精品解析：四川省广元中学2024-2025学年高二下学期第一次阶段性测试数学试卷

广元中学高2023级高二下期第一次阶段性测试 数学试题 命题人：刘小军 审题人：刘万学 杨大鑫 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷2至4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上均无效．满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数列， ， ， ，……的通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分母构成等差数列即可求出. 【详解】数列的分母形成首项为5，公差为2的等差数列，则通项公式为， 所以. 故选：C. 2. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数后代入计算. 【详解】由已知， 所以， 故选：B. 3. 已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. 7 B. 9 C. 81 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的性质以及对数的运算性质可求出结果. 【详解】依题意可得， 又，所以， 所以. 故选：D 4. 已知，，，则“，，既是等差数列又是等比数列”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用推出关系去判断充要关系即可. 【详解】当时，是等差数列，不是等比数列， 当既是等差数列又是等比数列，则， 故“既是等差数列又是等比数列”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 5. 如果函数在处的导数为1，那么（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】因为，所以， 所以． 故选：A． 6. 假设你有一笔资金，现有三种投资方案，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番． 现打算投资10天，三种投资方案的总收益分别为，，，则　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设三种方案第天的回报分别为，，，由条件可知为常数列；是首项为10，公差为10的等差数列；是首项为0.4，公比为2的等比数列，然后求出投资10天三种投资方案的总收益为，，，即可判断大小． 【详解】解：设三种方案第天的回报分别为，，，则， 由条件可知为常数列；是首项为10，公差为10的等差数列； 是首项为0.4，公比为2的等比数列． 设投资10天三种投资方案的总收益为，，， 则；； ， 所以． 故选：． 【点睛】本题考查数列的实际应用，关键在于根据生活中的数据，转化到数列中所需的基本量，公差，公比等，属于中档题. 7. 已知数列满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列递推式，利用迭代法（累加法）求出，化简计算，再利用双勾函数的单调性，即可求得的最小值. 【详解】因， 则 ， 则， 因函数在上单调递减，在上单调递增， ，，故当时的最小值为. 故选：C. 8. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】函数在区间上单调递增，则在上恒成立，参变分离求出函数的最小值代入，可得实数的取值范围． 【详解】函数在区间上单调递增，则在上恒成立，即恒成立，在上单调递增，时，， 故选：D 【点睛】本题考查利用导数解决函数的单调性问题，考查学生逻辑思维能力，属于基础题． 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的不得分． 9. 记数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 数列是公差为1的等差数列 C. 数列的前项和为 D. 数列的前2025项的和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据前项和求，利用通项公式判断A，求出判断B，利用裂项相消法求和判断C，利用分组求和判断D. 【详解】数列的前项和， 当时，， 而满足上式，因此. 对于A，，A正确； 对于B，，， 则数列是公差为的等差数列，B错误； 对于C，， 数列的前项和为，C正确； 对于D，， 则数列的前2025项的和为，D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数的导函数的图象大致如图所示，下列结论正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递增 C. 曲线在处的切线的斜率为0 D. 曲线在处的切线的斜率为4 【答案】BD 【解析】 【分析】根据导数的正负与函数单调性的关系可判断A，B；根据导数的几何意义可判断C，D. 【详解】由导函数的图象可知当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增，A错误； 由图象可知当时，，在上单调递增，B正确； 由于，根据导数的几何意义可知在处的切线的斜率为4，C错误，D正确， 故选：BD 11. 数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 已知，则使得成等比数列的充要条件为 B. 若为等差数列，且，则当时，的最大值为2022 C. 若，则数列前5项的和最大 D. 设是等差数列的前项和，若，则 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A：利用等比中项求出，即可判断；对于B：由等差数列的性质求出即可判断；对于C：先判断出为等差数列，利用二次函数的性质即可判断出时，取得最大值；对于D：利用等差数列的分段和性质直接求解. 【详解】对于A：因为，所以使得成等比数列等价于，即，解得：.故A错误； 对于B：因为为等差数列，且， 所以由等差数列的性质可得：， 所以.故B错误； 对于C：因为，所以，，所以为等差数列. 所以的前项和为. 由二次函数的性质可得：当时，取得最大值.故C正确； 对于D：在等差数列中，设. 因为，所以，且. 由等差数列的分段和性质可知：也构成等差数列， 所以，解得：，所以.故D正确. 故选：CD 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则的单调递增区间为______. 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导，令导函数大于零求解即可. 【详解】由题意， 由得， 所以的单调递增区间为. 故答案为： 13. 已知是数列的前n项和，，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】通过作差得到，，进而可求解. 【详解】由数列的前项和为，且， 当时，， 两式相减，可得，即，， 令，可得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， ， 故答案为： 14. 已知，直线与曲线相切，则的最小值是______________． 【答案】27 【解析】 【分析】由导数几何意义和切线斜率可求得切点坐标，由此得到，利用配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式可求得结果. 【详解】由得：；当时， ， 直线与曲线相切的切点坐标为， ，又为正实数， , （当且仅当，即，即时取等号）， 的最小值为27. 故答案为：27. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前n项和为，. （1）求的通项公式； （2）若，求前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求解即可. （2）利用等差数列和等比数列的求和公式求解即可. 【小问1详解】 因为是等差数列，设其公差为， 由题知，解得， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 由题知， 所以. 16. 已知(). （1）若函数的图象在点处的切线平行于直线，求的值； （2）讨论函数在定义域上的单调性. 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）求导，根据函数的图象在点处的切线平行于直线，令求解. （2）由()，再分和讨论求解. 【详解】（1）因为，. 所以由题意可知， 故 （2）()， 当时，因为，所以， 故在上为增函数； 当时，由，得； 由，得， 所以在上为减函数，在上为增函数. 综上所述，当时在上为增函数； 当时在上为减函数，在上为增函数. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导数与函数的单调性，还考查了分类讨论思想和运算求解的能力，属于中档题. 17. 已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点． （1）求证： 平面 ； （2）求直线EF与平面 夹角的正弦值； （3）求点F到面PAC的距离 【答案】（1） 证明：根据平面，平面， 所以, 又底面是正方形，则, 可以建立如图所示以A为原点，所在直线对应轴的空间直角坐标系， 则， 所以， 易知是平面的一个法向量， 而，平面， 所以平面； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行即可； （2）利用空间向量求线面角即可； （3）利用空间向量研究点面距离即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， 设平面的一个法向量为，则有， 所以，令，即， 设直线EF与平面夹角为，所以； 【小问3详解】 由（1）知，显然是平面的一个法向量， 则点F到面PAC的距离为. 18. 已知数列中，，. （1）求证：是等比数列，并求数列的通项公式； （2）已知数列满足. ①求数列的前项和； ②若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明： 因为， 所以，所以， 又， 所以是以3为首项，3为公比的等比数列， 故， 即； (2)①；② 【解析】 【分析】(1)由题意推出，进而可以证明是以3为首项，3为公比的等比数列，由此即可得出数列的通项公式. (2)①：由(1)得，结合错位相减法即可求出； ②：由①得，设，则是递增数列，由此求得的取值范围. 【详解】(1)证明略，通项即； (2)①：由(1)知， 所以， ， 两式相减，得 ， 所以； ②：由①得， 设，则是递增数列， 当n为偶数时，恒成立， 又，所以； 当n为奇数时，恒成立， 又，所以，所以， 综上诉述，的取值范围是. 19. 已知椭圆，点，分别是椭圆短轴的端点，椭圆的焦点也是抛物线的焦点，且.过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点. （1）求椭圆的方程； （2）轴上是否存在定点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； （3）若点是定直线上任意一点，求证：三条直线，，的斜率成等差数列. 【答案】（1）； （2）存在，； （3） 证明：设，要证直线，，的斜率成等差数列， 只需证，只需证， 只需证 只需证 只需证 只需证， 只需证，只需证 由（2）可知，，，代入上式显然成立，故原命题得证. 【解析】 【分析】（1）通过已知条件求出椭圆的参数和，进而可求出椭圆的方程； （2）设定点，通过几何关系和代数计算判断是否存在定点，并求出其坐标； （3）设，直线，，的斜率成等差数列，只需证，通过直线与椭圆的联立，经过代数运算之后，可得结论. 【小问1详解】 ∵椭圆的焦点也是抛物线的焦点 ∴，又，∴是等腰直角三角形 ∴ ，∴ 所以椭圆的方程为：. 【小问2详解】 假设轴上存在定点，使得， 设，，直线的方程为， 将直线与椭圆方程联立，消去整理得到：， ∴，， 由题意，，则直线，的倾斜角互补，所以， 设，则，， ∴， 将，代入上式，整理得：， ∴ 将，，代入上式整理得：， 由于上式对任意实数都成立，所以， 即存在点使得. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广元中学高2023级高二下期第一次阶段性测试 数学试题 命题人：刘小军 审题人：刘万学 杨大鑫 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷2至4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上均无效．满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数列， ， ， ，……的通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. 7 B. 9 C. 81 D. 3 4. 已知，，，则“，，既是等差数列又是等比数列”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如果函数在处的导数为1，那么（ ） A. B. 1 C. 2 D. 6. 假设你有一笔资金，现有三种投资方案，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番． 现打算投资10天，三种投资方案的总收益分别为，，，则　　 A. B. C. D. 7. 已知数列满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的不得分． 9. 记数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 数列是公差为1的等差数列 C. 数列的前项和为 D. 数列的前2025项的和为 10. 已知函数的导函数的图象大致如图所示，下列结论正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递增 C. 曲线在处的切线的斜率为0 D. 曲线在处的切线的斜率为4 11. 数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 已知，则使得成等比数列的充要条件为 B. 若为等差数列，且，则当时，的最大值为2022 C. 若，则数列前5项的和最大 D. 设是等差数列的前项和，若，则 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则的单调递增区间为______. 13. 已知是数列的前n项和，，则__________． 14. 已知，直线与曲线相切，则的最小值是______________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前n项和为，. （1）求的通项公式； （2）若，求前n项和. 16. 已知(). （1）若函数的图象在点处的切线平行于直线，求的值； （2）讨论函数在定义域上的单调性. 17. 已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点． （1）求证： 平面 ； （2）求直线EF与平面 夹角的正弦值； （3）求点F到面PAC的距离 18. 已知数列中，，. （1）求证：是等比数列，并求数列的通项公式； （2）已知数列满足. ①求数列的前项和； ②若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知椭圆，点，分别是椭圆短轴的端点，椭圆的焦点也是抛物线的焦点，且.过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点. （1）求椭圆的方程； （2）轴上是否存在定点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； （3）若点是定直线上任意一点，求证：三条直线，，的斜率成等差数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $