精品解析：四川省成都市实验外国语学校2024-2025学年高一下学期第一次阶段性考试数学试题

成都市实验外国语学校2024—2025学年下学期 高一年级第一次阶段性考试 数学学科试题 共1张4页 考试时间120分钟 满分150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 2. 已知正方形的边长为1,则= A. 2 B. 3 C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 向量 （ ） A. B. C. D. 5. 已知扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 在梯形中，设，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知是第一象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的图象的一部分如图1所示，则图2中的函数图象对应的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. （多选）下列说法正确的是（ ） A. 零向量是没有方向的向量 B. 零向量的长度为0 C. 相等向量的方向相同 D. 同向的两个向量可以比较大小 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的对称中心为 C. 的对称轴为直线 D. 的单调递增区间为 11. 如图所示，已知角，（）的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为，，为线段的中点，点坐标为，记，则（ ） A. B. 若，则 C. 点M的坐标为 D. 若，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则__________. 13. 密位广泛用于航海和军事，我国采取的“密位制”是6000密位制，即将一个圆周分成6000等份，每一等份是一个密位，那么60密位等于_________rad. 14. 在四边形ABCD中，点P是四边形ABCD所在平面上一点，满足，点Q为线段AB的中点.则__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，不共线，且，，． （1）若，求的值； （2）若，求证：，，三点共线． 16. 已知，且. （1）求的值； （2）求的值. 17. 一艘船从码头A出发，计划向正北方向直线航行到对岸的B点，AB距离为100公里.船在静水中的航速为50公里/小时，但河流以25公里/小时的速度持续向东流动. （1）若船头始终指向正北方向，求船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离； （2）若船需要准确到达正北方向的B点，求船头应调整的方向（即船头方向与正北方向的夹角），以及到达B点所需时间. 18. 已知函数的部分图象如图，是图象的最高点，为图象与轴的交点，为坐标原点，且点坐标为，. （1）求函数的解析式； （2）将函数图象向右平移1个单位后得到函数的图象，当时，求函数的最大值. 19. 已知函数（），若的最小正周期为. （1）求的解析式； （2）若函数在上有三个不同零点，且 ①求实数a的取值范围； ②求，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都市实验外国语学校2024—2025学年下学期 高一年级第一次阶段性考试 数学学科试题 共1张4页 考试时间120分钟 满分150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】C 【解析】 【分析】利用象限角的定义直接求解． 【详解】∵ ∴是第三象限角， 故选C 【点睛】本题考查角所在象限的判断，考查象限角的定义等基础知识，考查了推理能力与计算能力，是基础题． 2. 已知正方形的边长为1,则= A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 正方形中根据向量的加法法则，即可得解. 【详解】由题正方形的边长为1,根据向量加法法则， . 故选：C 【点睛】此题考查向量加法的平行四边形法则，根据加法法则求出向量之和，再求模长. 3. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦函数的定义及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，得； 反之，取满足，而， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A 4. 向量 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量加法的三角形法则及向量加法的运算律即可求解. 【详解】由，故B正确. 故选：B. 5. 已知扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用扇形的面积公式可求得结果. 【详解】因为扇形的半径为，圆心角为，故该扇形的面积为. 故选：B. 6. 在梯形中，设，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求解. 【详解】因为，所以， . 故选：A. 7. 已知是第一象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式求解即得. 【详解】由，得. 故选：D 8. 已知函数的图象的一部分如图1所示，则图2中的函数图象对应的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的图象变换规律可求得结果. 【详解】观察图象可知，右方图象是由左方图象向左移动一个长度单位后得到的图象，再把的图象上所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变）得到的， 所以右图的图象所对应的解析式为. 故选：B 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. （多选）下列说法正确的是（ ） A. 零向量是没有方向的向量 B. 零向量的长度为0 C. 相等向量的方向相同 D. 同向的两个向量可以比较大小 【答案】BC 【解析】 【分析】利用零向量的定义及相等向量的定义，可判断出选项A、B和C的正误，再由向量的定义知选项D错误. 【详解】对于选项A，因为零向量的方向是任意的，所以选项A错误， 对于选项B，因为零向量是方向任意，长度为0的向量，所以选项B正确， 对于选项C，因为相等向量是方向相同，长度相等的向量，所以选项C正确， 对于选项D，向量不能比较大小，向量的模长可以比较大小，所以选项D错误， 故选：BC. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的对称中心为 C. 的对称轴为直线 D. 的单调递增区间为 【答案】ACD 【解析】 【分析】化简得，利用余弦函数的周期性、对称性及单调性对各个选项逐一判断即可． 【详解】， 的最小正周期为，A正确； 令，得，的对称中心为，B错误； ，得，的对称轴方程为，C正确； 令，得， 的单调递增区间为，D正确． 故选：ACD． 11. 如图所示，已知角，（）的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为，，为线段的中点，点坐标为，记，则（ ） A. B. 若，则 C. 点M的坐标为 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据三角函数定义可求的坐标，再求，根据向量坐标运算公式结合两角和差公式可得，判断A，由两边平方，结合数量积的性质及定义可求，判断B，根据中点坐标公式求点M的坐标，判断C，求，代入并化简可得，设，证明， 解方程求，推出矛盾，判断D. 【详解】因为角，终边与单位圆的交点分别为，， 所以点的坐标为，点的坐标为，又点的坐标为， 所以，， 因为点坐标为，所以， 所以， 因为 ， ， 所以， 因为，所以， 故，， 所以，， 所以， 所以与不相等，A错误， 因为， 所以， 又，，， 所以，故， 所以，又， 所以，所以，B正确； 因为，， 所以，， 因为点的坐标为，点的坐标为，点为线段的中点， 所以点的坐标为， 所以点的坐标为，C正确； 因为， 又，所以， 因为， 所以，又， 所以， 若，又， 所以，所以， 所以，故， 则， 则， 所以或（舍去）， 又，所以， 所以，与矛盾，D错误， 故选：BC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系，转化为 “齐次式”求值. 【详解】因为. 故答案为： 13. 密位广泛用于航海和军事，我国采取的“密位制”是6000密位制，即将一个圆周分成6000等份，每一等份是一个密位，那么60密位等于_________rad. 【答案】 【解析】 【分析】 根据周角为，结合新定义计算即可． 【详解】解：∵圆周角为， ∴1密位， ∴60密位， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查弧度制的应用，属于基础题． 14. 在四边形ABCD中，点P是四边形ABCD所在平面上一点，满足，点Q为线段AB的中点.则__________. 【答案】 【解析】 【分析】若分别为的中点，得到，根据已知得，进而可得，可求结论. 【详解】由，所以， 所以，所以 取分别为的中点，如下图， 则，即，所以，所以， 因为为的中点，所以，又，则， 所以，所以三点共线， 所以，，所以， 所以，所以， 所以，所以. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，不共线，且，，． （1）若，求的值； （2）若，求证：，，三点共线． 【答案】（1）； （2） 若，则， 所以，， 所以，则，，三点共线． 【解析】 【分析】（1）根据向量的共线定理即可求解； （2）由向量的线性运算，可求出、，再根据向量的共线定理，即可证明. 【小问1详解】 若，则，即， 可得，解得，， 所以. 【小问2详解】 略 16. 已知，且. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由两边同时平方，结合平方关系可求，再结合范围确定的符号，再根据求结论， （2）由（1）可求，再求，代入可得结论. 【小问1详解】 因为， 等式两边同时平方可得，， 所以，又， 所以，又， 所以，， 所以， 即； 【小问2详解】 由（1），， 所以，， 所以，，， 所以， 即. 17. 一艘船从码头A出发，计划向正北方向直线航行到对岸的B点，AB距离为100公里.船在静水中的航速为50公里/小时，但河流以25公里/小时的速度持续向东流动. （1）若船头始终指向正北方向，求船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离； （2）若船需要准确到达正北方向的B点，求船头应调整的方向（即船头方向与正北方向的夹角），以及到达B点所需时间. 【答案】（1）50公里； （2），小时. 【解析】 【分析】（1）求出船的实际航行方向与正北方向的夹角正切即可求得答案. （2）利用船实际航行速度与水流速度垂直，结合向量数量积求出夹角及航行时间. 【小问1详解】 设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，则， 由船头始终指向正北方向，得，而，向量的夹角为， 于是， 所以船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离为（公里）. 【小问2详解】 由（1）知，，，， 由船需要准确到达正北方向的B点，得， 则，解得， 而，于是，， ，， 所以船头应调整的方向，到达B点所需时间为小时. 18. 已知函数的部分图象如图，是图象的最高点，为图象与轴的交点，为坐标原点，且点坐标为，. （1）求函数的解析式； （2）将函数图象向右平移1个单位后得到函数的图象，当时，求函数的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由点坐标为，可得，再由函数的周期求出的值，再把点的坐标代入函数解析式求出，即可求得的解析式． （2）求出的解析式，化简的解析式为，再根据的范围求出的值域，从而求得的最大值． 【小问1详解】 点坐标为，∴， ，. 由，且解得， ∴. 【小问2详解】 根据题意可得， ， 当时，， ∴当，即时，. 19. 已知函数（），若的最小正周期为. （1）求的解析式； （2）若函数在上有三个不同零点，且 ①求实数a的取值范围； ②求，求实数a的取值范围. 【答案】（1）； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）利用正弦型函数的周期公式求出即可. （2）①根据（1），利用换元法，结合二次函数根的分布分情况讨论求解；②设为方程的两个不相等的实数根，由①可求得的取值范围，根据，结合三角函数的性质和三角恒等变换求得的关系，根据韦达定理求解，代入的关系式中，即可求得的取值范围. 【小问1详解】 由的最小正周期为，，得，解得， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 ①由（1）知， 由，得， 令，函数在上单调递增，从0增大到1， 在上单调递减，从1减小到，则，， 由函数在上有三个零点，得在有三个不等的实根， 则关于t的方程可能在上有一个实根，另一个实根在上，或一个实根是1，另一个实根在上， 当一个实根在，另一个实根在上时，，即，解得：， 当一个根为0时，即，则，方程为，，不合题意； 当一个根是，即，解得，方程为，，不合题意； 当一个根是1，另一个实根在，由，得， 方程为，解得或，不合题意， 所以a的取值范围是． ②设为方程的两个不相等的实数根，不妨令，， 由①知，，，即， ，，即， 由，得，则， 而，，则， 因此，即， 由，解得， 则，整理得，而， 则，又，解得， 所以实数a的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $