专题02 二元一次方程组的应用重难点题型专训（15大题型+15道提优训练）-2024-2025学年六年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版五四制2024）

专题02 二元一次方程组的应用重难点题型专训（15大题型+15道提优训练） 题型一 根据实际问题列二元一次方程组 题型二 根据几何图形列二元一次方程组 题型三 方案问题 题型四 行程问题 题型五 工程问题 题型六 数字问题 题型七 年龄问题 题型八 分配问题 题型九 销售、利润问题 题型十 和差倍分问题 题型十一 几何问题 题型十二 图表信息题 题型十三 古代问题 题型十四 其他问题 题型十五 新定义问题 知识点01 列方程组解应用题的基本思路 列方程组解应用题就是把实际问题抽象为方程组模型，关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系。一般地，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足： （1）方程两边表示的是同类量； （2）同类量的单位要统一； （3）方程两边的数值要相等。 知识点02 列二元一次方程组解应用题的一般步骤 （1）审题：分析题中已知什么、求什么、明确各数量之间的关系； （2）设未知数：一般求什么，就设什么为； （3）找等量关系； （4）列方程组：根据等量关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，组成方程组； （5）解：解所列方程组，求出未知数的值； （6）检验：检验所求未知数的值是否符合方程组，是否符合实际； （7）答：写出答案。 知识点03 列二元一次方程组解应用题的常见类型 （1）和差倍分问题：增长量=原有量×增长率；较大量=较小量+多余量；总量=倍数×倍量； （2）产品配套问题：解这类问题的基本等量关系是加工总量成比例； （3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间；各部分工作量之和=总量； （4）利润问题：商品售价=标价×折扣率；商品利润=商品售价-商品进价；利润率=； （5）行程问题：速度×时间=路程；顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度； （6）方案问题：在解决问题时，常常需合理安排，需要从几种方案中选择最佳方案，方案选择题的题干较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点，比较几种方案得出最佳方案。 知识点04 二元一次方程组的应用 （一）、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）、设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 【经典例题一 根据实际问题列二元一次方程组】 【例1】（24-25六年级下·上海宝山·阶段练习）小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，问小悦买书用了1元和5元的纸币各多少张？设所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，根据题意，列出方程组，并用列表尝试的方法求解． x 1 2 3 4 5 y 11 10 9 8 7 56 52 48 44 40 【答案】小悦买书用了1元纸币3张，5元纸币9张． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，由所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，x、y均必须取非零自然数，，买书共用48元，逐步取值，看符合条件的x、y值即为方程组的解． 【详解】解：均必须取非零自然数， ∴列表尝试如下： x 1 2 3 4 5 y 11 10 9 8 7 56 52 48 44 40 ∴方程组的解为 答：小悦买书用了 1元纸币 3张，5元纸币9张． 1．（2024·上海松江模拟预测）甲、乙两组各有若干人，若从甲组调2人至乙组，则甲、乙两组人数相同，若将甲组人数的三分之一调入乙组，则甲、乙两组的人数比为，求甲、乙两组原来各有多少人． 【答案】甲组原有15人、乙组原有11人 【分析】该题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是列出等量关系式． 设甲组原有x 人、乙组原有y 人，根据“从甲组调2人至乙组，则甲、乙两组人数相同”，“将甲组人数的三分之一调入乙组，则甲、乙两组的人数比为”，列出二元一次方程组即可求解； 【详解】解：设甲组原有x 人、乙组原有y 人， ， 解得：， 答：甲组原有15人、乙组原有11人． 2．（2024六年级下·上海静安·模拟预测）二十大报告明确提出，积极稳妥推进碳达峰碳中和，为响应国家号召，某公司购买了甲、乙两台新能源机器，现要加工个零件，若甲机器先加工天，然后两台机器共同加工天，则还有个没有加工；若两台机器共同加工天，则可多加工个．甲、乙两台机器每天各加工多少个零件？ 【答案】甲机器每天加工个零件，乙机器每天加工个零件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设甲机器每天加工个零件，乙机器每天加工个零件，可列出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲机器每天加工个零件，乙机器每天加工个零件． 则， 解得． 答：甲机器每天加工个零件，乙机器每天加工个零件． 3．（24-25六年级下·上海静安·课后作业）某地需要将一段长为米的河道进行整修，整修任务由，两个工程队先、后接力完成．已知工程队每天整修米，工程队每天整修米，共用时天．问，两个工程队整修河道分别工作了多少天？ (1)以下是甲同学的做法： 设工程队整修河道工作了天，工程队整修河道工作了天．根据题意，得方程组：________， 解得， 请将甲同学的上述做法补充完整； (2)乙同学说：本题还有另外一种解法，他列出了不完整的方程组如下：， 在乙同学的做法中，表示________，表示________； 请将乙同学所列方程组补充完整． 【答案】(1) ， ，； (2)工程队在整修河道中整修的米数，工程队在整修河道中工作的天数； 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找到合适的等量关系是解题的关键． （）根据工程队与工程队的工作时间共天，工程队与工程队共修河道米，列方程组进行求解即可； （）观察乙所列的方程，可知乙把每个队整修的河道长作为了未知数，由此进行分析即可得到的答案； 【详解】（1）解：设工程队整修河道工作了天，工程队整修河道工作了天， 根据题意，得方程组： ， 解得， 故答案为： ， ，； （2）解：在乙同学的做法中，表示工程队在整修河道中整修的米数，表示工程队在整修河道中工作的天数， 故答案为：工程队在整修河道中整修的米数，工程队在整修河道中工作的天数， 根据上面可列方程，， 故答案为：． 【经典例题二 根据几何图形列二元一次方程组】 【例2】（23-24六年级下·上海闵行·阶段练习）如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示.    (1)小长方形的长和宽各是多少？ (2)求阴影部分的面积. 【答案】(1)小长方形的长为，宽为； (2)． 【分析】（）设小长方形的长为，宽为，观察图形即可列出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值， （）根据阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】（1）设小长方形的长为，宽为， 根据图形可知：， 解得：， 答：小长方形的长为，宽为； （2）由（）得：小长方形的长为，宽为， ∴长方形的宽为， 则阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积， ， ， 答：阴影部分的面积为． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，观察图形列出关于、的二元一次方程组是解题的关键． 1．（23-24六年级下·上海崇明·阶段练习）小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（1），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形．请问每个小长方形的面积是多少？ 【答案】 【分析】设每个小长方形的长是，宽是，根据图形给出的信息可知，长方形的个宽与其个长相等，个长加的和等于两个宽的和，于是得方程组，解出即可． 【详解】解：设小长方形的长是，宽是， 由图（1），得， 由图（2），得， 所以， 解得， 小长方形的长为，宽为， 小长方形的面积为， 答：每个小长方形的面积是． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据矩形和正方形的长与宽的关系建立方程组是关键． 2．（2024六年级下·上海静安·模拟预测）如图：用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形，每块小长方形的长和宽分别是多少？ 解：设小长方形的长是x厘米，宽是y厘米， 题中的两个相等关系： (1)小长方形的长____________大长方形的宽，可列方程为：____________； (2)小长方形的长____________，可列方程为：____________． 【答案】(1)小长方形的一个宽；； (2)小长方形的宽；． 【分析】（1）观察图形可知，小长方形的长小长方形的一个宽大长方形的宽，即可列出方程； （2）观察图形可知，小长方形的长小长方形的宽，即可列出方程． 【详解】（1）解：小长方形的长小长方形的一个宽大长方形的宽； 可列方程为：， 故答案为：小长方形的一个宽；； （2）解：小长方形的长小长方形的宽， 可列方程为：， 故答案为：小长方形的宽；． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，从图形中找出等量关系是解题关键． 3．（23-24六年级下·上海静安·阶段练习）若两个角的差的绝对值等于，则称这两个角互为“垂角”．例如： ，，，则与互为“垂角”（本题中所有角都是指大于且小于的角）．    (1)已知一个角比它的“垂角”的少，求这个角的度数； (2)如图所示，，，是否存在射线，使得与互为“垂角”？若存在，直接写出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）根据“垂角”定义和给定的关系列方程组解答即可； （2）分两种情况，利用“垂角”定义，再根据图形和已知条件中与和的关系列方程组解答即可． 【详解】（1）设这个角为，它的垂角为， 根据题意，得， 解得：， 故这个角的度数为； （2）的度数为：或或， 理由如下：分两种情况： 在的内部时，   ， 解得或， ∴或； ②在外部时，   ， 解得或， ∴或（舍去）， 故的度数为：或或． 【点睛】题目主要考查角的计算及二元一次方程组的应用，理解题意，作出图形，根据图形列出方程组是解题关键． 【经典例题三 方案问题】 【例3】（23-24六年级下·上海闵行·课后作业）某地区因强降雨天气引起洪水灾害，有名群众被困，某救援队立即前往救援．已知艘小型船和艘大型船一次可救援名群众，艘小型船和艘大型船一次可救援名群众． (1)每艘小型船和每艘大型船各能载多少名群众？ (2)若安排艘小型船和艘大型船一次救援完所有被困群众，且恰好每艘船都载满，请设计出所有的安排方案． 【答案】(1)每艘小型船能坐名群众，每艘大型船能坐名群众 (2)有种方案，分别为：安排艘小型船艘大型船；安排艘小型船和艘大型船；安排艘小型船和艘大型船；安排艘小型船和艘大型船；安排艘小型船和艘大型船，安排艘小型船和艘大型船； 【分析】本题考查了一元二次方程组的应用，求一元二次方程整数解，掌握知识点的应用是解题的关键． （）每艘小型船能坐名群众，每艘大型船能坐名群众，根据题意得列出方程，然后解方程即可； （）由安排艘小型船和艘大型船，得，则，解得，再根据为整数，求出解即可． 【详解】（1）解：每艘小型船能坐名群众，每艘大型船能坐名群众， 根据题意得，， 解得：， 答：每艘小型船能坐名群众，每艘大型船能坐名群众； （2）解：由安排艘小型船和艘大型船， ∴， ∴， ∴， ∵为整数， ∴或或或或或， ∴或或或或或， 答：有种方案，分别为：安排艘小型船和艘大型船；安排艘小型船和艘大型船；安排艘小型船和艘大型船；安排艘小型船和艘大型船；安排艘小型船和艘大型船，安排艘小型船和艘大型船；． 1．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）“绿水青山就是金山银山”，大家对生态环境的保护意识不断提高．某学校开展植树护林活动，据了解3棵A种树木、4棵B种树木的售价共计155元；4棵A种树木、3棵B种树木的售价共计160元． (1)求A、B两种树木每棵的售价分别为多少元？ (2)若该学校计划用400元购进以上两种树木（两种树木均要购买，且400元全部用完），问该学校有哪几种购买方案，请通过计算列举出来． 【答案】(1)A，B两种树木每棵的售价分别为25元，20元 (2)共有以下3种购买方案： 方案1：A种树木购进4棵，B种树木购进15棵； 方案2：A种树木购进8棵，B种树木购进10棵； 方案3：A种树木购进12棵，B种树木购进5棵 【分析】本题考查了二元一次方程整数解和二元一次方程组的应用，解题关键是根据题意设未知数，列出方程或方程组； （1）设A，B两种树木每棵的售价分别为x元，y元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设A，B两种树木分别购进a棵和b棵，列出方程，再求正整数解即可． 【详解】（1）解：设A，B两种树木每棵的售价分别为x元，y元， 根据题意，得， 解得； 答：A，B两种树木每棵的售价分别为25元，20元． （2）解：设A，B两种树木分别购进a棵和b棵， 根据题意，得，即， ∵两种树木均要购买，且a，b均为正整数， ∴或或， 答：共有以下3种购买方案： 方案1：A种树木购进4棵，B种树木购进15棵； 方案2：A种树木购进8棵，B种树木购进10棵； 方案3：A种树木购进12棵，B种树木购进5棵． 2．（23-24六年级下·上海奉贤·课后作业）某游乐园的门票价格如下表．某校七年级（1）班和（2）班共104人去该游乐园春游，其中（1）班不足40人，（2）班有40余人．经估算，如果两个班都以班为单位分别购票，那么一共应付10000元；如果两个班合起来作为一个团队购票，那么可以节省费用． 购票人数 80以上 单人门票价/元 130 110 90 (1)如果两个班合起来作为一个团队购票，可以节省_______元； (2)两个班各有多少人？ 【答案】(1)640 (2)七年级（1）班有16人，（2）班有88人 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用、二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键． （1）先求出如果两个班合起来作为一个团队购票，所需的门票费，再减去10000元即可得； （2）设七年级（1）班有人，（2）班有人，分两种情况：①和②，分别建立方程，解方程组即可得． 【详解】（1）解：如果两个班合起来作为一个团队购票，则所需门票费为（元）， 则（元）， 即如果两个班合起来作为一个团队购票，可以节省640元， 故答案为：640． （2）解：设七年级（1）班有人，（2）班有人， ①若， 则， 解得，不符合题意，舍去； ②若， 则， 解得，符合题设， 答：七年级（1）班有16人，（2）班有88人． 3．（23-24六年级下·上海杨浦·课后作业）一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱物资打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下（假设每辆车均满载）： 车型 甲 乙 丙 每辆汽车运载量 5 8 10 每辆汽车运费/元 400 500 600 (1)若全部物资都用乙、丙两种车型来运送，需运费8200元，乙、丙两种车型各需几辆？ (2)为了节约运费，该市政府决定一共安排16辆运送车辆，且甲、乙、丙三种车型都参与运送，请你用列方程组的方法求三种车型各有多少辆． (3)哪种方案的运费最少？最少是多少元？ 