期末复习(一) 二次根式与勾股定理-【名师学案】2024-2025学年八年级下册数学分层进阶学习法（人教版）

期末复习（一）》 二次根式与勾股定理 【反思归纳】二次根式的运算中，要注意运算顺序，此外 A重谁点突破 夯基础一 乘法公式仍然造用. 突破点一二次根式有意义的条件 对点训练 【例1)要使式子可+(x一3)有意义，则x x-2 5.计算：v露÷5-2√×而+2反+. 的取值范围是 【反思归纳】从式子的结构上来看，分为三部分：①二次 根式：②分式；③负整数指数幂.应使每部分都有意义· 对点训练 1.若代数式有意义，则r的取值范周为 突破点四与二次根式有关的化简求值 【例4】先化简，再求值：(a-2ab一)÷4二：，其 2.【新中考·条件开放】已知a为正整数，写出 一个使√a一2在实数范围内有意义的a值是 中a=22-1,b=1-√2. 突破点二二次根式的性质与化简 【例2】实数a,b在数轴上对应的点如图所示，化 简：√a-√a-b-Va+b= 06→ 【反思归纳】此题主要考查了二次根式的性质与化简，解 决此题，先将二次根式化简为a一b和a十b,然后借助 数轴判断绝对值内的数是正数还是负数，再去绝对值，合 并即可 对点训练 对点训练 3.若2<a<3,化简代数式√a2一4a+4 6.(整体思想)已知x=3-2,y=3十2，求x2 √(a-3)产等于 十3xy十y的值. A.5-2a B.1-2a C.2a-5 D.2a-1 4.如图，数轴上点A表示的数为a,化简：a十 Va2-4a+4= 0 a】 突破点三二次根式的运算 突破点五勾股定理及其逆定理 【例3】计算：（√18+√12）(3√2-23)-(3 【例5】如图，在△ABC中，AB=4,BC=2,DB=1, 2)2. CD=√/3，则AC= B 助学助教优质高数116 【反思归纳】此题主要考查勾股定理的逆定理与勾股 触地面，则旗杆的高为 ( 定理，解题的关键是利用勾股定理的逆定理证明 A.4米B.8米 C.10米 D.12米 ∠CDB=90°. 11.如图，在△ABC中，∠C=90°， 对点训练 点D在边BC上，AD=BD, 7.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为 DE平分∠ADB交AB于点 B a,b,c,下列条件中，不能判断△ABC是直角 E.若AC=12,BC=16,则AE的长为( 三角形的是 () A.6 B.8 C.10 D.12 A.a=3,b=4,c=5 12.(2024·南阳期未)如图，小巷左右两侧是竖 B.a=b,∠C=459 直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端 C.∠A：∠B：∠C=1：2:3 到左墙角的距离BC为0.7m,梯子顶端到 D.a=3,b=√7，c=2 地面的距离AC为2.4m.如果保持梯子底 8.如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，以 端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶 OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点 端到地面的距离A'D为1.5m,则小巷的宽 A,若点A的坐标为（一17,0），点P的纵坐 为 m. 标为一1，则P点的坐标为 2.4m 0.7m 第8题图 第9题图 9.如图，“赵爽弦图”由4个完全一样的直角三 B备考集训(60分钟100分) 角形所围成，在Rt△ABC中，AC=b,BC= 一、选择题（每小题3分，共30分）】 a,∠ACB=90°，若图中大正方形的面积为 1.下列根式中，为最简二次根式是 60,小正方形的面积为10，则(a十b)2的值为 2 B.2 C.4 D.12 突破点六勾股定理的应用 2.下列二次根式中，能与12进行合并的是 【例6】如图，一个直径为12cm的杯 ( 子，在它的正中间竖直放一根小木棍， A.5 B.√18 C.24 D.27 小木棍露出杯子外2cm,当小木棍倒 3.下列各式中，计算正确的是 向杯壁时（小木棍底端不动），小木棍 B A.2+5=5 B.45-35=1 顶端正好触到杯口，则小木棍长度为 C.2√2×35=66 D.√27÷√=3 【反思归纳】应用勾股定理解决实际问题，要先将实际 问题转化为数学问题，根据题目信息构建直角三角形， 4.估计5+√2×√10的值在 A.5和6之间 再运用勾股定理列方程解答 B.6和7之间 C.7和8之间 D.8和9之间 对点训练 10.丽丽想知道学校旗杆的高度，她发现旗杆顶 5.已知x=3+2√2，y=3-2√2，则 端上的绳子垂直到地面还多2米，当她把绳 √x一2xy+y的值是 () 子下端拉开离旗杆6米后，发现下端刚好接 A.42 B.6 C.1 D.0 117八年级数学·下册 6.小新将铁丝剪成九段，分成三个组：①2cm,3 16.已知两条线段的长为3cm和2cm,当第三 cm,4cm;②3cm,4cm,5cm;③9cm,40cm, 条线段的长为 cm时，这三条线 41cm.分别以每组铁丝围成三角形，能构成 段能组成直角三角形， 直角三角形的有 () 三、解答题（共46分） A.② B.①② C.①③ D.②③ 17.(10分)计算： 7.下列各命题的逆命题成立的是 () A.全等三角形的对应角相等 ①(+05)-(3-): B.如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C.两直线平行，同位角相等 D.如果两个角都是45°，那么这两个角相等 8.如图，在△ABC中，AD ⊥BC于点D,AB=17, BD=15,DC=6,则AC 的长为 2-10-厘÷5+×. Λ.11 B.10 C.9 D.8 9.若△ABC的三边长a,b,c满足a十2b一60 +(b-18)2+√c-30=0,则△ABC为() A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.无法确定 10.实数a,b在数轴上的对应点如图所示，化简 18.(10分)如图，在△ABC中，AB的垂直平分 (万)2+√(b-a)-a的结果是 () 线DE分别交AC,AB于点D,E,且AD- 0b DC2=BC. A.2a B.26 C.-2b D.-2a (1)求证：∠C=90°： 二、填空题（每小题4分，共24分）】 (2)若AC=16,CD:AD=3:5,则BC的长 11.若二次根式√3一a有意义，则实数a的取值 是一 范围是 12.若√24与最简二次根式√m一2可以合并，则 m= 13.在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=2, 则BC= 14.当x=1十3时，代数式x2-2.x+2024= 15.如图，将长方形纸片ABCD 沿AE折叠，使点D恰好落 在BC边上点F处，若AB= 3,AD=5,则EC的长为 助学助教优质高数118 19.(12分)如图，某海监局P位于东西方向的 20.(14分)已知△ACB和△ECD都是等腰直 海岸线上.“前行”号与“远方”号轮船同时离 角三角形，CA=CB,CE=CD,∠ACB= 开海监局P,各自沿一固定方向航行，“前 ∠ECD=90°，△ACB的顶点A在△ECD 行”号每小时航行16海里，“远方”号每小时 的斜边DE上. 航行的速度是“前行”号速度的子，它们离开 (1)如图1，连接BD. ①请你探究AE与BD之间的关系，并 海监局航行半小时后分别位于Q,R处，且 证明你的结论； 相距10海里.已知“前行”号沿西南方向 ②求证：AE十AD=2AC. 航行。 (2)如图2，若AE=2,AC=2√5，点F是 (1)请问“远方”号沿哪个方向航行？ AD的中点，求CF的长 (2)若“前行”号继续沿原方向航行一个小时 到达点M,“远方”号继续沿原方向航行 1海里到达点G,则此时“前行”号与“远 方”号的距离是多少海里？ 北 图 西 东 G M 签 119八年级数学·下册优秀的学生人数多.7,1)12解：(2)400×14+4=180（人），答：估计引体向上每 40 分钟不低于10个的有180人；(3)解：从A,B,C,D组人数来看，最中间的两个数据是 第20,21个，中位数落在B组，说明B组靠后的成绩处于中等水平. 20.2数据的波动程度 知识储备 1.方差2.大小 A基础练 1.样本平均数样本容量2.B3.D4.丙5.<6.解：甲的平均数为 8+8+7+9+8=8,=(8-8)+(8-8)+(7-8)+(9-8)2+(8-8)=0.4, 5 5 乙的平均数为6+9+7+9+9=8，足=（6-8》+(9-8)+(7-8》+9-8)+(9-8》 5 5 =1.6,s屏<s吃，.甲成绩更稳定，.应选甲参加比赛.7.B8.(1)A(2)18 (3)D9.3.610.(1)9.19.1(2)甲(3)解：应该推荐甲选手，理由如下：甲的中 位数和平均数都比丙的大，且甲的成绩稳定性比丙好，甲的中位数比乙的大，∴.应该 雅荐甲选手。山.①)55（②）公三乙两段台阶的平均高度相等，但乙台 阶方差较小，坡度较平缓解：(3)为使游客在两段台阶上行走比较舒服，需使方差尽 可能小，最理想应为0，同时不能改变台阶数量和台阶总体高度，故可使每个台阶高 度约为15cm(原平均数)，使得方差为0. 第二十章核心素养与跨学科融合专练 1.(1)2s>s号解：(2)b=2;(3)从操作规范性来分析，小青和小海的平均分相同， 但小海的方差小于小青的方差，所以小海在物理实验操作中发挥稳定；(4)熟悉实验 方案和操作流程：或注意仔细观察实验现象和结果；或平衡心态，沉着应对.2.甲 3.乙 第二十章大单元整合与素养提升 1.B2.A3.B4.B5.C6.A7.(1)828524解：(2)八年级学生的劳动 能力更强，理由：因为八年级的劳动能力测评成绩的中位数和众数都比七年级的劳动 能力测评成绩高，所以八年级学生的劳动能力更强；(3)样本中八年级劳动能力达到 有25×24%=6（名），4500X2十9=990（名），答：估计该校七八年级共有 名学生劳动能力达到优秀.8.B9.2710.解：(1)补图略.(2)777.586 (3)八(4)200 期末复习（一）二次根式与勾股定理 A重难点突破 【例1】x≥-1且x≠2，x≠31.x≥-3且x≠士22.4【例2】a3.C4.2 【例3】解：原式=(3v2+2√5)(3V2-23)-(3-2√6+2)=18-12-5+26=1+ 26.5.解：原式=4-2√6+8+3+4√6=15+2√6.【例4】解：原式= a-2abb. =（a-b)2 (a+b)(a-b) 0+品a-8-3a=22-1.6=1 8名格-8区都+9-++ 23,xy=(w3-√2)(W3+√2)=1，∴.x2+3.xy+y2=(x+y)2+xy=(2V3)2+1=13. 【例5】237.B8.(-4,-1)9.110【例6】10cm10.B11.C12.2.7 B备考集训 1.B2.D3.C4.B5.A6.D7.C8.B9.A10.B11.a312.8 13.2514.202615.专165或17.(1)解：原式=26+号-3+6 4 =8v后-9，(2解：原式=2-22+1-万+瓜=2-22+1-2+2区=1. 18.(1)证明：连接BD.,AB的垂直平分线交AC,AB于点D,E,.AD=BD.:AD -DC2=BC2,.∴.BD2-DC=BC2,即DC2十BC2=BD..∴.∠C=90°.(2)8 广 2 第18题图 第20题图 19.解：(1)：“前行”号每小时航行16海里，“远方”号每小时航行的速度是“前行”号 速度的子“远方”号每小时航行的速度是16×是=12（海里/时）.∴QP=16X号 =8(海里)，PR=12X号=6（海里）.又：QR=10海里，PQ+PR=10=QR, △QPR是直角三角形.又，“前行”号沿西南方向航行，.“远方”号沿东南方向航行； -194 (2)由题意可知，QM=16海里，.PM=16+8=24(海里)..·“远方”号继续沿原方向 航行1海里到达点G,∴.PG=6+1=7(海里)..MG=√PM+PG=√24+7严= 25(海里).答：此时“前行”号与“远方”号的距离是25海里.20.解：(1)①AE=BD, AE⊥BD.证明：：△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB,CE=CD,· ∠ECA+∠ACD=∠ACD+∠DCB=90°，∠CEA=∠CDE=45°，∠CAB=∠CBA =45°，AB=2AC,∴.∠ECA=∠DCB,在△ECA和△DCB中， (CE=CD. ∠ECA=∠DCB,.△ECA≌△DCB(SAS),.AE=BD,∠CEA=∠CDB=45°，. AC=BC, ∠ADB=∠CDB+∠EDC=90°，∴.AE⊥BD;②证明：'△ADB是直角三角形， ∠ADB=90°，，∴，AD十BD=AB,.AD2+AE=AB,.,AE+AD=2AC2:(2)过 点C作CH⊥DE于H,由(1)得：AE+AD=2AC,AE=2,AC=2√5，∴.AD=6,. DE=AE+AD=8,,点F是AD的中点，AF=DF=3,△ECD是等腰直角三角 形，CH⊥DE,DE=8,.CH=DH=EH=4,,.HF=DH-DF=1,.CF= √CH十HF=√4+1'=√17 期末复习（二）平行四边形 A重难点突破 【例1】解：(1)如图所示；(2)证明：，四边形ABCD是平行四 边形，∴.AB∥CD,∠ABC=∠ADC,∴.∠BAE=∠DCF.又 1 :BE,DF分别平分∠ABC,∠CDA.∠ABE=2∠ABC, ∠CDF=号∠CDA,·∠ABE=∠CDF,在△BAE和 ∠BAE=∠DCF, △DCF中，AB=CD, ,.△BAE≌△DCF(ASA),..BE=DF,∠AEB= ∠ABE=∠CDF, ∠CFD,.180°-∠AEB=180°-∠CFD,.∠BEF=∠DFE,∴.BE∥DF,BE DF,BE∥DF..四边形BEDF是平行四边形.1.C2.43.60【例2】(1)证明： ,O是AC的中点，.AO=CO.,AE∥BC,∴.∠EAC=∠ACD,∠AED=∠EDC. ∴.△AOE≌△COD..AE=DC.,AE∥DC,.四边形AECD是平行四边形.AB =AC,AD是△ABC的角平分线，.AD⊥BC,即∠ADC=90°..□ADCE是矩形： (2)解：当∠BAC=90时，四边形ADCE是正方形.理由如下：.'AD是△BAC的角 平分线，…∠DAC-2∠BAC=45.∠ACD=90°-∠DAC=45=∠DAC.AD =CD.又.矩形ADCE,.矩形ADCE是正方形.4.D5.B6.8cm7.AC BD或AB=BC(答案不唯一)8.D9.(1)证明：，四边形ABCD是正方形，.BC =CD,∠B=∠CDF=90°.又BE=DF,∴.△CBE≌△CDF(SAS).∴.CE=CF;(2) 解：GE=BE+GD成立.理由：由(I),得△CBE≌△CDF,∴.∠BCE=∠DCF. ∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,即∠BCD=∠ECF=90°.又：∠GCE=45°， ∠GCF=∠GCE=45°..CE=CF,∠GCE=∠GCF,GC=GC,.∴.△ECG≌△FCG (SAS)...GE=GF..'.GE=DF+GD=BE+GD. B备考集训 1.D2.C3.C4.B5.B6.C7.B8.(8,4)9.610.35°11.2y 7 12.113.614.证明：(1)BF=DE,.BF-EF=DE-EF..BE=DF;(2)四 边形ABCD为平行四边形，.AB=CD,且AB∥CD.∴.∠ABE=∠CDF.又BE= DF,∴.△ABE≌△CDF.15.(1)证明：：△ABC是等腰三角形，.∠ABC=∠C., EG∥BC,DE∥AC,,∴·∠AEG=∠ABC=∠C,四边形CDEG是平行四边形，，. ∠DEG=∠C,.BE=BF,∴.∠BFE=∠BEF=∠AEG=∠ABC,∴.∠F=∠DEG, ∴.BF∥DE,又：∠ABC=∠C,∠EDB=∠C,.∠ABC=∠EDB..BE=DE.. BF=DE..四边形BDEF为平行四边形：(2)，∠C=45°，.∠ABC=∠BFE= ZBEF=45,·△BDE,△BEF是等腰直角三角形BF=BE-2 BD=见，作FM D于M,连接DF,则△BFM是等腰直角三角形，∴.FM=BM=二BF=,: =3,在Rt△DFM中，由勾股定理得：DF=√1+3=√10，即D,F两点间的距离为 10. 第15题图 第16题图 第17题图 16.解：(1)如图，EF为所作；(2)四边形ABCD是菱形，∴.∠ABD=∠DBC= 2 ∠ABC=70°，DC∥AB,∠A=∠C.∴.∠ABC=140°，∠ABC+∠C=180°，∴.∠C= 195