精品解析：2025年四川省绵阳市江油市九年级中考数学模拟预测试题

秘密★启用前【考试时间：2025年4月3日9：00-11：00】 初中2022级学科教育质量监测 数学 （满分150分，120分钟完卷） 本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，第Ⅰ卷答案涂在答题卡上，第Ⅱ卷解答在答题卷上，否则不得分． 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米的黑色墨迹签字笔填写在答题卡上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考点、考场号． 2．第Ⅰ卷答案使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，第Ⅱ卷答案使用0.5毫米的黑色墨迹签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选择中，只有一项符合题目要求） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. （） C. D. （） 2. 中国古代的数学研究成果辉煌，产生的一些数学名词，颇有趣味．如《九章算术》中的“刍童”，原指上、下底面都是长方形的草垛．如图是一个“刍童”形状的几何体，它的主视图和左视图如图所示，则其俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 据报到，第五届“巴山蜀水运动川渝”体育旅游休闲消费季在四川绵阳的江油市圆满结束，在三天时间内，实现了商旅综合消费总额超过亿元．请你把亿元用科学记数法表示为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 4. 为深入贯彻落实《中共中央、国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》精神，某镇组织开展“乡村艺术大舞台”活动，其中参赛的六个村得分分别为：88，90，83，95，92，88，则这组数据的中位数是（ ） A. 88 B. 89 C. 90 D. 91 5. 非物质文化遗产是我国传统文化的优秀代表．江油市非物质文化遗产有江油肥肠、重华烟火架、铁索飞渡、青林口高抬戏等．小聪和小颖商定从“江油肥肠”、“重华烟火架”、“铁索飞渡”、“青林口高抬戏”四种中各随机选择一种，用于宣传江油的非物质文化遗产，两人恰好选中同一种的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 估计的值应在（　　） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 7. 如图1所示的是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以点为圆心，分别以，的长为半径，圆心角的扇面．若，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（　　） A. B. C. D. 9. 若关于的方程无解，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 10. 如图，小明先在凉亭处测得湖心岛在其北偏西的方向上，又从处向正东方向行驶200米到达凉亭处，测得湖心岛在其北偏西的方向上，则凉亭与湖心岛之间的距离为（ ） A. 400米 B. 米 C. 米 D. 米 11. 正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD上的一动点，且BE＝CF，连结AE，BF，两线交于点P，连接CP，则CP的最小值是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在矩形中，，平分交于点，交于点，过作于点，交于点，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共114分） 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13. 函数y＝中，自变量x的取值范围是____________． 14. 如图，将一个等腰直角三角形放在两条平行线上，若，则的度数为______． 15. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的最小整数值______． 16. 如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论，①；②时，y随x的增大而增大；③对于任意实数m，总有．其中正确的结论有______（直接填写序号）． 17. 人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则_______． 18. 如图，在菱形中，对角线交于点O，，，点E、F分别在、上，且，，点P是上任意一点，则的最大值为______． 三、解答题：（本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 19. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 20. 电视剧《山花烂漫时》以“七一勋章”、“时代楷模”的获得者张桂梅老师为原型，描绘了她在云南华坪女子高级中学辛勤耕耘的画面，展现了英模人物的非凡力量.为了解初中部学生对“张桂梅老师事迹”的了解程度，我校随机抽取了部分初中学生进行调查，并将调查结果分为了五类：A．非常了解；B．比较了解；C．了解；D．不太了解；E．不了解．根据调查结果，绘制出如图所示的两幅不完全统计图，请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次被抽查的学生共有 名；在扇形统计图中，A类所对应的圆心角度数为 ； （2）请补全条形统计图； （3）若我校共有3000名初中学生，估计我校初中学生对“张桂梅老师事迹”的了解程度为“不太了解及不了解”的人数． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，点在轴正半轴上，点，连接，四边形为菱形． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）在直线上是否存在点，且，若存在求点的坐标，若不存，请说明理由． 