8.2～8.3 多边形的内角和与外角和 用正多边形铺设地面-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版2024新教材）

8.2—8.3 多边形的内角和与外角和 用正多边形铺设地面 1、 多边形的内角和 1. 多边形内角和的定义：多边形内部所有内角的度数之和。 2. 多边形内角和的公式：n边形的内角和等于(n-2)×180°，其中n为多边形的边数。 3. 内角和公式的应用：可以通过公式计算任意多边形的内角和，或者根据已知的内角和反推多边形的边数。 2、 多边形的外角和 1. 多边形外角和的定义：多边形每个外角的度数之和。外角是多边形的一个内角的补角，即从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加。 2. 多边形外角和的定理：任意多边形的外角和都等于360°。 3. 外角和定理的应用：可以利用外角和定理解决与多边形外角相关的问题，如计算特定外角的大小、判断多边形的形状等。 3、 用正多边形铺设地面 1. 正多边形的定义：在平面内，内角都相等、边也都相等的多边形叫做正多边形。 2. 正多边形铺设地面的原理：正多边形的内角和外角具有特定的性质，使得它们能够紧密地拼接在一起，不留空隙也不重叠。 3. 铺设地面的方法：可以选择一种或多种正多边形进行拼接，通过调整它们的大小和方向，实现地面的完全覆盖。 巩固课内例1:多边形的内角和 1．在四边形中，与互补，，则的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了四边形内角和问题，掌握四边形内角和为是解题的关键． 根据四边形内角和为，结合与互补即可求解． 【详解】解：∵在四边形中，， 而与互补，， ∴， 故选：C． 2．阅读下列材料，回答下面的问题． 用一种或几种完全相同（全等形）的三角形或多边形无间隙且不重叠地覆盖（铺砌）平面的一部分，叫做平面镶嵌，平面镶嵌又称为“平面密铺”．如图所示，用边长相等的等边三角形能够平面镶嵌；平面镶嵌的关键点是，在每个公共顶点（拼接点）处，各角的和是． 现在我们来研究用边长相等的正多边形（含等边三角形）平面镶嵌的问题： 和边长相同的正五边形同时进行平面镶嵌（两种正多边形都要用），下列正多边形可以的是________； A．正四边形 B．正六边形 C．正十边形 D．正十二边形 【答案】C 【分析】本题考查了平面镶嵌，平面镶嵌时在拼接点处的内角度数和为，正五边形的一个内角为，还剩下，而，所以还需要一个正五边形和一个正十边形，所以一个拼接点处应有个正五边形和个正十边形． 【详解】解：正五边形一个内角为， 正四边形一个内角为， 正六边形一个内角为， 正十边形一个内角为， 正十二边形一个内角为， 与正五边形进行镶嵌，在每个拼接点处内角的和应为， ， 而， 内角为的是正十边形， 所以一个拼接点处应有个正五边形和个正十边形． 故选：C． 3．如图，四边形中，，平分交于E，平分交于F． (1)若为，求的度数． (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，多边形的内角和定理的应用，平行线的判定，角平分线的定义，熟练的利用多边形的内角和定理解决问题是解本题的关键． （1）由四边形内角和定理得到，由平分即可得到答案； （2）设，证明，在中，，则，即可证明． 【详解】（1）解：∵在四边形中，，， ∴， ∵平分， ∴． （2）证明：设， ∵平分， ∴， ∵， ∴在四边形中，， ∵平分， ∴， ∴在中，， ∴， ∴． 巩固课内例2:多边形的外角和 1．八边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多边形的外角，任何多边形的外角和是360度，与多边形的边数无关． 【详解】解：八边形的外角和为， 故选A． 2．一个六边形的内角和等于 度． 【答案】720 【分析】本题考查了多边形的内角和公式； 根据n边形的内角和公式进行计算即可． 【详解】解：六边形的内角和为， 故答案为：720． 3．请根据下面x与y的对话解答下列问题：：我和y都是多边形，我们俩的内角和相加的结果为；：的边数与我的边数之比为． (1)求x与y的外角和相加的度数； (2)分别求出x与y的边数． 【答案】(1) (2)x的边数为9，y的边数为3． 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形外角和定理，一元一次方程的几何应用： （1）根据多边形的外角和都为360度进行求解即可； （2）设y的边数为n，则x的边数为，根据n边形的内角和为结合题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵多边形外角和都为360度， ∴x与y的外角和相加的度数为； （2）解：设y的边数为n，则x的边数为， 由题意得，， 解得， ∴， ∴x的边数为9，y的边数为3． 巩固课内例3:多边形的对角线 1．过七边形的一个顶点可以画n条对角线，将它分成m个三角形，则的值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查多边形的对角线，解题的关键是掌握：从边形的一个顶点出发可以引条对角线，这些对角线将边形分成个三角形．据此列式求出，的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵过边形的一个顶点可以画出条对角线， ∴， ∴， ∴， ∴的值是． 故选：C． 2．如图，小明从A地出发，沿直线前进15米后向左转，再沿直线前进15米，又向左转⋯⋯，照这样走下去，他第一次回到出发地A地时，一共走的路程是 米． 【答案】300 【分析】本题主要考查了多边形内角与外角，解题关键是理解小明每前进15米后向左转18°，当他第一次回到出发地A地时，走的路程形成正多边形． 根据题意判断小明每前进15米后向左转，当他回到出发地A地时，走过的路程形成正多边形，然后根据正多边形的外角和是，求出多边形的边数，从而求出答案即可． 【详解】解：由题意得：小明从A地出发，他第一次回到出发地A地时，走的路程形成正多边形，外角和为，每个外角的度数是， ∴多边形的边数为：， ∴一共走的路程为：（米）， 故答案为：300． 3．从边形的一个顶点出发共有4条对角线；从边形的一个顶点出发的所有对角线把边形分成6个三角形；正边形的边长为7，周长为63，则求的值． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，根据题意可求出的值，代入即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得， ， ， ， ∴， ∴的值为． 巩固课内例4:已知多边形的内角和求边数 1．小明利用画图软件画一个多边形，他设计的要求是：个内角中，最小的为，最大的为，且从小到大依次增加相同的度数，则小明画出的多边形的边数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了多边形内角和，一元一次方程的应用，由题意可得多边形中内角度数成等差关系，利用等差数列可得内角和，再根据多边形内角和公式，列出方程，即可解答，熟知多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， 解得， 故选：C． 2．从七边形的一个顶点出发的对角线有 条． 【答案】4 【分析】本题主要考查了多边形的对角线的定义，边形从一个顶点出发可引出条对角线是需要熟记的内容．根据多边形的对角线的定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，可知边形从一个顶点出发可引出条对角线，据此求解即可． 【详解】解：边形从一个顶点出发可以引条对角线， 从七边形的一个顶点出发可以画出条对角线． 故答案为：4. 3．已知一个多边形的边数为n． (1)若，求这个多边形的内角和； (2)若这个多边形的内角和是外角和的2倍，求n的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，多边形的外角和，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用多边形的内角和公式，列式，即可作答． （2）因为这个多边形的内角和是外角和的2倍，得这个多边形的内角和是，再结合多边形的内角和公式，列式，解出，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则这个多边形的内角和为； （2）解：∵这个多边形的内角和是外角和的2倍， ∴这个多边形的内角和是， 故， 解得． 巩固课内例5:已知多边形的外角和求边数 1．已知正多边形的一个外角为，则这个正多边形的边数是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的外角和性质，根据多边形外角和是，且正多边形的一个外角为，列式，即可作答． 【详解】解：∵正多边形的一个外角为， ∴， ∴这个正多边形的边数是10， 故选：D 2．多边形的每个内角的度数都等于，则这个多边形的边数为 ． 【答案】 【分析】该题主要考查了多边形的内角和定理．边形的内角和为：．此类题型直接根据内角和公式计算可得． 根据多边形的内角和定理求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：． 故多边形是九边形． 故答案为：9． 3．请根据下面和的对话解答下面问题． ：我和都是多边形，我们俩的内角和相加的结果为； 的边数与我的边数之比为． (1)求和的外角和相加的度数； (2)分别求出和的边数； (3)若的内角都相等，求每个内角的度数． 【答案】(1) (2)X与Y的边数分别为4和6 (3) 【分析】（1）根据多边形的外角和定理可得多边形的外角和为，进而可得答案； （2）设X的边数为，Y的边数为，根据多边形的内角和定理结合题意可得方程，解出n的值，进而可得X，Y的值，然后可得答案； （3）先求出Y的内角和，再根据每个内角都相等，求出每个内角度数即可． 【详解】（1）解：∵任何多边形的外角和为， ∴和的外角和相加的度数为； （2）解：设X的边数为，Y的边数为，由题意得： ， 解得：， ∴，， ∴X与Y的边数分别为4和6； （3）解：的内角都相等，则每个内角的度数为： ． 【点睛】本题主要考查的是多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和公式与外角和定理是解题的关键． 巩固课内例6:正多边形的内角 1．如图，直线l与正五边形的边、相交于点M、N，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的内角和，正多边的定义，多边形的内角和及正多边的定义得，由四边形的内角和为，即可求解；理解正多边的定义，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：五边形是正五边形， ， ， 故选：B． 2．如果多边形的每个外角都是，那么这个多边形的边数是 ． 【答案】18 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，理解多边形外角和中外角的个数与正多边形的边数之间的关系，是解题关键．根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数． 【详解】解：多边形的边数是：， 故答案为：18. 3．如图，五边形的内角都相等，． (1)求的度数 (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正五边形内角和，三角形内角和定理，熟练掌握多边形内角和定理是解题的关键． （1）根据多边形内角和定理即可求解； （2）先求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵五边形的内角都相等， ∴； （2）解：由（1）可知， ∵， ∴， 同理， ∴， ∴． 巩固课内例7:正多边形的外角 1．花窗不仅是建筑的眼睛，更是中式美学的灵魂．如图所示是中国古建筑中的一个正八边形的窗户，则它的一个外角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的外角内容，根据正多边形的每个外角都相等进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意正八边形外角和为， ∴每一个外角为． 故选：B． 2．如图，在正八边形中，连接，交于点P，则的度数为 ． 【答案】/135度 【分析】本题考查了正多边形的内角和、平行线的性质、三角形内角和定理，由题意可得出，，由平行线的性质可得，结合对顶角相等得出，计算即可得解． 【详解】解：∵为正八边形， ∴， 由题意可得：， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．已知一个正多边形的边数为n． (1)若，求这个正多边形的内角和． (2)若这个正多边形的每个内角都比与它相邻外角的3倍还多，求n 的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了求多边形内角与外角，掌握多边形内角和的公式是解题的关键． （1）根据多边形内角和定理解答，即可求解； （2）设这个正多边形的每个外角为，则每个内角为，根据邻补角的性质列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：该正多边形的内角和． 答：这个正多边形的内角和为． （2）解：设这个正多边形的每个外角为，则每个内角为， 依题意，得∶ ， 解得， ∴． 答：这个正多边形的边数n为9． 巩固课内例8:平面镶嵌 1．如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（   ） A．15 B．12 C．10 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形内角和，掌握多边形内角和定理是解题的关键． 根据题意可得正五边形的每个内角的度数为，由此可得每个正五边形所对圆心角为，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴正五边形的每个内角的度数为，即， ∴， ∴，即每个正五边形所对圆心角为， ∵， ∴共需要正五边形的个数是10个， 故选：C ． 2．一个正多边形的内角和等于它的外角和的3倍，则这个正多边形是正 边形． 【答案】八 【分析】本题考查了正多边形的性质，外角和性质以及内角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先设正多边形的边数是，因为一个正多边形的内角和等于它的外角和的3倍，所以列式，进行计算，即可作答． 【详解】解：设正多边形的边数是， 根据题意得，， 解得， 这个多边形为八边形． 故答案为：八． 3．【问题背景】 生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的漂亮地面．在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由正方形镶嵌而成的图案，图2是由正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个内角的度数 _______ _______ ______ 【探究发现】 (1)填写表中空格： (2)如果只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有 ．（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形． 【拓展应用】 (3)如果同时用两种正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案的一个顶点周围有x个正三角形和y个正六边形，求x和y的值． (4)如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形，求图中与的度数． 【答案】(1)；； (2)①③ (3)或 (4)； 【分析】该题主要考查了正n边形内角和定理以及平面镶嵌，二元一次方程的整数解等知识点，解题的关键是掌握正n边形内角和定理以及平面镶嵌． （1）根据正n边形内角和定理求出内角和再除以n即可求解； （2）根据正n边形的每一个内角度数的整数倍是即可解答； （3）由题意得，x、y满足的正整数解即可求解； （4）根据正五边形每一个内角的度数即可求解． 【详解】（1）解：正五边形每个内角的度数为， 正六边形每个内角的度数为， 正八边形每个内角的度数为， 故答案为：；；． （2）解：由（1）可求， 正三角形每个内角的度数为， 正五边形每个内角的度数为， 正六边形每个内角的度数为， 正七边形每个内角的度数为， 正八边形每个内角的度数为， ∵，，， ∴只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有①③， 故答案为：①③． （3）解：由题意，得， 其正整数解为或． （4）解：∵正五边形的内角为， ∴，． 类型一、多边形的概念与分类 1．下列说法正确的是（   ） A．连接两点的线段叫做两点间的距离 B．学生上学采用的交通方式是定量数据 C．两点之间线段最短 D．各边相等的多边形叫正多边形 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的概念，线段的有关概念，定量数据与定性数据的区别等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据两点之间的距离，线段的性质，正多边形的概念以及定量数据与定性数据的概念分析即可． 【详解】解：A、两点之间的线段的长度叫做两点间的距离，故错误，不合题意； B、学生上学采用的交通方式是定性数据，故错误，不符合题意； C、两点之间线段最短，正确，符合题意； D、各边都相等，各角也相等的图形叫正多边形，故错误，不符合题意； 故选：C． 2．如图，为足球表面沿缝接线剪开并将其平铺后的局部示意图．该平面图形为具有公共顶点且边长相等的2个正六边形和1个正五边形拼接而成（除处，其他均无缝隙无重叠拼接），则图示中两个正六边形之间的缝隙 度． 【答案】12 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，熟练掌握正多边形的内角问题是解题的关键．先由正多边形的内角公式求出正六边形和正五边形的内角，再根据周角是即可求出的大小． 【详解】解：正五边形的每个内角的度数为：， 正六边形的每个内角的度数为：， ， 故答案为：． 3．已知一个边形的每一个外角都等于． (1)该边形______________是正边形（填“一定”或“不一定”）； (2)求这个边形的内角和； (3)从这个边形的一个顶点出发，可以画出______________条对角线． 【答案】(1)不一定 (2)这个边形的内角和为； (3)3 【分析】本题考查正多边形的定义，多边形的内角与外角，多边形的对角线， （1）根据各边都相等，各角都相等的多边形是正多边形判断即可； （2）先求出这个多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可； （3）根据从边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，据此列式解答即可． 【详解】（1）解：∵一个边形的每一个外角都等于， ∴该边形的每一个内角都等于：， 但该n边形的各边不一定都相等， 故该边形不一定是正边形， 故答案为：不一定； （2）解：∵多边形的外角和是， ∴， ∴内角和是：， ∴这个边形的内角和为； （3）解：从边形的一个顶点出发，可以画出条对角线， ∵， ∴， ∴从这个边形的一个顶点出发，可以画出3条对角线． 故答案为：． 类型二、多边形的周长 1．若长方形的一边长为，另一边长为，则该长方形的周长为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方形周长的计算公式求解． 【详解】解：∵2（2m+3n）=4m+6n， 故选C． 【点睛】本题考查长方形的应用，熟练掌握长方形周长的意义和计算公式是解题关键． 2．连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的 ． 【答案】对角线 【分析】本题考查多边形对角线的概念：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，据此解答即可 【详解】解：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线， 故答案为：对角线． 3．一个正多边形的周长为60，边长为a，一个外角为b°． (1)若，求b的值； (2)若，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正多边形，多边形的内角与外角， （1）根据正多边形的周长为，边长为，求得边数为，于是得到； （2）根据多边形的外角和等于，求得边数为，根据正多边形的周长为，边长为，于是得到结论． 【详解】（1）解：正多边形的周长为，边长为， 边数为， 一个外角为， ； （2）一个外角为，＝， ， 正多边形的周长为，边长为， ． 类型三、多边形的外角和与内角和 1．如图，是正n边形纸片的一部分，其中l，m是正n边形两条边的一部分，若l，m所在的直线相交形成的锐角为，则n的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角和外角，求出正多边形的每个外角度数，再用外角和除以外角度数即可求解． 【详解】解：如图， 直线l、m相交于点A，则， ∵正多边形的每个内角相等， ∴正多边形的每个外角也相等， ∴， ∴． 故选：C． 2．如图是一块电脑主板，每一个转角处都是直角，数据如图所示，单位是，则该主板的周长为 ． 【答案】96 【分析】本题考查了求周长，需合理分析图形，利用的是矩形的周长公式．题目中是一个多边形，求周长应把图中的多边形分成各个矩形求解或把多边形变为整体一个矩形求解即可． 【详解】解：如图： 矩形的长为， ， ， ∴主板的周长为， 故答案为：96． 3．一个边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为． (1)求这个边形一个内角的度数． (2)求这个边形的内角和． 【答案】(1)该边形的一个内角的度数为 (2) 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和的综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为一个边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为，所以，即可作答． （2）因为一个边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为，所以，算出这个多边形是九边形，结合多边形的内角和公式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵一个边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为， ∴， ∴该边形的一个内角的度数为； （2）解：∵一个边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为， ∴，， ∴， 则这个边形的内角和为． 类型一、多边形截角后的边数问题 1．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的知识，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条．根据一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，依此即可解决问题． 【详解】解：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 则多边形的边数是4或5或6， 故选：D． 2．一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则个多边形的边数是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，任何多边形的外角和是，即这个多边形的内角和是．n边形的内角和是，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数． 【详解】解：设多边形的边数为n，根据题意，得 ， 解得． 则这个多边形的边数是10． 故答案为：10． 3．已知一个多边形纸片的内角和比外角和多 (1)求这个多边形的边数． (2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和． (3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？ 【答案】(1)7 (2)边数可以是6或7或8，外角和仍然是 (3)每个内角比相邻的外角大，大． 【分析】（1）设这个多边形的边数为n．根据内角和比外角和多列方程求解即可； （2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是； （3）求出每个内角和每个外角的度数，即可得到答案． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n．根据题意得， ， 解得， 答：这个多边形的边数是7． （2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是． （3）若这个多边形是正七边形，则每个内角为，相邻的外角是， 则， ∴每个内角比相邻的外角大，大． 【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握内角和公式与外角和定理是解题的关键． 类型二、多边形对角线分成的三角形的个数 1．若连接多边形一个顶点与其他不相邻顶点的线段，可将这个多边形分成7个三角形，则这个多边形的边数为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了多边形对角线的相关知识，掌握过边形的一个顶点可以引条对角线，将边形分成个三角形是本题的关键． 根据过边形的一个顶点可以引条对角线，将边形分成个三角形即可得出结果． 【详解】解：设多边形的边数为，依题意得， 解得． ∴多边形的边数为9． 故选：C． 2．一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为 ． 【答案】5或6或7 【分析】实际画图，数形结合，可知六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到． 【详解】解：如图所示： 六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到． 故答案为：5或6或7． 【点睛】本题主要考查了多边形，此类问题要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况． 3．【课本再现】在探究多边形的内角和时，我们尝试从边形的一个顶点出发连接对角线，将边形分割成若干个三角形，从而得到边形的内角和公式为． (1)证明：边形内角和公式； (2)已知一个正边形一个内角的度数是其相对应外角度数的4倍，求这个正边形的边数； (3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2024吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)10 (3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和不可能为2024，理由见解析 【分析】（1）根据从n边形的一个顶点出发连接对角线，将边形分割成个三角形，且三角形内角和为180度，即可证明结论； （2）根据（1）所证结合多边形外角和为360度可得方程，解方程即可得到答案； （3）设这个多边形的边数为x，则过多边形的一个顶点的所有对角线条数为条，这些对角线分多边形所得的三角形个数为个，可得方程，解方程看方程是否有正整数解即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵从n边形的一个顶点出发连接对角线，将边形分割成个三角形，且三角形内角和为180度， ∴n边形的内角和为； （2）解：由题意得，， 解得， ∴这个正多边形的边数为10； （3）解：过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和不可能为2024，理由如下： 假设能，设这个多边形的边数为x，则过多边形的一个顶点的所有对角线条数为条，这些对角线分多边形所得的三角形个数为个， ∴， ∴， ∵x是正整数， ∴不符合题意， ∴过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和不可能为2024． 【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形对角线条数问题，多边形对角线分三角形个数问题，多边形外角和定理，三角形内角和定理，熟知多边形的相关知识是解题的关键． 类型三、多边形截角后的内角和问题 1．将一个四边形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和是（    ） A．14 B．23 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和，能够得出一个四边形截一刀后得到的图形有三种情形，是解决本题的关键． 根据一个四边形截一刀后得到的多边形的边数即可得出结果． 【详解】如图所示： 多边形截去一个角有三种情况．一种是从两个角的顶点截取，这样就少了一条边，即原四边形变为三角形； 另一种就是从一个边的任意位置和一个角顶点截，那样原多边形边数不变，还是四边形；还有一种是从两个边的任意位置截，那样就多了一条边，即原四边形为五边形； 新的多边形的内角和可能是，或，或． 故选：D． 2．从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成8个三角形，则n的值是 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查的是多边形对角线的性质，根据从一个n边形的某个顶点出发，可分为的三角形作答． 【详解】解：根据题意可知：， 解得：， 故答案为：10 3．（1）如图是一个多边形，若用一条直线截去这个多边形的一个角，使该多边形分别满足以下条件，请你在图①，图②，图③中画出该条直线： ①新多边形内角和原多边形的内角和； ②新多边形内角和原多边形的内角和； ③原多边形内角和新多边形内角和； （2）若将一个多边形剪去一个角后，得到的新的多边形的内角和为，求原多边形的边数． 【答案】（1）见解析；（2）12或13或14． 