精品解析：2026年安徽省巢湖市部分学校中考二模九年级数学试卷

数学 （试题卷） 注意事项： 1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页， 3.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 如果收入20元记作元，那么支出10元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】已知收入记为正，可得支出记为负，据此即可得到答案. 【详解】解：∵收入20元记作元，收入与支出是相反意义的量，正负数可以表示相反意义的量， ∴支出10元记作元. 2. 2025年我国原油产量达到吨，创历史新高.其中数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数的表示形式为，其中，为原数的位数减一． 【详解】解：． 3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A.主视图是上面三角形，下面半圆，左视图是上面三角形，下面半圆，俯视图是中间有圆心的圆，故符合题意； B.主视图是共底边的两个等腰三角形，故不符合题意； C.主视图是上面等腰三角形，下面等腰梯形，故不符合题意； D.主视图是上面等腰三角形，下面矩形，故不符合题意. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A：与不是同类项，不能合并．错误，不符合题意； 选项B：同底数幂相除，底数不变，指数相减．，错误，不符合题意； 选项C：单项式相乘，系数、同底数幂分别相乘．同底数幂相乘，底数不变，指数相加．正确，符合题意； 选项D：负数的奇次幂，仍是负数．，错误，不符合题意． 5. 月洞门是中国古典园林建筑中的圆形过径门，又称圆洞门、月亮门、月光门（如图①），图②是其在正方形网格中的平面示意图，每一个小正方形边长都是1，点O是圆心，若，优弧所对的圆心角为，则优弧的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明为等边三角形，得出，进而求出，然后根据弧长公式求解即可. 【详解】解：由题图可得，， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴优弧的长为. 6. 一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，先利用函数图象与轴的交点可知当时，，再对关于x的不等式进行整理，利用整体思想即可求出不等式的解集． 【详解】解：由图象可得，当时，， ∴关于x的不等式的解集是， ∵可化为， ∴， ∴关于x的不等式的解集为． 7. 如图，在中，平分交于点D，交于点E ．若，，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】证明，求出，根据平行线的性质和等边对等角得出，根据等角对等边得出，结合求出，即可求解. 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 8. 在学校组织的乒乓球比赛中甲、乙两名选手进入最终决赛，决赛采用“五局三胜制”，即只要某一方累计胜场达到3局，比赛立即终止．在第三局结束时，甲与乙的比分为，已知每局比赛中甲、乙获胜的概率相等，则甲夺冠的概率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】解：画树状图如解图，其中甲在第四局结束夺冠的概率是，在第五局夺冠的概率是， ∴P（甲夺冠）． 9. 已知二次函数的图象上有点，，且满足，，则点，在平面直角坐标系中的位置是（ ） A. 在x轴正半轴上，在第四象限 B. 在x轴正半轴上，在第一象限 C. 在x轴负半轴上，在第二象限 D. 在x轴负半轴上，在第三象限 【答案】B 【解析】 【分析】由题意易得且，则有抛物线与x轴有两个交点，且，故，然后可分在x轴负半轴上和在x轴正半轴上，进而分类进行求解即可． 【详解】解：∵且， ∴抛物线与x轴有两个交点，且，故，排除A，D选项；若在x轴负半轴上， ∵抛物线对称轴为直线，， ∴， ∵， ∴，在对称轴右侧， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴， ∴不符合题意， 若在x轴正半轴上， ∵，， ∴当时，，此时在第一象限， ∴B选项正确，C选项错误． 10. 如图，点是边长为的正方形对角线上一点，且，为上任意一点，于点，于点，连接，取中点为，连接，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 当取最小值时， D. 面积的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质，四边形内角和即可得出，根据等面积法即可求得；当时，HM取最小值，即可得出，过点G作交HF的延长线于点P，设，的面积为，进而列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，故A选项正确，不符合题意； 如解图①，过点C作于点Q， ∵， 即，且， ∴，故B选项正确，不符合题意； 由题意可知，， 当时，取最小值，此时，故C选项正确，不符合题意； 如解图②，过点G作交HF的延长线于点P， 由B选项可知， ∴， ∴， 设，的面积为，则，， ∵， ， ∴S的最大值为，故D选项错误，符合题意． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 请写出命题“如果，那么”的逆命题：_______． 【答案】如果，那么 【解析】 【详解】解：原命题的条件是，结论是， 将条件和结论互换，得到逆命题为“如果，那么”． 12. 因式分解：=___． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解因式，直至分解彻底. 【详解】解：原式. 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A为反比例函数的图象上一点，连接并延长到点B，使，将点向下平移个单位长度得到点，点恰好在反比例函数的图象上，连接并延长交轴于点，连接．已知的面积为，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于点，，可得，可得，根据题意可得，可得，代入的面积，即可得的长． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵点，点在反比例函数的图象上，的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点向下平移个单位长度得到点， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴． 14. 如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕，连接．再将矩形纸片折叠，使点B落在上的点H处，折痕为，折痕与折痕交于点Q，连接，． （1）_____（用含的式子表示）； （2）当时，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质知，即点E为的中点，再由折叠的性质及垂直平分线的性质得出，利用各角之间的关系即可求解； （2）连接，由（1）得为的垂直平分线，根据相似三角形的判定和性质得出，，，，然后代入求解即可 【详解】解：（1）由折叠的性质知，即点E为的中点， ∵， ∴Q为的中点， 又∵， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴； （2）如解图，连接， 由（1）得为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴，即， ∴， 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点）．已知点A，B，C的坐标分别为和． （1）将绕点O逆时针旋转，画出旋转后的； （2）在所给的网格图中找一点P，使得点P到A，B，C三点距离相等，并写出点P的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析， 【解析】 【分析】（1）根据旋转作图即可； （2）根据y轴是的垂直平分线，得到点P到点A，B的距离相等，推导出点E为的中点，且，得到是的垂直平分线，即可得到点P到A，B，C三点距离相等，则点P即为所求． 【小问1详解】 解：如解图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如解图所示，点P即为所求，点P的坐标为． 理由如下： ∵A，B的坐标分别为， ∴y轴是的垂直平分线， ∴点P到点A，B的距离相等， 由图可知，点E为的中点，， 即， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴是的垂直平分线， ∴点P到点C，B的距离相等， ∴点P到A，B，C三点距离相等，此时点P与原点重合，即点P的坐标为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（即每买3杯只需付2杯的钱），B饮料满4杯按折销售．小明第一次买了A，B饮料各1杯；第二次买了3杯A饮料和4杯B饮料，A饮料x元/杯，B饮料y元/杯． （1）填表： A饮料 B饮料 实际支付金额（元） 第一次 1 1 ______ 第二次 3 4 ______ （2）如果两次放在一起购买，小明能少支付3元，求B饮料原价是多少？ 【答案】（1）， （2）B饮料原价是12元/杯 【解析】 【分析】（1）根据题意列式即可； （2）根据题意列出一起买的支付金额，再列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得 第一次实际支付金额为元， 第二次实际支付金额为元； 【小问2详解】 解：如果一起买，两次共购买了4杯A饮料，5杯B饮料， ∴实际支付金额为， ∴， 解得． 答：B饮料原价是12元/杯． 18. 为了营造“书香校园”的良好氛围，某中学开展了“一周阅读”打卡活动．为了解活动效果，校学生会随机抽查了八年级（1）班和（2）班各10名同学，统计了他们一周（7天）的自主阅读总时长（单位：小时），并进行整理，绘制了如下所示统计图表： 平均数 中位数 方差 八（1）班 8 3 八（2）班 8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：统计表中的_________，________； （2）若该校八年级共有600名学生参加了本次活动，估计其中有多少名学生一周阅读时长达到或超过平均数； （3）根据以上数据，你认为该校八年级（1）班和（2）班中哪个班级学生阅读时长整体较好?请说明理由．（写出一条理由即可） 【答案】（1）8；8 （2）该校八年级学生中，一周阅读时长达到或超过平均数的人数约为360人 （3）八年级（1）班学生阅读时长整体较好，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平均数和中位数的定义进行计算即可； （2）根据样本中达到或超过平均数的人数计算出占比，再乘以全校八年级学生数即可； （3）从平均数、中位数和方差的角度评价两个班级的数据即可． 