精品解析：2025年广西壮族自治区来宾市兴宾区中考一模数学试题（3月）

2025年广西初中学业水平考试模拟卷（一） 数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 下列各数中，是负数是（ ） A. 2 B. C. 0 D. 1 2. 志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据384000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是红、黄两队某局比赛投壶结束后冰壶的分布图，以冰壶大本营内的中心点为原点建立平面直角坐标系，按照规则更靠近原点的壶为本局胜方，则胜方最靠近原点的壶所在位置位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 不透明盒子中装着4张印有二十四节气相关内容的卡片，其中有2张“立春”，1张“立秋”，1张“冬至”，这些卡片除了画面内容外无其他差别．从盒子中随机取出一张卡片，取出“立秋”的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 铜钱是我国的早期货币，外圆内方的构造彰显了数学之美，铜钱外部的圆半径为a，正方形边长为b，下列表示铜钱阴影部分的面积的式子是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是某车库出入口的栏杆，栏杆绕点C旋转，记旋转角．若，则栏杆B端从栏杆水平位置上升的垂直距离为（ ） A. B. C. D. 8. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 古时候人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图所示是一位妇女按满五进一的方法，从右到左在绳子上依次打结，用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到43个野果，则第2根绳子上的打结个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知电功率与电压、电阻的关系式是：．当两个灯泡并联接在电压为的电路中时，如果它们的电功率的比，那么它们的电阻的比（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 11. 某校在“劳动周”活动中，七年级1班、2班参与种植花苗活动，1班每天比2班多种植50棵花苗，1班种植400棵花苗和2班种植300棵花苗的时间相同．设1班每天种植棵，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，点、分别在长方形纸片的、边上，与所夹的锐角，将纸片沿折叠得到图，点落到点处；点在边上，沿进行第二次折叠得到图3，点的对称点恰好落在上，则与的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：________． 14. 二维码是移动设备上流行的一种编码方式．如图，是一个边长为10的正方形二维码，为了估计图中黑色部分的面积，在此二维码上进行大量重复掷点试验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.6左右，则二维码中黑色部分的面积约是 _____． 15. 如图，工人师傅用活口扳手拧一个六角螺丝，六角螺丝的头部为正六边形，边长为，扳手每次旋转度数为六角螺丝中心角的度数，旋转四次后，点经过的弧长为________． 16. 全世界大部分国家都采用摄氏温标预报天气，但美国等个别国家采用华氏温标，小明同学通过查阅资料，得到了相关数据，如下表： 摄氏温度值/℃ 0 10 20 30 40 50 华氏温度值/℉ 32 50 68 86 104 122 小军看到小明表格中的数据后，认为相应的值一直大于值，小明不认同这个观点，并运用所学数学知识计算得出，当的取值范围是________时，值小于值． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解不等式：． 18. “碳达峰”与“碳中和”是两个与全球气候变化紧密相关概念．“碳达峰”是二氧化碳排放量达到历史峰值后开始逐步下降的趋势，“碳中和”指通过节能减排、植树造林等措施，使二氧化碳排放量与吸收量达到平衡，实现净零排放．为了考察初中生对全球气候变化基础知识的了解程度，某校组织了一次测试，并将得分结果量化为0至100之间的分数，然后分别随机抽取了三个年级各10名学生的得分数据如下： 【收集整理】 七年级得分数据：60，65，70，70，70，70，85，85，95，100． 八年级得分数据：70，75，80，85，85，90，90，90，95，100． 九年级得分数据：65，70，80，80，80，90，90，95，100，100． 【描述分析】 （1）七、八、九年级学生得分的平均数、中位数、众数如下表： 平均数 中位数 众数 七年级 70 70 八年级 86 87.5 九年级 85 80 直接写出________，________，________． 【分析解决】 （2）①该校七、八、九年级分别有400名、300名和300名学生参加了此次测试．根据样本数据，估算该校全体学生的平均得分． ②依据数据分析结果，任选一个角度，对三个年级学生的全球气候变化基础知识的掌握程度作出评价与建议． 19. 如图，是等腰三角形，，． （1）尺规作图：作的平分线，交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹，标注字母） （2）若，，求的周长． 20. “绿色出行，驾享未来”，近几年，新能源汽车得到了大力推广，该类汽车突出的环保特性，体现了作为未来主要交通方式的前瞻性和科技感．某校为了便于教职工进行新能源汽车充电，计划在长、宽的长方形空地修建一个新能源汽车停车场，并向学校的广大师生征集设计方案． 【资料收集】某班同学通过网络查阅资料和实地考察，确定采用“垂直式”或“倾斜式”两种车位类型进行设计，收集的相关材料及数据如下表： 类型 示意图 形状 边长（单位：） 垂直式车位 矩形 53 2.5 倾斜式车位 平行四边形 6 2.8 行车通道宽度不低于 【设计方案】依据收集的材料，同学们设计了如下两种方案： 【方案一分析】∵， ∴垂直式车位只能设计1行． ∵， ∴垂直式车位每行可以设计12个， ∴方案一共可以设计垂直式车位12个． 【方案二分析】（1）通过计算，判断方案二的设想是否合理，并计算方案二可以设计多少个停车位；（，） 【设计优化】（2）请结合以上数据及分析，设计一个停车位数量更多的方案，画出设计示意图，并说明理由． 21. 如图，为的直径，点在的延长线上，为上一点，连接，，，分别是，的中点，连接，，延长，交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求证：是的切线； （3）在（2）的条件下，若，，求的半径． 22. 我们常借助图象来探究二次函数的性质及其变化规律． 【初步探究】如图1，我们将二次函数的图象向上平移得到的图象．过上点作轴交于点． （1）点在上运动的过程中，线段的长度是否会发生变化？若不变，请求出定值；若变化，请说明理由． 【拓展探究】如图2，线段分别交轴、轴于点，．平移得到，且使其顶点始终在线段上．过点作轴交于点． （2）若的顶点横坐标为4，，求点的横坐标． （3）若点的坐标为，的顶点横坐标为，的长为． ①求关于的函数解析式； ②求的最大值． 23. 以“图形的旋转”为主题的数学活动课上，同学们尝试使用三角形纸板开展探究活动．如图，在中，，，，取，中点，，将沿剪开，得到四边形和，将绕点顺时针旋转得到． 操作发现】（1）若交于点，求证：； 【深入探索】（2）在（）的条件下，同学们发现将旋转到一些特殊位置时，可以进一步探索线段长度． 如图，若，求长； 如图，若，，三点共线，求的长； 【拓展延伸】（3）在旋转的过程中，请直接写出面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年广西初中学业水平考试模拟卷（一） 数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 下列各数中，是负数的是（ ） A. 2 B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据负数的定义进行判断即可． 【详解】解：是负数，0既不是正数也不是负数，1和2均为正数， 故选：B． 【点睛】本题考查正数和负数的定义，掌握正负数的意义是解答本题的关键． 2. 志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，故此选项符合题意； C．不中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据384000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：． 故选：B． 4. 如图是红、黄两队某局比赛投壶结束后冰壶的分布图，以冰壶大本营内的中心点为原点建立平面直角坐标系，按照规则更靠近原点的壶为本局胜方，则胜方最靠近原点的壶所在位置位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的象限，熟练掌握平面直角坐标系是解题的关键．在图中找出最靠近原点的壶，再根据平面直角坐标系中的象限分布，即可得出结论． 【详解】解：由图可知，最靠近原点的壶属于红队，故红队为本局胜方， 由平面直角坐标系可知，胜方最靠近原点的壶所在位置位于第四象限． 故选：D． 5. 不透明盒子中装着4张印有二十四节气相关内容的卡片，其中有2张“立春”，1张“立秋”，1张“冬至”，这些卡片除了画面内容外无其他差别．从盒子中随机取出一张卡片，取出“立秋”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，根据题意可知一共有4张卡片，其中1张“立秋”，故随机取出一张卡片即为． 【详解】解：一共有4张卡片，其中1张“立秋”， 故从盒子中随机取出一张卡片，取出“立秋”的概率是：， 故选：C 6. 铜钱是我国的早期货币，外圆内方的构造彰显了数学之美，铜钱外部的圆半径为a，正方形边长为b，下列表示铜钱阴影部分的面积的式子是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式．根据阴影部分的面积等于圆的面积减去正方形的面积，即可求解． 【详解】解：阴影部分的面积为． 故选：B 7. 如图是某车库出入口的栏杆，栏杆绕点C旋转，记旋转角．若，则栏杆B端从栏杆水平位置上升的垂直距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质及直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中30度角所对直角边等于斜边的一半即可得解，由旋转性质得根据直角三角形中30度角所对直角边等于斜边的一半即可得解． 【详解】解：由题意可得，，， ∴栏杆B端从栏杆水平位置上升的垂直距离， 故选：A． 8. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查合并同类项、同底数幂的乘法和除法、幂的乘方等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 根据合并同类项、同底数幂的乘法和除法、幂的乘方，逐项判断即可． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故选项A计算错误，不符合题意； B．，故B计算错误，不符合题意； C．，故C计算错误，不符合题意； D．，故D计算正确，符合题意． 故选D． 9. 古时候人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图所示是一位妇女按满五进一的方法，从右到左在绳子上依次打结，用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到43个野果，则第2根绳子上的打结个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设在第2根绳子上的打结数是x，根据满五进一列出方程，然后求解即可得出答案． 【详解】解：设在第2根绳子上的打结数是x，根据题意得：， 解得， 即在第2根绳子上的打结数是3， 故选：C． 10. 已知电功率与电压、电阻的关系式是：．当两个灯泡并联接在电压为的电路中时，如果它们的电功率的比，那么它们的电阻的比（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，明确经过两个电阻的电压相同是解题的关键．由题意得，经过两个电阻的电压相同，进而求解． 【详解】解：由题意得，经过两个电阻的电压相同， 故，即． 故选：D． 11. 某校在“劳动周”活动中，七年级1班、2班参与种植花苗活动，1班每天比2班多种植50棵花苗，1班种植400棵花苗和2班种植300棵花苗的时间相同．设1班每天种植棵，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据1班种植400棵花苗和2班种植300棵花苗的时间相同列方程即可得到结论． 【详解】解：设1班每天种植棵， 依题意得：， 故选：B． 12. 如图，点、分别在长方形纸片的、边上，与所夹的锐角，将纸片沿折叠得到图，点落到点处；点在边上，沿进行第二次折叠得到图3，点的对称点恰好落在上，则与的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，灵活运用以上知识点是解题的关键． 过点作，则，由折叠得，，，再根据平角的定义即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，则， 由折叠得， 由折叠可得，， ∴， 故选：． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，根据绝对值的意义求解即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 14. 二维码是移动设备上流行的一种编码方式．如图，是一个边长为10的正方形二维码，为了估计图中黑色部分的面积，在此二维码上进行大量重复掷点试验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.6左右，则二维码中黑色部分的面积约是 _____． 【答案】60 【解析】 【分析】先根据经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，可估计点落入黑色部分的概率为0.6，再乘以正方形的面积即可得出答案． 【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分频率稳定在0.6左右， ∴估计点落入黑色部分的概率为0.6， ∴估计黑色部分的总面积约为10×10×0.6＝60， 故答案为：60． 【点睛】本题考查了用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且变动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性，可以估计概率． 15. 如图，工人师傅用活口扳手拧一个六角螺丝，六角螺丝的头部为正六边形，边长为，扳手每次旋转度数为六角螺丝中心角的度数，旋转四次后，点经过的弧长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆综合，求弧长，先求出正六边形的中心角是，结合旋转四次，然后根据弧长公式进行列式计算即可作答，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由正六边形的性质可知，，中心角为， 由弧长公式可得，旋转四次后，点经过的弧长为， 答案为：． 16. 全世界大部分国家都采用摄氏温标预报天气，但美国等个别国家采用华氏温标，小明同学通过查阅资料，得到了相关数据，如下表： 摄氏温度值/℃ 0 10 20 30 40 50 华氏温度值/℉ 32 50 68 86 104 122 小军看到小明表格中的数据后，认为相应的值一直大于值，小明不认同这个观点，并运用所学数学知识计算得出，当的取值范围是________时，值小于值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数关系的判断、待定系数法求一次函数的解析式的运用和解不等式，由函数值求自变量的值的运用，求出函数的解析式是解题的关键． 根据表格中的数据，判断与的函数关系是一次函数，设函数解析式，再根据表格中的数据，求出函数解析式，结合题意得到不等式，求解即可． 【详解】解：由表格可知，每增加，就增加，则两种温标计量值的对应关系是一次函数， 设华氏温度与摄氏温度之间的函数关系式为， 由表中的数据，得， 解得， ， ∵值小于值 ∴，解得， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （1）计算：； （2）解不等式：． 【答案】（1），（2） 【解析】 【分析】本题主要考查含乘方的实数混合运算和解不等式， （1）根据含乘方的实数运算，先进行乘方乘除，再加减计算即可； （2）根据解不等式的步骤求解即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）， ， ． 18. “碳达峰”与“碳中和”是两个与全球气候变化紧密相关的概念．“碳达峰”是二氧化碳排放量达到历史峰值后开始逐步下降的趋势，“碳中和”指通过节能减排、植树造林等措施，使二氧化碳排放量与吸收量达到平衡，实现净零排放．为了考察初中生对全球气候变化基础知识的了解程度，某校组织了一次测试，并将得分结果量化为0至100之间的分数，然后分别随机抽取了三个年级各10名学生的得分数据如下： 【收集整理】 七年级得分数据：60，65，70，70，70，70，85，85，95，100． 八年级得分数据：70，75，80，85，85，90，90，90，95，100． 九年级得分数据：65，70，80，80，80，90，90，95，100，100． 【描述分析】 （1）七、八、九年级学生得分的平均数、中位数、众数如下表： 平均数 中位数 众数 七年级 70 70 八年级 86 87.5 九年级 85 80 直接写出________，________，________． 【分析解决】 （2）①该校七、八、九年级分别有400名、300名和300名学生参加了此次测试．根据样本数据，估算该校全体学生的平均得分． ②依据数据分析结果，任选一个角度，对三个年级学生的全球气候变化基础知识的掌握程度作出评价与建议． 【答案】（1）77；90；85；（2）①该校学生的平均得分为；②从平均数看，，八年级对全球气候变化基础知识的了解最好，九年级次之，七年级较差．建议七年级学生可通过兴趣课堂加强对全球气候变化的了解，增强社会责任感．（从中位数、众数角度回答均可） 【解析】 【分析】本题主要考查了数据分析，求中位线，众数和平均数，根据中位数、众数和平均数做决策，解题的关键是熟练掌握中位线，众数和平均数的意义． （1）根据平均数、中位数和众数的定义进行求解即可； （2）①用样本估计总体即可； ②从平均数、中位数、众数角度进行解答即可． 【详解】解：（1）根据题意得：； 八年级10个数据中90出现的次数最多，因此众数； 将九年级10个数据从小到大进行排序排在第5的是80，第6的是90，因此中位数； （2）①， 答：该校学生的平均得分为； ②从平均数看，，八年级对全球气候变化基础知识的了解最好，九年级次之，七年级较差．建议七年级学生可通过兴趣课堂加强对全球气候变化的了解，增强社会责任感．（从中位数、众数角度回答均可） 19. 如图，是等腰三角形，，． （1）尺规作图：作的平分线，交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹，标注字母） （2）若，，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，等腰三角形的性质，角平分线的定义，掌握角平分线的尺规作图是解题关键． （1）根据角平分线的尺规作图画出图形即可； （2）通过等腰三角形的性质结合角平分线的定义得，将、代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，射线即所求． 【小问2详解】 解：∵，， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∵，， ∴的周长为． 20. “绿色出行，驾享未来”，近几年，新能源汽车得到了大力推广，该类汽车突出的环保特性，体现了作为未来主要交通方式的前瞻性和科技感．某校为了便于教职工进行新能源汽车充电，计划在长、宽的长方形空地修建一个新能源汽车停车场，并向学校的广大师生征集设计方案． 【资料收集】某班同学通过网络查阅资料和实地考察，确定采用“垂直式”或“倾斜式”两种车位类型进行设计，收集的相关材料及数据如下表： 类型 示意图 形状 边长（单位：） 垂直式车位 矩形 5.3 2.5 倾斜式车位 平行四边形 6 2.8 行车通道宽度不低于 【设计方案】依据收集的材料，同学们设计了如下两种方案： 【方案一分析】∵， ∴垂直式车位只能设计1行． ∵， ∴垂直式车位每行可以设计12个， ∴方案一共可以设计垂直式车位12个． 【方案二分析】（1）通过计算，判断方案二的设想是否合理，并计算方案二可以设计多少个停车位；（，） 【设计优化】（2）请结合以上数据及分析，设计一个停车位数量更多的方案，画出设计示意图，并说明理由． 【答案】（1）方案二的设计合理，理由见解析，方案二可以设计倾斜式车位共20个，（2）设计优化：垂直式车位设计1行，倾斜式车位设计1行，可以设计停车位22个，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质和解直角三角形， （1）过点作，交的延长线于点，则．利用平行四边形的性质得，结合解直角三角形求得和，结合，可得倾斜式车位可以设计2行，所以方案二的设计合理，经计算方案二可以设计倾斜式车位共20个； （2）根据，则可以设计一行垂直式车位，一行倾斜式车位，那么该方案可以设计停车位22个． 【详解】解：（1）方案二的设计合理，理由如下： 如答图1，过点作，交的延长线于点，则． 在平行四边形中，， ∴． 在中，，， ∴，， ∴． ∵行车通道宽度不低于， ∴， ∴倾斜式车位可以设计2行，方案二的设计合理． ∵， ∴倾斜式车位每行可以设计10个， ∴方案二可以设计倾斜式车位共20个． （2）设计优化：垂直式车位设计1行，倾斜式车位设计1行，理由如下： 如答图2所示． ∵， ∴可以设计一行垂直式车位，一行倾斜式车位． 垂直式车位每行可以设计12个， 倾斜式车位每行可以设计10个， 该方案可以设计停车位22个． 21. 如图，为的直径，点在的延长线上，为上一点，连接，，，分别是，的中点，连接，，延长，交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求证：是的切线； （3）在（2）的条件下，若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）3 【解析】 【分析】（1）根据题意得，结合垂径定理得和，则，即可证明四边形是矩形． （2）连接，有，得，进一步判定，等量代换为，即，即可证明结论成立； （3）结合题意设，．根据勾股定理得，有．进一步判定，有，求得，再利用勾股定理列方程求得x即可． 【小问1详解】 证明：∵为的直径， ∴． ∵，分别是，的中点，且，经过圆心， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 证明：连接．如图， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴，即， ∴． 又∵为半径， ∴是的切线． 【小问3详解】 解：∵， ∴． 设，． 在中，根据勾股定理，得， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． ∵， ∴． 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得， ∴， ∴的半径为3． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质、垂径定理、矩形的判定、等腰三角形的性质、切线的判定、解直角三角形、平行线的判定和性质和勾股定理，解题的关键是熟悉圆的性质和解直角三角形． 22. 我们常借助图象来探究二次函数的性质及其变化规律． 【初步探究】如图1，我们将二次函数的图象向上平移得到的图象．过上点作轴交于点． （1）点在上运动的过程中，线段的长度是否会发生变化？若不变，请求出定值；若变化，请说明理由． 【拓展探究】如图2，线段分别交轴、轴于点，．平移得到，且使其顶点始终在线段上．过点作轴交于点． （2）若的顶点横坐标为4，，求点的横坐标． （3）若点的坐标为，的顶点横坐标为，的长为． ①求关于的函数解析式； ②求的最大值． 【答案】（1）的长度不变，；（2）点的横坐标为或；（3）①当时，；当时，；② 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，涉及二次函数的平移、根据顶点坐标求函数解析式和二次函数的性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和分类讨论思想的应用． （1）理由一：因为是由向上平移3个单位长度得到，相同的对应的函数值相差3． 理由二：作差求得，则． （2）根据点的横坐标和直线，求得的顶点坐标，则的函数解析式为，设，，分点在点上方和点在点上方两种情况求解即可； （3）①根据题意得顶点为，则的函数解析式为，进一步求得，当点和点重合时求得m，分当和时，分别求得； ②结合①利用二次函数的性质分别求得最大值即可； 【详解】解：（1）的长度不变，． 理由一：因为是由向上平移3个单位长度得到，相同的对应的函数值相差3． 理由二：∵， ∴． （2）∵，的顶点横坐标为4， ∴的顶点坐标为， ∴的函数解析式为． 设，． 当点在点上方时，，则； 当点在点上方时，，则． ∴点的横坐标为或． （3）①∵的顶点横坐标为， ∴顶点为． ∴的函数解析式为． ∵， ∴． 当点，重合时，，解得，． 当时，； 当时，． ②当时，． ∵，对称轴为直线， ∴当时，的最大值． 当时，． ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，的最大值． ∵． ∴的最大值为． 23. 以“图形的旋转”为主题的数学活动课上，同学们尝试使用三角形纸板开展探究活动．如图，在中，，，，取，中点，，将沿剪开，得到四边形和，将绕点顺时针旋转得到． 【操作发现】（1）若交于点，求证：； 【深入探索】（2）在（）的条件下，同学们发现将旋转到一些特殊位置时，可以进一步探索线段长度． 如图，若，求的长； 如图，若，，三点共线，求的长； 【拓展延伸】（3）在旋转过程中，请直接写出面积的最大值． 【答案】（）见解析；（）；；（）． 【解析】 【分析】（）连接，由中位线定理可得，则，然后证明即可； （）由中位线定理得，，进而求勾股定理得，再利用平行线及等腰三角形的判定可得，，进而求得在利用线段的和差求出即可得解； 先证进而设，在中，由勾股定理得，然后代入求解即可； （）为定线段，所以面积问题转化为点到最大距离问题，很明显当三点共线时，此时即为点到的最大距离，即可得解． 【详解】证明: 如图，连接， ∵，为中点， ∴， ∴， ∵三点共线， ∴， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （）如图，记交于点， ∵，，为中点， ∴，， 在中， 由勾股定理，得， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴； ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∵，，三点共线, ∴， ∴， ∴， 设， 在中， 由勾股定理，得， 则， 解得， ∴； （）如图，过作于点， ∵为定值， ∴当上的高线最大时，则面积最大，即求出到的最大距离即可， ∵， 当点和点重合时，且旋转到外侧时，此时最大， ∵， ∴此时三点共线， 即， ∴， 即面积最大值为， 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定，中位线定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$