精品解析：2025年河南省驻马店市平舆县中考一模数学试题

2025年普通高中招生考试一模试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图，数轴上被墨水遮盖着的数可能是（　　） A B. C. D. 2. 如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，直线和被直线和所截，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 在国际单位制中，长度的基本单位是米（m），1m最早是由地球球面上经过巴黎经线南北两极点距离的两千万分之一定出的．“”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 7. 如图是明代数学家程大位所著的《算法统宗》中的一个问题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．设共有银子x两，共有y人，则所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 数学课上，刘老师拿出正面分别写有“”“”“”“”“”的五张不透明卡片（其中“”“”“”为元音字母），它们除正面外完全相同．把这五张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，不放回洗匀，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片都是元音字母的概率为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，点是上的点，且，若，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，在轴上，点与坐标原点重合．动点从点出发，按顺时针方向在正方形的边上匀速运动，速度为每秒个单位长度，已知，设点的运动时间为秒，当存在且为锐角三角形时，的值可以是下列中的（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 方程的解为___________． 12. 为了解女生一分钟跳绳的情况，某校随机抽测了该校九年级某班女生，统计她们一分钟跳绳的成绩，并将统计结果制成如图所示的折线统计图，则成绩的众数为___________． 13. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是 _________． 14. 如图，菱形中，，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，连接，当与第一次垂直时，的度数为________． 15. 如图，在三角形纸片中，为的中线．沿将纸片剪开，得到和，将三角形纸片沿直线向右平移，当线段在内部的长度为1时，平移的距离为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 某校为培养学生良好的用眼习惯，在七、八两年级开展了正确用眼知识竞赛． 【数据收集与整理】从七、八两年级中各随机抽取份学生答卷，并 统计成绩（成绩得分用x表示，单位：分，且最低为50分）．将所收集样本数据进行如下分组： 组别 整理样本数据，并绘制七、八两年级样本数据的频数直方图，部分信息如表： 【数据分析与运用】 任务一 图中___________； 任务二 五组数据的平均数分别取为，，，，，已计算出七年级竞赛成绩样本数据的平均数为，请你计算八年级竞赛成绩样本数据的平均数； 任务三 下列结论一定正确的是___________（填正确结论的序号）； 两个年级样本数据的中位数均在组；两个年级样本数据的最大数与最小数的差相等． 任务四 结合统计信息，哪个年级的竞赛成绩较好？并说明理由． 18. 龙角塔，位于诸葛亮躬耕地南阳卧龙岗内，是武侯祠的一个重要人文景观．某数学小组的同学把“测量龙角塔的高”作为一项实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实践活动报告． 活动项目 测量龙角塔的高度 活动方案 “测角仪”方案 方案示意图 实施过程 ①选取与龙角塔底B位于同一水平地面的D处立一标杆CD； ②测量B，D两点间的距离； ③在F处用测角仪测量从眼睛E看到标杆顶点C与龙角塔顶点A在同一条直线上； ④测量D，F两点间的距离； ⑤测量E到地面的高度EF． 测量数据 ①②；③；④． 说明 ①图上所有点均在同一平面内；②，，均与地面垂直． 任务一：根据活动报告，求龙角塔的高度（精确到）； 任务二：该小组要写出一份完整的活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）？ 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与轴交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） （3）若（2）中所作的垂直平分线交x轴于点，连接，求证：轴． 20. 某实践活动小组阅读了古代数学家刘徽编撰《重差》后，他们欲测量球罐外斜梯的长度，实施了如下方案：先测得球罐最低处离地面高度米．接着一人站在球罐最高点处，看到斜梯末端处恰好被斜梯顶端E遮挡（此时与相切），已知过切点恰有一水平横梁交于斜梯末端F处． （1）连接，求证：； （2）若眼睛与点的距离为1.5米，，求斜梯的长． 21. 随着人们“环保低碳，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车商行经营A，B两种型号自行车，上个月销售A型车100辆，B型车80辆，销售总额为148000元；A型车比B型车销售单价少50元． （1）求这两种自行车销售单价各是多少元； （2）该商行本月计划新进一批A型车和C型车共60辆，且C型车的进货数量不超过A型车数量的2倍．已知A型车和C型车的进货价格分别为600元和650元，且A型车的销售价格不变，C型车销售价格为900元，应如何进货才能使新进的这批自行车获利最多？ 22. 下面是某地的一座桥，其桥洞形状可以看作一条抛物线．拱顶点与起拱线相距米，桥的跨度为，现以点为坐标原点，所在直线为轴，过点且垂直于所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系． 吃水深度：衡量船舶在水中的垂直高度，即水面与船底之间的距离． （1）求抛物线的表达式； （2）若观赏船宽为，船顶到船底的距离为，吃水深度为．请问该船能否安全通过此桥？说明理由． 23. 综合与实践在一次数学实践探究课上，老师带领学生以四边形折叠为主题进行探究活动． 问题情景：四边形中，，点在上，点在上，将沿翻折，使顶点落在四边形内，对应点为，点为边上一点，点为边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好在射线上． （1）奋进小组提出的问题是：如图1，若四边形为矩形，点在射线上，，则与的位置关系是___________，数量关系是___________； （2）智慧小组提出的问题是：将矩形改为平行四边形，其他条件不变，（1）中的两个结论是否仍然成立？并就图2的情形说明理由； （3）创新小组提出问题是：如图3，将问题迁移到平面直角坐标系中，使得矩形的边在轴上，三点重合，若点，点为的三等分点（位置不确定），连接，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年普通高中招生考试一模试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图，数轴上被墨水遮盖着数可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴上的点与有理数的对应，掌握数轴的特点是解题的关键． 根据数轴的特点可得，遮住的数在之间，结合选项即可求解． 【详解】解：根据图示可得，数轴上被墨水遮盖着的数在之间， ∴A、，符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：A ． 2. 如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟记各种常见平面图形旋转得到的立体图形是解题关键．根据面动成体结合梯形绕底边旋转一周可得圆柱与圆锥的组合体，即可得答案. 【详解】解：面动成体，梯形绕底边旋转一周可得圆柱与圆锥的组合体， ∴所求的图形是下面是圆锥，上面是圆柱的组合图形． 故选：D． 3. 若，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，∴，正确，故不符合题意； B．∵，∴，正确，故不符合题意； C．当时，满足，但，故错误，符合题意； D．∵，∴，正确，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、积的乘方、完全平方公式、同底数幂相除，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 5. 如图，直线和被直线和所截，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查是平行线的性质，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键． 根据题意，，可得，进而求解； 【详解】解：根据题意，作图如下： ， ， ； 故选：B 6. 在国际单位制中，长度的基本单位是米（m），1m最早是由地球球面上经过巴黎经线南北两极点距离的两千万分之一定出的．“”用科学记数法表示为（　　） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 先化简分式，再用科学记数法表示即可． 【详解】解：， 故选：C． 7. 如图是明代数学家程大位所著的《算法统宗》中的一个问题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．设共有银子x两，共有y人，则所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用银子数不变，结合每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤，得出等式即可． 【详解】解：设总共有x两银子，根据题意列方程得： ， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，利用银子数不变得出等量关系是解题关键． 8. 数学课上，刘老师拿出正面分别写有“”“”“”“”“”的五张不透明卡片（其中“”“”“”为元音字母），它们除正面外完全相同．把这五张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，不放回洗匀，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片都是元音字母的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查用列表与树状图求概率，掌握列出树状图求概率是解题的关键． 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次抽取的卡片都是元音字母的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得：    共有种等可能的结果，两次抽取的卡片都是元音字母的有种情况， ∴两次抽取的卡片都是元音字母的概率为：， 故选：． 9. 如图，点是上的点，且，若，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形判定与性质、垂径定理、含30度角的直角三角形、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，过点作于点，首先证明，由全等三角形的性质易得，，进而可知，结合垂径定理以及含30度角的直角三角形的性质，可得，，结合勾股定理解得，的值，然后根据阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：如下图，连接，过点作于点， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， 又∵，即， 解得， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积． 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，在轴上，点与坐标原点重合．动点从点出发，按顺时针方向在正方形的边上匀速运动，速度为每秒个单位长度，已知，设点的运动时间为秒，当存在且为锐角三角形时，的值可以是下列中的（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查正方形的性质及相应的规律问题，理解题意，找出相应规律是解题关键； 根据选项中的时间，分别计算路程，确定点位置，根据规律，进而求解； 【详解】解：正方形的边，故周长为， 当秒时，动点运动的路程为 (个单位长度) ， 所以动点从点出发，按顺时针方向在正方形的边上匀速运动，运动秒后，点在点上，构不成，不满足题意； 当，动点运动的路程为， ， 所以动点从点出发，按顺时针方向在正方形的边上匀速运动，运动秒后，点在点上，此时为直角三角形，不满足题意； 当，动点运动的路程为； ， 所以动点从点出发，按顺时针方向在正方形的边上匀速运动，运动秒后，点在边上，满足题意； 当，动点运动的路程为， ， 所以动点从点出发，按顺时针方向在正方形的边上匀速运动，运动秒后，点在边上，此时为直角三角形，不满足题意； 故选：C 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 方程的解为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解法，熟知分式方程的解法是解题的关键，最后要记得检验． 先去分母化成一元一次方程再解整式方程最后再检验即可． 【详解】解： 去分母得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 故答案为：． 12. 为了解女生一分钟跳绳的情况，某校随机抽测了该校九年级某班女生，统计她们一分钟跳绳的成绩，并将统计结果制成如图所示的折线统计图，则成绩的众数为___________． 【答案】130（或130个） 【解析】 【分析】本题考查了数据的分析，众数，熟悉掌握众数的意义是解题的关键． 根据众数的意义结合图象寻找即可． 【详解】解：由图象可得：成绩为分的人数最多，则成绩的众数为． 故答案为：． 13. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是 _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式，先根据一元二次方程的定义及根的判别式列出关于的不等式，求出的取值范围即可．解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴，， 解得：． 故答案为：． 14. 如图，菱形中，，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，连接，当与第一次垂直时，的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握性质、旋转的性质，等边对角的运用是关键． 根据菱形，旋转的性质得到，，，如图所示，连接，设与交于点，可证，，由此得到，由，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， 如图所示，连接，设与交于点， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为： ． 15. 如图，在三角形纸片中，为的中线．沿将纸片剪开，得到和，将三角形纸片沿直线向右平移，当线段在内部的长度为1时，平移的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据可得，，进而证求出，得，再由求解即可. 详解】如图2，设交于，交于，过点作， 依题意得：， ∵，为的中线． ∴ ， 图1中， 由平移的性质可知图2中 ∴， ∴，即， 又∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵图2 中， ∴， 即平移的距离为 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平移的性质和解直角三角形，等腰三角形的性质和判定,求出是解题关键. 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【详解】本题考查了实数的混合运算，分式的减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先根据立方根的概念，零指数幂，负整数指数幂法则进行运算，然后合并即可； （）先通分，然后进行分式减法运算即可． 解：（）原式 ； （）原式 ． 17. 某校为培养学生良好的用眼习惯，在七、八两年级开展了正确用眼知识竞赛． 【数据收集与整理】从七、八两年级中各随机抽取份学生答卷，并 统计成绩（成绩得分用x表示，单位：分，且最低为50分）．将所收集的样本数据进行如下分组： 组别 整理样本数据，并绘制七、八两年级样本数据的频数直方图，部分信息如表： 【数据分析与运用】 任务一 图中___________； 任务二 五组数据的平均数分别取为，，，，，已计算出七年级竞赛成绩样本数据的平均数为，请你计算八年级竞赛成绩样本数据的平均数； 任务三 下列结论一定正确的是___________（填正确结论的序号）； 两个年级样本数据的中位数均在组；两个年级样本数据的最大数与最小数的差相等． 任务四 结合统计信息，哪个年级的竞赛成绩较好？并说明理由． 【答案】任务一：；任务二：八年级竞赛成绩样本数据的平均数为；任务三：；任务四：八年级的竞赛成绩较好，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方、平均数、中位数、众数、方差的意义和计算方法，理解各个概念的含义及其实际意义是解题的关键． 任务一：根据频数分布直方可得的值； 任务二：根据加权平均数的计算方法求即可； 任务三：根据中位数、极差的意义判断即可； 任务四：从中位数、平均数的意义判断即可． 【详解】解：任务一：由题意得，， 故答案为：； 任务二：八年级竞赛成绩样本数据的平均数为：； 任务三：两个年级样本数据的中位数均在组，正确； 两个年级样本数据的最大数与最小数的差无法确定相等，错误； 故答案为：； 任务四：八年级的竞赛成绩较好， 理由：两个年级样本数据的中位数均在组，八年级竞赛成绩样本数据的平均数大于七年级竞赛成绩样本数据的平均数．（答案不唯一） 18. 龙角塔，位于诸葛亮躬耕地南阳卧龙岗内，是武侯祠的一个重要人文景观．某数学小组的同学把“测量龙角塔的高”作为一项实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实践活动报告． 活动项目 测量龙角塔的高度 活动方案 “测角仪”方案 方案示意图 实施过程 ①选取与龙角塔底B位于同一水平地面的D处立一标杆CD； ②测量B，D两点间的距离； ③在F处用测角仪测量从眼睛E看到标杆顶点C与龙角塔顶点A在同一条直线上； ④测量D，F两点间的距离； ⑤测量E到地面的高度EF． 测量数据 ①②；③；④． 说明 ①图上所有点均在同一平面内；②，，均与地面垂直． 任务一：根据活动报告，求龙角塔的高度（精确到）； 任务二：该小组要写出一份完整的活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）？ 【答案】任务一：龙角塔高度约为；任务二：人员分工，指导教师，活动感受等（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 任务一：过点作于点，交于点，则四边形和四边形均为矩形，得，，，，由，得，进而可得，代入计算即可求解． 任务二：根据实践活动报告的完整性要求，思考需要补充的项目． 【详解】解：任务一：如图，过点作于点，交于点， 四边形和四边形均为矩形， 由题意得， ，， ，， ， ， ， ， ， 答：龙角塔的高度约为． 任务二：要写出一份完整的活动报告，除上表的项目外，还需要补充：人员分工，指导教师，活动感受等（答案不唯一）． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与轴交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） （3）若（2）中所作的垂直平分线交x轴于点，连接，求证：轴． 【答案】（1）反比例函数的表达式为 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式、尺规作图、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）先求得点，然后代入反比例函数解析式即可解答； （2）根据垂直平分线的尺规作图作法即可解答； （3）设与轴交于点，与垂直平分线交于点，然后根据坐标与图形以及等腰三角形的性质可得，再根据垂直平分线的性质可得，最后根据三角形内角和定理即可证明结论． 【小问1详解】 解：点是一次函数的图象上的点， ， 点， 点在反比例函数的图象上，带入得：， ， 反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：如图即为所求． 【小问3详解】 解：设与轴交于点，与垂直平分线交于点， 对于一次函数，当时，， 当时，， ， ， 根据垂直平分线的性质可知：， ， ，即轴． 20. 某实践活动小组阅读了古代数学家刘徽编撰的《重差》后，他们欲测量球罐外斜梯的长度，实施了如下方案：先测得球罐最低处离地面高度米．接着一人站在球罐最高点处，看到斜梯末端处恰好被斜梯顶端E遮挡（此时与相切），已知过切点恰有一水平横梁交于斜梯末端F处． （1）连接，求证：； （2）若眼睛与点的距离为1.5米，，求斜梯的长． 【答案】（1）见解析 （2）18米 【解析】 【分析】本题主要涉及圆的切线性质、切线长定理以及解直角三角形的相关知识，熟知相关性质是正确解答此题的关键． （1）通过圆的切线性质和平行线的性质来证明角相等； （2）先根据已知的正弦值和线段长度求出相关直角三角形的边长，再利用相似三角形的性质求出斜梯的长． 【小问1详解】 解：由题意得：，均与相切， ， 又四边形内角和为， ， 又， ； 【小问2详解】 解：设半径为，在中， ，即， 解得， 在Rt中，（米）， ， 米 根据切线长定理可知米． 21. 随着人们“环保低碳，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车商行经营A，B两种型号自行车，上个月销售A型车100辆，B型车80辆，销售总额为148000元；A型车比B型车销售单价少50元． （1）求这两种自行车的销售单价各是多少元； （2）该商行本月计划新进一批A型车和C型车共60辆，且C型车的进货数量不超过A型车数量的2倍．已知A型车和C型车的进货价格分别为600元和650元，且A型车的销售价格不变，C型车销售价格为900元，应如何进货才能使新进的这批自行车获利最多？ 【答案】（1）A型车的销售单价为800元，B型车的销售单价为850元 （2）新进型车20辆，型车40辆，这批自行车获利最多 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识，正确理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设型车的销售单价为元，型车的销售单价为元，根据题意列出二元一次方程组并求解即可； （2）设本月新进型车辆，则型车（）辆，获利元，根据题意可得，并求得的取值范围，结合一次函数的性质即可获得答案． 【小问1详解】 解：设型车的销售单价为元，型车的销售单价为元， 由题意得，， 解得， 答：A型车的销售单价为800元，B型车的销售单价为850元； 【小问2详解】 设本月新进型车辆，则型车（）辆，获利元， 由题意，得， 型车的进货数量不超过型车数量的2倍， ， ， ， 随的增大而减小， 时，有最大值， 型车的数量为：（辆）． 当新进型车20辆，型车40辆时，这批自行车获利最多． 22. 下面是某地的一座桥，其桥洞形状可以看作一条抛物线．拱顶点与起拱线相距米，桥的跨度为，现以点为坐标原点，所在直线为轴，过点且垂直于所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系． 吃水深度：衡量船舶在水中的垂直高度，即水面与船底之间的距离． （1）求抛物线的表达式； （2）若观赏船宽为，船顶到船底的距离为，吃水深度为．请问该船能否安全通过此桥？说明理由． 【答案】（1）； （2）观赏船可以安全通过此桥，理由见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数的图象与性质判断船是否能通过拱桥． 根据平面直角坐标系中点、、的位置分别得到点、、的坐标分别为、、，设抛物线解析式为：，把点的坐标代入，求得：，从而可得抛物线的函数表达式为：； 因为观赏船在抛物线的正中间，延长交抛物线于点，根据吃水深度可知在起拱线下方处，根据观赏船宽为，，可得点的横坐标为：，把代入二次函数：的解析式中可得：，又因为船高，吃水深度为，可得观赏船在水上方的高度为，又因为，所以观赏船可以安全通过此桥． 【小问1详解】 解：由题意得：点的坐标为，点的坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 拱顶点的坐标为，为抛物线的顶点， 设抛物线解析式为：， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：如下图所示，观赏船在抛物线的正中间，延长交抛物线于点， 根据吃水深度可知在起拱线下方处， ，， 点的横坐标为：， 当时， 可得：， 点到水面的高度为， 船顶到船底的距离为，吃水深度为， 观赏船在水上方的高度为， ， 观赏船可以安全通过此桥． 23. 综合与实践在一次数学实践探究课上，老师带领学生以四边形折叠为主题进行探究活动． 问题情景：四边形中，，点在上，点在上，将沿翻折，使顶点落在四边形内，对应点为，点为边上一点，点为边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好在射线上． （1）奋进小组提出的问题是：如图1，若四边形为矩形，点在射线上，，则与的位置关系是___________，数量关系是___________； （2）智慧小组提出的问题是：将矩形改为平行四边形，其他条件不变，（1）中的两个结论是否仍然成立？并就图2的情形说明理由； （3）创新小组提出的问题是：如图3，将问题迁移到平面直角坐标系中，使得矩形的边在轴上，三点重合，若点，点为的三等分点（位置不确定），连接，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）成立，理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出正确的辅助线是解题的关键． （1）根据矩形的性质、折叠的性质得到，得到，再证明，得到，由此即可求解； （2）根据平行四边形的性质、折叠的性质得到，得到，再证明，得到，由此即可求解； （3）分两种情况，利用矩形的性质和勾股定理，分别解答即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠，点共线，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：成立，理由如下， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵折叠，点共线，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即（1）中两个结论仍然成立； 【小问3详解】 解：如图，当时，过点作交的延长线于点， ， 四边形是矩形，， ， ， ，， 根据折叠可得，， ， 四边形为矩形， ， 设，则，则， 根据勾股定理可得， 即， 解得， ； 如图，当时，过点作交的延长线于点， ， 同理可得四边形为矩形，则， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得， 即， 解得， ； 综上，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$