22. 为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的． （1）求航空和航海模型的单价； （2）学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 23. 在中，，是上一点．     （1）如图，是的中点，，，，求线段的长度； （2）如图，，点在线段上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，交于点，当时，猜想并证明与的关系． 24. 如图，内接于，点D为的中点，连接、，平分交于点E，过点D作交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，求的长． 25. 如图1，已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是抛物线上位于直线上方的一点，连接交于点E，过P作轴于点F，交于点G，若，求点P的坐标； （3）如图2，将抛物线位于x轴下方面的部分不变，位于x轴上方面的部分关于x轴对称，得到新的图形，将直线向下平移n个单位，得到直线l，若直线l与新的图形有四个不同交点，请直接写出n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秘密★启用前【考试时间：2025年4月3日9：00-11：00】 初中2022级学科教育质量监测 数学 （满分150分，120分钟完卷） 本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，第Ⅰ卷答案涂在答题卡上，第Ⅱ卷解答在答题卷上，否则不得分． 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米的黑色墨迹签字笔填写在答题卡上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考点、考场号． 2．第Ⅰ卷答案使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，第Ⅱ卷答案使用0.5毫米的黑色墨迹签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选择中，只有一项符合题目要求） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. （） C. D. （） 【答案】C 【解析】 【分析】根据整式的计算法则：幂的乘方法则，同底数幂除法法则，同底数幂乘法法则，负整数指数幂计算法则分别计算判断． 【详解】解：A、 ，故该项原计算错误； B、 （），故该项原计算错误； C、 ，故该项原计算正确； D、 （），故该项原计算错误； 故选：C． 【点睛】此题考查了整式的计算法则，熟记幂的乘方法则，同底数幂除法法则，同底数幂乘法法则，负整数指数幂计算法则是解题的关键． 2. 中国古代的数学研究成果辉煌，产生的一些数学名词，颇有趣味．如《九章算术》中的“刍童”，原指上、下底面都是长方形的草垛．如图是一个“刍童”形状的几何体，它的主视图和左视图如图所示，则其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图的特点，掌握立体图形三视图的特点，数形结合分析是解题的关键． 根据立体图形的特点，结合三视图分析即可，能看到的线用实线，不能看到的，但存在的线用虚线表示． 【详解】解：俯视图是 ， 故选：D ． 3. 据报到，第五届“巴山蜀水运动川渝”体育旅游休闲消费季在四川绵阳的江油市圆满结束，在三天时间内，实现了商旅综合消费总额超过亿元．请你把亿元用科学记数法表示为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：亿， 故选：． 4. 为深入贯彻落实《中共中央、国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》精神，某镇组织开展“乡村艺术大舞台”活动，其中参赛的六个村得分分别为：88，90，83，95，92，88，则这组数据的中位数是（ ） A. 88 B. 89 C. 90 D. 91 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数的定义，解题的关键是准确掌握中位数的定义． 根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：对原数据进行排列：83，88，88，90，92，95， 根据中位数的定义可得本组数据的中位数是第3位数和第4位数的平均数， 即 故选：B． 5. 非物质文化遗产是我国传统文化的优秀代表．江油市非物质文化遗产有江油肥肠、重华烟火架、铁索飞渡、青林口高抬戏等．小聪和小颖商定从“江油肥肠”、“重华烟火架”、“铁索飞渡”、“青林口高抬戏”四种中各随机选择一种，用于宣传江油的非物质文化遗产，两人恰好选中同一种的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，设“江油肥肠”、“重华烟火架”、“铁索飞渡”、“青林口高抬戏”分别用表示，画树状图展示所有种等可能的结果，其中两人恰好选中同一种的结果数为，然后根据概率公式求解即可，熟练掌握概率公式为解题的关键． 【详解】解：设“江油肥肠”、“重华烟火架”、“铁索飞渡”、“青林口高抬戏”分别用表示， 画出树状图， 共有种等可能的结果，其中两人恰好选中同一种的结果数为种， ∴两人恰好选中同一种的概率为， 故选：． 6. 估计的值应在（　　） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、无理数的估算，熟记二次根式的运算法则是解答的关键． 直接利用二次根式的乘法运算法则化简，进而估算无理数的大小即可． 【详解】解： ， ， ， ， 故选A． 7. 如图1所示的是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以点为圆心，分别以，的长为半径，圆心角的扇面．若，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算，根据，计算即可．