精品解析：福建省漳州市第二中学2024-2025学年高三下学期阶段性检测（二）数学试题

2024—2025学年第二学期高三阶段性检测（二） 数 学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式求出集合，然后由并集运算可得. 【详解】解不等式得，即， 又，所以. 故选：A 2. 若复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数除法运算法则计算，然后求虚部即可. 【详解】， 所以的虚部为. 故选：D. 3. 已知某机械在生产正常的情况下，生产出的产品的指标参数符合正态分布.现从该机械生产出的所有产品中随机抽取2件，则这2件产品的质量指标分别在）和的概率为（ ）（运算结果保留小数点后两位）参考数据：若服从正态分布，则，. A. 0.57 B. 0.75 C. 0.80 D. 0.84 【答案】C 【解析】 【分析】由正太分布概率计算及概率乘法公式即可求解. 【详解】， ， 故所求概率， 故选：C. 4. 已知互不相等的数据，，，，，的平均数为，方差为，数据，，，，，的方差为，则（ ） A. B. C. D. 与的大小关系无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给数据分别计算、比较大小即可求解. 【详解】根据已知条件第一组数据个数为个，且， 所以， ， 第二组数据的个数为个，且平均数， ， 因为， 所以. 故选：C 5. 若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，则圆锥母线与底面所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用题干条件求得圆锥母线与高的关系，结合三角函数定义即可求得圆锥母线与底面所成角的大小. 【详解】设圆锥底面的半径为，母线长为，高为，则由题意得，解得， 设圆锥母线与底面所成角为，则， 所以圆锥母线与底面所成角的大小为. 故选：A. 6. 在的展开式中，的系数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由二项式定理展开式的通项求解即可. 【详解】展开式的通项为， 令， 所以的系数是. 故选：D 7. 若，若为偶函数，则（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先令解得的值，再利用定义检验为偶函数. 【详解】， ， 若为偶函数，则， 左右两边同时乘以得，，即， 得，解得； 检验：当时，， ，则，故为偶函数. 故选：A 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，若的内心为，且与共线，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据与共线，求出点的纵坐标，再根据的面积及双曲线的定义求出，从而可求出点的坐标，代入双曲线方程即可得解. 【详解】设，依题意可设， 所以，则， 故， 化简得, 又， 所以， 因为，点在双曲线上，且， 所以在双曲线的右支上， 所以， 则，解得， 所以的坐标为， 代入双曲线方程中，得，解得， 故所求渐近线的方程为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，其中，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 在上单调递减 D. 在上有6个零点 【答案】AD 【解析】 【详解】由坐标可得周期；由图象可知对称轴为，故利用对称性和周期性可得；将的图象向后延拓即可判断C D选项. 【分析】依题意得，，则，故A正确； 由图可知对称轴为，则， 又，则，故，故B错误； 延长的图象如图所示，观察可知，在上先减后增，故C错误； 在上有6个零点，故D正确. 故选：AD. 10. 已知函数满足，，则（ ） A. B. 对于任意，有三个零点 C. 对于任意，有两个极值点 D. 存在，使得点为曲线对称中心 【答案】AB 【解析】 【分析】根据，即可判断A；由A选项知，，利用导数求出函数的单调区间，再根据零点的存在性定理即可判断B；举出反例，结合极值点的定义即可判断C；要使点为曲线对称中心，则为定值，由此即可判断D. 【详解】对于A，由，， 可得，即，故A正确； 对于B，由A选项可得， 则，则， 当时，令，则， 令，则或， 令，则， 所以函数在上单调递增， 在上单调递减， 由，可得， 而，所以， 又当时，，当时，， 所以函数在和都存在一个零点， 所以对于任意，有三个零点，故B正确； 对于C，当时， ，则， 由， 得恒成立， 所以函数在上单调递增， 所以函数无极值点，故C错误； 对于D，要使点为曲线对称中心， 则为定值， 而 ， 因为为定值， 所以，解得， 所以不存在，使得点为曲线对称中心，故D错误. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，空间中的点满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的最大值为 C. 若，则平面截该正方体的截面面积的最小值为 D. 若，则平面与平面夹角的正切值的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用空间向量的模建立方程求出最小值判断B；作出截面并求出最小面积判断C；利用面面角的向量求法求解判断D. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 由，得，即点， 对于A，，则点，，， ，因此，A正确； 对于B，，则，即， 令，则， 其中锐角由确定，则当时，的最大值为，B正确； 对于C，，在边上，且， 因平面平面，设平面平面， 而平面平面，则，同理， 因此是平面截该正方体的截面， 点到直线距离 ，当且仅当时取等号， ，C错误； 对于D，因， 设平面的法向量，则， 令，得； 又，因，则， 令平面的法向量，则， 令，得. 设平面与平面的夹角为， 则，， 当时，，当时，， 当且仅当或时取等号，因，此时最小，，， 因此平面与平面夹角的正切值的最小值为，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据离心率公式和双曲线的的关系进行求解 【详解】由题知：，双曲线的渐近线方程为 故答案为 【点睛】本题考查双曲线渐近线的求法，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质 13. 某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件发生，该公司要赔偿元.设在一年内发生的概率为，为使公司收益的期望值等于的百分之十，公司应要求顾客交保险金为______. 【答案】 【解析】 【分析】设保险公司要求顾客交元保险金，求出收益额的分布列和数学期望，根据即可求出的值，即为答案. 【详解】设保险公司要求顾客交元保险金，若表示公司每年的收益额，则是一个随机变量， 的取值范围为，， 则的分布列为 因此，公司每年收益的期望值， 为使公司收益的期望值等于的百分之十，所以，解得. 故答案为：. 14. 设表示有限集合中元素的个数，已知函数，若，其中为常数，且，则的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数研究的单调性，进而求出极值，再作出函数图象，最后把给定条件转化为和，共有两个交点，再求解参数范围即可. 【详解】由题意得的定义域为， 因为，所以， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故的极小值为，而当时，，且， 令，则， 当时，， 则在上的图象越来越陡峭，我们作出和的图象， 结合图象可得与在上只有一个交点， 令，则，解得，而， 得到与的图象在上的交点的横坐标， 因为， 所以和，共有两个交点， 此时的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）证明：“在上单调递增”是“在上单调递增”的充要条件. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数在某点处的导数的几何意义求斜率，进而得切线方程； （2）将函数的单调性转化为关于导函数的恒成立问题，再参变分离求最值即可. 【小问1详解】 因为，所以，得， 由，得， 则，， 所以曲线在点处的切线方程为，化简得. 【小问2详解】 若在上单调递增，则对恒成立， 则对恒成立，又函数是增函数，所以， 若在上单调递增，则对恒成立， 则对恒成立，又函数是增函数，所以， 所以“在上单调递增”是“在上单调递增”的充要条件. 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． （1）求证：； （2）若是锐角三角形，且角A的平分线交BC边于D，且，求边b的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，利用正弦定理以及两角和差的正弦公式化简得到，再根据角的范围即可证明； （2）根据三角形形状及交的关系确定角的范围，在中利用正弦定理求得关于角的表达式，构造函数，利用函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 因为，由正弦定理有：， 所以， ， ， ， 因为、，所以， 又因为，所以，所以， 因为， 所以有：，，或，（舍）， 所以得证. 【小问2详解】 因为是锐角三角形，，所以， 所以，解得， 因为为的平分线，且， 所以，所以， 在中，，， 由正弦定理有：，即， 所以 ， 因为，所以， 令，则，， 令，， 根据函数解析式，在上单调递减， 因为，，所以， 所以. 17. 已知抛物线的准线方程为，直线与交于两点. （1）求的标准方程. （2）若，为坐标原点，证明：. （3）若为的焦点，且的周长为，求的值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出即可得解； （2）将代入，设，利用韦达定理求出，证明即可； （3）设，联立方程，利用韦达定理求出，利用抛物线的焦半径公式和弦长公式求出的周长，进而可得出答案. 【小问1详解】 的标准方程为， 由的准线方程为，得， 故的标准方程为； 【小问2详解】 将代入，得， 设，则， ， 所以， 所以，即； 【小问3详解】 联立，得， 设， 则，所以， 所以， ， 所以的周长为， 因为函数为增函数，且， 所以方程的解为， 所以. 18. 如图，在五面体中，菱形的边长为，，. （1）证明：且. （2）求五面体体积的最大值. （3）当五面体的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知证得平面，即可证得；取的中点，的中点，连接，，，可得，进而得平面，则，即可证得； （2）分别作，，垂足分别为，，连接，，，，由已知和（1）中结论，可得，设，可得五面体体积为，利用导数求出其最大值即可； （3）（方法一）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算分别求出平面和平面的一个法向量，利用公式即可求得两个平面夹角的余弦值. （方法二）过点作于，过点作于，连接， 可得平面，则，可得平面，则， 则为平面与平面的夹角，在中，由三角函数定义求出，进而求得其余弦值. 【小问1详解】 在菱形中，，因为平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面平面， 所以. 取的中点，的中点，连接，，，则， 所以，故，，，四点共面， 因为，， 所以，，即， 因为四边形为梯形，所以与相交，所以平面， 又平面， 所以，而，所以. 小问2详解】 分别作，，垂足分别为，，连接，，，， 由（1）知，则， 又，，平面， 所以平面，同理平面. 因为菱形的边长为，， 为的中点，为的中点，， 则，，又， 所以四边形是等腰梯形，由对称性可知 设，则，， 所以， 所以，， 所以五面体的体积为 ， ， 则当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故当时，五面体体的最大，最大值为. 【小问3详解】 当五面体的体积最大时， ，， （方法一）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，， ，，，. 设平面的一个法向量为， 则，取，得， ，. 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为. （方法二）过点作于，过点作于，连接， 由（2）知平面，则 又，平面， 所以平面， 又平面，则，， 因为，平面， 所以平面，又平面，则， 所以为平面与平面的夹角， 又，， 由（2）及已知，， 所以，，则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知是各项均为正数的数列，事件“”发生的概率为，事件“”发生的概率为. （1）若随机变量的期望不小于，求的取值范围； （2）已知，若依次成等比数列的概率为，比较与的大小； （3）若（为大于的常数，且为偶数），证明在得到的次递推过程中，事件“”发生的次数为奇数，并求的最大值. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析，. 【解析】 【分析】j（1）列出所有的可能取值，再去求其概率，利用随机变量的期望列出不等关系，求出的取值范围； （2）依次成等比的情况只有两种，分别求其满足等比的概率，再利用分组求和在比较大小即可； （3） 结合，对次递推过程分段进行处理，在分情况进行讨论，利用反证法得出事件“”发生的次数为偶数次时不成立，再结合分段去表示出，并对其放缩，得到的最大值. 【小问1详解】 随机变量的分布列为 所以. 因为，所以或，即的取值范围是. 【小问2详解】 根据题意可得依次成等比数列的情况有两种，第一种是公比为，第二种是公比为， .. 所以， 所以， 因为，所以. 【小问3详解】 记为Ⅰ，为Ⅱ. 设次递推的过程中有次为Ⅱ，于是这次递推过程被Ⅱ分成段， 各段中递推Ⅰ的次数分别为（若最后一次用Ⅱ，则；若第一次用Ⅱ，则），则 若为偶数，则， 因为为偶数，所以为奇数，则为奇数， 因为为偶数， 所以为奇数， 所以，，不可能成立 若为奇数，则， 因为为偶数，所以为奇数，则为偶数，同理可得也为偶数， 所以可能成立，所以事件“”发生的次数为奇数， 则，则， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为. 故的最大值为，得的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第二学期高三阶段性检测（二） 数 学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知某机械在生产正常的情况下，生产出的产品的指标参数符合正态分布.现从该机械生产出的所有产品中随机抽取2件，则这2件产品的质量指标分别在）和的概率为（ ）（运算结果保留小数点后两位）参考数据：若服从正态分布，则，. A. 0.57 B. 0.75 C. 0.80 D. 0.84 4. 已知互不相等的数据，，，，，的平均数为，方差为，数据，，，，，的方差为，则（ ） A. B. C. D. 与的大小关系无法判断 5. 若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，则圆锥母线与底面所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 在的展开式中，的系数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 若，若为偶函数，则（ ） A. B. C. 0 D. 2 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，若的内心为，且与共线，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，其中，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 上单调递减 D. 在上有6个零点 10. 已知函数满足，，则（ ） A. B. 对于任意，有三个零点 C 对于任意，有两个极值点 D. 存在，使得点为曲线对称中心 11. 如图，在棱长为2的正方体中，空间中的点满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的最大值为 C. 若，则平面截该正方体的截面面积的最小值为 D. 若，则平面与平面夹角的正切值的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为______． 13. 某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件发生，该公司要赔偿元.设在一年内发生的概率为，为使公司收益的期望值等于的百分之十，公司应要求顾客交保险金为______. 14. 设表示有限集合中元素的个数，已知函数，若，其中为常数，且，则的取值范围为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）证明：“在上单调递增”是“在上单调递增”的充要条件. 16. 在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足． （1）求证：； （2）若是锐角三角形，且角A的平分线交BC边于D，且，求边b的取值范围． 17. 已知抛物线的准线方程为，直线与交于两点. （1）求的标准方程. （2）若，为坐标原点，证明：. （3）若为焦点，且的周长为，求的值. 18. 如图，在五面体中，菱形的边长为，，. （1）证明：且. （2）求五面体体积的最大值. （3）当五面体的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知是各项均为正数的数列，事件“”发生的概率为，事件“”发生的概率为. （1）若随机变量的期望不小于，求的取值范围； （2）已知，若依次成等比数列的概率为，比较与的大小； （3）若（为大于的常数，且为偶数），证明在得到的次递推过程中，事件“”发生的次数为奇数，并求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $