精品解析：辽宁省鞍山市铁东区2024——2025学年下学期九年中考模拟数学试卷

辽宁省鞍山市铁东区2024—2025学年下学期九年中考模拟数学试卷 温馨提示： 1、考试时间120分钟，卷面满分120分，试卷共7页． 2、请仔细审题、认真思考、细致解答、规范书写、勿忘检查． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 冬至是二十四节气中的第22个节气，2024年冬至这一天沈阳、大连、鞍山和抚顺的最低气温如表： 城市 沈阳 大连 鞍山 抚顺 最低气温/℃ 其中最低气温最小的城市是（ ） A. 沈阳 B. 大连 C. 鞍山 D. 抚顺 2. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 截至2024年12月6日，全国家电以旧换新数据平台显示，八大类家电产品带动销售约2020亿元．“2020亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，， 与 交于点 ，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 一个盒子中装有1个黑球，2个白球，这些球除颜色外其余均相同．若从中任意摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，则两次摸出的球颜色不相同的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 明代数学家程大位所著的《算法统宗》里有这样一个问题：隔壁听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，若每人分七两，则剩余四两；若每人分九两，则还差八两．设有 人，分 两银子，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形 中，对角线 与 相交于点O， ，垂足为E，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系xOy中， 为等腰三角形，AB=AC，轴，若，，则 的面积为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 24 10. 关于一次函数y＝﹣2x+1，下列说法不正确的是（　　） A. 图象与y轴的交点坐标为（0，1） B. 图象与x轴的交点坐标为（，0） C. y随x的增大而增大 D. 图象不经过第三象限 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分式方程的解是_______． 12. 如图，在 和中，，，，若，则的长为_______． 13. 如图，在 中，，以点B为圆心， 长为半径画弧，与 交于点D，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点 ，作直线 ，分别交于点 ，连接 ，则的周长为_______． 14. 生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度与观察时间x（天）的关系，画出如图所示的函数图象（轴），则该植物最高长到________． 15. 如图，在 和中， ，， ， ， ， 三点在同一条直线上，连接 ，恰好，过 作交 延长线于点 ，连接 ，若，，则 的长为_________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚． （1）数学书和语文书共80本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文各多少本； （2）如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本? 18. 国际上常用身体质量指数( )来衡量人体胖瘦程度，中国人的 数值标准为： 胖瘦程度 偏瘦 正常 偏胖 肥胖 数学兴趣小组要了解本校七年级学生的胖瘦程度，从七年级学生中随机抽取男、女生各10名，收集数据，算得相应的 （表1），整理归类得到表2和直方图（此图表不完整）： 表1：七年级20名学生各项数据表 编号 性别 编号 性别 1 男 21.6 11 女 21.20 2 男 22 12 女 27.1 3 女 21.8 13 女 20.9 4 男 16.5 14 男 21.3 5 男 16.1 15 男 21.2 6 男 24.5 16 男 26.6 7 女 18.7 17 男 30.6 8 女 25.6 18 女 22.3 9 男 19.4 19 女 22.4 10 女 20.8 20 女 17.8 表2：七年级20名学生 分布统计表 组别 男生数 女生数 2 1 _______ 7 2 _______ 1 0 七年级20名学生 频数分布直方图 根据以上信息，回答下列问题： （1）根据表1中的数据，将表2及频数分布直方图补充完整； （2）若该校共有1200名学生，估计胖瘦程度为“正常”的人数？ 19. 如图1，某城建部门利用折臂升降机正在路边检修路灯的实物图片，图2，某时刻折臂升降机工作时的平面示意图．点 ， ， ， ， ， ， ， 都在同一竖直平面内．路灯杆 和折臂升降机的折臂底座 都垂直于地面 ，折臂底座 长为2m，上折臂 长为8m，下折臂 长为6m，上折臂 与下折臂 的夹角，下折臂 与折臂底座的夹角 ，求上折臂顶端 到地面的距离 的长．（结果精确到0.1m，参考数据：，，0.93） 20. 某经销商销售一款机器零件，该款零件的进价为 元/个，以 元/个的价格出售，平均每天售出 个，当该零件的售价每下降 元则每天会多售出 个零件，该款零件销售的利润率（利润率=）不低于，每个零件的售价为多少元时，该款零件每天的销售利润为元． 21. 如图，已知 是 的直径，弦 与 交于点F，延长 至点D，连接 ， ，， ，且． （1）求证： 为 的切线； （2）若 ，，，求 的半径长． 22. （1）如图，在四边形 中，，． ①小睿同学通过画图研究发现：如图1，延长 交 延长线于点 ，此时恰好 ；小睿同学还给出了证明思路：在 上取点 ，使得，通过证明结论，请依据小睿的思路求证： ； ②小亮同学通过分析发现：如图2，当时， ， ， 三条线段存在固定的数量关系，请写出 ， ， 之间的数量关系，并写出证明过程； （2）如图3，在 中， ，，点 为 内部一点，连接 ， ，以 ， 为邻边作平行四边形 ， 与 交于点 ，若，，，求 的长． 23. 定义：已知二次函数，若函数，则函数 叫做二次函数的“奇异函数”． （1）已知二次函数的“奇异函数”为 ； ①若“奇异函数” 图象的对称轴为直线，求二次函数的解析式； ②小明同学在研究“奇异函数”的过程中发现猜想：二次函数图象顶点与其“奇异函数” 图象顶点都在另一个函数的图象上，请问小明的猜想成立吗？若成立，请求出函数的解析式；若不成立，请说明理由； （2）已知二次函数（ 与 异号）的“奇异函数” 图象的对称轴为直线，将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线与“奇异函数” 的图象交于点 ，且点 的横坐标为，二次函数图象顶点为 ，“奇异函数” 图象的顶点为 ，恰好，求 ， 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省鞍山市铁东区2024—2025学年下学期九年中考模拟数学试卷 温馨提示： 1、考试时间120分钟，卷面满分120分，试卷共7页． 2、请仔细审题、认真思考、细致解答、规范书写、勿忘检查． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 冬至是二十四节气中的第22个节气，2024年冬至这一天沈阳、大连、鞍山和抚顺的最低气温如表： 城市 沈阳 大连 鞍山 抚顺 最低气温/℃ 其中最低气温最小的城市是（ ） A. 沈阳 B. 大连 C. 鞍山 D. 抚顺 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正负数的应用、有理数的大小比较，理解正负数的意义，根据负数比较大小，绝对值大的反而小得到所给数据的大小，进而可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴最低气温最小的城市是抚顺． 故选：D． 2. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，解答本题的关键是找出对称轴从而判段是否是轴对称图形． 根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，对各选项判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，本选项不合题意； B、不是轴对称图形，本选项不合题意； C、是轴对称图形，本选项符合题意； D、不是轴对称图形，本选项不合题意． 故选：C． 3. 截至2024年12月6日，全国家电以旧换新数据平台显示，八大类家电产品带动销售约2020亿元．“2020亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】“2020亿”用科学记数法表示为． 故选：A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方、合并同类项，掌握相关运算法则是解题关键．根据同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方、合并同类项法则逐项计算即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，， 与 交于点 ，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，先利用平行线的性质可得：，然后利用平角定义进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 6. 一个盒子中装有1个黑球，2个白球，这些球除颜色外其余均相同．若从中任意摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，则两次摸出的球颜色不相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 画出树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：画树状图得： ∴一共有9种可能的结果，两次摸出的球颜色不相同的有4种， ∴两次摸出的球颜色相同的概率为． 故选：B． 7. 明代数学家程大位所著的《算法统宗》里有这样一个问题：隔壁听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，若每人分七两，则剩余四两；若每人分九两，则还差八两．设有 人，分 两银子，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意找出总银子数对应的两个等量关系，据此列方程组即可． 【详解】解：设有 人，分 两银子， ∵每人分七两，剩余四两，总银子数等于分掉的银子加上剩余的银子， ∴可得， 又∵每人分九两，还差八两，总银子数比需要分的银子少八两， ∴可得， 因此所列方程组为 ． 8. 如图，在菱形 中，对角线 与相交于点O， ，垂足为E，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握性质是解题的关键； 先根据菱形的性质得，再根据菱形的对角线平分一组对角求出的度数，然后根据直角三角形两锐角互余，同角的余角相等即可得出结果． 【详解】解：∵四边形 为菱形，， ∴ 平分，，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图，在平面直角坐标系xOy中， 为等腰三角形，AB=AC，轴，若，，则 的面积为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，等腰三角形的性质．过点 作，利用等腰三角形的三线合一，求出，，据此求解即可． 【详解】解：∵轴，，， ∴点 的纵坐标为， 过点 作，交 轴于点 ，交 于点 ，则：， ∵ ∴， ∴，， ∴ 的面积为． 故选：C． 10. 关于一次函数y＝﹣2x+1，下列说法不正确的是（　　） A. 图象与y轴的交点坐标为（0，1） B. 图象与x轴的交点坐标为（，0） C. y随x的增大而增大 D. 图象不经过第三象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】A、把x＝0代入y＝﹣2x+1＝1，所以它的图象与y轴的交点坐标是（0，1），故本选项说法正确，不符合题意； B、把x＝代入y＝﹣2x+1＝0，所以它的图象与x轴的交点坐标是（，0），故本选项说法正确，不符合题意； C、k＝﹣2＜0，所以y随自变量x的增大而减小，故本选项说法错误，符合题意； D、k＝﹣2＜0，b＝1＞0，函数图象经过第一、二、四象限，故本选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，解题的关键是逐一分析四个选项的正误． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分式方程的解是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． 根据解分式方程的方法，方程两边同时乘，把分式方程转化为整式方程，解整式方程，求出 的值，再检验即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得： ， 检验：把 代入，， ∴分式方程的解为 ． 故答案为： ． 12. 如图，在 和中，，，，若，则的长为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了 的直角三角形的性质，三角函数，熟练掌握相关知识点是解题关键． 通过 的直角三角形的性质求出 、 的值，通过三角函数求出 ，即可求解． 【详解】解：，，，， ，， ， ， ． 故答案为：． 13. 如图，在 中，，以点B为圆心， 长为半径画弧，与 交于点D，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点 ，作直线 ，分别交于点 ，连接 ，则的周长为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查作图基本作图、勾股定理、线段垂直平分线、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．由题意得，，直线 为线段 的垂直平分线，由勾股定理得，进而可得，证明，可得，即，求出 ，即可得出答案． 【详解】解：由题意得，，直线 为线段 的垂直平分线， ∴，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 即， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度与观察时间x（天）的关系，画出如图所示的函数图象（轴），则该植物最高长到________． 【答案】85 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求出 的函数关系式，将代入函数关系式求出对应y的值即可． 【详解】解：设 的函数关系式为（k、b为常数，且）． 将和代入，得 ， 解得， ∴ 的函数关系式为． 当时，， ∴该植物最高长到． 故答案为：85． 15. 如图，在 和中， ，， ， ， ， 三点在同一条直线上，连接 ，恰好，过 作交延长线于点 ，连接，若，，则 的长为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点 作于点，根据题意证得四边形是矩形，结合 、推得，得是等腰三角形，根据三线合一得，利用等量代换证得，可得求出，即可求解 的长． 【详解】解：如图，过点 作于点， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ，，， ，， ，，， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， ， 在中，， ． ， ，， ， ， ， ， 解得：， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点并能灵活运用是解题关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算、分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． （1）根据有理数的乘方、零指数幂、二次根式的性质求解即可； （2）根据分式的混合运算，结合因式分解求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚． （1）数学书和语文书共80本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文各多少本； （2）如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本? 【答案】（1）数学书有35本，语文书有45本 （2）87本 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设书架上数学书有 本，则有语文书有本，根据题意列出关于 的一元一次方程并求解，即可获得答案； （2）设摆放数学书 本，根据题意列出关于 的一元一次不等式并求解，即可获得答案． 【小问1详解】 解：设书架上数学书有 本，则有语文书有本， 根据题意得 ， 解得（本）， ∴（本）， 答：书架上数学书有35本，语文书有45本； 【小问2详解】 设摆放数学书 本， 根据题意，可得， 解得， 即数学书最多还可以摆87本． 18. 国际上常用身体质量指数( )来衡量人体胖瘦程度，中国人的 数值标准为： 胖瘦程度 偏瘦 正常 偏胖 肥胖 数学兴趣小组要了解本校七年级学生的胖瘦程度，从七年级学生中随机抽取男、女生各10名，收集数据，算得相应的 （表1），整理归类得到表2和直方图（此图表不完整）： 表1：七年级20名学生各项数据表 编号 性别 编号 性别 1 男 21.6 11 女 21.20 2 男 22 12 女 27.1 3 女 21.8 13 女 20.9 4 男 16.5 14 男 21.3 5 男 16.1 15 男 21.2 6 男 24.5 16 男 26.6 7 女 18.7 17 男 30.6 8 女 25.6 18 女 22.3 9 男 19.4 19 女 22.4 10 女 20.8 20 女 17.8 表2：七年级20名学生 分布统计表 组别 男生数 女生数 2 1 _______ 7 2 _______ 1 0 七年级20名学生 频数分布直方图 根据以上信息，回答下列问题： （1）根据表1中的数据，将表2及频数分布直方图补充完整； （2）若该校共有1200名学生，估计胖瘦程度为“正常”的人数？ 【答案】（1）5，2， 频数直方图为： （2）720人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图，掌握统计的基本常识是解题的根据． （1）根据表 的数据完成表 ，根据表 中数据补直方图即可； （2）根据胖瘦程度为“正常”的占比解题即可． 【小问1详解】 解：男生的数据为：21.6，22，19.4，21.3，21.3； 女生的数据为：25.6，27.1； 故答案为：5；2； 【小问2详解】 解：（人） 答：胖瘦程度为“正常”的人数约为720人． 19. 如图1，某城建部门利用折臂升降机正在路边检修路灯的实物图片，图2，某时刻折臂升降机工作时的平面示意图．点 ， ， ， ， ， ， ， 都在同一竖直平面内．路灯杆 和折臂升降机的折臂底座 都垂直于地面 ，折臂底座 长为2m，上折臂长为8m，下折臂 长为6m，上折臂与下折臂 的夹角，下折臂 与折臂底座的夹角 ，求上折臂顶端 到地面的距离 的长．（结果精确到0.1m，参考数据：，，0.93） 【答案】约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，构造辅助线得到直角三角形是解题的关键．过 作交于 ，延长 交于 ，在中，则求得，从而得；再证明四边形为矩形，则有；在中，利用正弦函数可求得，则由即可求解． 【详解】解：过 作交于 ，延长 交于 ，如图， ∵ ， ∴； 由题意，得：， ∴； 在中，，， ∴； ∵， ∴四边形为矩形， ∴； ∵，， ∴； 在中，，， ∴， ∴， ∴； 答： 长约为． 20. 某经销商销售一款机器零件，该款零件的进价为 元/个，以 元/个的价格出售，平均每天售出 个，当该零件的售价每下降 元则每天会多售出 个零件，该款零件销售的利润率（利润率=）不低于，每个零件的售价为多少元时，该款零件每天的销售利润为元． 【答案】元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键． 设每个零件降价 元，根据题意列出一元二次方程和一元一次不等式，解方程即可求解． 【详解】解：设每个零件降价 元， 根据题意，得：， 整理，得：， 解得：，， 该款零件销售的利润率不低于， ， 解得：， 舍去， ， （元）， 答：每个零件的售价为元时，该款零件每天的销售利润为元． 21. 如图，已知 是 的直径，弦 与 交于点F，延长 至点D，连接 ， ，，，且． （1）求证：为 的切线； （2）若 ，，，求 的半径长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵ 是 的直径， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵ 是 的直径， ∴为 的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）由已知结合圆周角定理求得，再证明 ，即可证明结论成立； （2）证明，推出，再证明，推出，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 22. （1）如图，在四边形 中，，． ①小睿同学通过画图研究发现：如图1，延长 交延长线于点 ，此时恰好 ；小睿同学还给出了证明思路：在 上取点 ，使得，通过证明结论，请依据小睿的思路求证： ； ②小亮同学通过分析发现：如图2，当时， ， ， 三条线段存在固定的数量关系，请写出 ， ， 之间的数量关系，并写出证明过程； （2）如图3，在 中， ，，点 为 内部一点，连接， ，以 ，为邻边作平行四边形 ， 与 交于点 ，若，，，求 的长． 【答案】 （1）①证明：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ． ②， 证明：延长 交延长线于 ，过 作交于 ，在 上取点 使得， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴△≌△， ∴ ，， ∵，， ∴， ∴ ， 在中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）证即可得解． （2）延长 交延长线于 ，过 作交于 ，在 上取点 使得，证进而得到，再根据题干条件得到，最后即可得到． （3）延长交 延长线于 ，在 取一点 使得，过 作交于，先证，进而可得，导角可得，设，，，然后由，建立方程求解即可． 【详解】证明：（1）①略 ②略 （2）延长交 延长线于 ，在 取一点 使得，过 作交于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形 是平行四边形， ∴ ，， ∥， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 设， 在中， ∴， ∵， ∴， ∵四边形内角和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∥， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ， ∴，， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 23. 定义：已知二次函数，若函数，则函数 叫做二次函数的“奇异函数”． （1）已知二次函数的“奇异函数”为 ； ①若“奇异函数” 图象的对称轴为直线，求二次函数的解析式； ②小明同学在研究“奇异函数”的过程中发现猜想：二次函数图象顶点与其“奇异函数” 图象顶点都在另一个函数的图象上，请问小明的猜想成立吗？若成立，请求出函数的解析式；若不成立，请说明理由； （2）已知二次函数（ 与 异号）的“奇异函数” 图象的对称轴为直线，将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线与“奇异函数” 的图象交于点，且点的横坐标为，二次函数图象顶点为 ，“奇异函数” 图象的顶点为 ，恰好，求 ， 的值． 【答案】（1）①；②成立， （2）或 【解析】 【分析】（1）①根据题意得，变形为，根据对称轴公式代入求出 的值，二次函数的解析式即可求解； ②先求出函数的对称轴、顶点坐标，即可求出函数的解析式，再求出函数的对称轴和顶点坐标，将顶点的横坐标代入，求得，即得的图象顶点也在函数的图象上； （2）先分别求出函数图象和图象的对称轴，可得两条对称轴之间的距离，求得，利用交点点的横坐标为代入得，通过勾股定理结合题意，求得函数图象顶点 纵坐标、函数图像顶点 纵坐标，再分类①、② 讨论，解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：①由题意，得：， ， 图象对称轴为直线， 解得：， ∴． ②小明的猜想成立，理由如下： 函数为， 对称轴，顶点坐标为， 令，， ， ， 函数的图象顶点在函数的图象上， 函数， 对称轴，顶点坐标为， 将代入中， ， 函数图象顶点也在函数的图象上． 小明同学的猜想成立． 【小问2详解】 解： 函数图象的对称轴为， 且函数的“奇异函数”为， 奇异函数 的图象对称轴为， 两条对称轴之间的距离． 由轴对称的性质，得：， ， 抛物线由抛物线向右平移1个单位得到， ． ， 点的横坐标为， ， ∴， 由轴对称的性质，得：，且，， 在中，， 二次函数图象顶点 纵坐标为， 函数图像顶点 纵坐标为， ①当时， ， ， 解得：（舍去），， ； ②当 时， ， ， 解得：（舍去），， ； 综上所述：或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的对称轴、顶点坐标公式，轴对称图形的性质，勾股定理，解一元二次方程等，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $