期末复习(二) 平行四边形-【名师学案】2024-2025学年八年级下册数学分层进阶学习法（人教版）

(2)由题意可知,QM-16海里,.,PM-16+8-24(海里).·.“远方”号继续沿原方向 航行1海里到达点$G,'PG=6+1=7(海里).'MG=PM^{}+PG^{}= 24^}+7*$ 25(海里).答:此时“前行”号与“远方”号的距离是25海里.20.解:(1)①AE=BD. AEBD.证明;.△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,CA=CB,CE=CD,. ECA十 ACD= ACD+ DCB=90”*,CEA= CDE=45{,CAB= CBA$$ =45},AB{}=2AC}'{ECA =DCB,在△ECA 和 △DCB 中,$ (CE-CD. ECA=DCB,..△ECA△DCB(SAS),.'AE=BD,CEA=CDB=45*. AC-BC, ADB= CDB十 EDC=90{,.AE1BD;②证明:·:△ADB是直角三角形, {ADB=9④{},'AD{+BD^}=AB^{②,'AD{}+AE^{}=AB{,'AE^}+AD{}=2AC^{};(2)过$$ 点C作CH DE于H,由(1)得:AE^{}+AD}=2AC^{,AE=2,AC=2\5,*'AD=6$$$ DE=AE十AD=8,:点F是AD的中点,.'.AF=DF=3,.△ECD是等腰直角三角 形,CH DE,DE=8,'$CH=DH=EH=4,.'HF=$DH-DF=1, '$CF VCH+HF}-4+1-V17. 期末复习(二) 平行四边形 A重难点突破 【例1】解:(1)如图所示;(2)证明:.四边形ABCD是平行四 边形,.AB/CD,ABC=ADC,.BAE=DCF.又 CDF- (BAE-DCF, △DCF中,AB-CD. '.△BAE△DCF(ASA),..BE-DF,AEB ABE-CDF, CFD,'180*- AEB=180{}- CFD,.BEF= DFE,:'BE//DF,·:BE= DF,BE/DF...四边形BEDF是平行四边形. 1.C 2.4 3.60 【例2】(1)证明: :Q是AC的中点..AO=CO.:AE/BC,EAC=ACD,AED=EDC. :△AOE△COD...AE=DC.:AE/DC,.四边形AECD是平行四边形.:AB =AC,AD是△ABC的角平分线,.'ADIBC,即ADC=90。..ADCE是矩形; (2)解:当BAC=90{时,四边形ADCE是正方形.理由如下:.AD是△BAC的角 平分线,:DAC-BAC=45”ACD-90*-DAC=45^*=DAC.*AD$ =CD.又.矩形ADCE,..矩形ADCE是正方形.4.D 5.B 6.8cm 7. AC BD或AB-BC(答案不唯一)8.D9.(1)证明;·.四边形ABCD是正方形,..BC =CD,B=CDF=90*。又:'BE=DF,..△CBE△CDF(SAS)..'.CE=CF;(2) 解:GE=BE+GD成立.理由:由(1),得△CBE△CDF,..BCE=DCF.: BCE十ECD= DCF+ ECD,即 BCD=ECF=90*。又:'GCE=45,:$$$ GCF= GCE=45{$":'CE=CF, GCE= GCF,GC=GC$.' ECG △F[CG$$ (SAS)...GE=GF...GE-DF+GD-BE+GD. B备考集l $2.1 13.6 14.证明:(1)·:BF=DE,*$BF-EF=DE-EF.'BE=DF;(2)·四 边形ABCD为平行四边形,.AB=CD,且AB/CD...ABE=CDF.又:BE DF,.△ABE△CDF.15.(1)证明::△ABC是等腰三角形,..ABC=C.: EG/BC,DE//AC,'AEG=ABC=C,四边形CDEG是平行四边形,. DEG= C":BE=BF, BFE= BEF= AEG= ABC, F= DEG,$$ 'BF//DE,又:ABC=C,EDB=C,.ABC=EDB..BE=DE.. BF=DE. 四边形BDEF为平行四边形;(2):C=45{},. ABC= BFE= -3,在Rt△DFM中,由勾股定理得:DF- 1^{}十3^{}= 10,即D,F两点间的距离为 10. # 第15题 第16题图 第17题图 16.解:(1)如图,EF为所作;(2)·四边形ABCD是菱形..ABD=DBC-1 ABC=70”,DC/AB,A=C..'ABC=140$ABC+C=180{C 195 A=40{,':EF垂直平分线段AB,'AF=FB,A= FBA=40{,.DBF= ABD-FBE=30*。17.(1)证明:.·'CE/AD且CE=AD,..四边形ADCE是 平行四边形,·:在△ABC中,AB一AC,AD平分BAC,..ADIBC(等腰三角形三 线合一性质),.ADC-90{},*.四边形ADCE是矩形;(2).△ABC是等边三角形, 边长为4.'AC=4,DAC=30*,'ACE=30{,AE-2,CE=23,'四边形 ADCE为矩形,..OC=OA=2,.CF=CO..'.CF=2,过O作OHCE于H,.'.OH -1OC-1.. SmxorSAxc-So-- 18.解:(1)如图1,延长AE,BC相交于N,.四边形ABCD是正方形...AD/BC,. DAE=ENC,':AE平分 DAM,.DAE-MAE,.ENC=MAE,: (DAE-CNE, AM一MN.在ADE和NCE中, AED-NEC,.△ADE△NCE,..AD DE-CE, CN,.'AM-MN-NC+MC=AD+MC; ) [ 2 (2)结论AM一AD十CM仍然成立,理由:如图2,延长AE,BC相交于N,·四边形 ABCD是矩形,.AD//BC,.DAE=ENC,.:AE平分DAM,.'DAE (DAE-CNE, MAE,.ENC-MAE,在△ADE和△NCE中,AED=NEC,.'△ADE DE-CE, △NCE,.'.AD=CN,.'.AM=MN=NC+MC=AD+MC;(3)设MC=x,则BM B$C-CM=9-x,由(2)知,AM-AD+MC=9+x,在Rt△ABM中,AM-BM^*}= AB{,(9+x)-(9-x){②}=36,'x=1,.'AM=AD+MC=10.19.(1)结论:DM$ EM,DM-EM.理由:如图1中,延长EM交AD于H.·.四边形ABCD是正方形,四 边形EFGC是正方形.ADE=DEF=90{},AD=CD,.AD/EF,..MAH MFE,'AM=MF,AMH=FME,.'△AMH△FME,.'MH=ME,AH EF=EC..'DH=DE,'' EDH-90{}..'DM EM,DM-ME. {##### 3 11 12 14 (2)如图2中,结论不变.DMIEM,DM-EM.理由:如图2中,延长EM交DA的延 长线于H.·.四边形ABCD是正方形,四边形EFGC是正方形,..ADE=DEF 90{,AD=CD,'AD/EF,..MAH= MFE,':AM=MF, AMH= FME, *.△AMH△FME,.'MH=ME,AH=EF=EC,.'DH=DE,"' EDH=90$$: DMIEM,DM=ME.(3)如图3中,作MR |DE于R.在Rt△CDE中,DE △FMR中,FM= VMR+FR=6+11=157.如图4中,作MR1DE于R.$ 在Rt△MRF中,FM= 1+6}=37,故满足条件的MF的值为 37或 157. 期末复习(三)一次函数 A重难点突破 【例1】D 1.A 【例2】A 2.D 【例3】B 3.x=1 【例4】3 4.(1)250 270 解: (2)设从A厂运往甲地水泥a吨,则A厂运往乙地水泥(250一a)吨,B厂运往甲地水 泥(240-a)吨,B厂运往乙地水泥280-(250-a)-(30十a)吨,由题意得w-40a+ 35(250-a)+28(240-a)+25(a+30)=2a+16220.·B厂运往甲地的水泥最多 150吨,.240-a150,解得a90..20,..w随a的增大而增大..当a=90时, 总费用最低,最低运费为;2×90十16220-16400(元)...最低运送方案为A厂运往 甲地水泥90吨,运往乙地水泥160吨;B厂运往甲地水泥150吨,运往乙地水泥120 吨,最低运费为16400元. 【例5】(1)(-8,0),(0,6)解:(2)·:A(-8,0),B(0,6), *$AO=8,BO=6.'AB= ^+6^=10.由折叠知BD=BO-6,CD=CO, $$DC$ BOC=90” 'AD=10-6=4,AC=8-CO,在Rt△ADC中,AC*=AD*+CD{' (8-CO)}=4^+CO{,解得CO=3.*AC=8-3-5;(3)点P的坐标是(-5,6)或( . ###(#).# 11,-6)或(5,6). 5.解:(1)联立方程组得 #_#.# y-十1, 196期末复习（二）》 平行四边形 A重谁点突破 夯基础一 突破点一平行四边形的性质与判定 【例1】如图，在□ABCD中，连接对角线AC, ∠ABC的角平分线交AC于点E. 第2题图 第3题图 (1)用尺规完成以下基本作图：作∠ADC的角 3.(中考·兰州)如图，在□ABCD中，BD 平分线，交AC于点F.(保留作图痕迹，不写 CD,AE⊥BD于点E,若∠C=75°，则∠BAE 作法) 等于 0 (2)在(1)所作的图形中，连接BF,DE,求证：四 突破点二特殊平行四边形的性质与判定 边形BEDF是平行四边形 【例2】如图，在△ABC中，AB=AC,AD是 △ABC的角平分线，O是AC的中点，过点A 作AE∥BC交DO的延长线于E. (1)求证：四边形ADCE是矩形： (2)能否添加一个条件，使四边形ADCE是正 方形？若能，请添加条件并证明，若不能，请 说明理由. 【反思归纳】要证一个四边形是平行四边形，通常结合 已知条件选择判定方法，平行四边形的判定有五种方 法，从中选出最佳的证明方法， 对点训练 1.平行四边形ABCD一内角的平分线与一边相 交，并把这边分成4和5两部分，则口ABCD 的周长是 对点训练 A.26 B.28 4.(中考·内江)如图，将矩 C.26或28 D.无法确定 形ABCD沿对角线BD折 2.如图，在□ABCD中，AC与BD相交于O,E 62 叠，点C落在点E处，BE 是AB的中点，连接OE,若OE=2,则AD= 交AD于点F,已知 B 助学助款优质高致 120 ∠BDC=62°，则∠DFE的度数为 ()】 A.31 B.28° C.62° D.56 5.已知四边形ABCD是平行四边形，AC,BD 相交于点O,下列结论错误的是 () A.OA=OC,OB=OD B.当AB=CD时，四边形ABCD是菱形 C.当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形 D.当AC=BD且AC⊥BD时，四边形AB CD是正方形 6.(中考·武威)如图，在菱形ABCD中，对角 线AC与BD相交于点O,若AB=2√5cm, AC=4cm,则BD的长为 D B备考集训(60分钟100分) 一、选择题（每小题3分，共21分）】 1.已知直角三角形的两直角边长分别是12和 5,则斜边上的中线长是 () 第6题图 第7题图 A.34 B.26 C.8.5 D.6.5 7.如图，在四边形ABCD中，对角线AC交BD 2.如图，□ABCD的对角线交于点O,且AB= 于点O,BO=DO,AD∥BC,要使四边形 5,△OCD的周长为23，则□ABCD的两条对 ABCD是菱形，应添加的条件是 角线的和是 () (只需要写出一个条件 A.18 B.28 C.36 D.46 即可). 8.如图，在菱形ABCD中，AB= 5,AC=6,过点D作DE⊥BA, 809 B 交BA的延长线于点E,则线段 B 第2题图 第3题图 DE的长为 3.(中考·贵阳)如图，将菱形纸片沿着线段AB A号 R号 C.4 D. 剪成两个全等的图形，则∠1的度数是() 9.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点， A.40° B.60° C.80 D.100° F是AD延长线上一点，且DF=BE 4.矩形、菱形、正方形都具有的性质是() (1)求证：CE=CF; A.对角线相等 (2)若点G在AD上，且∠GCE=45°，则 B.对角线互相平分 GE=BE十GD成立吗？为什么？ C.对角线互相垂直 G D.每条对角线平分一组对角 5.(中考·嘉兴)如图，在△ABC中，AB=AC= 8,点E,F,G分别在AB,BC,AC上，EF∥AC GF∥AB,则四边形AEFG的周长是() A.8 B.16 C.24 D.32 121八年级数学·下册 11.如图，平行四边形ABCD的对角线AC与 BD相交于点O,AE⊥BC于E,AB=, AC=2,BD=4,则AE的长为 12.如图，正方形ABCD的边长为8，点E是 /B N 第5题图 第6题图 CD的中点，HG垂直平分AE分别交AE, 6.如图，在∠MON的两边上分别截取OA,OB, BC于点H,G,则BG= 使OA=OB.分别以点A,B为圆心，OA长为 半径作弧，两弧交于点C,连接AC,BC,AB, OC.若AB=2cm,四边形OACB的面积为 4cm,则OC的长为 () 第12题图 第13题图 A.2 cm B.3 cm C.4cm D.5 cm 13.如图，在矩形ABCD中，AB=4,∠ABD= 7.四边形具有不稳定性，对于 60°，P,K分别是BD,AD上的动点，则 四条边长确定的四边形，当 PA十PK的最小值为 30° 内角度数发生变化时，其形 A 三、解答题（共55分） 状也会随之改变，如图，改变正方形ABCD 14.(6分)如图，在□ABCD中，点E和点F是 的内角，正方形ABCD变为菱形ABCD',若 对角线BD上的两点，且BF=DE. ∠D'AB=30°，则菱形ABCD'的面积与正方 (1)求证：BE=DF; 形ABCD的面积之比是 () (2)求证：△ABE≌△CDF. A.1 B司 c号 二、填空题（每小题4分，共24分】 8.如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是 菱形，若点A的坐标是(3,4)，点C的坐标是 第8题图 第9题图 9.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交 于点O,已知∠BOC=120°，DC=3cm,则AC 的长为 cm. 10.如图，在菱形ABCD中，AC,BD相交于点 O.若∠BCO=55°，则∠ADO= 15.(8分)如图，以BC为底边的等腰△ABC,点 D,E,G分别在边BC,AB,AC上，且EG∥ BC,DE∥AC,延长GE至点F,使得BE =BF. E 第10题图 第11题图 (1)求证：四边形BDEF为平行四边形； 助学助教优质高数122 (2)当∠C=45°，BD=2时，求D,F两点间 17.(10分)如图，在△ABC中，AB=AC,AD平 的距离 分∠BAC,CE∥AD且CE=AD. (1)求证：四边形ADCE是矩形； (2)若△ABC是边长为4的等边三角形， AC,DE相交于点O,在CE上截取CF D =CO,连接OF,求线段FC的长及四边 形AOFE的面积. 16.(9分)如图，BD是菱形ABCD的对角线， ∠CBD=70° (1)请用尺规作图法，作AB的垂直平分线 EF,垂足为E,交AD于F;(不写作法， 保留作图痕迹) (2)在(1)条件下，连接BF,求∠DBF的 度数 123八年级数学·下册 18.(10分)【问题情境】如图1，四边形ABCD 19.(12分)已知正方形ABCD与正方形 是正方形，M是BC边上的一点，E是CD CEFG,M是AF的中点，连接DM,EM. 边的中点，AE平分∠DAM.求证：AM= (1)如图1，点E在CD上，点G在BC的延 AD+MC. 长线上，请判断DM,EM的数量关系与 位置关系，并直接写出结论； (2)如图2，点E在DC的延长线上，点G在 BC上，(1)中结论是否仍然成立？请证 图1 图2 明你的结论； 【探究展示】 (3)将图1中的正方形CEFG绕点C旋转， (2)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩 使D,E,F三点在一条直线上，若AB= 形，其他条件不变，如图2，试判断AM= 13,CE=5,请画出图形，并求出MF AD十MC是否成立？若成立，请给出证 的长. 明，若不成立，请说明理由； 【拓展延伸】 (3)若(2)中矩形ABCD两边AB=6,BC= 9,求AM的长 图 图2 助学助教优质高数124