精品解析：2025年广东省佛山市南海区九年级中考数学一模试卷

2025年广东省佛山市南海区中考数学一模试卷 注意事项∶ 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在、、0、1这四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 下列运算正确是（　　） A. B. C. D. 3. 剪纸艺术是古老的中国民间艺术之一，“鱼”与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．下列关于鱼的剪纸图案中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，电路图有3只未闭合的开关，一个电源和一个小灯泡，已知电路图上的每个部分都能正常工作，任意闭合其中两只开关，使得小灯泡发光的概率为（ ） A B. C. D. 5. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间是反比例函数关系（其中，均为正数），当近视眼镜的度数是100度时，镜片焦距为0.1米．则配制一副度数小于100度的近视眼镜，镜片焦距的取值范围是（ ） A B. C. D. 7. 在2024年10月的广交会现场，某商家的展台是一个不完整的正多边形图案，如图，小李量得展台中一边与对角线的夹角，则这个正多边形的边数是（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 8. 如图，在菱形中，于点，，，则的长是（ ） A. B. 6 C. D. 12 9. 关于方程（为常数）根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 10. 若点，，在二次函数（）的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 实数8的立方根是_____． 12. 写出一个直角坐标系中第二象限内点的坐标：________.(任写一个只要符合条件即可) 13. 计算：_________． 14. 图1是一个地铁站入口的双翼闸机，图2是它的简化图，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为_________．（参考数据：，，） 15. 如图，在中，，，，，点在边上，将沿直线翻折，使点落在点处，连接并延长，交的延长线于点，若，则线段的长为_________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 求值：，其中． 17. 如图，在中，是对角线． （1）作线段的垂直平分线，垂足为点，与边、分别交于点、（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：． 18. 近期，由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司（简称）开发的大模型在全球范围内掀起了一股热潮．据悉，训练一个AI模型时，初始数据量为2000条，每增加100条数据，训练时间延长3分钟．假设总数据量为条（），训练时间为分钟． （1）求关于的函数关系式； （2）若训练的总时间为45分钟，求使用的数据总量． 19. 某校七年级在体育运动周的花样跳绳比赛中，25名参赛选手的初赛成绩如下： （1）学校要求取前7名参加决赛，小芳同学的成绩为6.5分，她分析初赛成绩统计图，认为自己一定会落选．你认为小芳同学的分析正确吗？并说明理由． （2）评委发现成绩第7名有王丽和李英两人，提出让这两名同学进行加赛来决定由哪位同学进入决赛，下表是五位评委对两名同学加赛的打分情况及分析后的数据： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 平均分 众数 中位数 方差 王丽 4 8 8 7 8 7 8 8 李英 7 6.9 7 7 7.1 7 7 0.004 ①表格中_______，_______； ②根据表中数据，你认为选择哪位同学参加决赛更合适？ 20. 如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如：，，因此8，16都是“正巧数”． （1）请写出一个30到50之间“正巧数”：______； （2）已知，为正整数，且，若是“正巧数”，求的最小值． 21. 如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作，交于点，连接并延长，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 22. 综合与实践 汉字书法是中华民族的文化瑰宝．毛笔书法考试从中级开始，书法纸都是不带格子的空白宣纸．现在我们需要根据书法内容的篇幅大小将书法纸折出等距的三列． 学生将一张正方形纸片连续对折两次展开，得到图1；再将图1沿着对角线对折一次，得到图2，对角线分别与折痕、、的交点、、即为对角线的四等分点． （1）求证：为对角线的四等分点； （2）请在图2中画出的三等分点（不写作法，保留作图痕迹），并证明； （3）请在图3中用与（2）不同的方法作（或画）出的一个三等分点．（要求：写出简要方案并作（或画）图，不用证明，但要保留作（或画）图痕迹）． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与过点的直线交于点． （1）求点的坐标和直线的表达式； （2）在直线上存在一点，使得的面积是的面积的4倍，求点的坐标； （3）如图2，点是直线在第二象限图象上的一点，且点在点的下方，作射线，把射线绕点顺时针旋转，得到射线，在射线上取一点，连接，使得，当为等腰直角三角形时，求出此时的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年广东省佛山市南海区中考数学一模试卷 注意事项∶ 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在、、0、1这四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握大小比较的原则是解题的关键．根据实数大小比较原则计算即可． 【详解】解：∵， ∴这四个数中，最小的数是． 故选：A． 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查同底数幂的乘法、幂的乘方和同类项，根据同底数幂的乘法、幂的乘方可判断A项和D项，根据合并同类项的法则可以判断B项和C项． 【详解】解：，故A正确； 不能合并为，故B错误； ，故C错误； ，故D错误；． 故选A． 3. 剪纸艺术是古老的中国民间艺术之一，“鱼”与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．下列关于鱼的剪纸图案中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．将图形旋转后仍与原图形重合，这个图形即是中心对称图形． 【详解】解：根据中心对称图形的定义，是中心对称图形，故选项A不符合题意； 是中心对称图形，故选项B不符合题意； 是中心对称图形，故选项C不符合题意； 不是中心对称图形，故选项D符合题意； 故选D． 4. 如图，电路图有3只未闭合的开关，一个电源和一个小灯泡，已知电路图上的每个部分都能正常工作，任意闭合其中两只开关，使得小灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，解答本题的关键要明确：树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，画树状图，共有6种等可能的结果，其中使得小灯泡发光的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：将开关依次编号为， 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中使得小灯泡能发光的结果有4种， 使得小灯泡能发光的概率为， 故选：C． 5. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由平行线的性质求角度：由平行线的性质推出，求出．即可得到的度数． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 故选：B． 6. 近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间是反比例函数关系（其中，均为正数），当近视眼镜的度数是100度时，镜片焦距为0.1米．则配制一副度数小于100度的近视眼镜，镜片焦距的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，首先根据函数图象中点的坐标求出反比例函数的解析式，再根据近视镜的度数的取值范围求出焦距的取值范围． 【详解】解：由题意可知：设近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）的函数关系式为， 把代入可得：， 解得：， 近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）的函数关系式为， 当时，可得， 解得： 焦距的取值范围是． 故选：D． 7. 在2024年10月的广交会现场，某商家的展台是一个不完整的正多边形图案，如图，小李量得展台中一边与对角线的夹角，则这个正多边形的边数是（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，正多边形的性质，正多边形的外角与边数的关系，熟练掌握正多边的外角和等于360°是解题的关键． 根据三角形内角和定理以及正多边形的性质，得出，然后可得每一个外角为，进而即可求解． 【详解】解：依题意，，， ∴ ∴ ∴这个正多边形的一个外角为， 所以这个多边形的边数为， 故选：C． 8. 如图，在菱形中，于点，，，则的长是（ ） A. B. 6 C. D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理等知识点，掌握菱形的性质成为解题的关键． 由菱形的性质可得、，再运用勾股定理可得，然后运用等面积法求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：． 故选A． 9. 关于的方程（为常数）根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数关系，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根． 【详解】解：将方程化为：， ， 则有两个不相等实数根． 故选：A 10. 若点，，在二次函数（）的图象上，则，，的大小关系是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据，，三点到对称轴的距离大小关系求解．解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 【详解】解：（）， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ， ， 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 实数8的立方根是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据立方根的概念解答． 【详解】∵， ∴8的立方根是2． 故答案为：2 【点睛】本题考查立方根的概念义，正确掌握立方根的概念是解题的关键． 12. 写出一个直角坐标系中第二象限内点的坐标：________.(任写一个只要符合条件即可) 【答案】略 【解析】 【详解】分析：根据第二象限内点的坐标特点，横坐标小于0，纵坐标大于0，再写出符合条件的点的坐标． ∵点在第二象限内 ∴点的横坐标小于0，纵坐标大于0． 任意写一个符合要求的点的坐标，比如（－2，2）、（－3，4）等等． 点睛：在平面直角坐标系中，点P(a,b)的坐标特征：第一象限：a>0,b>0;第二象限：a<0,b>0;第三象限：a<0,b<0;第四象限：a>0,b<0.x轴上：a任意实数，b=0; y轴上：a=0，b任意实数． 13. 计算：_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了同分母分式的加法运算，掌握运算法则是解题的关键． 根据同分母分式加法法则进行计算即可． 【详解】 ． 故答案为：． 14. 图1是一个地铁站入口的双翼闸机，图2是它的简化图，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为_________．（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点作于点，过点作于点，利用含的直角三角形的性质，求解，，从而可得答案．正确进行计算是解题关键． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 在中，， ， 同理可得，， 双翼边缘的端点与之间的距离为， 当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，，点在边上，将沿直线翻折，使点落在点处，连接并延长，交的延长线于点，若，则线段的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，折叠的性质，利用折叠的性质求得，再解直角三角形得到的长，即可解答，熟练利用折叠的性质求出是解题的关键． 【详解】解：将沿直线翻折，使点落在点处， ， ， ，即， 解得， ， 在中，， ， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，先根据完全平方公式和多项式乘以多项式运算法则将括号展开、合并得最简结果，再把的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 17. 如图，在中，是对角线． （1）作线段的垂直平分线，垂足为点，与边、分别交于点、（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用尺规作出线段的垂直平分线即可； （2）根据垂直平分线的性质得到，，由平行四边形的性质得到，然后证明出，进而得到． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：∵垂直平分 ∴， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质和判定，垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，尺规作线段的垂直平分线，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质． 18. 近期，由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司（简称）开发的大模型在全球范围内掀起了一股热潮．据悉，训练一个AI模型时，初始数据量为2000条，每增加100条数据，训练时间延长3分钟．假设总数据量为条（），训练时间为分钟． （1）求关于的函数关系式； （2）若训练的总时间为45分钟，求使用的数据总量． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】该题考查了一次函数应用，解题的关键是列出函数关系式． （1）根据每增加100条数据，训练时间延长3分钟求出关于的函数关系式即可； （2）将代入表达式求解即可． 【小问1详解】 根据题意得，； 【小问2详解】 当时，， 解得． ∴若训练的总时间为45分钟，使用的数据总量为3500条． 19. 某校七年级在体育运动周的花样跳绳比赛中，25名参赛选手的初赛成绩如下： （1）学校要求取前7名参加决赛，小芳同学的成绩为6.5分，她分析初赛成绩统计图，认为自己一定会落选．你认为小芳同学的分析正确吗？并说明理由． （2）评委发现成绩第7名有王丽和李英两人，提出让这两名同学进行加赛来决定由哪位同学进入决赛，下表是五位评委对两名同学加赛的打分情况及分析后的数据： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 平均分 众数 中位数 方差 王丽 4 8 8 7 8 7 8 8 李英 7 6.9 7 7 7.1 7 7 0.004 ①表格中_______，_______； ②根据表中数据，你认为选择哪位同学参加决赛更合适？ 【答案】（1）不正确，理由见解析 （2）①2.4，7；②选李英参加决赛更合适 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图，求中位数，方差，利用方差做决策等知识． （1）结合直方图分析即可． （2）①根据方差的公式以及中位数的定义求解即可． ②根据方差作决策即可． 【小问1详解】 解：不正确，分的有3人，分的有6人，小芳6.5分有可能排前7名． 【小问2详解】 解：， ∵从小到大排列为：，7，7，7，7.1，最中间的数为：7 ∴； ②李英方差小，成绩更稳定，选李英参加决赛更合适． 20. 如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如：，，因此8，16都是“正巧数”． （1）请写出一个30到50之间的“正巧数”：______； （2）已知，为正整数，且，若是“正巧数”，求的最小值． 【答案】（1）32（或40或48） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，灵活运用平方差公式进行计算；难点是理解“正巧数”都是8的倍数，如果一个数是8的倍数，那么这个数一定是“正巧数”． （1）根据“正巧数”定义设0到50之间的“正巧数”为：，为正整数，则，解不等式求出的值即可得出答案； （2）先计算，设两个连续正奇数为，，则， 可得，再求解即可． 【小问1详解】 解：根据“正巧数”的定义：“正巧数”等于两个正奇数的平方差， 设0到50之间的“正巧数”为：，为正整数， 则：， 整理得：， 解得：， 为正整数， ，5，6， 到50之间的“正巧数”共有3个，它们分别是：32，40，48． 即：，，． 在32，40，48中任选一个即可， 故答案为：32（或40或48）； 【小问2详解】 解：， 设两个连续正奇数为，， 则，  ， ，为正整数且， 当时，（舍去）； 当时，， ， ，， ． 21. 如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作，交于点，连接并延长，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得，，再结合等边对等角得，再证明，则，即可作答． （2）先设，则结合勾股定理表示，运用，分别得出在，则，得，通过证明，即，得，即可作答． 【小问1详解】 解：连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是切线． 【小问2详解】 解：∵， ∴设，则， ∴在中，， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 解得， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，切线的判定，解直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 22. 综合与实践 汉字书法是中华民族的文化瑰宝．毛笔书法考试从中级开始，书法纸都是不带格子的空白宣纸．现在我们需要根据书法内容的篇幅大小将书法纸折出等距的三列． 学生将一张正方形纸片连续对折两次展开，得到图1；再将图1沿着对角线对折一次，得到图2，对角线分别与折痕、、的交点、、即为对角线的四等分点． （1）求证：为对角线的四等分点； （2）请在图2中画出的三等分点（不写作法，保留作图痕迹），并证明； （3）请在图3中用与（2）不同的方法作（或画）出的一个三等分点．（要求：写出简要方案并作（或画）图，不用证明，但要保留作（或画）图痕迹）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）由折叠得，，，则，由平行线分线段成比例定理即可求证； （2）同（1）可证明，连接，通过作一个角等于已知角的方法，作，由平行线分线段成比例定理可得点为线段的三等分点； （3）过点A作线段，作的垂直平分线交于点N，连接并延长至点T，使得，连接交为点，连接，可得点W为的重心，则． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠得，，， ∴， ∴， ∴为对角线的四等分点； 【小问2详解】 解：如图，点即为所作： 【小问3详解】 解：如图，点W即为所作： 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线分线段成比例定理，正方形的性质，三角形的重心性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与过点的直线交于点． （1）求点的坐标和直线的表达式； （2）在直线上存在一点，使得的面积是的面积的4倍，求点的坐标； （3）如图2，点是直线在第二象限图象上的一点，且点在点的下方，作射线，把射线绕点顺时针旋转，得到射线，在射线上取一点，连接，使得，当为等腰直角三角形时，求出此时的长度． 【答案】（1）， （2）为或； （3） 【解析】 【分析】（1）先求得，再利用待定系数法求得直线表达式即可； （2）先求得，，推出．设，由三角形的面积公式列式计算即可求解； （3）过作轴于，过作轴于，过作轴于．证明，推出，，设，推出．证明，得到，据此列式求得，据此求解即可． 【小问1详解】 解：把代入， 得， 解得， ∴． 设直线表达式为， 把代入得， 解得， ∴直线表达式为； 【小问2详解】 解：对于直线， 令，则， 令，则， 解得， ∴，， ∴， 令，则 解得 故 由题意得．设，． ∴，即． 解得． ． ． ． 即． 解得． ∴， 综上所述，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：过作轴于，过作轴于，过作轴于． ∴四边形是矩形， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴． ∴，， 设（）， ∴，，，，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴，， ， 由勾股定理． 【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的判定和性质，解直角三角形的相关运算，全等三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $