2.5 三元一次方程组及其解法 （讲练）（7大题型51题）-2024-2025学年七年级下册数学同步讲练（浙教版2024）

三元一次方程组的概念 方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组。 三元一次方程组的一般形式 形如,(不全为0，不全为0，不全为0) 注意:三元一次方程组中的某个方程，可以是一元一次方程，或二元一次方程，或是三元一次方程，只需保证方程组中一共有三个未知数，且含未知数的项的次数为1即可. 【基础练习】 【练习1-1】下列方程中，属于三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【练习1-2】下列方程组不是三元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 解三元一次方程组的基本思路 解三元一次方程组的一般步骤 (1)观察方程组中每个未知数的系数，根据未知数的系数的特征，选择首先要消去的未知数； (2)利用代人法或加减法，把方程组中一个方程与另外两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； (3)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； (4)将求得的两个未知数的值代人原方程组中的一个系数比较简单的方程中，得到一个一元一次方程； (5)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； (6)将求得的三个未知数的值用“”合写在一起即方程组的解， 【基础练习】 【练习2-1】解方程组： 【练习2-2】解方程组： (1) (2) 【典例】下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列方程组中，是三元一次方程组的是（　 　） A． B． C． D． 【变式1-2】下列方程中，属于三元一次方程的是（　　） A．π+x+y＝6 B．xy+y+z＝6 C．x+2y+3z＝9 D．3x+2y﹣4z＝4x+2y﹣2z 【典例】解三元一次方程组，若先消去z，组成关于x、y的方程组，则应对方程组进行的变形是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】三元一次方程组消去未知数后，得到的二元一次方程组是（   ） A．B． C．D． 【变式2-2】方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【典例】解方程组 【变式3-1】解下列三元一次方程组： （1）； （2） 【变式3-2】解下列三元一次方程组： (1) (2) 方法技巧：先消去一个未知数，把“三元”转化为“二元”的方法： (1)先消去某个方程中缺少的未知数;(2)先消去系数最简单的未知数;(3)先消去系数成整数倍的未知数; (4)注意整体加减或代入的应用. 【典例】已知，则的相反数是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】若，则_________； 【变式4-2】已知x，y，z满足|x﹣z﹣2|+|3x﹣3y﹣3|＝﹣（3y+2z﹣13）2，求xyz的值． 【典例】若实数，，满足，且，则的值是（  ） A．31 B．27 C．29 D．无法确定 【变式5-1】实数x，y，z满足，则x、z之间具有哪个等量关系（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】已知（xyz≠0），则x：y：z的值为（　　） A．1：2：3 B．3：2：1 C．2：1：3 D．不能确定 【典例】购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需元；购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支，共需元，则购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式6-1】实验室需要购买A，B，C三种型号的盒子存放材料，盒子容量和单价如下表所示： 盒子型号 A B C 盒子容量（单位：升） 2 3 4 盒子单价（单位：元） 5 6 9 其中A型号盒子做促销活动：购买3个及以上可一次性优惠4元，现有28升材料需要存放，要求每个盒子都要装满且三种盒子都至少买一个． （1）若购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为1，6，2，则购买总费用为 　　 元； （2）若一次性购买所需盒子且购买总费用为58元，则购买A，B，C三种型号的盒子的总数为 　　 个． 【变式6-2】有一商场计划到厂家购买电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1100元，乙种每台1300元，丙种每台2100元． （1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共60台，用去7万元，请你帮助商场设计进货方案． （2）若商场同时购进三种不同型号的电视机共50台，用去6万元，请你帮助商场设计进货方案． 【典例】用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示，，为未知数的三元一次方程组，若为定值，则与关系（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】对于有理数x和y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，已知，，则的值为 ． 【变式7-1】【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为． 【类比迁移】（1）已知求的值； 【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买本笔记本、支签子笔、支记号笔需要元；若购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元；本班共位同学，则购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要多少钱？ 1．下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2．的解是（    ） A． B． C． D． 3．解方程组时，为转化为二元一次方程组，最恰当的方法是（    ） A．由②③消去z B．由②③消去y C．由①②消去z D．由①③消去x 4．已知方程组与方程组有相同的解，则a、b、c的值为（ ） A． B． C． D． 5．若，则等于（    ） A． B． C．2 D． 6．有理数、、满足，则的值是（　　） A． B．3 C．4 D．值不能确定 7．某校开学典礼需要购买一、二、三等奖奖品若干，若购买三等奖奖品3件，二等奖奖品5件，一等奖奖品1件，共需62元，若购三等奖奖品4件，二等奖奖品7件，一等奖奖品1件共需77元．现在购买三等奖、二等奖、一等奖奖品各一件，共需（　　）元 A．31 B．32 C．33 D．34 8．我们约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，如图1，有，在图2中，若的值为，则的值为（    ）    A． B． C．1 D．任意实数 9．已知，，都不为零，且，则式子的值为（   ） A． B． C．- D．- 10．下面所示为教材中三元一次方程组的解题过程，请根据教材提供的做法和有关信息解决问题． 例1  解方程组： 解  由方程②，得．……步骤一④ 将④分别代入方程①和③，得 ……步骤二 整理，得 解这个二元一次方程组，得 代入④，得． 所以原方程组的解是 (1)其中的步骤二通过______法消去未知数，将三元一次方程组转化成了______． (2)仿照以上思路解方程组，消去字母后得到的二元一次方程组为______． 11．方程组的解是 ． 12．若是一个三元一次方程，那么_______， ________． 13．，，均为非零实数，已知，，，那么 ． 14．一个三位数的三个数字的和是17，百位数字与十位数字的和比个位数字大3，如果把个位数字与百位数字的位置对调，那么所得的三位数比原数大495，则原来的三位数是 ． 15．感悟思想：有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数，满足①，②，求和的值． 思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得，的值再代入要求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值．如①②可得；①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 体会思想： (1)已知二元一次方程组，则___________； (2)三元一次方程组的解是 ___________． 16．对任意一个三位正整数m，如果各个数位上的数字之和为18，则称这个三位正整数m为“美好数”．最大的三位“美好数”是 ．若一个三位“美好数”前两位数字组成的两位数与这个“美好数”个位数字的4倍的和为111，满足条件的三位“美好数”有 ． 17．某校七年级在元旦节举行了“速算大赛”，用签字笔、钢笔、圆规三种文具用品混装成甲、乙、丙三种奖品礼包，其中甲种奖品礼包包含10支签字笔、5支钢笔；乙种奖品礼包包含2支签字笔，6支钢笔，4个圆规；丙种奖品礼包包含4支签字笔，8个圆规．购买每个礼包的费用等于礼包内各文具用品的费用之和；已知两包乙奖品礼包比一包丙奖品礼包贵240元．学校采购员小李在1月1日当天，去文具店购买这三种文具用品发现，该文具店对签字笔、钢笔、圆规的售价分别打5折、7折、8折销售；1月2号恢复原价，小李发现1月1日一个乙礼包的售价比1月2日一个丙礼包售价便宜12元，若签字笔、钢笔、圆规三种文具用品的原价都是正整数，且签字笔的单价不超过10元，若小李在1月1日购买一个甲礼包和一个乙礼包，应该付______元． 18．解方程组： (1) (2) (3) (4) 19．已知代数式ax2+bx+c，当x＝0时，它的值为﹣3；当x＝﹣3时，它的值为0；当x＝2时，它的值为5． （1）求a，b，c的值． （2）求当时代数式的值． 20．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点坐标为，、、满足． (1)请用含的式子表示和； (2)若，求点的坐标． 21．某农场欲销售甲、乙两种苹果，甲种苹果每箱重千克，乙种苹果每箱重千克．已知箱甲种苹果和箱乙种苹果共售价元，箱甲种苹果和箱乙种苹果共售价元． (1)分别求甲、乙两种苹果每箱的售价； (2)该农场欲租车把苹果运往外地某客户，每辆车能运货千克（假设恰好能装满），若该客户购买的甲、乙两种苹果的总售价为万元，则农场需租几辆车才能运完？ 22．阅读材料：我们把多元方程（组）的非负整数解叫做这个方程（组）的“好解”．例如：就是方程3x+y＝11的一组“好解”；是方程组的一组“好解”． (1)求方程x+2y＝5的所有“好解”； (2)关于x，y，k的方程组有“好解”吗？若有，请求出对应的“好解”；若没有，请说明理由． 23．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T：，（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“麓外区间”为， 如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是______； (2)实数x，y，m满足关系式： ，求m的算术平方根的“麓外区间”． (3)若某一个无理数T的“麓外区间”为，其中是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，请求出m、n的值，并写出一个符合题意的无理数T． 1．（2023·浙江温州·中考真题）【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等． 【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟． 【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（    ）    A．4200米 B．4800米 C．5200米 D．5400米 2．（2020·重庆·中考真题）火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱.重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3：5：2．随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是__________． 3．（2020·重庆·中考真题）为刺激顾客到实体店消费，某商场决定在星期六开展促销活动．活动方案如下：在商场收银台旁放置一个不透明的箱子，箱子里有红、黄、绿三种颜色的球各一个（除颜色外大小、形状、质地等完全相同），顾客购买的商品达到一定金额可获得一次摸球机会，摸中红、黄、绿三种颜色的球可分别返还现金50元、30元、10元．商场分三个时段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果为：第二时段摸到红球次数为第一时段的3倍，摸到黄球次数为第一时段的2倍，摸到绿球次数为第一时段的4倍；第三时段摸到红球次数与第一时段相同，摸到黄球次数为第一时段的4倍，摸到绿球次数为第一时段的2倍，三个时段返现总金额为2510元，第三时段返现金额比第一时段多420元，则第二时段返现金额为____元． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三元一次方程组的概念 方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组。 三元一次方程组的一般形式 形如,(不全为0，不全为0，不全为0) 注意:三元一次方程组中的某个方程，可以是一元一次方程，或二元一次方程，或是三元一次方程，只需保证方程组中一共有三个未知数，且含未知数的项的次数为1即可. 【练习1-3】 【基础练习】 【练习1-1】下列方程中，属于三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三元一次方程的识别，含有3个未知数，且含有未知数的项的指数为1的整式方程，叫做三元一次方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A、只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意； B、含未知数的项的最高次幂为2次，不是三元一次方程，不符合题意； C、是三元一次方程，符合题意； D、方程化简为：，只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意； 故选C． 【练习1-2】下列方程组不是三元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】根据三元一次方程组的定义来求解，对A、B、C、D四个选项进行一一验证． 【详解】解：由题意知，含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次，并且一共有三个方程，叫做三元一次方程组． A、满足三元一次方程组的定义，故A选项错误； B、x2﹣4＝0，未知量x的次数为2次，∴不是三元一次方程，故B选项正确； C、满足三元一次方程组的定义，故C选项错误； D、满足三元一次方程组的定义，故D选项错误； 故选：B． 解三元一次方程组的基本思路 解三元一次方程组的一般步骤 (1)观察方程组中每个未知数的系数，根据未知数的系数的特征，选择首先要消去的未知数； (2)利用代人法或加减法，把方程组中一个方程与另外两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； (3)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； (4)将求得的两个未知数的值代人原方程组中的一个系数比较简单的方程中，得到一个一元一次方程； (5)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； (6)将求得的三个未知数的值用“”合写在一起即方程组的解， 【基础练习】 【练习2-1】解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解三元一次方程组，先将三元一次方程组通过加减消元法转化为二元一次方程组，再通过加减消元法转化为一元一次方程，从而可以解答本题． 【详解】解： 得， 得， ∴， 把代入②，得， ∴， 把，代入①，得， 解得， 所以方程组的解为. 【练习2-2】解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】本题考查解三元一次方程组，利用消元法解方程组即可； （1）加减消元法解方程组即可 （2）加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， ，得：； ，得：； ，得：，解得：， 把代入⑤，得：，解得：， 把，代入③，得：，解得：， ∴方程组的解为：； （2） ，得：， ，得：，解得：； 把代入①，得：，解得：； 把代入②，得：，解得：， ∴方程组的解集为： 【典例】下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三元一次方程组的定义：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次的整式方程，叫做三元一次方程组． 根据三元一次方程组的定义逐一判断即可． 【详解】解：A.满足三元一次方程组的定义，故符合题意； B. ，未知数的项的次数为2次，不是三元一次方程，故此选项不符合题意； C. ，未知数的项的次数为2次，不是三元一次方程，故此选项不符合题意； D.，不是整式方程，故此选项不符合题意； 故选A． 【变式1-1】下列方程组中，是三元一次方程组的是（　 　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【答案】C． 【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：A选项：方程的次数为2，错误； B选项：有分式方程，错误； C选项，有三个未知数，每个方程的次数是1，均为整式方程，正确； D选项，有4个未知数，错误； 故选：C． 【变式1-2】下列方程中，属于三元一次方程的是（　　） A．π+x+y＝6 B．xy+y+z＝6 C．x+2y+3z＝9 D．3x+2y﹣4z＝4x+2y﹣2z 【答案】C 【解析】 【分析】含有3个未知数，且含有未知数的项的指数为1的整式方程，叫做三元一次方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A、只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意； B、含未知数的项的最高次幂为2次，不是三元一次方程，不符合题意； C、是三元一次方程，符合题意； D、方程化简为：﹣x﹣2z＝0，只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意． 故选：C． 【典例】解三元一次方程组，若先消去z，组成关于x、y的方程组，则应对方程组进行的变形是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知，得，，，即，然后判断作答即可． 【详解】解：由题意知，得，，， ∴消去z，组成关于x、y的方程组为， 故选：C． 【变式2-1】三元一次方程组消去未知数后，得到的二元一次方程组是（   ） A．B． C．D． 【答案】A 【解析】 【分析】根据解三元一次方程组的方法可以解答本题． 【详解】解： 得，， 得：， ∴三元一次方程组消去未知数后，得到的二元一次方程组是， 故选A． 【变式2-2】方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】根据代入消元法解三元一次方程组即可求解． 【详解】解：， 由①得④，由②得⑤， 将④⑤代入③得，， 解得， 将代入④得， 将代入⑤得， 原方程组的解为． 故选C． 【典例】解方程组 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．方程组后两个方程消元后，与第一个方程联立求出与的值，进而求出的值，即可确定出方程组的解． 【详解】解：， 得：， 由③，代入得：， 解得：， 将代入③得：， 将，代入①得：， 则方程组的解为． 【变式3-1】解下列三元一次方程组： （1）； （2） 【答案】（1）．（2）． 【解析】 【分析】（1）由①+②和①+③分别消去y，再解关于x和z的二元一次方程组，再将解得的x和z值代入③，解出y即可； （2）先将①和②分别用y表示出x和z，再代入③即可解出y，进而求出x和z即可． 【详解】解：（1） ①+②得5x﹣z＝14 ④ ①+③得4x+3z＝15 ⑤ ④×3+⑤得19x＝57 ∴x＝3 ⑥ 将⑥代入④得15﹣z＝14 ∴z＝1 ⑦ 将⑥⑦代入③得y＝8 ∴原方程组的解为：． （2） 由①得x④ 由②得z⑤ 将④⑤代入③得y60 ∴y＝20 ⑥ 将⑥分别代入④⑤得x＝30，z＝10 ∴原方程组的解为：． 【变式3-2】解下列三元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】本题考查三元一次方程组，掌握加减消元法是关键． 利用加减消元法解方程即可得答案． 【详解】（1）解： ③-①，得④， ②+④，得， ， 把代入④，得， ， 把代入①，得． 原方程组的解为． （2）解：原方程组可化为 ②-③，得④， ④-①，得， ， 把代入④，得， 把代入③，得． 原方程组的解为． 方法技巧：先消去一个未知数，把“三元”转化为“二元”的方法： (1)先消去某个方程中缺少的未知数;(2)先消去系数最简单的未知数;(3)先消去系数成整数倍的未知数; (4)注意整体加减或代入的应用. 【典例】已知，则的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，得出，解之得出、、的值，再把、、的值代入计算，得出的值，再根据相反数的定义，即可得出答案． 【详解】解：在中， ∵，，，， ∴可得：， 解得：， ∴， ∴的相反数是． 故选：B 【变式4-1】若，则_________； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，解三元一次方程组，代数式求值，根据非负数的性质可得，解方程组求出的值即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】已知x，y，z满足|x﹣z﹣2|+|3x﹣3y﹣3|＝﹣（3y+2z﹣13）2，求xyz的值． 【答案】24 【解析】 【分析】利用非负数的性质，将所给的绝对值方程转化为三元一次方程组，解方程组即可解决问题． 【详解】解：∵|x﹣z﹣2|+|3x﹣3y﹣3|＝﹣（3y+2z﹣13）2， ∴|x﹣z﹣2|+|3x﹣3y﹣3|+（3y+2z﹣13）2＝0， ∵|x﹣z﹣2|≥0，|3x﹣3y﹣3|≥0，（3y+2z﹣13）2≥0， ∴， 由②÷3得：x﹣y﹣1＝0④， 由①﹣④得：y﹣z﹣1＝0⑤， 由③+2×⑤得：5y＝15，y＝3； 将y＝3代入④得：x＝4； 将y＝3代入⑤得：z＝2， ∴xyz＝24． 【典例】若实数，，满足，且，则的值是（    ） A．31 B．27 C．29 D．无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】将已知适当变形后相减，得到的值，即可得到答案． 【详解】解：由两边同时乘以5得：①， 由两边同时乘以3得：②， ①-②得： ∴ 故选：B． 【变式5-1】实数x，y，z满足，则x、z之间具有哪个等量关系（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解三元一次方程组，通过加减消元法即可求解． 【详解】解：， 得，． 故选A． 【变式5-2】已知（xyz≠0），则x：y：z的值为（　　） A．1：2：3 B．3：2：1 C．2：1：3 D．不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】把原方程组看作为关于x、y的二元一次方程组，先利用加减消元法解得yz，再利用代入消元法解得xz，然后计算x：y：z． 【详解】解：， ①﹣②×4得﹣5y﹣16y+2z+12z＝0， 解得yz， 把yz代入②得xz﹣3z＝0， 解得xz， 所以x：y：zz：z：z＝1：2：3． 故选：A． 【典例】购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需元；购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支，共需元，则购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【解析】 【分析】设铅笔的单件为元，作业本的单价为元，圆珠笔的单价为元，根据题意列方程解方程即可解答． 【详解】解：设铅笔的单价为元，作业本的单价为元，圆珠笔的单价为元，购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需元， 根据题意可得， 由②①得，， 由②①得，， 由⑤④③得，， 解得：， 故选：B． 【变式6-1】实验室需要购买A，B，C三种型号的盒子存放材料，盒子容量和单价如下表所示： 盒子型号 A B C 盒子容量（单位：升） 2 3 4 盒子单价（单位：元） 5 6 9 其中A型号盒子做促销活动：购买3个及以上可一次性优惠4元，现有28升材料需要存放，要求每个盒子都要装满且三种盒子都至少买一个． （1）若购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为1，6，2，则购买总费用为 　　 元； （2）若一次性购买所需盒子且购买总费用为58元，则购买A，B，C三种型号的盒子的总数为 　　 个． 【答案】（1）59（2）10 【解析】 【分析】（1）根据盒子的个数乘以盒子的单价即可得购买费用； （2）设购买A种型号盒子x个，购买B种型号盒子y个，购买C种盒子型号z个，根据题意列出方程组，然后求正整数解即可． 【详解】解：（1）购买费用为：1×5+6×6+2×9＝59（元）， 故答案为：59； （2）设购买A种型号盒子x个，购买B种型号盒子y个，购买C种盒子型号z个， 根据题意得：2x+3y+4z＝28， ①当0＜x＜3时，5x+6y+9z＝58， ∵x，y，z都为正整数， ∴方程组无解； ②当3≤x时，5x+6y+9z﹣4＝58， ∵x，y，z都为正整数， ∴x＝4时，y＝4，z＝2， 综合所述，购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别4，4，2， ∴4+4+2＝10， 故答案为：10． 【变式6-2】有一商场计划到厂家购买电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1100元，乙种每台1300元，丙种每台2100元． （1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共60台，用去7万元，请你帮助商场设计进货方案． （2）若商场同时购进三种不同型号的电视机共50台，用去6万元，请你帮助商场设计进货方案． 【答案】（1）有两种方案：①甲：40，乙：20；②甲：56，丙：4；（2）有4种方案，具体方案详见解析 【解析】 【分析】设甲、乙、丙型号的电视机分别为x、y、z台．（1）因为商场同时要购进两种不同型号电视机，所以分三种情况讨论：甲乙组合，甲丙组合，乙丙组合．设未知数，根据等量关系：台数相加=60，钱数相加=70000，列方程组解答即可； （2）由题意列出关于x、y、z的三元一次方程组，继而根据电视机的台数为正整数进行求解即可． 【详解】解：设甲、乙、丙型号的电视机分别为x、y、z台． （1）①若选甲、乙两种型号，则， 解得 ， ② 若选甲、丙两种型号，则， 解得 ， ③若选乙、丙两种型号，则， 解得 ，不合题意，舍去． 答：若商场同时购进其中两种不同型号的电视机，有两种进货方案：①甲：40，乙：20；②甲：56，丙：4； （2）根据题意得， ∵x、y、z均为正整数， ∴方程组的正整数解有四组， 或或或， 综上所述，共有四种进货方案： 方案一：应进货甲型号电视机41台，乙型号电视机5台，丙型号电视机4台； 方案二：应进货甲型号电视机37台，乙型号电视机10台，丙型号电视机3台； 方案一：应进货甲型号电视机33台，乙型号电视机15台，丙型号电视机2台； 方案一：应进货甲型号电视机29台，乙型号电视机20台，丙型号电视机1台． 【典例】用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示，，为未知数的三元一次方程组，若为定值，则与关系（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组、二元一次方程组的定义等知识点，理解题意、根据新定义解答问题是解题的关键． 根据矩阵定义列方程组求解即可． 【详解】解：由题意得：， ①×2+②得：， ∵为定值， ∴． 故选：D． 【变式7-1】对于有理数x和y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，已知，，则的值为 ． 【答案】17 【解析】 【分析】此题考查了解三元一次方程组，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据新运算法则列出方程组，用含b的式子表示出a和c的值，再根据新运算法则计算即可． 【详解】解：根据题中的新定义化简得：， ②﹣①得：，即， ②+①得：，即， 则原式． 故答案为：17． 【变式7-2】【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为． 【类比迁移】（1）已知求的值； 【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买本笔记本、支签子笔、支记号笔需要元；若购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元；本班共位同学，则购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要多少钱？ 【答案】（1）6；（2）450元． 【解析】 【分析】此题考查三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题意是解本题的关键，寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键． （1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元，根据题意列出方程组，求出按照原价1本笔记本、1支签字笔、1支记号笔花费总数，即可求出购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要的钱． 【详解】解：（1）依题意，， ∴得：， ∴； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元， 根据题意得：， ∴得， ∴（元）， ∴购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要450元． 1．下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三元一次方程组．含有3个未知数，且未知数的最高次数为1次的整式方程叫做三元一次方程组，根据三元一次方程组的定义逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、未知数的最高次数为2次，不是三元一次方程组，不符合题意，选项错误； B、分母含有未知数，不是三元一次方程组，不符合题意，选项错误； C、未知数的最高次数为3次，不是三元一次方程组，不符合题意，选项错误； D、是三元一次方程组，符合题意，选项正确； 故选：D． 2．的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， ，得：④； ，得：⑤； ，得：，解得：； 把代入④得：，解得：； 把，代入①得：，解得：； ∴方程组的解为：， 故选A． 3．解方程组时，为转化为二元一次方程组，最恰当的方法是（    ） A．由②③消去z B．由②③消去y C．由①②消去z D．由①③消去x 【答案】B 【解析】 【分析】根据解三元一次方程组的步骤先消去一个未知数，得到一个二元一次方程组，从而得出答案． 【详解】解：由②3+③得：11x+10z=35， ∴转化为二元一次方程组为， 故选：B． 4．已知方程组与方程组有相同的解，则a、b、c的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】将两方程组中不含a，b，c项的方程联立，求出x，y，z的值，代入两方程组中的含a，b，c项的方程中得到关于a，b，c的方程组，求出方程组的解即可得到a，b，c的值． 【详解】解方程组 ， 解得 ， 代入可得方程组 ， 解得， 故选D． 5．若，则等于（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】 【分析】根据平方和绝对值的非负性得到三元一次方程组，解方程组即可. 【详解】解：由，可得 解得则. 故选A. 6．有理数、、满足，则的值是（　　） A． B．3 C．4 D．值不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】把方程看着关于x、y的方程，用z表示x、y．然后代入即可求值． 【详解】解：， ①②得：， ， ②①得：， ， 把，代入得： ， 故本题选：C． 7．某校开学典礼需要购买一、二、三等奖奖品若干，若购买三等奖奖品3件，二等奖奖品5件，一等奖奖品1件，共需62元，若购三等奖奖品4件，二等奖奖品7件，一等奖奖品1件共需77元．现在购买三等奖、二等奖、一等奖奖品各一件，共需（　　）元 A．31 B．32 C．33 D．34 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，关键在于找到各未知数的数量关系． 设三等奖奖品的单价是x元，二等奖奖品的单价是y元，一等奖奖品的单价是z元，根据“购买三等奖奖品3件，二等奖奖品5件，一等奖奖品1件，共需62元；购三等奖奖品4件，二等奖奖品7件，一等奖奖品1件共需77元”，可得出关于x，y，z的三元一次方程组，利用①×3﹣②×2，即可求出购买三等奖、二等奖、一等奖奖品各一件所需的费用． 【详解】解：设三等奖奖品的单价是x元，二等奖奖品的单价是y元，一等奖奖品的单价是z元， 根据题意得：， 得：． ∴购买三等奖、二等奖、一等奖奖品各一件，共需32元． 故选：B． 8．我们约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，如图1，有，在图2中，若的值为，则的值为（    ）    A． B． C．1 D．任意实数 【答案】C 【解析】 【分析】根据新定义可得，即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 整理得： ②③得：， 将①代入上式得：， 解得：， 故选：C． 9．已知，，都不为零，且，则式子的值为（   ） A． B． C．- D．- 【答案】A 【解析】 【分析】把z看作是常数，再解二元一次方程组可得，，再代入代数式求值即可． 【详解】解：， 得：， ∴， 把代入②得：， ∴， ∴； 故选A 10．下面所示为教材中三元一次方程组的解题过程，请根据教材提供的做法和有关信息解决问题． 例1  解方程组： 解  由方程②，得．……步骤一④ 将④分别代入方程①和③，得 ……步骤二 整理，得 解这个二元一次方程组，得 代入④，得． 所以原方程组的解是 (1)其中的步骤二通过______法消去未知数，将三元一次方程组转化成了______． (2)仿照以上思路解方程组，消去字母后得到的二元一次方程组为______． 【答案】(1)代入消元（代入） ， 二元一次方程组 (2)① 或 或等，答案不唯一 【解析】 【分析】（1）根据解三元一次方程组的解法进行分析即可； （2）利用加减消元法进行求解即可． 【详解】（1）解方程组： 由方程②，得 将④分别代入方程①和③，得 整理，得 故答案为：代入消元（代入）     二元一次方程组 （2）解方程组： 由方程②+①，得3x+3y=9 由方程①+③，得4x+6y=14 由方程③-②得x+3y=5 由x+y=3 （3x+3y=9）， 2x+3y=7（4x+6y=14） ， x+3y=5中  任意两个组合得到均可 故答案为： 或 或等，答案不唯一 11．方程组的解是 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法解方程组是解决问题的关键．由得，然后把分别代入①和③即可求解． 【详解】 得 解得 把代入①得 解得 把代入③ 解得 ∴ 故答案为： 12．若是一个三元一次方程，那么_______， ________． 【答案】     -1     0 【解析】 【分析】根据三元一次方程的定义：含有三个未知数，未知数的次数都是1的方程，由此可得，解出即可得出答案． 【详解】由题意得：， 解得：． 故答案为：-1，0． 13．，，均为非零实数，已知，，，那么 ． 【答案】/ 【解析】 【分析】本题考查了等式的基本性质及加减法解方程组，运用等式基本性质结合方程组得出a，b，c的值是解题的关键． 【详解】解：∵、、均为非零实数，，，， 根据等式基本性质，得： ∴，，， ∴， 解得：， ． 故答案为：． 14．一个三位数的三个数字的和是17，百位数字与十位数字的和比个位数字大3，如果把个位数字与百位数字的位置对调，那么所得的三位数比原数大495，则原来的三位数是 ． 【答案】287 【解析】 【分析】本题考查了三位数的表示方法和三元一次方程的解法，设原来的三位数的百位数字为x、十位数字为y、个位数字为z，则原来的三位数表示为：，新数表示为：，故根据题意列三元一次方程组即可求得． 【详解】解：设原来的三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为， 根据题意，得， 解得， 故原来的三位数是287． 故答案为：287． 15．感悟思想：有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数，满足①，②，求和的值． 思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得，的值再代入要求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值．如①②可得；①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 体会思想： (1)已知二元一次方程组，则___________； (2)三元一次方程组的解是 ___________． 【答案】(1)5 (2) 【解析】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，解二元一次方程组，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键． （1）利用解方程中的整体思想，进行计算即可解答； （2）利用解方程中的整体思想，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 故答案为：5； （2）解：， 得：， 解得：④， 得：， 得：， 得：， 原方程组的解为： 故答案为：． 16．对任意一个三位正整数m，如果各个数位上的数字之和为18，则称这个三位正整数m为“美好数”．最大的三位“美好数”是 ．若一个三位“美好数”前两位数字组成的两位数与这个“美好数”个位数字的4倍的和为111，满足条件的三位“美好数”有 ． 【答案】 或 【解析】 【分析】题目主要考查有理数的表示、方程组求解，理解题意，列出方程组化简求值是解题关键．根据题意，最大的三位美好数的百位数字一定是9，十位数字为8，再根据各个数位上的数字之和为18，得到个位数字为1，即可，设三位“美好数”的百位数字为，十位数字为，个位数字为，根据一个三位“美好数”前两位数字组成的两位数与这个“美好数”个位数字的4倍的和为111，结合美好数的定义，列出方程组求解即可． 【详解】解：∵最大的三位“美好数” ∴百位数字一定是9，十位数字为9， ∵各个数位上的数字之和为18， ∴个位数字为0， ∴最大的三位“美好数”是； 设三位“美好数”的百位数字为，十位数字为，个位数字为， 则：， 由题意，得：， 整理，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，； 当时，，； ∴符合条件的三位“美好数”有或； 故答案为：，或． 17．某校七年级在元旦节举行了“速算大赛”，用签字笔、钢笔、圆规三种文具用品混装成甲、乙、丙三种奖品礼包，其中甲种奖品礼包包含10支签字笔、5支钢笔；乙种奖品礼包包含2支签字笔，6支钢笔，4个圆规；丙种奖品礼包包含4支签字笔，8个圆规．购买每个礼包的费用等于礼包内各文具用品的费用之和；已知两包乙奖品礼包比一包丙奖品礼包贵240元．学校采购员小李在1月1日当天，去文具店购买这三种文具用品发现，该文具店对签字笔、钢笔、圆规的售价分别打5折、7折、8折销售；1月2号恢复原价，小李发现1月1日一个乙礼包的售价比1月2日一个丙礼包售价便宜12元，若签字笔、钢笔、圆规三种文具用品的原价都是正整数，且签字笔的单价不超过10元，若小李在1月1日购买一个甲礼包和一个乙礼包，应该付______元． 【答案】 【解析】 【分析】设签字笔、钢笔、圆规的原价分别为元，元，元，根据两包乙奖品礼包比一包丙奖品礼包贵240元，列出方程求出，再根据1月1日一个乙礼包的售价比1月2日一个丙礼包售价便宜12元，推出，进一步推出，，据此求解即可． 【详解】解：设签字笔、钢笔、圆规的原价分别为元，元，元， ∵两包乙奖品礼包比一包丙奖品礼包贵240元， ∴， ∴； ∵1月1日当天该文具店对签字笔、钢笔、圆规的售价分别打5折、7折、8折销售；1月2号恢复原价，小李发现1月1日一个乙礼包的售价比1月2日一个丙礼包售价便宜12元， ∴， ∴， ∴， ∵三种文具用品的原价都是正整数， ∴z一定是5的倍数， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴小李在1月1日购买一个甲礼包和一个乙礼包，应该付元， 故答案为：． 18．解方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解析】 【分析】（1）利用加减消元和代入消元法解方程即可； （2）利用加减消元和代入消元法解方程即可； （3）利用代入消元法解方程即可； （4）利用加减消元法解方程即可． 【详解】（1）解：， ①②得： ④， 把③代入④得： ， 解得：， 把代入③得： ， 把，代入①得： ， 解得：， 原方程组的解为：； （2）解： 得： ， ∴， 由②得：④， 将④代入①得： ， 解得：， 将，代入④得： ， ∴原方程组的解为：； （3）解：， 由①得 ④， 由②得 ⑤， 把④、⑤代入③得：， 解得 ， 把代入④得 ， 把代入⑤得， ∴； （4）解： ，得， ，得， 解方程组 ， 解得， 把代入①，得， 所以原方程组的解为 ． 19．已知代数式ax2+bx+c，当x＝0时，它的值为﹣3；当x＝﹣3时，它的值为0；当x＝2时，它的值为5． （1）求a，b，c的值． （2）求当时代数式的值． 【答案】（1）；（2）﹣3 【解析】 【分析】（1）根据题意得：，然后按照解三元一次方程组的步骤，进行计算即可解答； （2）把x的值代入x2+2x﹣3，进行计算即可解答． 【详解】解：（1）由题意得： ， 解得：； （2）当x时，x2+2x﹣3＝（）2+2×（）﹣3 （﹣1）﹣3 ＝﹣3． 20．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点坐标为，、、满足． (1)请用含的式子表示和； (2)若，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)点B的坐标是或． 【解析】 【分析】（1）把c看作已知数利用加减消元法求解即可； （2）利用两点间的距离公式列方程即可求解． 【详解】（1）解：， 由①②，得， ∴， 把代入①，得， 解得：； （2）解：由（1）得点B的坐标是， ∵A，B的纵坐标相等， ∴，即， ∴， 解得：或． ∴点B的坐标是或． 21．某农场欲销售甲、乙两种苹果，甲种苹果每箱重千克，乙种苹果每箱重千克．已知箱甲种苹果和箱乙种苹果共售价元，箱甲种苹果和箱乙种苹果共售价元． (1)分别求甲、乙两种苹果每箱的售价； (2)该农场欲租车把苹果运往外地某客户，每辆车能运货千克（假设恰好能装满），若该客户购买的甲、乙两种苹果的总售价为万元，则农场需租几辆车才能运完？ 【答案】(1)甲苹果每箱的售价为元，乙苹果每箱的售价为元 (2) 【解析】 【分析】（1）设甲苹果每箱的售价为元，乙苹果每箱的售价为元，根据题意列方程组求解即可； （2）设甲苹果购买为箱，乙苹果购买为箱，需要租用辆车运输苹果，根据题意列方程即可推得，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲苹果每箱的售价为元，乙苹果每箱的售价为元， ， 解得， 故甲苹果每箱的售价为元，乙苹果每箱的售价为元； （2）解：设甲苹果购买为箱，乙苹果购买为箱，需要租用辆车运输苹果， 则， 整理得：． 整理得：， 故， 解得：， 故农场需租辆车才能运完． 22．阅读材料：我们把多元方程（组）的非负整数解叫做这个方程（组）的“好解”．例如：就是方程3x+y＝11的一组“好解”；是方程组的一组“好解”． (1)求方程x+2y＝5的所有“好解”； (2)关于x，y，k的方程组有“好解”吗？若有，请求出对应的“好解”；若没有，请说明理由． 【答案】(1)或或 (2)有，或或或 【解析】 【分析】（1）“好解”就是方程的非负整数解，使y＝0，y＝1，y＝2分别去求的值，由于时，的值为负，不符合要求，不需要再求； （2）通过消元的方法得出k＝6﹣2y和x＝9+y，因为“好解”就是方程的非负整数解，所以x、y、k为非负整数，解不等式可得出满足条件的解． 【详解】（1）解：当y＝0时，x＝5； 当y＝1时，x+2＝5，解得x＝3； 当y＝2时，x+4＝5，解得x＝1， 所以方程x+2y＝5的所有“好解”为或或； （2）解：有． ， ②﹣①得4y+2k＝12，则k＝6﹣2y， ①×3﹣②得2x﹣2y＝18，则x＝9+y， ∵x、y、k为非负整数， ∴6﹣2y≥0，解得y≤3， ∴y＝0、1、2，3， 当y＝0时，x＝9，k＝6；当y＝1，x＝10，k＝4；当y＝2时，x＝11，k＝2，当y＝3时，x＝12，k＝0， 23．