【答案】(1)乙车型8辆，丙车型7辆 (2)有两种运送方案：①甲车型2辆，乙车型8辆，丙车型6辆；②甲车型4辆，乙车型3辆，丙车型9辆 (3)甲车型2辆，乙车型8辆，丙车型6辆，最少运费是8400元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用问题，根据题意准确的列出方程组是求解本题的关键. （1）设需要乙车辆，丙车辆，根据运费元，总吨数134吨，列出方程组求解即可； （2）设甲车有辆，乙车有辆，丙车有辆，列出方程组，再根据均为正整数，求出的值，即可求解； （3）分别求出两种方案的运费即可求解； 【详解】（1）解：设需要乙车辆，丙车辆 由题意可得： 解得： 需要乙车8辆，丙车7辆 （2）解：设甲车有辆，乙车有辆，丙车有辆 由题意可得： 消去可得： 由于是正整数，且小于16，则： 由是正整数，解得 有两种运送方案： ①甲车型4辆，乙车型3辆，丙车型9辆； ②甲车型2辆，乙车型8辆，丙车型6辆； （3）解：两种方案得运费分别是： ①； ②； 甲车型2辆，乙车型8辆，丙车型6辆时，最少运费是8400元. 【经典例题四 行程问题】 【例4】（2025六年级下·上海闵行·模拟预测）小明骑自行车去某景区，出发时，他先以的速度走平路，而后又以的速度上坡到达景区，共用了；返回时，他先以的速度下坡，而后以的速度走过平路，回到原出发点，共用了，求从出发点到景区的路程． 【答案】9千米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 设平路为x千米，坡路为y千米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可解答． 【详解】解：设平路为x千米，坡路为y千米， 根据题意得：， 解得：， 则（千米）， 答：从出发点到景区的路程是9千米． 1．（24-25六年级下·上海长宁·阶段练习）A、B两地相距36千米．甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地．两人同时出发，4小时后相遇；6小时后，甲所余路程为乙所余路程的2倍，求两人的速度． 【答案】甲的速度是4千米/时，乙的速度是5千米/时． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，等量关系式：甲4小时形式的路程乙4小时形式的路程千米，甲6小时后所余路程乙6小时后所余路程，据此列方程组，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：设甲的速度是x千米/时，乙的速度是y千米/时，由题意得： ， 解得：， 答：甲的速度是4千米/时，乙的速度是5千米/时 2．（24-25六年级下·上海奉贤·课后作业）兄弟二人骑车同时从甲地到乙地，弟弟在前一半路程每小时行4千米，后一半路程每小时行6千米．哥哥按时间分段行驶，前时间每小时行4千米，中间时间每小时行5千米，后时间每小时行6千米，结果哥哥比弟弟早到20分钟．甲乙两地相距多少千米？ 【答案】甲乙两地相距40千米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． 设甲乙两地相距千米，哥哥所用的时间为，根据“弟弟在前一半路程每小时行4千米，后一半路程每小时行6千米．哥哥按时间分段行驶，前时间每小时行4千米，中间时间每小时行5千米，后时间每小时行6千米，结果哥哥比弟弟早到20分钟”，列二元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：设甲乙两地相距千米，哥哥所用的时间为． ， 解得， 答：甲乙两地相距40千米． 3．（2025六年级下·上海长宁·模拟预测）问题情境： 目前，户外骑自行车进行锻炼已经成为我们日常生活中常见的一种锻炼方式，越来越受到大众的欢迎．而在骑行的过程中，自行车的轮胎与地面摩擦会有损耗，行驶一定的里程就要报废． 问题解决： 问题一：如果前后轮没有压力差，前轮可以使用4000公里，后轮也可以使用4000公里，这对轮胎行驶的里程数最大值是______． 问题二：由于后轮受到的压力大，所以损耗也大一些，如果行驶到某里程数，将前后轮交换一次，再使用到前后轮同时报废，可以使行驶的里程数最大．若前轮可以使用5000公里，后轮可以使用3000公里，行驶的里程数为多少公里时交换前后轮胎？这对轮胎行驶的里程数最大值是多少？ 【答案】问题一：4000公里；问题二：行驶的里程数为 1875 公里时交换前后轮胎，这对轮胎行驶的里程数最大值是3750公里 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，确定相等关系是关键； 问题一：由前后轮没有压力差可得答案； 问题二：设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1公里磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1公里的磨损量为，设一对新轮胎交换位置前走了公里，交换位置后走了公里，根据题意列出二元一次方程组，求解，再设行驶的里程数为公里时互换前后轮胎并进一步解答即可． 【详解】解：问题一：由题意可得：这对轮胎行驶的里程数最大值4000公里； 问题二：设每个新轮胎报废时的总磨损量为，一对新轮胎交换位置前走了公里，交换位置后走了公里， 根据题意，得； ，得， 则， 设行驶的里程数为公里时互换前后轮胎，则， 解得， 答：行驶的里程数为 1875 公里时交换前后轮胎，这对轮胎行驶的里程数最大值是3750公里． 【经典例题五 工程问题】 【例5】（24-25六年级下·上海静安·课后作业）安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项工程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天． (1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天； (2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的． 【答案】(1)甲队单独完成此项工程需要40天，乙队单独完成此项工程需要15天 (2)与公司派来的乙工程队再合作6天可完成此项工程 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程（组）． （1）设甲队单独完成此项工程需要天，乙队单独完成此项工程需要天，根据题意列出方程组，解方程组，即可求解； （2）设与公司派来的乙工程队再合作天可完成此项工程的，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设甲队单独完成此项工程需要天，乙队单独完成此项工程需要天， 根据题意得 解得 答：甲队单独完成此项工程需要40天，乙队单独完成此项工程需要15天 （2）解：设与公司派来的乙工程队再合作天可完成此项工程的， 根据题意得， 解得， 答：与公司派来的乙工程队再合作6天可完成此项工程． 1．（2025六年级下·上海宝山·模拟预测）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做天可以完成，需付费用元，问： (1)甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？ (2)已知甲组单独完成需天，乙组单独完成需天，单独请哪个组，商店所需费用最少？ (3)若装修完后，商店每天可赢利元，你认为如何安排施工更有利于商店？请你帮助商店决策．（可用（1）（2）问的条件及结论） 【答案】(1)甲、乙两组工作一天，商店各应付元和元 (2)单独请乙组需要的费用少 (3)甲、乙两组合作同时施工8天损失费用最少 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数加法、乘法的实际应用．熟练掌握二元一次方程组的应用，有理数加法、乘法的实际应用是解题的关键． （1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元．依题意得， ，计算求解，然后作答即可； （2）由题意知，单独请甲组需要的费用：（元），单独请乙组需要的费用：（元），由，判断作答即可； （3）分别计算甲、乙单独完成时的损失，然后计算甲乙合作完成时的损失，最后比较大小并作答即可． 【详解】（1）解：设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元． 依题意得， ， 解得 ， 答：甲、乙两组工作一天，商店各应付元和元； （2）解：由题意知，单独请甲组需要的费用：（元）， 单独请乙组需要的费用：（元）， ∵， ∴单独请乙组需要的费用少； （3）解：由题意知，甲组单独做天，需费用元，少赢利（元），相当于损失（元）； 乙组单独做天，需费用元，少赢利（元），相当于损失（元）； 甲乙两组合作同时施工8天，需费用元，少赢利（元），相当于损失（元）； ∵， ∴甲、乙两组合作同时施工8天损失费用最少． 2．（24-25六年级下·上海静安·课后作业）有一段长为180m的河道整治任务由甲，乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治8m，乙工程队每天整治12m，共用20天．甲，乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明，小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设甲工程队整治河道，乙工程队整治河道．根据题意，得；小华同学：设表示________，表示________．根据题意，得．请你补全小明，小华两位同学的解题思路； (2)请从（1）中任选一个解题思路写出完整的解答过程． 【答案】(1)180，，，甲工程队整治河道的天数，乙工程队整治河道的天数； (2)见解析． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．根据甲、乙两队共完成120米的整治河道任务且共同时20天，即可得出关于x，y的二元一次方程组；小华同学：根据小华同学所列的方程组，找出m，n表示的意义； （2）根据题意，解方程组即可得出结论． 【详解】（1）解：小明同学： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意，得 ； 小华同学： 设整治任务完成后，m表示甲工程队工作的时间，n表示乙工程队工作的时间． 根据题意，得： ． 故答案为：180；；甲工程队工作的时间；乙工程队工作的时间． （2）选择小明同学的解题思路： 设甲工程队整治河道，乙工程队整治河道， 根据题意，得， 解得， 故甲工程队整治河道120m，乙工程队整治河道60m． （或选择小华同学的解题思路）： 设甲工程队整治河道天，乙工程队整治河道天． 根据题意，得，， 解得， ． 故甲工程队整治河道120m，乙工程队整治河道60m． 3．（24-25六年级下·上海静安·单元测试）下面是学习二元一次方程组时，老师提出的问题和两名同学所列的方程． 问题：某个工人一天工作6个小时，可以生产零件一整箱和不足一箱的20个；由于特殊情况，今天他只工作4个小时，生产零件一整箱和不足一箱的4个，问这一箱零件和该工人每小时能生产的零件数分别是多少？ 小明所列方程：；小亮所列方程：； 根据以上信息，解答下列问题． (1)以上两个方程（组）中x意义是否相同？________（填“是”或“否”）； (2)小亮的方程所用等量关系是________（填序号，“①每个小时生产的零件数相等”或“②4个小时生产的零件数相等”）； (3)根据小明所列的方程组完整解答老师提出的问题． 【答案】(1)是 (2)② (3)一箱零件数是28个，该工人每小时能生产的零件数是8个 【分析】本题主要考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用，正确理解所列方程的意义是解题的关键． （1）根据所列方程分别得到小明和小亮所列方程中x的意义即可得到答案； （2）根据小亮所列方程的意义求解即可； （3）利用解二元一次方程组的方法求解即可． 【详解】（1）解：由小明所列方程的意义可知，小明方程中x表示的是这一箱零件的个数， 而由小亮所列方程的意义可知，小亮方程中的x表示的是这一箱零件的个数， ∴以上两个方程（组）中x意义相同， 故答案为：是； （2）解：根据小亮所列方程的意义可知小亮的方程所用等量关系为4个小时生产的零件数相等， 故答案为：②； （3）解：设一箱零件数是个，该工人每小时能生产的零件数是个， 根据题意得，， 得：， 解得， 把代入①得：， 解得， ∴这一箱零件和该工人每小时能生产的零件数分别是28个、8个． 【经典例题六 数字问题】 【例6】（23-24六年级下·上海杨浦·期中）某中学为促进阳光体育运动发展，计划购进足球、排球充实体育器材，若购买足球3个、排球2个，共需资金260元，若购买足球4个、排球3个，共需资金360元．求足球、排球的价格分别是多少元？ 【答案】足球的价格为元，排球的价格为元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，准确理解等量关系是解题的关键．设足球的价格为，排球的价格为，根据题意列出方程即可得到答案． 【详解】解：设足球的价格为元，排球的价格为元， 根据题意得到， 解得， 答：足球的价格为元，排球的价格为元． 1．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）某两位数，两个数位上的数之和为11．这个两位数加上45，得到的两位数恰好等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，求原两位数． (1)列一元一次方程求解． (2)设原两位数的十位数字为，个位数字为，列二元一次方程组求解． 【答案】(1)38 (2)38 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及由实际问题抽象出二元一次方程组． （1）设原两位数的个位数字为，则十位数字为，根据原两位数等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设原两位数的十位数字为，个位数字为，根据原两位数两个数位上的数之和为11及原两位数等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，即可得出关于，的二元一次方程组，解方程即可． 【详解】（1）解：设原两位数的个位数字为，则十位数字为， 依题意，得：， 解得：， ， ∴原两位数为38； （2）解：设原两位数的十位数字为，个位数字为， 依题意，得：， 解得， ∴原两位数为38． 2．（23-24六年级下·上海静安·阶段练习）在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程或方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷．请根据下列诗意列方程组解应用题． (1)周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数． (2)悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟，归时四分行六百，风速多少请算清． 【答案】(1)这个两位数是36 (2)风速为每分钟50里． 【分析】本题考查了二元一次方程组在实际问题中运用，需要设两个未知数，再寻找建立方程组的两个等量关系． （1）设这个两位数十位上的数字是x，个位上的数字是y，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设悟空的速度为每分钟m里，风速为每分钟n里，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）设这个两位数十位上的数字是x，个位上的数字是y， 根据题意，得 解得 答：这个两位数是36； （2）设悟空的速度为每分钟m里，风速为每分钟n里， 根据题意得， 解得 ∴风速为每分钟50里． 3．（2024六年级下·上海静安·模拟预测）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答，也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答． 运输的化肥，装载了节火车车厢和15辆汽车；运输的化肥，装载了节火车车厢和辆汽车，每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨？ 解题方案：设每节火车车厢平均装吨化肥，每辆汽车平均装吨化肥． (1)根据题意，列出方程组：　　； (2)解这个方程组，得 ； (3)答：每节火车车厢平均装 吨化肥，每辆汽车平均装 　　吨化肥（用数字作答）． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据题意：运输的化肥，装载了节火车车厢和15辆汽车；运输的化肥，装载了节火车车厢和辆汽车，列出方程组即可； （2）由加减消元法解这个方程组即可； （3）写出答案即可． 【详解】（1）解：设每节火车车厢平均装吨化肥，每辆汽车平均装吨化肥． 根据运输的化肥，装载了节火车车厢和15辆汽车,可列， 根据运输的化肥，装载了节火车车厢和辆汽车，可列， 即可列出方程组：， 故答案为：． （2）解：． 可得， 可得，即， 将代入①，可得， 故这个方程组的解为， 故答案为：． （3）答：每节火车车厢平均装吨化肥，每辆汽车平均装吨化肥， 故答案为：，． 【经典例题七 年龄问题】 【例7】（23-24六年级下·上海长宁·课后作业）今年父亲的年龄是玲玲的倍，年后父亲的年龄是玲玲的倍，今年父亲、玲玲的年龄各是多少岁？ 【答案】今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁，根据题意列出方程，然后解出方程即可． 【详解】解：设今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁， 根据题意得，，解得：， 答：今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁． 1．（23-24六年级下·上海·自主招生）甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁，那么（   ） A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁 C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设甲现在的年龄为岁，乙现在的年龄为岁，根据“甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲现在的年龄为岁，乙现在的年龄为岁， 依题意，得：， 解得：． 甲现在的年龄为25岁，乙现在的年龄为20岁， 甲比乙大5岁 故选：A． 2．（23-24六年级下·上海松江·期末）一名学生问老师：“你今年多大了？”老师风趣地说“我像你这样大的时候，你才2岁；你到我这么大时，我已经38岁了”，则今年老师的岁数是 ． 【答案】26 【分析】设今年老师的岁数是x岁，学生的岁数是y岁，根据学生今年年龄减年龄差等于2，老师今年年龄加年龄差等于38，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设今年老师的岁数是x岁，学生的岁数是y岁， 依题意得：， 解得：． 故答案为：26． 【点睛】本题考查二元一次方程组，设出恰当的未知数，准确抓住数量关系列出方程组是解题的关键． 3．（23-24六年级下·上海徐汇·期中）某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【答案】今年李老师24岁，该学生13岁 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可． 【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则 相据该学生和李老师的年龄差不变， 可得 解得 答：今年李老师24岁，该学生13岁． 【经典例题八 分配问题】 【例8】（23-24六年级下·上海宝山·期末）丰富多彩的社团活动，点亮了校园的每一个角落，绽放出多元而独特的光彩．在这里，每一个社团都是一个梦想的摇篮，每一份热爱都找到了生长的土壤．太谷区初中某学校社团在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成多少个包装盒？ 【答案】12个 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，读懂题意、找出合适的等量关系、列出方程组是解答本题的关键．设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，则做出侧面的数量为个，底面的数量为个，然后根据底面数量是侧面数量的2倍列出方程组求解即可． 【详解】解：设用张卡纸做侧面，用张卡纸做底面， 由题意得， 解得． （个）或（个） 答：这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为12个． 1．（2025·上海杨浦·一模）王老师买了一批图书准备分给某班的学生阅读，若每名学生分3本书，则剩余18本书，若每名学生发4本书，则还少22本书．则这批书有多少本？ 【答案】这些书有138本 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设这批书有x本，该班共有y名学生，根据“若每名学生分3本书，则剩余18本书，若每名学生发4本书，则还少22本书”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设这批书有x本，该班共有y名学生， 根据题意得：， 解得：， 答：这些书有138本． 2．（24-25六年级下·上海青浦·阶段练习）甲、乙两家公司组织员工游览某景点的门票售价如下： 人数 人 人 人以上 票价 元/人 元/人 元/人 (1)若甲公司有人游览，则共付门票费______元； 若乙公司共付门票费元，则乙公司有______人游览； (2)若甲、乙两家公司共有人游览，其中甲公司不超过人，两家公司先后共付门票费元，求甲、乙两家公司游览的人数． 【答案】(1)；； (2)甲公司有人游览，乙公司有人游览． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键． （1）根据表格信息，利用费用人数票价求解即可； （2）设甲公司有人游览，则乙公司有人游览，根据题意分两种情况讨论，列方程组求解即可． 【详解】（1）解：若甲公司有人游览，则共付门票费：（元）， ， 乙公司人数超过人， 则乙公司游览人数为：（人）， 故答案为：；； （2）解：设甲公司有人游览，则乙公司有人游览， 若时， 根据题意，得， 解得，； 若时， 根据题意，得， 解得，， 甲公司不超过人， 此情况不符合题意，舍去； 答：甲公司有人游览，乙公司有人游览． 3．（24-25六年级下·上海静安·课后作业）（应用意识）用如图①所示的长方形和正方形纸板作为侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒． (1)若有正方形纸板1460张，长方形纸板3440张，则当竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个时，恰好能将这些纸板全部用完？ (2)若一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，请求出a所有可能的值． 【答案】(1)当竖式纸盒加工500个，横式纸盒加工480个时，恰好能将这些纸板全部用完 (2)所有可能的值为155，160，165 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程或方程组求解． （1）设竖式纸盒加工x个，横式纸盒加工y个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板1460张、长方形纸板3440张，列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板80张、长方形纸板a张，列出m、n的二元一次方程组，解之即可用含a的代数式表示出n值，再根据n、a为正整数结合求出a的值，即可解决问题． 【详解】（1）解：设竖式纸盒加工x个，横式纸盒加工y个．根据题意，得： ， 解得， 故当竖式纸盒加工500个，横式纸盒加工480个时，恰好能将这些纸板全部用完． （2）解：设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个．根据题意，得： ， ，得 ， 均为正整数， 为5的倍数． 又， 所有可能的值为155，160，165． 【经典例题九 销售、利润问题】 【例9】（23-24六年级下·上海静安·课后作业）某水果批发市场苹果的价格如下： 购买质量 不超过 超过但不超过 以上 每千克苹果价格 12元 10元 8元 甲、乙两人共买了苹果，甲比乙少花116元，甲比乙少买多少苹果？ 【答案】甲比乙少买苹果 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，熟练掌握分类讨论和二元一次方程组的解法是解题的关键． 根据题意列出二元一次方程组进行求解即可得到答案． 【详解】解：设甲买了千克，乙买了千克， ①若甲、乙两人购买苹果的质量均不超过， 则有：， 解得：，舍去； ②若甲购买苹果的质量不超过，乙购买苹果的质量超过但不超过， 则有：， 解得：，舍去； ③若甲购买苹果的质量不超过，乙购买苹果的质量超过， 则有：， 解得：，舍去； ④若甲、乙两人购买苹果的质量均超过但不超过， 则有：， 解得：，，舍去； ⑤若甲购买苹果的质量超过但不超过，乙购买苹果的质量不超过， 则有：， 解得：，，舍去； ⑥若甲购买苹果的质量超过但不超过，乙购买苹果的质量超过， 则有：， 解得：，符合题意，此时甲比乙少买． 答：甲比乙少买苹果． 1．（23-24六年级下·上海金山·课后作业）小李在某商场购买，两种商品若干次（每次，商品都买），三次购买，商品的数量和费用如下： 购买序数 购买商品的数量个 购买商品的数量/个 总费用元 (1)，商品的标价各是多少元？ (2)小李第三次购买方案可能有哪几种？ 【答案】(1)商品的标价是元，商品的标价是元 (2)购买方案可能有种，购买商品件，商品件；购买商品件，商品件． 【分析】本题考查了一元二次方程组的应用，求一元二次方程整数解，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设商品的标价是元，商品的标价是元，根据题意列出方程，然后解方程即可； （）由表格可知，，则，解得，再根据为正整数，求出解即可． 【详解】（1）解：设商品的标价是元，商品的标价是元， 根据题意得，， 解得：， 答：商品的标价是元，商品的标价是元； （2）解：∵商品的标价是元，商品的标价是元， ∴由表格可知，， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴或， ∴或， 答：购买方案可能有种，购买商品件，商品件；购买商品件，商品件． 2．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）某班元旦迎新年活动，购买活动奖品，计划购买笔记本20本，盲盒30个，共需1380元，其中盲盒比笔记本贵6元． (1)求盲盒和笔记本的单价各为多少？ (2)后来调整方案，需要购买上面的两种奖品共70件（奖品单价不变）．班长做完预算后，对家委主任说：“我这次买这两种奖品需要费用1922元．”家委主任算了一下，说：“如果你用这些钱买这两种奖品，那么费用肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释家委主任为什么说班长算错了． (3)班长突然想起，所做的预算中还包括班主任老师让他买的一支记号笔．如果记号笔的单价不超过10元，且金额数为整数，请通过计算，直接写出记号笔的单价可能为　　　元． 【答案】(1)盲盒的单价为30元，笔记本的单价为24元 (2)见解析 (3)2或8 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、二元一次方程的应用、整数的认识，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设盲盒的单价为x元，则笔记本的单价为元，根据购买笔记本20本，盲盒30个，共需1380元，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设购买y个盲盒，则购买本笔记本，根据这次买这两种奖品需要费用1922元，结合（1）的结论，列出一元一次方程，解方程判定即可； （3）设记号笔的单价为m元，根据这次买这两种奖品需要费用1922元，结合（1）的结论，列出二元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设盲盒的单价为x元，则笔记本的单价为元， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：盲盒的单价为30元，笔记本的单价为24元； （2）解：班长算错了，理由如下： 设购买y个盲盒，则购买本笔记本， 由题意得：， 解方程得：， 又∵y需为正整数， ∴不符合题意，舍去， ∴班长算错了； （3）解：设记号笔的单价为m元， 由题意得：， 解方程得：， 又∵y为正整数，m为不大于10元的整数， ∴或8， 故答案为：2或8． 3．（23-24六年级下·上海青浦·期末）某中学为了培养学生的环保意识，开展了为期三周的“环境保护，从我做起”主题活动，各班级可以通过回收可利用垃圾来兑换水笔芯和垃圾袋．某班42名同学在活动中积极响应，班长对每周的收集情况进行了统计，根据下列统计表和兑换表，解决下列问题： 第一周 第二周 第三周 矿泉水瓶个数 72 牛奶盒个数 120 总共 192 190 兑换表 6个矿泉水瓶换1支水笔芯 5个牛奶盒换1支水笔芯 30个矿泉水瓶换1个大垃圾袋 25个牛奶盒换1个大垃圾袋 (1)第一周收集的矿泉水瓶和牛奶盒全部兑换了水笔芯，可兑换多少支？ (2)第二周收集的矿泉水瓶和牛奶盒全部兑换了水笔芯34支，则 ①第二周收集的矿泉水瓶和牛奶盒各多少个？ ②第三周班长先用部分矿泉水瓶兑换了水笔芯，再用剩余的矿泉水瓶和牛奶盒（两者都有）兑换了4个大垃圾袋．这样三周后，每位同学恰好都分到了2支水笔芯，则第三周需收集矿泉水瓶和牛奶盒各多少个？（直接写出所有可能的方案） 【答案】(1)可兑换36支水笔芯 (2)①第二周收集的矿泉水瓶和牛奶盒各120个、70个；②方案一：第三周需收集114个矿泉水瓶，75个牛奶盒；方案二：第三周需收集144个矿泉水瓶，50个牛奶盒；方案三：第三周需收集174个矿泉水瓶，25个牛奶盒． 【分析】本题结合学生实际考查了二元一次方程组和分类讨论思想，在第（2）问的②中，三周后，每位同学恰好都分到了2支水笔芯，根据班级人数求出三周共兑换的水笔芯数是易错点． （1）由6个矿泉水瓶换1支水笔芯，5个牛奶盒换1支水笔芯以及矿泉水瓶喝牛奶盒的数量直接求水笔芯的数量； （2）①设第二周矿泉水瓶和牛奶盒各收集了个，个，根据总数190，以及水笔芯34支两个等量关系列二元一次方程组即可； ②根据题意进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：由题意得（支， 答：可兑换36支水笔芯； （2）①设第二周矿泉水瓶和牛奶盒各收集了个，个， 根据题意得：， 解得：， 第二周收集的矿泉水瓶和牛奶盒各120个、70个； ②班级42名同学，故水笔芯共（支， 第一二周共兑换了70支水笔芯，故第三周用矿泉水瓶兑换了14支水笔芯， 所用矿泉水瓶为（个， 用剩余的矿泉水瓶和牛奶盒（两者都有）兑换了4个大垃圾袋可根据矿泉水瓶（或牛奶盒）兑换垃圾袋的数量进行分类： 矿泉水瓶兑换1个大垃圾袋时，矿泉水瓶数量30个，牛奶盒（个； 矿泉水瓶兑换2个大垃圾袋时，矿泉水瓶数量60个，牛奶盒（个； 矿泉水瓶兑换3个大垃圾袋时，矿泉水瓶数量90个，牛奶盒25个， 所以可得方案： 方案一：第三周需收集114个矿泉水瓶，75个牛奶盒， 方案二：第三周需收集144个矿泉水瓶，50个牛奶盒， 方案三：第三周需收集174个矿泉水瓶，25个牛奶盒． 【经典例题十 和差倍分问题】 【例10】（23-24六年级下·上海松江·阶段练习）某中学计划为绘画小组购买某种品牌的A，B两种型号的颜料，若购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元；若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元，求每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各多少元？ 【答案】每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各24元，16元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各x元，y元，根据购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元；若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元列出方程组求解即可． 【详解】解：设每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各24元，16元． 1．（23-24六年级下·上海长宁·阶段练习）用方程组解决问题：某校初一（1）班30名同学为“希望工程”捐款，共捐款300元，问：捐5元和10元的人数各是多少？ 捐款/元 2 5 10 15 人数 5 10 【答案】捐5元的有2人，捐10元有13人 【分析】设捐5元的有x人，捐10元有y人，列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设捐5元的有x人，捐10元有y人， 根据题意得：， 解得， 答：捐5元的有2人，捐10元有13人． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出二元一次方程组． 2．（23-24六年级下·上海虹口·期中）为减少库存，某商店举行了促销优惠活动．打折前，购买6个A商品和5个B商品，总费用为114元；3个A商品和7个B商品，总费用为111元．打折后，小明购买了9个A商品和8个B商品，总费用为141.6元． (1)求打折前A商品和B商品的单价； (2)若A商品和B商品的折扣相同，则该商店打几折出售这两种商品？小明在此次购物中得到了多少优惠？ 【答案】(1)商品的单价为9元，商品的单价为12元； (2)八折；35.4元的优惠． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设每个A商品的标价为x元，每个B商品的标价为y元，根据“打折前，购买6个A商品和5个B商品，总费用为114元；3个A商品和7个B商品，总费用为111元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设商店打m折出售这两种商品，根据“打折后，小明购买了9个A商品和8个B商品共用了141.6元”，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再利用获得的优惠＝不打折时购买这些商品所需费用﹣打折后购买这些商品所需费用，即可求出结论． 【详解】（1）解：设打折前商品的单价为元，商品的单价为元． 依题意，得，解得 故打折前商品的单价为9元，商品的单价为12元． （2）设该商店打折出售这两种商品． 依题意，得，解得． （元）． 故该商店打八折出售这两种商品，小明在此次购物中得到了35.4元的优惠． 3．（23-24六年级下·上海普陀·期中）根据题意列出方程组． (1)甲、乙两人在一环形场地上从点A同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的速度的2.5倍，4min后两人首次相遇，此时乙还需要跑300m跑完第一圈．求甲、乙两人的速度及环形场地的周长． (2)将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只．则有一鸡无笼可放；若每个笼里放5只．则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列二元一次方程组解环形问题的运用，解答时运用环形问题的数量关系建立方程是关键． （1）设乙的速度为米分，则甲的速度为米分，环形场地的周长为米，根据环形问题的数量关系，同时、同地、同向而行首次相遇快者走的路程慢者走的路程环形周长建立方程即可求解； （2）由题意可知鸡与笼的总数是不变的，由此可得两个等量关系式：即每笼放4只时，笼中鸡的总数鸡的总数；当笼中放5只鸡时，（笼的总数鸡的总数． 【详解】（1）解：设乙的速度为米分，则甲的速度为米分，环形场地的周长为米，由题意，得 ； （2）解：设笼的总数为，鸡的总数为只，根据题意可得： 则． 【经典例题十一 几何问题】 【例11】（24-25六年级下·上海嘉定·课后作业）[教材探究2变式]甲、乙两种作物单位面积产量的比是．现要把一块长，宽为的长方形土地，如图分为两块小长方形土地，左边长方形种甲种作物，右边长方形种乙种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量相等？ 【答案】把长方形土地分成左边长为，右边长，可使甲，乙两种作物的总产量相等 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设，，根据题意列出法方程组解答即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设，， 由题意得，， 解得， 答：把长方形土地分成左边长为，右边长，可使甲，乙两种作物的总产量相等． 1．（24-25六年级下·上海宝山·阶段练习）用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现在仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，求竖式和横式的纸盒各做了多少个？ 【答案】竖式的纸盒做了个，横式的纸盒做了个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设竖式的纸盒做了个，横式的纸盒做了个，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设竖式的纸盒做了个，横式的纸盒做了个， 由题意得，， 解得， 答：竖式的纸盒做了个，横式的纸盒做了个． 2．（23-24六年级下·上海嘉定·阶段练习）刘爷爷计划在一块长为，宽为的长方形空地种上蔬菜，如图所示，在空地上留出三个完全相同的小长方形和四个完全相同的正方形来种植番茄（阴影部分），其余部分种植辣椒．已知正方形的边长与小长方形的宽相等，请分别求出种番茄和辣椒的面积． 【答案】种植番茄的面积为46平方米，种植辣椒的面积为． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用等知识点，设小长方形的宽为，长为，再结合图形可得方程组，然后解方程组求出的值，进而即可得解，结合图形找出等量关系列出方程组是解题的关键． 【详解】设小长方形的宽为，长为， 根据题图，得， 解得， 种植番茄的面积为， 种植辣椒的面积为， 答：种植番茄的面积为46平方米，种植辣椒的面积为． 3．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）综合与实践 【问题情境】我们规定，如果一个长方形内部能用一些正方形（或长方形）铺，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美长方形”，图1和图2的大长方形都是“优美长方形”．      【初步感知】 （1）如图1，“优美长方形”是由5块小正方形铺成的，若“优美长方形”的周长为，求正方形的边长； 若设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为． 依题意可列方程 ， 解得 ， 正方形的边长为 ． 【解决问题】 （2）如图2，“优美长方形”是由8块相同的小长方形铺成的，若图1和图2的两个“优美长方形”的宽相同，即，求图2中每块小长方形的面积； 【深入探究】 （3）如图3，“优美长方形”是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形铺成的（既不重叠，又无缝隙），其中长方形和正方形的周长相等，正方形的边长为，，求“优美长方形“的长． 【答案】（1）；；；（2）；（3） 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程的应用，线段的和差计算，正确理解题意，找出数量关系是解题关键． （1）设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，根据长方形周长列一元一次方程求解即可； （2）由题意可知，图2中小长方形的长和宽分别为和，根据图2得出的小长方形的长和宽关系，列二元一次方程求解即可； （3）由正方形的边长可知，再由，得出，即可求出的长． 【详解】（1）解：若设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为． 依题意可列方程， 解得， 正方形的边长为， 故答案为：；；； （2）解：由图1可知，， ， 设图2中小长方形的长和宽分别为和， 则，解得：， 图2中每块小长方形的面积为； （3）解：正方形的边长为， ， ， ， ， ， ． 【经典例题十二 图表信息题】 【例12】（24-25六年级下·上海虹口·阶段练习）小亮、小红和笑笑三个人玩飞镖游戏，各投6支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，三人中靶和得分情况如图，则小红得分多少？请写出推导过程． 【答案】33 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设投中小圈得x分，投中大圈得y分，根据小亮及笑笑的得分，可列出关于x，y的二元一次方程组，利用，即可求出小红的得分． 【详解】解：设投中小圈得x分，投中大圈得y分， 根据题意得： ， 得：， ∴小红得分为33分． 1．（24-25六年级下·上海松江·阶段练习）下表是某校七至九年级某月课外兴趣小组的活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同．（活动次数为自然数），求、的值． 课外小组活动总时间/ 文艺小组活动次数/次 科技小组活动次数/次 七年级 八年级 九年级 【答案】， 【分析】本题考查了二元一次方程及方程组，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．文艺小组每次活动的时间为，科技小组每次活动的时间为，根据题意列方程求出、，再得到关于、的二元一次方程即可求解． 【详解】解：文艺小组每次活动的时间为，科技小组每次活动的时间为， 根据题意可得：， 解得：， 即文艺小组每次活动的时间为，科技小组每次活动的时间为， ，即， ， 、都是整数， ，． 2．（24-25六年级下·上海徐汇·阶段练习）某学校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小明在某文体用品店购买完毕回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图所示． 货物或应税劳务、服务名称 篮球 钢笔 笔记本 合计 规格型号 单位 个 支 本 数量 6 46 单价 100.00 15.00 5.00 金额 600.00 900.0 税率 税额 价税合计（大写）   玖佰元整                               （小写）900.00 请根据发票中现有的信息，帮助小琪复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 【答案】钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本，根据数量总和为46，金额综合为900元，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本， 由题意得， 解得， 则（元），（元）， 答：钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元． 3．（23-24六年级下·上海杨浦·期末）一个圆柱形容器中，现有20个单位高度的水．请根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)如果放入6个球，使水面上升到40个单位的高度，放入的大球、小球各多少个？ (2)现放入若干个（1）中的大球或小球，使得容器恰好装满，问有几种可能？请写出过程，并一一列出． 【答案】(1)大球为2个，小球为4个 (2)三种，当大球6个，小球2个，或大球3个，小球6个，或只放10个小球，过程见解析 【分析】本题考查了列二元一次方程组和列二元一次方程解实际问题的运用，二元一次方程组及二元一次方程的解法的运用，解答时理解图画含义是解答本题的关键． （1）由图得出一个小球使水面上升3个单位高度；一个大球使水面上升4个单位高度．设放入的大球为个，小球为个时，水面上升到40个单位的高度，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设此时需a个大球，个小球，根据题意列出方程，由、均为正整数列出所有符合条件的a、b的值即可． 【详解】（1）解：（1）由题意可得：一个小球使水面上升3个单位高度；一个大球使水面上升4个单位高度． 设放入的大球为个，小球为个时，水面上升到40个单位的高度． 解得： 答∶需放入大球为2个，小球为4个时，水面上升到40个单位的高度． （2）解：容器恰好装满时，水位需上涨30个单位高度，设此时需a个大球，个小球，则： ． 所以 因为、均为正整数，所以有以下三种情况， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件； 当时，，满足条件． 即：当大球6个，小球2个或大球3个，小球6个或只放10个小球时，容器恰好装满． 【经典例题十三 古代问题】 【例13】（23-24六年级下·上海奉贤·期末）《算法统宗》中有这样一首诗： 巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧，三百六十四只碗，恰合用尽不差争． 三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹，请问先生能算者，都来寺内几多僧． 请用一元一次方程或者二元一次方程组求解上述问题． 【答案】624个 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用： 法1：设寺内有x个和尚，根据三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹，共有三百六十四只碗，列出方程进行求解即可； 法2：设盛饭用了x只碗，盛羹用了y只碗，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：法1：设寺内有x个和尚，根据题意，得， 解得：， 答：寺内有624个和尚；                                  法2：设盛饭用了x只碗，盛羹用了y只碗，根据题意，得： ，解得， 所以 答：寺内有624个和尚． 1．（24-25六年级下·上海长宁·单元测试）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有这样一个记载：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后．甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？若丙袋中有4枚黄金和4枚白银，请求出丙袋的重量． 【答案】黄金每枚重两，白银每枚重两，丙袋的重量为260两 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设黄金每枚重x两，白银每枚重y两，根据甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后．甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），再建立方程组求解即可． 【详解】解：设黄金每枚重x两，白银每枚重y两， 根据题意，得 解得 ∴丙袋的重量为（两）． 答：黄金每枚重两，白银每枚重两，丙袋的重量为260两． 2．（23-24六年级下·上海松江·期中）程大位是珠算发明家，他随时留心数学，遍访名师，于60岁完成其杰作《算法统家》．该书中记载着一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名酶厚酒醇，醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多酶酒几多醇？”这首诗的意思是：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人，薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人总共饮下了19瓶酒，且都醉倒了，问他们醇酒、薄酒分别饮了多少瓶？（列二元一次方程组解答） 【答案】醇酒饮了10瓶，薄酒饮了9瓶 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用，设他们醇酒饮了瓶，薄酒饮了瓶，根据33位客人总共饮下了19瓶酒，醇酒1瓶，可以醉倒3位客人，薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设他们醇酒饮了瓶，薄酒饮了瓶． 根据题意，得 解得； 答：他们醇酒饮了10瓶，薄酒饮了9瓶． 3．（23-24六年级下·上海闵行·期中）小颖同学在学习了方程的内容后，用学习方程时积累的经验解决我国古代数学著作《九章算术》中的“燕雀问题”：“五只雀六只燕，共重十六两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问雀燕各几两？”．尝试解决：      (1)用表格梳理出数量关系如下： 每只重量（两） 数量（只） 总重量（两） 雀 5 燕 6 相互关系 互换1只一样重 共16 每只重量只数总重量． (2)设未知数，并用含有未知数的代数式表示其他量； (3)列方程(组)： 从表格中她发现有4个未知量，分别是：雀、燕每只的重量；5只雀、6只燕的重量． ①尝试设一个未知数解决． 如果设每只雀重量x两，则5只雀的总重量为_____两，6只燕的总重量为_____两，每只燕的重量为_____两，连接已知量和未知量的相等关系是“互换1只一样重”，于是列方程为_____．同样也可设5只雀的总重量(略)； ②尝试设两个未知数解决， 如果设每只雀重量为x两，每只燕重量为y两，连接已知量和未知量的相等关系是“五只雀六只燕，共重十六两”、“互换1只一样重”可列方程组为 ，同样也可设5只雀、6只燕的总重量(略)； 反思提炼： 经过上面的几个步骤可以将实际问题变成一个方程问题，这种思想方法在数学中通常称为数学建模．从以上探究可以看出，对于“燕雀问题”列一元一次方程解决比较复杂，因此_______是解决含有多个未知数问题的重要工具． 【答案】(1)见解析 (2)每只雀重量x两，5只雀的总重量为两，每只燕的重量为两，6只燕的总重量为两（答案不唯一） (3)①，，，；②，方程组 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）每只雀重量x两，根据“5只麻雀和6只燕子一共重16两；4只麻雀和1只燕子的重量等于1只麻雀和5只燕子的重量”，此题得解； （2）根据（1）即可得解； （3）①根据（1）（2）即可得解； ②每只雀重量为x两，每只燕重量为y两，根据“5只麻雀和6只燕子一共重16两；4只麻雀和1只燕子的重量等于1只麻雀和5只燕子的重量”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】（1）解：设每只雀重量x两， 用表格梳理出数量关系如下： 每只重量（两） 数量（只） 总重量（两） 雀 5 燕 6 相互关系 互换1只一样重 共16 （2）设每只雀重量x两，则5只雀的总重量为两，6只燕的总重量为两，每只燕的重量为两， 即：每只雀重量x两，5只雀的总重量为两，每只燕的重量为两，6只燕的总重量为两（答案不唯一）； （3）①设每只雀重量x两，则5只雀的总重量为两，6只燕的总重量为两，每只燕的重量为两，连接已知量和未知量的相等关系是“互换1只一样重”，于是列方程为． 故答案为：，，，； ②设每只雀重量为x两，每只燕重量为y两，连接已知量和未知量的相等关系是“五只雀六只燕，共重十六两”、“互换1只一样重”可列方程组为， 从以上探究可以看出，对于“燕雀问题”列一元一次方程解决比较复杂，因此方程组是解决含有多个未知数问题的重要工具． 故答案为：，方程组． 【经典例题十四 其他问题】 【例14】（24-25六年级下·上海松江·阶段练习）某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化小区环境．已知购买3株A种花卉和2株B种花卉共需要19元；购买5株A种花卉和4株B种花卉共需要35元． (1)求采购每株A，B两种花卉各多少元钱． (2)若该物管中心将小区花园分成若干区域，其中某一区域的两种花卉总费用恰好为60元，则该区域B种花卉有几株？ 【答案】(1)每株A种花卉3元，每株B种花卉5元 (2)该区域B种花卉可能有3或6或9株 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的整数解问题，解题的关键是根据已知条件列出方程组和方程并求解． （1）通过设每株A种花卉元，每株B种花卉元，根据两种购买组合的花费列出方程组求解A、B两种花卉单价； （2）根据总费用列出方程，结合正整数解确定B种花卉数量． 【详解】（1）解：设每株A种花卉元，每株B种花卉元， 根据题意得， 解得， 答：每株A种花卉3元，每株B种花卉5元； （2）解：设该区域A种花卉有株，该区域B种花卉有株， 根据题意得， 因为均为正整数，所以一定为5的倍数，且， 据此分情况讨论： 当时，； 当时，； 当时，． 综上所述该区域B种花卉可能有3或6或9株． 1．（24-25六年级下·上海徐汇·阶段练习）为庆祝中国共产党成立周年，我校计划举行“学党史·感党恩”知识竞答活动．并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品，采购员刘老师在某文体用品店购买了作为奖品的三种物品，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚．请根据下图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据中所购置的钢笔、笔记本的数量． 【答案】购置钢笔支，金额为元；购置笔记本本，金额为元． 【分析】本题考查列二元一次方程组解决实际问题，根据已知条件正确的找出等量关系是关键．设钢笔买了支，笔记本买了本，根据题意可列方程组可得出进而即可求出购置钢笔、笔记本的金额． 【详解】解：设钢笔买了支，笔记本买了本， 根据题意可得， 解得， 购置钢笔金额为：（元）， 则购置笔记本金额为：（元）； 答：购置钢笔支，金额为元；购置笔记本本，金额为元． 2．（24-25六年级下·上海松江·阶段练习）中国学生营养促进会确定了每年5月20日为中国学生营养日，其目的在于广泛、深入宣传学生时期营养的重要性，大力普及营养知识．在某400克早餐套餐中，蛋白质总含量为，包括一个谷物面包，一盒牛奶和一个去壳鸡蛋，其中一个去壳鸡蛋的质量为56克，这个鸡蛋的蛋白质含量为11.2克；谷物面包和牛奶的部分营养成分如表所示．求400克早餐套餐中谷物面包和牛奶的质量． 谷物面包（每100克） 牛奶（每100克） 蛋白质10克 脂肪33.6克 碳水化合物52.8克 钠290毫克 蛋白质3.2克 脂肪3.6克 碳水化合物4.5克 钠100毫克 【答案】该份早餐中谷物面包的质量为144克，牛奶的质量为200克 【分析】设该份早餐中谷物面包的质量为x克，牛奶的质量为y克，根据这份早餐的总质量及蛋白质的总含量，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设该份早餐中谷物面包的质量为x克，牛奶的质量为y克， 根据题意得： 解得： 答：该份早餐中谷物面包的质量为144克，牛奶的质量为200克． 3．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）某新式茶饮店售卖含咖啡因饮料时，以红、黄、绿三色来表示每杯饮料的咖啡因含量（如图），各颜色的意义如表1所示． 表1 咖啡因含量标示 咖啡因含量 红色 超过100毫克 黄色 超过50毫克，但不超过100毫克 绿色 不超过50毫克 该茶饮店售卖的产品中有A、B两种类型含咖啡因饮料，表2为A、B两种饮料的容量及咖啡因含量标示，已知该茶饮店两种饮料每毫升的咖啡因含量均匀分布，1毫升A型饮料和1毫升B型饮料共含咖啡因毫克；2杯中杯A型饮料和1杯中杯B型饮料共含咖啡因280毫克． 表2 类型 杯型 容量 咖啡因含量标示 A型 中杯 400毫升 黄色 B型 中杯 400毫升 红色 (1)、B两种类型饮料每毫升的咖啡因含量分别为多少毫克？ (2)我国建议13岁以上18岁以下青少年每日的咖啡因摄取量不超过100毫克，初中生小明在14岁生日这一天和妈妈来到这家茶饮店，妈妈为小明买了一杯中杯的A型饮料，喝完后小明还想再喝第二杯，但是妈妈不同意．请判断小明再喝第二杯该店中杯的A型饮料，其中咖啡因摄取量是否符合我国的建议？若不符合，则日摄取量超出建议多少毫克？ 【答案】(1)A型饮料每毫升的咖啡因含量为毫克，B型饮料每毫升的咖啡因含量为毫克 (2)小明再喝第二杯该店中杯的A型饮料，其中咖啡因摄取量不符合我国的建议，日摄取量超出建议60毫克 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设A型饮料每毫升的咖啡因含量为x毫克，B型饮料每毫升的咖啡因含量为y毫克，根据“1毫升A型饮料和1毫升B型饮料共含咖啡因毫克；2杯中杯A型饮料和1杯中杯B型饮料共含咖啡因280毫克”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）求出2杯A型饮料含咖啡因的总量，将其与100毫克比较作差后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设A型饮料每毫升的咖啡因含量为x毫克，B型饮料每毫升的咖啡因含量为y毫克， 根据题意得：， 解得：， 答：A型饮料每毫升的咖啡因含量为毫克，B型饮料每毫升的咖啡因含量为毫克； （2）解：根据题意得：毫克， ，毫克， 答：小明再喝第二杯该店中杯的A型饮料，其中咖啡因摄取量不符合我国的建议，日摄取量超出建议60毫克． 【经典例题十五 新定义问题】 【例15】（24-25六年级下·上海虹口·单元测试）定义：在解方程组时，我们可以先①＋②，得，再②－①，得，最后重新组成方程组这种解二元一次方程组的解法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)用轮换对称解法解方程组：解得______； (2)如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”高度为，小红所搭的“小树”高度为，设每块型积木的高为，每块型积木的高为，求与的值（用轮换对称解法求解）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，理解材料提示方法是解题的关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据题意列方程组，由材料提示方法计算即可． 【详解】（1）解：， ①②得，， ∴③， ①②得，④， ∴③④得，， 解得，， 把代入③得， 故答案为：； （2）解：根据题意，得 ①＋②，得， ． ②－①，得， 解方程组得． 1．（23-24六年级下·上海普陀·期末）定义一种新运算“”：．若有，，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握加减消元法和代入消元法是解题关键．根据已知新运算列二元一次方程组，求出、的值，得到，再计算求值即可． 【详解】解：，，， ，解得：， ， ， 故答案为：11 2．（23-24六年级下·上海金山·阶段练习）定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次不定方程．例：是二元一次不定方程． (1)求二元一次不定方程的正整数解． (2)若笔记本7元一本，水笔4元一支，乐乐用30元恰好买了若干笔记本和水笔，求笔记本和水笔的数量． 【答案】(1)， (2)笔记本2本，水笔4支 【分析】本题考查二元一次方程的应用，求二元一次方程的正整数解． （1）由得，再根据x、y为正整数，可得出方程的解； （2）设买笔记本x本，买水笔y支，根据金额=单价×数量，列出方程，再求出方程的正整数解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵x、y为正整数， ∴，． （2）解：设买笔记本x本，买水笔y支，根据题意，得 ， ∴， ∵x、y为正整数， ∴，． 答：买笔记本2本，买水笔4支． 3．（23-24六年级下·上海长宁·期末）【阅读感悟】 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)某旅行团组织游客乘船夜游松花江，要购买一些船票，若买4张过江船票，2张观光船票共需72元；买7张过江船票，3张观光船票共需111元，则购买15张过江船票，7张观光船票共需多少元？ (3)对于实数，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求______． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及整体思想的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）分别①②，①②即可求出； （2）设一张过江船票为元，一张观光船票为元，根据题意列出方程组即可得到答案； （3）根据题意列出三元一次方程组，计算即可． 【详解】（1）解：， ①②：， 解得； ①②：， 解得， 故； （2）解：设一张过江船票为元，一张观光船票为元， 依题意得：， 则购买15张过江船票，7张观光船票即为， ，得：， 解得， 故购买15张过江船票，7张观光船票共需元； （3）解：由题意得：①， ②， ， 可得， 解得． 故 1．（24-25六年级下·上海闵行·阶段练习）已知，，中每个数只能取，，中的一个，且满足，则 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 设有个，个，则有个，根据，可得出关于，的二元一次方程组，解之可求出、的值，再将其代入中，即可求解． 【详解】解：设有个，个，则有个， 根据题意得：， 解得：， 这个数中，有个，个， ， 故选：D． 2．（24-25六年级下·上海宝山·阶段练习）某超市开展“购物满99元，减10元”的活动，李奶奶想买排骨和大虾凑够99元．如果买3斤排骨和1斤大虾，还差3元；如果买2斤排骨和2斤大虾，超出5元．设排骨单价为元斤，大虾单价为元斤，则可列出的二元一次方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，根据“买3斤排骨和1斤大虾，还差3元；买2斤排骨和2斤大虾，超出5元” 列出相应的方程组，然后对比选项即可解答本题． 【详解】解：由题意可得，， 故选：D． 3．（24-25六年级下·上海嘉定·课后作业）佳佳坐在匀速行驶的车上，将每隔一段时间看到的里程碑上的数描述如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，数字之和为7 十位数字与个位数字相比时看到的刚好颠倒 比看到的两位数中间多了个0 则时看到的两位数是（   ） A．15 B．16 C．25 D．34 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据十位与个位数字之和为7且车行驶的速度不变，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y， 依题意得：， 解得：， ∴． 故选：B． 4．（24-25六年级下·上海杨浦·阶段练习）在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成，如图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数，图的算筹图用我们现在的所熟悉的方程组形式表达就是，则图所示的算筹图所表示的方程组为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，理清题意，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 根据图的算筹图知第一行为第一个方程，前两个数分别为、的系数，第三个数为方程右侧常数的十位，第四个数为方程右侧常数的个位，然后根据图所示的算筹图列出二元一次方程组即可． 【详解】解：图所示的算筹图所表示的方程组为， 故选：C． 5．（23-24六年级下·上海崇明·课后作业）老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按照图②所示的方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设桌子的高度为，长方体木块一个面（图中展示的面）的长比宽大，根据图中两种放置的方式，列出二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设桌子的高度为，长方体木块一个面（图中展示的面）的长比宽大， 由题意得：， 解得：， ∴桌子的高度为， 故选：C． 6．（24-25六年级下·上海奉贤·阶段练习）一个两位数，十位上的数字与个位上的数字的和是10，把十位上的数字与个位上的数字对调后，得到的新数比原数大18，则原来的两位数是 ． 【答案】46 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键．设原来的两位数的十位上的数字为，个位上的数字为，根据题意建立方程组，解方程组求出的值，由此即可得． 【详解】解：设原来的两位数的十位上的数字为，个位上的数字为， 由题意得：， 解得， 则原来的两位数是， 故答案为：46． 7．（23-24六年级下·上海金山·课后作业）甲、乙两种商品原来的单价之和为元，因市场变化，甲商品降价，乙商品提价，调价后两种商品的单价的和为元，甲、乙两种商品原来的单价相差 元． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 设甲商品原来的单价为元，乙商品原来的单价为元，根据“甲、乙两种商品原来的单价之和为元，调价后两种商品的单价的和为元”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值，再将其代入中即可求出结论． 【详解】解：设甲商品原来的单价为元，乙商品原来的单价为元， 根据题意得， 解得， ， 故答案为：． 8．（24-25六年级下·上海宝山·单元测试）从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需．甲地到乙地全程是多少？小李将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设上坡有，平路有，已经列出一个方程，则另一个方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组知识，掌握以上知识是解题关键；根据二元一次方程组知识，找到题目中等量关系，列出方程即可求解，注意题目中上坡和下坡的区别； 【详解】解：∵从乙地到甲地需， ∴乙地到甲地需， ∵下坡有，下坡每小时走， ∴下坡时间为， ∵平路有，平路每小时走， ∴平坡时间为， ∴列方程为：， 故答案为：； 9．（23-24六年级下·上海闵行·期末）我国古代夏禹时期的“洛书”（如图所示），就是一个三阶“幻方”（如图所示）.观察图、图，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系.在显示部分数据的新“幻方”（如图所示）中，根据寻找出的关系，可推算出，的值分别为 . ． 【答案】、． 【分析】本题考查了本题主要考查了二元一次方程组的应用，首先根据图可知：“幻方”中各行、各列、各对角线上三个数字之和相等，再根据图可以得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可求出，的值． 【详解】解：由图可知： , ， ， ， ， ， ， ， “幻方”中各行、各列、各对角线上三个数字之和相等， 由图可知， 解得：， 、的值分别为、． 故答案为：、． 10．（23-24六年级下·上海加·期末）在长方形中放入六个相同的小长方形，尺寸如图所标示．设小长方形的长、宽分别为，，则可列方程组 ． 【答案】 【分析】本题考查了列二元一次方程组，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键．根据长方形的长等于一个小长方形的长与三个小长方形的宽之和、两个小长方形的宽加上等于一个小长方形的长与一个小长方形的宽之和建立方程组即可得． 【详解】解：由题意可列方程组为， 故答案为：． 11．（2025·上海杨浦·一模）为拓展学生视野，提升学生综合实践能力，某中学组织全校师生开展研学活动，租用甲，乙两种客车15辆，除一辆甲种客车有3个空座位，其余客车全部满座，且总租金为7600元．甲，乙客车的载客量和租金如下表所示： 甲种客车 乙种客车 载客量（人/辆） 45 60 租金（元/辆） 400 600 该校一共多少师生参加此次研学活动？ 【答案】该校一共792名师生参加此次研学活动 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用及有理数混合运算的应用，理解题意找到等量关系是解题的关键．设租用甲种客车辆，乙种客车辆，根据题意可得，解答可得到甲种客车和乙种客车的数量，再计算师生人数即可． 【详解】解：设租用甲种客车辆，乙种客车辆， 由题意，得：， 解得， （名）， ∴该校一共792名师生参加此次研学活动． 12．（23-24六年级下·上海虹口·期末）甲、乙两家商店出售同品牌的乒乓球拍和乒乓球，两家商店的乒乓球拍的售价均为每副100元，乒乓球的售价均为每盒30元．现在两个店都在搞促销活动： 甲商店：买一送一，即每购买一副乒乓球拍，就赠送一盒乒乓球； 乙商店：所有商品一律打八折． 某学校需要购买乒乓球拍6副，乒乓球x盒（）． (1)若该学校在两家商店购买所需商品的费用一样，该学校买了多少盒乒乓球？ (2)若该学校要买30盒乒乓球，请你通过计算说明去哪家商店购买划算？小智同学认为还有更省钱的方案，请你帮他计算该方案的费用． 【答案】(1)该学校购买了10盒乒乓球 (2)去乙商店购买划算，更省钱方案的费用为1176元 【分析】本题考查了一元一次方程得应用及求代数式的值，正确找出等量关系列方程是解题的关键， （1）根据两家商店购买所需商品的费用一样列方程求解即可； （2）分别求出甲、乙两个商店购买费用可求得哪个商店更划算，根据在甲商店购买6副乒乓球拍（赠送6盒乒乓球），在乙商店购买24盒乒乓球得到更省钱的方案。 【详解】（1）解：由题意得，在甲商店购买的费用为（元）； 在乙商店购买的费用为（元）. ∵费用一样， ∴， 解得，. ∴该学校购买了10盒乒乓球. （2）解：由（1）可得，全部在甲商店购买，费用为：（元）； 全部在乙商店购买，费用为：（元）； ∵， ∴去乙商店购买划算. 更省钱方案：在甲商店购买6副乒乓球拍（赠送6盒乒乓球），在乙商店购买24盒乒乓球.费用如下：（元）. ∴更省钱方案的费用为1176元. 13．（23-24六年级下·上海奉贤·课后作业）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息如下：（水价计费=自来水销售费用+污水处理费用） 每户每月用水量 每吨自来水销售价格/元 每吨污水处理价格/元 及以下 a 0.80 超过不超过的部分 b 0.80 超过的部分 6.0 0.80 已知小王家2024年4月份用水，交水费83元；5月份用水，交水费108元． (1)求的值； (2)6月份小王家用水，应交水费多少元？ 【答案】(1)a值为值为4.2 (2)146.6元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组． （1）根据题意和表格可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出a、b的值； （2）根据题意可以列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， ， 解得，， 即a值为值为4.2； （2）根据题意知，吨的水费为：， 答：6月份小王家用水，应交水费元． 14．（23-24六年级下·上海长宁·期中）某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．每名熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗可以独立进行安装，调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发10000元工资，每名新工人每月发6000元工资； (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ (2)如果工厂招聘名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种工人的招聘方案？ (3)在上述方案中，为了节省成本，应该招聘新工人多少名？ 【答案】(1)每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车． (2)有种工人的招聘方案：抽调熟练工名，招聘新工人名；抽调熟练工名，招聘新工人名． (3)为了节省成本，应该招聘新工人名． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识点，找准等量关系，正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解题的关键． （1）设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车，根据等量关系“名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车”和“名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车”列出二元一次方程组求解即可； （2）设抽调熟练工名，招聘新工人名，根据“招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务”列出二元一次方程，求出符合题意的正整数解即可； （3）求出方案和方案的成本，然后比较即可解答． 【详解】（1）解：任务一：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车， 由题意得：，解得：， 答：每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车． （2）设抽调熟练工名，招聘新工人名， 由题意得：， 整理得：， 、为正整数，且， 或， 有种工人的招聘方案： 抽调熟练工名，招聘新工人名； 抽调熟练工名，招聘新工人名． （3）方案中，每月发放工资为：元； 方案中，每月发放工资为：元； ， 为了节省成本，应该抽调熟练工名，招聘新工人名． 15．（23-24六年级下·上海宝山·期末）综合与实践 【问题情境】我们规定，如果一个长方形内部能用一些正方形（或长方形）铺，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美长方形”，图1和图2的大长方形，都是“优美长方形”． 【初步感知】 （1）如图1，“优美长方形”是由块小正方形铺成的，若“优美长方形”的周长为，求正方形的边长． 若设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形c的边长为，正方形的边长为． 依题意可列方程________________， 解得________________， 所以，正方形的边长为________． 【解决问题】 （2）如图2，“优美长方形”是由块相同的小长方形铺成的，若图1和图2的两个“优美长方形”的宽相同，即，求图2中每块小长方形的面积． 【深入探究】 （3）如图3，“优美长方形”是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形铺成的（既不重叠，又无缝隙），且，，求小正方形的边长． 【答案】（1）；；20； （2） （3）边长 【分析】本题主要考查整式的运算与图形，一元一次方程，二元一次方程组的运用，理解图示中线段的关系，由数量关系正确列式求解是解题的关键． （1）设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形c的边长为，正方形的边长为，“优美长方形”的周长为，根据周长计算方法列方程求解即可； （2）由题意可得，设图2中长方形的长为，宽为，由此列二元一次方程组求解即可； （3）设，，则，，根据 ，，列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：（1）设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形c的边长为，正方形的边长为，“优美长方形”的周长为， ∴列方程， 解得，， ∴正方形的边长为， 故答案为：，，； （2）由（1）可知，， ∴， 设图2中长方形的长为，宽为， ∴， 解得，， ∴ ∴图2中每块小长方形的面积； （3）“优美长方形”是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形铺成的（既不重叠，又无缝隙）， ∴设，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得，， ∴， ∴小正方形的边长为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二元一次方程组的应用重难点题型专训（15大题型+15道提优训练） 题型一 根据实际问题列二元一次方程组 题型二 根据几何图形列二元一次方程组 题型三 方案问题 题型四 行程问题 题型五 工程问题 题型六 数字问题 题型七 年龄问题 题型八 分配问题 题型九 销售、利润问题 题型十 和差倍分问题 题型十一 几何问题 题型十二 图表信息题 题型十三 古代问题 题型十四 其他问题 题型十五 新定义问题 知识点01 列方程组解应用题的基本思路 列方程组解应用题就是把实际问题抽象为方程组模型，关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系。一般地，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足： （1）方程两边表示的是同类量； （2）同类量的单位要统一； （3）方程两边的数值要相等。 知识点02 列二元一次方程组解应用题的一般步骤 （1）审题：分析题中已知什么、求什么、明确各数量之间的关系； （2）设未知数：一般求什么，就设什么为； （3）找等量关系； （4）列方程组：根据等量关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，组成方程组； （5）解：解所列方程组，求出未知数的值； （6）检验：检验所求未知数的值是否符合方程组，是否符合实际； （7）答：写出答案。 知识点03 列二元一次方程组解应用题的常见类型 （1）和差倍分问题：增长量=原有量×增长率；较大量=较小量+多余量；总量=倍数×倍量； （2）产品配套问题：解这类问题的基本等量关系是加工总量成比例； （3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间；各部分工作量之和=总量； （4）利润问题：商品售价=标价×折扣率；商品利润=商品售价-商品进价；利润率=； （5）行程问题：速度×时间=路程；顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度； （6）方案问题：在解决问题时，常常需合理安排，需要从几种方案中选择最佳方案，方案选择题的题干较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点，比较几种方案得出最佳方案。 知识点04 二元一次方程组的应用 （一）、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）、设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 【经典例题一 根据实际问题列二元一次方程组】 【例1】（24-25六年级下·上海宝山·阶段练习）小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，问小悦买书用了1元和5元的纸币各多少张？设所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，根据题意，列出方程组，并用列表尝试的方法求解． x 1 2 3 4 5 y 11 10 9 8 7 56 52 48 44 40 1．（2024·上海松江模拟预测）甲、乙两组各有若干人，若从甲组调2人至乙组，则甲、乙两组人数相同，若将甲组人数的三分之一调入乙组，则甲、乙两组的人数比为，求甲、乙两组原来各有多少人． 2．（2024六年级下·上海静安·模拟预测）二十大报告明确提出，积极稳妥推进碳达峰碳中和，为响应国家号召，某公司购买了甲、乙两台新能源机器，现要加工个零件，若甲机器先加工天，然后两台机器共同加工天，则还有个没有加工；若两台机器共同加工天，则可多加工个．甲、乙两台机器每天各加工多少个零件？ 3．（24-25六年级下·上海静安·课后作业）某地需要将一段长为米的河道进行整修，整修任务由，两个工程队先、后接力完成．已知工程队每天整修米，工程队每天整修米，共用时天．问，两个工程队整修河道分别工作了多少天？ (1)以下是甲同学的做法： 设工程队整修河道工作了天，工程队整修河道工作了天．根据题意，得方程组：________， 解得， 请将甲同学的上述做法补充完整； (2)乙同学说：本题还有另外一种解法，他列出了不完整的方程组如下：， 在乙同学的做法中，表示________，表示________； 请将乙同学所列方程组补充完整． 【经典例题二 根据几何图形列二元一次方程组】 【例2】（23-24六年级下·上海闵行·阶段练习）如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示.    (1)小长方形的长和宽各是多少？ (2)求阴影部分的面积. 1．（23-24六年级下·上海崇明·阶段练习）小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（1），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形．请问每个小长方形的面积是多少？ 2．（2024六年级下·上海静安·模拟预测）如图：用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形，每块小长方形的长和宽分别是多少？ 解：设小长方形的长是x厘米，宽是y厘米， 题中的两个相等关系： (1)小长方形的长____________大长方形的宽，可列方程为：____________； (2)小长方形的长____________，可列方程为：____________． 3．（23-24六年级下·上海静安·阶段练习）若两个角的差的绝对值等于，则称这两个角互为“垂角”．例如： ，，，则与互为“垂角”（本题中所有角都是指大于且小于的角）．    (1)已知一个角比它的“垂角”的少，求这个角的度数； (2)如图所示，，，是否存在射线，使得与互为“垂角”？若存在，直接写出的度数；若不存在，请说明理由． 【经典例题三 方案问题】 【例3】（23-24六年级下·上海闵行·课后作业）某地区因强降雨天气引起洪水灾害，有名群众被困，某救援队立即前往救援．已知艘小型船和艘大型船一次可救援名群众，艘小型船和艘大型船一次可救援名群众． (1)每艘小型船和每艘大型船各能载多少名群众？ (2)若安排艘小型船和艘大型船一次救援完所有被困群众，且恰好每艘船都载满，请设计出所有的安排方案． 1．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）“绿水青山就是金山银山”，大家对生态环境的保护意识不断提高．某学校开展植树护林活动，据了解3棵A种树木、4棵B种树木的售价共计155元；4棵A种树木、3棵B种树木的售价共计160元． (1)求A、B两种树木每棵的售价分别为多少元？ (2)若该学校计划用400元购进以上两种树木（两种树木均要购买，且400元全部用完），问该学校有哪几种购买方案，请通过计算列举出来． 2．（23-24六年级下·上海奉贤·课后作业）某游乐园的门票价格如下表．某校七年级（1）班和（2）班共104人去该游乐园春游，其中（1）班不足40人，（2）班有40余人．经估算，如果两个班都以班为单位分别购票，那么一共应付10000元；如果两个班合起来作为一个团队购票，那么可以节省费用． 购票人数 80以上 单人门票价/元 130 110 90 (1)如果两个班合起来作为一个团队购票，可以节省_______元； (2)两个班各有多少人？ 3．（23-24六年级下·上海杨浦·课后作业）一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱物资打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下（假设每辆车均满载）： 车型 甲 乙 丙 每辆汽车运载量 5 8 10 每辆汽车运费/元 400 500 600 (1)若全部物资都用乙、丙两种车型来运送，需运费8200元，乙、丙两种车型各需几辆？ (2)为了节约运费，该市政府决定一共安排16辆运送车辆，且甲、乙、丙三种车型都参与运送，请你用列方程组的方法求三种车型各有多少辆． (3)哪种方案的运费最少？最少是多少元？ 【经典例题四 行程问题】 【例4】（2025六年级下·上海闵行·模拟预测）小明骑自行车去某景区，出发时，他先以的速度走平路，而后又以的速度上坡到达景区，共用了；返回时，他先以的速度下坡，而后以的速度走过平路，回到原出发点，共用了，求从出发点到景区的路程． 1．（24-25六年级下·上海长宁·阶段练习）A、B两地相距36千米．甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地．两人同时出发，4小时后相遇；6小时后，甲所余路程为乙所余路程的2倍，求两人的速度． 2．（24-25六年级下·上海奉贤·课后作业）兄弟二人骑车同时从甲地到乙地，弟弟在前一半路程每小时行4千米，后一半路程每小时行6千米．哥哥按时间分段行驶，前时间每小时行4千米，中间时间每小时行5千米，后时间每小时行6千米，结果哥哥比弟弟早到20分钟．甲乙两地相距多少千米？ 3．（2025六年级下·上海长宁·模拟预测）问题情境： 目前，户外骑自行车进行锻炼已经成为我们日常生活中常见的一种锻炼方式，越来越受到大众的欢迎．而在骑行的过程中，自行车的轮胎与地面摩擦会有损耗，行驶一定的里程就要报废． 问题解决： 问题一：如果前后轮没有压力差，前轮可以使用4000公里，后轮也可以使用4000公里，这对轮胎行驶的里程数最大值是______． 问题二：由于后轮受到的压力大，所以损耗也大一些，如果行驶到某里程数，将前后轮交换一次，再使用到前后轮同时报废，可以使行驶的里程数最大．若前轮可以使用5000公里，后轮可以使用3000公里，行驶的里程数为多少公里时交换前后轮胎？这对轮胎行驶的里程数最大值是多少？ 【经典例题五 工程问题】 【例5】（24-25六年级下·上海静安·课后作业）安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项工程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天． (1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天； (2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的． 1．（2025六年级下·上海宝山·模拟预测）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做天可以完成，需付费用元，问： (1)甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？ (2)已知甲组单独完成需天，乙组单独完成需天，单独请哪个组，商店所需费用最少？ (3)若装修完后，商店每天可赢利元，你认为如何安排施工更有利于商店？请你帮助商店决策．（可用（1）（2）问的条件及结论） 2．（24-25六年级下·上海静安·课后作业）有一段长为180m的河道整治任务由甲，乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治8m，乙工程队每天整治12m，共用20天．甲，乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明，小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设甲工程队整治河道，乙工程队整治河道．根据题意，得；小华同学：设表示________，表示________．根据题意，得．请你补全小明，小华两位同学的解题思路； (2)请从（1）中任选一个解题思路写出完整的解答过程． 3．（24-25六年级下·上海静安·单元测试）下面是学习二元一次方程组时，老师提出的问题和两名同学所列的方程． 问题：某个工人一天工作6个小时，可以生产零件一整箱和不足一箱的20个；由于特殊情况，今天他只工作4个小时，生产零件一整箱和不足一箱的4个，问这一箱零件和该工人每小时能生产的零件数分别是多少？ 小明所列方程：；小亮所列方程：； 根据以上信息，解答下列问题． (1)以上两个方程（组）中x意义是否相同？________（填“是”或“否”）； (2)小亮的方程所用等量关系是________（填序号，“①每个小时生产的零件数相等”或“②4个小时生产的零件数相等”）； (3)根据小明所列的方程组完整解答老师提出的问题． 【经典例题六 数字问题】 【例6】（23-24六年级下·上海杨浦·期中）某中学为促进阳光体育运动发展，计划购进足球、排球充实体育器材，若购买足球3个、排球2个，共需资金260元，若购买足球4个、排球3个，共需资金360元．求足球、排球的价格分别是多少元？ 1．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）某两位数，两个数位上的数之和为11．这个两位数加上45，得到的两位数恰好等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，求原两位数． (1)列一元一次方程求解． (2)设原两位数的十位数字为，个位数字为，列二元一次方程组求解． 2．（23-24六年级下·上海静安·阶段练习）在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程或方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷．请根据下列诗意列方程组解应用题． (1)周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数． (2)悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟，归时四分行六百，风速多少请算清． 3．（2024六年级下·上海静安·模拟预测）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答，也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答． 运输的化肥，装载了节火车车厢和15辆汽车；运输的化肥，装载了节火车车厢和辆汽车，每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨？ 解题方案：设每节火车车厢平均装吨化肥，每辆汽车平均装吨化肥． (1)根据题意，列出方程组：　　； (2)解这个方程组，得 ； (3)答：每节火车车厢平均装 吨化肥，每辆汽车平均装 　　吨化肥（用数字作答）． 【经典例题七 年龄问题】 【例7】（23-24六年级下·上海长宁·课后作业）今年父亲的年龄是玲玲的倍，年后父亲的年龄是玲玲的倍，今年父亲、玲玲的年龄各是多少岁？ 1．（23-24六年级下·上海·自主招生）甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁，那么（   ） A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁 C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁 2．（23-24六年级下·上海松江·期末）一名学生问老师：“你今年多大了？”老师风趣地说“我像你这样大的时候，你才2岁；你到我这么大时，我已经38岁了”，则今年老师的岁数是 ． 3．（23-24六年级下·上海徐汇·期中）某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【经典例题八 分配问题】 【例8】（23-24六年级下·上海宝山·期末）丰富多彩的社团活动，点亮了校园的每一个角落，绽放出多元而独特的光彩．在这里，每一个社团都是一个梦想的摇篮，每一份热爱都找到了生长的土壤．太谷区初中某学校社团在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成多少个包装盒？ 1．（2025·上海杨浦·一模）王老师买了一批图书准备分给某班的学生阅读，若每名学生分3本书，则剩余18本书，若每名学生发4本书，则还少22本书．则这批书有多少本？ 2．（24-25六年级下·上海青浦·阶段练习）甲、乙两家公司组织员工游览某景点的门票售价如下： 人数 人 人 人以上 票价 元/人 元/人 元/人 (1)若甲公司有人游览，则共付门票费______元； 若乙公司共付门票费元，则乙公司有______人游览； (2)若甲、乙两家公司共有人游览，其中甲公司不超过人，两家公司先后共付门票费元，求甲、乙两家公司游览的人数． 3．（24-25六年级下·上海静安·课后作业）（应用意识）用如图①所示的长方形和正方形纸板作为侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒． (1)若有正方形纸板1460张，长方形纸板3440张，则当竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个时，恰好能将这些纸板全部用完？ (2)若一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，请求出a所有可能的值． 【经典例题九 销售、利润问题】 【例9】（23-24六年级下·上海静安·课后作业）某水果批发市场苹果的价格如下： 购买质量 不超过 超过但不超过 以上 每千克苹果价格 12元 10元 8元 甲、乙两人共买了苹果，甲比乙少花116元，甲比乙少买多少苹果？ 1．（23-24六年级下·上海金山·课后作业）小李在某商场购买，两种商品若干次（每次，商品都买），三次购买，商品的数量和费用如下： 购买序数 购买商品的数量个 购买商品的数量/个 总费用元 (1)，商品的标价各是多少元？ (2)小李第三次购买方案可能有哪几种？ 2．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）某班元旦迎新年活动，购买活动奖品，计划购买笔记本20本，盲盒30个，共需1380元，其中盲盒比笔记本贵6元． (1)求盲盒和笔记本的单价各为多少？ (2)后来调整方案，需要购买上面的两种奖品共70件（奖品单价不变）．班长做完预算后，对家委主任说：“我这次买这两种奖品需要费用1922元．”家委主任算了一下，说：“如果你用这些钱买这两种奖品，那么费用肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释家委主任为什么说班长算错了． (3)班长突然想起，所做的预算中还包括班主任老师让他买的一支记号笔．如果记号笔的单价不超过10元，且金额数为整数，请通过计算，直接写出记号笔的单价可能为　　　元． 3．（23-24六年级下·上海青浦·期末）某中学为了培养学生的环保意识，开展了为期三周的“环境保护，从我做起”主题活动，各班级可以通过回收可利用垃圾来兑换水笔芯和垃圾袋．某班42名同学在活动中积极响应，班长对每周的收集情况进行了统计，根据下列统计表和兑换表，解决下列问题： 第一周 第二周 第三周 矿泉水瓶个数 72 牛奶盒个数 120 总共 192 190 兑换表 6个矿泉水瓶换1支水笔芯 5个牛奶盒换1支水笔芯 30个矿泉水瓶换1个大垃圾袋 25个牛奶盒换1个大垃圾袋 (1)第一周收集的矿泉水瓶和牛奶盒全部兑换了水笔芯，可兑换多少支？ (2)第二周收集的矿泉水瓶和牛奶盒全部兑换了水笔芯34支，则 ①第二周收集的矿泉水瓶和牛奶盒各多少个？ ②第三周班长先用部分矿泉水瓶兑换了水笔芯，再用剩余的矿泉水瓶和牛奶盒（两者都有）兑换了4个大垃圾袋．这样三周后，每位同学恰好都分到了2支水笔芯，则第三周需收集矿泉水瓶和牛奶盒各多少个？（直接写出所有可能的方案） 【经典例题十 和差倍分问题】 【例10】（23-24六年级下·上海松江·阶段练习）某中学计划为绘画小组购买某种品牌的A，B两种型号的颜料，若购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元；若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元，求每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各多少元？ 1．（23-24六年级下·上海长宁·阶段练习）用方程组解决问题：某校初一（1）班30名同学为“希望工程”捐款，共捐款300元，问：捐5元和10元的人数各是多少？ 捐款/元 2 5 10 15 人数 5 10 2．（23-24六年级下·上海虹口·期中）为减少库存，某商店举行了促销优惠活动．打折前，购买6个A商品和5个B商品，总费用为114元；3个A商品和7个B商品，总费用为111元．打折后，小明购买了9个A商品和8个B商品，总费用为141.6元． (1)求打折前A商品和B商品的单价； (2)若A商品和B商品的折扣相同，则该商店打几折出售这两种商品？小明在此次购物中得到了多少优惠？ 3．（23-24六年级下·上海普陀·期中）根据题意列出方程组． (1)甲、乙两人在一环形场地上从点A同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的速度的2.5倍，4min后两人首次相遇，此时乙还需要跑300m跑完第一圈．求甲、乙两人的速度及环形场地的周长． (2)将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只．则有一鸡无笼可放；若每个笼里放5只．则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？ 【经典例题十一 几何问题】 【例11】（24-25六年级下·上海嘉定·课后作业）[教材探究2变式]甲、乙两种作物单位面积产量的比是．现要把一块长，宽为的长方形土地，如图分为两块小长方形土地，左边长方形种甲种作物，右边长方形种乙种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量相等？ 1．（24-25六年级下·上海宝山·阶段练习）用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现在仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，求竖式和横式的纸盒各做了多少个？ 2．（23-24六年级下·上海嘉定·阶段练习）刘爷爷计划在一块长为，宽为的长方形空地种上蔬菜，如图所示，在空地上留出三个完全相同的小长方形和四个完全相同的正方形来种植番茄（阴影部分），其余部分种植辣椒．已知正方形的边长与小长方形的宽相等，请分别求出种番茄和辣椒的面积． 3．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）综合与实践 【问题情境】我们规定，如果一个长方形内部能用一些正方形（或长方形）铺，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美长方形”，图1和图2的大长方形都是“优美长方形”．      【初步感知】 （1）如图1，“优美长方形”是由5块小正方形铺成的，若“优美长方形”的周长为，求正方形的边长； 若设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为． 依题意可列方程 ， 解得 ， 正方形的边长为 ． 【解决问题】 （2）如图2，“优美长方形”是由8块相同的小长方形铺成的，若图1和图2的两个“优美长方形”的宽相同，即，求图2中每块小长方形的面积； 【深入探究】 （3）如图3，“优美长方形”是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形铺成的（既不重叠，又无缝隙），其中长方形和正方形的周长相等，正方形的边长为，，求“优美长方形“的长． 【经典例题十二 图表信息题】 【例12】（24-25六年级下·上海虹口·阶段练习）小亮、小红和笑笑三个人玩飞镖游戏，各投6支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，三人中靶和得分情况如图，则小红得分多少？请写出推导过程． 1．（24-25六年级下·上海松江·阶段练习）下表是某校七至九年级某月课外兴趣小组的活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同．（活动次数为自然数），求、的值． 课外小组活动总时间/ 文艺小组活动次数/次 科技小组活动次数/次 七年级 八年级 九年级 2．（24-25六年级下·上海徐汇·阶段练习）某学校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小明在某文体用品店购买完毕回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图所示． 货物或应税劳务、服务名称 篮球 钢笔 笔记本 合计 规格型号 单位 个 支 本 数量 6 46 单价 100.00 15.00 5.00 金额 600.00 900.0 税率 税额 价税合计（大写）   玖佰元整                               （小写）900.00 请根据发票中现有的信息，帮助小琪复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 3．（23-24六年级下·上海杨浦·期末）一个圆柱形容器中，现有20个单位高度的水．请根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)如果放入6个球，使水面上升到40个单位的高度，放入的大球、小球各多少个？ (2)现放入若干个（1）中的大球或小球，使得容器恰好装满，问有几种可能？请写出过程，并一一列出． 【经典例题十三 古代问题】 【例13】（23-24六年级下·上海奉贤·期末）《算法统宗》中有这样一首诗： 巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧，三百六十四只碗，恰合用尽不差争． 三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹，请问先生能算者，都来寺内几多僧． 请用一元一次方程或者二元一次方程组求解上述问题． 1．（24-25六年级下·上海长宁·单元测试）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有这样一个记载：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后．甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？若丙袋中有4枚黄金和4枚白银，请求出丙袋的重量． 2．（23-24六年级下·上海松江·期中）程大位是珠算发明家，他随时留心数学，遍访名师，于60岁完成其杰作《算法统家》．该书中记载着一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名酶厚酒醇，醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多酶酒几多醇？”这首诗的意思是：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人，薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人总共饮下了19瓶酒，且都醉倒了，问他们醇酒、薄酒分别饮了多少瓶？（列二元一次方程组解答） 3．（23-24六年级下·上海闵行·期中）小颖同学在学习了方程的内容后，用学习方程时积累的经验解决我国古代数学著作《九章算术》中的“燕雀问题”：“五只雀六只燕，共重十六两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问雀燕各几两？”．尝试解决：      (1)用表格梳理出数量关系如下： 每只重量（两） 数量（只） 总重量（两） 雀 5 燕 6 相互关系 互换1只一样重 共16 每只重量只数总重量． (2)设未知数，并用含有未知数的代数式表示其他量； (3)列方程(组)： 从表格中她发现有4个未知量，分别是：雀、燕每只的重量；5只雀、6只燕的重量． ①尝试设一个未知数解决． 如果设每只雀重量x两，则5只雀的总重量为_____两，6只燕的总重量为_____两，每只燕的重量为_____两，连接已知量和未知量的相等关系是“互换1只一样重”，于是列方程为_____．同样也可设5只雀的总重量(略)； ②尝试设两个未知数解决， 如果设每只雀重量为x两，每只燕重量为y两，连接已知量和未知量的相等关系是“五只雀六只燕，共重十六两”、“互换1只一样重”可列方程组为 ，同样也可设5只雀、6只燕的总重量(略)； 反思提炼： 经过上面的几个步骤可以将实际问题变成一个方程问题，这种思想方法在数学中通常称为数学建模．从以上探究可以看出，对于“燕雀问题”列一元一次方程解决比较复杂，因此_______是解决含有多个未知数问题的重要工具． 【经典例题十四 其他问题】 【例14】（24-25六年级下·上海松江·阶段练习）某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化小区环境．已知购买3株A种花卉和2株B种花卉共需要19元；购买5株A种花卉和4株B种花卉共需要35元． (1)求采购每株A，B两种花卉各多少元钱． (2)若该物管中心将小区花园分成若干区域，其中某一区域的两种花卉总费用恰好为60元，则该区域B种花卉有几株？ 1．（24-25六年级下·上海徐汇·阶段练习）为庆祝中国共产党成立周年，我校计划举行“学党史·感党恩”知识竞答活动．并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品，采购员刘老师在某文体用品店购买了作为奖品的三种物品，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚．请根据下图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据中所购置的钢笔、笔记本的数量． 2．（24-25六年级下·上海松江·阶段练习）中国学生营养促进会确定了每年5月20日为中国学生营养日，其目的在于广泛、深入宣传学生时期营养的重要性，大力普及营养知识．在某400克早餐套餐中，蛋白质总含量为，包括一个谷物面包，一盒牛奶和一个去壳鸡蛋，其中一个去壳鸡蛋的质量为56克，这个鸡蛋的蛋白质含量为11.2克；谷物面包和牛奶的部分营养成分如表所示．求400克早餐套餐中谷物面包和牛奶的质量． 谷物面包（每100克） 牛奶（每100克） 蛋白质10克 脂肪33.6克 碳水化合物52.8克 钠290毫克 蛋白质3.2克 脂肪3.6克 碳水化合物4.5克 钠100毫克 3．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）某新式茶饮店售卖含咖啡因饮料时，以红、黄、绿三色来表示每杯饮料的咖啡因含量（如图），各颜色的意义如表1所示． 表1 咖啡因含量标示 咖啡因含量 红色 超过100毫克 黄色 超过50毫克，但不超过100毫克 绿色 不超过50毫克 该茶饮店售卖的产品中有A、B两种类型含咖啡因饮料，表2为A、B两种饮料的容量及咖啡因含量标示，已知该茶饮店两种饮料每毫升的咖啡因含量均匀分布，1毫升A型饮料和1毫升B型饮料共含咖啡因毫克；2杯中杯A型饮料和1杯中杯B型饮料共含咖啡因280毫克． 表2 类型 杯型 容量 咖啡因含量标示 A型 中杯 400毫升 黄色 B型 中杯 400毫升 红色 (1)、B两种类型饮料每毫升的咖啡因含量分别为多少毫克？ (2)我国建议13岁以上18岁以下青少年每日的咖啡因摄取量不超过100毫克，初中生小明在14岁生日这一天和妈妈来到这家茶饮店，妈妈为小明买了一杯中杯的A型饮料，喝完后小明还想再喝第二杯，但是妈妈不同意．请判断小明再喝第二杯该店中杯的A型饮料，其中咖啡因摄取量是否符合我国的建议？若不符合，则日摄取量超出建议多少毫克？ 【经典例题十五 新定义问题】 【例15】（24-25六年级下·上海虹口·单元测试）定义：在解方程组时，我们可以先①＋②，得，再②－①，得，最后重新组成方程组这种解二元一次方程组的解法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)用轮换对称解法解方程组：解得______； (2)如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”高度为，小红所搭的“小树”高度为，设每块型积木的高为，每块型积木的高为，求与的值（用轮换对称解法求解）． 1．（23-24六年级下·上海普陀·期末）定义一种新运算“”：．若有，，则 ． 2．（23-24六年级下·上海金山·阶段练习）定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次不定方程．例：是二元一次不定方程． (1)求二元一次不定方程的正整数解． (2)若笔记本7元一本，水笔4元一支，乐乐用30元恰好买了若干笔记本和水笔，求笔记本和水笔的数量． 3．（23-24六年级下·上海长宁·期末）【阅读感悟】 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)某旅行团组织游客乘船夜游松花江，要购买一些船票，若买4张过江船票，2张观光船票共需72元；买7张过江船票，3张观光船票共需111元，则购买15张过江船票，7张观光船票共需多少元？ (3)对于实数，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求______． 1．（24-25六年级下·上海闵行·阶段练习）已知，，中每个数只能取，，中的一个，且满足，则 A． B． C． D． 2．（24-25六年级下·上海宝山·阶段练习）某超市开展“购物满99元，减10元”的活动，李奶奶想买排骨和大虾凑够99元．如果买3斤排骨和1斤大虾，还差3元；如果买2斤排骨和2斤大虾，超出5元．设排骨单价为元斤，大虾单价为元斤，则可列出的二元一次方程组为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25六年级下·上海嘉定·课后作业）佳佳坐在匀速行驶的车上，将每隔一段时间看到的里程碑上的数描述如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，数字之和为7 十位数字与个位数字相比时看到的刚好颠倒 比看到的两位数中间多了个0 则时看到的两位数是（   ） A．15 B．16 C．25 D．34 4．（24-25六年级下·上海杨浦·阶段练习）在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成，如图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数，图的算筹图用我们现在的所熟悉的方程组形式表达就是，则图所示的算筹图所表示的方程组为 （    ） A． B． C． D． 5．（23-24六年级下·上海崇明·课后作业）老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按照图②所示的方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25六年级下·上海奉贤·阶段练习）一个两位数，十位上的数字与个位上的数字的和是10，把十位上的数字与个位上的数字对调后，得到的新数比原数大18，则原来的两位数是 ． 7．（23-24六年级下·上海金山·课后作业）甲、乙两种商品原来的单价之和为元，因市场变化，甲商品降价，乙商品提价，调价后两种商品的单价的和为元，甲、乙两种商品原来的单价相差 元． 8．（24-25六年级下·上海宝山·单元测试）从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需．甲地到乙地全程是多少？小李将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设上坡有，平路有，已经列出一个方程，则另一个方程是 ． 9．（23-24六年级下·上海闵行·期末）我国古代夏禹时期的“洛书”（如图所示），就是一个三阶“幻方”（如图所示）.观察图、图，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系.在显示部分数据的新“幻方”（如图所示）中，根据寻找出的关系，可推算出，的值分别为 . ． 10．（23-24六年级下·上海加·期末）在长方形中放入六个相同的小长方形，尺寸如图所标示．设小长方形的长、宽分别为，，则可列方程组 ． 11．（2025·上海杨浦·一模）为拓展学生视野，提升学生综合实践能力，某中学组织全校师生开展研学活动，租用甲，乙两种客车15辆，除一辆甲种客车有3个空座位，其余客车全部满座，且总租金为7600元．甲，乙客车的载客量和租金如下表所示： 甲种客车 乙种客车 载客量（人/辆） 45 60 租金（元/辆） 400 600 该校一共多少师生参加此次研学活动？ 12．（23-24六年级下·上海虹口·期末）甲、乙两家商店出售同品牌的乒乓球拍和乒乓球，两家商店的乒乓球拍的售价均为每副100元，乒乓球的售价均为每盒30元．现在两个店都在搞促销活动： 甲商店：买一送一，即每购买一副乒乓球拍，就赠送一盒乒乓球； 乙商店：所有商品一律打八折． 某学校需要购买乒乓球拍6副，乒乓球x盒（）． (1)若该学校在两家商店购买所需商品的费用一样，该学校买了多少盒乒乓球？ (2)若该学校要买30盒乒乓球，请你通过计算说明去哪家商店购买划算？小智同学认为还有更省钱的方案，请你帮他计算该方案的费用． 13．（23-24六年级下·上海奉贤·课后作业）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息如下：（水价计费=自来水销售费用+污水处理费用） 每户每月用水量 每吨自来水销售价格/元 每吨污水处理价格/元 及以下 a 0.80 超过不超过的部分 b 0.80 超过的部分 6.0 0.80 已知小王家2024年4月份用水，交水费83元；5月份用水，交水费108元． (1)求的值； (2)6月份小王家用水，应交水费多少元？ 14．（23-24六年级下·上海长宁·期中）某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．每名熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗可以独立进行安装，调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发10000元工资，每名新工人每月发6000元工资； (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ (2)如果工厂招聘名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种工人的招聘方案？ (3)在上述方案中，为了节省成本，应该招聘新工人多少名？ 15．（23-24六年级下·上海宝山·期末）综合与实践 【问题情境】我们规定，如果一个长方形内部能用一些正方形（或长方形）铺，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美长方形”，图1和图2的大长方形，都是“优美长方形”． 【初步感知】 （1）如图1，“优美长方形”是由块小正方形铺成的，若“优美长方形”的周长为，求正方形的边长． 若设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形c的边长为，正方形的边长为． 依题意可列方程________________， 解得________________， 所以，正方形的边长为________． 【解决问题】 （2）如图2，“优美长方形”是由块相同的小长方形铺成的，若图1和图2的两个“优美长方形”的宽相同，即，求图2中每块小长方形的面积． 【深入探究】 （3）如图3，“优美长方形”是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形铺成的（既不重叠，又无缝隙），且，，求小正方形的边长． 学科网（北京）股份有限公司 $$