1.4.1第2课时 空间中直线、平面的平行导学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第2课时　空间中直线、平面的平行 学案 学习目标 1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系． 　 情境导入 牌楼与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝，在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道均有建造．旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种，多设于要道口．牌楼中有一种有柱门形结构，一般较高大．如图，牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平行．这是为什么呢？ 新知探究 知识点一　直线与直线平行 问题引导 　1.由直线与直线的平行关系，可以得到直线的方向向量具有什么关系？ 提示：平行． 知识点总结 两直线平行的判定方法 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2． 利用向量证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 典例探究 例1如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM＝DB，DA＝DP＝1，CD＝2.求证：MN∥AP. 证明：法一：由题意知，直线DA，DC，DP两两垂直，如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，P(0，0，1)，N(0，，)，M(，，0)，所以＝(－1，0，1)，＝(－，0，)，所以＝，又M∉AP，故MN∥AP. 法二：由题意可得，＝＋＝＋＝＋×(＋)＝＋＋＝＋＝(＋)＝，又M∉AP，所以MN∥AP. 证明两直线平行的方法 (1)平行直线的传递性． (2)基向量法，分别取两条直线的方向向量m，n，证明m∥n，即m＝λn. (3)坐标法，建立空间直角坐标系，把直线的方向向量用坐标表示，如m1＝(x1，y1，z1)，m2＝(x2，y2，z2)，即证明m1＝λm2，即x1＝λx2且y1＝λy2且z1＝λz2. 变式训练 1.(2023·静海第一中学高二期中)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形． 证明：以点D为坐标原点，分别以，，为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，E(0，0，)，C1(0，1，1)，F(1，1，)， ∴＝(－1，0，)，＝(－1，0，)，＝(0，1，)，＝(0，1，)， ∴＝，＝， ∴∥，∥， 又∵F∉AE，F∉EC1， ∴AE∥FC1，EC1∥AF， ∴四边形AEC1F是平行四边形． 知识点二　直线与平面平行 问题引导 　2.观察右图，直线l与平面α平行，u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，u与n有什么关系？ 提示：垂直． 知识点总结 直线和平面平行的判定方法 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0． (1)证明线面平行的关键是看直线的方向向量与平面的法向量是否垂直． (2)特别强调直线在平面外． 典例探究 例2　(教材P44T16改编)如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，∠ACC1＝45°，AB＝AC＝2，AA1＝2，四边形ABB1A1为矩形，＝2，N是B1C1的中点，P是BC1与B1C的交点．在线段A1N上是否存在点Q，使得PQ∥平面A1CM ? 解：以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则C1(0，0，2)，B(0，2，0)，B1(－2，2，2)，A1(－2，0，2)，C(2，0，0)，则P(0，1，1)，N(－1，1，2)，M(0，4，0).＝(－1，－1，0)，＝(－1，0，1)，设＝(－λ，－λ，0)(0≤λ≤1)，所以＝＋＝(－1－λ，－λ，1)，＝(4，0，－2)，＝(2，4，－2)，设平面A1CM的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝2，则n＝(2，1，4)， 要证PQ∥平面A1CM，则·n＝0， 即2(－1－λ)－λ＋4＝0，解得λ＝， 所以＝(－，－，0)，所以Q(－，，2)． 故在线段A1N上存在点Q，使得PQ∥平面A1CM. 利用空间向量证明线面平行一般有三种方法： (1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示； (2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证； (3)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． 变式训练 2.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是B1C1，A1A的中点，求证：A1E∥平面B1FC. 证明：设＝a，＝b，＝c，则＝＋＝－a＋b，＝＋＝a＋c，＝＋＝b＋c.设存在实数对(x，y)，使得＝x＋y成立，即－a＋b＝x(a＋c)＋y(b＋c)，∴ 即 于是有＝－＋，即向量，，共面． 又A1E不在CF，CB1所确定的平面B1FC内， ∴A1E∥平面B1FC. 知识点三　平面与平面平行 问题引导 　3.观察右图，平面α，β平行，n1，n2分别是平面α，β的法向量，n1与n2具有什么关系？ 提示：平行． 知识点总结 平面和平面平行的判定方法 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2． 证明面面平行时，必须说明两个平面不重合． 典例探究 例3　已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：平面ADE∥平面B1C1F. 证明：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)， 所以＝(0，2，1)，＝(2，0，0)，＝(0，2，1)，＝(2，0，0)， 设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量， 则n1⊥，n1⊥， 即解得 令z1＝2，则y1＝－1，所以可取n1＝(0，－1，2)． 同理，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的法向量， 则n2⊥，n2⊥， 即 解得 令z2＝2，得y2＝－1， 所以n2＝(0，－1，2)， 因为n1＝n2，即n1∥n2， 又A∈平面ADE，A∉平面B1C1F. 所以平面ADE∥平面B1C1F. 证明面面平行问题的方法 (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 变式训练 3.如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：平面EFG∥平面PBC. 证明：由题意知AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)． 所以＝(0，－1，0)，＝(1，1，－1)，＝(0，2，0)，＝(2，0，－2)，设n1＝(x1，y1，z1)是平面GEF的法向量， 则n1⊥，n1⊥，即 得令z1＝1，则x1＝1，y1＝0，所以n1＝(1，0，1)． 设n2＝(x2，y2，z2)是平面PBC的法向量， 由n2⊥，n2⊥， 得即 即 令z2＝1，得x2＝1，y2＝0， 所以n2＝(1，0，1)． 因为n1＝n2，即n1∥n2，又P∈平面PBC，P∉平面EFG. 所以平面EFG∥平面PBC. 课堂小结 1．知识网络 2．特别提醒 (1)利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时，要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点． (2)建立空间直角坐标系的关键是根据几何体的特征，尽可能找到三条两两互相垂直且交于一点的线段，特别是有垂直关系的一些常见几何体(如正方体、长方体、直棱柱)是最简单的模型． 课堂练习 1．已知向量a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量．若l1∥l2，则(　　) A．x＝6，y＝15　 B．x＝3，y＝ C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝ 解析：D　a∥b⇔＝＝. ∴x＝6，y＝. 2．已知n1＝(1，2，x)为平面α的一个法向量，n2＝(－2，y，4)为平面β的一个法向量，且α∥β，则x－y＝(　　) A．－2 B．－4 C．2 D．4 解析：C　因为α∥β，所以n1∥n2，则＝＝，解得x＝－2，y＝－4，故x－y＝2. 3．(2023·辽宁沈阳重点高中联合体高二期中)已知向量＝(2，4，x)，平面α的一个法向量n＝(1，y，3)．若AB∥α，则(　　) A．x＝6，y＝2 B．x＝2，y＝6 C．3x＋4y＋2＝0 D．4x＋3y＋2＝0 解析：C　因为AB∥α，所以⊥n，则·n＝2＋4y＋3x＝0.故选C． 4．已知A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)，点P(x，－1，3)在平面ABC内，则x＝________，＝________(用向量，表示)． 解析：＝(－2，2，－2)，＝(－1，6，－8)，＝(x－4，－2，0)，由题意知A，B，C，P四点共面， ∴＝λ＋μ＝(－2λ，2λ，－2λ)＋(－μ，6μ，－8μ)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)， ∴∴ 而x－4＝－2λ－μ，∴x＝11，＝－4＋. 答案：11　－4＋ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时　空间中直线、平面的平行 学案 学习目标 1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系． 　 情境导入 牌楼与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝，在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道均有建造．旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种，多设于要道口．牌楼中有一种有柱门形结构，一般较高大．如图，牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平行．这是为什么呢？ 新知探究 知识点一　直线与直线平行 问题引导 　1.由直线与直线的平行关系，可以得到直线的方向向量具有什么关系？ 知识点总结 两直线平行的判定方法 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2． 利用向量证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 典例探究 例1如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM＝DB，DA＝DP＝1，CD＝2.求证：MN∥AP. 证明两直线平行的方法 (1)平行直线的传递性． (2)基向量法，分别取两条直线的方向向量m，n，证明m∥n，即m＝λn. (3)坐标法，建立空间直角坐标系，把直线的方向向量用坐标表示，如m1＝(x1，y1，z1)，m2＝(x2，y2，z2)，即证明m1＝λm2，即x1＝λx2且y1＝λy2且z1＝λz2. 变式训练 1.(2023·静海第一中学高二期中)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形． 知识点二　直线与平面平行 问题引导 　2.观察右图，直线l与平面α平行，u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，u与n有什么关系？ 知识点总结 直线和平面平行的判定方法 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0． (1)证明线面平行的关键是看直线的方向向量与平面的法向量是否垂直． (2)特别强调直线在平面外． 典例探究 例2　(教材P44T16改编)如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，∠ACC1＝45°，AB＝AC＝2，AA1＝2，四边形ABB1A1为矩形，＝2，N是B1C1的中点，P是BC1与B1C的交点．在线段A1N上是否存在点Q，使得PQ∥平面A1CM ? 利用空间向量证明线面平行一般有三种方法： (1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示； (2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证； (3)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． 变式训练 2.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是B1C1，A1A的中点，求证：A1E∥平面B1FC. 知识点三　平面与平面平行 问题引导 　3.观察右图，平面α，β平行，n1，n2分别是平面α，β的法向量，n1与n2具有什么关系？ 知识点总结 平面和平面平行的判定方法 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2． 证明面面平行时，必须说明两个平面不重合． 典例探究 例3　已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：平面ADE∥平面B1C1F. 证明面面平行问题的方法 (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 变式训练 3.如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：平面EFG∥平面PBC. 课堂小结 1．知识网络 2．特别提醒 (1)利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时，要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点． (2)建立空间直角坐标系的关键是根据几何体的特征，尽可能找到三条两两互相垂直且交于一点的线段，特别是有垂直关系的一些常见几何体(如正方体、长方体、直棱柱)是最简单的模型． 课堂练习 1．已知向量a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量．若l1∥l2，则(　　) A．x＝6，y＝15　 B．x＝3，y＝ C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝ 2．已知n1＝(1，2，x)为平面α的一个法向量，n2＝(－2，y，4)为平面β的一个法向量，且α∥β，则x－y＝(　　) A．－2 B．－4 C．2 D．4 3．(2023·辽宁沈阳重点高中联合体高二期中)已知向量＝(2，4，x)，平面α的一个法向量n＝(1，y，3)．若AB∥α，则(　　) A．x＝6，y＝2 B．x＝2，y＝6 C．3x＋4y＋2＝0 D．4x＋3y＋2＝0 4．已知A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)，点P(x，－1，3)在平面ABC内，则x＝________，＝________(用向量，表示)． 学科网（北京）股份有限公司 $$