精品解析：新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州2024～2025学年下学期九年级第一次模拟数学试卷

昌吉州2024-2025学年九年级诊断性测试 数学试卷 满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的指定位置上． 2．选择题在答题卡上用2B铅笔填涂，非选择题用黑色签字笔在答题卡相应区域内直接作答，写在试卷、草稿纸上无效． 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分．每小题只有一项正确） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列图标中，可看作轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 小明与小亮要到科技馆参观小明家、小亮家和科技馆的方位如图所示，则科技馆位于小亮家的（　　） A. 南偏东方向 B. 北偏西方向 C. 南偏东方向 D. 北偏西方向 5. 如图，在平面直角坐标系中，的直角边与反比例函数的图象交于点，若点为的中点，的面积为4，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 《九章算术》是我国古代的数学名著，其中有这样一个问题：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长10寸”，译为：拱高寸，弦寸，则圆柱形木材直径是（ ） A. 12寸 B. 13寸 C. 24寸 D. 26寸 7. 习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．图书管理员用3600元购买若干套“四大名著”后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，因此又用2400元购买了第二批该套书，此时正赶上图书城八折优惠，于是第二批购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点A、B两点．结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③连接，的面积是12.5；④对于抛物线，当时，的取值范围是．其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在题中的横线上）． 9. 因式分解：______． 10. 已知关于x的方程的一个根是，则它的另一根是________． 11. 如图，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是______． 12. 不等式组的最小整数解为________． 13. 如图，正六边形的边长为1，以点A为圆心，为半径画弧，得到扇形（阴影部分）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是________． 14. 如图1，在矩形中，，E是 边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 15. （1）计算：； （2）化简：． 16. （1）解方程：； （2）如图，在中， ，． ①在BC边上求作一点N，使得；（不写作法，保留作图痕迹） ②在①的条件下，求证：． 17. 为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所给信息解答下列问题： （1）这次抽样调查共抽取 人，条形统计图中的 ，并补全条形统计图； （2）该校有1200名学生，估计该校学生答题成绩为A等和B等共有多少人； （3）学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 18. 如图， ，点E，F在 上，且． （1）求证： ； （2）连接，求证：四边形为平行四边形． 19. 头屯河大桥是连通乌昌的交通要道．某数学小组想利用无人机测量头屯河大桥桥面距水面的高度，制定了如下测量方案：当无人机位于水面上方62米的N处时，测得桥面正中心A的俯角为，将无人机水平向左移动91米到达M处，测得点A的俯角为，并抽象出如图所示的数学图形．请利用以上信息求头屯河大桥桥面距水面的高度．（参考数据：，，）． 20. 某批发市场批发甲，乙两种水果，经市场调查发现，甲种水果的销售利润（万元）与进货量x（吨）（）之间满足正比例函数关系，如图1；乙种水果的销售利润（万元）与进货量x（吨）（）之间满足二次函数关系，如图2；部分数据如图所示． （1）分别求，与x之间的函数表达式； （2）如果市场准备进甲，乙两种水果共10吨，求这两种水果各进多少吨时，获得的销售利润总和最大． 21. 如图，为的直径，C为上一点，连接 、，点F为上一点，且，延长于点E，使得，延长、交于点D． （1）求证： 是的切线； （2）若，，求的长． 22. 如图，在中，，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以点C为顶点作，使得 ，连接． 【特例感知】 （1）如图1，若，，则与 之间的位置关系是 ，数量关系是 ． 【类比迁移】 （2）如图2，若，猜想与 之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，连接 ，若点F与点C关于 对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y．求y与x的函数表达式，并求出y的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昌吉州2024-2025学年九年级诊断性测试 数学试卷 满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的指定位置上． 2．选择题在答题卡上用2B铅笔填涂，非选择题用黑色签字笔在答题卡相应区域内直接作答，写在试卷、草稿纸上无效． 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分．每小题只有一项正确） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较方法是解题的关键. 根据有理数的大小比较法则比较即可. 【详解】解：， 最小的数是， 故选：C. 2. 在下列图标中，可看作轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴对各选项一一进行分析即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂乘法、积的乘方及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据合并同类项法则、同底数幂乘法法则、积的乘方及幂的乘方法则逐一计算即可得答案． 【详解】A． ，故该选项计算错误，不符合题意， B． ，故该选项计算正确，符合题意， C． ，故该选项计算错误，不符合题意， D． ，故该选项计算错误，不符合题意， 故选：B． 4. 小明与小亮要到科技馆参观小明家、小亮家和科技馆的方位如图所示，则科技馆位于小亮家的（　　） A. 南偏东方向 B. 北偏西方向 C. 南偏东方向 D. 北偏西方向 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义和平行线的性质是正确解决本题的关键． 作，根据平行线的性质得，再根据，可得，根据方向角的定义即可得到答案． 【详解】解：如图，作， 则， ， ， ， ， 科技馆位于小亮家的南偏东方向， 故答案为：A． 5. 如图，在平面直角坐标系中，的直角边与反比例函数的图象交于点，若点为的中点，的面积为4，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根据反比函数k的几何意义求k值，三角形面积的计算，解题的关键是根据中线的性质求得的面积． 根据线段中点定义得，再由可得，根据反比例函数系数k的几何意义得，以此即可求解． 【详解】解：∵C为的中点， ∴， ∴， ∴，即， ∵反比例函数图象在第一象限， ∴． 故选：A． 6. 《九章算术》是我国古代的数学名著，其中有这样一个问题：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长10寸”，译为：拱高寸，弦寸，则圆柱形木材直径是（ ） A. 12寸 B. 13寸 C. 24寸 D. 26寸 【答案】D 【解析】 【分析】此题考直的是垂径定理及勾股定理的应用，解题的关键是掌据垂径定理和利用勾股定理列方程， 拫据垂径定理倡出（寸），在中，的长为寸，则，据此列方程求出答案即可， 【详解】解：1尺寸． 根据题意可得（寸）． 设圆的半径为R寸， 在，的长为寸， 则 ∴这块圆柱形木材的直径是：（寸）． 故选：D． 7. 习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．图书管理员用3600元购买若干套“四大名著”后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，因此又用2400元购买了第二批该套书，此时正赶上图书城八折优惠，于是第二批购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据第二批购买的套数只比第一批少4套，列出方程即可． 【详解】解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则第二批购买的“四大名著”每套的价格为元， 由题意，得：； 故选B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点A、B两点．结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③连接，的面积是12.5；④对于抛物线，当时，的取值范围是．其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象特征、二次函数与方程、不等式（组）之间的关系，掌握数形结合的思想是解题的关键． ①根据函数的图象特征即可判断；②根据二次函数与二次方程根的关系即可判断；③运用三角形面积公式计算即可判断；④由图象和③可得出二次函数的对称轴，再结合函数图像即可确定得取值范围，从而判定④． 【详解】解：①∵直线与抛物线相交于点A，B， ∴由图象可知：当时，直线在抛物线的上方， ∴，即①正确； ②由图象可知：抛物线与x轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根． ∴是方程的一个解，即②正确； ③ ，即③错误； ④由③可得抛物线的解析式为：， ∴当时，有最小值， ∵ ∴由函数图象可知：当时，有最大值5， ∴当时，的取值范围是，即④错误． 综上，正确的有2个． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在题中的横线上）． 9. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，掌握提取公因式法，公式法因式分解是关键，先提取公因式，再运用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 已知关于x的方程的一个根是，则它的另一根是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知方程的解的定义及方程的解法． 把代入方程求出的值即可求解． 【详解】解：把代入方程，得， 解得， 把代入原方程，得， 解得． 故答案为：2． 11. 如图，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．利用树状图列举出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率． 【详解】解：用树状图表示所有可能出现的结果有： ∴能让灯泡发光的概率， 故答案为：． 12. 不等式组的最小整数解为________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则，求出不等式组的解集是解题的关键． 求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可求出最小整数解． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集为， 最小整数解是0， 故答案为：0． 13. 如图，正六边形的边长为1，以点A为圆心，为半径画弧，得到扇形（阴影部分）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆及圆锥的计算，解题的关键是求得正六边形的内角的度数，并理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用圆㩁的底面圆周长是扇形的长计算即可． 【详解】解：正六边形的外角和为， ∴每一个外角的度数为， ∴正六边形的每个内角的度数为， 设这个圆的底面圆的半径是， 根据题意得，， 解得， 故答案为：． 14. 如图1，在矩形中，，E是 边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象问题，根据题意求出函数关系式是解题关键． 首先推导出，利用三角形相似求出关于的函数关系式，根据函数关系式进行分析求解． 【详解】解：，， ． ， ． ， ． ， ， ， 设，则， 整理得， 由图象可知，点从点运动到点的过程中，关于的函数图象为抛物线，且顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 抛物线过点， ， 解得， ， ， ． 故答案为∶5． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 15. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查特殊三角函数值、算术平方根以及绝对值的运算，解题的关键是牢记特殊三角函数值，掌握算术平方根和绝对值的计算规则． （1）分别计算式子中三角函数值、算术平方根、绝对值，再按照实数运算规则进行计算； （2）先利用完全平方公式展开，利用平方差公式展开，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16. （1）解方程：； （2）如图，在中， ，． ①在BC边上求作一点N，使得；（不写作法，保留作图痕迹） ②在①的条件下，求证：． 【答案】（1） （2）①解：如图，点即为所求； ②证明：连接， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴°， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【详解】本题考查一元一次方程的求解，作图，等腰三角形的性质以及含30度角的直角三角形，关键是正确画出图形，掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． （1）先去括号，再通过移项把含未知数的项移到等号一边，常数项移到等号另一边，然后合并同类项，最后将未知数的系数化为1来求解方程； （2）①作线段的垂直平分线交于点，点即为所求； ②根据等腰三角形的性质计算出的度数，再计算出的度数，然后根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，可得，进而得到． 【解答】（1）解： 去括号： 移项： 合并同类项： 系数化为 1 ：； （2）①略 ②略 17. 为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所给信息解答下列问题： （1）这次抽样调查共抽取 人，条形统计图中的 ，并补全条形统计图； （2）该校有1200名学生，估计该校学生答题成绩为A等和B等共有多少人； （3）学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 【答案】（1）50，7， 补全条形统计图如图所示： （2）672 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查条形及扇形统计图，通过树状图或列表法求概率，理解题意，熟练掌握这些知识点是解题关键． （1）用B等级的人数除以其所占百分比，即可求出抽取的总人数，用抽取总人数乘以成绩为D等级所占百分比，即可求出m的值，用抽取总人数乘以A等级的人数所占百分比，求出成绩为A等级的人数，即可补全条形统计图； （2）用全校人数乘以成绩为A等级和B等级人数所占百分比，即可求解； （3）根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：（人）， ， 成绩为C等级人数所占百分比：， 成绩为A等级的人数：（人）， 图略； 故答案为：50，7； 【小问2详解】 解：（人）， 答：该校学生答题成绩为A等级和B等级共有672人； 【小问3详解】 解：根据题意，列出表格如下：    第一名第二名 甲 乙 丙 丁 甲 甲乙 甲丙 甲丁 乙 乙甲 乙丙 乙丁 丙 丙甲 丙乙 丙丁 丁 丁甲 丁乙 丁丙 由表可知，一共有12种情况，抽出的两名学生恰好是甲和丁的有2种情况， ∴抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 18. 如图， ，点E，F在 上，且． （1）求证： ； （2）连接，求证：四边形为平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由，根据平行线的性质可得对应内错角相等，由，结合线段和差关系推出，结合已知，使用全等判定定理证明三角形全等； （2）利用的结论，可得对应边，对应角相等，由对应角相等推出，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”完成证明． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 证明：如图： 由（1）知，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴四边形是平行四边形． 19. 头屯河大桥是连通乌昌的交通要道．某数学小组想利用无人机测量头屯河大桥桥面距水面的高度，制定了如下测量方案：当无人机位于水面上方62米的N处时，测得桥面正中心A的俯角为，将无人机水平向左移动91米到达M处，测得点A的俯角为，并抽象出如图所示的数学图形．请利用以上信息求头屯河大桥桥面距水面的高度．（参考数据：，，）． 【答案】23米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形求解． 延长交于点C， 设米，则米，则，，列出方程求出x的值，即可解答． 【详解】解：延长交于点C，如图 由题意得 设米，则米 在中 ∴ 在中，∵， ∴ ∴ 解得： ∴米，米 答：头屯河大桥桥面距水面的高度为23米． 20. 某批发市场批发甲，乙两种水果，经市场调查发现，甲种水果的销售利润（万元）与进货量x（吨）（）之间满足正比例函数关系，如图1；乙种水果的销售利润（万元）与进货量x（吨）（）之间满足二次函数关系，如图2；部分数据如图所示． （1）分别求，与x之间的函数表达式； （2）如果市场准备进甲，乙两种水果共10吨，求这两种水果各进多少吨时，获得的销售利润总和最大． 【答案】（1）； （2）甲、乙两种水果的进货量分别为4吨和6吨时，获得的销售利润之和最大 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，正比例函数的应用等知识， （1）由题意设，设，再利用待定系数法求解解析式即可； （2）设乙种水果进货m吨，则甲种水果进货吨，10吨水果销售利润之和为W万元，根据题意，，再根据二次函数最值的求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：设， 把，代入可得：， 解得：， ∴， 设， ∴， 解得， ∴， 【小问2详解】 解：设乙种水果进货m吨，则甲种水果进货吨，10吨水果销售利润之和为W万元， 根据题意，， ∵， ∴当时，W的最大值为， ∴， 答：甲、乙两种水果分别进货4吨，6吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是万元． 21. 如图，为的直径，C为上一点，连接、，点F为上一点，且，延长于点E，使得，延长、交于点D． （1）求证： 是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆与三角形的综合，掌握圆的切线的性质，三角形相似的判定与性质是解题的关键， （1）如图所示，连接，可证，根据为的切线，，即可求证； （2）根据（1）中，设的半径为，可证，可算出的半径，根据三角形的相似即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， 设，则， ∴， 设的半径为，则，，， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∵ ∴， ∴． 22. 如图，在中，，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以点C为顶点作，使得 ，连接． 【特例感知】 （1）如图1，若，，则与 之间的位置关系是 ，数量关系是 ． 【类比迁移】 （2）如图2，若，猜想与 之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，连接 ，若点F与点C关于 对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y．求y与x的函数表达式，并求出y的最小值． 【答案】（1），； （2），证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，则， ∵， ∴， ∴， ∴； （3），最小值18 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，相似三角形判定及性质，正方形判定及性质，勾股定理，二次函数最值等． （1）根据题意证明，再利用性质得到，，继而得到本题答案； （2）先证明，再利用相似性质得，再得到，即可； （3）连接 交 于，利用勾股定理得到，再证明出四边形是正方形，继而得到关系式，并利用二次函数顶点式即可得到最大值． 【详解】解：（1）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， 故答案为：，； （2）略 （3）连接 交 于，由（1）知，，， ∴， ∴，，， ∴， ∵点与点关于 对称， ∴ 垂直平分 ， ∴，， ∵， ∴， ∵ ， ∴四边形是正方形， ∴， ∴与的函数表达式：， 由， ∴其最小值为18． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $