精品解析：2025年广东省梅州市兴宁市实验学校、宁江中学九年级中考一模数学试题

2024—2025学年第二学期第一次质检试题（数学科） 一、选择题：（共10小题，每题3分，共30分，请将答案写在答题卡中） 1. 如图是由个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为（ ） A B. C. D. 3. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 二十四节气，它基本概括了一年中四季交替准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线，下列结论错误是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 6. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，是⊙的直径，点C为圆上一点，的平分线交于点D，，则⊙的直径为（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 9. 如图，AB是⊙的直径，AC是⊙的切线，A为切点，BC与⊙交于点D，连结OD．若，则∠AOD的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（ ） A. 二次函数图象的对称轴是直线 B. 二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 二、填空题：（共7小题，每小题4分，共28分） 11. 方程的解为______． 12. 抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为______． 13. 已知点P是线段的黄金分割点，且，，那么_______． 14. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 15. 已知圆锥的高为8，母线长为10，则其侧面展开图的面积为_______． 16. 抛物线顶点坐标是_______． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点作轴交轴于点，点为线段上的一点，且．反比例函数的图象经过点交线段于点，则四边形的面积是_____． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题6分，共18分． 18. 计算：； 19. 如图，在四边形中，，是边的中点，．求证：四边形是矩形． 20. 如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角为，看这栋楼底部C的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度是多少？ 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分 21. 善于提问是应用人工智能解决问题的重要因素之一．为了解同学们的提问水平，对，两组同学进行问卷调查，并根据结果对每名同学的提问水平进行评分，得分情况如下（单位：分）： 组 75 78 82 82 84 86 87 88 93 95 组 75 77 80 83 85 86 88 88 92 96 （1）求组同学得分的中位数和众数； （2）现从、两组得分超过90分的4名同学中随机抽取2名同学参与访谈，求这2名同学恰好来自同一组的概率． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、． （1）求一次函数、反比例函数的表达式； （2）连接，求的面积． 23. 如图，四边形内接于，，延长到点，使得，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的值． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题10分，共20分． 24. 如图，四边形为矩形，E为边中点，连接，以为直径的交于点F，连接，，交于点G． （1）若，，求的长； （2）求证：四边形是平行四边形； （3）求证：是的切线． 25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点． （1）求二次函数的解析式及点的坐标； （2）点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． ①为何值时线段的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第二学期第一次质检试题（数学科） 一、选择题：（共10小题，每题3分，共30分，请将答案写在答题卡中） 1. 如图是由个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，左视图每一列的小正方体个数，由该方向上的小正方体个数最多的那个来确定，通过观察即可得出结论．掌握几何体三种视图之间的关系是解题的关键． 【详解】解：通过左边看可以确定出左视图一共有列，每列上小正方体个数从左往右分别为、、． 故选：D． 2. 如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】本题考查了弧长，根据弧长公式∶求解即可． 详解】解∵，， ∴的长为， 故选∶C． 3. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据反比例函数性质即可判断． 【详解】解：， 反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限随的增大而减小， 点，都在反比例函数的图象上，， ． ∵，在反比例函数的图象上， ∴， ∴. 故选：B． 4. 二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了概率公式．根据概率公式直接得出答案． 【详解】解：二十四个节气中选一个节气，抽到的节气在夏季的有六个， 则抽到的节气在夏季的概率为， 故选：D． 5. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：抛物线中，a＞0，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意； 由解析式得，对称轴为直线，因此B选项正确，不符合题意； 由解析式得，当时，y取最小值，最小值为1，所以抛物线的顶点坐标为，因此C选项正确，不符合题意； 因为抛物线开口向上，对称轴为直线，因此当时，y随x的增大而减小，因此D选项错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为． 6. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据垂径定理求得，再对运用勾股定理即可求，最后即可求解． 【详解】解：∵，是的直径， ∴，， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 故选：B． 7. 如图，是⊙的直径，点C为圆上一点，的平分线交于点D，，则⊙的直径为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】过D作DE⊥AB垂足为E，先利用圆周角的性质和角平分线的性质得到DE=DC=1，再说明Rt△DEB≌Rt△DCB得到BE=BC，然后再利用勾股定理求得AE，设BE=BC=x，AB=AE+BE=x+，最后根据勾股定理列式求出x，进而求得AB． 【详解】解：如图：过D作DE⊥AB，垂足为E ∵AB是直径 ∴∠ACB=90° ∵∠ABC的角平分线BD ∴DE=DC=1 在Rt△DEB和Rt△DCB中 DE=DC、BD=BD ∴Rt△DEB≌Rt△DCB（HL） ∴BE=BC 在Rt△ADE中，AD=AC-DC=3-1=2 AE= 设BE=BC=x，AB=AE+BE=x+ 在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2 则（x+）2=32+x2，解得x= ∴AB=+=2 故填：2． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、角平分线的性质以及勾股定理等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键． 8. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 9. 如图，AB是⊙的直径，AC是⊙的切线，A为切点，BC与⊙交于点D，连结OD．若，则∠AOD的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由AC是⊙的切线可得∠CAB=,又由，可得∠ABC=40;再由OD=OB，则∠BDO=40最后由∠AOD=∠OBD+∠OBD计算即可. 【详解】解：∵AC是⊙的切线 ∴∠CAB=, 又∵ ∴∠ABC=-=40 又∵OD=OB ∴∠BDO=∠ABC=40 又∵∠AOD=∠OBD+∠OBD ∴∠AOD=40+40=80 故答案为C. 【点睛】本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形以及三角形外角的概念.其中解题关键是运用圆的切线垂直于半径的性质. 10. 如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（ ） A. 二次函数图象的对称轴是直线 B. 二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，增减性判断选项A、B、C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可判定选项D． 【详解】解∶ ∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象对称轴是直线，故选项A错误； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，对称轴是直线， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误； ∵抛物线开口向下， 对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误； 设二次函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 当时，， ∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确， 故选D． 二、填空题：（共7小题，每小题4分，共28分） 11. 方程的解为______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】 或 解得，． 故答案为：，． 12. 抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移规律，再根据“左加右减，上加下减”的原则写出平移后的抛物线的顶点式即可． 【详解】解：抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度， 得到的抛物线解析式为， 故答案为：． 13. 已知点P是线段的黄金分割点，且，，那么_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟记黄金分割点分成的两线段和原线段之间关系是解决问题的关键，根据黄金分割可得，即可得解． 【详解】解：点P是线段的黄金分割点，且， ． 故答案为：． 14. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为，，则，．先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式的变形，求出，由此即可得到答案． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， ． 故答案为：． 15. 已知圆锥的高为8，母线长为10，则其侧面展开图的面积为_______． 【答案】60πcm2 【解析】 【分析】利用勾股定理易得圆锥的底面半径，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2． 【详解】解：圆锥的高为8cm，母线长为10cm，由勾股定理得，底面半径=6cm，底面周长=12πcm， 侧面展开图的面积=×12π×10=60πcm2． 故答案为：60πcm2． 【点睛】本题利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解． 16. 抛物线的顶点坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】将变形为的形式，即为抛物线的顶点坐标．本题主要考查二次函数的特点，牢记二次函数的特点是解题的关键． 【详解】解：变形，得 ． ∴抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点，坐标分别为，，过点作轴交轴于点，点为线段上的一点，且．反比例函数的图象经过点交线段于点，则四边形的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的几何意义，作轴于，作轴于，则，由点，的坐标分别为，得，，，然后证明得，求出，则，故有点坐标为，求出反比例函数解析式，再求出，最后根据即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，作轴于，作轴于，则， ∵点，的坐标分别为，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点坐标为，代入得，， ∴反比例函数解析式为， ∵轴， ∴点与点纵坐标相等，且在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题6分，共18分． 18. 计算：； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查零次幂，特殊角的三角函数值的计算，平方根的计算，掌握实数的混合运算法则是关键． 先算绝对值，零次幂，特殊角的三角函数值，平方根，最后根据实数的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 19. 如图，在四边形中，，是边的中点，．求证：四边形是矩形． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定及矩形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键．利用可证明，得出，根据得出，即可证明四边形是平行四边形，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明四边形是矩形． 【详解】证明：∵是边的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 20. 如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角为，看这栋楼底部C的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件作出正确的辅助线是解题的关键．作于点，根据题意可得，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：作于点， 由题知，， ， ， ． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分 21. 善于提问是应用人工智能解决问题的重要因素之一．为了解同学们的提问水平，对，两组同学进行问卷调查，并根据结果对每名同学的提问水平进行评分，得分情况如下（单位：分）： 组 75 78 82 82 84 86 87 88 93 95 组 75 77 80 83 85 86 88 88 92 96 （1）求组同学得分的中位数和众数； （2）现从、两组得分超过90分的4名同学中随机抽取2名同学参与访谈，求这2名同学恰好来自同一组的概率． 【答案】（1）组同学得分的中位数为分，众数为分； （2） 【解析】 【分析】本题考查了中位数与众数，列表法或树状图法求概率，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）由题意可知，、两组得分超过90分的同学各有2名，画树状图法求出概率即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，每组学生人数为10人， 中位数为第5、6名同学得分的平均数， 组同学得分的中位数为分， 分出现了两次，次数最多， 众数为分； 【小问2详解】 解：由题意可知，、两组得分超过90分的同学各有2名， 令组的2名同学为、，组的2名同学为、， 画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的情况，其中这2名同学恰好来自同一组的情况有4种， 这2名同学恰好来自同一组的概率． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、． （1）求一次函数、反比例函数的表达式； （2）连接，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）设直线与轴交于点，分割法求出的面积即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为：，， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：设直线与轴交于点， ∵， ∴当时，， ∴， ∴的面积． 23. 如图，四边形内接于，，延长到点，使得，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）由圆内接四边形的性质可知，再由，即可得出．根据圆周角定理结合题意可知，即得出．由此易证，即得出． （2）过点作，垂足为．根据题意可求出，结合（1）可知，即可求出．根据题意又可求出，利用三角函数即可求出，最后再利用三角函数即可求出最后结果． 【详解】（1）证明：∵四边形是圆内接四边形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴． （2）解：如图，过点作，垂足为． ∵，， ∴． 由（1）知． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题为圆的综合题．考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及解直角三角形．利用数形结合的思想并正确作出辅助线是解答本题的关键． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题10分，共20分． 24. 如图，四边形为矩形，E为边的中点，连接，以为直径的交于点F，连接，，交于点G． （1）若，，求的长； （2）求证：四边形是平行四边形； （3）求证：是的切线． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）如图，连接，证明是等边三角形，从而可得答案； （2）证明，，即可得到结论； （3）如图所示：连接，证明，即可得到结论； 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴； 【小问2详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵E为边中点，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； 【小问3详解】 证明：如图所示：连接， ∵四边形是平行四边形； ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴，又为的半径， ∴与相切； 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，圆的切线的判定，作出合适的辅助线是解本题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点． （1）求二次函数的解析式及点的坐标； （2）点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． ①为何值时线段的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）①当时，有最大值为；②当P的坐标为或时，与相似 【解析】 【分析】（1）把，，代入求解即可，利用待定系数法求出直线解析式，然后令，求出y，即可求出C的坐标； （2）①根据P、D的坐标求出，然后根据二次函数的性质求解即可； ②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出，然后分，两种情况讨论过，利用相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等求解即可． 【小问1详解】 解：把，，代入， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴； 【小问2详解】 解：①设，则， ∴ ， ∴当时，有最大值为； ②∵，， ∴， 又， ∴， 又轴， ∴轴， ∴， 当时，如图， ∴， ∴轴， ∴P的纵坐标为3， 把代入，得， 解得，， ∴， ∴， ∴P的坐标为； 当时，如图，过B作于F， 则，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴P的坐标为 综上，当P的坐标为或时，与相似． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$