【小问1详解】 解：由统计图可知，八（1）班的平均数为， ∴， 将八（2）班抽取的10名同学一周阅读时长从小到大排列为： 4，6，6，7，8，8，9，9，10，13， 其中第5个数和第6个数都是8， ∴八（2）班的中位数为，即； 【小问2详解】 解：由题意可知，抽取的20名学生中，一周阅读时长大于或等于8小时的有12人， （人）． 答：该校八年级学生中，一周阅读时长达到或超过平均数的人数约为360人； 【小问3详解】 解：八年级（1）班学生阅读时长整体较好，理由如下： 八年级（1）班和（2）班参加“一周阅读”打卡的10名学生的平均时长相等，中位数也相等，但八年级（1）班学生的时长的方差较小，因此八年级（1）班学生的时长更加稳定，整体较好．（答案不唯一，合理即可） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 项目式学习：从两正数和为定值，积最大探究到分蛋糕问题的研究 【材料阅读】我们计算了当两个正数和为定值，它们的积的大小对应规律，如下所示： ① ② 通过上述等式，得出结论：当两个正数和为定值时，两个数越接近，它们的积越大． 【模型构建】 （1）如图①，在一个网格图中用一根长为（每个格点之间代表）的绳子围成一个格点矩形（矩形的四个顶点都在格点上），则围成矩形中，面积的最大值是_____，画出该矩形示意图，若绳子长为，其中n为奇数，则围成的格点矩形面积的最大值为_______（用含n的式子表示）； 结论：当矩形周长为定值时，记矩形两边长分别为，，令，矩形的面积随d_______（填“增大而增大”“增大而减小”或“不变”）； 【拓展应用】 （2）现准备分一块矩形蛋糕，规定只能沿着与蛋糕边缘垂直的方向横切或竖切，记切的刀数为n，分割后蛋糕块数为m，如图②，当时，，如图③，当时，；若共有26人分蛋糕，要保证至少每人分一块蛋糕，则符合条件的n的最小值为____． 【答案】（1）20；；增大而减小 （2）9 【解析】 【分析】（1）设用一根长为（每个格点之间代表）的绳子围成一个格点矩形的长为，宽为，面积为，则有，然后根据二次函数的性质可进行求解，同理可得其他问题答案； （2）设横切a刀，竖切b刀，则有，根据题意可得：分割后的蛋糕块数为，然后根据题中所给结论进行求解即可． 【小问1详解】 解：设用一根长为（每个格点之间代表）的绳子围成一个格点矩形的长为，宽为，面积为， ∴该矩形的面积为， 由题意可知取整数， ∴当或5时，面积有最大值，最大值为， 示意图如下： 若绳子长为，其中n为奇数，同理可得：该矩形的面积为， ∵n为奇数， ∴当或时，面积有最大值，最大值为； 由题意及以上过程可知：当两个正数和为定值时，两个数越接近，它们的积越大，也就意味着的值越大，矩形的面积也就越小， ∴当矩形周长为定值时，记矩形两边长分别为，，令，矩形的面积随d增大而减小； 【小问2详解】 解：设横切a刀，竖切b刀，则有，根据题意可得： 分割后的蛋糕块数为， 要使m最大，需使a、b尽可能接近， ∴当时，即，则有； 当时，即，则有； ∴n的最小值为9． 20. 如图，在中，以为直径的交于点D，连接，过点D作的切线，交的延长线于点E，交于点F，． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】（1）连接，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）设，则，由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 证明：如解图，连接， ∵与相切于点D， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如解图，设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 整理得， 化简得， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴的半径为5． 六、（本题满分12分） 21. 振风塔，坐落于安徽省安庆市迎江寺内，享有“万里长江第一塔”的美誉．某校“数学与文化”研学小组前往安庆，准备制作该塔的3D打印模型，需要测量并计算塔的高度，为制作3D打印模型提供数据． 项目分析 活动目标 测量振风塔的实际高度并换算其3D打印模型的高度 测量工具 皮尺，测角仪 项目实施 任务一 测量数据 以下是测得的相关数据，并画出了测量草图． 1．测角仪高； 2．站在C处，从点E测塔顶A的仰角； 3．向振风塔方向前进15米到达D处，即； 4．站在D处，从点F测塔顶A的仰角 任务二 计算实际高度 根据上述测得的数据，计算振风塔的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：，） 任务三 换算模型高度 将的高度按等比例缩小，得到其3D打印模型的高度约为______cm． （结果精确到0.1cm） 项目结果 为研学小组制作振风塔3D打印模型提供数据 请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该小组完成任务二和任务三． （1）任务二计算实际高度：根据上述测得的数据，计算振风塔AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：，） （2）任务三换算模型高度：将的高度按1：5000等比例缩小，得到其3D打印模型的高度约为______cm．（结果精确到0.1cm） 【答案】（1）72.7m （2） 【解析】 【小问1详解】 解：如图，延长交于点H． 设， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴． ∴． ∴振风塔的高度约为． 【小问2详解】 解： ，按等比例缩小后为． 七、（本题满分12分） 22. 如图①，在菱形中，，点为边上一动点，交于点为线段上一动点，点在边上，且． （1）求证：； （2）连接，当点是中点时． （i）如图②，若，，求的长； （ii）如图③，当点与点重合时，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由，可推导出，再证即可证明． （2）（i）根据条件首先可推导出 ，再根据 ， 可推导出 ，然后过点作 ；用勾股定理求出即可求出．（ii）首先根据 可证明，，，四点共圆，进一步推导出，然后取中点 ，连接 构造 ，可得 ，再根据的三边比值，可得，的比值，从而求出和的比，即可求出 ． 【小问1详解】 证明：∵四边形为菱形，且， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：（i）∵，为中点， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图①，过点作，交的延长线于点， ∵， 则，，， ∴， ∴； （ii）如图②，连接， ∵为中点， ∴， 由题意可知，， ∴四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴， 取中点，连接， 由（1）知，； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角函数等知识，本题的关键是根据角度的关系构造相似三角形和全等三角形． 八、（本题满分14分） 23. 若抛物线与一条直线有且只有一个公共点，且这个公共点恰好是抛物线的顶点，我们称这条抛物线为该直线的顶点伴生抛物线．已知抛物线C：（m，n为常数）经过点． （1）若抛物线C是直线：的顶点伴生抛物线． （i）求抛物线C的解析式； （ii）点在抛物线C上，若当时，总有抛物线对应的函数值，求的取值范围； （2）若抛物线C是直线：的顶点伴生抛物线，点在抛物线C上，点在直线上（M，N均不与抛物线顶点重合）．设，若d是一个与无关的定值，求m的值． 【答案】（1）（i）；（ii）t的取值范围为或 （2）m的值为1 【解析】 【小问1详解】 解：（i）∵抛物线C是直线：的顶点伴生抛物线， ∴抛物线的顶点横坐标为1， ∴抛物线顶点坐标为（1，3）， ∴抛物线C的解析式为； （ii）由（i）得抛物线对称轴为直线， ∴点Q关于对称轴对称的点为， ∵抛物线开口向上， ∴当或时，， 若当时，总有抛物线对应的函数值， 需满足：完全在内， ∴， 解得， 或完全在内， ∴， 解得， 综上所述，t的取值范围为或； 【小问2详解】 解：∵抛物线C经过点， ∴，∴， ∴， ∵抛物线是直线：的顶点伴生抛物线，且点N在直线：上， ∴， ∴， ∴， ∵d是一个与无关的定值， ∴， 由第二个方程得， 此时为定值，符合题意． ∴m的值为1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 （试题卷） 注意事项： 1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页， 3.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 如果收入20元记作元，那么支出10元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 2025年我国原油产量达到吨，创历史新高.其中数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 月洞门是中国古典园林建筑中的圆形过径门，又称圆洞门、月亮门、月光门（如图①），图②是其在正方形网格中的平面示意图，每一个小正方形边长都是1，点O是圆心，若，优弧所对的圆心角为，则优弧的长为（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，平分交于点D，交于点E ．若，，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 8. 在学校组织的乒乓球比赛中甲、乙两名选手进入最终决赛，决赛采用“五局三胜制”，即只要某一方累计胜场达到3局，比赛立即终止．在第三局结束时，甲与乙的比分为，已知每局比赛中甲、乙获胜的概率相等，则甲夺冠的概率是（ ） A. B. C. D. 1 9. 已知二次函数的图象上有点，，且满足，，则点，在平面直角坐标系中的位置是（ ） A. 在x轴正半轴上，在第四象限 B. 在x轴正半轴上，在第一象限 C. 在x轴负半轴上，在第二象限 D. 在x轴负半轴上，在第三象限 10. 如图，点是边长为的正方形对角线上一点，且，为上任意一点，于点，于点，连接，取中点为，连接，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 当取最小值时， D. 面积的最大值为 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 请写出命题“如果，那么”的逆命题：_______． 12. 因式分解：=___． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A为反比例函数的图象上一点，连接并延长到点B，使，将点向下平移个单位长度得到点，点恰好在反比例函数的图象上，连接并延长交轴于点，连接．已知的面积为，则的长为______． 14. 如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕，连接．再将矩形纸片折叠，使点B落在上的点H处，折痕为，折痕与折痕交于点Q，连接，． （1）_____（用含的式子表示）； （2）当时，______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点）．已知点A，B，C的坐标分别为和． （1）将绕点O逆时针旋转，画出旋转后的； （2）在所给的网格图中找一点P，使得点P到A，B，C三点距离相等，并写出点P的坐标． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（即每买3杯只需付2杯的钱），B饮料满4杯按折销售．小明第一次买了A，B饮料各1杯；第二次买了3杯A饮料和4杯B饮料，A饮料x元/杯，B饮料y元/杯． （1）填表： A饮料 B饮料 实际支付金额（元） 第一次 1 1 ______ 第二次 3 4 ______ （2）如果两次放在一起购买，小明能少支付3元，求B饮料原价是多少？ 18. 为了营造“书香校园”的良好氛围，某中学开展了“一周阅读”打卡活动．为了解活动效果，校学生会随机抽查了八年级（1）班和（2）班各10名同学，统计了他们一周（7天）的自主阅读总时长（单位：小时），并进行整理，绘制了如下所示统计图表： 平均数 中位数 方差 八（1）班 8 3 八（2）班 8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：统计表中的_________，________； （2）若该校八年级共有600名学生参加了本次活动，估计其中有多少名学生一周阅读时长达到或超过平均数； （3）根据以上数据，你认为该校八年级（1）班和（2）班中哪个班级学生阅读时长整体较好?请说明理由．（写出一条理由即可） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 项目式学习：从两正数和为定值，积最大探究到分蛋糕问题的研究 【材料阅读】我们计算了当两个正数和为定值，它们的积的大小对应规律，如下所示： ① ② 通过上述等式，得出结论：当两个正数和为定值时，两个数越接近，它们的积越大． 【模型构建】 （1）如图①，在一个网格图中用一根长为（每个格点之间代表）的绳子围成一个格点矩形（矩形的四个顶点都在格点上），则围成矩形中，面积的最大值是_____，画出该矩形示意图，若绳子长为，其中n为奇数，则围成的格点矩形面积的最大值为_______（用含n的式子表示）； 结论：当矩形周长为定值时，记矩形两边长分别为，，令，矩形的面积随d_______（填“增大而增大”“增大而减小”或“不变”）； 【拓展应用】 （2）现准备分一块矩形蛋糕，规定只能沿着与蛋糕边缘垂直的方向横切或竖切，记切的刀数为n，分割后蛋糕块数为m，如图②，当时，，如图③，当时，；若共有26人分蛋糕，要保证至少每人分一块蛋糕，则符合条件的n的最小值为____． 20. 如图，在中，以为直径的交于点D，连接，过点D作的切线，交的延长线于点E，交于点F，． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 六、（本题满分12分） 21. 振风塔，坐落于安徽省安庆市迎江寺内，享有“万里长江第一塔”的美誉．某校“数学与文化”研学小组前往安庆，准备制作该塔的3D打印模型，需要测量并计算塔的高度，为制作3D打印模型提供数据． 项目分析 活动目标 测量振风塔的实际高度并换算其3D打印模型的高度 测量工具 皮尺，测角仪 项目实施 任务一 测量数据 以下是测得的相关数据，并画出了测量草图． 1．测角仪高； 2．站在C处，从点E测塔顶A的仰角； 3．向振风塔方向前进15米到达D处，即； 4．站在D处，从点F测塔顶A的仰角 任务二 计算实际高度 根据上述测得的数据，计算振风塔的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：，） 任务三 换算模型高度 将的高度按等比例缩小，得到其3D打印模型的高度约为______cm． （结果精确到0.1cm） 项目结果 为研学小组制作振风塔3D打印模型提供数据 请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该小组完成任务二和任务三． （1）任务二计算实际高度：根据上述测得的数据，计算振风塔AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：，） （2）任务三换算模型高度：将的高度按1：5000等比例缩小，得到其3D打印模型的高度约为______cm．（结果精确到0.1cm） 七、（本题满分12分） 22. 如图①，在菱形中，，点为边上一动点，交于点为线段上一动点，点在边上，且． （1）求证：； （2）连接，当点是中点时． （i）如图②，若，，求的长； （ii）如图③，当点与点重合时，求的值． 八、（本题满分14分） 23. 若抛物线与一条直线有且只有一个公共点，且这个公共点恰好是抛物线的顶点，我们称这条抛物线为该直线的顶点伴生抛物线．已知抛物线C：（m，n为常数）经过点． （1）若抛物线C是直线：的顶点伴生抛物线． （i）求抛物线C的解析式； （ii）点在抛物线C上，若当时，总有抛物线对应的函数值，求的取值范围； （2）若抛物线C是直线：的顶点伴生抛物线，点在抛物线C上，点在直线上（M，N均不与抛物线顶点重合）．设，若d是一个与无关的定值，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $