2025年河北中考数学一轮复习专题18 圆

专题18 圆 一、选择题： 1.下列说法正确的是(    ) A. 相等的角是对顶角 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 三角形的外心是它的三条角平分线的交点 D. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 2.如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 3.如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形；乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心的两条线段与一段圆弧所围成的图形下列叙述正确的是(    ) A. 只有甲是扇形 B. 只有乙是扇形 C. 只有丙是扇形 D. 只有乙、丙是扇形 4.如图，是的直径，点，在上，，交于点若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 5.如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点，，则的度数是(    ) A. B. C. D. 6.如图，在中，弦的长为，圆心到的距离，则的半径长为(    ) A. B. C. D. 7.如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱单位：电镀时，如果每平方米用锌千克，电镀个这样的锚标浮筒，需要锌的质量为的值取(    ) A. 千克 B. 千克 C. 千克 D. 千克 8.如图，在菱形中，，，点是对角线的中点，以点为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点在扇形内，则图中阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 无法确定 9.如图，已知点为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从点爬到点，则蚂蚁爬行的最短路程为(    ) A. B. C. D. 10.如图，放置在直线上的扇形由图滚动无滑动到图，再由图滚动到图若半径，，则点所经过的最短路径的长是(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 11.一个高为的圆柱形笔筒，底面圆的半径为，那么它的侧面积为______结果保留． 12.如图，的半径为，点，，都在上，若，则的长为          结果用含有的式子表示 13.如图，是的内接正三角形，点是圆心，点，分别在边，上，若，则的度数是______度． 14.如图，是圆的直径，、、、的顶点均在上方的圆弧上，、的一边分别经过点、，则           ． 15.如图，四边形内接于，延长至点，已知那么 ______ 16.已知的直径为，，是的两条弦，，，，则与之间的距离为______． 17.如图，小明在矩形中裁剪出扇形，，为中点，，则扇形的面积为______． 18.圆锥的底面半径为，侧面积为，则这个圆锥的母线长为          ． 19.如图，在每个小正方形的边长为的网格中，等边三角形内接于圆，且顶点，均在格点上． 线段的长为______； 若点在圆上，与相交于点，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，使为等边三角形，并简要说明点的位置是如何找到的不要求证明 ______． 20.如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高，底面直径，球的最高点到瓶底面的距离为，则球的半径为______玻璃瓶厚度忽略不计． 三、解答题： 21.如图，为的弦，，为的三等分点，． 求证：； 若，，求的长． 22.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上． 将向下平移个单位得到，并写出点的坐标； 画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； 在的条件下，求在旋转过程中扫过的面积结果保留． 23.如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在的延长线上，连接． 求证：； 若，，求，两点旋转所经过的路径长之和． 24.如图，在中，，点在上，以为直径的经过上的点，与交于点，且． 求证：是的切线； 若，，求的长． 25.如图，圆中两条互相垂直的弦，交于点． 是的中点，，，求圆的半径长； 点在上，且，求证：． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：、相等的角不一定是对顶角，故本选项说法错误，不符合题意； B、对角线相等的四边形不一定是矩形，故本选项说法错误，不符合题意； C、三角形的外心是它的三条边的垂直平分线的交点，故本选项说法错误，不符合题意； D、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，故本选项符合题意． 故选：． 根据对顶角的定义，矩形的判定，三角形的外心，线段垂直平分线的性质可得出答案． 本题考查了矩形的判定，三角形的外心，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关定理以及性质进而判定出命题的正确性． 2.【答案】  【解析】解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ， 四边形是的内接四边形， ， 故选：． 连接，由是的直径得到，根据圆周角定理得到，得到，再由圆内接四边形对角互补得到答案． 此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 3.【答案】  【解析】解：由扇形的定义可知，只有乙是扇形， 故选：． 根据扇形的定义进行判断． 本题主要考查圆的相关概念，应熟知扇形的定义：由两条半径及其所夹的弧所围成的图形叫做扇形． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．根据圆周角定理得到，，再由得到，然后根据三角形外角性质计算的度数． 【解答】 解：是的直径， ， ， ， ， ． 故选：． 5.【答案】  【解析】解：半径， ， ， ， ， ， ． 故选：． 根据垂径定理得，所以，根据圆周角定理得，再根据，，最后根据三角形的外角的性质即可得出答案． 本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键． 6.【答案】  【解析】【分析】 利用垂径定理，勾股定理求解即可． 【解答】 解：， ， ． 故选：． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查圆锥与圆柱的计算，掌握圆柱、圆锥侧面积的计算方法是正确解答的关键． 求出锚标浮筒上下两部分的圆锥侧面积和中间圆柱体的侧面积的和即可． 【解答】 解：由图形可知圆锥的底面圆的半径为米，圆锥的高为米，圆柱的高为米． 则圆锥的母线长为：米． 圆锥的侧面积米， 圆柱的侧面积米， 浮筒的表面积为米， 每平方米用锌千克， 一个浮筒需用锌：千克， 个这样的锚标浮筒需用锌：千克． 故选：． 8.【答案】  【解析】解：过作，，连接． ， ， ， ． 菱形， 平分， ． 在和中， ， ≌， 面积面积， 四边形面积四边形面积面积， ， ，． ， ， 四边形面积面积， 阴影部分的面积扇形面积四边形面积， 故选：． 过作，，证明≌，故四边形面积面积，再计算即可． 本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，圆周角定理，掌握菱形的性质是解题关键． 9.【答案】  【解析】解：由题意知，底面圆的直径， 故底面周长等于， 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得， 解得， 所以展开图中， 因为半径，， 故三角形为等边三角形， 又为的中点， 所以，在直角三角形中，，， 根据勾股定理求得， 所以蚂蚁爬行的最短距离为． 故选：． 要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 本题考查了平面展开最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 10.【答案】  【解析】解：如图， 点的运动路径的长的长的长 ， 故选：． 利用弧长公式计算即可． 本题考查轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 11.【答案】  【解析】解：它的侧面积为． 圆柱的侧面积底面周长高． 本题考查圆柱的侧面积计算公式． 12.【答案】  【解析】【分析】 利用圆周角定理和圆的弧长公式解答即可． 本题主要考查了圆周角定理，圆的弧长公式，正确利用上述性质解答是解题的关键． 【解答】 解：，， ． 的长为， 故答案为：． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．连接，，根据已知条件得到，根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论． 【解答】 解：连接，， 是的内接正三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14.【答案】  【解析】是圆的直径， 所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为， 、、、所对的弧的和为半圆， ， 故答案为：． 15.【答案】  【解析】【分析】 本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，关键是由圆内接四边形的性质推出． 由圆内接四边形的性质，得到，由邻补角的性质得到，因此，由圆周角定理求出，可得到的度数． 【解答】 解：，， ， ， ． 故答案为：． 16.【答案】或  【解析】解：作于点，延长交于点，连接、，如图， ，， ， ，， 在中，， 在中，， 当点在与之间时，； 当点不在与之间时，； 综上所述，与之间的距离为或． 故答案为：或． 作于点，延长交于点，连接、，如图，利用平行线的性质，根据垂径定理得到，，则利用勾股定理可计算出，，讨论：当点在与之间时，；当点不在与之间时，． 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论． 17.【答案】  【解析】解：， ， 为中点， ， 四边形为矩形， ， ， ， 同理，， ， ． 故答案为：． 根据已知条件求出，从而求出，根据三角函数求出，同理求出，进而求出，再利用扇形的面积公式求出扇形的面积即可． 本题考查扇形面积的计算等，掌握矩形的性质、三角函数和扇形的面积公式是解题的关键． 18.【答案】  【解析】【分析】 根据圆锥的侧面积公式：即可进行计算． 本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是掌握圆锥侧面积公式． 【解答】 解：， ， ． 即这个圆锥的母线长为． 故答案为：． 19.【答案】  取，与网格线的交点，，连接并延长与网格线相交于点；连接与网格线相交于点，连接并延长与网格线相交于点，连接并延长与圆相交于点，连接并延长与 的延长线相交于点，则点即为所求．  【解析】解：． 故答案为：； 如图，点即为所求； 方法：取，与网格线的交点，，连接并延长与网格线相交于点；连接与网格线相交于点，连接并延长与网格线相交于点，连接并延长与圆相交于点，连接并延长与的延长线相交于点，则点即为所求； 理由：可以证明，， ， ≌， ，， ， 是等边三角形． 故答案为：取，与网格线的交点，，连接并延长与网格线相交于点；连接与网格线相交于点，连接并延长与网格线相交于点，连接并延长与圆相交于点，连接并延长与的延长线相交于点，则点即为所求． 利用勾股定理求解即可． 本题考查作图复杂作图，等边三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构造全等三角形解决问题． 20.【答案】  【解析】解：如图，设球心为，过作于，连接， 设球的半径为， 由题意得：，， 由垂径定理得：， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即球的半径为， 故答案为：． 设球心为，过作于，连接，设球的半径为，由垂径定理得然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 21.【答案】证明： ， ， ，为的三等分点， ， ， ， 解：由知， ， ，，∽， ，即， 解得， ．  【解析】根据平行线的性质及圆周角定理求得角之间的关系即可； 根据圆周角定理推出各个角之间的关系、各边之间的关系，再结合图形利用相似三角形的性质得出对应线段成比例，列出方程求解即可． 本题考查圆周角定理及相似三角形的性质，解此类型题目应从图形入手，将圆和三角形的知识结合起来进行求解． 22.【答案】解：如图所示，即为所求，点的坐标为； 如图所示，即为所求，点的坐标为； 如图，在旋转过程中扫过的面积为：．  【解析】依据向下平移个单位，即可得到，进而写出点的坐标； 依据绕点逆时针旋转，即可得到的，进而写出点的坐标； 依据扇形面积公式和三角形面积公式，即可得到在旋转过程中扫过的面积． 本题考查了利用平移变换和旋转变换作图、扇形面积的计算等，利用平移变换作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 23.【答案】证明：由题意，≌，且， ， 是等边三角形， ， ， ． 解：由题意，，，， ，两点旋转所经过的路径长之和．  【解析】只要证明即可， 由题意，，，，利用弧长公式计算即可． 本题考查轨迹，全等三角形的性质，等边三角形的判定，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 24.【答案】证明：连接， 在和中， ， ≌， ， ， 是的半径， 是的切线； 解：设的半径为， 在中，，，，， ， ， 解得， ， ， ， ， 由知≌， ， 的长．  【解析】连接，证明≌，得到，根据切线的判定定理即可证得结论； 中，解直角三角形求得，，进而求得，根据弧长公式即可求得答案． 25.【答案】解：连接，如图， 是的中点，， ， ，， 在中，， 又， ， 即圆的半径长为； 证明：连接，延长交于点，如图， ，， 是的垂直平分线， ，即是等腰三角形， ， ， ， ， 中，， ， ， ，即．  【解析】【分析】 本题考查垂径定理，勾股定理、等腰三角形的性质及判定，以及圆周角定理． 连接，由垂径定理推论可得，在中用勾股定理即可得半径； 连接，延长交于，由已知可证是等腰三角形，，由，有，故，即可由，推出，得，从而得证． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$