掌握扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：∵如图是以点为圆心，分别以，的长为半径，圆心角的扇面，且，， ∴ ， ∴阴影部分的面积为． 故选：B． 8. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质以及由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出圆的面积是解题关键．直接利用圆的面积减去正方形面积，进而得出答案． 【详解】解：设正方形的边长是x步，则列出的方程是： 故选：B． 9. 若关于的方程无解，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，求解方程可得，再由方程无解可得分式方程没有意义时，或，两种情况即可求的值，熟练掌握分式方程的解法，理解方程无解的意义是解题的关键． 【详解】解： ， ， ∵方程无解，可分为以下两种情况： 分式方程没有意义时，或， 此时， 整式不成立时，， ∴， ∴的值为或， 故选：． 10. 如图，小明先在凉亭处测得湖心岛在其北偏西的方向上，又从处向正东方向行驶200米到达凉亭处，测得湖心岛在其北偏西的方向上，则凉亭与湖心岛之间的距离为（ ） A. 400米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形方向角的应用，锐角三角函数．过点作于点，根据，再分别利用正弦余弦三角函数求出和的值即可得到本题答案． 【详解】解：点作于点， ， 由题意可得：，， ∴，， 在中，米， ∴米， 米， ∴米， ∵， ∴（米）， 故选：B． 11. 正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD上的一动点，且BE＝CF，连结AE，BF，两线交于点P，连接CP，则CP的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】证明△ABE≌△BCF，即可得到∠APB=90°，再取AB中点H，HP=BC=2，点P在以点H为圆心，以HP为半径的半圆上运动，因此当H、P、C在同一条直线上时，CP取最小值，依据HP与CH的长，即可得出CP的最小值． 【详解】解：如图，取AB中点H，连接HP，HC， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴∠BAE=∠CBF， ∴∠BAE+∠ABP=∠CBF+ABP=90°， ∴∠APB=90°， ∴HP=BC=2，点P在以点H为圆心，以HP为半径的半圆上运动， ∴当H、P、C在同一条直线上时，CP取最小值， Rt△BCH中，HC==2， ∴CP的最小值=HC-HP=2-2， 故选A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，解决本题的关键是取AB中点H，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得出当H、P、C在同一条直线上时，CP取最小值． 12. 如图，在矩形中，，平分交于点，交于点，过作于点，交于点，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，利用一元二次方程解几何问题等知识点，解题的关键是熟练掌握各性质，并灵活应用． 根据条件先证明出四边形是正方形，再根据给出边的数量关系假设出未知数，利用相似三角形的性质，找出对应边成比例，列出一元二次方程，然后求出的长度，最后求出所需边的长度，进而求出角的正弦值即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 矩形， ，， ， ， 四边形是矩形， 平分， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， 设，，则，， ， ， ， ， 解得， ， ， ， ， 解得， ， 整理得， 解得或（舍去）， ， 在中，由勾股定理得， 根据三角形等面积法可得， 在中，由勾股定理得， 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题，共114分） 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13. 函数y＝中，自变量x的取值范围是____________． 【答案】x≤4且x≠2 【解析】 【分析】根据被开方数是非负数、分母不能为零，可得答案． 【详解】解：由y=，得4-x≥0且x-2≠0． 解得x≤4且x≠2． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数、分母不能为零得出4-x≥0且x-2≠0是解题关键． 14. 如图，将一个等腰直角三角形放在两条平行线上，若，则的度数为______． 【答案】##85度 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，两直线平行同位角相等，三角形内角和定理， 根据题意可知，再根据三角形内角和定理求出，然后根据平行线的性质得，可得答案． 【详解】如图所示， 根据题意可知， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的最小整数值______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．先根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得m的取值范围，再根据范围得出答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，且， 且， 的最小整数值为2． 故答案为：2． 16. 如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论，①；②时，y随x的增大而增大；③对于任意实数m，总有．其中正确的结论有______（直接填写序号）． 【答案】①③ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．根据抛物线开口向上，可知；根据对称轴为直线，可求出；由抛物线的对称性，可求出与x轴另一个交点为，代入抛物线解析式，结合，从而可判断①；时，图象在对称轴左侧，开口向上，随的增大而减少，即可判断②；根据题意可求出，故③正确． 【详解】解：①由图象可知：抛物线开口向上，则，对称轴为直线， 则， ∵抛物线对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点为， ∴另一个交点为， ∴． ∵， ∴， ∴，所以①正确； ②当时，图象在对称轴左侧，开口向上，随的增大而减少，所以②错误； ③对于任意实数， 总有 ，所以③正确； 综上所述，正确的结论有：①③． 故答案为：①③． 17. 人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则_______． 【答案】5050 【解析】 【分析】利用分式的加减法则分别可求S1=1，S2=2，S100=100，•••，利用规律求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， …， 故答案为：5050 【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得，找出的规律是本题的关键． 18. 如图，在菱形中，对角线交于点O，，，点E、F分别在、上，且，，点P是上任意一点，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，菱形的性质，相似三角形的判定与性质．如图，作点F关于对角线所在直线的对称点，连接、，结合，可得当点P、E、在一条直线上时，取到最大值，最大值即为的长度，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，作点F关于对角线所在直线的对称点， 连接、， ∵， ∴当点P、E、在一条直线上时，取到最大值，最大值即为的长度， ∵四边形为菱形，，， ∴， ∴在中，， 由对称性可得， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得，， ∴的最大值为4． 故答案为：． 三、解答题：（本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 19. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）利用绝对值，负整数指数幂，零指数幂和二次根式的性质进行运算即可； （2）利用分式的混合运算法则进行化简，然后再代数求值． 【详解】（1） ； （2） ， ∵ ∴原式． 【点睛】本题主要考查了绝对值，负整数指数幂，零指数幂和二次根式的化简，分式的混合运算，乘法公式，化简求值等知识点，解题的关键是熟练掌握各运算法则和运算顺序． 20. 电视剧《山花烂漫时》以“七一勋章”、“时代楷模”的获得者张桂梅老师为原型，描绘了她在云南华坪女子高级中学辛勤耕耘的画面，展现了英模人物的非凡力量.为了解初中部学生对“张桂梅老师事迹”的了解程度，我校随机抽取了部分初中学生进行调查，并将调查结果分为了五类：A．非常了解；B．比较了解；C．了解；D．不太了解；E．不了解．根据调查结果，绘制出如图所示的两幅不完全统计图，请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次被抽查的学生共有 名；在扇形统计图中，A类所对应的圆心角度数为 ； （2）请补全条形统计图； （3）若我校共有3000名初中学生，估计我校初中学生对“张桂梅老师事迹”的了解程度为“不太了解及不了解”的人数． 【答案】（1）100， （2） 补全条形统计图如下： ． （3）510名 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、利用样本估计总体等知识，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）利用类所对应的学生人数除以其所占的百分比即可得本次被抽查的学生总人数；再利用乘以类所对应的学生人数所占的百分比即可得类所对应的圆心角度数； （2）先求出类所对应的学生人数，再据此补全条形统计图即可得； （3）利用该校初中学生总人数乘以类所对应的学生人数所占的百分比即可得． 【小问1详解】 解：本次被抽查的学生总人数为（名）， 类所对应的圆心角度数为， 故答案为：100，． 【小问2详解】 解：类所对应的学生人数为（人）； 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计我校初中学生对“张桂梅老师事迹”的了解程度为“不太了解及不了解”的人数为510名． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，点在轴正半轴上，点，连接，四边形为菱形． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）在直线上是否存在点，且，若存在求点的坐标，若不存，请说明理由． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； （2）或； （3）存在，点的坐标为或． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数与几何的综合应用，待定系数法求函数解析式、菱形的性质及三角形的面积，利用数形结合的思想和分类讨论的思想是解题的关键． （）连接，交轴于点，由菱形的性质可知关于轴对称，可求得点坐标，把点坐标分别代入两函数解析式可求得和值； （）求出点坐标，再根据图象即可得出不等式的解集； （）根据菱形的性质可求得点坐标，可求得菱形面积，设点坐标为，根据条件可得到关于的方程，可求得点坐标． 【小问1详解】 解：如图，连接，交轴于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点， ∴，， ∴，， ∴， 将代入直线可得，解得； 将代入反比例函数可得，解得：； ∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由（）得一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为， 联立得：， 解得：或， ∴点， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：存在，理由如下， ∵，， ∴， ∵， ∴，S△OAP＝2， 设点坐标为，与轴相交于，则， ∴， ∴， 当在的左侧时，， ∴，， ∴； 当在的右侧时，， ∴，， ∴； 综上所述，点的坐标为或． 22. 为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的． （1）求航空和航海模型的单价； （2）学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 【答案】（1）航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为元； （2）当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元，根据用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的列出方程求解即可； （2）设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型个，先根据航空模型数量不少于航海模型数量的列出不等式求出m的取值范围，再列出y关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元， 由题意得，， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为元； 【小问2详解】 解：设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型个， 由题意得，， 解得， ， ∵， ∴y随m增大而增大， ∴当时，y有最小值，最小值为， 此时有， 答：当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少． 23. 在中，，是上一点．     （1）如图，是的中点，，，，求线段的长度； （2）如图，，点在线段上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，交于点，当时，猜想并证明与的关系． 【答案】（1） （2），证明见解析 【解析】 【分析】（）过点作交于点，由三角函数可得，利用勾股定理求出，根据直角三角形的性质得到，推出是等腰三角形，即得到，利用勾股定理求出，即可求出的长； （）延长，在延长线上截取，取的中点，连接，证明，得到，，设，则，根据三角形中位线性质可得，，得到，由三角形外角的性质得到，，得到，即得，进而即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作交于点，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵是中点，， ∴，， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：． 证明：如图，延长，在延长线上截取，取的中点，连接， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∵点分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 【点睛】本题考查了三角函数，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，三角形中位线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 24. 如图，内接于，点D为的中点，连接、，平分交于点E，过点D作交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴，且OD是的半径， ∴DF是的切线； （2） 证明：∵点为的中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，证明，结合，可得，从而可得结论； （2）证明，，结合，，再进一步可得结论； （3）如图，连接，设，先证明，表达出，再证明，表示出，最后证明，得出把代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，记与的交点为T， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 把代入，得， 解得． 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，切线的判定，相似三角形的判定与性质，圆的内接四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 25. 如图1，已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是抛物线上位于直线上方的一点，连接交于点E，过P作轴于点F，交于点G，若，求点P的坐标； （3）如图2，将抛物线位于x轴下方面的部分不变，位于x轴上方面的部分关于x轴对称，得到新的图形，将直线向下平移n个单位，得到直线l，若直线l与新的图形有四个不同交点，请直接写出n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式，先求得抛物线解析式，即可求解； （2）先得出点，然后待定系数法求一次函数解析式，设 ，则，，得出，是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质可得，建立方程，解方程，即可求解； （3）先求得折叠部分的抛物线解析式为，观察函数图象，可得当经过点时，当与只有一个交点，直线与新的图形有三个不同交点，进而求得的值，根据函数图象，即可求解． 【小问1详解】 解：依题可得：， 解得：， ∴， 【小问2详解】 解：∵ 令，得，即 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设 ，则，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，解得，舍， ； 【小问3详解】 解：依题意，， 新的图形的顶点坐标为， 则新的抛物线解析式为， 设平移后的直线解析式为， 当经过点时，有3个交点，即， 解得：， 当与只有一个交点， 则， 消去得，， 即， ∴， 解得：， 结合函数图象可得：； 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，判别式的应用，轴对称的性质，一次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $