2025年河北省九年级中考数学一轮复习专题20：二次函数

专题20 二次函数 一、选择题： 1.下列表达式中，为自变量，是的二次函数的是(    ) A. B. C. D. 2.将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度所得到的抛物线的解析式为(    ) A. B. C. D. 3.根据下列表格对应值： 判断关于 的方程的一个解 的范围是(    ) A. B. C. D. 4.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为(    ) A. B. C. D. 5.二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点为，对称轴为直线下列四个结论：；过点平行于轴的直线与抛物线有唯一的公共点；若，关于的不等式的解集为；若，点，在该抛物线上，当实数时，其中正确的结论是(    ) A. B. C. D. 6.关于的二次函数的图象可能是(    ) A. B. C. D. 7.一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是(    ) A. B. C. D. 8.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，可食用率与加工时间单位：分钟满足的函数关系、、是常数，如图记录了三次实验的数据、根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为(    ) A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟 9.某商场购进一批文创商品，进价为每件元当售价为每件元时，每周可卖出件；售价每降低元，每周销量增加件设每件售价为元，每周利润为元，与的函数关系式为(    ) A. B. C. D. 10.二次函数的最小值是(    ) A. B. C. D. 11.二次函数、、是常数，且的自变量与函数值的部分对应值如下表： 且当时，对应的函数值有以下结论： ；；关于的方程的负实数根在和之间；和在该二次函数的图象上，则当实数时，． 其中正确的结论是(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 12.将二次函数用配方法化成的形式为           ． 13.将抛物线向左平移个单位长度，所得抛物线为______． 14.下表中与的数据满足我们初中学过的某种函数关系．其函数表达式为______． 15.已知实数，，满足，，则的值为          ． 16.原价为元的电器连续两次降价后的价格为元，若平均每次降价的百分率是，则关于的函数表达式为________． 17.如图，若被击打的小球飞行高度单位：与飞行时间单位：之间具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为           18.抛物线是常数，经过点，其中下列结论：；关于的一元二次方程一定有一个根在到之间；当时，随的增大而增大；分式的值小于其中正确的结论是______填写序号． 19.二次函数的图像与直线交于点、两点，则关于的不等式的解集为____． 20.二次函数图象如图，下列结论： ；；当时，； ；若，，． 其中正确的有______． 三、解答题： 21.已知二次函数为常数． 该函数图象与轴交于、两点，若点坐标为， 的值是______，点的坐标是______； 当时，借助图象，求自变量的取值范围； 对于一切实数，若函数值总成立，求的取值范围用含的式子表示； 当时其中、为实数，，自变量的取值范围是，求与的值及的取值范围． 22.某超市销售一种进价为元千克的商品，经市场调查后发现，每天的销售量千克与销售单价元千克有如下表所示的关系： 销售单价元千克 销售量千克 根据表中的数据在如图中描点，并用平滑曲线连接这些点，请用所学知识求出关于的函数关系式； 设该超市每天销售这种商品的利润为元不计其它成本． 求出关于的函数关系式，并求出获得最大利润时，销售单价为多少； 超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，求元时的销售单价． 23.已知抛物线交轴于，两点，为抛物线的顶点，，为抛物线上不与，重合的相异两点，记中点为，直线，的交点为． 求抛物线的函数表达式； 若，，且，求证：，，三点共线； 小明研究发现：无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 24.已知二次函数为常数的图象经过点，对称轴为直线． 求二次函数的表达式； 若点向上平移个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值； 当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 25.在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线交二次函数的图象于点，，点在该二次函数的图象上，设过点其中且平行于轴的直线交直线于点，交直线于点，以线段、为邻边作矩形． 若点的横坐标为． 用含的代数式表示的坐标； 点能否落在该二次函数的图象上？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 当时，若点恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线的函数表达式． 答案和解析 1.【答案】  【解析】本题考查二次函数的定义，掌握形如的函数叫二次函数是解题的关键．利用二次函数的定义逐一判断解题即可． 【详解】解：．中，当时，不是二次函数，不符合题意； B.，符合二次函数的定义，是二次函数，符合题意； C.，未知数的最高次数是，不是二次函数，不符合题意； D.，分母含有未知数，不是二次函数，不符合题意； 故选：． 2.【答案】  【解析】解：将抛物线向左平移个单位长度所得抛物线解析式为：，即； 再向下平移个单位为：，即． 故选：． 根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键． 3.【答案】  【解析】本题考查求一元二次方程的近似根，根据表格确定相邻两个未知数的值使的值为一正一负时，得到时，的取值范围即可． 【详解】解：由表格可知，当时，存在一个的值，使， 故关于的方程的一个解的范围是； 故选C． 4.【答案】  【解析】解：由抛物线知，抛物线顶点坐标是． 由抛物线知，． 该抛物线关于点成中心对称的抛物线的顶点坐标是． 该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为：． 故选：． 由抛物线解析式求得抛物线的顶点坐标与点的坐标，然后结合中心对称的性质，求得新抛物线顶点坐标，易得抛物线解析式． 本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，表示出新抛物线的顶点坐标是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：由题意可得： 对称轴为直线． ， ，则， 或，故不符合题意； 对称轴为直线． 顶点坐标为：，即， 过点平行于轴的直线与抛物线有唯一的公共点；故符合题意； 当，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线． 抛物线与轴的另一个交点为：； 把抛物线向左平移个单位长度可得抛物线； 如图， 而的解集为：， 的解集为：， 即关于的不等式的解集为；故符合题意； 当，实数时，，如图， 点，中点与对称轴的距离较近， 故符合题意； 故选：． 由二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线可得，则，由或，故不符合题意；由顶点坐标为：，即，可得过点平行于轴的直线与抛物线有唯一的公共点；故符合题意；当，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线可得抛物线与轴的另一个交点为：；把抛物线向左平移个单位长度可得抛物线；再结合函数图象可得关于的不等式的解集为；故符合题意；当，实数时，，，如图，可得点，中点与对称轴的距离较近，可得故符合题意；从而可得答案． 本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 6.【答案】  【解析】解：当时，，因为，所以， 函数图象与轴的交点应在轴的上边，故选项D错误； ， 函数图象的对称轴为，因为，所以选项A错误； 当时，函数值为，因此选项B错误，选项C正确． 故选：． 当时，，因为，所以，函数图象与轴的交点应在轴的上边，选项D错误；，函数图象的对称轴为，对应的函数值为，因此选项A、B错误，选项C正确． 本题主要考查了二次函数的图象，关键在于掌握二次函数图象的特征． 7.【答案】  【解析】本题考查二次函数和一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是明确一次函数和二次函数的性质． 先由二次函数的图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致． 解：、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项错误； B、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项正确； C、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项错误； D、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项错误． 故选：． 8.【答案】  【解析】【分析】本题主要考查二次函数的应用，先结合函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，将解析式配方成顶点式后，利用二次函数的性质可得答案． 【详解】解：由题意知，函数经过点，，， 则 解得： ， 最佳加工时间为分钟， 故选：． 9.【答案】  【解析】解：由题意得：． 故选：． 根据每周的利润每件商品的利润销售量，列出函数关系式即可； 本题考查根据实际问题列二次函数关系式，关键是找到等量关系列出函数关系式． 10.【答案】  【解析】解：由题意，， 当时，取最小值为． 故选：． 依据题意，由，从而可以判断得解． 本题主要考查了二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 11.【答案】  【解析】解：将，代入得： ，解得， 二次函数为：， 当时，对应的函数值， ， ， ，即， ，，， ，故不正确； 时，时， ，， ， ， ，故正确； 抛物线过，， 抛物线对称轴为， 又当时，对应的函数值， 根据对称性：当时，对应的函数值， 而时， 抛物线与轴负半轴交点横坐标在和之间， 关于的方程的负实数根在和之间，故正确； 和在该二次函数的图象上， ，， 若，则， 即， ， ， 解得，故不正确， 故选：． 将，代入得，可得二次函数为：，根据当时，对应的函数值，有，，即得，，，故不正确；由，，结合，可得，故正确；由抛物线过，，得抛物线对称轴为，而当时，对应的函数值，可知当时，对应的函数值，关于的方程的负实数根在和之间，故正确；由，，知时，，故不正确， 本题考查二次函数的综合应用，题目综合性较强，解题的关键是熟练掌握二次函数基本性质及图象特征，根据已知列方程或不等式． 12.【答案】  13.【答案】  【解析】解：将抛物线向左平移个单位长度得到解析式：， 故答案为：． 按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式． 此题考查了二次函数图象与几何变换，解决本题的关键是熟记“左加右减，上加下减”． 14.【答案】  【解析】解：根据表中与的数据设函数关系式为：， 将表中、、代入函数关系式，得 ， 解得， 函数表达式为． 故答案为：． 根据表中与的数据设函数关系式为：，将表中、、代入函数关系式，即可得结论． 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据表格数据分析出与的数据满足二次函数关系是解题的关键． 15.【答案】  【解析】【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可． 【详解】   ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，整体思想的应用，解题的关键是掌握以上知识点． 16.【答案】  【解析】解：第一次降价后的价格是， 第二次降价为 则与的函数关系式为． 故答案为：． 由原价元可以得到第一次降价后的价格是，第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，为，由此即可得到函数关系式． 此题考查从实际问题中得出二次函数解析式，需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，所以会出现自变量的二次，即关于的二次函数． 17.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是二次函数的应用有关知识，根据关系式，令即可求得的值为飞行的时间． 【解答】 解：依题意，令得： ， 得， 解得舍去或， 即小球从飞出到落地所用的时间为． 故答案为． 18.【答案】  【解析】解：将点坐标代入抛物线解析式得：， ， ，故结论正确； 令，则，两根之和，，两根之积，， 、均小于， 当时，，，抛物线开口向下， 抛物线有个根在到之间，即有个根在到之间，正确； ，， ， ， ， ，结论错误； 当时，，即， ， ， ， ， ，正确． 故答案为：． 将点坐标代入抛物线解析式可得根据即可判断；根据根与系数的关系判断；抛物线对称轴，可以确定对称轴位置，即可判断；将时，，即，裂项变形即可判断． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数性质是解答本题的关键． 19.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是二次函数与不等式组，主要要求学生通过观察函数图像的方式来求解不等式． 由题意，可大致画出函数图象，根据图形的对称性，求出点、的坐标，即可求解． 【解答】 解：由题意，可大致画出函数图象如下， 则直线关于轴对称的直线为， 根据图形的对称性，设点、关于轴的对称点分别为点、， 则点、的横坐标分别为，， 观察函数图象的解集为 即的不等式的解集为 故答案为： 20.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数图象与系数的关系二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，当与同号时即，对称轴在轴左侧；当与异号时即，对称轴在轴右侧；常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由决定，时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点根据抛物线开口方向得，由抛物线对称轴为直线，得到，即，由抛物线与轴的交点位置得到，所以；根据二次函数的性质得当时，函数有最大值，则当时，，即；根据抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点在的右侧，则当时，，所以；把先移项，再分解因式得到，而，则，即，然后把代入计算得到． 【解答】 解：抛物线开口向下， ， 抛物线对称轴为直线， ，即，所以正确； 抛物线与轴的交点在轴上方， ， ，所以错误； 抛物线对称轴为直线， 函数的最大值为， 当时，，即，所以正确； 抛物线与轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在的右侧 当时，， ，所以错误； ， ， ， ， 而， ，即， ， ，所以正确． 故答案为． 21.【答案】  ，； 由题意，令， 或． 又， 二次函数图象开口向上． 当时，满足题意的自变量有两部分， 或． 由题意，对于一切实数，若函数值总成立， 即恒成立． 即． 开口向上， ． ． 由题意，抛物线上横坐标为与的两点关于对称轴对称， 对称轴． ． 二次函数为． 当或时，，即此时． 由题意，时，自变量的取值范围是， ．  【解析】解：由二次函数过点， ． ． 二次函数为：． 令， ． 解得，或． ． 故答案为：；． 由题意，令， 或． 又， 二次函数图象开口向上． 当时，满足题意的自变量有两部分， 或． 由题意，对于一切实数，若函数值总成立， 即恒成立． 即． 开口向上， ． ． 由题意，抛物线上横坐标为与的两点关于对称轴对称， 对称轴． ． 二次函数为． 当或时，，即此时． 由题意，时，自变量的取值范围是， ． 依据题意，由二次函数过点代入可得，进而得二次函数解析式，从而可以求出； 依据题意，由令，分别求出对应自变量进而可以得解； 依据题意，由不等式变形得，对于一切实数成立，即对函数与轴无交点，可得，进而可以得解； 依据题意可得抛物线上横坐标为与的两点关于对称轴对称，从而求出，进而得二次函数解析式，再由自变量的取值范围是，可得的值，最后可以求出的范围． 本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键． 22.【答案】解：如图， 设关于的函数关系式为：， 把和代入中得： ， 解得：， 关于的函数关系式为； ， ， 当时，有最大值， 即超市每天销售这种商品获得最大利润时，销售单价为元； 当时，， ， ，， 超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则， 元时的销售单价为元．  【解析】描点，用平滑曲线连接这些点即可得出函数图象是一次函数，待定系数法求解可得； 根据“总利润每千克利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况； 根据题意列方程，解方程即可得到结论． 本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质． 23.【答案】解：因为抛物线经过点，， 所以 解得 所以抛物线的函数表达式为； 证明：设直线对应的函数表达式为， 因为为中点，所以， 又因为， 所以，解得 所以直线对应的函数表达式为， 因为点在抛物线上，所以， 解得，，或， 又因为，所以， 所以， 因为，即满足直线对应的函数表达式， 所以点在直线上，即，，三点共线； 的面积为定值，其面积为．  【解析】见答案； 见答案； 的面积为定值，其面积为． 理由如下： 如图，当，分别运动到点，的位置时，，与，分别关于直线对称，此时仍有，，三点共线． 设与的交点为，则，关于直线对称，即轴， 此时，与不平行，且不平分线段， 故，到直线的距离不相等，即在此情形下与的面积不相等， 所以的面积不为定值； 如图，当，分别运动到点，的位置，且保持，，三点共线．此时与的交点到直线的距离小于到直线的距离， 所以的面积小于的面积，故的面积不为定值； 又因为，，中存在面积为定值的三角形，故的面积为定值； 在的条件下，，，， 直线对应的函数表达式为；直线对应的函数表达式为， 由，解得 ，此时的面积为． 利用待定系数法，构建方程组求解； 求出直线都是解析式，再判断出点的坐标，可得结论； 取特殊位置，判断出，的面积不为定值，可得结论． 本题属于二次函数综合题，考查一次函数和二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 24.【答案】【小题】 解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得，   【小题】 解：点平移后的点的坐标为， 则，解得或舍， 的值为  【小题】 解：当时， 最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去； 当时， 最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 综上所述，的取值范围为．   【解析】  本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， 采用待定系数法即可求解二次函数关系式；   先求出平移后点的坐标，然后把坐标代入解析式即可；   分为，时，时，建立方程解题即可． 25.【答案】解：点在的图象上，横坐标为， ， 直线的解析式为， 点的纵坐标为， ． 假设能在抛物线上，过点作轴于点，过点作轴于点， ， 易得直线的解析式为， 点在直线上，纵坐标为， ， 的中点的坐标为， ，把点坐标代入抛物线的解析式得到． 当点在轴的右侧时，设， 直线的解析式为， ， 如下图，分别过点，点作轴于点，轴于点 ∽ ，代入抛物线的解析式得到，， 解得， 直线的解析式为． 当点在轴的左侧时，即为中点的位置， 同样用构造相似三角形的方法求解 直线的解析式为， 综上所述，满足条件的直线的解析式为或．  【解析】求出点的坐标，得到直线的解析式，即可得出结论； 求出直线的解析式，求出点的坐标，利用矩形的性质求出点的坐标，再利用待定系数法求出的值即可； 分两种情形：当点在轴的右侧时，设，求出点的坐标利用待定系数法构建方程求出即可；当点在轴的左侧时，即为中点的位置，利用中结论即可解决问题． 本题属于二次函数综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标，待定系数法，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，审题中考压轴题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$