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理： （1）n边形内角和为，那么每增加一条边，对应的多边形内角和就增加180度，据此可知①的多边形边数为5，②的多边形边数为6，③的多边形边数为4，据此作图即可； （2）先根据多边形内角和计算公式求出新多边形的边数，再根据（1）进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求； （2）设新的多边形边数为n， 由题意得，， 解得， ∴新多边形的边数为13， 当新多边形内角和原多边形的内角和时，原多边形的边数为13； 当新多边形内角和原多边形的内角和时，原多边形的边数为12； 当原多边形内角和新多边形内角和时，原多边形的边数为14； 综上所述，原多边形的边数为12或13或14． 类型一、多(少)算一个角问题 1．小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角则小红少加的这个角的度数是（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 【答案】D 【分析】设这个多边形的边数为n，少加的角的度数为x，由多边形内角和定理可得等式：，由n为整数即可确定x的值． 【详解】设这个多边形的边数为n，少加的角的度数为x， 由题意得：， ， 由于n为整数，x为正数且小于， ， 则， 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形内角和定理，关键是设多边形的边数及少加的角的度数，由多边形内角和定理得到等式，根据边数为整数确定少加的角． 2．将一个三角形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和 ． 【答案】或 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，根据剪去一个角后的三角形的边数有：增加、不变两种情况求出边数，再根据多边形的内角和公式列式计算即可得解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】当得到的图形是三角形时，内角和是， 当得到的图形是四边形时，内角和是， 故形成的一个新的多边形的内角和为或， 故答案为：或． 3．玛丽在进行一个的内角和计算时，求得的内角和为，当发现错误之后，她立即检查发现少加了一个内角．已知该边形的对角线有条，试求的值． 【答案】1 【分析】本题考查了多边形的内角和公式和对角线公式熟记公式是解题的关键根据多边形的内角和公式．多边形的内角一定大于0度，小于度，据此求得m的值，继而根据对角线公式求出n的值，代入计算可得． 【详解】解∶设边形少加的度数为度．则 ， 即． ，， ， ． 边形的对角线条数为． ． 类型二、复杂图形的内角和 1．如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为，四边形内角和为是解题的关键．连接，记与交于点，利用三角形内角和定理推出，再将转化为四边形的内角和，即可解答． 【详解】解：如图，连接，记与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 2．某同学在进行多边形的内角和的计算时，求得的内角和为，当发现错了之后，重新检查，发现是多加了一个内角，问：多加的这个内角的度数是 ，这个多边形是 边形． 【答案】 /45度 八 【分析】本题考查了多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式 ，多边形的内角在之间，是解决问题的关键，首先由题意列出不等式组，进而求出边数的取值范围，注意边数为不小于3的整数，然后确定多加的内角度数． 【详解】解：解：由题意可知：多加的内角为． 解得． ∵n为正整数， ∴． ∴多加的内角为：． 故多加的这个内角是，这个多边形是八边形． 故答案为：，八． 3．（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数； （2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数； （3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数． 【答案】（1）360°；（2）720°；（3）540° 【分析】（1）连接AD，根据三角形的内角和定理得∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，进而将问题转化为求四边形ADEF的内角和， （2）与（1）方法相同转化为求六边形ABCDEF的内角和， （3）使用上述方法，转化为求五边形ABCDE的内角和． 【详解】解：（1）如图①，连接AD， 由三角形的内角和定理得，∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA， ∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝∠BAF＋∠BAD＋∠CDA＋∠D＋∠E＋∠F 即四边形ADEF的内角和，四边形的内角和为360°， ∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝360°， （2）如图②，由（1）方法可得： ∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H的度数等于六边形ABCDEF的内角和， ∴∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H＝（6－2）×180°＝720°， （3）如图③，根据（1）的方法得，∠F＋∠G＝∠GAE＋∠FEA， ∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G的度数等于五边形ABCDE的内角和， ∴∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G＝（5－2）×180°＝540°， 【点睛】本题考查三角形的内角和、多边形的内角和的计算方法，适当的转化是解决问题的关键． 类型三、网格中的多边形 1．如图，在方格纸中有四个图形＜1＞、＜2＞、＜3＞、＜4＞，其中面积相等的图形是（ ）    A．＜2＞和＜3＞ B．＜1＞和＜2＞ C．＜2＞和＜4＞ D．＜1＞和＜4＞ 【答案】B 【分析】此题考查了平面图形的有关知识，把图形中每一个方格的面积看作1，因为四个图形都是对称的平面图形即只需求出图形的面积即可． 【详解】解：把图形中每一个方格的面积看作1， 则图形（1）的面积是， 图形（2）的面积是， 图形（3）的面积是， 图形（4）中一个图案的面积比大且比小， 所以（1）和（2）的面积相等． 故选：B． 2．如图，已知两块三角板如图摆放，点和点分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点在另一块三角板的边上，且，，，则 ． 【答案】68 【分析】延长交于D，延长交于G， 根据外角的性质得到根据四边形的内角和和邻补角的定义得到于是得到结论． 【详解】解：延长BE交AC于D，延长CF交BD于G， 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，四边形的内角和，邻补角的定义，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 3．【阅读理解】在平面直角坐标系中，将横、纵坐标均为整数的点称为格点．若一个多边形的顶点都在格点上，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L．如图，是格点三角形， 其对应的，，． (1)【学以致用】图中格点四边形对应的______，______，______ ； (2)【拓展研究】已知格点多边形的S，N，L存在 的数量关系，其中a，b为常数． ①试求出a，b的值； ②若某格点多边形对应的面积S为79，内部的格点数N为71，请求出该格点多边形边界上的格点数 L 的值． 【答案】(1)3；1；6； (2)①；②18 【分析】本题主要考查了新定义问题、平面直角坐标系中利用网格求图形面积、解二元一次方程组．求平面直角坐标系中图形面积时，常用的方法是割补法，即在图形外补出一个规则图形或者将所求图形分割成若干规则小图形． （1）利用网格即可求出四边形的面积S，根据图形数出内部的格点数N，边界上的格点数L即可． （2）①分别把，，和，，代入，建立健全二元一次方程组，即可求出，的值． ②先把a、b值代入，得，再把，代入求解即可． 【详解】（1）解：由图可得：， ， ； 故答案为：3；1；6． （2）解：①分别把，，和，，代入，得 ，解得：， ②由①知：， 当，时，则， 解得：． 1．过某个多边形一个顶点有5条对角线，则这个多边形是（   ） A．九边形 B．八边形 C．七边形 D．六边形 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形的对角线，掌握多边形的对角线是解题的关键． 根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，得出，求出n即可； 【详解】解：设这个多边形的边数是， 由题意得，， 解得：， 即这个多边形为八边形， 故选：B． 2．如图，小明在制作树叶标本，不小心将制作好标本遮盖的数学作业本的一个正n边形一部分．若直线所夹锐角为36°，则n的值是（   ） A．9 B．8 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查正多边形外角的相关知识，三角形内角和定理应用，正多边形每个外角都相等，外角和为，据此计算即可求解． 【详解】解：延长、交于点C，如图所示： 则， ∵、为正多边形的外角， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 3．如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】利用大正方形的面积减去四边形周围的小三角形面积即可． 【详解】解：四边形ABCD的面积为： =， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了四边形面积求法，掌握割补法是解题的关键． 4．中国古建筑中的字台楼阁很多都采用八边形结构．如图1是漳州市威镇阁，其外层屋檐的平面示意图可抽象成正八边形，如图2所示，则这个正八边形的一个外角的度数为 °． 【答案】45 【分析】本题考查多边形的外角和．熟练掌握多边形的外角和为，是解题的关键．根据多边形的外角和进行计算即可． 【详解】解：正八边形的一个外角的度数为， 故答案为：． 5．如图，直线与正五边形两边交于O、Q两点，则的度数为 ． 【答案】/144度 【分析】本题考查了多边形的内角和，正多边的定义，多边形的内角和及正多边的定义得，由四边形的内角和为，即可求解；理解正多边的定义，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：五边形是正五边形， ， ， 故答案为：． 6．如图所示，足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的，黑皮可看作正五边形，白皮可看作正六边形，则白皮 块，黑皮 块． 【答案】 20 12 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，即找出黑边与白边条数的比例关系并列出方程成为解题的关键． 由一块白皮（六边形）中，有三边与黑皮（五边形）相连，因此白皮边数是黑皮边数的2倍，设出未知数列出方程求解即可． 【详解】解：设足球上黑皮有x块，则白皮为块，五边形的边数共有条，六边形边数有条． 由图形关系可得，每个正六边形白皮的周围有3个黑皮边，则白皮的边数为黑皮的2倍， 可得方程：，解得：， （块）， 所以白皮20块，黑皮12块． 故答案为：20，12． 7．已知一个多边形的内角和等于，求这个多边形的边数． 【答案】这个多边形的边数为11 【分析】本题考查了多边形内角和，一元一次方程的应用，掌握多边形内角和公式是解题关键．设这个多边形的边数为，根据多边形内角和公式列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意得：，                 解得． 即这个多边形的边数为11． 8．一个n边形的内角和比外角和多． (1)求n的值； (2)从该多边形一个顶点出发的所有对角线将这个多边形分成________个三角形． 【答案】(1)n的值为12； (2)10． 【分析】本题主要考查多边形的内角与外角及多边形的对角线，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）n边形的内角和为，外角和为，根据题意列出方程式，即可得出答案； （2）利用从一个顶点出发的所有对角线将这个多边形分成个三角形，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得：， 答：n的值为12； （2）解：， ∴从该多边形一个顶点出发的所有对角线将这个多边形分成10个三角形． 故答案为：10． 9．规定：有一对相对的角互补的四边形叫做智慧四边形．例如，在四边形中，若或，则四边形是智慧四边形． (1)如图1，已知四边形是智慧四边形，其中三个内角、、的比是，则的度数为______． (2)如图2，D为内一点，且，的两个外角、的角平分线交于点E，判断四边形是否为智慧四边形，并说明理由． 【答案】(1) (2)四边形为智慧四边形，理由见解析 【分析】本题考查三角形的内角和定理，多边形的内角和，理解相关定义是解决问题的关键． （1）设，则，，由四边形是智慧四边形得，则，即可求得，则； （2）由题意可得，，进而可知，再结合三角形内角和定理可得，即可证明结论． 【详解】（1）设， ∵， ∴，， ∵四边形是智慧四边形， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． （2）四边形为智慧四边形，理由如下： ∵的两个外角、的角平分线交于点E， ∴，， 则 ， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形为智慧四边形． 10．簪花结束后，小强和爸爸牵着妈妈的手，到蟳埔村参观游玩拍照纪念，精美的镂空窗花搭配蚵壳墙，极具泉州古民居特色，给小强一家留下来极其深刻的印象，在感叹泉州人民的勤劳与智慧的同时，聪明的小强发现有的窗花是由几种形状的正多边形组合镶嵌而成，具有很好的对称美，小强爸爸给他出了如下两个题目，请帮帮小强一起解决． (1)已知一扇窗户在某个结点处由两种边长相等的正多边形镶嵌而成，其中一种是等边三角形，另一个种不能是下列哪种形状的正多边形 （填序号） 正三角形   正四边形   正五边形   正六边形 (2)小强发现某个花纹用个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图，小强猜想，如果用个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则的值为 ，并简要说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是平面镶嵌、多边形的内角和公式、解一元一次方程等知识，用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，掌握以上知识是解题的关键． （1）分别求出各多边形内角的度数，再由密铺的条件即可得出结论； （2）根据正六边形各内角的度数即可得出结论． 【详解】（1）解：正三角形的内角是，，可以密铺，不符合题意； 正四边形的内角是，，可以密铺，不符合题意； ③正五边形的内角是，，不能密铺，符合题意； ④正六边形的内角是，，可以密铺，不符合题意， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 由题意得，这个正六边形围成的图形是一个正多边形，由图可知，围成的这个正多边的每个内角的度数是， 所以，， 解得：， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.2—8.3 多边形的内角和与外角和 用正多边形铺设地面 1、 多边形的内角和 1. 多边形内角和的定义：多边形内部所有内角的度数之和。 2. 多边形内角和的公式：n边形的内角和等于(n-2)×180°，其中n为多边形的边数。 3. 内角和公式的应用：可以通过公式计算任意多边形的内角和，或者根据已知的内角和反推多边形的边数。 2、 多边形的外角和 1. 多边形外角和的定义：多边形每个外角的度数之和。外角是多边形的一个内角的补角，即从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加。 2. 多边形外角和的定理：任意多边形的外角和都等于360°。 3. 外角和定理的应用：可以利用外角和定理解决与多边形外角相关的问题，如计算特定外角的大小、判断多边形的形状等。 3、 用正多边形铺设地面 1. 正多边形的定义：在平面内，内角都相等、边也都相等的多边形叫做正多边形。 2. 正多边形铺设地面的原理：正多边形的内角和外角具有特定的性质，使得它们能够紧密地拼接在一起，不留空隙也不重叠。 3. 铺设地面的方法：可以选择一种或多种正多边形进行拼接，通过调整它们的大小和方向，实现地面的完全覆盖。 巩固课内例1:多边形的内角和 1．在四边形中，与互补，，则的度数（   ） A． B． C． D． 2．阅读下列材料，回答下面的问题． 用一种或几种完全相同（全等形）的三角形或多边形无间隙且不重叠地覆盖（铺砌）平面的一部分，叫做平面镶嵌，平面镶嵌又称为“平面密铺”．如图所示，用边长相等的等边三角形能够平面镶嵌；平面镶嵌的关键点是，在每个公共顶点（拼接点）处，各角的和是． 现在我们来研究用边长相等的正多边形（含等边三角形）平面镶嵌的问题： 和边长相同的正五边形同时进行平面镶嵌（两种正多边形都要用），下列正多边形可以的是________； A．正四边形 B．正六边形 C．正十边形 D．正十二边形 3．如图，四边形中，，平分交于E，平分交于F． (1)若为，求的度数． (2)求证：． 巩固课内例2:多边形的外角和 1．八边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 2．一个六边形的内角和等于 度． 3．请根据下面x与y的对话解答下列问题：：我和y都是多边形，我们俩的内角和相加的结果为；：的边数与我的边数之比为． (1)求x与y的外角和相加的度数； (2)分别求出x与y的边数． 巩固课内例3:多边形的对角线 1．过七边形的一个顶点可以画n条对角线，将它分成m个三角形，则的值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．如图，小明从A地出发，沿直线前进15米后向左转，再沿直线前进15米，又向左转⋯⋯，照这样走下去，他第一次回到出发地A地时，一共走的路程是 米． 3．从边形的一个顶点出发共有4条对角线；从边形的一个顶点出发的所有对角线把边形分成6个三角形；正边形的边长为7，周长为63，则求的值． 巩固课内例4:已知多边形的内角和求边数 1．小明利用画图软件画一个多边形，他设计的要求是：个内角中，最小的为，最大的为，且从小到大依次增加相同的度数，则小明画出的多边形的边数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．从七边形的一个顶点出发的对角线有 条． 3．已知一个多边形的边数为n． (1)若，求这个多边形的内角和； (2)若这个多边形的内角和是外角和的2倍，求n的值． 巩固课内例5:已知多边形的外角和求边数 1．已知正多边形的一个外角为，则这个正多边形的边数是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 2．多边形的每个内角的度数都等于，则这个多边形的边数为 ． 3．请根据下面和的对话解答下面问题． ：我和都是多边形，我们俩的内角和相加的结果为； 的边数与我的边数之比为． (1)求和的外角和相加的度数； (2)分别求出和的边数； (3)若的内角都相等，求每个内角的度数． 巩固课内例6:正多边形的内角 1．如图，直线l与正五边形的边、相交于点M、N，则的大小为（　　） A． B． C． D． 2．如果多边形的每个外角都是，那么这个多边形的边数是 ． 3．如图，五边形的内角都相等，． (1)求的度数 (2)求的值． 巩固课内例7:正多边形的外角 1．花窗不仅是建筑的眼睛，更是中式美学的灵魂．如图所示是中国古建筑中的一个正八边形的窗户，则它的一个外角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在正八边形中，连接，交于点P，则的度数为 ． 3．已知一个正多边形的边数为n． (1)若，求这个正多边形的内角和． (2)若这个正多边形的每个内角都比与它相邻外角的3倍还多，求n 的值． 巩固课内例8:平面镶嵌 1．如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（   ） A．15 B．12 C．10 D．8 2．一个正多边形的内角和等于它的外角和的3倍，则这个正多边形是正 边形． 3．【问题背景】 生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的漂亮地面．在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由正方形镶嵌而成的图案，图2是由正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个内角的度数 _______ _______ ______ 【探究发现】 (1)填写表中空格： (2)如果只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有 ．（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形． 【拓展应用】 (3)如果同时用两种正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案的一个顶点周围有x个正三角形和y个正六边形，求x和y的值． (4)如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形，求图中与的度数． 类型一、多边形的概念与分类 1．下列说法正确的是（   ） A．连接两点的线段叫做两点间的距离 B．学生上学采用的交通方式是定量数据 C．两点之间线段最短 D．各边相等的多边形叫正多边形 2．如图，为足球表面沿缝接线剪开并将其平铺后的局部示意图．该平面图形为具有公共顶点且边长相等的2个正六边形和1个正五边形拼接而成（除处，其他均无缝隙无重叠拼接），则图示中两个正六边形之间的缝隙 度． 3．已知一个边形的每一个外角都等于． (1)该边形______________是正边形（填“一定”或“不一定”）； (2)求这个边形的内角和； (3)从这个边形的一个顶点出发，可以画出______________条对角线． 类型二、多边形的周长 1．若长方形的一边长为，另一边长为，则该长方形的周长为（　） A． B． C． D． 2．连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的 ． 3．一个正多边形的周长为60，边长为a，一个外角为b°． (1)若，求b的值； (2)若，求a的值． 类型三、多边形的外角和与内角和 1．如图，是正n边形纸片的一部分，其中l，m是正n边形两条边的一部分，若l，m所在的直线相交形成的锐角为，则n的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 2．如图是一块电脑主板，每一个转角处都是直角，数据如图所示，单位是，则该主板的周长为 ． 3．一个边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为． (1)求这个边形一个内角的度数． (2)求这个边形的内角和． 类型一、多边形截角后的边数问题 1．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 2．一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则个多边形的边数是 ． 3．已知一个多边形纸片的内角和比外角和多 (1)求这个多边形的边数． (2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和． (3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？ 类型二、多边形对角线分成的三角形的个数 1．若连接多边形一个顶点与其他不相邻顶点的线段，可将这个多边形分成7个三角形，则这个多边形的边数为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为 ． 3．【课本再现】在探究多边形的内角和时，我们尝试从边形的一个顶点出发连接对角线，将边形分割成若干个三角形，从而得到边形的内角和公式为． (1)证明：边形内角和公式； (2)已知一个正边形一个内角的度数是其相对应外角度数的4倍，求这个正边形的边数； (3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2024吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 类型三、多边形截角后的内角和问题 1．将一个四边形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和是（    ） A．14 B．23 C．或 D．或或 2．从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成8个三角形，则n的值是 ． 3．（1）如图是一个多边形，若用一条直线截去这个多边形的一个角，使该多边形分别满足以下条件，请你在图①，图②，图③中画出该条直线： ①新多边形内角和原多边形的内角和； ②新多边形内角和原多边形的内角和； ③原多边形内角和新多边形内角和； （2）若将一个多边形剪去一个角后，得到的新的多边形的内角和为，求原多边形的边数． 类型一、多(少)算一个角问题 1．小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角则小红少加的这个角的度数是（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 2．将一个三角形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和 ． 3．玛丽在进行一个的内角和计算时，求得的内角和为，当发现错误之后，她立即检查发现少加了一个内角．已知该边形的对角线有条，试求的值． 类型二、复杂图形的内角和 1．如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．某同学在进行多边形的内角和的计算时，求得的内角和为，当发现错了之后，重新检查，发现是多加了一个内角，问：多加的这个内角的度数是 ，这个多边形是 边形． 3．（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数； （2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数； （3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数． 类型三、网格中的多边形 1．如图，在方格纸中有四个图形＜1＞、＜2＞、＜3＞、＜4＞，其中面积相等的图形是（ ）    A．＜2＞和＜3＞ B．＜1＞和＜2＞ C．＜2＞和＜4＞ D．＜1＞和＜4＞ 2．如图，已知两块三角板如图摆放，点和点分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点在另一块三角板的边上，且，，，则 ． 3．【阅读理解】在平面直角坐标系中，将横、纵坐标均为整数的点称为格点．若一个多边形的顶点都在格点上，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L．如图，是格点三角形， 其对应的，，． (1)【学以致用】图中格点四边形对应的______，______，______ ； (2)【拓展研究】已知格点多边形的S，N，L存在 的数量关系，其中a，b为常数． ①试求出a，b的值； ②若某格点多边形对应的面积S为79，内部的格点数N为71，请求出该格点多边形边界上的格点数 L 的值． 1．过某个多边形一个顶点有5条对角线，则这个多边形是（   ） A．九边形 B．八边形 C．七边形 D．六边形 2．如图，小明在制作树叶标本，不小心将制作好标本遮盖的数学作业本的一个正n边形一部分．若直线所夹锐角为36°，则n的值是（   ） A．9 B．8 C．5 D．4 3．如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为 ． 4．中国古建筑中的字台楼阁很多都采用八边形结构．如图1是漳州市威镇阁，其外层屋檐的平面示意图可抽象成正八边形，如图2所示，则这个正八边形的一个外角的度数为 °． 5．如图，直线与正五边形两边交于O、Q两点，则的度数为 ． 6．如图所示，足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的，黑皮可看作正五边形，白皮可看作正六边形，则白皮 块，黑皮 块． 7．已知一个多边形的内角和等于，求这个多边形的边数． 8．一个n边形的内角和比外角和多． (1)求n的值； (2)从该多边形一个顶点出发的所有对角线将这个多边形分成________个三角形． 9．规定：有一对相对的角互补的四边形叫做智慧四边形．例如，在四边形中，若或，则四边形是智慧四边形． (1)如图1，已知四边形是智慧四边形，其中三个内角、、的比是，则的度数为______． (2)如图2，D为内一点，且，的两个外角、的角平分线交于点E，判断四边形是否为智慧四边形，并说明理由． 10．簪花结束后，小强和爸爸牵着妈妈的手，到蟳埔村参观游玩拍照纪念，精美的镂空窗花搭配蚵壳墙，极具泉州古民居特色，给小强一家留下来极其深刻的印象，在感叹泉州人民的勤劳与智慧的同时，聪明的小强发现有的窗花是由几种形状的正多边形组合镶嵌而成，具有很好的对称美，小强爸爸给他出了如下两个题目，请帮帮小强一起解决． (1)已知一扇窗户在某个结点处由两种边长相等的正多边形镶嵌而成，其中一种是等边三角形，另一个种不能是下列哪种形状的正多边形 （填序号） 正三角形   正四边形   正五边形   正六边形 (2)小强发现某个花纹用个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图，小强猜想，如果用个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则的值为 ，并简要说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$