8.3用正多边形铺设地面培优练习 2024—2025学年华东师大版数学七年级下册

8.3用正多边形铺设地面培优练习华东师大版2024—2025学年七年级下册 一、选择题 1．用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做平面镶嵌．若只选用一种大小相同的正多边形瓷砖进行平面镶嵌，则不能铺满地面的是（　　） A．B． C．D． 2．现有正三角形、正方形、正六边形、正八边形地砖，若只能选择一种地砖铺设地面，则可供选择的地砖有（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 3．酷爱思考的可培同学在学习了平面镶嵌的知识后，决定为家里新装修的房子选择一些不同样式的瓷砖来铺设地板，在以下正多边形组合中，不能铺满地面的是（　　） A．正八边形和正方形 B．正五边形和正八边形 C．正六边形和正三角形 D．正三角形和正方形 4．某校校园里的一条小路使用正六边形、正方形、正三角形三种地砖按如图方式铺设．若这条小路共用了50块正六边形地砖，则正方形地砖的数量为（　　） A．300块 B．301块 C．250块 D．251块 5．下列多边形的组合中，能够铺满地面的是（　　） A．正方形与正六边形 B．正四边形和正八边形 C．正五边形和正八边形 D．正三角形和正十边形 二、填空题 6．陶瓷市场现有边长相等的正三角形，正方形，正五边形，正六边形的地板砖出售，某客想买其中的一种镶嵌着铺地板，则他不可以选择的是　 　． 7．如图，是某校七年级数学兴趣小组活动室墙壁上的一幅图案；它是由边长相等的正方形和正n边形设计出来的，则n＝　 　． 8．如图，一幅图案在顶点A处由边长相等的1个正方形和2个正n边形镶嵌而成，则n的值为 　 　． 9．如图所示的地面由正五边形和正n边形两种地砖镶嵌而成，则∠ABC的度数为 　 　°． 第9题图 第8题图 第7题图 10．如图是五四广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正六边形地板砖周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖；第二层包括6块正方形和18块正三角形地板砖；以此递推．第n层中含有 　 　块正三角形地板砖（用含n的代数式表示）．现打算在一个新建广场中央，采用如图样式的图案铺设地面，现有1块正六边形．150块正方形和420块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，最多能铺 　 　层． 三、解答题 11．已知一个正n边形的内角和是它的外角和的2倍． （1）求n； （2）求正n边形每个内角的度数； （3）用足够多边长相等的这种正n边形和正三角形两种地板镶嵌地面，则一个顶点处需要此正n边形和正三角形的地板块数分别为：　 　． 12．由镶嵌知识可知，边长相等的正六边形、正方形、正三角形三种地砖可进行无缝密铺，观察图1、图2、图3，完成如下解答． （1）填写下表： 图序 正六边形个数 正方形个数 正三角形个数 图1 1 6 6 图2 2 图3 3 （2）①图n中，正方形地砖数量为 　 　块、正三角形地砖的数量为 　 　块； ②求图10中正方形地砖和正三角形地砖的总数量． 13．在“平面图形的镶嵌”学习中，主要研究了一种或两种正多边形的镶嵌问题，请运用所学知识完成下列问题． （1）填写表中空格． 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个内角的度数 60° 90° 　 　 　 　 　 　 （2）根据题意，如果仅用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形； （3）假设在镶嵌的平面图形的一个顶点周围有m个正四边形，n个正八边形，求m和n的值，请写出过程． 14．如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖，从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，…，依此类推． （1）第3层中含有正三角形个数是 　 　，第n层中含有正三角形个数是 　 　； （2）求出哪一层正三角形个数是正方形个数的2023倍． 15．我们在用边长相同的正多边形进行平面镶嵌时，各正多边形重合的顶点叫拼接点，如图1，O就是拼接点．我们发现，各正多边形的以拼接点为顶点的内角之和为360°（注：若不能等于360°，则不能镶嵌）． （1）如果我们只用一种边长相同的正多边形镶嵌，那么下面正多边形中，不能进行镶嵌的是 　 　．（填序号） ①正三角形②正方形③正五边形④正六边形 （2）为了使镶嵌图案美丽多变，我们有时也可以用边长相同的两种正多边形进行镶嵌，如图2，正三角形与正方形的平面镶嵌，在一个拼接点的周围有3个正三角形和2个正方形． ①如果我们用边长相同的正三角形与正六边形进行镶嵌，求一个拼接点的周围有几个正三角形和几个正六边形； ②我们也可以用边长相同的正五边形和正 　 　边形进行镶嵌． 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 答案 C C B D B 二、填空题 6．【解答】解：结合镶嵌的条件是正多边形的一个内角的度数能整除360度进行求解可得： 正三角形的一个内角度数为60度，能整除360度，可以进行平面镶嵌； 正方形的一个内角度数为90度，能整除360度，可以进行平面镶嵌； 正五边形形的一个内角度数为，不能整除360度，不可以进行平面镶嵌； 正六边形形的一个内角度数为，能整除360度，可以进行平面镶嵌； 故答案为：正五边形． 7．【解答】解：正n边形的一个内角＝（360°﹣90°）÷2＝135°， 则135°n＝（n﹣2）•180°， 解得n＝8． 故答案为：8． 8．【解答】解：正方形的每个内角为90°，正n边形的每个内角为，根据题意得： 90°+2360°， 解得：n＝8． 故答案为：8． 9．【解答】解：正五边形内角和 （5﹣2）×180°＝540°， 所以每个内角度数540°÷8＝108°， ∴∠ABC＝360°﹣2×108°＝144°． 故答案为：144． 10．【解答】解：∵第一层6＝6×1＝6×（2×1﹣1）块正三角形地板砖， 第二层18＝6×3＝6×（2×2﹣1）块正三角形地板砖， 第三层30＝6×5＝6×（2×3﹣1）块正三角形地板砖， ∴第n层6＝6×1＝6（2n﹣1）块正三角形地板砖； ∵150÷6＝25（层）， ∴150块正方形地板砖可以铺设这样的图案25层， ∵铺设n层需要正三角形地板砖的数量为：6[1+3+5+…+（2n﹣1）]＝6n2， ∴6n2＝420， n2＝70， ∴n， 又∵89，即8＜n＜9， ∴420块正三角形地板砖最多可以铺设这样的图案8层， ∴铺设这样的图案，最多能铺8层． 故答案为：6（2n﹣1），8． 三、解答题 11．【解答】解：（1）根据题意得：180°（n﹣2）＝2×360°， 解得n＝6． 答：n的值为6． （2）． 答：正n边形每个内角的度数为120°． （3）设在平面镶嵌时，围绕在某一点有x个正六边形和y个正三角形的内角可以拼成一个周角， 根据题意可得：120x+60y＝360，即：2x+y＝6， ∴或， ∴一个顶点处需要此正六边形和正三角形的地板块数分别为：2个，2个或1个，4个． 故答案为：2个，2个或1个，4个． 12．【解答】解：（1）由所给图形可知： 图序 正六边形个数 正方形个数 正三角形个数 图1 1 6 6 图2 2 11 10 图3 3 16 14 （2）①观察图形可以得出正方形地砖会增加5块，三角形地砖会增加4块， 所以图n中，正方形地砖数量为（5n+1）块、正三角形地砖的数量为（4n+2）块； 故答案为：（5n+1），（4n+2）； ②当n＝10时，（5×10+1）+（4×10+2）＝51+42＝93（个）， 答：图10中正方形地砖和正三角形地砖的总数量为93个． 13．【解答】解：（1）∵正n边形的内角为， ∴正五边形的内角为，正六边形的内角为：，正八边形的内角为， 故答案为：108°、120°、135°； （2）∵仅用一种正多边形镶嵌， ∴360°÷60°＝6，360°÷90°＝4，，360°÷120°＝3，， ∴仅用一种正多边形镶嵌，正三角形，正四边形，正六边形能镶嵌成平面图形； （3）∵有m个正四边形，n个正八边形， ∴90°m+135°n＝360°且m、n为正整数， ∴2m+3n＝8， ∴当m＝1时，n＝2，满足题意； 当m＝2时，，不满足题意； 当m＝3时，，不满足题意； 当m＝4时，n＝0，不满足题意； ∴m＝1，n＝2， 即m的值为1，n的值为2． 14．【解答】解：（1）根据图形变化总结如下： 第1层每两个正方形之间有1个正三角形，该层共有6个正三角形， 第2层每两个正方形之间有3个正三角形，该层共有18个正三角形， 第3层每两个正方形之间有5个正三角形，该层共有30个正三角形， … ∴第n层每两个正方形之间有（2n﹣1）个正三角形，该层共有6×（2n﹣1）＝12n﹣6个正三角形． 故第3层中含有正三角形个数是30，第n层中含有正三角形个数是12n﹣6． （2）设第n层正三角形个数是正方形个数的2023倍 根据图形，每一层都有6个正方长，则第n层的正方形还是6． 由（1）知第n层中含有正三角形个数是12n﹣6， 根据题意得：6×2023＝12n﹣6， 解得：n＝1012． 故第1012层正三角形个数是正方形个数的2023倍． 15．【解答】解：（1）①正三角形的内角为60°，360°÷60°＝6，结果是整数，可以进行平面镶嵌； ②正方形内角为90°，360°÷90°＝4，结果是整数，可以进行平面镶嵌； ③正五边形内角为108°，，结果不是整数，不可以进行平面镶嵌； ④正六边形内角为120°，360°÷120°＝3，结果是整数，可以进行平面镶嵌； 故选：③； （2）①设在平面镶嵌时，一个拼接点的周围有x个正三角形和y个正六边形， 根据题意得：60°x+120°y＝360°， ∴x+2y＝6， ∵x，y为正整数， ∴或， 答：在平面镶嵌时，一个拼接点的周围有2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形； ②由于正五边形内角为108°，设用边长相同的a个正五边形和b个正n边形进行镶嵌， 则， 整理得：， ∵a，b，n为正整数， ∴应为正整数， 则n＝5或n＝10， 当n＝5时，3a+3b＝10，此时a，b无正整数解， 当n＝10时，3a+4b＝10，解得正整数解为：， 故答案为：十． 学科网（北京）股份有限公司 $$