精品解析：广东省东莞市阶段一四校联考2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

2024－2025学年第二学期阶段一学情自查试卷 八年级数学 时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列选项中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：A、不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、不是最简二次根式，不符合题意； D、不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2. 下列计算正确的是（　　） A. 3 B. C. D. （）2＝2 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和二次根式的加法法则和除法法则逐一进行计算，从而得出答案； 【详解】解：，选项A错误； 与不是同类二次根式，不能合并，选项B错误； ，选项C错误； （）2＝2，选项D正确； 故选：D 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键 3. 下列各组数中，能构成直角三角形的是( ) A. 6，8，11 B. 5，12，23 C. 4，5，6 D. 1，1， 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据勾股定理的逆定理分别判断即可． 【详解】A．∵， ∴以6，8，11为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B．∵， ∴以5，12，23为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； C．∵， ∴以4，5，6为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D．∵， ∴以1，1，为边能组成直角三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果，那么这个三角形是直角三角形． 4. 如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE＝14m，则A、B间的距离是（）． A. 18m B. 24m C. 28m D. 30m 【答案】C 【解析】 【详解】解：连接AB，根据中点可得DE为△OAB的中位线， 则AB=2DE=28米． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形中位线的定义和性质． 5. 下列不能判定四边形是平行四边形的条件是（　　） A. ∠A＝∠C，∠B＝∠D B. AB∥CD，AD∥BC C. AB∥CD，AD＝BC D. AB＝CD，AD＝BC 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理和平行线的性质判断即可． 【详解】解：A、∵∠A＝∠C，∠B＝∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意； B、∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意； C、∵AB∥CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD可能是等腰梯形，故本选项符合题意； D、∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和平行线的性质，准确理解是解题的关键． 6. 若＝1－a，则a的取值范围是( ) A. a>1 B. a≥1 C. a<1 D. a≤1 【答案】D 【解析】 【分析】等式左边为（1-a）2的算术平方根，右边的结果1-a应为非负数． 【详解】解：∵＝1－a， ∴1-a≥0 ∴a≤1． 故选D． 【点睛】本题考查算术平方根的结果是非负数，这也是是解答此题的关键． 7. 如图，长方形的边长为2，边长为1，在数轴上，以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ） A. B. C. D. 2.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、实数与数轴，由勾股定理计算出，由此即可得到答案，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：，， ， 以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是， 故选：C． 8. 如图所示，圆柱的高为5米，底面圆的周长为4米．将一条彩带从底面A点开始绕圆柱1圈后，挂在点A的正上方点B处，彩带最短需要（ ）米 A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查两点间线段最短和勾股定理在生活中的应用．将曲面问题变为平面问题，然后利用勾股定理计算出斜边长度，是解答本题的关键． 【详解】如解图，长方形是圆柱的侧面展开图，连接， 此时所需彩带最短，最短长度为， ，由题意得米. 米， 由勾股定理得，即 ， 解得米(负值已舍). 故选D. 9. 如图所示，长方形纸片中，，，现将其沿对折，使得点与点重合，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图形的翻折变换、勾股定理和长方形的性质．设，则，根据折叠的性质得，在中，，即可求得x． 【详解】解：设，则， ∵长方形纸片中，，，现将其沿对折，使得点C与点A重合， ∴， 在中，， ∴，解得：． 故选：A． 10. 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，，，则下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质即可得∠DAB=120°，又AE平分则可得∠BAE=∠DAE=60°=∠ABE，即三角形ABE为等边三角形，则可判断①；根据结合勾股定理即可判断③和④；AO=CO，BE=CE，则OE为三角形ABC的中位线，利用中位线的性质即可判断②；△AOE与△BOE为同底等高的三角形，根据面积关系即可判断⑤． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC=∠ADC=60°，，AO=CO， ∴∠DAB=120°， 又∵AE平分， ∴∠BAE=∠DAE=60°=∠ABE， ∴三角形ABE为等边三角形， ∴AB=BE=AE， 又∵，BC=4， ∴EC=2=AE=BE， ∴∠BAC=90°， ∴∠CAD=∠BAD=30°，故①正确， ∵∠BAC=90°， ， ，故③正确，， ∴，， ，故④正确， ∵AO=CO，BE=CE， ∴OE为三角形ABC的中位线， ，， ∴OE=1， 又∵BC=4， ∴，故②正确， ∵△AOE与△BOE为同底等高的三角形， ， ， ，故⑤正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定及性质、角平分线的性质、中位线的性质、勾股定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，根据已知条件，巧妙运用相关知识判断． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 12. 若是整数，则正整数n的最小值是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，算术平方根，解题关键是根据正整数，确定整数n的最小值即可． 【详解】解：∵，且是整数， ∴正整数n的最小值是3． 