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T：，（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“麓外区间”为， 如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是______； (2)实数x，y，m满足关系式： ，求m的算术平方根的“麓外区间”． (3)若某一个无理数T的“麓外区间”为，其中是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，请求出m、n的值，并写出一个符合题意的无理数T． 【答案】(1) (2) (3)，（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，解三元一次方程组以及二元一次方程组的应用．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）夹逼法求出的取值范围，即可得出结果； （2）结合算术平方根的非负性得到求出m的值，进而求出求m的算术平方根的“麓外区间”即可． （3）根据二元一次方程组的解代入方程，组成新的二元一次方程组，从而求得m，n的值，然后根据“麓外区间”定义写出一个符合题意的无理数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“麓外区间”是， 故答案为：． （2） ∴， 联立得： ∴， ∵， ∴， ∴m的算术平方根的“麓外区间”是 （3）∵是关于 x，y的二元一次方程的一组正整数解， ∴ 又由题意，有， ∴，解得 ∴符合题意的无理数T为（答案不唯一） 1．（2023·浙江温州·中考真题）【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等． 【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟． 【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（    ）    A．4200米 B．4800米 C．5200米 D．5400米 【答案】B 【解析】 【分析】设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由题意及图象可知，然后根据“游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟”可进行求解． 【详解】解：由图象可知：小州游玩行走的时间为（分钟），小温游玩行走的时间为（分钟）； 设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由图象可得： ， 解得：， ∴游玩行走的速度为（米/秒）， 由于游玩行走速度恒定，则小温游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为， ∴， ∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（米）； 故选B． 2．（2020·重庆·中考真题）火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱.重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3：5：2．随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意设出相应的未知数，再结合题目的等量关系列出相应的方程组，最后求解即可求得答案． 【详解】解：设6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额分别为3k，5k，2k，7月份总增加的营业额为m，则7月份摆摊增加的营业额为m，设7月份外卖还需增加的营业额为x． ∵7月份摆摊的营业额是总营业额的，且7月份的堂食、外卖营业额之比为8：5， ∴7月份的堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为8：5：7， ∴设7月份的堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额分别为8a，5a，7a， 由题意可知： ， 解得： ， ∴， 故答案为：． 3．（2020·重庆·中考真题）为刺激顾客到实体店消费，某商场决定在星期六开展促销活动．活动方案如下：在商场收银台旁放置一个不透明的箱子，箱子里有红、黄、绿三种颜色的球各一个（除颜色外大小、形状、质地等完全相同），顾客购买的商品达到一定金额可获得一次摸球机会，摸中红、黄、绿三种颜色的球可分别返还现金50元、30元、10元．商场分三个时段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果为：第二时段摸到红球次数为第一时段的3倍，摸到黄球次数为第一时段的2倍，摸到绿球次数为第一时段的4倍；第三时段摸到红球次数与第一时段相同，摸到黄球次数为第一时段的4倍，摸到绿球次数为第一时段的2倍，三个时段返现总金额为2510元，第三时段返现金额比第一时段多420元，则第二时段返现金额为____元． 【答案】1230． 【解析】 【分析】设第一时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a，b，c，则第二时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为3a，2b，4c，第三时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a，4b，2c．根据题意得到关于a，b，c方程组，根据a，b，c均为正整数，求解即可． 【详解】设第一时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a，b，c，则第二时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为3a，2b，4c，第三时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a，4b，2c．由题意得， 即， 其整数解为（其中n为整数）， 又∵a，b，c均是正整数，易得n=1. 所以. ∴150a+60b+40c=150×5+60×4+40×6=1230． 故答案为：1230． 另解：由上9b+c=42，得知b=1，2，3，4.列举符合题意的解即可． 学科网（北京）股份有限公司 $$