的解具有“邻好关系”； （2）解方程组得 因为方程组的解具有“邻好关系”， 所以， 所以，即． 所以或， 所以或6． 1．（24-25六年级下·上海徐汇·阶段练习）下列各式中，为二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解答本题的关键． 根据二元一次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、方程含有个未知数，不是二元一次方程，故A选项不符合题意； B、方程是二元一次方程，故B选项符合题意； C、方程不是二元一次方程，故C选项不符合题意； D、方程是二元二次方程，不是二元一次方程，故D选项不符合题意； 故答案为：B． 2．（23-24六年级下·上海虹口·单元测试）已知与是同类项，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组：利用加减消元法或代入消元法把解方程组的问题转化为解一元一次方程的问题．也考查了同类项．根据同类项的定义得到，然后利用代入消元法解方程组． 【详解】解：根据题意得， 由①得③， 把③代入②得， 解得， 把代入③得， 所以． 故选：A． 3．（23-24六年级下·上海普陀·期末）已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A． B．3 C．或4 D．3或15 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用二元一次方程组有正整数解求参数的值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用加减消元法解方程组求得，，再根据方程组有正整数解，其中为整数，求得值，再代入进行计算即可． 【详解】解：， 得：， 把代入②得：， 关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数， 既能被7整除也能被21整除，即的值可以为1或者7， 或4， 当时，； 当时，， 的值为3或15． 故选：D． 4．（23-24六年级下·上海虹口·期末）若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值，仿照已知方程组的解确定出所求方程组x，y的关系，再联立解出x，y的值即可． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴方程组的解为：， 解得， 故选：C． 5．（23-24六年级下·上海长宁·期末）某一商场经销的A、B两种商品，A商品每件进价40元，利润率为；B商品每件售价80元．在“元旦”期间，该商场对A、B两种商品开展如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B两种商品（两种商品每种商品不少于1件），实际共付款522元．则以下说法正确的个数是（   ） ①可能购买A商品3件，B商品5件； ②购买A商品与B商品的总件数可能为8件、9件、10件； ③如果在打折前买相同的物品，要比打折后多付58元或138元． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，先求出A商品每件售价，再设购买A商品x件，购买B商品y件，然后分打折前购买的总金额不超过600元和打折前购买的总金额超过600元两种情况，根据打折后的金额推出打折前的金额，进而建立方程求出x、y的值，再逐一判断即可得到答案． 【详解】解：∵A商品每件进价40元，利润率为， ∴A商品每件售价为元， 设购买A商品x件，购买B商品y件， 当打折前购买的总金额不超过600元时，则， ∴， ∴， ∵x、y都为正整数， ∴当时，， 当时，； ∴当购买A商品3件，B商品5件时，打折前的购物总金额为元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付元； 当购买A商品7件，B商品2件时，打折前的购物总金额为元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付元； 当打折前购买的总金额超过600元时，则， ∴， ∴， ∵x、y都为正整数， ∴当时，， 当时，； ∴当购买A商品3件，B商品6件时，打折前的购物总金额为元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付元； 当购买A商品7件，B商品3件时，打折前的购物总金额为元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付元； ∴如果在打折前买相同的物品，要比打折后多付58元或138元， ∵， ∴购买A商品与B商品的总件数可能为8件、9件、10件； ∴①②③的说法都正确， 故选：D． 6．（24-25六年级下·上海青浦·阶段练习）语句“的3倍比大5”用方程表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，根据的倍比大5，即可列出方程，找准等量关系是解题的关键． 【详解】解：依题意得：， 故答案为：． 7．（23-24六年级下·上海虹口·期中）将方程变形，用含有的代数式表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程．把x看作已知数解关于y的方程即可． 【详解】解： 则， ∴， 故答案为： 8．（23-24六年级下·全国·单元测试）定义运算“”，规定，其中为常数，且，则 ． 【答案】2 【分析】此题考查了解二元一次方程组，已知等式利用新定义化简，求出a与b的值，即可求出所求式子的值． 【详解】解：根据题中的新定义化简已知等式得：， 解得：， 则， 故答案为：2． 9．（23-24六年级下·上海宝山·期末）为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，王老师让学生把长的彩绳截成或的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费的前提下，你有 种不同的截法． 【答案】四 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，结合题意列出关于的二元一次方程是解题关键．设截得的的彩绳有根，的彩绳有根，根据题意列出关于的二元一次方程，结合均为非负整数确定该方程的解，即可获得答案． 【详解】解：设截得的的彩绳有根，的彩绳有根， 根据题意，可得 ， 因为均为非负整数， 所以或或或， 即有四种不同的截法． 故答案为：四． 10．（24-25六年级下·上海嘉定·阶段练习）若关于，的二元一次方程组的解为，则关于，二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握换元思想成为解题的关键． 设，则关于，二元一次方程组可化为，即，然后代入确定m、n的值即可解答． 【详解】解：设，则关于，二元一次方程组可化为， ∵关于，的二元一次方程组的解为， ∴， ∴，解得：． 故答案为：． 11．（24-25六年级下·上海崇明·阶段练习）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和整体代入思想，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键． （1）根据加减消元法求解即可； （2）利用加减消元法结合代入消元法求解即可； 【详解】（1）解： ，得：③ ，得： 解得：， 将代入①得： 解得：， 所以原方程组的解是． （2）解： 整理①，得： 将②代入③，得： 解得：④ 将④代入③，得： 解得：⑤ ，得： 解得：， 将代入⑤，得： 所以原方程组的解是 12．（24-25六年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的方程组 (1)若方程组的解满足，求m的值； (2)无论实数m取何值，方程总有一个公共解，请直接写出这个公共解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解、二元一次方程及同解方程，解题的关键是熟练掌握加减消元法． （1）依题意得，解得，然后代入，解得，即可作答． （2）先把方程变形为，根据题意得出，即可求出的值，从而得出这个方程的公共解． 【详解】（1）解：∵方程组的解满足，且关于x，y的方程组 ∴联立， 解得， 把代入， 可得， 解得． （2）解：依题意，将变形， 得 无论实数取何值，方程总有一个公共解， ． 将代入， 可得． ∴这个公共解为． 13．（24-25六年级下·上海奉贤·阶段练习）如图，在趣味数学拓展课中，小红在的方格中填入了一些表示数的代数式，使得每一行、每一列以及对角线上的个代数式的和都相等． (1)用含的代数式表示的值； (2)求右下角的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． （1）根据最后一行的三个数之和等于最后一列的三个数之和，即可得出等式，整理后即可得结果； （2）由（1）得，结合，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ； （2）由（1）得， ， 解得：． 14．（23-24六年级下·全国·课后作业）小明在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组． (1)如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过“换元”可以解决问题．设，则原方程组可化为_______，解关于的方程组，得，所以解这个方程组，得_______． (2)运用上述方法解方程组：． (3)已知关于的二元一次方程组的解为，求关于的二元一次方程组的解． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法以及换元法的应用是解题的关键． （1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案； （3）将所求方程组变形为，然后得出，进而可得答案． 【详解】（1）解：设，， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 解方程组， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， 所以； （2）解：设，则原方程组可化为， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得： 解得， 所以， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， 所以； （3）解：方程组可化为， 所以， 所以． 15．（23-24六年级下·上海徐汇·期中）阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解． 例：由，得：．根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程的正整数解为． 问题： (1)请你直接写出方程的一组正整数解______． (2)若为正整数，则满足条件的正整数x的值有______个． (3)2022-2023学年七年级某班为了奖励学生学习的进步，购买单价为4元的笔记本与单价为6元的钢笔两种奖品，共花费56元，问有哪几种购买方案？ 【答案】(1)（答案不唯一） (2)6 (3)共有4种购买方案．方案一：2本笔记本，11支钢笔；方案二：4本笔记本，8支钢笔；方案三：6本笔记本，5支钢笔；方案四：8本笔记本，2支钢笔． 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用： （1）先求出，再求出方程的一组正整数解即可； （2）根据题意可得是18的正因数，据此可得答案； （3）设购买m本笔记本，n支钢笔，依题意得：，求出方程的非负整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，， ∴原方程的一组正整数解为； （2）解：∵是正整数， ∴是18的正因数， ∴或或或或或， ∴满足条件的正整数x的值有6个， 故答案为：6； （3）解：设购买m本笔记本，n支钢笔， 依题意得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴或或或， ∴共有4种购买方案． 答：共有4种购买方案．方案一：2本笔记本，11支钢笔；方案二：4本笔记本，8支钢笔；方案三：6本笔记本，5支钢笔；方案四：8本笔记本，2支钢笔． 学科网（北京）股份有限公司 $$