精品解析：湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题

湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年 高三下学期3月月考数学试卷 一、单选题 1. 集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 3. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为，则第六个单音的频率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，，，点P在所在平面内，且满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 6. 在等差数列中，，则的最小值等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，其图象如图所示，则的解集为（ ） A. B. C D. 8. 在棱长为2的正方体中，P，Q，R分别为线段，，上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5 二、多选题 9. 已知关于变量x，y4组数据如表所示： x 6 8 10 12 y a 10 6 4 根据表中数据计算得到x，y之间的线性回归方程为，x，y之间的相关系数为r（参考公式：），则（ ） A B. 变量x，y正相关 C. D. 10. 设直线与圆，则下列结论正确的为（ ） A. 可能将的周长平分 B. 若圆上存在两个点到直线的距离为1，则的取值范围为 C. 若直线与圆交于两点，则面积的最大值为2 D. 若直线与圆交于两点，则中点的轨迹方程为 11. 若是函数的极值点，则下列结论不正确的是（ ） A. 有极大值-1 B. 有极小值-1 C 有极大值0 D. 有极小值0 三、填空题 12. 某对新婚夫妇响应国家号召，计划生育3个孩子．假设每胎只有一个小孩，且每胎生男生女的概率相等，记事件为“该夫妇儿女双全”，则________． 13. 已知函数，.若存在，使得关于x的方程有四个不相等的实数解，则n的最大值为_______. 14. 若直线与曲线相切，则的取值范围为______. 四、解答题 15. 现有两组数据，组：组：.先从组数据中任取3个，构成数组，再从组数据中任取3个，构成数组，两组抽取的结果互不影响. （1）求数组的数据之和不大于8且数组的数据之和大于8的概率； （2）记，其中表示数组中最小的数，表示数组中最大的数，求的分布列以及数学期望. 16. 随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，为某区的一条健康步道，、为线段，是以为直径的半圆，，，. （1）求BC的长度； （2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道（B，D在两侧），其中，为线段.若，求新建的健康步道的路程最多可比原有健康步道的路程增加多少长度?（精确到0.01km） 17. 如图，四棱锥中，底面为梯形，，点为的中点，且，点在上，且. （1）求证://平面 （2）若平面平面，且，求三棱锥的体积. 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有且仅有3个零点，求实数的取值范围. 19. 已知直线与平面所成的角为，动点在平面内，如果点到直线的距离总是，则点的轨迹为椭圆，如图所示．以该椭圆的中心为坐标原点，长轴所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求椭圆的方程； （2）设A，B分别为椭圆的左、右顶点，动点在直线上，直线QA交椭圆于另一点，直线QB交椭圆于另一点，探究：直线MN是否经过一定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年 高三下学期3月月考数学试卷 一、单选题 1. 集合，集合，则（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简集合A，B，再利用集合的交集运算求解. 【详解】解：因为，而， 所以. 故选：A 2. 若复数，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得共轭复数，再利用复数模长的性质即可求解. 【详解】解：复数，所以 ， 故选：C. 3. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为，则第六个单音的频率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解. 【详解】因为每一个单音与前一个单音频率比为， 所以，故， 又，则 故选：C. 4. 已知点，，，点P在所在平面内，且满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】题意说明是外心，求出点坐标后，由射影向量的定义求解． 【详解】设，则得： ，解得，即， ， ，， 所以在上的投影向量为． 故选：B． 5. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象求出，即可求出，再根据函数过点，求出，即可求出函数解析式，再代入计算可得. 【详解】依题意可得，所以，又，所以，解得， 所以，又函数过点，则， 又，所以，所以，则， 所以，则. 故选：D 6. 在等差数列中，，则的最小值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，则，利用等差数列的性质以及等差数列的通项公式可得，再利用直线与（圆上以及圆内的部分）有公共点，圆心到直线的距离，解不等式即可求解. 【详解】设，，则， 因为是等差数列，所以， 所以 ， 所以，求的最小值， 由题意可得：直线与（圆上以及圆内的部分）有公共点， 圆心到直线的距离， 即，所以，可得， 故选：C． 7. 已知函数的定义域为，其图象如图所示，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象分段判断即可. 【详解】由图可知，当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 故的解集为， 故选：A. 8. 在棱长为2的正方体中，P，Q，R分别为线段，，上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】过作于，作于，设，把表示为的函数，再利用导数求出函数最小值即得. 【详解】在正方体中，，在平面内过作于，作于， 设，显然，则， 四边形为矩形，于是， 由，得平面，由，得平面， 则，当确定后，最小时，最小，当时，最小， 而，则， 同理，当确定后，最小，最小，则当时，最小， 而，则， 因此，令， 求导得，由，得， 当时，，当时，，即函数在上递减，在上递增， 则，所以的最小值为. 故选：A 【点睛】关键点点睛：过作出所在正方形面的垂线，再分析求出函数关系式是解决本问题的关键. 二、多选题 9. 已知关于变量x，y的4组数据如表所示： x 6 8 10 12 y a 10 6 4 根据表中数据计算得到x，y之间的线性回归方程为，x，y之间的相关系数为r（参考公式：），则（ ） A. B. 变量x，y正相关 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据回归直线必过点解得，所以选项A正确；由回归方程和表格可知选项B错误；利用相关系数求出，所以选项C正确，选项D错误. 【详解】回归直线必过点，，，解得，所以选项A正确； 由回归方程和表格可知，变量x，y负相关，所以选项B错误； ，所以选项C正确，选项D错误. 故选：AC 10. 设直线与圆，则下列结论正确的为（ ） A. 可能将的周长平分 B. 若圆上存在两个点到直线的距离为1，则的取值范围为 C. 若直线与圆交于两点，则面积的最大值为2 D. 若直线与圆交于两点，则中点的轨迹方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据圆心在直线上判断A，根据直线与圆的位置关系判断B，根据三角形面积公式判断C，根据几何法求出点M的轨迹方程即可判断D. 【详解】对于，若直线将圆的周长平分，则直线过原点，此时直线的斜率不存在，错误； 对于B，若圆上存在两个点到直线的距离为1，则到直线的距离满足， 所以，解得或，B正确； 对于C，， 当时，的面积有最大值2，C正确； 对于，易知直线经过定点，所以，所以点的轨迹以为直径的圆， 其方程为，又因为点在圆内，由，解得， 所以点轨迹方程为，D错误. 故选：BC. 11. 若是函数的极值点，则下列结论不正确的是（ ） A. 有极大值-1 B. 有极小值-1 C. 有极大值0 D. 有极小值0 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据极值定义得a，再求导函数零点，根据导函数符号变化规律确定极值. 【详解】解：因为是函数的极值点，所以 ， 当时，当时，因此有极大值，无极小值 故选：BCD. 三、填空题 12. 某对新婚夫妇响应国家号召，计划生育3个孩子．假设每胎只有一个小孩，且每胎生男生女的概率相等，记事件为“该夫妇儿女双全”，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，利用列举法求得基本事件的总数，结合对立事件的概念，即可求解. 【详解】由题意知，基本事件为：{男男男}，{男男女}，{男女男}，{女男男}，{女女男}，{女男女}，{男女女}，{女女女}，共8种情况， 其中的对立事件为“该夫妇的3个孩子全是男孩或者全是女孩”，有{男男男}，{女女女}，共2种情况，所以概率为． 故答案为：. 13. 已知函数，.若存在，使得关于x的方程有四个不相等的实数解，则n的最大值为_______. 【答案】2 【解析】 【分析】 由题意得，令，，显然为偶函数，则方程有四个实根函数，x＞0有两个零点，令，x＞0，则关于t的方程，即在内有两个不相等的实根，结合函数的图象可得，由此可求出答案． 【详解】解：方程， 令，，则显然为偶函数， ∴方程有四个实根函数，x＞0有两个零点， 令，x＞0，则关于t的方程， 即在内有两个不相等的实根， 结合函数，图象，得， 即， ∵存在，使得， ∴，结合，得， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查函数与方程，考查方程的实数解个数问题，考查转化与化归思想，属于中档题． 14. 若直线与曲线相切，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】借助导数的几何意义计算可得，借助导数得到函数的值域即可得解. 【详解】对于，有，令切点为，则切线方程为，即， 即有， 令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故， 又当趋向于正无穷大时，趋向于负无穷大， 故，即. 故答案：. 四、解答题 15. 现有两组数据，组：组：.先从组数据中任取3个，构成数组，再从组数据中任取3个，构成数组，两组抽取的结果互不影响. （1）求数组的数据之和不大于8且数组的数据之和大于8的概率； （2）记，其中表示数组中最小的数，表示数组中最大的数，求的分布列以及数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据古典概型运算公式，结合对立事件的概率公式、概率的乘法公式进行求解即可； （2）根据古典概型运算公式，结合数学期望公式进行求解即可. 【小问1详解】 记“数组的数据之和不大于8”为事件，“数组的数据之和大于8”为事件， 则， 事件包含的数组有：、、、、、，共组， ，故所求概率. 【小问2详解】 依题意，的可能取值为； ， ， 则的分布列为 1 2 3 4 则. 16. 随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，为某区的一条健康步道，、为线段，是以为直径的半圆，，，. （1）求BC的长度； （2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道（B，D在两侧），其中，为线段.若，求新建的健康步道的路程最多可比原有健康步道的路程增加多少长度?（精确到0.01km） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求得； （2）利用余弦定理和基本不等式求得新建健康步道的最长路程，由此求得增加的长度. 【小问1详解】 联结，在中，由余弦定理可得， ， 所以的长度为； 【小问2详解】 记，则在中，由余弦定理可得： ，即， 从而 所以，则，当且仅当时，等号成立； 新建健康步道的最长路程为， 故新建的健康步道的路程最多可比原有健康步道的路程增加 17. 如图，四棱锥中，底面为梯形，，点为的中点，且，点在上，且. （1）求证://平面 （2）若平面平面，且，求三棱锥体积. 【答案】（1）详见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）如图所示，取的中点，连结、，所以根据线面平行的判定定理即可证明；（2）利用等体积转化得到，计算体积. 【详解】（1）如图所示，取的中点，连结、， 因为点为的中点，且，所以且， 因为，所以，所以， 又因为，所以，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以∥平面； （2）， ，， 平面平面，且平面平面， ，取的中点，连结，则平面， ，, 【点睛】本题考查线面平行，几何体体积，重点考查推理，转化，计算能力，属于中档题型. 方法点睛：不管是证明面面平行，还是证明线面平行，都需要证明线线平行，证明线线平行的几种常见形式，1.利用三角形中位线得到线线平行；2.构造平行四边形；3.构造面面平行. 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有且仅有3个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）见详解； （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，注意分类讨论即可； （2）结合（1）的结论及零点存在性定理计算即可. 【小问1详解】 由题意可得， ①若，则，即函数在R上单调递增， ②若，令，即， 令或， 即函数在上单调递减，在和上单调递增， 综上：时，函数在R上单调递增；时，函数在上单调递减，在和上单调递增. 【小问2详解】 由（1）知，欲满足题意则需： ， 当时， 当时，， 即函数存在三个零点从小到大分布在区间上， 故实数的取值范围为. 19. 已知直线与平面所成的角为，动点在平面内，如果点到直线的距离总是，则点的轨迹为椭圆，如图所示．以该椭圆的中心为坐标原点，长轴所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求椭圆的方程； （2）设A，B分别为椭圆的左、右顶点，动点在直线上，直线QA交椭圆于另一点，直线QB交椭圆于另一点，探究：直线MN是否经过一定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】（1） （2）直线经过轴上一定点，定点的坐标为 【解析】 【分析】（1）首先确定到直线的距离为的点的轨迹，再根据几何关系，确定椭圆的长轴和短轴长，即可求解椭圆方程； （2）首先设直线的方程，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，并根据直线和过点，得到等量关系式，再根据韦达定理进行整理，即可求解定点坐标. 【小问1详解】 在空间中，到直线的距离为的点的轨迹是以直线为轴，底面半径为的圆柱形曲面，平面截该圆柱形曲面形成椭圆， 设椭圆的方程为， 由题意知，椭圆的短半轴长为， 由直线与平面所成的角为，知椭圆的长半轴长为， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 由图形的对称性，知若直线经过顶点，则定点必在轴上， 假设直线经过轴上一定点， 当直线的倾斜角不为0时，设直线的方程为， 由，得， 设，， 则，， 直线的方程为，直线的方程为， 由题意知，直线与直线相交于点，且点在直线上， 所以，即， 所以， 所以， 所以， 由，得， 代入，得， 即，（*） 当时，（*）式恒成立，所以， 当直线的倾斜角为0时，经检验，也过点， 所以直线经过轴上一定点，定点的坐标为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用直线和的交点在直线上，得到等式，化简等式为本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$