精品解析：辽宁省葫芦岛市兴城市2024-2025学年九年级下学期同步阶段检测数学试卷

2024-2025学年度第二学期同步阶段检测 九年级数学试卷 （本试卷共23道题 试卷满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 小明妈妈早上给了小明元零花钱，记作元，晚上放学时他买了一支笔花费元，记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 如图是由两个大小不一的圆柱组成的几何体，其主视图是（ ） A B. C. D. 3. 2025年春节假期，历史文化类景区和博物馆类景区的旅游热度同比增长超过，这表明越来越多的游客选择在寒假期间走进博物馆，感受历史文化的魅力．下列是我国一些博物馆的标志，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 6. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. B. C. D. 7. 在同一平面直角坐标系内，函数和的图像可能是（ ） A. B. C. D. 8. 中华优秀传统文化是中华民族的瑰宝，为弘扬古代科技智慧，我市某校为各班采购《天工开物》和《齐民要术》科普类读本若干套．已知每套《天工开物》的价格比每套《齐民要术》的价格贵30元，用1800元购买《天工开物》的套数是用600元购买《齐民要术》套数的2倍，求每套《齐民要术》的价格．若设每套《齐民要术》的价格为x元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是的中点，若，，则的长（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10. 如图，中，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为，设，，则关于的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五，将数据用科学记数法表示为__________________ 12. 在一个不透明的口袋中装有4个相同的小球，分别写有，，，随机摸出两个小球，上面两数乘积是有理数的概率为________． 13. 如图，点C的坐标为，点B在x轴上，把线段沿x轴向右平移得到，若四边形的面积为，则点A的坐标为________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴、轴上，为正方形对角线的交点，反比例函数的图象经过点，．若正方形的面积为，，则反比例函数的解析式是________． 15. 菱形中，，，点P为对角线上一点，点E是边上一点，连接、，当的值最小时，则的面积为________． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 计算 （1） （2） 17. 为全面贯彻党教育方针，严格落实教育部对中小学生“五项管理”的相关要求和《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》精神，保障学生每天在校小时体育活动时间，某班计划采购、两种类型的羽毛球拍．已知购买副型羽毛球拍和副型羽毛球拍共需元；购买副型羽毛球拍和副型羽毛球拍共需元． （1）求、两种类型羽毛球拍的单价． （2）该班准备采购、两种类型的羽毛球拍共副，且购买的总费用不高于元，至少购买型羽毛球拍多少副？ 18. 2025年3月11日第十四届全国人大三次会议在北京胜利闭幕．某校为了了解八、九年级学生对会议精神的认知程度，现从这两个年级（八年名学生，九年级名学生）中各随机抽取名学生进行有关知识测试，若将测试成绩按以下六组进行整理（得分用表示）： A：，B：，C：，D：，E：，F：． 并绘制八年级测试成绩频数分布直方图和九年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下： 八年级测试成绩频数分布直方图 九年级测试成绩扇形统计图 已知九年级测试成绩D组的全部数据如下： ，，，，，，． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）________，________． （2）计算“”所在扇形圆心角的度数及九年级测试成绩的中位数． （3）若测试成绩不低于分，则认定该学生对会议精神认知程度高．请估计该校八、九两个年级对“第十四届全国人大三次会议”精神认知程度高学生一共有多少人． 19. 葫芦岛是中国东北地区重要的水果生产基地，以绥中白梨、兴城苹果、建昌核桃等水果闻名．其中，绥中白梨因独特风味被列为国家地理标志产品．某果园今年种植的绥中白梨喜获丰收，采摘上市后16天内全部售罄．该果园的果农对销售情况进行统计后发现，在白梨上市第x天时，日销售量P（单位：公斤）与销售天数x之间的函数关系为：，白梨的单价y（单位：元）与销售天数x之间的函数关系如图所示． （1）当时，求y与x的函数解析式； （2）设日销售额为W元，当时，求W的最大值． 20. “和平广场”是我市的重要地标之一，而和平广场的“观沧海石雕”是该广场的标志性景观，具有深厚的文化内涵和艺术价值．这座石雕以“观沧海”为主题，通过艺术手法展现了沧海壮阔的景象，同时也体现了葫芦岛市作为海滨城市的地域特色．在综合与实践活动中，某学习小组想测量石碑的高度，具体操作如下：小茜站在处观测时（为小茜眼睛到地面的高度，米），测得石碑顶端点E的仰角，站在相距米的处观测时，测得点的仰角，点，，在同一条直线上．（结果精确到米，参考数据：，，，） （1）求的长； （2）求石碑高度． 21. 如图，内接于，是的直径，过点O作交于点D，垂足为M．连接、，与交于点E，在的延长线上取一点N，使． （1）求证：是的切线； （2）若的直径为5，，求的长． 22. 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： 【初步探究】 （1）如图1，为等边三角形，过A点作的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接，把线段绕点C逆时针方向旋转得到，连．与的数量关系是________； 深入探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，连接并延长交直线于点D．当点P运动到时，若，求的长； 【拓展探究】 （3）如图3，在中，，以为直角边向外作，，，连接．若，，求的长． 23. 定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标三倍的点，则称该点为这个函数的“三倍点”．例如：点是函数的图像上的“三倍点”． （1）函数，的图像上是否存在“三倍点”？若存在，求出“三倍点”的坐标； （2）若抛物线上有两个“三倍点”，分别为，，过点A作x轴的平行线与抛物线交于点C（不与点B重合） ．当的面积为18时，求抛物线的解析式； （3）若函数的图像记为，将其绕点旋转后的图像记为，当，两部分组成的图像上恰有3个“三倍点”时，请直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期同步阶段检测 九年级数学试卷 （本试卷共23道题 试卷满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 小明妈妈早上给了小明元零花钱，记作元，晚上放学时他买了一支笔花费元，记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了运用正数和负数表示两个相反意义的量，根据相反意义的量即可求解，正确理解正、负数的意义是解题的关键． 【详解】解：∵小明妈妈早上给了小明元零花钱，记作元， ∴晚上放学时他买了一支笔花费元，记作元， 故选：． 2. 如图是由两个大小不一的圆柱组成的几何体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据主视图是从正面看到的图形，可得答案． 【详解】解：根据主视图是从正面看到的可得： 它的主视图是如下： ． 故选： A． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图． 3. 2025年春节假期，历史文化类景区和博物馆类景区的旅游热度同比增长超过，这表明越来越多的游客选择在寒假期间走进博物馆，感受历史文化的魅力．下列是我国一些博物馆的标志，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称的定义“把一个图形绕某一点旋转后，能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形”是解题关键． 根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，因此非中心对称图形，不符合题意；选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法和除法，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法和除法等法则逐一计算即可． 【详解】解：A、，此选项错误，不符合题意； B、，此选项错误，不符合题意； C、，此选项错误，不符合题意； D、，此选项正确，符合题意． 故选：D． 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和根的判别式，熟练掌握相关公式是解题关键． 根据一元二次方程的定义和根的判别式即可求解． 【详解】解：根据题意，得，且， 解得：，且． 故选：B． 6. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式值为零的条件可以求出x的值． 【详解】由题意得：，且≠0， ∴x=2， 故选A． 【点睛】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 7. 在同一平面直角坐标系内，函数和的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 根据选项中的图象先判断函数中的取值范围，再根据函数的图象经过的象限判断、的取值范围即可求解． 【详解】解：A、图象中，函数：；函数：，；不一致，此选项不符合题意； B、图象中，函数：；函数：，；不一致，此选项不符合题意； C、图象中，函数：；函数：，；不一致，此选项不符合题意； D、图象中，函数：；函数：，，一致，此选项符合题意． 故选：D． 8. 中华优秀传统文化是中华民族的瑰宝，为弘扬古代科技智慧，我市某校为各班采购《天工开物》和《齐民要术》科普类读本若干套．已知每套《天工开物》的价格比每套《齐民要术》的价格贵30元，用1800元购买《天工开物》的套数是用600元购买《齐民要术》套数的2倍，求每套《齐民要术》的价格．若设每套《齐民要术》的价格为x元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．设每套《齐民要术》的价格为x元，可得出每套《天工开物》的价格为元，利用数量=总价÷单价，结合用1800元购买《天工开物》的套数是用600元购买《齐民要术》套数的2倍，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 9. 如图，对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是的中点，若，，则的长（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键． 利用平行四边形的性质结合角平分线的定义推出，再根据三角形中位线定理得，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ， 是的中点，， 是的中位线， ． 故选：C． 10. 如图，中，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为，设，，则关于的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了动点与面积的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数图象的性质，掌握动点运用的规律，相似三角形的判定和性质得到的值，正确计算三角形的面积，确定函数关系式，结合图形分析是解题的关键． 运用勾股定理，等面积法得到边上的高，根据点在折线上运动，分类讨论：当点在上时，，即；当点在上时，如图所示，，即；运用相似三角形的判定和性质可得的值，由三角形面积的公式可得关于的函数解析式，结合二次函数图象的性质判定即可求解； 【详解】解：在中，， ∴， 如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点在上时，，即，， ∴， ∴图形是二次函数图象的一部分，开口向上，故A、B选项符合题意，C、D选项不符合题意； 当点在上时，如图所示，，即， ∵， ∴，且， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图形是二次函数图象的一部分，开口向下，故A选项符合题意，B选项不符合题意； 故选：A ． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五，将数据用科学记数法表示为__________________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 在一个不透明的口袋中装有4个相同的小球，分别写有，，，随机摸出两个小球，上面两数乘积是有理数的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，画树状图可得出所有等可能的结果数以及两数的乘积是有理数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：，，，， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两数的乘积是有理数的结果有4种， ∴两数的乘积是有理数的概率为． 故答案：． 13. 如图，点C的坐标为，点B在x轴上，把线段沿x轴向右平移得到，若四边形的面积为，则点A的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的性质得出四边形是平行四边形，从而得A和C的纵坐标相同，根据四边形的面积求得的长，即可求得A的坐标． 本题考查了坐标与图形的变换-平移，平移的性质，平行四边形的性质，求得平移的距离是解题的关键． 【详解】解：∵线段沿x轴向右平移得到， ∴四边形是平行四边形， ∴，A和C的纵坐标相同， ∵四边形的面积为，点C的坐标为， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴、轴上，为正方形对角线的交点，反比例函数的图象经过点，．若正方形的面积为，，则反比例函数的解析式是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． 过点作轴与点，根据正方形的性质证得，结合求得、，得点的坐标，代入求得的值，即可求解反比例函数的解析式． 【详解】解：如图，过点作轴与点， 四边形是正方形， ，， ，， ． 在和中， ， ， ，． ， ， 设，， 若正方形的面积为， ， 在中，， ， 解得：（负值舍去）， ，， ， 点的坐标为， 将点的坐标为代入，解得， 反比例函数的解析式为． 故答案为：． 15. 菱形中，，，点P为对角线上一点，点E是边上一点，连接、，当的值最小时，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，在上取一点，使，连接，，过作于，根据菱形的对称性可，得到，，当、、三点共线且与重合时，最小，此时，，再在中求出，最后根据面积公式计算即可． 【详解】解：在上取一点，使，连接，，过作于， ∵菱形中，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当、、三点共线且与重合时，最小，此时，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，解得（负值舍去）， ∴的面积为， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及零指数幂、负整数指数幂、实数的绝对值及特殊角三角函数值；分式的混合运算；掌握这些知识与运算法则是解题的关键； （1）依次计算零指数幂、负整数指数幂、实数的绝对值及特殊角三角函数值，最后计算加减即可； （2）先计算分式的减法运算，再计算除法，最后约分即可． 小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 为全面贯彻党的教育方针，严格落实教育部对中小学生“五项管理”的相关要求和《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》精神，保障学生每天在校小时体育活动时间，某班计划采购、两种类型的羽毛球拍．已知购买副型羽毛球拍和副型羽毛球拍共需元；购买副型羽毛球拍和副型羽毛球拍共需元． （1）求、两种类型羽毛球拍的单价． （2）该班准备采购、两种类型的羽毛球拍共副，且购买的总费用不高于元，至少购买型羽毛球拍多少副？ 【答案】（1）、两种类型羽毛球拍的单价分别为元，元 （2）至少购买型羽毛球拍副 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，理解题意、正确列出方程组与不等式是解题关键． （1）设、两种类型羽毛球拍的单价分别为元，元，根据等量关系列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买型羽毛球拍副，则型羽毛球拍副，根据不等关系“总费用不高于元”列出不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设、两种类型羽毛球拍的单价分别为元，元，由题意得： ， 解得：， 答：、两种类型羽毛球拍的单价分别为元，元． 【小问2详解】 解：设购买型羽毛球拍副，则型羽毛球拍副，由题意得：， 解得： 为整数， 取． 答：至少购买型羽毛球拍副． 18. 2025年3月11日第十四届全国人大三次会议在北京胜利闭幕．某校为了了解八、九年级学生对会议精神的认知程度，现从这两个年级（八年名学生，九年级名学生）中各随机抽取名学生进行有关知识测试，若将测试成绩按以下六组进行整理（得分用表示）： A：，B：，C：，D：，E：，F：． 并绘制八年级测试成绩频数分布直方图和九年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下： 八年级测试成绩频数分布直方图 九年级测试成绩扇形统计图 已知九年级测试成绩D组的全部数据如下： ，，，，，，． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）________，________． （2）计算“”所在扇形圆心角的度数及九年级测试成绩的中位数． （3）若测试成绩不低于分，则认定该学生对会议精神认知程度高．请估计该校八、九两个年级对“第十四届全国人大三次会议”精神认知程度高的学生一共有多少人． 【答案】（1）， （2）， （3）人 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图、扇形统计图、中位数、用样本估计总体，熟练掌握数形结合是解题关键． （1）根据扇形图可求得的值，根据直方图可求得的值； （2）由扇形图即可求得“”所在扇形圆心角的度数，根据中位数的定义即可求解； （3）用样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：由扇形图可知：九年级D组人数为人，其中D占， 九年级被抽取的人数为人； 两个年级抽取人数均为人， 根据直方图可知八年级总人数， 解得：； ，． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：由扇形图可知：， “”所在扇形圆心角的度数为； 九年级被抽取个人， 中位数是第10和第11两个数据的和， 九年级A组的人数是人，B组的人数是人，C组的人数是人，D组的人数是人，E组的人数是人，F组的人数是人， 把D组的成绩从小到大排序后可得：第10第11个数分别为87、88， 中位数为． 故答案为：，． 【小问3详解】 解：八年级：（人）， 九年级：（人）， （人）． 答：该校八、九两个年级对“第十四届全国人大三次会议”精神认知程度高的学生约有人． 19. 葫芦岛是中国东北地区重要的水果生产基地，以绥中白梨、兴城苹果、建昌核桃等水果闻名．其中，绥中白梨因独特风味被列为国家地理标志产品．某果园今年种植的绥中白梨喜获丰收，采摘上市后16天内全部售罄．该果园的果农对销售情况进行统计后发现，在白梨上市第x天时，日销售量P（单位：公斤）与销售天数x之间的函数关系为：，白梨的单价y（单位：元）与销售天数x之间的函数关系如图所示． （1）当时，求y与x的函数解析式； （2）设日销售额为W元，当时，求W的最大值． 【答案】（1） （2）2860元 【解析】 【分析】（1）依据题意，显然当时，，当时，用待定系数法求解析式； （2）依据题意，分当时和当时两种情形进行计算可以得解． 本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【小问1详解】 当时，， 当时，设y关于x的函数解析式为 将，代入，得：， 解得 关于x的函数解析式为 综上所述，y关于x的函数解析式为 【小问2详解】 当时， ， 此时w的最大值为2560元． 当时， ，抛物线开口向下，对称轴为的直线 ， 当时，w随x的增大而增大． 当时，w取得最大值，最大值为． ， 当时，w的最大值为2860元． 20. “和平广场”是我市的重要地标之一，而和平广场的“观沧海石雕”是该广场的标志性景观，具有深厚的文化内涵和艺术价值．这座石雕以“观沧海”为主题，通过艺术手法展现了沧海壮阔的景象，同时也体现了葫芦岛市作为海滨城市的地域特色．在综合与实践活动中，某学习小组想测量石碑的高度，具体操作如下：小茜站在处观测时（为小茜眼睛到地面的高度，米），测得石碑顶端点E的仰角，站在相距米的处观测时，测得点的仰角，点，，在同一条直线上．（结果精确到米，参考数据：，，，） （1）求的长； （2）求石碑高度． 【答案】（1）长约为米 （2）石碑高度约为米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解一元一次方程，熟练掌握三角函数是解题关键． （1）设米，根据题意得米，推得在，，解一元一次方程即可； （2）结合（1）求得，根据即可求解． 【小问1详解】 解：延长交于点， 根据题意得：，米，米， ， 设米，则米， 在中，，， ， 米， 在中，，， ， ， 解得：， （米）， 答：长约为米． 【小问2详解】 解：由（1）得：， （米） 答：石碑高度约为米． 21. 如图，内接于，是的直径，过点O作交于点D，垂足为M．连接、，与交于点E，在的延长线上取一点N，使． （1）求证：是的切线； （2）若的直径为5，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据，求得，，即可解答． （2）根据圆周角定理得，根据三角函数，得到，由勾股定理得，根据相似三角形的性质即可得到结论． 本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，三角函数，勾股定理，相似三角形的判定与性质． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ，即 ， 是的半径， 是的切线 【小问2详解】 是的直径， 在中，，， ，即， 由勾股定理得 ，为的半径， ， ， ， ， ， ， ，即， ． 22. 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： 【初步探究】 （1）如图1，为等边三角形，过A点作的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接，把线段绕点C逆时针方向旋转得到，连．与的数量关系是________； 【深入探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，连接并延长交直线于点D．当点P运动到时，若，求的长； 【拓展探究】 （3）如图3，在中，，以为直角边向外作，，，连接．若，，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）由“SAS”证得可得； （2）连接，，由，可得，根据勾股定理可得，根据是等边三角形，为等边三角形，可知垂直平分，，，再根据勾股定理可得，，从而； （3）分别过点A、C作、的垂线交于点E，连接，由△ACE是等腰直角三角形，根据三角形内角和定理得到，在中，，，得到，得，证明，即得，再由勾股定理得到，即可解答． 【详解】解：（1），理由如下： 在等边中，，， 由旋转可得，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）连接，，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， 由（1）得， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴垂直平分， ∴，， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∴； （3）分别过点A、C作、的垂线交于点E，连接，如图： ∴， ∵ ， ∴， ∴，即， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 勾股定理得：， ∴， 在中，，， 勾股定理得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查几何变换综合应用，涉及等边三角形性质及应用，全等三角形判定与性质，直角三角形判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 23. 定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标三倍点，则称该点为这个函数的“三倍点”．例如：点是函数的图像上的“三倍点”． （1）函数，的图像上是否存在“三倍点”？若存在，求出“三倍点”的坐标； （2）若抛物线上有两个“三倍点”，分别为，，过点A作x轴的平行线与抛物线交于点C（不与点B重合） ．当的面积为18时，求抛物线的解析式； （3）若函数的图像记为，将其绕点旋转后的图像记为，当，两部分组成的图像上恰有3个“三倍点”时，请直接写出t的值． 【答案】（1）存在“三倍点”，“三倍点”为；不存在“三倍点” （2）抛物线的解析式为或 （3）t值为或15或 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义问题、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、解一元二次方程等知识，正确理解新定义”三倍点”是解题关键． （1）根据 “三倍点”的定义分析计算即可； （2）首先确定抛物线的对称轴，根据”三倍点”的概念得到，进而可得，，结合，可解得或6，然后分情况确定点坐标，利用待定求解即可； （3）首先确定抛物线旋转后的抛物线解析式，再根据”三倍点”的定义解得图像上两个”三倍点”和；然后分图像上只有一个”三倍点”，图像上有两个”三倍点”且其中一个为的”三倍点” ，图像上有两个”三倍点”且其中一个为的”三倍点” ，分别求解即可． 【小问1详解】 解：存在“三倍点”；不存在“三倍点”； 当时，，解得，所以，所以“三倍点”为； 当时，，此方程无解，所以不存在“三倍点”； 【小问2详解】 解：， 对称轴为， 又是“三倍点”， ， ， 过点A作x轴的平行线与抛物线交于点C， 点A与点C关于抛物线的对称轴对称， ， ， 的面积为18， ，即， ，， ①当时，； 将，代入中， 得，解得：， 抛物线的解析式为； ②当时，， 将，代入中， 得，解得：， 抛物线的解析式为； 【小问3详解】 解：函数的图像绕点旋转后的图像记为， 图像与图像的开口大小不变，方向相反，对称轴不变为y轴， 设图像解析式为：， 的顶点坐标为， ∴点和关于点对称， ，解得：， 解析式为：， 联立，解得，， 图像上有两个“三倍点”和； ，两部分组成的图像上恰有3个“三倍点”， 图像上只有一个“三倍点”或者有两个“三倍点”且其中一个“三倍点”与图像上的两个“三倍点”中的一个重合． ①当图像上只有一个“三倍点”时，与只有一个交点， ，即， ，解得：； ②当上其中一个“三倍点”与图像上的重合时，时，； ③当上其中一个“三倍点”与图像上的重合时，时，； 综上所述：t的值为或15或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$