精品解析：广东省深圳市南山实验教育集团华侨城高级中学2024-2025学年高一下学期3月学科素养能力测试数学试题

华侨城高级中学高一年级下学期学科素养能力测试 数学试卷 命题人：伊爱英 审题人：杨文武 注意事项： 1.本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码. 3.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑. 4.非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液. 5.考试结束后，考生上交答题卡. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的虚部为（ ） A. 9 B. C. D. 2. 在中，，则角的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 3. 如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形面积是（ ） A. B. 1 C. D. 4. 已知直三棱柱.则直三棱柱的体积为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 5. 如图，在中，为边的中点，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，向量与满足，且，则为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰非等边三角形 7. 如图，为测量山高，选择水平地面上一点和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及，从点测得．已知山高，则山高（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，，则的范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 在复平面内对应的点位于第四象限 10. 已知向量，，满足，，，则（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 在上的投影向量的坐标为 11. 已知圆锥的顶点为P，底面半径为，高为1，A，B是底面圆周上两个动点，下列说法正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积是 B. 圆锥侧面展开图的圆心角是 C. △PAB面积的最大值是 D. 该圆锥内接圆柱侧面积的最大值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知i为虚数单位，复数，，若为纯虚数，则______. 13. 古希腊数学家托勒密于公元150年在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知AC，BD为圆的内接四边形ABCD的两条对角线，且，若，则实数的最小值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知复平面内表示复数（）的点为. （1）若点在函数图像上，求实数的值； （2）若为坐标原点，点，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 15. 已知，，与的夹角是. （1）计算； （2）当k为何值时，？ 16. 的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若的面积为．求的周长． 17. 如图，在中，，，，分别在边，上，且满足，，为中点. （1）若，求实数，的值； （2）若，求边的长. 18. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. （1）求角A的大小； （2）若，∠BAC的角平分线交BC于点D，求线段AD长度的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华侨城高级中学高一年级下学期学科素养能力测试 数学试卷 命题人：伊爱英 审题人：杨文武 注意事项： 1.本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码. 3.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑. 4.非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液. 5.考试结束后，考生上交答题卡. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的虚部为（ ） A. 9 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算，将化为 形式，即可得答案. 【详解】, 所以的虚部为-7， 故选：B 2. 在中，，则角的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理计算可得. 【详解】因为， 由正弦定理，即，所以， 又，所以，则. 故选：A 3. 如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形面积是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出的面积，再利用直观图与原图形面积关系求出结果. 【详解】在中，，由，得， 因此的面积， 所以原三角形面积是. 故选：C 4. 已知直三棱柱.则直三棱柱的体积为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据柱体的体积公式，即可求解. 【详解】因为直三棱柱， 所以直三棱柱的体积为. 故选：D. 5. 如图，在中，为边的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助平面向量的线性运算及平面向量基本定理计算即可得. 【详解】为的中点，， ． 故选：D. 6. 在中，向量与满足，且，则为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰非等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件可知角的角平分线与垂直，可得，再由向量夹角公式得，得，求出即可得的形状. 【详解】，分别为向量与的单位向量， 因为，所以角的角平分线与垂直， 所以是等腰三角形，且， 由，，所以， 所以，可得， 所以是等腰直角三角形. 故选：B 7. 如图，为测量山高，选择水平地面上一点和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及，从点测得．已知山高，则山高（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算出，在中，利用正弦定理求出，进而可得出，即为所求. 【详解】由题意可知，，又因为，则为等腰直角三角形， 故， 在中，，，则， 由正弦定理，可得， 由题意可知，，因为， 则. 故选：D. 8. 在锐角中，，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据锐角三角形定义求出的范围，利用正弦定理和三角恒等变换将所求化为关于的三角函数，然后由三角函数性质求解可得. 【详解】在锐角中，，因为，，， 所以，，解得， 所以，， 而， 所以 可得， 所以由正弦定理可知： ， 因为，所以， 所以，即. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数不能比较大小判断A，应用加法及模长公式计算判断B，应用共轭复数及复数得乘法计算判断C，结合除法运算律及对应点的坐标判断D. 【详解】虚数不能比较大小，A选项错误； 复数，则，则，B选项正确； ，C选项错误； 对应点为，D选项正确. 故选：BD. 10. 已知向量，，满足，，，则（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 在上的投影向量的坐标为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量坐标运算及模的定义判断A，根据向量平行可得坐标关系判断B，根据垂直向量的数量积为0判断C，根据投影向量的概念判断D. 【详解】对A，，，，所以，故A错误； 对B，，，当时，，即，故B正确； 对C，，由可得，即，故C正确； 对D，在的投影向量为，故D错误. 故选：BC 11. 已知圆锥的顶点为P，底面半径为，高为1，A，B是底面圆周上两个动点，下列说法正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积是 B. 圆锥侧面展开图的圆心角是 C. △PAB面积的最大值是 D. 该圆锥内接圆柱侧面积的最大值是 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，由圆锥侧面积公式可判断选项正误；对于B，由母线长及底面圆周长可判断选项正误；对于C，计算圆锥轴截面顶角，当时，的面积最大，据此可判断选项正误；对于D，设圆锥内接圆柱的底面半径为，高为，由题可得圆柱侧面积表达式，然后利用函数知识可判断选项正误. 【详解】根据题意，作出该圆锥的轴截面，圆锥的底面圆心为，依次分析选项： 对于A，轴截面中，，底面半径，所以母线长， 故圆锥的侧面积是，A正确； 对于B，圆锥母线长为2，展开图的弧长为，则圆心角弧度为，B错误； 对于C，由题意可知, 故圆锥轴截面的顶角为，则当时，的面积最大，其最大值为， C错误； 对于D，设圆锥内接圆柱的底面半径为，高为，则有， 化简可得，则圆柱的侧面积， 由二次函数的性质可知，当时，有最大值，D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知i为虚数单位，复数，，若为纯虚数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数为纯虚数，列式求解. 【详解】由复数为纯虚数，可知， ，得. 故答案为： 13. 古希腊数学家托勒密于公元150年在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知AC，BD为圆的内接四边形ABCD的两条对角线，且，若，则实数的最小值为_________． 【答案】##1.5 【解析】 【分析】由圆内接四边形性质结合正弦定理可得到，再利用托勒密定理得，结合整理得，求得答案. 【详解】根据圆内接四边形的性质可知; , 所以， 即， 在中，,故， 由题意可知： , 则，所以， 故， 当且仅当时等号取得， 又，所以， 则 ，则实数的最小值为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知复平面内表示复数（）的点为. （1）若点在函数图像上，求实数的值； （2）若为坐标原点，点，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）由复数的几何意义求出点，再代入直线方程解出即可； （2）由向量的夹角为钝角时数量积小于零且除去共线反向的情况解出即可. 【小问1详解】 因为点在函数图像上， 所以，解得. 【小问2详解】 ，， 因为与的夹角为钝角，所以， 所以， 即，即， 当两向量共线且反向时，设， 即，解得， 所以实数的取值范围为. 15. 已知，，与的夹角是. （1）计算； （2）当k为何值时，？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据数量积的计算规则计算. 【小问1详解】 ，，与的夹角是， 则， 即有； 【小问2详解】 由 可得，即， 即，解得.则当k为时，；、 综上，（1），（2）. 16. 的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若的面积为．求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用和差角的正弦公式化简即得. （2）利用三角形面积公式及余弦定理求解即得. 【小问1详解】 在中，由，得， 则，整理得， 而，则，又， 所以. 【小问2详解】 由，得，即， 又，则，整理得， 因此，解得，所以的周长为. 17. 如图，在中，，，，分别在边，上，且满足，，为中点. （1）若，求实数，的值； （2）若，求边的长. 【答案】（1），. （2）8 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算以及平面向量的基本定理求得正确答案. （2）利用转化法化简，从而求得的长. 【小问1详解】 ∵，，∴， ∴，∴，. 【小问2详解】 ， ， 设，∵，， ，即， 解得（舍）或，∴长为8. 18. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. （1）求角A的大小； （2）若，∠BAC的角平分线交BC于点D，求线段AD长度的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由得，由正弦定理有，由余弦定理即可求解 （2）由余弦定理得，利用基本不等式得，由得，由均值不等式即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 即， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 又， 所以. 【小问2详解】 因为，， 所以由余弦定理得， 即， 所以， 即（当且仅当时，等号成立）， 因为， 所以，解得， 因为（当且仅当时，等号成立）， 所以（当且仅当时，等号成立）， 所以长度的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $