精品解析：辽宁省盘锦市兴隆台区2024-2025学年下学期九年级七校联考零模数学试卷

2024－2025学年度九年级（下）学情调研 数学试卷 （本试卷共23道题满分120分考试时间120分钟） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 央视2025年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，与全球华人相约除夕、欢度农历新年．下面是取自主标识中的图案是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 截至2025年3月15日，在全球热映的国产动画片《哪吒之魔童闹海》全球总票房（含预售及海外）突破150.2亿元人民币，跻身全球影史票房榜第五位，该成绩刷新了中国电影在全球票房榜单中的最高排名．将15020000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 一批零件超过规定长度记为正数，短于规定长度记为负数，越接近规定长度质量越好．检查其中四个零件，结果如下：第一个为，第二个为，第三个为，第四个为，则这四个零件中质量最好的是（ ） A. 第一个 B. 第二个 C. 第三个 D. 第四个 4. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列几何体的三视图中没有矩形的是（　　） A. B. C. D. 6. 解分式方程，去分母得（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中，真命题是（ ） A. 分数都是有理数 B. 若，则 C. 平分弦的直径垂直于这条弦 D. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 8. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？ 意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问：人数、物价各是多少？若设物价是x钱，则可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 数学课上，老师与学生们做“用频率估计概率”试验：不透明袋子中有1个黑球，2个黄球，3个白球，和4个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（ ） A. 黑球 B. 白球 C. 黄球 D. 红球 10. 如图，正方形的边长为2，动点从点出发，在正方形的边上沿着的路径运动（点与点不重合）．设点的运动路程为，则下列图象中表示的面积关于的函数关系的是（ ） A B. C. D. 二、填空题（每题5分，共15分） 11. 要使式子有意义，则a的取值范围是___________． 12. 如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，已知，光线从液体中射向空气时发生折射，光线偏折了，则的度数为______． 13. 如图，原点O是ABC和的位似中心，点A(1，0)与点(－2，0)是对应点，ABC的面积是，则的面积是________________． 14. 如图，四边形是菱形，轴，垂足为函数的图象经过点，若，则菱形的面积为______． 15. 定义：连接平面内的一点与的边上的各点的所有线段中，最短的线段的长度为点到的距离，记为，当点点在边上时，规定，若是边长为2的等边三角形，则满足的所有点覆盖的图形的面积是______． 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16 （1）计算：； （2）化简：． 17. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小明用20米的绳子编织了6个大小两种规格的中国结，其中一个大号的需要用绳4米，一个小号的需要用绳3米． （1）这两种中国结各编织了几个？ （2）如果小芳想编织这两款中国结共15个，那么50米的绳子最多可以编织几个大号的中国结？ 18. 根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下： 平均数 中位数 众数 第1小组 3.9 4 a 第2小组 b 3.5 5 第3小组 3.25 c 3 请根据以上信息，完成下列问题： （1）①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为______度； ②请补全第1小组得分条形统计图； （2）______，______，______； （3）已知该校共有4200名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生竞赛成绩不低于90分？ 19. 我市某工艺厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据： 销售单价（元/件） … 30 40 50 60 … 每天销售量（件） … 500 400 300 200 … （1）把上表中、的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想与的函数关系，并求出函数关系式； （2）当销售单价定多少时，工艺厂试销该工艺品每天能获得8000元利润？ 20. 高空走钢丝在中国有着悠久的历史，汉代称“走索”“铜绳伎”，三国、魏晋称“高縆”“踏索”，东汉张衡在《西京赋》中就有“跳丸剑之挥霍，走索上而相逢”的描写．古代的走索用的不是钢丝而是绳子，绳子由于柔软，更加容易晃动，难度不小．十一假期，阳光马戏团正在表演高空走钢丝（图1），杂技演员所在位置点到所在直线的距离，，此时（如图2），当杂技演员走至钢丝中点时，恰好．（如图3）运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，） （1）求的长； （2）求杂技演员从点走到点，下降的高度（结果精确到）． 21. 如图，已知圆内接四边形中是的直径，且满足． （1）尺规作图：过点作的切线，交的延长线于点； （2）在（1）的条件下，求证：； 22. 如图，将正方形沿方向平移得到正方形，其中点的对应点在线段上运动，连接，交于点，交于点，交于点，连接，． （1）直接写出和的数量关系； （2）判断和的数量关系，并说明理由； （3）设的面积为，的面积为，的面积为． ①若正方形的边长为，当点运动到何处时，取得最大值？求出的最大值； ②求证：． 23. 定义：若以函数图象上的点与平面内两个点，为顶点构成的三角形是等边三角形，则称是上关于，的“等边点”．在平面直角坐标系中，已知，，． （1）正比例函数上存在关于，的“等边点”，直接写出正比例函数的解析式； （2）点是轴正半轴上一点，点是反比例函数上关于，的“等边点”，且轴，求反比例函数的解析式； （3）二次函数过点，，，则的解析式为______； 如图，射线交轴于点，点是上关于，的“等边点”，其中在射线上，在射线上，求点的坐标； 如图，点是第一象限内二次函数的对称轴上一动点，若点是上关于，的等边点，直接写出点的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度九年级（下）学情调研 数学试卷 （本试卷共23道题满分120分考试时间120分钟） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 央视2025年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，与全球华人相约除夕、欢度农历新年．下面是取自主标识中的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查是中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、图案是中心对称图形，不符合题意； B、图案不是中心对称图形，符合题意； C、图案不是中心对称图形，不符合题意； D、图案不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 截至2025年3月15日，在全球热映的国产动画片《哪吒之魔童闹海》全球总票房（含预售及海外）突破150.2亿元人民币，跻身全球影史票房榜第五位，该成绩刷新了中国电影在全球票房榜单中的最高排名．将15020000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将15020000000用科学记数法表示为； 故选D 3. 一批零件超过规定长度记为正数，短于规定长度记为负数，越接近规定长度质量越好．检查其中四个零件，结果如下：第一个为，第二个为，第三个为，第四个为，则这四个零件中质量最好是（ ） A. 第一个 B. 第二个 C. 第三个 D. 第四个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是正数、负数的实际应用和绝对值的意义，明确绝对值最大的零件与规定长度偏差最大是解题的关键．根据绝对值最小的零件质量最好，即可判断． 【详解】解：， 质量最好的零件是第二个， 故选：B． 4. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查绝对值、负指数幂、单项式除以单项式，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据负指数幂、绝对值、幂的乘方及单项式除以单项式进行排除选项即可 【详解】解：A、，原计算错误，故不符合题意； B、，原计算错误，故不符合题意； C、，原计算正确，故符合题意； D、，原计算错误，故不符合题意； 故选C 5. 下列几何体的三视图中没有矩形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据长方体、三棱柱、圆柱以及圆锥的三视图进行判断即可． 【详解】解：A．该长方体的主视图、左视图、俯视图都是矩形， 因此选项A不符合题意； B．该三棱柱的主视图、左视图是矩形， 因此选项B不符合题意； C．该圆柱体的主视图、左视图是矩形， 因此选项C不符合题意； D．该圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆、所以它的三视图没有矩形， 因此选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义，掌握简单几何体的三视图的形状是正确判断的前提． 6. 解分式方程，去分母得（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，两边都乘以即可求解． 【详解】解：， 两边都乘以，得 ． 故选D． 7. 下列命题中，真命题是（ ） A. 分数都是有理数 B. 若，则 C. 平分弦的直径垂直于这条弦 D. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 【答案】A 【解析】 【分析】根据有理数的分类，不等式的性质，垂径定理，平行线的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．分数都是有理数，正确，是真命题； B．若，当时，则，故原命题错误，是假命题； C．平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故原命题错误，是假命题； D．两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题错误，是假命题； 故选A． 【点睛】此题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理． 8. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？ 意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问：人数、物价各是多少？若设物价是x钱，则可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，正确审题、发现隐藏的等量关系成为解答本题的关键．由设物价是x钱，根据人数不变即可列出一元一次方程；由此即可确定正确答案． 【详解】解：根据题意，得， 故选：B． 9. 数学课上，老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有1个黑球，2个黄球，3个白球，和4个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（ ） A. 黑球 B. 白球 C. 黄球 D. 红球 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，解题的关键是理解题意；由频率图可知：抽出某个颜色的球的概率稳定在0.20，然后问题可求解． 【详解】解：由图可知：抽出某个颜色的球的概率稳定在0.20， ∵， ∴抽出某个球的颜色最有可能的是黄球； 故选C． 10. 如图，正方形的边长为2，动点从点出发，在正方形的边上沿着的路径运动（点与点不重合）．设点的运动路程为，则下列图象中表示的面积关于的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了动点函数图像问题．理解的面积可分为两部分讨论是解题的关键． 的面积可分为两部分讨论：①点在上运动；②点在上运动．因此对应的函数应为分段函数，注意图像不包含这个点． 【详解】解：①当点在上运动时，的高不变，底为，所以的面积不变，为定值2； ②当点在上运动时，的高逐渐减小，底为，所以的面积逐渐减小（但不等于0）； ③因为，所以，所以点的运动路程最大路程为4，但不包含4； 综上所述，的面积关于的函数关系为分段函数：①当时，；②当时，逐渐减小． 故选C． 二、填空题（每题5分，共15分） 11. 要使式子有意义，则a的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数成为解题的关键． 根据二次根式有意义的条列立不等式求解即可． 【详解】解：根据题意：，解得：． 故答案为：． 12. 如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，已知，光线从液体中射向空气时发生折射，光线偏折了，则的度数为______． 【答案】##39度 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；由题意易得，，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为． 13. 如图，原点O是ABC和的位似中心，点A(1，0)与点(－2，0)是对应点，ABC的面积是，则的面积是________________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据△ABC和△A′B′C′的位似比是1：2，可利用相似三角形面积比等于相似比的平方求得△A′B′C′的面积是6． 【详解】解：∵点A（1，0）与点A′（-2，0）是对应点，原点O是位似中心 ∴△ABC和△A′B′C′的位似比是1：2 ∴△ABC和△A′B′C′的面积的比是1：4 ∴△A′B′C′的面积是6． 故答案是：6 【点睛】本题考查了位似相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方． 14. 如图，四边形是菱形，轴，垂足为函数的图象经过点，若，则菱形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先设，则点的横坐标为，则可知点的坐标为，根据锐角三角函数的定义可知，求出，，根据勾股定理可以求出，再根据菱形的面积公式求出菱形的面积即可． 【详解】解：设，则点的横坐标为， 又函数的图象经过点， 则点的坐标为， ，， ， ， ， ， 解得：， 点在轴的正半轴， ， ， ，， 在中， 四边形是菱形， ， 菱形的面积为． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了菱形的性质、反比例函数的图象与性质、锐角三角函数、勾股定理，解决本题的关键是根据反比例函数和图象与性质分别求出、的长度，再根据勾股定理求出菱形的边长． 15. 定义：连接平面内的一点与的边上的各点的所有线段中，最短的线段的长度为点到的距离，记为，当点点在边上时，规定，若是边长为2的等边三角形，则满足的所有点覆盖的图形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义，等边三角形的性质，勾股定理，扇形面积公式等知识，理解新定义是解答本题的关键． 作于点H，根据勾股定理求出，由题意可知，满足的所有点覆盖的图形包含的内部、三角形外部的三个长为2，宽为1的矩形和三个半径为1，圆心角为的扇形，据此求解即可． 【详解】解：∵是边长为2的等边三角形， ∴，． 如图，作于点H， 则， ∴． 由题意可知，满足的所有点覆盖的图形包含的内部、三角形外部的三个长为2，宽为1的矩形和三个半径为1，圆心角为的扇形， ∴所有点覆盖的图形的面积是． 故答案为：． 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，分式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据算术平方根定义，绝对值意义，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，进行计算即可； （2）根据分式混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小明用20米的绳子编织了6个大小两种规格的中国结，其中一个大号的需要用绳4米，一个小号的需要用绳3米． （1）这两种中国结各编织了几个？ （2）如果小芳想编织这两款中国结共15个，那么50米的绳子最多可以编织几个大号的中国结？ 【答案】（1）大号的中国结2个，小号的中国结4个 （2）5个 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据小明用20米的绳子编织了6个大小两种规格的中国结，设大号的中国结编织了个，则小号的中国结编织了个，再结合一个大号的需要用绳4米，一个小号的需要用绳3米进行列式计算，即可作答． （2）先根据小芳编织这两款中国结共15个，设大号的中国结编织了个，则小号的中国结编织了个，再结合“50米的绳子”这个条件进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：设大号的中国结编织了个，则小号的中国结编织了个， 依题意，， 解得， ∴（个）， ∴大号的中国结2个，小号的中国结4个； 【小问2详解】 解：设大号的中国结编织了个，则小号的中国结编织了个， 依题意，， 解得， 则50米的绳子最多可以编织个大号的中国结． 18. 根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下： 平均数 中位数 众数 第1小组 3.9 4 a 第2小组 b 3.5 5 第3小组 3.25 c 3 请根据以上信息，完成下列问题： （1）①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为______度； ②请补全第1小组得分条形统计图； （2）______，______，______； （3）已知该校共有4200名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生竞赛成绩不低于90分？ 【答案】（1）①18；② （2）5；；3 （3）估计该校约有名学生竞赛成绩不低于90分． 【解析】 【分析】（1）①用乘以第2小组“得分为1分”这一项的占比即可求解；②求得第1小组“得分为4分”这一项的人数即可补全第1小组得分条形统计图； （2）根据众数、平均数和中位数的定义即可求解； （3）利用样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为 ， 故答案为：18； ②第1小组“得分为4分”这一项的人数为（人）， 补全第1小组得分条形统计图如下， ； 【小问2详解】 解：第1小组中“得分为5分”这一项的人数最多，则， 第2小组的平均分为（分）， 则， 第3小组的中位数为第10和11个数，都是3（分）， 则， 故答案为：5；；3； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校约有名学生竞赛成绩不低于90分． 【点睛】本题考查的是条形统计图，扇形统计图和折线统计图，中位数、众数和平均数，样本估计总体．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 19. 我市某工艺厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据： 销售单价（元/件） … 30 40 50 60 … 每天销售量（件） … 500 400 300 200 … （1）把上表中、的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想与的函数关系，并求出函数关系式； （2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天能获得8000元利润？ 【答案】（1），见解析； （2）当销售单价定为40元或60元时，工艺厂试销该工艺品每天能获得8000元利润． 【解析】 【分析】本题考查画函数图象，求一次函数解析式，二元一次方程的应用，一元二次方程的应用．解题关键是根据题意列出方程与求出函数解析式． （1）描点，由图可猜想与是一次函数关系，利用待定系数法求出表达式即可； （2）利润销售总价成本总价单件利润销售量．据此列方程，求解即可值． 【小问1详解】 解：画图如图； 由图可猜想与是一次函数关系． 设一次函数的解析式为 一次函数的图象经过，这两点， ，解得， 函数关系式是：； 【小问2详解】 解：根据题意，得 化简整理，得， 解得：， 答：当销售单价定为40元或60元时，工艺厂试销该工艺品每天能获得8000元利润． 20. 高空走钢丝在中国有着悠久的历史，汉代称“走索”“铜绳伎”，三国、魏晋称“高縆”“踏索”，东汉张衡在《西京赋》中就有“跳丸剑之挥霍，走索上而相逢”的描写．古代的走索用的不是钢丝而是绳子，绳子由于柔软，更加容易晃动，难度不小．十一假期，阳光马戏团正在表演高空走钢丝（图1），杂技演员所在位置点到所在直线的距离，，此时（如图2），当杂技演员走至钢丝中点时，恰好．（如图3）运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，） （1）求的长； （2）求杂技演员从点走到点，下降的高度（结果精确到）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键； （1）过点作于点，在中，，代入数据即可求解； （2）解：过点作于点，在中，得出，在中，得出，进而即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， 在中，，， ， 则长为5m． 【小问2详解】 解：过点作于点， 点为钢丝中点， 在中， ， ， 在中，，， ， 则下降的高度约为． 21. 如图，已知圆内接四边形中是的直径，且满足． （1）尺规作图：过点作的切线，交的延长线于点； （2）在（1）的条件下，求证：； 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】（1）作射线，过点C作的垂线，交的延长线于点E即可； （2）由是的直径可证，由是的切线可证，从而，进而可证，证明得，然后结合三角形外角的性质可证． 【小问1详解】 解：如图，切线即为所求， 【小问2详解】 解：是的直径， ，， 是的切线， ， ， ， ， ； ， ， ， ，， 【点睛】本题考查了尺规作图，切线的性质，圆周角定理，等边对等角，以及三角形外角的性质，熟练掌握圆的性质是解答本题的关键． 22. 如图，将正方形沿方向平移得到正方形，其中点的对应点在线段上运动，连接，交于点，交于点，交于点，连接，． （1）直接写出和的数量关系； （2）判断和的数量关系，并说明理由； （3）设的面积为，的面积为，的面积为． ①若正方形的边长为，当点运动到何处时，取得最大值？求出的最大值； ②求证：． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）①为中点时，有最大值；②证明见解析． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质及平移的性质证明四边形是矩形，由等角对等边推出，即可得出结论； （2）如图，连接，根据正方形的性质得，再推出， 证明，由相似三角形的性质可得结论； （3）①过点作垂足为，设，则，根据等腰三角形的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，进一步得到，再根据二次函数的最值可得结论； ②如图，设点到的距离为，点到的距离为，得，推出，，即可得证． 【小问1详解】 解：∵是正方形的对角线， ∴，，， ∵将正方形沿方向平移得到正方形， ∴，，， ∴四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴和的数量关系为：； 【小问2详解】 ． 理由：如图，连接， ∵、是正方形的对角线， ∴，，，， ∴， ∵将正方形沿方向平移得到正方形，是正方形的对角线， ∴，， ∴， ， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 ①过点作垂足为， 设， ∵正方形的边长为， ∴， ∵，， ∴是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴当时（此时为中点），取得最大值，此时， ∴为中点时，有最大值； ②证明：如图，设点到的距离为，点到的距离为， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 即． 【点睛】本题考查正方形性质，平移的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值等知识点．掌握正方形的性质、相似三角形的判定和性质、二次函数的最值是解题的关键． 23. 定义：若以函数图象上的点与平面内两个点，为顶点构成的三角形是等边三角形，则称是上关于，的“等边点”．在平面直角坐标系中，已知，，． （1）正比例函数上存在关于，的“等边点”，直接写出正比例函数的解析式； （2）点是轴正半轴上一点，点是反比例函数上关于，的“等边点”，且轴，求反比例函数的解析式； （3）二次函数过点，，，则的解析式为______； 如图，射线交轴于点，点是上关于，的“等边点”，其中在射线上，在射线上，求点的坐标； 如图，点是第一象限内二次函数的对称轴上一动点，若点是上关于，的等边点，直接写出点的横坐标． 【答案】（1）或； （2）； （3）；；或． 【解析】 【分析】本题考查二次函数综合题，通过新定义“等边点”确定解析式，正比例函数，等边三角形的性质，二次函数图象上点的坐标特点等知识点，理解新定义和熟悉二次函数的性质是解题的关键． （1）根据图象和、的坐标即可得解； （2）由题意得是等边三角形，轴，通过解三角形的计算即可得到点坐标，即可得解； （3）的解析式为：，作垂足为，通过勾股定理可得，设，，，求出的值即可得解； 当，重合时，过作，交延长线于点，过点作轴于点，证明，设，可求得，，将代入，即可得解． 【小问1详解】 解：，， ， 边上的高为：， 点的纵坐标为：， ∵点P的横坐标为， 设正比例函数的解析式为， ∴ ∴或； 【小问2详解】 解：如图所示，由题意得是等边三角形，轴， ，， 中， ， ， ， 设， 将代入， 解得，， 的解析式为； 【小问3详解】 解：∵抛物线过，， ∴设抛物线的解析式为， 代入，得， ∴抛物线的解析式为； 作垂足为，如图所示， 由题意得， ，， ，， ， 设，，， 则， 解得，， ， ， ∴； 如图所示，当，重合时，，显然符合题意； 如图所示，过作，交延长线于点，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 设， ∵点是上关于，的等边点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴，即P是中点， ∴， 将代入， 解得（舍），， ∴， 综上，的横坐标为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $