精品解析：福建省漳州市第二中学2024-2025学年高三下学期阶段性检测（一）数学试题

绝密★启用前 2024—2025学年第二学期高三阶段性检测（一） 数 学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合，则（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次不等式解出集合，再求交集即可. 【详解】由题意可得， 又因为 所以. 故选：B 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的周期性以及复数的除法运算化简即可求解. 【详解】， 故选：B 3. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据与的关系及等比数列的通项求出的通项，再根据等比数列的前项和公式求出，再逐一判断即可. 【详解】由， 当时，， 当时，， 所以， 所以数列从第二项开始是以为首项，为公比的等比数列， 所以，， 所以， 故ABC错误，D正确. 故选：D 4. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为个圆，则该圆锥的母线长为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积公式和圆的面积公式列出关系式，得到与的关系即可求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线为， 由圆锥的侧面积公式可得，解得， 因为，所以. 故选：C. 5. 下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性逐一判断即可. 【详解】对于A，因为函数为减函数，， 所以，故A错误； 对于B，因为函数是减函数，， 所以，故B错误； 对于C，因为，而， 因为函数在上单调递增， 所以，故C错误； 对于D，因为，， 所以，故D正确. 故选：D. 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数求导可证明，即可求解，进而根据指数以及对数的性质求解. 【详解】记则， 故当时，，故在单调递增， 当时，，故在单调递减， 故，因此对任意的，都有， 当且仅当时取到等号， 故，故，故， 由于，因此， 故选：A 7. 已知函数，如图，是直线与曲线的两个交点，若，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据可得，进而可求解，根据可得，即可代入求解. 【详解】根据可得，故,故， 令，故或, 结合图象可知, 因此故， 因此故， 故选：B 8. 已知椭圆的左，右焦点分别为，点在椭圆上，连接并延长交椭圆于点.若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义及勾股定理列式求出离心率. 【详解】设，由，得，， 由椭圆定义得， 由，得，则， 解得，，令椭圆的半焦距为c， 由，得，解得， 所以椭圆的离心率为. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，则下列结论正确的是（ ） A. 事件A与B为互斥事件 B. 事件两两独立 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据互斥事件、独立事件的定义和条件概率公式即可解答. 【详解】对于选项A，因为，所以事件与不互斥，故A错误； 对于选项B，， ，故B正确； 对于选项C，交集为，则，故C错误； 对于选项D，，故D正确. 故选：BD. 10. 函数的图象可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对，，三种情况讨论判断即可. 【详解】当是，，故A符合； 当时，在上单调递减，且，故B符合； 当时，由为上的单调递增函数， 令，则，即， 因为，可得，所以在上的单调递增函数， 所以，所以有唯一解， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知数列满足：，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是单调递增数列 C. 若为数列的前项和，则 D. 若对任意，都有，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据累乘法可得，即可判断A,根据即可求解B，根据裂项相消法即可求解C，根据单调性，对分奇偶即可求解D. 【详解】由，可得， 故, 也符合， 故，，A正确， 由于，故，因此是单调递增数列，B正确， ， 故，C正确， 由可定， 当为偶数时，则恒成立，由于单调递增，故， 当为奇数时，则恒成立，由于单调递增，故， 故对任意，都有，则，故D错误， 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 二项式的展开式的常数项是______. 【答案】 【解析】 【分析】的展开式的通项为，令，求出，再代入通项公式计算即可. 【详解】的展开式的通项为 令，解得， 所以展开式的常数项. 故答案为：. 13. 若函数有最小值，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数探讨函数在上单调性及对应函数值集合，再由给定最值情况求出范围. 【详解】当时，，求导得， 函数在上单调递增，在时的取值集合为， 当时，，没有最小值， 由函数在R上有最小值，得在上单调递减，且， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为： 14. 已知双曲线的左焦点为，过点且倾斜角为的直线与的左支交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则双曲线的离心率是______. 【答案】## 【解析】 【分析】联立直线与双曲线的方程，求出点坐标，由给定关系求出离心率. 【详解】设双曲线的半焦距为，则，直线方程为， 由消去得， ，设，则， 于是点，， 解得，所以双曲线的离心率. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某景区经过提质改造后统计连续5天进入该景区参观的人数（单位：千人）如下： 日期 3月5日 3月6日 3月7日 3月8日 3月9日 第x天 1 2 3 4 5 参观人数y 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9 （1）建立关于回归直线方程，预测第10天进入该景区参观的人数； （2）该景区只开放东门，西门供游客出入，游客从东门，西门进入该景区的概率分别为、，且出景区与进入景区选择相同的门的概率为，出景区与进入景区选择不同的门的概率为.假设游客从东门，西门出入景区互不影响，求甲，乙两名游客都从西门出景区的概率. 附：参考数据：. 参考公式：回归直线方程，其中，. 【答案】（1），约为千人； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用最小二乘法公式求出回归直线方程，再估计第10天进入该景区参观的人数. （2）利用全概率公式分别求出甲，乙从西门出景区的概率，再利用相互独立事件概率的乘法公式求解. 【小问1详解】 依题意，，而， 则，， 因此，当时，， 所以关于的回归直线方程为，第10天进入该景区参观的人数约为千人. 【小问2详解】 记“甲从西门进入景区”为事件，“甲从西门出景区”为事件，“乙从西门出景区”为事件， ，， 由全概率公式得，同理， 所以甲，乙两名游客都从西门出景区的概率. 16. 设抛物线的焦点为，过的直线与相交于两点，是坐标原点.当的斜率为2时，. （1）求抛物线的方程； （2）若，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设的方程为，联立方程利用根与系数可得，求解即可； （2）法一，斜率不存在时，不符合题意，当斜率存在时，设方程为，两点，与抛物线方程联立可得，结合向量的数量积可得，求解即可.法二，由题可知，直线斜率不为0，设的方程为，两点，与抛物线方程联立，可得，利用向量的数量积可得，求解即可. 【小问1详解】 当斜率为2时，设的方程为， 联立，消得， ，解得. 故抛物线的方程为. 【小问2详解】 解法一： 当垂直轴时，直线方程为，可得两点坐标分别为， 所以，， 由余弦定理可得，不符合题意， 设的方程为，两点， 联立，消得， 显然成立，并有. ， ， 由得，，解得. 从而方程为或， 即的方程为或. 解法二： 由题可知，直线斜率不为0， 设的方程为，两点， 联立，.消得， 显然成立，并有， ， ， 由得，， 解得，从而方程为， 故直线的方程为或. 17. 如图，在四棱锥中，底面为棱的中点，四面体的体积为的面积为. （1）求证：平面； （2）求点到平面距离； （3）若，平面平面，点为棱上一点，当平面与平面夹角为时，求的长. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，利用线面平行的判定，结合平行四边形性质推理得证. （2）由线面平行的判定证得平面，结合体积公式求出点到平面的距离即可. （3）取的中点，利用面面垂直的性质、线面垂直的判定证得，再建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解. 【小问1详解】 在四棱锥中，取的中点，连接， 在中，由分别为的中点，得， 又，则， 即四边形为平行四边形，，而平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 设点到平面的距离为，由四面体的体积为的面积为， 得，解得， 而平面平面，则平面， 所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 取的中点，连接，由，得，由平面平面， 平面平面平面，得平面，即， 则，由平面平面，得， 又平面平面，则，而平面， 因此平面，又平面，则， 而的面积为，，则，， 由，得，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设， 则， ，设平面的法向量为， 则，取，得，设平面的法向量为， 则，取，得， ，由平面与平面的夹角为， 得，解得，即为的中点， 所以. 18. 已知函数在处的切线与直线垂直. （1）求函数的单调区间； （2）若对任意恒成立，求实数的值； （3）对于函数，规定：，叫做函数的阶导数.若对任意恒成立，求满足条件的正整数的最小值. 【答案】（1）答案见详解 （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得，进而利用导数求单调区间； （2）构建，可知对任意恒成立，注意到，可得，，并代入检验充分性； （3）可设，根据求导法则结合数列知识可得，，分析可知对任意恒成立，结合二次函数运算求解即可. 【小问1详解】 由题意可知：函数的定义域为，则， 若函数在处的切线与直线垂直， 则，解得，所以， 令，则，解得或； 令，则，解得； 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 构建，则， 由题意可知：对任意恒成立，且， 则，解得， 若，则， 构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，即对任意恒成立， 且对任意恒成立， 可知对任意恒成立，所以符合题意； 综上所述：. 【小问3详解】 由（1）可知：， 根据求导法则可设，其中， 则， 则 可知数列是以首项为2，公差为2的等差数列，则， 对于，则， 当时， ， 且符合上式，所以， 则， 若对任意恒成立， 则对任意恒成立， 且的图象开口向上，对称轴为， 可知在内单调递增，则，解得， 所以满足条件的正整数的最小值为3. 19. 若数列满足，且，则称数列为“稳定数列”. （1）若数列为“稳定数列”，求的取值范围； （2）若数列的前项和，判断数列是否为“稳定数列”，并说明理由； （3）若无穷数列为“稳定数列”，且的前项和为，证明：当时，. 【答案】（1） （2）数列不是 “稳定数列”，理由见解析. （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）将数据代入已知不等式，求解即可； （2）先利用求出数列的通项公式，然后再判断是否满足“稳定数列”定义即可； （3）先利用，建立不等式，两式相加化简，得，构成一个新的数列，有然后，讨论其相邻两项的正负，分别计算即可. 【小问1详解】 由“稳定数列”的定义可知,， 解得，又因为，所以. 【小问2详解】 数列不是 “稳定数列”，理由如下 令，得， 当时，， 检验，当时，， 故，所以，， 要使“稳定数列”，则需， 即恒成立； 所以有， 显然不可能恒小于等于零， 故不能恒成立， 所以数列不是 “稳定数列”； 【小问3详解】 由题可知，且， 则与两式相加 得 ， 令， 则有， 分类讨论， 第一类， ， ，， 因为，所以有， 所以有， 得， 第二类，， 则有， 则有，， ， 得到， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以当为偶数时，，得， 当为奇数时，， 又因为， 所以， 所以， 所以得. 【点睛】关键点点睛：该题为数列新概念题，第一问和第二问,按照其概念计算即可；第三问,需要建立新的递推公式，得到一个找到数列不同项之间的关系，然后建立不等式求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2024—2025学年第二学期高三阶段性检测（一） 数 学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合，则（     ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆锥底面半径为，其侧面展开图为个圆，则该圆锥的母线长为（ ） A. 4 B. C. D. 5. 下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，如图，是直线与曲线的两个交点，若，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 8. 已知椭圆左，右焦点分别为，点在椭圆上，连接并延长交椭圆于点.若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设样本空间，且每个样本点是等可能，已知事件，则下列结论正确的是（ ） A. 事件A与B为互斥事件 B. 事件两两独立 C. D. 10. 函数的图象可以是（ ） A. B. C D. 11. 已知数列满足：，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是单调递增数列 C. 若为数列的前项和，则 D. 若对任意，都有，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 二项式的展开式的常数项是______. 13. 若函数有最小值，则实数的取值范围是______. 14. 已知双曲线的左焦点为，过点且倾斜角为的直线与的左支交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则双曲线的离心率是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某景区经过提质改造后统计连续5天进入该景区参观的人数（单位：千人）如下： 日期 3月5日 3月6日 3月7日 3月8日 3月9日 第x天 1 2 3 4 5 参观人数y 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9 （1）建立关于的回归直线方程，预测第10天进入该景区参观的人数； （2）该景区只开放东门，西门供游客出入，游客从东门，西门进入该景区概率分别为、，且出景区与进入景区选择相同的门的概率为，出景区与进入景区选择不同的门的概率为.假设游客从东门，西门出入景区互不影响，求甲，乙两名游客都从西门出景区的概率. 附：参考数据：. 参考公式：回归直线方程，其中，. 16. 设抛物线的焦点为，过的直线与相交于两点，是坐标原点.当的斜率为2时，. （1）求抛物线的方程； （2）若，求直线的方程. 17. 如图，在四棱锥中，底面为棱的中点，四面体的体积为的面积为. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）若，平面平面，点为棱上一点，当平面与平面夹角为时，求的长. 18. 已知函数在处的切线与直线垂直. （1）求函数的单调区间； （2）若对任意恒成立，求实数的值； （3）对于函数，规定：，叫做函数的阶导数.若对任意恒成立，求满足条件的正整数的最小值. 19. 若数列满足，且，则称数列为“稳定数列”. （1）若数列为“稳定数列”，求的取值范围； （2）若数列的前项和，判断数列是否为“稳定数列”，并说明理由； （3）若无穷数列为“稳定数列”，且的前项和为，证明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$