精品解析：辽宁省葫芦岛市2024--2025学年下学期八年级第一次月考数学试卷

2024-2025学年度下学期第一次限时性作业八年级数学学科 考试时间：100分钟试卷满分：120分 ※考生注意： 请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（本题10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列式子中，一定是二次根式的为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据被开方数为非负数，再列不等式，逐一分析即可． 本题考查了二次根式的定义，掌握被开方数是非负数是关键． 【详解】解：A、不是二次根式，故本选项不符合题意； B、当时，则它无意义，故本选项不符合题意； C、由于，所以它符合二次根式的定义，故本选项符合题意； D、当时，它无意义，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 已知，则的值为（　　） A. B. C. 10 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是根据二次根式中被开方数非负这一条件，求出的值，进而得到的值，最后计算． 先根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式组，求解，再代入求出，最后计算的值并选择正确选项． 【详解】由题意可得：， 解不等式，得； 解不等式，得． 所以． 把代入， ， 那么， 故选：D． 3. 如图是三个正方形和一个直角三角形，图形A的面积是( ) A. 225 B. 144 C. 81 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出∠BCD=90°，BD2=225，CD2=144，由勾股定理求出BC2，即可得出结果． 【详解】如图所示： 根据题意得：∠BCD=90°，BD2=225，CD2=144， ∴BC2=BD2-CD2=81， ∴图中字母A所代表的正方形面积=BC2=81； 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理、正方形面积的计算；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式加减乘除的运算法则逐个计算后判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不合题意； B、，原计算错误，不合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不合题意； 故选：C． 5. 化简二次根式的正确结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件及二次根式的性质与化简进行计算即可得． 【详解】解：由题意得，， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式性质和化简，解题的关键是掌握二次根式的性质和化简． 6. 如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是1，于点B，且，以点A为圆心，为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴； 利用勾股定理求出，可得的长，然后根据数轴可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴点D表示的数为， 故选：C． 7. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，则这支铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，关键是把实际问题抽象成数学问题，分别考虑两种极端情况，问题即解决． 利用勾股定理可求得铅笔在笔筒内最长的长度，得出铅笔露出笔筒部分的最小长度；求出当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒外面部分的长度是露出的最大长度；从而可确定答案． 【详解】铅笔在笔筒内最长时，由勾股定理得：， 则铅笔在笔筒外部分的最小长度为：； 当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒外面部分的长度为， 即铅笔在笔筒外面最长不超过， 所以铅笔露出笔筒部分的长度不短于，不超过． 所以前三项均符合题意，只有D选项不符合题意； 故选：D． 8. 已知，，则代数式的值为（ ） A. 9 B. C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值．首先将原式变形，进而利用乘法公式代入求出即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：C． 9. 在中，于点，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的知识及直角三角形面积的不同表示形式，根据勾股定理求出，再由得到，代入求值． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 10. 数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，可看作两直角边分别为和1的的斜边长，可看作两直角边分别是和2的的斜边长，然后根据两点之间线段最短得到当与共线时，为最小，即的长，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】如图所示， 可看作两直角边分别为和1的的斜边长， 可看作两直角边分别是和2的的斜边长． ∴求的最小值即求的最小值， 当与共线时，为最小，即的长． 连接， ∵，， ∴， ∴代数式的最小值是5． 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理，动点问题，解题的关键是理解题中所给的思路，根据题干中的思路进行解答． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 若式子有意义，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质和分式的意义，根据二次根式的性质和分式的意义，由被开方数大于等于0，分母不等于0可知． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 已知、、是的三边长，化简___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系、二次根式的化简、绝对值的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据三角形的三边关系对式子化简即可． 【详解】解：由三角形的三边关系知：，， ∴ ． 故答案为： ． 13. 若直角三角形的两直角边长分别为6，12，则该直角三角形的斜边上的高为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，与三角形的高有关的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理得出斜边长为，设斜边上的高为再由等面积法计算即可得解． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为6，12， ∴斜边长为， 设斜边上的高为 由题意得， ∴， 故答案为：． 14. 对于有理数和，定义了一种新运算：，例如，则为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据新定义代入计算求值即可． 详解】解：由题意得：， 故答案为：． 15. 如图是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的图案，又被成为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，能够通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明勾股定理，表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．因此这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽．现已知小正方形的面积为8，每个直角三角形的面积都比小正方形的面积小1，则每个小直角三角形的周长为___________． 【答案】14 【解析】 【分析】设直角三角形的两直角边分别为a、b，且斜边为c，列，由勾股定理，得到，，，即可解答． 本题考查了完全平方公式及勾股定理． 【详解】设直角三角形的两直角边分别为a、b，且斜边为c， 由题意可得 由①得，， ∴③， 由②得，， 把代入③，得， 由勾股定理，知， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴直角三角形的周长为：． 故答案为：14． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质化简，二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的加减混合运算法则即可求解； （2）根据二次根式混合运算法则，积的乘法的逆运算先化简计算，再根据二次根式的加减混合运算进行计算，即可求解． 【小问1详解】 解： = = 【小问2详解】 17. 先化简再求值： （1），其中． （2）已知，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则进行化简，然后将a的值代入化简的结果中进行计算即可； （2）由可判断出，，再将化简求值即可． 【小问1详解】 解： = = = 当时，原式； 【小问2详解】 解：由，可知，， 则， 原式． 18. 如今，春节团聚坐高铁或火车长途出行，是一件很普便的事情．而进出火车站经常要刷身份证过闸机，如图是火车站通道闸机的示意图，扇形和扇形是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面，点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为，连接，并向两边延长，分别交，于点，．若，，求闸机通道的宽度． 【答案】闸机通道的宽度为 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，勾股定理，熟练掌握轴对称图形的性质是解题关键． 由对称的性质可得，在中，由勾股定理得，将变形后代入，求出，根据即可求解． 【详解】解：由对称可知，且，， 的长度就是闸机的宽度． ， ， 在中，， ， 解得：（负值舍去）， ． 答：闸机通道的宽度为． 19. 由，可知，则的整数部分为3，小数部分为． （1）的整数部分为 ，小数部分为 ． （2）的整数部分为，小数部分为，求的值； （3）已知与的小数部分分别为，且求的值； 【答案】（1）4， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据材料代入运算即可．； （2）根据题意可得，，，代入即可求解； （3）根据题意可得，，，代入即可求解． 本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质． 【小问1详解】 ∵，即， ∴的整数部分为4 ∴的小数部分为． 【小问2详解】 ∵即， ∴的整数部分为1， ∴的小数部分为． ∴，， ∴． 【小问3详解】 已知与的小数部分分别为， ∵， ∴， ∴的整数部分为10，小数部分为， ∵， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴，， ， ，或． 20. 如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其对角顶点与点重合，点与点重合，若，求： （1）求的长； （2）求阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）阴影部分的面积为 【解析】 【分析】此题主要考查了折叠的性质、勾股定理的应用： （1）由折叠可知，设，则，在中，根据，求出的长；过点作于，在 中，由勾股定理的长，在中，由勾股定理即可得出答案； （2）过点作于，根据三角形面积不变性，，求出的长，根据三角形面积求出结果即可． 【小问1详解】 解：由折叠可知， 设，则， 在中，， ， 解得：， ； 过点作于，则， 在中， ，由勾股定理：，即， ． ， ， ， ； 【小问2详解】 解：过点作于， ， ，， ， ， ． 21. 【发现】 我们将称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效将和中的“”去掉，于是二次根式除法可以这样解：如，像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 应用】 （1）的对偶式是 ，分母有理化得 ． （2）①计算： ②已知：，求的值． 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的有理化因式，分母有理化，二次根式的混合运算，代数式求值等，解决问题的关键是熟练掌握阅读材料中二次根式的有理化因式的定义，分母有理化的定义及计算，二次根式的加减计算，完全平方公式，整体代入法求代数式的值． （1）根根据材料中的方法即可求解； （2）①原式各分母有理化，合并即可得到结果． ②将x与y分母有理化求得和的值，把化为，再整体代入计算即可得到结果． 【小问1详解】 解：的对偶式是，分母有理化得：； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：① ； ②∵， ∴， ， ． 22. 综合与实践 【情景再现】 如图，在中，分别是上的一点，则可知三条线段之间的关系． 【问题提出】 （）是的中点，连接．已知．试说明，四条线段的等量关系，并写出证明过程． 【数学感悟】 （）如图，若分别在的延长线上，（）中的结论是否成立，若成立，请写出理由；若不成立，请写出正确的结论． 【学以致用】 （）如图，已知是的中点，，请直接写出线段的长度． 【答案】（），理由见解析；（）成立，理由见解析；（） 【解析】 【分析】（）延长到点 ，使 ，连接，由线段垂直平分线的性质可得，再证明，得，，可得，即得，再由即可求证； （）延长到，使，连接，由线段垂直平分线的性质得，再证明，得，，可得，即得，再由即可求证； （）由已知得，设，则，由得，进而即可求解； 本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：（），证明如下： 延长到点，使，连接， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （）成立，理由如下： 延长到，使，连接， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （）∵， ∴， 设，则， ∵是的中点，， ∴， ∴， 解得， ∴． 23. 【问题提出】 勾股定理是直角三角形一个非常重要的性质，有着及其广泛的应用，搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁．因此勾股定理与动点、方程、几何图形等结合就可以进行相应的数量计算． 在中，， 【新知初探】 （1）如图1，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向向点运动，连接．当点运动 秒时，． 【类比分析】 （2）如图2，当点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线方向运动，设运动的时间为． ①当为等腰三角形时，求的值； ②当为直角三角形时，求的值； 【学以致用】 （3）如图2，当点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿方向运动，设运动的时间为．若点恰好在的平分线上，求的值． 【答案】（1）；（2）①当为等腰三角形时，的值为5或8或；②当为直角三角形时，的值为或4；（3）的值为或． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求得，设，在中，由勾股定理列式计算即可求解； （2）①分三种情况讨论，分别列式计算即可求解；②分两种情况讨论，利用勾股定理列式计算即可求解； （3）分两种情况讨论，利用勾股定理结合角平分线的性质列式计算即可求解． 【详解】解：（1）∵在中，， ∴， 设， ∴， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴， ∴点运动秒时，． 故答案为：； （2）①当时，则， 解得； 当时，则， 解得，； 当时，由（1）得， ∴， 解得； 综上，当为等腰三角形时，的值为5或8或； ②当，，， 中，由勾股定理得， 在中，， ∴， 即， 解得； 当，则P与C重合，则， 解得； 综上，当为直角三角形时，的值为或4； （3）如图，作， ∵点P恰好在的平分线上，， ∴， ∴， ∴，， 由题意得，， 由勾股定理得，解得； 当点P运动到点A时，也在角平分线上，此时，． 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期第一次限时性作业八年级数学学科 考试时间：100分钟试卷满分：120分 ※考生注意： 请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（本题10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列式子中，一定是二次根式为（　　） A. B. C. D. 2. 已知，则的值为（　　） A B. C. 10 D. 3. 如图是三个正方形和一个直角三角形，图形A的面积是( ) A. 225 B. 144 C. 81 D. 无法确定 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 化简二次根式的正确结果是（ ） A B. C. D. 6. 如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是1，于点B，且，以点A为圆心，为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，则这支铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，则代数式的值为（ ） A. 9 B. C. 3 D. 5 9. 在中，于点，则的长为（　　） A. B. C. D. 10. 数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 若式子有意义，则的取值范围是___________． 12. 已知、、是的三边长，化简___________． 13. 若直角三角形的两直角边长分别为6，12，则该直角三角形的斜边上的高为___________． 14. 对于有理数和，定义了一种新运算：，例如，则为___________． 15. 如图是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的图案，又被成为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，能够通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明勾股定理，表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．因此这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽．现已知小正方形的面积为8，每个直角三角形的面积都比小正方形的面积小1，则每个小直角三角形的周长为___________． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2） 17 先化简再求值： （1），其中． （2）已知，求的值． 18. 如今，春节团聚坐高铁或火车长途出行，是一件很普便的事情．而进出火车站经常要刷身份证过闸机，如图是火车站通道闸机的示意图，扇形和扇形是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面，点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为，连接，并向两边延长，分别交，于点，．若，，求闸机通道的宽度． 19. 由，可知，则的整数部分为3，小数部分为． （1）的整数部分为 ，小数部分为 ． （2）的整数部分为，小数部分为，求的值； （3）已知与的小数部分分别为，且求的值； 20. 如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其对角顶点与点重合，点与点重合，若，求： （1）求的长； （2）求阴影部分的面积． 21. 【发现】 我们将称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉，于是二次根式除法可以这样解：如，像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 【应用】 （1）的对偶式是 ，分母有理化得 ． （2）①计算： ②已知：，求的值． 22. 综合与实践 【情景再现】 如图，在中，分别是上的一点，则可知三条线段之间的关系． 【问题提出】 （）是的中点，连接．已知．试说明，四条线段的等量关系，并写出证明过程． 【数学感悟】 （）如图，若分别在的延长线上，（）中的结论是否成立，若成立，请写出理由；若不成立，请写出正确的结论． 【学以致用】 （）如图，已知是的中点，，请直接写出线段的长度． 23. 问题提出】 勾股定理是直角三角形一个非常重要的性质，有着及其广泛的应用，搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁．因此勾股定理与动点、方程、几何图形等结合就可以进行相应的数量计算． 在中，， 【新知初探】 （1）如图1，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向向点运动，连接．当点运动 秒时，． 【类比分析】 （2）如图2，当点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线方向运动，设运动的时间为． ①当为等腰三角形时，求的值； ②当为直角三角形时，求的值； 【学以致用】 （3）如图2，当点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿方向运动，设运动的时间为．若点恰好在的平分线上，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $