精品解析：河南省南阳市唐河县部分初中联考2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2025年河南省重点学校名师押题（A） 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，23小题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，每小题3分，共30分） 1. 如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则最小的实数为（ ） A. a B. b C. c D. d 2. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 据网络平台数据，《哪吒之魔童闹海》（即《哪吒2》）上映21天总票房（含预售及海外）已突破123.19亿元，超过《头脑特工队2》登顶全球动画电影票房榜，同时位居全球影史票房榜第8名．将亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 为发展学生的阅读素养，某校开设了《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目，甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这四个阅读项目中随机抽取一个．则他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形的边长为2，，边 在数轴上，将 绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（ ） A. 1 B. C. 0 D. 9. 化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 加入絮凝剂的体积越大，净水率越高 B. 未加入絮凝剂时，净水率为 C. 絮凝剂的体积每增加，净水率的增加量相等 D. 加入絮凝剂的体积是时，净水率达到 10. 如图，在扇形中，，半径， 是上一点，连接， 是上一点，且，连接．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 单项式的次数是________． 12. 某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下： 50.03 49.98 50.00 49.99 50.02 49.99 50.01 49.97 50.00 50.02 当一个工件的质量（单位：g）满足时，评定该工件为一等品.根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是___________. 13. 如图1是三星堆遗址出土的陶盉（hè），图2是其示意图．已知管状短流，四边形是器身，．器身底部 距地面的高度为，则该陶盉管状短流口 距地面的高度约为___________（结果精确到）（参考数据：） 14. 定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为______． 15. 如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿 ， 向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解不等式组：． 17. 某地两块试验田中分别栽种了甲、乙两种小麦，为了考察这两种小麦的长势，分别从中随机抽取16株麦苗，测得苗高（单位：）如下表． 甲 7 8 10 11 11 12 13 13 14 14 14 14 15 16 16 18 乙 7 10 13 11 18 12 13 13 10 13 13 14 15 16 11 17 将数据整理分析，并绘制成以下不完整的统计表格和频数分布直方图． 苗高分组 甲种小麦的频数 a b 7 3 小麦种类 统计量 甲 乙 平均数 12.875 12.875 众数 14 d 中位数 c 13 方差 8.65 7.85 根据所给出的信息，解决下列问题： （1）______，______，并补全乙种小麦的频数分布直方图； （2）______，______； （3）甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是______（填甲或乙）；若从栽种乙种小麦的试验田中随机抽取1200株，试估计苗高在（单位：）的株数． 18. 如图，已知直线． （1）在所在的平面内求作直线 ，使得 ，且 与间的距离恰好等于 与间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若与间的距离为2，点分别在上，且 为等腰直角三角形，求 的面积． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于， 两点，与，轴分别相交于点 ， ．且． （1）分别求这两个函数的表达式； （2）以点 为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点 ，连接， ．求的面积； （3）根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集． 20. 如图，在 中， 是直径，是弦，点F是上一点，，交于点C，点D为 延长线上一点，且． （1）求证： 是 的切线． （2）若，求 的半径长． 21. 【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 （1）问题一：求出两种书架的单价； （2）问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； （3）问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 22. 消防演练中，水枪喷出的水流是如图的一条抛物线，水流的高度y（单位：m）与离高楼的水平距离x（单位：m）之间具有二次函数关系．从地面离高楼水平距离的点A处，水枪喷出的水流在与高楼的水平距离为处达到最高，高度为，水流落到高楼的点B处． （1）求水流抛物线的解析式； （2）已知高楼的点C处，离地面的高度是． ①若在地面点A处竖直升高水枪的高度，使水枪喷出的水流恰好落到高楼的点C处，求水枪竖直升高的高度； ②若在地面点A处水平移动水枪的位置，使水枪喷出的水流恰好落到高楼的点C处，直接写出水枪水平移动的方法． 23. 综合与实践 如图，在 中，点D是斜边 上的动点（点D与点A不重合），连接 ，以 为直角边在 的右侧构造，，连接 ，． 特例感知 （1）如图1，当时， 与 之间的位置关系是______，数量关系是______； 类比迁移 （2）如图2，当时，猜想 与 之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于 对称，连接，， ，如图3．已知，设，四边形的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当时，请直接写出 的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河南省重点学校名师押题（A） 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，23小题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，每小题3分，共30分） 1. 如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则最小的实数为（ ） A. a B. b C. c D. d 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据数轴比较实数的大小．根据数轴上右边的数总比左边的大即可判断． 【详解】解：由数轴知，， 则最小的实数为a， 故选：A． 2. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键． 主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示： 故选：C． 3. 如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用平行线的性质求角的度数，平角的定义求出的度数，再根据平行线的性质，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵两个平面镜平行放置， ∴经过两次反射后的光线与入射光线平行， ∴； 故选C． 4. 据网络平台数据，《哪吒之魔童闹海》（即《哪吒2》）上映21天总票房（含预售及海外）已突破123.19亿元，超过《头脑特工队2》登顶全球动画电影票房榜，同时位居全球影史票房榜第8名．将亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：亿， 故选：B． 5. 已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式及一次函数和反比例函数的图象．首先根据一元二次方程无实数根确定k的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质确定其图象的位置． 【详解】解：∵方程无实数根， ∴， 解得：，则函数的图象过二，四象限， 而函数的图象过一，三象限， ∴函数与函数的图象不会相交，则交点个数为0， 故选：A． 6. 为发展学生的阅读素养，某校开设了《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目，甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这四个阅读项目中随机抽取一个．则他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，掌握画树状图法或列表法是关键，事件发生的概率 事件发生的次数所有可能出现的次数，解题的易错点是分清题目中抽签是否放回．先画树状图求出两位同学恰好都抽到同一个阅读项目的情况，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：设《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目分别为， 画树状图如下： 一共有16种等可能的结果，其中恰好抽到同一个阅读项目的结果有4种可能， ∴他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是， 故选：D． 7. 若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得：，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， 故选：A． 8. 如图，菱形 的边长为2，，边 在数轴上，将 绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理．作于点 ，利用菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理计算即可． 【详解】解：作于点 ， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵点E表示的数是3， ∴点A表示的数是， 故选：D． 9. 化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 加入絮凝剂的体积越大，净水率越高 B. 未加入絮凝剂时，净水率为 C. 絮凝剂的体积每增加，净水率的增加量相等 D. 加入絮凝剂的体积是时，净水率达到 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查从图像上获取信息，能从图像上获得信息是解题的关键，根据图像信息对选项进行判断即可 【详解】A、从图像上可以看到，加入絮凝剂的体积在达到最大净水率，之后净水率开始降低，不符合题意，选项错误； B、未加入絮凝剂时，净水率为，故不符合题意，选项错误； C、当絮凝剂的体积为时，净水率增加量为，絮凝剂的体积为时，净水率增加量为；故絮凝剂的体积每增加，净水率的增加量不相等，不符合题意，选项错误； D、根据图像可得，加入絮凝剂的体积是时，净水率达到，符合题意，选项正确； 故选：D 10. 如图，在扇形中，，半径 ， 是上一点，连接 ， 是 上一点，且，连接 ．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质；连接 ，根据，，易证是等腰三角形，再根据，推出是等边三角形，得到，即可求出，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：连接 ， ，， ， 是等腰三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 单项式的次数是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据单项式次数的定义进行解答即可． 【详解】解：单项式中，的指数是 ，的指数是 ， ∴此单项式的次数为：． 故答案为： ． 【点睛】本题考查单项式的次数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．理解和掌握单项式次数的定义是解题的关键． 12. 某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下： 50.03 49.98 50.00 49.99 50.02 49.99 50.01 49.97 50.00 50.02 当一个工件的质量 （单位：g）满足时，评定该工件为一等品.根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是___________. 【答案】160 【解析】 【分析】本题考查了用样本估计总体，熟练掌握知识点是解题的关键． 先计算出10个工件中为一等品的频率，再乘以总数200即可求解． 【详解】解：10个工件中为一等品的有49.98，50.00，49.99，50.02，49.99，50.01，50.00，50.02这8个， ∴这200个工件中一等品的个数为个， 故答案为：160． 13. 如图1是三星堆遗址出土的陶盉（hè），图2是其示意图．已知管状短流，四边形是器身，．器身底部 距地面的高度为，则该陶盉管状短流口 距地面的高度约为___________（结果精确到）（参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的知识，解题的关键是过点 作交 于点 ，过点 作交的延长线于点 ，根据，求出，根据，求出，根据，，求出，根据该陶盉管状短流口 距地面的高度为：，即可． 【详解】解：过点 作交 于点 ，过点 作交的延长线于点 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴该陶盉管状短流口 距地面的高度为：． 故答案为：． 14. 定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，坐标与图形．根据题意，点向上平移2个单位，得到点，再根据题意将点绕原点按逆时针方向旋转，得到，，据此求解即可． 【详解】解：根据题意，点向上平移2个单位，得到点， ∴，， ∴，， ∴， 根据题意，将点绕原点按逆时针方向旋转， ∴， 作轴于点 ， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 15. 如图，矩形 中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿 ， 向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，确定点 的运动轨迹是解题的关键．由勾股定理可求 的长，由可证，可得，由，可得点 在以为直径的圆上运动，则为直径时，有最大值为1，即可求解． 【详解】解：连接 ，交于 ， 四边形 是矩形， ，， ，， ， 动点 ， 分别从点 ， 同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿 ， 向终点 ， 运动， ， ， ， 又， ， ，， ， 点 在以为直径的圆上运动， 为直径时，有最大值为1， 故答案为：1 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，解一元一次不等式组： （1）先计算算术平方根，零指数和乘方，再计算乘除法，最后计算加减法即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） ； （2） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 17. 某地两块试验田中分别栽种了甲、乙两种小麦，为了考察这两种小麦的长势，分别从中随机抽取16株麦苗，测得苗高（单位：）如下表． 甲 7 8 10 11 11 12 13 13 14 14 14 14 15 16 16 18 乙 7 10 13 11 18 12 13 13 10 13 13 14 15 16 11 17 将数据整理分析，并绘制成以下不完整的统计表格和频数分布直方图． 苗高分组 甲种小麦的频数 a b 7 3 小麦种类 统计量 甲 乙 平均数 12.875 12.875 众数 14 d 中位数 c 13 方差 8.65 7.85 根据所给出的信息，解决下列问题： （1）______，______，并补全乙种小麦的频数分布直方图； （2）______，______； （3）甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是______（填甲或乙）；若从栽种乙种小麦的试验田中随机抽取1200株，试估计苗高在（单位：）的株数． 【答案】（1）2，4， 补全后的乙种小麦的频数分布直方图如下： （2）13.5，13； （3）乙，375． 【解析】 【分析】本题考查的是数据的整理，画频数分布直方图，众数和中位数的定义，根据方差作决策，用样本估计总体．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）根据题中数据和频数分布直方图的，即可直接得到、，以及乙种小麦的株数，再画出频数分布直方图，即可解题； （2）根据众数和中位数的概念，即可解题； （3）可根据方差的意义作出判断，根据统计表和统计图得到乙种小麦苗高在的所占比，再利用总数乘以其所占比，即可解题． 【小问1详解】 解：由表可知：甲种小麦苗高在的有7、8，故； 甲种小麦苗高在的有10、11、11、12，故， （株）， 故答案为：2，4； 【小问2详解】 解：由表可知：乙种小麦苗高最多，为5次，故； 将甲种小麦苗高从小到大排列得7、8、10、11、11、12、13、13、14、14、14、14、15、16、16、18，故中位数为，即； 故答案为：； 【小问3详解】 解：乙种小麦方差甲种小麦方差8.65， 甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是乙， 由题可知：乙种小麦随机抽取16株麦苗中苗高在有5株， 若从栽种乙种小麦的试验田中随机抽取1200株，苗高在的株数为： （株）． 18. 如图，已知直线． （1）在所在的平面内求作直线，使得，且与间的距离恰好等于与间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若与间的距离为2，点分别在上，且 为等腰直角三角形，求 的面积． 【答案】（1） 如图，直线就是所求作的直线． （2） 的面积为1或． 【解析】 【分析】本题主要考查基本作图，平行线的性质，全等三角形的判定，勾股定理以及分类讨论思想： （1）先作出与的垂线，再作出夹在间垂线段的垂直平分线即可； （2）分；；三种情况，结合三角形面积公式求解即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①当时， ，直线与间的距离为2，且与间的距离等于与间的距离，根据图形的对称性可知：， ， ． ②当时， 分别过点作直线的垂线，垂足为， ． ，直线与间的距离为2，且与间的距离等于与间的距离， ． ，， ，， ． 在中，由勾股定理得， ． ． ③当时，同理可得，． 综上所述， 的面积为1或． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于， 两点，与 ，轴分别相交于点 ， ．且． （1）分别求这两个函数的表达式； （2）以点 为圆心，线段的长为半径作弧与 轴正半轴相交于点 ，连接， ．求的面积； （3）根据函数的图象直接写出关于 的不等式的解集． 【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，解直角三角形： （1）先求出得到，再解直角三角形得到，则，据此利用待定系数法求出一次函数解析式，进而求出点A的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出对应的反比例函数解析式即可； （2）先求出点B的坐标，再利用勾股定理建立方程求出点E的坐标，最后根据，求解面积即可； （3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， 把代入中得：，解得， ∴一次函数解析式为， 在中，当时， ， ∴， 把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：联立 解得或， ∴； 设， 由题意得，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或， ∴关于 的不等式的解集为或． 20. 如图，在 中， 是直径，是弦，点F是上一点，，交于点C，点D为延长线上一点，且． （1）求证： 是 的切线． （2）若，求 的半径长． 【答案】（1）证明： ． ， ． 即 ． 又∵ 为半径， 是 的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）圆周角定理推出，根据，结合三角形的内角和定理，推出，即即可得证； （2）连接，易得，直径得到在中，勾股定理求出 的长，三角函数求出 的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接． ∴． 是直径， ． 在中，． ． 又 是直径 的半径长为． 21. 【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 （1）问题一：求出两种书架的单价； （2）问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； （3）问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 【答案】（1）1200元；1000元 （2）；购买A种书架8个，B种书架12个 （3）120 【解析】 【分析】本题考查运用分式方程，一次函数，一元一次方程解决实际问题． （1）设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元，用18000元购买A种书架个，用9000元购买B种书架个，根据素材二即可列出方程，求解并检验即可解答； （2）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用即可列出函数，根据资料三求出自变量a的取值范围，再根据一次函数的增减性即可求出总费用的最小值； （3）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用列出一元一次方程，求解即可解答． 【小问1详解】 解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元． 由题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ． 答：两种书架的单价分别为1200元，1000元． 【小问2详解】 解：购买a个A种书架时，购买总费用， 即， 由题意得，a应满足：，解得． ， ∴w随着a的增大而增大， 当时，w的值最小，最小值为， 费用最少时购买A种书架8个，B种书架12个． 【小问3详解】 解：由题意得 ， 解得． 22. 消防演练中，水枪喷出的水流是如图的一条抛物线，水流的高度y（单位：m）与离高楼的水平距离x（单位：m）之间具有二次函数关系．从地面离高楼水平距离的点A处，水枪喷出的水流在与高楼的水平距离为处达到最高，高度为，水流落到高楼的点B处． （1）求水流抛物线的解析式； （2）已知高楼的点C处，离地面的高度是． ①若在地面点A处竖直升高水枪的高度，使水枪喷出的水流恰好落到高楼的点C处，求水枪竖直升高的高度； ②若在地面点A处水平移动水枪的位置，使水枪喷出的水流恰好落到高楼的点C处，直接写出水枪水平移动的方法． 【答案】（1）； （2）①水枪竖直升高的高度为；②或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，能够求出二次函数解析式是解题关键； （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）①先设出平移后的解析式，然后代入 点坐标进行计算即可；②同①方式进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，， ∴设抛物线的解析式为：， ∵抛物线经过点， ， 解得：， ∴水流抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：①设水枪竖直升高的高度为， ∴向上平移后抛物线的解析式为：， ∵过点， ， 解得：， 答：水枪竖直升高的高度为； ②设水枪水平向左移动， ∴向左平移后抛物线的解析式为：， ∵过点， ， 解得：，， 答：水枪水平向左移动或． 23. 综合与实践 如图，在 中，点D是斜边 上的动点（点D与点A不重合），连接 ，以 为直角边在 的右侧构造，，连接 ，． 特例感知 （1）如图1，当时， 与 之间的位置关系是______，数量关系是______； 类比迁移 （2）如图2，当时，猜想 与 之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于 对称，连接 ，，，如图3．已知 ，设，四边形的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当时，请直接写出 的长度． 【答案】（1），（2） 与 之间的位置关系是，数量关系是；（3）①y与x的函数表达式，当时，的最小值为；②当时， 为或. 【解析】 【分析】（1）先证明，，，可得；再结合全等三角形的性质可得结论； （2）先证明，，结合，可得；再结合相似三角形的性质可得结论； （3）①先证明四边形为正方形，如图，过 作于 ，可得，，再分情况结合勾股定理可得函数解析式，结合函数性质可得最小值；②如图，连接 ，，，证明，可得在 上，且为直径，则，过 作于 ，过 作于 ，求解正方形面积为,结合，再解方程可得答案. 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴； ∴，， ∴， ∴， ∴ 与 之间的位置关系是，数量关系是； （2） 与 之间的位置关系是，数量关系是；理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴； ∴，， ∴， ∴， ∴ 与 之间的位置关系是，数量关系是； （3）由（1）得：，，， ∴ ，都为等腰直角三角形； ∵点F与点C关于 对称， ∴为等腰直角三角形；， ∴四边形为正方形， 如图，过 作于 ， ∵，， ∴，， 当时， ∴， ∴， 如图，当时， 此时， 同理可得：， ∴y与x的函数表达式为， 当时，的最小值为； ②如图，∵，正方形，记正方形的中心为 ， ∴， 连接 ，，， ∴， ∴在 上，且为直径， ∴， 过 作于 ，过 作于 ， ∴，， ∴， ∴， ∴正方形面积为, ∴， 解得：，，经检验都符合题意， 如图， 综上：当时， 为或. 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，二次函数的性质，圆的确定及圆周角定理的应用，本题难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $