精品解析：云南省曲靖一中卓立中学2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试卷

曲靖一中卓立学校九年级下学期第一次月考数学试卷 （全卷三个大题，共27个小题，共4页；满分100分，考试用时120分钟） 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家，《九章算术》中著有“今两得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若把气温为零上记作，则表示气温为（ ） A. 零上 B. 零下 C. 零上 D. 零下 2. “绿水青山就是金山银山”，多年来，某湿地保护区针对过度放牧问题，投入资金实施湿地生态效益补偿，完成季节性限牧还湿294700亩，使得湿地生态环境状况持续向好．其中数据294700用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列几何体中，主视图是三角形的为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在中，是直角，顶点在直线上，顶点、在直线上，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若反比例函数（）图象经过点，则k的值是（ ） A. 2 B. C. D. 6. 要使式子有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点，，在⊙O上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，点、分别为、上的中点，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 11. 为了了解学生课外体育活动的情况，某校随机抽取了部分学生进行调查，将调查的数据进行统计并绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图．则被抽测学生中参加羽毛球项目的人数是（ ） A. 15人 B. 20人 C. 30人 D. 40人 12. 以下是一组按规律排列多项式：，，，，，…，其中，第个多项式是（ ） A B. C. D. 13. 新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售1000辆，3月份销售1210辆．设月平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 估计的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 15. 某校在美丽校园建设中，计划在一块如图所示的三角形空地上种植草坪．已知米，米，，则这块三角形草坪的面积为（ ） A. 平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 48平方米 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式：=____． 17. 十二边形的外角和是______度． 18. 某校5名同学参加科技创新比赛，他们的成绩（单位：分）分别是9，8，7，8，7．这组数据的中位数为_________． 19. 一个圆锥的底面半径，高，则这个圆锥的侧面积是______． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 21. 已知，如图和相交于点O，，．求证：． 22. 某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450机器所需时间相同，求该工厂原来平均每天生产多少台机器？ 23. 有两把不同的锁，分别为A、B，三把钥匙a、b、c，其中钥匙a只能打开锁A，钥匙b只能打开锁B，钥匙c不能打开任何一把锁．随机取出一把钥匙和一把锁． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，列出所有可能出现的结果； （2）求恰好可以打开锁的概率P． 24. 如图，，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AC=6，BD=8，过点D作于点H，求CH的长． 25. 根据以下素材，完成探究学习任务． 如何为商家设计利润最大化的销售方案？ 素材1 某商家销售一种水果，成本价10元/斤． 素材2 销售价不低于成本价，且物价部门规定该商品的销售价不得高于成本价的2倍． 素材3 在销售过程中发现，每天的销售量y(斤)与销售单价x(元/斤)满足如图所示的一次函数关系： 问题解决 任务1 模型建立 求每天销售量y(斤)与销售单价x(元/斤)的函数关系式； 任务2 拟定利润最大化的销售方案 当该水果的销售单价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少元？ 26. 如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的面积． 27. 已知函数． （1）若函数图象经过点，求m的值； （2）若函数图象与x轴只有一个交点A，求点A的坐标； （3）若函数满足时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小，且图象与x轴的两个交点为，．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 曲靖一中卓立学校九年级下学期第一次月考数学试卷 （全卷三个大题，共27个小题，共4页；满分100分，考试用时120分钟） 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家，《九章算术》中著有“今两得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若把气温为零上记作，则表示气温为（ ） A. 零上 B. 零下 C. 零上 D. 零下 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正数和负数，正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：把气温为零上记作，则表示气温为零下， 故选：D． 2. “绿水青山就是金山银山”，多年来，某湿地保护区针对过度放牧问题，投入资金实施湿地生态效益补偿，完成季节性限牧还湿294700亩，使得湿地生态环境状况持续向好．其中数据294700用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：数据294700用科学记数法表示为， 故选：C． 3. 下列几何体中，主视图是三角形的为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据主视图的概念（从物体的前面向后面所看到的视图称主视图）得到各几何体的主视图，判断是不是三角形，选出符合题意的正确选项. 【详解】A选项的三棱柱主视图是矩形，A错误；B选项的圆锥的主视图是三角形，B正确；C选项的圆柱的主视图是矩形，C错误；D选项的正方体的主视图是正方形，D错误；正确答案选B. 【点睛】本题主要考查学生对主视图概念和找出几何体主视图方法的掌握，熟练掌握相关知识是解答本题的关键. 4. 如图，在中，是直角，顶点在直线上，顶点、在直线上，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余，先由两直线平行，内错角相等得到，再根据直角三角形两锐角互余即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是直角，即， ∴， 故选：C． 5. 若反比例函数（）的图象经过点，则k的值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把点代入反比例函数解析式即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数（）的图象经过点， ∴， 解得， 故选：B 【点睛】此题考查了反比例函数，把点的坐标代入函数解析式准确计算是解题的关键． 6. 要使式子有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二次根式中的被开方数是非负数列不等式求解即可． 【详解】解：要使式子有意义，则，解得：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，牢记二次根式的被开方数是非负数是解题关键． 7. 如图，点，，在⊙O上，，则的度数为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用圆周角定理即可得． 【详解】解：， 由圆周角定理得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 8. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘除法，合并同类项，根据相关运算法则计算出各选项的结果后再判断即可 【详解】解：A. ，故选项A计算错误，不符合题意； B. ，计算正确，符合题意； C. ，故选项C计算错误，不符合题意； D. ，故选项D计算错误，不符合题意； 故选：B 9. 如图，在中，点、分别为、上的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中位线，比例的性质．熟练掌握中位线，比例的性质是解题的关键． 由题意知，，，，则，即． 【详解】解：∵点、分别为、上的中点， ∴，，， ∴， ∴， 故选：D． 10. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选A． 11. 为了了解学生课外体育活动的情况，某校随机抽取了部分学生进行调查，将调查的数据进行统计并绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图．则被抽测学生中参加羽毛球项目的人数是（ ） A. 15人 B. 20人 C. 30人 D. 40人 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．结合参加足球的人数与其所占的百分比， 计算可得本次调查共抽取的学生数， 进而求出被抽测学生中参加羽毛球项目人数，即可． 【详解】解：根据题意得：被抽测学生总人数为人， ∴被抽测学生中参加羽毛球项目的人数是人． 故选：C 12. 以下是一组按规律排列的多项式：，，，，，…，其中，第个多项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多项式排列中的规律．根据题意，把原来多项式拆成两个单项式，分别找出每组单项式的规律即可． 【详解】解：将排列的多项式：，，，，，…，拆成两组单项式为： 第个单项式为和 第个多项式是． 故选：B． 13. 新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售1000辆，3月份销售1210辆．设月平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设某品牌新能源汽车销售量的月均增长率为x，根据1月份的销售量（增长率）3月份的销售量，列出方程即可． 【详解】解：设某品牌新能源汽车销售量的月均增长率为x，根据题意得： ， 故选：B． 14. 估计的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】A 【解析】 【分析】先计算二次根式的乘法，再根据无理数的估算即可得． 【详解】解：， ， ，即， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键． 15. 某校在美丽校园建设中，计划在一块如图所示的三角形空地上种植草坪．已知米，米，，则这块三角形草坪的面积为（ ） A. 平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 48平方米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正弦．熟练掌握正弦是解题的关键． 如图，作的延长线于，则，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，作的延长线于， ∴， ∴， ∴（平方米）， 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式：=____． 【答案】． 【解析】 分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案 【详解】解：． 故答案为： 【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键． 17. 十二边形的外角和是______度． 【答案】360 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任意多边形的外角和都是360度，是基础题，需要熟记．根据多边形的外角和等于360度进行解答． 【详解】解：依题意，一个十二边形的外角和是360度， 故答案为：360． 18. 某校5名同学参加科技创新比赛，他们的成绩（单位：分）分别是9，8，7，8，7．这组数据的中位数为_________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了求一组数据的中位数，把一组数据按照顺序排列，处在最中间的那个数据或处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可． 【详解】解：把这组数据从小到大排列为：7，7，8，8，9，处在最中间的数是8， ∴这组数据的中位数为8， 故答案为：8． 19. 一个圆锥的底面半径，高，则这个圆锥的侧面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】圆锥的侧面积公式为，利用勾股定理求出圆锥的母线即可解决问题． 【详解】解：圆锥的母线， ∴圆锥的侧面积． 【点睛】本题主要考查圆锥的侧面积以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积公式． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，化简二次根式，求特殊角三角函数值，先计算特殊角三角函数值，化简二次根式，再根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解； ． 21. 已知，如图和相交于点O，，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，根据可证明，则由全等三角形对应角相等可证明结论． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴． 22. 某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450机器所需时间相同，求该工厂原来平均每天生产多少台机器？ 【答案】该工厂原来平均每天生产150台机器． 【解析】 【分析】设原计划平均每天生产x台机器，则现在平均每天生产（x+50）台机器，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合现在生产600台机器所需要时间与原计划生产450台机器所需时间相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】设该工厂原来平均每天生产x台机器，则现在平均每天生产(x+50)台机器． 根据题意得，解得x=150． 经检验知x=150是原方程的根． 答：该工厂原来平均每天生产150台机器． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 23. 有两把不同的锁，分别为A、B，三把钥匙a、b、c，其中钥匙a只能打开锁A，钥匙b只能打开锁B，钥匙c不能打开任何一把锁．随机取出一把钥匙和一把锁． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，列出所有可能出现的结果； （2）求恰好可以打开锁的概率P． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据两把不同的锁，分别为A、B，三把钥匙a、b、c，列表即可； （2）根据列表可得所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：列表如下： 钥匙/锁 A B a b c 【小问2详解】解：由（1）得共有6种等可能得结果数，其中恰好可以打开锁的有，两种结果，则恰好可以打开锁的概率． 24. 如图，，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AC=6，BD=8，过点D作于点H，求CH的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得出∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，根据角平分线定义得出∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，求出∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，根据等腰三角形的判定得出AB=BC=AD，根据菱形的判定得出四边形ABCD是菱形，即可得出答案； （2）根据菱形的性质求出BC=AB=5，由菱形的面积等于对角线积的一半和底乘高即可求得结论． 【小问1详解】 ∵AEBF， ∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA， ∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线， ∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC， ∴∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB， ∴AB=BC，AB=AD， ∴AD=BC， ∵ADBC， ∴四边形ABCD平行四边形， ∵AD=AB， ∴四边形ABCD是菱形； 【小问2详解】 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，， ∴AB=， ∴BC=AB=5， ∵DH⊥BF， ∴S菱形ABCD=， 即， ∴， ∵CD=AB=5， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，菱形的性质和判定，能通过角的平分线和平行线的性质及等腰三角形的判定证得AB=BC，AB=AD是解决问题的关键． 25. 根据以下素材，完成探究学习任务． 如何为商家设计利润最大化的销售方案？ 素材1 某商家销售一种水果，成本价为10元/斤． 素材2 销售价不低于成本价，且物价部门规定该商品的销售价不得高于成本价的2倍． 素材3 在销售过程中发现，每天的销售量y(斤)与销售单价x(元/斤)满足如图所示的一次函数关系： 问题解决 任务1 模型建立 求每天的销售量y(斤)与销售单价x(元/斤)的函数关系式； 任务2 拟定利润最大化的销售方案 当该水果的销售单价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】任务1：，任务2：当该水果的销售单价为元/斤时，该商家获得的利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，根据题意列出关系式是解题的关键． 任务1，运用待定系数法求解即可； 任务2，先求出利润与单价的关系式，再利用其性质求解即可． 【详解】解：任务1：设y与x的函数关系式为， ∵点，在的图象上， 解得 ∴y与x之间的函数关系式为； 任务 2：设商家获得的利润为 W 元， 根据题意得：， ∵，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，W 随x的增大而增大， ∴当时，W取得最大值，最大值为(元)， ∴当该水果的销售单价为20元斤时，该商家获得的利润最大，最大利润是元． 26. 如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的判定等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）连接，如图，先证明，然后利用得到，然后根据切线的判定方法得到结论； （2）证明，然后利用相似三角形的性质求出，由圆周角定理得到，即可求解面积． 【小问1详解】 证明：连接，    ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵半径， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 27. 已知函数． （1）若函数图象经过点，求m的值； （2）若函数图象与x轴只有一个交点A，求点A的坐标； （3）若函数满足时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小，且图象与x轴的两个交点为，．求证：． 【答案】（1） （2）或 （3）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与坐标轴的交点问题，正确理解题意，化简计算是解题的关键． （1）将代入即可求解； （2）分类讨论，若是一次函数，求出解析式，再令求解；若是二次函数，求出解析式，再令求解； （3）由题意得，对称轴为，解得：，则函数为，当，则，则，，，，再代入化简证明即可． 【小问1详解】 解：由题意得，把点代入 得， 解得：； 【小问2详解】 解：当时，， 则当， 解得：， ∴； 当时，则， 解得：， ∴函数， 则当，， 解得： ∴， 综上：或； 【小问3详解】 证明：由题意得，对称轴为， 解得：， ∴函数为：， ∵图象与x轴的两个交点为， ∴当，则，则， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$