精品解析：北京市顺义牛栏山第一中学板桥学校2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

牛一板桥学校高二3月月考数学试题 一、单选题 1. 已知数列，则是这个数列的（　　） A. 第20项 B. 第21项 C. 第22项 D. 第23项 2. 已知数列是等差数列，，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 3. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列，，，若为等差数列，则（ ） A. B. C. D. 5. 在区间上最小值是（ ） A. B. 1 C. D. 6. 已知函数极小值点是，则 A. 或 B. 或 C. D. 7. 在等比数列{}中，已知，，则的值为（ ） A. B. － C. 或6 D. －或1 8. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 函数，的图象大致为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，当时恒成立，则取值范围是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题 11. 已知数列成等差数列，成等比数列，则的值为__________. 12. 函数图象上一点到直线的最短距离为__________． 13. 若函数的图象在点处的切线方程为，则实数_____. 14. 已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为_________． 15. 表中数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为，则______，表中的数2021共出现______次． 2 3 4 5 6 7 … 3 5 7 9 11 13 … 4 7 10 13 16 19 … 5 9 13 17 21 25 … 6 11 16 21 26 31 … 7 13 19 25 31 37 … … … … … … … … 三、解答题 16. 已知数列是公差不为0的等差数列，是和的等比中项. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和. 17. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在上的最大值和最小值． 18. 三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立.已知闯关成功的概率是，三人闯关都成功的概率是，三人闯关都不成功的概率是. （1）求两人各自闯关成功的概率； （2）求三人中恰有两人闯关成功的概率. 19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，且，侧面是等腰三角形，且，侧面底面. （1）求证：平面； （2）求侧面与底面所成二面角的正弦值. 20. 已知椭圆的离心率，且圆过椭圆的上、下顶点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线斜率为，且直线与椭圆相交于，两点，点关于原点的对称点为，点是椭圆上一点，若直线与的斜率分别为，.证明：为定值，并求出此定值. 21. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）是否存在正实数，使得函数在区间上的最小值为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 牛一板桥学校高二3月月考数学试题 一、单选题 1. 已知数列，则是这个数列的（　　） A. 第20项 B. 第21项 C. 第22项 D. 第23项 【答案】D 【解析】 【分析】由即可得. 【详解】，故为第23项. 故选：D. 2. 已知数列是等差数列，，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式先求公差，再求 【详解】，， ， 则， ， 故选：C 3. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，然后可得答案. 【详解】因为，所以， 所以由可得， 所以函数的单调递增区间为， 故选：A 4. 已知数列，，，若为等差数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差中项性质可求得的值. 【详解】由于数列为等差数列，则， 所以，，解得. 故选：A. 5. 在区间上的最小值是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导函数，分析其导函数的符号，得出原函数的单调性，从而可求得最小值． 【详解】因为，所以，令，解得， 所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 所以函数在上的最小值为， 故选：B． 6. 已知函数的极小值点是，则 A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：求函数导数，由极值点处导数为0，解得的值，结合函数单调性检验极小值点即可. 详解：由函数，求导得：. 根据题意得：，解得或. 当时，， 在单调递增，单调递减. 所以为极大值点，不满足题意. 当时，， 在单调递减，单调递增. 所以为极小值点，满足. 所以. 故选D. 点睛：本题主要考查导数的几何意义以及利用导数判断函数的单调性与函数的极值，属于中档题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值. 7. 在等比数列{}中，已知，，则的值为（ ） A. B. － C. 或6 D. －或1 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列通项公式、前n项和有，即可求基本量. 【详解】由，可得或. 故选：C 8. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，令，利用导数讨论其单调性，进而可求解 【详解】，构造函数，则， 当时，此时； 当时，此时， 故，当单调递增，当单调递减， 故，故， ，又即， 故. 故选：A. 9. 函数，的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的特殊值及单调性进行解题. 【详解】解：，当时，，所以排除C，D， 又， 所以为极值点，排除B， 故选A． 10. 已知函数，当时恒成立，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设知上恒成立，构造并研究单调性易得，即可求的取值范围. 【详解】由题设，上恒成立，即恒成立， 若，则在(0,1)上， ∴在上递增，故 ， ∴即可. 故选：B 二、填空题 11. 已知数列成等差数列，成等比数列，则的值为__________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的性质得到及，求出答案. 【详解】由题意得， 因为成等比数列，设公比为， 则且， 解得， 故. 故答案为： 12. 函数图象上一点到直线的最短距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设切点，利用导数得与直线平行，再利用点到线的距离求解 【详解】设与直线平行的且与相切的直线切点为，因为 ，则，则切点为最短距离为切点到直线的距离：， 故答案为:. 13. 若函数的图象在点处的切线方程为，则实数_____. 【答案】1 【解析】 【分析】对函数求导，再利用导数的几何意义，列式计算作答. 【详解】由函数求导得：函数，依题意，， 而，点在直线上，则有，因此，，解得， 所以实数. 故答案为：1 14. 已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为_________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，利用导数判断的单调性，将不等式，转化为来求得所求不等式的解集. 【详解】构造，则， 所以是R上的单调减函数，又因为，，， 所以不等式可化为，由函数单调递减可得， 故不等式的解集为． 故答案为： 15. 表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为，则______，表中的数2021共出现______次． 2 3 4 5 6 7 … 3 5 7 9 11 13 … 4 7 10 13 16 19 … 5 9 13 17 21 25 … 6 11 16 21 26 31 … 7 13 19 25 31 37 … … … … … … … … 【答案】 ①. 57 ②. 12 【解析】 【分析】根据数表归纳出各行各列的规律，然后利用整数的知识求解. 【详解】由数表可知每行、每列的数都成等差数列，第一行和第一列都是以2为首项1为公差的等差数列，第行和第列的公差都是，因此, , ， ， ， 相应 共12组解，所以表中2021共出现12次 故答案为：57；12. 三、解答题 16. 已知数列是公差不为0的等差数列，是和的等比中项. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，求解即可求得数列的通项公式； （2）由（1）可得，利用分组求和法可求. 小问1详解】 设数列的公差为，则， 又是和的等比中项，所以， 解得或（舍去）， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 所以， 所以，所以 17. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在上的最大值和最小值． 【答案】（1）；（2）最大值，最小值． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，求得切线斜率，利用点斜式即可得解； （2）利用导数研究函数的单调性，利用单调性即可求得最值. 详解】（1）由得，， ∴，， ∴曲线在点处的切线方程，即； （2）令可得或，此时函数单调递增， 令可得，此时函数单调递减， 故函数在上单调递减， ∴的最大值，最小值． 18. 三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立.已知闯关成功的概率是，三人闯关都成功的概率是，三人闯关都不成功的概率是. （1）求两人各自闯关成功的概率； （2）求三人中恰有两人闯关成功的概率. 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解， （2）分三种情况，结合相互独立事件的概率乘法公式求解. 【小问1详解】 设两人各自闯关成功的概率分别是. 由题意得 解得， 所以两人各自闯关成功的概率分别是，. 【小问2详解】 三人中只有闯关成功的概率， 三人中只有闯关成功的概率， 三人中只有闯关成功的概率， 故三人中恰有两人闯关成功的概率为. 19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，且，侧面是等腰三角形，且，侧面底面. （1）求证：平面； （2）求侧面与底面所成二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知以及勾股定理、面面垂直的性质定理，利用线面垂直的判定定理进行证明. （2）根据已知，证明为侧面与底面所成二面角的平面角，再利用三角形的性质计算求解. 【小问1详解】 证明：在中， 又侧面底面， 侧面底面平面， 平面，又平面， ，又，平面， 平面. 【小问2详解】 解：取的中点为，连接， ，所以 又侧面底面，侧面底面，面， 平面 又平面，， 过点作，垂足为，连接，又，平面， 平面，又平面，平面， ， 为侧面与底面所成二面角的平面角， 在直角中，， ，， 即侧面与底面所成二面角的正弦值为. 20. 已知椭圆的离心率，且圆过椭圆的上、下顶点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线的斜率为，且直线与椭圆相交于，两点，点关于原点的对称点为，点是椭圆上一点，若直线与的斜率分别为，.证明：为定值，并求出此定值. 【答案】（1）； （2）证明见解析，0 【解析】 【分析】（1）根据圆的上下顶点可求，利用，，的关系可得答案； （2）设出直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理表示出，求和化简即可. 【小问1详解】 由题意可得，，所以， 所以椭圆的方程为：； 【小问2详解】 证明：设直线的方程为，设，，由题意， 联立，整理可得， ，即，且，， 所以 . 即证得为定值，且定值为0. 21. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）是否存在正实数，使得函数在区间上的最小值为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）答案见解析 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由题意可得，按，和分类讨论导函数的正负即可得的单调性； （2）利用（1）中单调性，按和分情况讨论即可求解. 【小问1详解】 由题意可得， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，， 令解得或，令解得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，， 令解得或，令解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 存在正实数，使得函数在区间上的最小值为. 由（1）知，当时，函数在上单调递增，在上单调递减， ①当，即时，在区间上单调递减， 所以，解得， ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得，与矛盾，舍去， 综上可知存在正实数，使得函数在区间上的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$