专题05 二元一次方程组63道压轴题型专训（9大题型）-2024-2025学年六年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

专题05 二元一次方程组63道压轴题型专训（9大题型） 【题型目录】 题型一 已知二元一次方程组的解求参数 题型二 二元一次方程组的特殊解法 题型三 二元一次方程组的错解复原问题 题型四 构造二元一次方程组求解 题型五 三元一次方程组的压轴题型 题型六 二元一次方程组的应用之方案问题 题型七 二元一次方程组的应用之行程问题 题型八 二元一次方程组的应用之销售、利润问题 题型九 二元一次方程组的应用之几何问题 【经典例题一 已知二元一次方程组的解求参数】 1．（24-25六年级下·上海松江·阶段练习）已知关于，的方程组．若原方程组的解也是二元一次方程的一个解，求的值． 2．（23-24六年级下·上海长宁·课后作业）已知关于的方程组 (1)若方程组的解互为相反数，求k的值； (2)若方程组的解满足方程，求k的值． 3．（24-25六年级下·上海长宁·课后作业）已知关于x，y的方程组 (1)若方程组的解满足，求m的值； (2)无论实数m取何值，方程总有一个公共解，请直接写出这个公共解． 4．（24-25六年级下·上海嘉定·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组． (1)当时、求这个方程组的解； (2)当这个方程组的x，y的值互为相反数时，求a的值； (3)嘉淇说：“无论a取什么数，的值始终不变．”请判断嘉淇的说法正确吗？说明理由． 5．（23-24六年级下·上海闵行·期中）已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (3)若方程组的解满足，求的值； (4)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 6．（23-24六年级下·上海金山·期中）阅读材料并回答下列问题： 当都是实数，且满足，就称点为“可爱点”．例如：点，令得，，所以不是“可爱点”；，令得，，所以是“可爱点”． (1)请判断点是否为“可爱点”：______（填“是”或“否”） (2)若以关于的方程组的解为坐标的点是“可爱点”，求的值； (3)若以关于的方程组的解为坐标的点是“可爱点”，求正整数的值． 7．（24-25六年级下·上海杨浦·阶段练习）综合与探究 明明为了探究关于x，y的二元一次方程解的规律，把x和y的部分值分别填入下表： x 4 0 2 8 y 10 7 p 1 初步探究： （1）求p的值． 深入探究： （2）下列方程中，与组成方程组，在范围内有解的是________．（填序号） ①；②；③． 探究应用： （3）已知关于x，y的二元一次方程的部分解如下表： x 0 8 y q 13 求方程组的解． 【经典例题二 二元一次方程组的特殊解法】 8．（24-25六年级下·上海长宁·课后作业）解下列方程组： (1)； (2) 9．（2024六年级下·上海虹口·模拟预测）三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，请你解答这个题目． 10．（24-25六年级下·上海长宁·课后作业）已知方程组． (1)填表，使上下每对的值是对应方程的解； 0 2 0 2 (2)由（1）中数据可得该方程组的解为___________． 11．（24-25六年级下·上海长宁·单元测试）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：由①②，得，即，③ ③14，得，④ ②④，得，从而可得， 方程组的解是 (1)请你仿上面的解法解方程组 (2)猜测关于的方程组的解是什么，并利用方程组的解加以验证． 12．（24-25六年级下·上海静安·阶段练习）规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是 ； (2)若关于、的方程组为共轭方程组，则 ， ； (3)拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题： 解共轭方程组时，可以采用下面的解法： ②+①得：，所以③ ③得：④ ①-④得：，从而得 所以原方程组的解是 用上述方法求共轭方程组的解． 13．（23-24六年级下·上海徐汇·期中）阅读下列文字，体会其中的数学思想方法：善于思考的小高同学在解关于m，n的方程组时，把，分别看成一个整体，令，，原方程组化为解得∴解得∴原方程组的解为． 这种把某个式子看成一个整体，用一个字母代替它的解方程组的方法叫做“换元法”． (1)应用：已知方程组的解是则关于m，n的二元一次方程组 的解是______． (2)迁移：请用换元法解方程组：； (3)拓展：若关于x，y的二元一次方程组的解是求关于m，n的方程组 的解． 14．（23-24六年级下·上海虹口·期中）阅读材料，回答问题． 解方程组时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，原方程组可化为，解得，即，所以原方程组的解为，这种解方程组的方法叫做整体换元法． (1)已知关于、的二元一次方程组的解为，那么关于、的二元一次方程组的解为 ； (2)用材料中的方法解二元一次方程组； (3)关于、的二元一次方程组的解为，求关于、的方程组的解． 【经典例题三 二元一次方程组的错解复原问题】 15．（23-24六年级下·上海长宁·期末）在解方程组时，小明把方程①抄错了，从而得到解为，而小亮却把方程②抄错了，得到解为，求的值． 16．（24-25六年级下·上海嘉定·阶段练习）乐乐，果果两人同解方程组时，乐乐看错了方程①中的，解得，果果看错了方程②中的，解得，求的值． 17．（23-24六年级下·上海宝山·期中）甲、乙两同学同时解关于x，y的方程组，甲看错了m，解出的结果是，乙看错了n，解出的结果是，你能确定m，n的值和原方程组的解吗？ 18．（24-25六年级下·上海静安·阶段练习）上数学课时，陈老师让同学们解一道关于x、y的方程组，并请小方和小龙两位同学到黑板上板演，可是小方同学看错了方程①中的a，得到方程组的解为，小龙同学看错了方程②中的b，得到方程组的解为． (1)____；____； (2)按照正确的a、b求出原方程组的解． 19．（24-25六年级下·上海宝山·阶段练习）已知关于，的二元一次方程组，小明同学由于看错了方程组中的，得到方程组的解为；小李同学由于看错了，得到方程组的解为 (1)求，的值； (2)若方程组的解与方程组的解相同，求的值． 20．（23-24六年级下·上海长宁·假期作业）如图，小红和小明两人共同解方程组 根据以上他们的对话内容，请你求出的正确值，并计算的值． 21．（23-24六年级下·上海徐汇·阶段练习）甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为；乙看错了方程组中的，而得解为． (1)甲把看成了什么，乙把看成了什么？ (2)请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解． 【经典例题四 构造二元一次方程组求解】 22．（2025六年级下·上海长宁·模拟预测）当，，，，0，1，3，23，124，1000时，等式可以得到10个关于和的二元一次方程，问：这10个方程有无公共解？若有，求出公共解；若没有，求出其中两个方程的公共解． 23．（23-24六年级下·上海长宁·期末）对于任意实数a，b，定义关于“”的一种运算如下：，例如． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 24．（24-25六年级下·上海长宁·单元测试）对实数，定义一种新运算，规定（其中，均为常数），例如：，． (1)求，的值； (2)求关于，的方程的正整数解． 25．（23-24六年级下·上海普陀·阶段练习）定义：关于的方程与方程（a、b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则______； (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 26．（23-24六年级下·上海崇明·期中）若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“交替数”，如对于四位数3674，因为，所以3674是“交替数”，对于四位数2353，因为，所以2353不是“交替数”． (1)判断3986是否是“交替数”，并说明理由； (2)最小的“交替数”是______，最大的“交替数”是______． (3)若一个“交替数”满足千位数字与百位数字的平方差是21，且十位数字与个位数的和能被5整除．请求出所有满足条件的“交替数”．                   27．（24-25六年级下·上海阶段·阶段练习）阅读理解： 已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则________，_______； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 28．（24-25六年级下·上海闵行·阶段练习）【方法感语】 阅读材料：点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为．如图1，从数轴上看，若点A，B表示的数分别是1，4，则或． 【归纳】 若点A，B表示的数分别是则或． 【知识迁移】 （1）若点A表示的数是最大的负整数，点B表示的数为b，且，则___________． （2）如图2，点A，B表示的数分别是，若把AB向左平移个单位长度，则点A与数重合，若把AB向右平移个单位长度，则点B与70重合，___________，___________． 【拓展应用】 （3）一天，小红去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，123岁了，哈哈！”小红纳闷，爷爷现在到底是多少岁？小红现在又是几岁？请写出解题思路． 【经典例题五 三元一次方程组的压轴题型】 29．（24-25六年级下·上海奉贤·阶段练习）解方程： (1) (2) (3) (4) 30．（24-25六年级下·上海青浦·阶段练习）解下列方程组： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 31．（2024六年级下·上海长宁·模拟预测）如下表，从左到右的每个格子中都填入了一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填的整数之和都相等． 5 … (1)格子中所表示的整数为______，所表示的整数为______，所表示的整数为______； (2)请你求出第2023个整数是多少； (3)请你求出前2024个整数的和． 32．（24-25六年级下·上海宝山·阶段练习）【数学问题】解方程组 【思路分析】小明观察后发现可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的． (1)【完成解答】请你按照小明的思路，完成解方程组的过程． (2)【迁移运用】请你按照小明的方法，解方程组 33．（23-24六年级下·上海静安·阶段练习）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． 根据以上信息解决下列问题： (1)请求出矩阵对应的方程组的解； (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求的值． 34．（23-24六年级下·上海闵行·阶段练习）阅读材料： 已知方程组，求的值． 解法一：由原方程组，得 ，得．③ 把③代入①，得 ． 所以． 解法二： 将原方程组整理得 ，得③ 把③代入①，得． 请根据阅读材料，选择一种方法，尝试解决问题：已知方程组，求的值． 35．（24-25六年级下·上海松江·阶段练习）【阅读理解】 在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组 解：把②代入①得，， 解得， 把代入②得 所以方程组的解为 （2）已知，求的值， 解：①+②，得，③ ③，得． 【类比迁移】 （1）求方程组的解． （2）若，求的值． 【实际应用】 （3）打折前，买39件商品，21件商品用了1080元．打折后，买52件商品，28件商品用了1152元，比不打折少花了多少钱？ 【经典例题六 二元一次方程组的应用之方案问题】 36．（23-24六年级下·上海长宁·课后作业）某地区因强降雨天气引起洪水灾害，有名群众被困，某救援队立即前往救援．已知艘小型船和艘大型船一次可救援名群众，艘小型船和艘大型船一次可救援名群众． (1)每艘小型船和每艘大型船各能载多少名群众？ (2)若安排艘小型船和艘大型船一次救援完所有被困群众，且恰好每艘船都载满，请设计出所有的安排方案． 37．（23-24六年级下·上海长宁·单元测试）某牛奶加工厂现有鲜奶，若在市场上直接销售，每吨利润为300元；制成酸奶销售，每吨利润为1200元；制成奶片销售，每吨利润为2000元．该工厂的生产能力为：制成酸奶每天可加工鲜奶，制成奶片每天可加工鲜奶．受人员限制，两种加工方式不能同时进行．受气温条件限制，这批牛奶必须在6天内全部加工完毕．因此，该加工厂设计了两种可行性方案： 方案一：尽可能多地制成奶片，其余直接销售鲜牛奶． 方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，恰好6天完成． 你认为选择哪种方案能够获得的利润最多？为什么？ 38．（23-24六年级下·上海长宁·课后作业）一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱物资打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下（假设每辆车均满载）： 车型 甲 乙 丙 每辆汽车运载量 5 8 10 每辆汽车运费/元 400 500 600 (1)若全部物资都用乙、丙两种车型来运送，需运费8200元，乙、丙两种车型各需几辆？ (2)为了节约运费，该市政府决定一共安排16辆运送车辆，且甲、乙、丙三种车型都参与运送，请你用列方程组的方法求三种车型各有多少辆． (3)哪种方案的运费最少？最少是多少元？ 39．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）耀州瓷是北方青瓷的代表，出产于陕西省铜川市耀州区，以瓷质细腻，色泽青翠晶莹、线条明快流畅、造型端庄浑朴著称于世．某瓷器超市有、两种规格的倒装壶瓷器按定价销售，已知3件种规格的倒装壶瓷器和2件种规格的倒装壶瓷器总售价为1700元，4件种规格的倒装壶瓷器和1件种规格的倒装壶瓷器总售价为1600元． (1)分别求出每件种规格的倒装壶瓷器和每件种规格的倒装壶瓷器的定价； (2)旅游旺季期间，某天该瓷器超市通过销售这两种规格的倒装壶瓷器共获得3600元，且两种规格的倒装壶瓷器都有销售，请你计算该超市这天所有可能的销售方案（即每种规格的倒装壶瓷器各销售了多少件）． 40．（24-25六年级下·上海长宁·单元测试）又到了一年一度西瓜成熟的时节，水果市场刘老板要将一批西瓜分三次由地运往地，联系了一家运输公司，该公司有中型和小型两种货车可供选择，前两次运送西瓜的情况如下表： 中型货车/辆 小型货车/辆 总运载量/吨 第一次 3 2 9 第二次 5 4 16 (1)求2辆中型货车和1辆小型货车的总运载量； (2)第三次运送西瓜的重量为19吨，已知每辆中型货车一次的运费是500元，每辆小型货车一次的运费是400元，请你写出所有的运输方案（中型、小型两种货车均满载），并计算哪种运输方案花费最少，最少花费多少钱？ 41．（24-25六年级下·上海松江·阶段练习）解答： 设计烟花采购方案 为吸引游客，浦江县决定举办烟花节，需考虑如何采购烟花及烟花燃放时长 素材1 已知购买3箱A型和2箱B型烟花需要600元，购买5箱A型和3箱B型烟花需要950元． 素材2 某烟花厂提供产品信息如下： （1）A型烟花每箱8发，B型烟花每箱12发． （2）即将推出新品C型烟花，每箱200元，每箱15发． （3）本厂生产的所有型号烟花每发保持5秒．（例如A型烟花燃放时间为） 素 材 3 （1）浦江县准备支出7800元（全部用完）购买烟花． （2）燃放烟花时逐箱不间断燃放，且每次仅燃放一箱，假设每发烟花均能正常绽放，且间隔时长保持不变，忽略每箱烟花之间的引燃时间． 问题解决 任务1 确定单价 求A、B型烟花每箱多少元？ 任务2 确定方案① 若仅购买A，B型烟花，可以燃放多少秒？ 确定方案② 若同时采购A、B、C三种烟花，A型烟花的箱数是C型的5倍，如何采购使得燃放时间最长？． 42．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）某果园要将一批水果运往该县城一家水果加工厂，分两次租用了某物流公司的、两种货车，具体信息如下表所示： 第一次 第二次 型货车辆数 型货车辆数 累计运货量 根据以上信息，解答下列问题： (1)辆型车和辆型车都载满货物一次可分别运多少吨？ (2)该果园现有吨水果，计划同时租用型车辆，型车辆，可一次运完这批水果，且恰好每辆车都载满水果，请你帮该果园设计租车方案． (3)在第（2）问的条件下，若型车每辆需租金元／次，型车每辆需租金元／次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【经典例题七 二元一次方程组的应用之行程问题】 43．（24-25六年级下·上海长宁·课后作业）A、B两地相距12km，甲骑电动车从A地出发到B地，与此同时，乙骑电动车从B地出发到A地，两人均保持匀速行驶．已知第10分钟两人相遇，又经过4分钟，甲剩余路程是乙剩余路程的8倍．求甲、乙二人的骑行速度． 44．（23-24六年级下·上海闵行·期末）学校和博物馆相距20千米，小明与小强分别从学校和博物馆出发，相向而行．如果小明比小强早出发30分钟，那么在小强出发后2小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么1小时后两人还相距11千米．求小明、小强每小时各走多少千米． 45．（23-24六年级下·上海宝山·期中）小魏和小梁从A、B两地同时出发，小魏骑自行车，小梁步行，沿同条路线相向匀速而行，出发两人相遇，相遇时小魏比小梁多行，相遇后1h小魏到达B地． (1)求两人的速度分别是多少？ (2)求A、B两地的距离是多少？ 46．（23-24六年级下·上海静安·期末）小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路．假设他始终保持平路每分钟走60米，下坡路每分钟走80米，上坡路每分钟走40米，则他从家里到学校需10分钟，从学校到家里需15分钟．    (1)小华家离学校多远？ (2)小华从家里到学校到达中点的时间与小华从学校到家里到达中点的时间会一样吗？如果不一样，哪种情况所花的时间更多？请通过计算说明理由． 47．（23-24六年级下·上海宝山·期中）一道来自课本的习题： 从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需．甲地到乙地全程是多少？ 根据以上条件，下列解题思路或结论说法正确的有______． ①设上坡路长x千米，平路长y千米，可列方程组． ②根据条件，能求出甲地到乙地的全程是3.1千米． ③列算式即可求出上坡路长． ④设上坡路长x千米，可列方程 48．（2024·上海徐汇·一模）周末，小明和他的爸爸来到环形运动场进行跑步锻炼，绕环运动场一圈的路程为400米． (1)若两人同时同起点相向而跑，则经过36秒后首次相遇；若两人同时同起点同向而跑，则经过180秒后，爸爸首次从后面又追上小明，问小明和他的爸爸的速度各为多少？ (2)假设爸爸的速度是6米/秒，小明的速度是5米/秒，两人进行400米赛跑，同时同起点同向出发，等爸爸跑到半圈时，故意降速为4米/秒，按此继续比赛，小明能否在400米终点前追上爸爸，如果能，求追上时距离终点还有多少米；如果不能，请说明理由． 49．（23-24六年级下·上海普陀·阶段练习）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8元/公里 0.3元/分钟 0.8元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元． 小王与小张各自乘坐滴滴快车，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6公里与8.5公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同． (1)求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟； (2)实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点在大厅等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的2倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多7分钟，计算两人各自的实际乘车时间． 【经典例题八 二元一次方程组的应用之销售、利润问题】 50．（23-24六年级下·上海长宁·课后作业）某种杂志每册售价4元，邮购该种杂志的邮寄费和优惠方式如下： 邮购册数 100以上（含100） 邮寄费 总书价的 免费邮寄 优惠方式 不优惠 优惠 两次邮购这种杂志共200册，总计金额784元，两次各邮购杂志多少册？ 51．（23-24六年级下·上海崇明·期末）第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”在市场热销．某商场购进“滨滨”和“妮妮”共1000个，总共花费18000元，其中一个“滨滨”进价20元，一个“妮妮”进价15元． (1)求商场购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？ (2)若一个“滨滨”的售价为28元，商场计划售完这批“滨滨”和“妮妮”的利润率是，求一个“妮妮”的售价 52．（24-25六年级下·上海杨浦·阶段练习）某商场购进两种商品，已知购进3件商品比购进4件商品费用多60元；购进5件商品和2件商品总费用为620元． (1)求两种商品每件进价各为多少元？ (2)该商场计划购进两种商品共60件．若商品按每件150元销售，商品按每件80元销售，为满足销售完两种商品后获得的总利润不低于1700元，则购进商品的件数最少为多少？ 53．（23-24六年级下·上海虹口·期末）辽宁是粮食大省，水稻和玉米是全省其中的两个主要粮食农作物．某工厂将水稻和玉米分别生产加工为大米和玉米糁，大米每袋的生产成本是元，玉米糁每袋的生产成本是元，每日两种产品合计生产袋．（每日生产的大米和玉米糁均为整数袋） (1)若该工厂某日生产成本为元，则两种产品各生产多少袋？ (2)若大米每袋的售价是元，玉米糁每袋的售价是元，该工厂每日所得利润可能是元吗？如果可能，请分别求出每日生产大米和玉米糁的袋数；如果不可能，请说明理由． 54．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）法库寒富苹果以果实硕大、酸甜多汁、营养丰富、风味独特而驰名省外，沈阳某特产品商店购进、两种不同包装的寒富苹果共件，总费用为元，这两种包装苹果的进价、售价如表： 包装 包装 进价（元/件） 售价（元/件） (1)该特产品店购进、两种包装的苹果各多少件？ (2)来自外地的王先生到该特产品商店打算购买、两种包装的苹果各件．现在该特产品店在做销售活动： 方案一：打“九折”销售； 方案二：总价“满元减元”， 请问王先生会选择到哪个方案买更优惠？说明理由． 55．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）2024年12月4日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”列入联合国教科文组织人类非文化遗产代表作名录．截至目前，我国有44个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录、名册，总数位居世界第一．每逢春节，为了营造喜庆祥和的氛围，家家户户都会挂上红红的灯笼．在春节前夕，某商家购进两种型号的灯笼共100对，共用去3780元，这两种型号的灯笼的进价、售价如下表： 型号 进价（元/对） 售价（元/对） 54 72 27 32 (1)求该商家购进两种型号的灯笼各多少对？ (2)为迎接新春到来，某单位购买两种型号的灯笼（两种型号都购买）共花费336元，请你计算购买两种型号的灯笼各多少对？并计算此时商家获利多少元？ 56．（23-24六年级下·上海宝山·期末）诸暨枫桥盛产香榧，香榧具有驱虫、补充能量、润肠通便的功效．某同学对某个体户A加工销售的香榧及某企业B加工销售的香榧做了初步的调查，得出以下表格． 香榧重量（克/盒） 成本（元/盒） 售价（元/盒） 销售方式 个体户A 1000 100 每盒单售 企业B 640 60 10盒/箱， 整箱批发销售 (1)求个体户A加工销售的香榧每克利润（每克利润总利润总重量） (2)已知个体户A加工销售的香榧和企业B加工销售的香榧单克利润相等，求的值； (3)某商店C从企业B批发购入7箱香榧，在网店进行分盒售卖，售卖单价为180元/盒，并以“售价每满（大于等于）300元减30元”进行促销，分多次交易全部售罄．其中某次交易的单盒平均利润为元，则该次交易的销售数量可能为多少盒？ 【经典例题九 二元一次方程组的应用之几何问题】 57．（23-24六年级下·上海徐汇·期中）如图，在长为10米，宽为8米的长方形空地中，沿平行于长方形各边方向分割出三个能完全重合的小长方形作为生物兴趣小组的实验基地．求每个小长方形的长和宽． 58．（23-24六年级下·上海闵行·期中）小明在拼图时，发现8个大小一样的长方形，恰好可以拼成如左图所示的一个大的长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如右图所示的正方形．但是中间还留下了一个小洞，恰好是边长为的小正方形!你能求出这些长方形的长和宽吗?．若能，请写出过程；若不能，请说出理由． 59．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）列二元一次方程组解决问题：据统计，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是，如图所示，现要把一块长200米宽70米的长方形土地（），分为两块小长方形土地，上方小长方形种植甲种作物，下方小长方形种植乙种作物，怎样设计和的长度，使得甲、乙两种作物的总产量的比是？ 60．（23-24六年级下·上海静安·阶段练习）如图，某校劳动小组计划利用已有的一堵长为6m的墙，用篱笆围成一个面积为的矩形劳动基地ABCD，边AD的长不超过墙的长度，在BC边上开设宽为1m的门EF（门不需要消耗篱笆）．设AB的长为x（m），BC的长为y（m）． (1)若围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长为10m，求AB和BC的长度． (2)若AB和BC的长都是整数（单位：m），且围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长小于10m，请直接写出所有满足条件的围建方案． 61．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）（1）如图1，宽为48cm的长方形由8个形状、大小相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为______； （2）如图1，图2，都是由8个形状、大小相同的小长方形拼（围）成的大矩形，且图2中的阴影部分（小矩形）的面积为，则小长方形的长为______cm； （3）如图3，在长方形中放置9个形状、大小相同的小长方形，求所有阴影部分面积的和．（说明：图中的单位为cm） 62．（23-24六年级下·上海宝山·期末）综合与实践 【问题情境】我们规定，如果一个长方形内部能用一些正方形（或长方形）铺，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美长方形”，图1和图2的大长方形都是“优美长方形”．      【初步感知】 （1）如图1，“优美长方形”是由5块小正方形铺成的，若“优美长方形”的周长为，求正方形的边长； 若设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为． 依题意可列方程 ， 解得 ， 正方形的边长为 ． 【解决问题】 （2）如图2，“优美长方形”是由8块相同的小长方形铺成的，若图1和图2的两个“优美长方形”的宽相同，即，求图2中每块小长方形的面积； 【深入探究】 （3）如图3，“优美长方形”是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形铺成的（既不重叠，又无缝隙），其中长方形和正方形的周长相等，正方形的边长为，，求“优美长方形“的长． 63．（23-24六年级下·上海闵行·期中）某企业用规格是的标准板材作为原材料，按照图①所示的裁法一和裁法二，分别裁剪出甲型与乙型两种板材（单位：）． (1)求出图①中与的值． (2)在试生产阶段，若将张标准板材按裁法一裁剪，张标准板材按裁法二裁剪，裁剪后将得到的甲型与乙型板材做侧面或底面，做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的装饰盒若干个（接缝处的长度忽略不计）． ①一共可裁剪出甲型板材_______________张，乙型板材________________张； ②设做成的竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个，根据题意完成表格： 礼品盒板材 竖式无盖（个） 横式无盖（个） 甲型（张） 乙型（张） ③恰好一共可以做出竖式和横式两种无盖装饰盒子________________个．（在横线上直接写出答案） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二元一次方程组63道压轴题型专训（9大题型） 【题型目录】 题型一 已知二元一次方程组的解求参数 题型二 二元一次方程组的特殊解法 题型三 二元一次方程组的错解复原问题 题型四 构造二元一次方程组求解 题型五 三元一次方程组的压轴题型 题型六 二元一次方程组的应用之方案问题 题型七 二元一次方程组的应用之行程问题 题型八 二元一次方程组的应用之销售、利润问题 题型九 二元一次方程组的应用之几何问题 【经典例题一 已知二元一次方程组的解求参数】 1．（24-25六年级下·上海松江·阶段练习）已知关于，的方程组．若原方程组的解也是二元一次方程的一个解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查含参数的二元一次方程组的解的问题，解决本题的关键是整体思想的运用．首先把可得：，再根据，可得关于的一元一次方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：， 得：， ， ， ． 2．（23-24六年级下·上海长宁·课后作业）已知关于的方程组 (1)若方程组的解互为相反数，求k的值； (2)若方程组的解满足方程，求k的值． 【答案】(1)k值为 (2)k值为1 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是准确求出方程组的解． （1）解方程组得出，，根据方程组的解互为相反数，得出，即，解关于k的方程即可； （2）根据方程组的解满足，得出，解关于k的方程即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴方程组的解为， ∵方程组的解互为相反数， ∴， 即， 解得：； （2）解：∵方程组的解满足， ∴， 解得：． 3．（24-25六年级下·上海长宁·课后作业）已知关于x，y的方程组 (1)若方程组的解满足，求m的值； (2)无论实数m取何值，方程总有一个公共解，请直接写出这个公共解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解、二元一次方程及同解方程，解题的关键是熟练掌握加减消元法． （1）依题意得，解得，然后代入，解得，即可作答． （2）先把方程变形为，根据题意得出，即可求出的值，从而得出这个方程的公共解． 【详解】（1）解：∵方程组的解满足，且关于x，y的方程组 ∴联立， 解得， 把代入， 可得， 解得． （2）解：依题意，将变形， 得 无论实数取何值，方程总有一个公共解， ． 将代入， 可得． ∴这个公共解为． 4．（24-25六年级下·上海嘉定·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组． (1)当时、求这个方程组的解； (2)当这个方程组的x，y的值互为相反数时，求a的值； (3)嘉淇说：“无论a取什么数，的值始终不变．”请判断嘉淇的说法正确吗？说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)正确，理由见解析． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，二次一次方程组的解法，掌握相关知识是解题的关键． （1）将代入得，求解即可； （2）解方程组，再根据这个方程组的x，y的值互为相反数，即可求解； （3）将方程组的解代入中计算即可． 【详解】（1）解：将代入，得： ， 解得：； （2）解：解方程组，得： ， ∵这个方程组的x，y的值互为相反数， ∴， ∴； （3）解：∵方程组的解为， ∴， ∴无论取什么数，的值始终不变． 5．（23-24六年级下·上海闵行·期中）已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (3)若方程组的解满足，求的值； (4)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】(1)或 (2) (3) (4)或 【分析】本题考查求二元一次方程的整数解，已知二元一次方程组的解的情况，求参数的值： （1）根据二元一次方程的解的定义，求解即可； （2）将方程转化为，得到当时，方程成立，即可得出结果； （3）将和方程组中不含参数的方程组成新的方程组，求解后，代入含参方程，求解即可； （4）方程组消去后，得到关于的二元一次方程，求整数解即可． 【详解】（1）解：∵，且均为正整数， ∴或； （2）∵， ∴， ∴当时，方程成立， ∴， 即：不论为何值，方程总有一组解为． （3）联立，解得：； 把代入，得：， 解得：； （4）， ，得：， ∴， ∵均为整数， ∴或， ∴或． 6．（23-24六年级下·上海金山·期中）阅读材料并回答下列问题： 当都是实数，且满足，就称点为“可爱点”．例如：点，令得，，所以不是“可爱点”；，令得，，所以是“可爱点”． (1)请判断点是否为“可爱点”：______（填“是”或“否”） (2)若以关于的方程组的解为坐标的点是“可爱点”，求的值； (3)若以关于的方程组的解为坐标的点是“可爱点”，求正整数的值． 【答案】(1)否 (2)10 (3)或或或 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解、二元一次方程的正整数解求法，点的坐标知识； （1）根据“可爱点”的定义分别判断即可； （2）先关于x，y的方程组的解，直接利用“可爱点”的定义得出关于方程，解方程求出的值进而得出答案． （3）先关于x，y的方程组的解，直接利用“可爱点”的定义得出关于、的二元一次方程求出正整数解即可． 【详解】（1）解：点，令， 得， ， 不是“可爱点”， 故答案为：否． （2）解：方程组的解为， 点是“可爱点”， ， ， ， ， 解得 的值为10． （3）解：方程组的解为， 点是“可爱点”， ， ， ， ， 解得， a，b为正整数， 或或或． 7．（24-25六年级下·上海杨浦·阶段练习）综合与探究 明明为了探究关于x，y的二元一次方程解的规律，把x和y的部分值分别填入下表： x 4 0 2 8 y 10 7 p 1 初步探究： （1）求p的值． 深入探究： （2）下列方程中，与组成方程组，在范围内有解的是________．（填序号） ①；②；③． 探究应用： （3）已知关于x，y的二元一次方程的部分解如下表： x 0 8 y q 13 求方程组的解． 【答案】（1）；（2）③；（3） 【分析】本题考查二元一次方程的解和解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法和代入消元法． （1）先根据表格中的值，建立关于a、b的二元一次方程组，解方程组得到a、b的值，即可求出二元一次方程，再将代入方程即可求得答案； （2）依次将三个选项与原方程组成方程组，求出方程组的解进行判断即可； （3）根据表格的数据，建立关于c、d的二元一次方程组，解方程组得到c、d的值，即可得到原方程组，再解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：当，时，， 当，时，， ∴ 解方程组得， ∴二元一次方程为， 当时，， 故； （2）解：∵方程为：， ∴①当方程为时， 方程组为：， 解方程组得：， ∵不在范围内， 故①不符合题意； ②当方程为时， 方程组为：， 解方程组得：， ∵不在范围内， 故②不符合题意； ③当方程为时， 方程组为：， 解方程组得：， ∵在范围内， 故③符合题意； （3）解：二元一次方程中，当，时，方程为； 当，，方程为； ∴， 解方程组得， 则方程为，即， ∴方程组为：， 解方程组得． 【经典例题二 二元一次方程组的特殊解法】 8．（24-25六年级下·上海长宁·课后作业）解下列方程组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（）把看成一个整体，利用加减法解答即可求解； （）把看成一个整体，利用加减法解答即可求解； 本题考查了解二元一次方程组，利用整体思想和加减法解答即可求解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：，得③， ，得， ④， 将④代入③，得， ⑤， ，得， 解得, 将代入⑤，得， 解得， ∴方程组的解为． 9．（2024六年级下·上海虹口·模拟预测）三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，请你解答这个题目． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是利用换元法解二元一次方程组．可以根据丙的方法求解，把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决． 【详解】解：所求方程组可变形为：，两方程相加得： ，① 根据第一组方程的解可得：，两方程相加得：，② 由①②得：，解得：． 原方程组的解为：． 10．（24-25六年级下·上海长宁·课后作业）已知方程组． (1)填表，使上下每对的值是对应方程的解； 0 2 0 2 (2)由（1）中数据可得该方程组的解为___________． 【答案】(1)8，2，，，，2，，4 (2) 【分析】本题考查了二元一次方程即二元一次方程组的解，熟练掌握该知识点是本题解题的关键． （1）将x的值代入到方程中依次可得到y的值； （2）由（1）题可知方程组的解为． 【详解】（1）解：中， 当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 中， 当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 故答案为：8，2，，，，2，，4； （2）解：方程组的解是． 11．（24-25六年级下·上海长宁·单元测试）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：由①②，得，即，③ ③14，得，④ ②④，得，从而可得， 方程组的解是 (1)请你仿上面的解法解方程组 (2)猜测关于的方程组的解是什么，并利用方程组的解加以验证． 【答案】(1) (2)，验证见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解． （1）②①，得③，，得，求出x，再把代入③求出y即可； （2）①②，得，求出③，，得，求出x，再把代入③求出y即可． 【详解】（1）解：， ②①，得③， ，得，解得， 把代入③，得，解得， 所以原方程组的解是； （2）解：猜测方程组的解是； ， ①②，得， ， ③， ，得，解得， 把代入③，得，解得， 所以原方程组的解是． 12．（24-25六年级下·上海静安·阶段练习）规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是 ； (2)若关于、的方程组为共轭方程组，则 ， ； (3)拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题： 解共轭方程组时，可以采用下面的解法： ②+①得：，所以③ ③得：④ ①-④得：，从而得 所以原方程组的解是 用上述方法求共轭方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，解二元一次方程组，理解新定义是解题的关键． （1）根据共轭二元一次方程的定义即可求解； （2）根据共轭二元一次方程组的定义得到，，然后解方程组即可求解； （3）根据拓展的解法即可求解． 【详解】（1）解：根据共轭二元一次方程的定义，方程的共轭二元一次方程是 故答案为：； （2）解：根据共轭二元一次方程组的定义，得，， 解得，， 故答案为：； （3）解： 得 ， ， ，得 ， ，得 ， 把代入③，得， ∴原方程组的解为． 13．（23-24六年级下·上海徐汇·期中）阅读下列文字，体会其中的数学思想方法：善于思考的小高同学在解关于m，n的方程组时，把，分别看成一个整体，令，，原方程组化为解得∴解得∴原方程组的解为． 这种把某个式子看成一个整体，用一个字母代替它的解方程组的方法叫做“换元法”． (1)应用：已知方程组的解是则关于m，n的二元一次方程组 的解是______． (2)迁移：请用换元法解方程组：； (3)拓展：若关于x，y的二元一次方程组的解是求关于m，n的方程组 的解． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查用代入法解二元一次方程组．理解题目中阅读材料：代入法解一元二次方程是解题的关键． （1）由题意，得，解得∶ 即可． （2）先将原方程变形为，再设， ，得到，解得：，则有，银之即可． （3）先将方程组，变形为 则，解之即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得∶ ， 故答案为：． （2）解：变形，得， 设， ， 则， 解得： ∴ 解得∶ ． ∴原方程组的解为． （3）解：先将方程组，变形为 ∵二元一次方程组的解是， ∴， ∴． ∴关于m，n的方程组的解为：． 14．（23-24六年级下·上海虹口·期中）阅读材料，回答问题． 解方程组时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，原方程组可化为，解得，即，所以原方程组的解为，这种解方程组的方法叫做整体换元法． (1)已知关于、的二元一次方程组的解为，那么关于、的二元一次方程组的解为 ； (2)用材料中的方法解二元一次方程组； (3)关于、的二元一次方程组的解为，求关于、的方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，结合题目给出的示例，合理换元是解题的关键． （1）设，，则原方程组可化为，根据的解为，即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解得，即，即可求解； （3）原方程组可化为，设，，则原方程组可化为，根据的解为，得，即可求解． 【详解】（1）解：设，，则原方程组可化为， 根据题意，得，即， 解得． 故答案为：． （2）解：设，，则原方程组可化为， 解得，即， 解得． （3）解：原方程组可化为， 设，，则原方程组可化为， 根据题意，得，即， 解得． 【经典例题三 二元一次方程组的错解复原问题】 15．（23-24六年级下·上海长宁·期末）在解方程组时，小明把方程①抄错了，从而得到解为，而小亮却把方程②抄错了，得到解为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组错解复原问题，熟练掌握解二元一次方程的方法和步骤是解题关键．将解代入没有抄错的方程，得到关于的二元一次方程组，再进行求解即可． 【详解】解：将代入方程，将代入方程， 可得，解得． 16．（24-25六年级下·上海嘉定·阶段练习）乐乐，果果两人同解方程组时，乐乐看错了方程①中的，解得，果果看错了方程②中的，解得，求的值． 【答案】0 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次方程和代数式求值等知识点，解题的关键是列出关于、的一元一次方程求得、的值．把代入②得出可求出，把代入①得出可求出，然后再代入求代数式的值即可． 【详解】解：∵由题意，把代入②， 得， 解得：， 把代入①， 得， 解得：， ∴ ． 17．（23-24六年级下·上海宝山·期中）甲、乙两同学同时解关于x，y的方程组，甲看错了m，解出的结果是，乙看错了n，解出的结果是，你能确定m，n的值和原方程组的解吗？ 【答案】，，原方程组的解为 【分析】本题考查了解一元一次方程，二元一次方程组的解，解二元一次方程组的应用：把代入，得，求得；把代入，得，求出，得出方程组为，求出方程组的解即可． 【详解】解：能． 把代入，得， 解得． 把代入，得， 解得． ∴原方程组为 ，得． 把代入①，得， 解得． ∴原方程组的解为． 18．（24-25六年级下·上海静安·阶段练习）上数学课时，陈老师让同学们解一道关于x、y的方程组，并请小方和小龙两位同学到黑板上板演，可是小方同学看错了方程①中的a，得到方程组的解为，小龙同学看错了方程②中的b，得到方程组的解为． (1)____；____； (2)按照正确的a、b求出原方程组的解． 【答案】(1)1， (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组； （1）由二元一次方程组的解得是②的解，是①的解，即可求解； （2）用加减消元法解方程组，即可求解； 理解二元一次方程组的解，能熟练解二元一次方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 是②的解， 解得：， 是①的解， ， 解得：， 故答案为：，； （2）解：原方程组为 ①得， ③， ③②得 ， 解得：， 将代入①得 ， 解得：， 原方程组的解为． 19．（24-25六年级下·上海宝山·阶段练习）已知关于，的二元一次方程组，小明同学由于看错了方程组中的，得到方程组的解为；小李同学由于看错了，得到方程组的解为 (1)求，的值； (2)若方程组的解与方程组的解相同，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的错解复原问题，同解方程组： （1）将方程组的解代入未看错的方程中，求出的值即可； （2）将的值代入中，求出方程组的解，再将方程组的解代入中，进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，知满足方程， 即，解得． 满足方程， 即，解得． （2）当，时，原方程组可变为， 解得 把代入方程组得 解得 当，时，． 20．（23-24六年级下·上海长宁·假期作业）如图，小红和小明两人共同解方程组 根据以上他们的对话内容，请你求出的正确值，并计算的值． 【答案】0 【分析】本题主要考查二元一次方程组解的定义，解决本题的关键是将已知方程组的解代入方程进行求解． 根据题意将代入方程②求出b，把代入①求出a，最后代入代数式求值． 【详解】解：∵小明看错了方程①中的，所以满足方程②， 即，解得， ∵小红看错了方程②中的，所以满足方程①， 即，解得， ∴． 21．（23-24六年级下·上海徐汇·阶段练习）甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为；乙看错了方程组中的，而得解为． (1)甲把看成了什么，乙把看成了什么？ (2)请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解． 【答案】(1)甲把看成了，乙把看成了6 (2) 【分析】（1）甲看错了方程组中的，把代入①，②，乙看错了方程组中的，把代入①，②，从而求出、正确的值和错误的值； （2）把，代入原方程组，然后用加减消元法解出方程组的解． 【详解】（1）， 把代入①，②得， ， ， ． ； 把代入①、②得， ， ， ， ； 甲把看成了，乙把看成了6； （2）把，代入原方程组， 原方程组为， 由②，得③， ，得， 把代入①，得， 原方程组的解：． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关键． 【经典例题四 构造二元一次方程组求解】 22．（2025六年级下·上海长宁·模拟预测）当，，，，0，1，3，23，124，1000时，等式可以得到10个关于和的二元一次方程，问：这10个方程有无公共解？若有，求出公共解；若没有，求出其中两个方程的公共解． 【答案】有公共解， 【分析】本题主要考查二元一次方程的性质和求解方法，解题关键在于理解方程结构，采用合理的方法寻找公共解，并进行验证； 选取两个特定的值得到两个方程组成方程组求解，然后将解代入原方程进行验证，并且通过验证确保得到的解是所有方程的公共解． 【详解】解：设当，时，有，这两个方程的公共解， 解得：， 把代入等式，得 左边， ∴无论m取何值恒为0， ∴是原方程的解， ∴这 10 个方程有公共解，公共解为． 23．（23-24六年级下·上海长宁·期末）对于任意实数a，b，定义关于“”的一种运算如下：，例如． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)0 (2)． 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）已知等式利用题中的新定义得到二元一次方程组，计算即可求出所求． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得：； （2）解：∵， ∴①， ∵， ∴②， 得 ∴． 24．（24-25六年级下·上海长宁·单元测试）对实数，定义一种新运算，规定（其中，均为常数），例如：，． (1)求，的值； (2)求关于，的方程的正整数解． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了新运算、二元一次方程组的解法、二元一次方程的正整数解，解决本题的关键是把规定的新运算转化为一般的方程组，通过解方程组求出字母的值． 把和分别代入，可得关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值即可； 由可知，可得：、，根据，可得关于、的方程组，整理可得，再根据、为正整数，分情况讨论确定于、的值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：， ， 可得方程组:， 得：， 解得， 把代入得：， 解得：， 方程组的解为：， 的值为，的值为； （2）解：把，代入， 可得：， ， ， 原方程可化为， 整理得：， ， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，； 当时，为负数，不符合题意，舍去； 方程的正整数解为． 25．（23-24六年级下·上海普陀·阶段练习）定义：关于的方程与方程（a、b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则______； (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】此题考查的是新定义，二元一次方程组的应用，方和的解，能够正确理解新定义是解决此题的关键． （1）根据“反对方程”的定义直接可得答案； （2）根据“反对方程”的定义建立方程组求解可得答案； （3）根据“反对方程” 与的解均为整数，可得与都为整数，由此可得答案． 【详解】（1）解：由题可知，与、均为不等于0的常数）称互为“反对方程”， 与方程互为“反对方程”， ． （2）解：将写成的形式， ∵关于的方程与方程互为“反对方程”， ∴ ∴ （3）解：的“反对方程”为， 由得，， 当，得， 与的解均为整数， 与都为整数， 也为整数， 当时，，，都为整数， 当时，，，都为整数， 的值为． 26．（23-24六年级下·上海崇明·期中）若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“交替数”，如对于四位数3674，因为，所以3674是“交替数”，对于四位数2353，因为，所以2353不是“交替数”． (1)判断3986是否是“交替数”，并说明理由； (2)最小的“交替数”是______，最大的“交替数”是______． (3)若一个“交替数”满足千位数字与百位数字的平方差是21，且十位数字与个位数的和能被5整除．请求出所有满足条件的“交替数”． 【答案】(1)不是，理由见解析． (2)1001，9999 (3)5214或5269 【分析】本题主要考查数的十进制，因式分解的应用，实数的运算，理解新定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键． （1）根据“交替数”的概念进行判断； （2）根据最小的正整数是1，最大的一位数是9，结合“交替数”的概念求解； （3）根据题意得到： ， ， ，先根据求出a，b的值，再根据求出k的值解答即可． 【详解】（1）解：不是，理由如下∶ ∵， ∴ 3986不是“交替数”． （2）解：最小的“交替数”是1001，最大的“交替数”是9999． 故答案为：1001，9999； （3）解：设这个“交替数”为， k为正整数． 由题意得 ∶ ， ， ． ∵ ， 且 ∴   ，   ， 解得(舍去)  ，    ， ∵ ( k为正整数) ， ∴ 取1或2或3  ， 又∵ ， 即 ， 则 ， ① 当取1时， 即   ， ∴ 解得     ， ∴ “交替数”是5214． ② 当取2时， 即   ， ∴ 解得 (舍去) ， ③ 当取3时， 即   ， ∴ 解得     ， ∴ “交替数”是5269． 综上所述，满足条件的“交替数”为5214或5269． 27．（24-25六年级下·上海阶段·阶段练习）阅读理解： 已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则________，_______； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 【答案】(1)，3． (2)54 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握整体思想是解题的关键． （1）利用①②可求出的值，利用①②进行计算可求出的值； （2）根据题意可得，然后由④-③可得利用整体的思想求出． 【详解】（1）解： 由①②得：， 由①②得：， ∴， ∴． 故答案为：，3． （2）∵，，， 则 由④-③可得： 即 ∴． 28．（24-25六年级下·上海闵行·阶段练习）【方法感语】 阅读材料：点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为．如图1，从数轴上看，若点A，B表示的数分别是1，4，则或． 【归纳】 若点A，B表示的数分别是则或． 【知识迁移】 （1）若点A表示的数是最大的负整数，点B表示的数为b，且，则___________． （2）如图2，点A，B表示的数分别是，若把AB向左平移个单位长度，则点A与数重合，若把AB向右平移个单位长度，则点B与70重合，___________，___________． 【拓展应用】 （3）一天，小红去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，123岁了，哈哈！”小红纳闷，爷爷现在到底是多少岁？小红现在又是几岁？请写出解题思路． 【答案】（1）1或；（2）；（3）爷爷现在的年龄是67岁，小红现在的年龄是11岁 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离和解二元一次方程组， 根据题意得到a，结合已知得距离即可求得b的值； 根据题列出关系式，化简解二元一次方程组即可； 根据题意先求得年龄差，进一步求的各自的年龄即可． 【详解】解：（1）∵点A表示的数是最大的负整数， ∴， ∵点B表示的数为b，且， ∴，化简得，，解得或， 故答案为：1或． （2）∵， ∴解得 故答案为：． （3）如图． 由题意得，爷爷比小红大（岁）， 所以小红的年龄为（岁）， 所以爷爷的年龄为（岁）． 答：爷爷现在的年龄是67岁，小红现在的年龄是11岁． 【经典例题五 三元一次方程组的压轴题型】 29．（24-25六年级下·上海奉贤·阶段练习）解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解二（三）元一次方程组： （1）加减消元法，解方程组即可； （2）加减消元法，解方程组即可； （3）整体代入法，解方程组即可； （4）加减消元法，解方程组即可． 【详解】（1）解：， ，得：，解得：； 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解为：； （2）， ，得：③， ，得：④， ，得：，解得：； 把代入④，得：，解得：； ∴方程组的解为：； （3）， 把代入②，得：，解得：， 把代入①，得：，解得：， ∴方程组的解为：； （4）， ，得：④； ，得：⑤； ，得：，解得：， 把代入④，得：，解得：， ∴，代入③，得：，解得：； ∴方程组的解为：． 30．（24-25六年级下·上海青浦·阶段练习）解下列方程组： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】此题考查了解二元一次方程组和三元一次方程组，熟练掌握加减法和代入法是关键． （1）利用代入法解方程组即可； （2）利用加减法解方程组即可； （3）利用加减法解方程组即可； （4）利用加减法解方程组即可； （5）利用加减法解方程组即可； （6）利用加减法得到二元一次方程组，解得，，再求出即可． 【详解】（1）解： 把①代入②得，， 解得 把代入①得到， ∴ （2）解： 由①得，③ 把③代入②得，， 解得 把代入③得到， ∴ （3） ②－①得，， 解得 把代入①得，， 解得 ∴ （4） ①×③－②得，， 解得， 把代入①得， 解得 ∴ （5） ①－②得， ∴ ∴③ 把③代入①得，， 解得 把代入③得，， ∴ （6） ①－②得，④ ②＋③得，⑤ 得到， 把代入④得， 解得， 把，代入②得，， 解得 ∴ 31．（2024六年级下·上海长宁·模拟预测）如下表，从左到右的每个格子中都填入了一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填的整数之和都相等． 5 … (1)格子中所表示的整数为______，所表示的整数为______，所表示的整数为______； (2)请你求出第2023个整数是多少； (3)请你求出前2024个整数的和． 【答案】(1)5，， (2) (3)1352 【分析】本题主要考查了三元一次方程组及数字规律型问题，根据题意列出方程组及方程组求解和根据数字之间的规律进行求解是解决本题的关键． （1）根据题意可列方程组，，求方程组的解即可得出答案； （2）根据题意可得格子中的整数以""为周期循环，则，即可得出答案． （3）由每三个相邻格子中的整数的和为2，，可得前2024个整数中包含674个循环，再加上后面的两个整数和5，再求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得 故答案为∶； （2）解：由（1）可知从左往右格子中的整数以，5，三个数字依次循环． 因为， 所以第2023个整数是． （3）解：因为每三个相邻格子中的整数的和为2，， 所以前2024个整数中包含674个循环，再加上后面的两个整数和5， 所以前2024个整数的和为． 32．（24-25六年级下·上海宝山·阶段练习）【数学问题】解方程组 【思路分析】小明观察后发现可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的． (1)【完成解答】请你按照小明的思路，完成解方程组的过程． (2)【迁移运用】请你按照小明的方法，解方程组 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解三元一次方程组、解二元一次方程组； （1）把①代入②，求出x的值，再把x的值带入①，求出y的值； （2）先把①代入③，求出c的值，再把c的值代入②，求出a的值，最后把a的值代入①，求出b的值，即可． 【详解】（1）解： 把①代入②，得， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解： 把①代入③得：，解得：， 把代入②得：，解得：， 把代入①得：，解得：， ∴原方程组的解为． 33．（23-24六年级下·上海静安·阶段练习）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． 根据以上信息解决下列问题： (1)请求出矩阵对应的方程组的解； (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求的值． 【答案】(1) (2)13 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，解二元一次方程组，三元一次方程组的解．解题的关键在于理解题意并正确的运算． （1）由题意得：矩阵对应的方程组为，计算求解即可； （2）由矩阵所对应的方程组的解为，可得，①②③得，． 【详解】（1）解：由题意得：矩阵对应的方程组为， 解得：， 矩阵对应的方程组的解为； （2）解：矩阵所对应的方程组的解为， 将代入， 得， ①②③得，． 34．（23-24六年级下·上海闵行·阶段练习）阅读材料： 已知方程组，求的值． 解法一：由原方程组，得 ，得．③ 把③代入①，得 ． 所以． 解法二： 将原方程组整理得 ，得③ 把③代入①，得． 请根据阅读材料，选择一种方法，尝试解决问题：已知方程组，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组的知识，根据题意采用两种不同的方法求解即可，解题的关键是利用整体法解方程组． 【详解】解：解法一： ， 由得：， 把代入得：， ∴； 解法二： 由题意，将原方程整理得： ， 得：， 得：， 解得：． 35．（24-25六年级下·上海松江·阶段练习）【阅读理解】 在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组 解：把②代入①得，， 解得， 把代入②得 所以方程组的解为 （2）已知，求的值， 解：①+②，得，③ ③，得． 【类比迁移】 （1）求方程组的解． （2）若，求的值． 【实际应用】 （3）打折前，买39件商品，21件商品用了1080元．打折后，买52件商品，28件商品用了1152元，比不打折少花了多少钱？ 【答案】（1）  （2）  （3）比不打折少花了元 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法、应用，三元一次方程组，根据题意类比迁移，找准等量关系是重点． （1）把②代入①中即可求出答案； （2）用①②即可得出答案； （3）设打折前商品每件元，商品每件元，由题意可得关于，的二元一次方程，变形可得，用原价减现价即可得少花钱数． 【详解】解：（1）， 把②代入①中，得：， 解得：， 把代入②中，得， ∴方程组的解为； （2）， ①②得： ； （3）设打折前商品每件元，商品每件元， 根据题意得：， 两边同时乘以，得：， ∴(元)， 答：比不打折少花了元． 【经典例题六 二元一次方程组的应用之方案问题】 36．（23-24六年级下·上海长宁·课后作业）某地区因强降雨天气引起洪水灾害，有名群众被困，某救援队立即前往救援．已知艘小型船和艘大型船一次可救援名群众，艘小型船和艘大型船一次可救援名群众． (1)每艘小型船和每艘大型船各能载多少名群众？ (2)若安排艘小型船和艘大型船一次救援完所有被困群众，且恰好每艘船都载满，请设计出所有的安排方案． 【答案】(1)每艘小型船能坐名群众，每艘大型船能坐名群众 (2)有种方案，分别为：安排艘小型船艘大型船；安排艘小型船和艘大型船；安排艘小型船和艘大型船；安排艘小型船和艘大型船；安排艘小型船和艘大型船，安排艘小型船和艘大型船； 【分析】本题考查了一元二次方程组的应用，求一元二次方程整数解，掌握知识点的应用是解题的关键． （）每艘小型船能坐名群众，每艘大型船能坐名群众，根据题意得列出方程，然后解方程即可； （）由安排艘小型船和艘大型船，得，则，解得，再根据为整数，求出解即可． 【详解】（1）解：每艘小型船能坐名群众，每艘大型船能坐名群众， 根据题意得，， 解得：， 答：每艘小型船能坐名群众，每艘大型船能坐名群众； （2）解：由安排艘小型船和艘大型船， ∴， ∴， ∴， ∵为整数， ∴或或或或或， ∴或或或或或， 答：有种方案，分别为：安排艘小型船和艘大型船；安排艘小型船和艘大型船；安排艘小型船和艘大型船；安排艘小型船和艘大型船；安排艘小型船和艘大型船，安排艘小型船和艘大型船；． 37．（23-24六年级下·上海长宁·单元测试）某牛奶加工厂现有鲜奶，若在市场上直接销售，每吨利润为300元；制成酸奶销售，每吨利润为1200元；制成奶片销售，每吨利润为2000元．该工厂的生产能力为：制成酸奶每天可加工鲜奶，制成奶片每天可加工鲜奶．受人员限制，两种加工方式不能同时进行．受气温条件限制，这批牛奶必须在6天内全部加工完毕．因此，该加工厂设计了两种可行性方案： 方案一：尽可能多地制成奶片，其余直接销售鲜牛奶． 方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，恰好6天完成． 你认为选择哪种方案能够获得的利润最多？为什么？ 【答案】方案二能够获得的利润最多，见解析 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，方案一：根据制成奶片每天可加工2吨，求出6天加工的吨数，剩下的直接销售鲜牛奶，求出利润；方案二：设生产x天奶片，则生产y天酸奶，根据题意列出方程组，解方程组，进而求出利润，比较即可得出结论． 【详解】解：方案一：最多生产奶片，其余的鲜奶直接销售， 则其利润为（元）； 方案二：设生产x天奶片，则生产y天酸奶， 得， 解得， 利润为（元）． 因为， 所以方案二能够获得的利润最多． 38．（23-24六年级下·上海长宁·课后作业）一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱物资打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下（假设每辆车均满载）： 车型 甲 乙 丙 每辆汽车运载量 5 8 10 每辆汽车运费/元 400 500 600 (1)若全部物资都用乙、丙两种车型来运送，需运费8200元，乙、丙两种车型各需几辆？ (2)为了节约运费，该市政府决定一共安排16辆运送车辆，且甲、乙、丙三种车型都参与运送，请你用列方程组的方法求三种车型各有多少辆． (3)哪种方案的运费最少？最少是多少元？ 【答案】(1)乙车型8辆，丙车型7辆 (2)有两种运送方案：①甲车型2辆，乙车型8辆，丙车型6辆；②甲车型4辆，乙车型3辆，丙车型9辆 (3)甲车型2辆，乙车型8辆，丙车型6辆，最少运费是8400元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用问题，根据题意准确的列出方程组是求解本题的关键. （1）设需要乙车辆，丙车辆，根据运费元，总吨数134吨，列出方程组求解即可； （2）设甲车有辆，乙车有辆，丙车有辆，列出方程组，再根据均为正整数，求出的值，即可求解； （3）分别求出两种方案的运费即可求解； 【详解】（1）解：设需要乙车辆，丙车辆 由题意可得： 解得： 需要乙车8辆，丙车7辆 （2）解：设甲车有辆，乙车有辆，丙车有辆 由题意可得： 消去可得： 由于是正整数，且小于16，则： 由是正整数，解得 有两种运送方案： ①甲车型4辆，乙车型3辆，丙车型9辆； ②甲车型2辆，乙车型8辆，丙车型6辆； （3）解：两种方案得运费分别是： ①； ②； 甲车型2辆，乙车型8辆，丙车型6辆时，最少运费是8400元. 39．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）耀州瓷是北方青瓷的代表，出产于陕西省铜川市耀州区，以瓷质细腻，色泽青翠晶莹、线条明快流畅、造型端庄浑朴著称于世．某瓷器超市有、两种规格的倒装壶瓷器按定价销售，已知3件种规格的倒装壶瓷器和2件种规格的倒装壶瓷器总售价为1700元，4件种规格的倒装壶瓷器和1件种规格的倒装壶瓷器总售价为1600元． (1)分别求出每件种规格的倒装壶瓷器和每件种规格的倒装壶瓷器的定价； (2)旅游旺季期间，某天该瓷器超市通过销售这两种规格的倒装壶瓷器共获得3600元，且两种规格的倒装壶瓷器都有销售，请你计算该超市这天所有可能的销售方案（即每种规格的倒装壶瓷器各销售了多少件）． 【答案】(1)每件种规格的倒装壶瓷器的定价为300元，每件种规格的倒装壶瓷器的定价为400元 (2)该超市这天共有两种销售方案：①种规格的倒装壶瓷器销售了4件，种规格的倒装壶瓷器销售了6件；②种规格的倒装壶瓷器销售了8件，种规格的倒装壶瓷器销售了3件． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，二元一次方程的解，正确理解题意是解题的关键： （1）设每件种规格的倒装壶瓷器的定价为元，每件种规格的倒装壶瓷器的定价为元，根据题意，得，求解即可得出答案； （2）设该超市这天销售了件种规格的倒装壶瓷器、件种规格的倒装壶瓷器，根据题意，得，根据、均为正整数，有和两种情况，进而得出答案． 【详解】（1）解：设每件种规格的倒装壶瓷器的定价为元，每件种规格的倒装壶瓷器的定价为元． 根据题意，得，解得 每件种规格的倒装壶瓷器的定价为300元，每件种规格的倒装壶瓷器的定价为400元． （2）设该超市这天销售了件种规格的倒装壶瓷器、件种规格的倒装壶瓷器． 根据题意，得， 化简，得． 该超市这天两种规格的倒装壶瓷器都有销售， 、均为正整数， 有和两种情况， 即该超市这天共有两种销售方案： ①种规格的倒装壶瓷器销售了4件，种规格的倒装壶瓷器销售了6件； ②种规格的倒装壶瓷器销售了8件，种规格的倒装壶瓷器销售了3件． 40．（24-25六年级下·上海长宁·单元测试）又到了一年一度西瓜成熟的时节，水果市场刘老板要将一批西瓜分三次由地运往地，联系了一家运输公司，该公司有中型和小型两种货车可供选择，前两次运送西瓜的情况如下表： 中型货车/辆 小型货车/辆 总运载量/吨 第一次 3 2 9 第二次 5 4 16 (1)求2辆中型货车和1辆小型货车的总运载量； (2)第三次运送西瓜的重量为19吨，已知每辆中型货车一次的运费是500元，每辆小型货车一次的运费是400元，请你写出所有的运输方案（中型、小型两种货车均满载），并计算哪种运输方案花费最少，最少花费多少钱？ 【答案】(1)2辆中型货车和1辆小型货车的总运载量是5.5吨 (2)方案一：中型货车8辆，小型货车2辆，方案二：中型货车5辆，小型货车6辆，方案三：中型货车2辆，小型货车10辆，选择中型货车8辆，小型货车2辆，花费最少，最少花费4800元 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解的应用； （1）设1辆中型货车一次可以运西瓜吨，1辆小型货车一次可以运西瓜吨，再根据表格信息建立方程组解题，进一步的计算即可； （2）设用中型货车辆，小型货车辆，可得，即．再求解方程的正整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：设1辆中型货车一次可以运西瓜吨，1辆小型货车一次可以运西瓜吨， 根据题意，得 解得 （吨）． 答：2辆中型货车和1辆小型货车的总运载量是吨． （2）解：设用中型货车辆，小型货车辆， 则，即． ∵为正整数， ∴或或； 方案一：中型货车8辆，小型货车2辆， 费用：（元）； 方案二：中型货车5辆，小型货车6辆， 费用：（元）； 方案三：中型货车2辆，小型货车10辆， 费用：（元）． ， 方案一运输费用最少． 即选择中型货车8辆，小型货车2辆，花费最少，最少花费4800元． 41．（24-25六年级下·上海松江·阶段练习）解答： 设计烟花采购方案 为吸引游客，浦江县决定举办烟花节，需考虑如何采购烟花及烟花燃放时长 素材1 已知购买3箱A型和2箱B型烟花需要600元，购买5箱A型和3箱B型烟花需要950元． 素材2 某烟花厂提供产品信息如下： （1）A型烟花每箱8发，B型烟花每箱12发． （2）即将推出新品C型烟花，每箱200元，每箱15发． （3）本厂生产的所有型号烟花每发保持5秒．（例如A型烟花燃放时间为） 素 材 3 （1）浦江县准备支出7800元（全部用完）购买烟花． （2）燃放烟花时逐箱不间断燃放，且每次仅燃放一箱，假设每发烟花均能正常绽放，且间隔时长保持不变，忽略每箱烟花之间的引燃时间． 问题解决 任务1 确定单价 求A、B型烟花每箱多少元？ 任务2 确定方案① 若仅购买A，B型烟花，可以燃放多少秒？ 确定方案② 若同时采购A、B、C三种烟花，A型烟花的箱数是C型的5倍，如何采购使得燃放时间最长？． 【答案】（1）A型烟花每箱100元，B型烟花每箱150元；（2）；（3）分别购买 A，B，C型烟花各15、38、3箱时，燃放时间最长． 【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用，解决此类问题的关键是分清题中数量关系，找出等量关系列出方程，求方程组的解或者求整数解即可． 任务1根据条件列出二元一次方程组即可解决． 任务2的第①问设分别购买A，B型烟花a，b箱，根据“支出7800元购买烟花”这一条件得到一个二元一次方程，对方程整理化简，再用a，b表示出烟花的燃放时间，整体代入即可求出燃放时间． 任务2的第②问沿用第①问的思路，设分别购买A，B型烟花a，b箱，表示出购买C型烟花箱，根据“支出7800元购买烟花”这一条件列一个关于a，b的二元一次方程，进而确定a要满足的条件，再用含a的式子表示出时长即可得到结论． 【详解】解：任务1：设A，B型烟花每箱分别为x元，y元， 由题意得 ， 解得 ， 答：A型烟花每箱100元，B型烟花每箱150元． 任务2：①设分别购买A，B型烟花a，b箱， 由题意得， 整理得，， ∴燃放时长为． 答：若仅购买A，B型烟花，可以燃放． ②设分别购买A，B型烟花a，b箱，则购买C型烟花箱， ∴，，整理得，， ∴， ∵a，b，均为正整数， ∴必须是15的倍数， ∴a必须是15的倍数， ∵燃放时长， ∴当a越小时，燃放的时长越长， ∴， ∴， ∴分别购买 A，B，C型烟花各15、38、3箱时，燃放时间最长． 42．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）某果园要将一批水果运往该县城一家水果加工厂，分两次租用了某物流公司的、两种货车，具体信息如下表所示： 第一次 第二次 型货车辆数 型货车辆数 累计运货量 根据以上信息，解答下列问题： (1)辆型车和辆型车都载满货物一次可分别运多少吨？ (2)该果园现有吨水果，计划同时租用型车辆，型车辆，可一次运完这批水果，且恰好每辆车都载满水果，请你帮该果园设计租车方案． (3)在第（2）问的条件下，若型车每辆需租金元／次，型车每辆需租金元／次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)辆型车载满货物一次可运吨，辆型车载满货物一次可运吨． (2)有种租车方案： 方案一：型车辆，型车辆； 方案二：型车辆，型车辆； 方案三：型车辆，型车辆． (3)租型车辆，型车辆，最少租车费为元． 【分析】（1）设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨，根据题意列出二元一次方程组即可得解； （2）结合两型号车的运量列出，再由，都是正整数进行方案设计即可； （3）根据（2）中的三个方案，分别计算，比较后即可得解． 【详解】（1）解：设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨， 依题意得，，解得， 答：辆型车载满货物一次可运吨，辆型车载满货物一次可运吨． （2）解：由（1）得，， ， ，都是正整数， 或或， 有种租车方案： 方案一：型车辆，型车辆； 方案二：型车辆，型车辆； 方案三：型车辆，型车辆． （3）解：型车每辆需租金元/次，型车每辆需租金元/次， 方案一需租金：元； 方案二需租金：元； 方案三需租金：元； ， 最省钱的租车方案是方案三，租车费用是元． 答：租型车辆，型车辆最省钱，最少租车费为元． 【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程组的实际应用，解题关键是根据题意正确列出二元一次方程组． 【经典例题七 二元一次方程组的应用之行程问题】 43．（24-25六年级下·上海长宁·课后作业）A、B两地相距12km，甲骑电动车从A地出发到B地，与此同时，乙骑电动车从B地出发到A地，两人均保持匀速行驶．已知第10分钟两人相遇，又经过4分钟，甲剩余路程是乙剩余路程的8倍．求甲、乙二人的骑行速度． 【答案】甲的骑行速度为，乙的骑行速度为 【详解】解：设甲的骑行速度为，乙的骑行速度为， 依题意得 解得 答：甲的骑行速度为，乙的骑行速度为． 44．（23-24六年级下·上海闵行·期末）学校和博物馆相距20千米，小明与小强分别从学校和博物馆出发，相向而行．如果小明比小强早出发30分钟，那么在小强出发后2小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么1小时后两人还相距11千米．求小明、小强每小时各走多少千米． 【答案】小明每小时走4千米，小强每小时走5千米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系 ，列方程组求解． 设小明每小时走x千米，小强每小时走y千米，根据小明走小时的路程小强走2小时的路程千米，他们共同走1个小时，俩人走的路程差为11千米，据此列方程组求解． 【详解】解：设小明每小时走x千米，每小时走y千米，根据题意列方程组，得 ， 解这个方程组，得 答：小明每小时走4千米，小强每小时走5千米． 45．（23-24六年级下·上海宝山·期中）小魏和小梁从A、B两地同时出发，小魏骑自行车，小梁步行，沿同条路线相向匀速而行，出发两人相遇，相遇时小魏比小梁多行，相遇后1h小魏到达B地． (1)求两人的速度分别是多少？ (2)求A、B两地的距离是多少？ 【答案】(1)小魏的速度为，小梁的速度为 (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用问题，找到题中的等量关系，列出方程组是解题的关键． （1）设小魏的速度为，小梁的速度为，根据“出发两人相遇，相遇时小魏比小梁多行，相遇后1h小魏到达B地”可列出方程组，求解即可； （2）根据经过相遇时，小魏和小梁走过的路程之和即A、B两地的距离，即可求解； 【详解】（1）设小魏的速度为，小梁的速度为， 则由题意得：， 解得 答：小魏的速度为，小梁的速度为． （2）根据题意可知，A、B两地的距离为经过相遇时，小魏和小梁走过的路程之和，即： 答：A、B两地的距离是． 46．（23-24六年级下·上海静安·期末）小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路．假设他始终保持平路每分钟走60米，下坡路每分钟走80米，上坡路每分钟走40米，则他从家里到学校需10分钟，从学校到家里需15分钟．    (1)小华家离学校多远？ (2)小华从家里到学校到达中点的时间与小华从学校到家里到达中点的时间会一样吗？如果不一样，哪种情况所花的时间更多？请通过计算说明理由． 【答案】(1)小华家离学校700米 (2)小华从学校到家里到达中点的时间比小华从家里到学校到达中点的时间要多一些 【分析】（1）设小华从家里到学校的路是一段平路长为x米，小华从家里到学校的下坡路长为y米，根据小华从家里到学校和从学校到家里的时间列二元一次方程组，求出x与y，并求和即可； （2）先求出中点位置与学校和家里的距离，再分别求出所需时间，比较即可得解． 【详解】（1）解：设小华从家里到学校的路是一段平路长为x米，小华从家里到学校的下坡路长为y米． 由题意得：    解得： ∴． 答：小华家离学校700米； （2）中点距离小华家和学校的距离为：(米)． 小华从家里到学校到达中点所需的时间为：(分钟)； 小华从学校到家里到达中点所需的时间为：(分钟)； ∴小华从学校到家里到达中点的时间比小华从家里到学校到达中点的时间要多一些． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，有理数的混合运算的应用，根据题意列方程组和列算式是解题的关键． 47．（23-24六年级下·上海宝山·期中）一道来自课本的习题： 从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需．甲地到乙地全程是多少？ 根据以上条件，下列解题思路或结论说法正确的有______． ①设上坡路长x千米，平路长y千米，可列方程组． ②根据条件，能求出甲地到乙地的全程是3.1千米． ③列算式即可求出上坡路长． ④设上坡路长x千米，可列方程 【答案】①②④ 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设上坡路长x千米，平路长y千米，根据时间、路程、速度之间的关系列方程组，逐项判断即可． 【详解】解：设上坡路长x千米，平路长y千米， 则，故①正确； 解上述方程组，得， 甲地到乙地的全程：，故②正确； 表示往返所用时间差，表示下坡与上坡速度差，两者之比不能得出上坡路长，故③错误； 设上坡路长x千米，根据上坡、下坡所用时间差等于往返所用时间差，可得，故④正确； 综上可知，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 48．（2024·上海徐汇·一模）周末，小明和他的爸爸来到环形运动场进行跑步锻炼，绕环运动场一圈的路程为400米． (1)若两人同时同起点相向而跑，则经过36秒后首次相遇；若两人同时同起点同向而跑，则经过180秒后，爸爸首次从后面又追上小明，问小明和他的爸爸的速度各为多少？ (2)假设爸爸的速度是6米/秒，小明的速度是5米/秒，两人进行400米赛跑，同时同起点同向出发，等爸爸跑到半圈时，故意降速为4米/秒，按此继续比赛，小明能否在400米终点前追上爸爸，如果能，求追上时距离终点还有多少米；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)小明的速度为，爸爸的速度为 (2)小明能在400米终点前追上爸爸，追上当时距离终点还有 【分析】本题是对二元一次方程组的应用，本题实际上可以理解为相遇问题和追及问题来解决． （1）设小明的速度为，爸爸的速度为，根据题意列二元一次方程组即可； （2）先求出爸爸跑到半圈所用时间为，再求此时小明所跑路程为，小明接下来追上爸爸所需时间，相比较即可． 【详解】（1）解：（1）设小明的速度为，爸爸的速度为， 则依题意得：，于是， ，得，即有：， ，得，即有：， 答：小明的速度为，爸爸的速度为． （2）（2）解：结论：小明能在400米终点前追上爸爸，且追上时距离终点还有． 理由：爸爸跑到半圈所用时间为， 此时小明所跑路程为， 爸爸和小明的距离， 因此小明接下来追上爸爸所需时间， 追上时，小明的爸爸总路程， 因此小明能在400米终点前追上爸爸． 追上当时距离终点还有． 49．（23-24六年级下·上海普陀·阶段练习）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8元/公里 0.3元/分钟 0.8元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元． 小王与小张各自乘坐滴滴快车，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6公里与8.5公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同． (1)求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟； (2)实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点在大厅等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的2倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多7分钟，计算两人各自的实际乘车时间． 【答案】(1)相差19分钟 (2)小王与小张实际乘坐滴滴快车的时间分别为30分钟和11分钟 【分析】本题考查二元一次方程（组）的实际应用，理解题意，正确列出方程（组）是解答的关键． （1）设小王与小张实际乘坐滴滴快车的时间分别为x分钟和y分钟，根据“两人付给滴滴快车的乘车费相同”列方程求解即可； （2）根据题意小张乘车时间短，然后根据“他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的2倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多7分钟” 列方程组求解即可． 【详解】（1）解：设小王与小张实际乘坐滴滴快车的时间分别为x分钟和y分钟， 根据题意，得， 解得， ∵两人实际乘坐滴滴快车的时间即为这两辆滴滴快车的实际行车时间， ∴这两辆滴滴快车的实际行车时间相差19分钟； （2）解：由知小张乘车时间短， 根据题意，，解得， 答：小王与小张实际乘坐滴滴快车的时间分别为30分钟和11分钟． 【经典例题八 二元一次方程组的应用之销售、利润问题】 50．（23-24六年级下·上海长宁·课后作业）某种杂志每册售价4元，邮购该种杂志的邮寄费和优惠方式如下： 邮购册数 100以上（含100） 邮寄费 总书价的 免费邮寄 优惠方式 不优惠 优惠 两次邮购这种杂志共200册，总计金额784元，两次各邮购杂志多少册？ 【答案】两次分别邮购杂志80册、120册 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．首先判断出两次购买数量的范围，设一次邮购纪念册x（）册，第二次邮购纪念册册，根据两次邮购这种杂志共200册，总计金额784元，建立方程组求解即可． 【详解】解：若每次都购买100本，则 ， ∴一次购买少于100本，另一次购买多于100本， 设一次邮购纪念册x（）册，第二次邮购纪念册册， 由题意，得， 整理得：， 解得， 答：两次分别邮购杂志80册、120册． 51．（23-24六年级下·上海崇明·期末）第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”在市场热销．某商场购进“滨滨”和“妮妮”共1000个，总共花费18000元，其中一个“滨滨”进价20元，一个“妮妮”进价15元． (1)求商场购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？ (2)若一个“滨滨”的售价为28元，商场计划售完这批“滨滨”和“妮妮”的利润率是，求一个“妮妮”的售价 【答案】(1)商场购进“滨滨”600个，“妮妮”400个； (2)一个“妮妮”的售价为21元 【分析】（1）设商场购进“滨滨”x个，购进“妮妮”y个，根据某商场购进“滨滨”和“妮妮”共1000个，总共花费18000元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设一个“妮妮”的售价为m元，根据商场计划售完这批“滨滨”和“妮妮”的利润率是，列出一元一次方程，解方程即可． 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【详解】（1）解：设商场购进“滨滨”x个，购进“妮妮”y个， 由题意得：， 解得：， 答：商场购进“滨滨”600个，“妮妮”400个． （2）解：设一个“妮妮”的售价为m元， 由题意得：， 解得：， 答：一个“妮妮”的售价为21元． 52．（24-25六年级下·上海杨浦·阶段练习）某商场购进两种商品，已知购进3件商品比购进4件商品费用多60元；购进5件商品和2件商品总费用为620元． (1)求两种商品每件进价各为多少元？ (2)该商场计划购进两种商品共60件．若商品按每件150元销售，商品按每件80元销售，为满足销售完两种商品后获得的总利润不低于1700元，则购进商品的件数最少为多少？ 【答案】(1)A，B两种商品每件进价分别为100元，60元 (2)17 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设A，B两种商品每件进价各为x元，y元，根据购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元列出方程组求解即可； （2）设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为件，根据利润不低于1700元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设A，B两种商品每件进价分别为x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：A，B两种商品每件进价分别为100元，60元； （2）解：设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为件， 由题意得，， 解得， ∵为商品件数，应为整数， ∴的最小值为，即：购进商品的件数最少17件， 答：购进商品的件数最少17件． 53．（23-24六年级下·上海虹口·期末）辽宁是粮食大省，水稻和玉米是全省其中的两个主要粮食农作物．某工厂将水稻和玉米分别生产加工为大米和玉米糁，大米每袋的生产成本是元，玉米糁每袋的生产成本是元，每日两种产品合计生产袋．（每日生产的大米和玉米糁均为整数袋） (1)若该工厂某日生产成本为元，则两种产品各生产多少袋？ (2)若大米每袋的售价是元，玉米糁每袋的售价是元，该工厂每日所得利润可能是元吗？如果可能，请分别求出每日生产大米和玉米糁的袋数；如果不可能，请说明理由． 【答案】(1)大米生产了袋，玉米糁生产了袋 (2)该工厂每日所得利润不能是元，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设大米生产了x袋，玉米糁生产了y袋，根据“每日两种产品合计生产袋，且该工厂某日的生产成本为元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）假设该工厂每日所得利润能是元，设每日生产大米m袋，玉米糁n袋，根据“每日两种产品合计生产袋，且该工厂每日所得利润能是元”，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之可得出m，n的值，再结合每日生产的大米和玉米糁均为整数袋，可得出假设不成立，即该工厂每日所得利润不能是元． 【详解】（1）解：设大米生产了x袋，玉米糁生产了y袋， 根据题意得：， 解得：． 答：大米生产了袋，玉米糁生产了袋； （2）解：该工厂每日所得利润不能是元，理由如下： 假设该工厂每日所得利润能是元，设每日生产大米m袋，玉米糁n袋， 根据题意得：， 解得：， 又∵每日生产的大米和玉米糁均为整数袋， ∴不符合题意， ∴假设不成立， ∴该工厂每日所得利润不能是2810元． 54．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）法库寒富苹果以果实硕大、酸甜多汁、营养丰富、风味独特而驰名省外，沈阳某特产品商店购进、两种不同包装的寒富苹果共件，总费用为元，这两种包装苹果的进价、售价如表： 包装 包装 进价（元/件） 售价（元/件） (1)该特产品店购进、两种包装的苹果各多少件？ (2)来自外地的王先生到该特产品商店打算购买、两种包装的苹果各件．现在该特产品店在做销售活动： 方案一：打“九折”销售； 方案二：总价“满元减元”， 请问王先生会选择到哪个方案买更优惠？说明理由． 【答案】(1)该特产品店购进包装的苹果50件，包装的苹果件 (2)王先生选择方案二购买更优惠，理由见解析 【分析】（）设该特产品店购进包装的苹果件，包装的苹果件，根据题意列出方程组即可求解； （）求出产品销售活动前购买所需费用，再分别求出销售活动后两种方案购买所需费用，比较即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，有理数混合运算的实际应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：设该特产品店购进包装的苹果件，包装的苹果件， 根据题意得，， 解得， 答：该特产品店购进包装的苹果件，包装的苹果件； （2）解：王先生选择方案二买更优惠，理由如下： （元）， 选择方案一购买所需费用为（元）， 选择方案二购买所需费用为（元）， ， 王先生选择方案二购买更优惠． 55．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）2024年12月4日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”列入联合国教科文组织人类非文化遗产代表作名录．截至目前，我国有44个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录、名册，总数位居世界第一．每逢春节，为了营造喜庆祥和的氛围，家家户户都会挂上红红的灯笼．在春节前夕，某商家购进两种型号的灯笼共100对，共用去3780元，这两种型号的灯笼的进价、售价如下表： 型号 进价（元/对） 售价（元/对） 54 72 27 32 (1)求该商家购进两种型号的灯笼各多少对？ (2)为迎接新春到来，某单位购买两种型号的灯笼（两种型号都购买）共花费336元，请你计算购买两种型号的灯笼各多少对？并计算此时商家获利多少元？ 【答案】(1)购进种型号的灯笼40对，种型号的灯笼60对 (2)购进种型号的灯笼2对，种型号的灯笼6对，此时商家获利66元 【分析】本题主要查了二元一次方程组的应用，根据题意，列出方程组或方程是解题的关键： （1）设商家购进种型号的灯笼a对，种型号的灯笼b对，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设商家购进种型号的灯笼x对，种型号的灯笼y对，根据题意，列出方程，再由x，y均为正整数，即可求解． 【详解】（1）解：设商家购进种型号的灯笼a对，种型号的灯笼b对，根据题意得： ， 解得：， 答：商家购进种型号的灯笼40对，种型号的灯笼60对； （2）解：设商家购进种型号的灯笼x对，种型号的灯笼y对，根据题意得： ， 即， ∵两种型号都购买， ∴x，y均为正整数， 当时，不为整数； 当时，，符合题意； 当时，不为整数； 当时，，不为整数；不符合题意； 当时，，不符合题意； ∴购进种型号的灯笼2对，种型号的灯笼6对， 此时商家获利元． 答：购进种型号的灯笼2对，种型号的灯笼6对，此时商家获利66元． 56．（23-24六年级下·上海宝山·期末）诸暨枫桥盛产香榧，香榧具有驱虫、补充能量、润肠通便的功效．某同学对某个体户A加工销售的香榧及某企业B加工销售的香榧做了初步的调查，得出以下表格． 香榧重量（克/盒） 成本（元/盒） 售价（元/盒） 销售方式 个体户A 1000 100 每盒单售 企业B 640 60 10盒/箱， 整箱批发销售 (1)求个体户A加工销售的香榧每克利润（每克利润总利润总重量） (2)已知个体户A加工销售的香榧和企业B加工销售的香榧单克利润相等，求的值； (3)某商店C从企业B批发购入7箱香榧，在网店进行分盒售卖，售卖单价为180元/盒，并以“售价每满（大于等于）300元减30元”进行促销，分多次交易全部售罄．其中某次交易的单盒平均利润为元，则该次交易的销售数量可能为多少盒？ 【答案】(1)个体户A加工销售的香榧每克利润为元； (2) (3)该次交易的销售数量可能为盒，盒，盒，盒． 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，二元一次方程的正整数解的应用； （1）由每克利润总利润总重量，再列式计算即可； （2）由每克利润总利润总重量，列式表示企业B加工销售的香榧单克利润，再建立方程求解即可； （3）先求解商店从企业共购入盒，设该次交易的销售数量为盒，当售价不满元时，可得，此时方程无解；当售价大于或等于元时，设满减元，此时，且，可得，再利用方程的正整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得：（元/克） ∴个体户A加工销售的香榧每克利润为元； （2）解：由题意可得：， 解得：； （3）解：由题意可得：商店从企业共购入（盒）， 设该次交易的销售数量为盒， 当售价不满元时，则 ， 此时方程无解； 当售价大于或等于元时，设满减元， 此时， ∴， ∴， ∵都为正整数，且， ∴①，， ②，， ③，， ④，， ⑤，，此时总售价为（元），而，不符合题意，舍去， ∴该次交易的销售数量可能为盒，盒，盒，盒． 【经典例题九 二元一次方程组的应用之几何问题】 57．（23-24六年级下·上海徐汇·期中）如图，在长为10米，宽为8米的长方形空地中，沿平行于长方形各边方向分割出三个能完全重合的小长方形作为生物兴趣小组的实验基地．求每个小长方形的长和宽． 【答案】长为4米，宽为2米 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，先设小长方形的长为x米，宽为y米，根据图形可以得出，，由这两个方程构成方程组求出其解即可． 【详解】解：设长方形的长为米，宽为米． 依题意得： 解得：． 经检验，符合题意 长方形的长为4米，宽为2米． 58．（23-24六年级下·上海闵行·期中）小明在拼图时，发现8个大小一样的长方形，恰好可以拼成如左图所示的一个大的长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如右图所示的正方形．但是中间还留下了一个小洞，恰好是边长为的小正方形!你能求出这些长方形的长和宽吗?．若能，请写出过程；若不能，请说出理由． 【答案】能，长宽分别为，，理由见解析 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设这些长方形的长和宽分别为，，根据长和宽的关系得到二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：能求出这些长方形的长和宽， 理由如下：设这些长方形的长和宽分别为，， 根据两个图形可得：， 解得， 答：这些长方形的长和宽分别为，． 59．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）列二元一次方程组解决问题：据统计，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是，如图所示，现要把一块长200米宽70米的长方形土地（），分为两块小长方形土地，上方小长方形种植甲种作物，下方小长方形种植乙种作物，怎样设计和的长度，使得甲、乙两种作物的总产量的比是？ 【答案】米，米 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，设甲种作物种植x平方米，乙种作物种植y平方米，根据题意，列出二元一次方程组，解二元一次方程组，进而根据矩形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：设甲种作物种植x平方米，乙种作物种植y平方米， 由题意得：， 解得：， 长方形土地的长为200米， （米），（米）， 当米，米时，使得甲、乙两种作物的总产量的比是． 60．（23-24六年级下·上海静安·阶段练习）如图，某校劳动小组计划利用已有的一堵长为6m的墙，用篱笆围成一个面积为的矩形劳动基地ABCD，边AD的长不超过墙的长度，在BC边上开设宽为1m的门EF（门不需要消耗篱笆）．设AB的长为x（m），BC的长为y（m）． (1)若围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长为10m，求AB和BC的长度． (2)若AB和BC的长都是整数（单位：m），且围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长小于10m，请直接写出所有满足条件的围建方案． 【答案】(1)AB＝4，BC＝3 (2)AB＝2，BC＝6或AB＝3，BC＝4 【分析】（1）根据；篱笆总长和门的长表示出AB、BC，列出方程即可． （2）根据围成矩形三边的篱笆总长小于10列出不等式，再由x和y为整数且xy=12确定出满足题意的方案． 【详解】（1）根据题意得：，即． 代入得：，整理得：． 解得：或． 当时，，不符合题意；当时，，符合题意． 则AB=4,BC=3． （2）根据题意得：，即． ∵AB，BC为整数，即x，y为整数，且． ∴当y=6时，x=2；当y=4时，x=3． 则满足条件的围建方案为：AB=2,BC=6或AB=3,BC=4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解题的关键． 61．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）（1）如图1，宽为48cm的长方形由8个形状、大小相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为______； （2）如图1，图2，都是由8个形状、大小相同的小长方形拼（围）成的大矩形，且图2中的阴影部分（小矩形）的面积为，则小长方形的长为______cm； （3）如图3，在长方形中放置9个形状、大小相同的小长方形，求所有阴影部分面积的和．（说明：图中的单位为cm） 【答案】（1）540；（2）5；（3）738 【分析】（1）设这8个大小一样的小长方形的长为，宽为，根据图形中线段的关系可得方程； （2）设这8个大小一样的小长方形的长为，宽为．根据图1中3个长度=5个宽度，及小矩形的边长为1cm列出方程组； （3）设小长方形宽为，长为，由图可知大长方形长为，宽为，根据题中数据列出方程组求解即可． 【详解】解：（1）设这8个大小一样的小长方形的长为，宽为． ， 解得， ∴一个小长方形的面积为， 故答案为：540； （2）设这8个大小一样的小长方形的长为，宽为，由图可知，中间小正方形是边长为的小正方形， ， 解得， ∴小长方形的长为5cm； 故答案为：5； （3）设小长方形宽为，长为， 由图可知大长方形长为，宽为， 则， 解得， ∴大长方形的宽为48cm， 所有阴影部分面积的和． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解图形中各线段之间的关系列出方程组是解题的关键． 62．（23-24六年级下·上海宝山·期末）综合与实践 【问题情境】我们规定，如果一个长方形内部能用一些正方形（或长方形）铺，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美长方形”，图1和图2的大长方形都是“优美长方形”．      【初步感知】 （1）如图1，“优美长方形”是由5块小正方形铺成的，若“优美长方形”的周长为，求正方形的边长； 若设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为． 依题意可列方程 ， 解得 ， 正方形的边长为 ． 【解决问题】 （2）如图2，“优美长方形”是由8块相同的小长方形铺成的，若图1和图2的两个“优美长方形”的宽相同，即，求图2中每块小长方形的面积； 【深入探究】 （3）如图3，“优美长方形”是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形铺成的（既不重叠，又无缝隙），其中长方形和正方形的周长相等，正方形的边长为，，求“优美长方形“的长． 【答案】（1）；；；（2）；（3） 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程的应用，线段的和差计算，正确理解题意，找出数量关系是解题关键． （1）设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，根据长方形周长列一元一次方程求解即可； （2）由题意可知，图2中小长方形的长和宽分别为和，根据图2得出的小长方形的长和宽关系，列二元一次方程求解即可； （3）由正方形的边长可知，再由，得出，即可求出的长． 【详解】（1）解：若设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为． 依题意可列方程， 解得， 正方形的边长为， 故答案为：；；； （2）解：由图1可知，， ， 设图2中小长方形的长和宽分别为和， 则，解得：， 图2中每块小长方形的面积为； （3）解：正方形的边长为， ， ， ， ， ， ． 63．（23-24六年级下·上海闵行·期中）某企业用规格是的标准板材作为原材料，按照图①所示的裁法一和裁法二，分别裁剪出甲型与乙型两种板材（单位：）． (1)求出图①中与的值． (2)在试生产阶段，若将张标准板材按裁法一裁剪，张标准板材按裁法二裁剪，裁剪后将得到的甲型与乙型板材做侧面或底面，做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的装饰盒若干个（接缝处的长度忽略不计）． ①一共可裁剪出甲型板材_______________张，乙型板材________________张； ②设做成的竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个，根据题意完成表格： 礼品盒板材 竖式无盖（个） 横式无盖（个） 甲型（张） 乙型（张） ③恰好一共可以做出竖式和横式两种无盖装饰盒子________________个．（在横线上直接写出答案） 【答案】(1)， (2)①，；②甲型：，；乙型：，；③． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量 关系，列出二元一次方程组． （1）根据裁法一和裁法二裁出甲、乙的张数及剩余，可得出关于、的二元一次方程组，即可求解； （2）①由裁法一裁出2张甲和一张乙，裁法二裁出一张甲和2张乙，结合标准板材即可求解；②根据制作一个竖式无盖需要甲和张乙，制作一个横式无盖需要甲和张乙，即可求解；③根据甲、乙裁出的张数列二元一次方程组即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， ，； （2）①一共可裁剪出甲型板材；（张）， 乙型版：（张）， 故答案为：，； ②甲型：，；乙型：，； ③根据题意得：， 解得：， ， 故答案为． 学科网（北京）股份有限公司 $$