故答案为：3 13. 如图，的对角线交于点，且它们的和是，，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，，，得出，求出的周长，即可得到答案． 【详解】解：在中，， ，， ， ， 的周长， 故答案为：． 14. 若一个直角三角形两边的长分别为6和8，则第三边的长为_____． 【答案】10或 【解析】 【分析】分两种情况：第一种，6和8是直角三角形的两条直角边，根据勾股定理求第三边的长；第二种，8是直角三角形的斜边长，6是直角边长，根据勾股定理求第三边的长． 【详解】解：本题可分两种情况讨论： 情况一：若6和8均为直角边长，根据勾股定理，第三边（斜边）的长为； 情况二：若8为斜边长，6为直角边长，根据勾股定理，第三边（另一条直角边）的长为． 15. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边OA在x轴上，点在第一象限，且，以点为直角顶点，为一直角边作等腰直角三角形，再以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形…依此规律，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据图形的变化得出的变化规律，判断出点的所在象限，再求出其坐标即可． 【详解】解：由已知，点A每次旋转转动，则转动一周需转动(次)， 而， ， ， …， (n为正整数)， 即每次转动点A到原点的距离变为转动前的倍， ， 点的在第四象限的角平分线上， ∴， 设点，其中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标是 故答案为：． 【点睛】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还应该注意各个象限内点的坐标符号． 三、解答题（一）（每小题5分，共10分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先算除法和乘法，再化为最简二次根式，然后算加减即可． 【详解】解： ． 17. 已知，，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】先将分解因式，然后将，代入求值即可． 【详解】解：∵ 将，代入得： 原式 ． 【点睛】本题考查了因式分解和二次根式混合运算，熟练掌握因式分解和运算法则是解题的关键． 四、解答题（二）（每小题7分，共21分） 18. 如图，已知在平行四边形中，．求证：． 【答案】 四边形是平行四边形， ，，， ， ， 在与中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键，首先根据平行四边形的形质可得，，，再由题意可得，最后根据全等三角形的判定得出，即可证出． 【详解】 略 19. 如图，每个小正方形的边长都为1． （1）利用勾股定理求出线段长： ， ， ， ； （2）求证： ． 【答案】（1） （2） 证明：连接，如图所示： ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理即可进行求解； （2）连接，然后根据勾股定理及其逆定理可进行求解． 【小问1详解】 解：， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 20. 如图，木工师傅在一块长方形木料上截出两块面积分别为和的正方形木板． （1）求原长方形木料的面积； （2）木工师傅想从剩余矩形木料中截出一块正方形木板，这块正方形木板的边长是否可以是，请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：不能，理由如下： 根据题意，得剩余矩形木料的长为，宽为， ∵， ∴这块正方形木板的边长不能为． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，读懂题意，正确进行计算是解题的关键． （1）由正方形的面积可得边长分别为和，再对二次根式进行化简即可；然后再计算出原长方形木料的长为，再根据长方形的面积公式进行计算即可； （2）剩余矩形木料的长为，宽为，再和2进行大小比较即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意得：小正方形木板的边长为， 大正方形木板的边长为， 原长方形木料的长为，宽为， ， ∴原长方形木料的面积为； 【小问2详解】 略 五、解答题（三）（每小题8分，共24分） 21. 如图，在平行四边形中，，是对角线上的两点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形； （2）13 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）连接交于点，由平行四边形的性质得，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由勾股定理求得的长，再由平行四边形的性质即可得出结论； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴ 22. 如图，这是我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制的一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成，，，． （1）请你利用上图验证勾股定理； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵正方形的面积， 且正方形的面积个全等的直角三角形的面积一个小正方形的面积， ∴， 整理得：； （2）54 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明、代数式求值，正确表示出大正方形的面积与小正方形的面积以及直角三角形的面积的关系是解题的关键． （1）根据大正方形的面积等于边长的平方，也等于四个全等的直角三角形的面积加上小正方形的面积得出等式，整理即可得出结论； （2）根据（1）的等式，代入数值求出，根据直角三角形的面积得出答案即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴直角三角形的面积． 23. 【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，． 【深入探究】 （1）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部下滑到位置上（云梯长度不改变），则底部沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度； 【问题解决】 （2）在演练中，墙边距地面的窗口有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全，在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的窗口去救援被困人员？ 【答案】（1），（2）云梯的顶端能到达高的窗口去救援被困人员 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．掌握勾股定理是解题的关键. （1）根据勾股定理即可求出，再求出，根据勾股定理求出，进一步即可求出； （2）当云梯的顶端到达高的窗口时，根据勾股定理得云梯的底端距离墙的距离为，根据，即可得到在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达高的窗口去救援被困人员． 【详解】解：（1）在中， ， ， ， 在中， ， 答：的长度为 ； （2）当云梯的顶端到达高的窗口时，根据勾股定理得云梯的底端距离墙的距离为：， ， ， ∴在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达高的窗口去救援被困人员． 六、解答题（四）（每小题10分，共20分） 24. 阅读下面的问题： ； ； ； …… （1）试着求______，______； （2）比较与的大小，并说明理由； （3）若，求的值． 【答案】（1）， （2） ， 理由：∵， ， ， ∴， 则； （3）121 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算、分母有理化、实数的大小比较，找出规律并能灵活运用是解答的关键． （1）根据所给等式的变化规律即可求解； （2）先化成分数形式，通过比较分母大小即可解答； （3）根据规律先化简，再解方程即可解答． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由 得：， ∴，即， 解得：． 25. 如图，在中，，，． （1）如图1，求的长； （2）如图2，，与交于点，点为边上一点，连接，是右侧一点，且，，连接、，是的中点．探究、和之间的数量关系并证明； （3）如图3，动点由点出发以每秒个单位的速度在射线上匀速运动，同时动点也从出发，在射线上以每秒个单位的速度匀速运动，设运动时间为秒（），当点到直线的距离等于6时，求的值． 【答案】（1）10 （2）； 理由如下， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，是的中点， ∴， 在中，， ∴； （3）或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键； （1）过作的垂线，垂足是，在中，设，根据勾股定理得出，进而得出，在中，勾股定理，即可求解； （2）先证明，进而证明，由直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，再根据勾股定理得出结论即可； （3）过作于点，作于点，作，与交于点，则，①当点在线段上时，证明，根据，建立方程，解方程，即可求解．②当点在的延长线上时，同理，即可求解． 【小问1详解】 解：过作的垂线，垂足是，在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 在中，， 解得：， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过作于点，作于点，作，与交于点，则， ①当点在线段上时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴； ②当点在的延长线上时，如图，则， 同理可证， ∴， ∴， ∴， 综上，当点到直线的距离等于6时，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年第二学期阶段一学情自查试卷 八年级数学 时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列选项中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. 3 B. C. D. （）2＝2 3. 下列各组数中，能构成直角三角形的是( ) A. 6，8，11 B. 5，12，23 C. 4，5，6 D. 1，1， 4. 如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE＝14m，则A、B间的距离是（）． A. 18m B. 24m C. 28m D. 30m 5. 下列不能判定四边形是平行四边形的条件是（　　） A. ∠A＝∠C，∠B＝∠D B. AB∥CD，AD∥BC C. AB∥CD，AD＝BC D. AB＝CD，AD＝BC 6. 若＝1－a，则a的取值范围是( ) A. a>1 B. a≥1 C. a<1 D. a≤1 7. 如图，长方形的边长为2，边长为1，在数轴上，以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ） A. B. C. D. 2.5 8. 如图所示，圆柱的高为5米，底面圆的周长为4米．将一条彩带从底面A点开始绕圆柱1圈后，挂在点A的正上方点B处，彩带最短需要（ ）米 A. 3 B. 4 C. 5 D. 9. 如图所示，长方形纸片中，，，现将其沿对折，使得点与点重合，则长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，，，则下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 12. 若是整数，则正整数n的最小值是_____． 13. 如图，的对角线交于点，且它们的和是，，则的周长为______． 14. 若一个直角三角形两边的长分别为6和8，则第三边的长为_____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边OA在x轴上，点在第一象限，且，以点为直角顶点，为一直角边作等腰直角三角形，再以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形…依此规律，则点的坐标是______． 三、解答题（一）（每小题5分，共10分） 16. 计算： 17. 已知，，求代数式的值． 四、解答题（二）（每小题7分，共21分） 18. 如图，已知在平行四边形中，．求证：． 19. 如图，每个小正方形的边长都为1． （1）利用勾股定理求出线段长： ， ， ， ； （2）求证： ． 20. 如图，木工师傅在一块长方形木料上截出两块面积分别为和的正方形木板． （1）求原长方形木料的面积； （2）木工师傅想从剩余矩形木料中截出一块正方形木板，这块正方形木板的边长是否可以是，请说明理由． 五、解答题（三）（每小题8分，共24分） 21. 如图，在平行四边形中，，是对角线上的两点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，，，求的长． 22. 如图，这是我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制的一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成，，，． （1）请你利用上图验证勾股定理； （2）若，，求的面积． 23. 【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，． 【深入探究】 （1）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部下滑到位置上（云梯长度不改变），则底部沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度； 【问题解决】 （2）在演练中，墙边距地面的窗口有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全，在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的窗口去救援被困人员？ 六、解答题（四）（每小题10分，共20分） 24. 阅读下面的问题： ； ； ； …… （1）试着求______，______； （2）比较与的大小，并说明理由； （3）若，求的值． 25. 如图，在中，，，． （1）如图1，求的长； （2）如图2，，与交于点，点为边上一点，连接，是右侧一点，且，，连接、，是的中点．探究、和之间的数量关系并证明； （3）如图3，动点由点出发以每秒个单位的速度在射线上匀速运动，同时动点也从出发，在射线上以每秒个单位的速度匀速运动，设运动时间为秒（），当点到直线的距离等于6时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $