精品解析：2025年辽宁省鞍山市立山区中考数学模拟试卷（3月份）

2025年辽宁省鞍山市立山区中考数学模拟试卷（3月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．如果收入3元记作元，那么支出5元，记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 如图是由个相同小正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 办公中常用的A4纸，其厚度一般为每张，则100张这样的纸摞在一起的厚度用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 4. 如图是某幼儿园滑梯的示意图，已知滑梯斜面的坡度，滑梯的水平宽度等于，则高为（ ） A. B. C. D. 5. 等式就像平衡的天平，与如图所示的事实具有相同性质的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 6. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 我国航天领域发展迅速，从“天宫一号”到“天和”核心舱的发射，正式迈入“空间站时代”．下列与中国航天相关的图标中可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 8. 今有三人共车，二车空；二人共车，九人步行（选自《孙子算经》）题目大意：有若干人要坐车，若每3人坐一辆车，则有两车是空的；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行，设有x辆车，可列方程为（ ） A. B. C D. 9. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的半径为，瓶内液体的最大深度为，则截面圆中弦的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在y轴的正半轴上，B在x轴的正半轴上，且直线的解析式为，原点O在边上，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 方程的根为____________． 12. 如图，将半径为的圆形纸片剪掉4分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是 _____． 13. 如图，是的角平分线，，，则的长为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，均在函数的图象上，轴于点，交线段于点．若点为线段的中点，的面积为，则的值为______． 15. 如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，点是射线上一点，连接，．若，则______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2） 17. 为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“多香满校园”的读书活动，现需购买甲、乙两种读本供学生阅读．若购买25本甲种读本，45本乙种读本，共需650元；若购买40本甲种读本，30本乙种读本，共需620元． （1）求甲种读本和乙种读本的售价各是多少元？ （2）若学校购买甲、乙两种读本，总钱数不超过680元且乙种读本数量是总数量的，求学校最多能购买乙种读本多少本？ 18. 做家务劳动，能锻炼学生的动手和解决问题的能力，还能增强学生对家庭的责任感，某中学为了解该校学生在寒假期间一周帮助父母做家务的时间，随机抽取部分学生调查了他们在寒假期间一周帮助父母做家务的时间，将全部做家务的时间（单位：小时）进行整理后分为四组：：，：，：，：，并绘制成如下统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次调查一共随机抽取了______名学生，补全条形统计图； （2）扇形统计图中部分对应的圆心角为______度； （3）若该中学共有名学生，请估计该校学生在寒假期间一周帮助父母做家务的时间不少于小时的人数． 19. 为满足市场需求，某超市购进一种品牌水果，每箱进价是元，超市规定每箱售价不得少于元．根据以往销售经验发现：当售价定为每箱元时，每天可以卖出箱，每箱售价每提高元，每天要少卖出箱． （1）求每天的销售量（箱）与每箱售价（元）之间的函数关系式； （2）当每箱售价定为多少元时，每天销售的利润（元）最大？最大利润是多少？ 20. 如图，A，B两地的直线距离为，但因湖水相隔，不能直接到达．从A到B有两条路可走．线路1：从；线路2：从．从地图上可得到以下数据：点C位于A的正北方向，且在B的北偏西的方向；点D在A的东南方向，且位于B的南偏西方向．（参考数据：，，，，，，，．） （1）求的长度；（保留1位小数） （2）通过计算说明，线路1和线路2，那条线路更短． 21. 如图，在中，，以为直径的分别交于点D，G，过点D作于点E，交的延长线于点 （1）求证：与相切； （2）当时，求阴影部分的面积． 22. 数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动、如图1，小华将矩形纸片折叠，点C落在边上的点F处，折痕为，连接，然后将纸片展开． （1）四边形的形状为______； （2）如图2，点G是上一点，且，连接，平分交于点M，连接，猜想和的数量关系并加以证明； （3）在（2）条件下，如图3，过点M作，垂足为点 ①求的值； ②若，，请直接写出四边形的面积． 23. 新定义：如果一个三角形的三个顶点都在同一条抛物线上，那么这个三角形叫做这条抛物线的内接三角形，这条抛物线叫做这个三角形的外接抛物线．例如：如图1，的三个顶点，，都在抛物线上，我们把叫做抛物线的内接三角形，抛物线叫做的外接抛物线． 问题： （1）已知点，，则的外接抛物线的解析式为______； （2）如图2，已知等边是抛物线的内接三角形，求顶点A，B的坐标； （3）如图2，已知是抛物线的内接三角形，，求边与y轴的交点P的坐标； （4）已知是抛物线的内接三角形，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧）． ①当是等腰直角三角形时，求的面积； ②当点C在y轴上，且是钝角三角形时，请直接写出c的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年辽宁省鞍山市立山区中考数学模拟试卷（3月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．如果收入3元记作元，那么支出5元，记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了正数和负数的意义，根据正负数的意义即可得出答案，理解正数和负数是具有相反意义的量是解题的关键． 【详解】解：∵收入3元记作元， ∴支出5元，记作元， 故选：A． 2. 如图是由个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据主视图是从物体的正面观察得到的图形，结合选项进行判断即可． 【详解】解：从正面看，可得选项B的图形． 故选：B． 3. 办公中常用的A4纸，其厚度一般为每张，则100张这样的纸摞在一起的厚度用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据题意列式计算后并将结果用科学记数法表示出来即可． 【详解】解：， 故选：C． 4. 如图是某幼儿园滑梯的示意图，已知滑梯斜面的坡度，滑梯的水平宽度等于，则高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形应用-坡度坡角问题，根据题意可得：，然后根据已知易得：，从而进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， 滑梯斜面的坡度， ， ， ， 故选：C． 5. 等式就像平衡的天平，与如图所示的事实具有相同性质的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等式的基本性质，利用等式的性质对每个等式进行判断即可找出答案．解题的关键是掌握等式的基本性质． 【详解】解：观察图形，使等式的两边都加，得到，利用等式性质1，所以成立． 故选：C． 6. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：从中随机抽取一张，有四种等可能的情况， 其中抽到“夏至”有两种等可能的情况， ． 故选C． 7. 我国航天领域发展迅速，从“天宫一号”到“天和”核心舱的发射，正式迈入“空间站时代”．下列与中国航天相关的图标中可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义，逐一进行判断即可，中心对称图形的关键是确定对称中心． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选C． 8. 今有三人共车，二车空；二人共车，九人步行（选自《孙子算经》）题目大意：有若干人要坐车，若每3人坐一辆车，则有两车是空的；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行，设有x辆车，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行，可以列出相应的方程即可． 【详解】解：设有x辆车，根据题意得： ． 故选：B． 9. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的半径为，瓶内液体的最大深度为，则截面圆中弦的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，熟练掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键． 根据勾股定理求得的长，根据垂径定理可得，进而即可求解． 【详解】解：根据题意得： ， ， ，， ， 在中， ， 故选：B. 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在y轴的正半轴上，B在x轴的正半轴上，且直线的解析式为，原点O在边上，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质及矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．过点作于点，求得，，，证明，求得，，利用勾股定理列式，据此计算即可求解． 【详解】解：过点作于点， 将代入一次函数解析式得，， ∴点A的坐标为， 同理可得，点B的坐标为， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∵，， ∴，即， 解得， ∴， ∴点C的坐标为 故选：D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 方程的根为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法解一元二次方程是解本题的关键． 先把方程化为，再化为两个一次方程即可． 【详解】解：由原方程，得， 则或， 解得，． 故答案为：，． 12. 如图，将半径为的圆形纸片剪掉4分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，勾股定理，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 算出围成圆锥的扇形的弧长，除以即为圆锥的底面半径，利用勾股定理即可求得圆锥的高． 【详解】解：∵将半径为4的圆形纸片剪掉4分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面， ∴围成圆锥的弧长所对圆心角度数是 围成圆锥的弧长为， ∴圆锥的底面半径为， ∴圆锥的高为． 故答案为：． 13. 如图，是的角平分线，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，三角形的外角性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据等边对等角和三角形内角和定理求得，根据角平分线的定义得出，根据三角形的外角性质得出，根据等角对等边推得，根据相似三角形的判定得出∽，根据相似三角形的对应边之比相等，即可求解． 【详解】解：，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：（负值舍去）， 故答案为： 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，均在函数的图象上，轴于点，交线段于点．若点为线段的中点，的面积为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是关键． 作轴，垂足为，连接，根据反比例函数k值的几何意义和题意得出，根据相似三角形的判定和性质得出，设，则，代入计算求出的值，即可求解． 【详解】解：如图，作轴，垂足为，连接， 点、在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∵点为线段的中点，的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 即， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，点是射线上一点，连接，．若，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查作图——基本作图，角平分线的判定和性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 延长到，延长到；过点作于点，于点，于点，根据题和尺规作角平分线方法可得平分，根据角平分线的性质可得，根据三角形的外角性质和三角形的内角和定理求出，，求得，推得，根据角平分线的性质可得，根据角平分线的判定推得平分，即可求解． 【详解】解：延长到，延长到；过点作于点，于点，于点，如图， 由作图可知平分， ， ，， ， 在中，， 在中，， ， ， ，， ， ， 平分， ， ． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据立方根、负整数指数幂、绝对值、零指数幂的运算法则计算，再合并即可； （2）先算括号里面的，再约分即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“多香满校园”的读书活动，现需购买甲、乙两种读本供学生阅读．若购买25本甲种读本，45本乙种读本，共需650元；若购买40本甲种读本，30本乙种读本，共需620元． （1）求甲种读本和乙种读本的售价各是多少元？ （2）若学校购买甲、乙两种读本，总钱数不超过680元且乙种读本的数量是总数量的，求学校最多能购买乙种读本多少本？ 【答案】（1）甲种读本每本8元，乙种读本每本10元 （2）学校最多能购买乙种读本20本 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，找到相等关系和不等关系是解题的关键． （1）根据“购买25本甲种读本，45本乙种读本，共需650元；若购买40本甲种读本，30本乙种读本，共需620元”列方程组求解； （2）根据“总钱数不超过680元且乙种读本的数量是总数量的”列不等式求解． 【小问1详解】 解：设甲种读本每本x元，乙种读本每本y元．根据题意，得： ， 解这个方程组，得， 答：甲种读本每本8元，乙种读本每本10元． 【小问2详解】 解：设学校购买乙种读本m本，则购买甲种读本3m本． 根据题意，得， 解这个不等式，得 答：学校最多能购买乙种读本20本． 18. 做家务劳动，能锻炼学生动手和解决问题的能力，还能增强学生对家庭的责任感，某中学为了解该校学生在寒假期间一周帮助父母做家务的时间，随机抽取部分学生调查了他们在寒假期间一周帮助父母做家务的时间，将全部做家务的时间（单位：小时）进行整理后分为四组：：，：，：，：，并绘制成如下统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次调查一共随机抽取了______名学生，补全条形统计图； （2）扇形统计图中部分对应的圆心角为______度； （3）若该中学共有名学生，请估计该校学生在寒假期间一周帮助父母做家务的时间不少于小时的人数． 【答案】（1），见解析 （2） （3）人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图表中得到必要的信息，求出本次调查的样本容量是解决问题的关键． （1）由的频数除以百分比得出这次抽样调查的学生人数；用总人数减去其它组的频数求出组的人数即可补全频数分布直方图； （2）用乘以类学生人数的百分比得出对应的扇形圆心角的度数； （3）用样本估计总体即可． 小问1详解】 解：这次抽样调查的学生人数是：（名）， 组学生人数为：（名）， 补全频数分布直方图如下： 故答案为：． 【小问2详解】 解：对应的扇形圆心角的度数是：， 故答案为：． 【小问3详解】 解：（名）， 故估计该校学生在寒假期间一周帮助父母做家务的时间不少于小时的人数为人． 19. 为满足市场需求，某超市购进一种品牌水果，每箱进价是元，超市规定每箱售价不得少于元．根据以往销售经验发现：当售价定为每箱元时，每天可以卖出箱，每箱售价每提高元，每天要少卖出箱． （1）求每天的销售量（箱）与每箱售价（元）之间的函数关系式； （2）当每箱售价定为多少元时，每天销售的利润（元）最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当每箱售价定为元时，每天销售的利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数在实际生活中的应用，求函数的最值时，注意自变量的取值范围，正确列出函数关系是解题的关键． （1）根据题意列出函数解析式即可； （2）根据题意得到，然后根据二次函数的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：根据题意得，； 即每天的销售量（箱）与每箱售价（元）之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：根据题意得 ， ，且， 当时，w有最大值，． 故当每箱售价定为元时，每天销售的利润最大，最大利润是元． 20. 如图，A，B两地的直线距离为，但因湖水相隔，不能直接到达．从A到B有两条路可走．线路1：从；线路2：从．从地图上可得到以下数据：点C位于A的正北方向，且在B的北偏西的方向；点D在A的东南方向，且位于B的南偏西方向．（参考数据：，，，，，，，．） （1）求的长度；（保留1位小数） （2）通过计算说明，线路1和线路2，那条线路更短． 【答案】（1） （2）线路2比线路1短，见解析 【解析】 【分析】（1）过点D作，垂足为E．解直角三角形即可． （2）解直角三角形后比较大小解答即可． 本题考查了解直角三角形，方向角，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【小问1详解】 解：过点D作，垂足为E． ∴． ∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴，． ∴． 故的长为． 【小问2详解】 解：由（1）可得，在中， ， 即． 在中，， 即． ， 即． 线路1：； 线路2：． ∵， ∴线路2更短． 故线路2比线路1短． 21. 如图，在中，，以为直径的分别交于点D，G，过点D作于点E，交的延长线于点 （1）求证：与相切； （2）当时，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由可得，再由可得，等量代换可得，根据同位角相等两条直线平行可得，又因为，根据垂直于两条平行线中的一条，与另一条也垂直，得到，即可证明结论； （2）先证明，可得，，利用含的直角三角形的性质与勾股定理可得，，结合，从而可得答案． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 与相切； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，平行线的判定，切线的判定，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，求解扇形的面积，熟练的证明圆的切线是解本题的关键． 22. 数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动、如图1，小华将矩形纸片折叠，点C落在边上的点F处，折痕为，连接，然后将纸片展开． （1）四边形的形状为______； （2）如图2，点G是上一点，且，连接，平分交于点M，连接，猜想和的数量关系并加以证明； （3）在（2）的条件下，如图3，过点M作，垂足为点 ①求的值； ②若，，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）正方形 （2），证明见解析 （3）①2；② 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据矩形的性质得到，，根据折叠的性质得到，，，求得，根据正方形的判定定理得到结论； （2）连接，根据矩形的性质得到，，根据折叠的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，求得得到，于是得到； （3）①过点M作于点H，作于点P，过点E作于点根据矩形的性质得到，，求得根据全等三角形的性质得到，求得根据角平分线的性质得到，于是得到结论； ②由（2）知是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到，，根据角平分线到现在得到，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理得到，于是得到四边形的面积 【小问1详解】 解：四边形的形状为正方形， 理由：四边形是矩形， ，， 将矩形纸片折叠，点C落在边上的点F处，折痕为， ，，， ， ， ， 四边形是菱形， ， 四边形是正方形， 故答案为：正方形； 【小问2详解】 解：， 证明：如图，连接， 四边形是矩形， ，， 由折叠，得， ，， ，，， ， ， ， ， 平分， 又，， ， ， ； 【小问3详解】 解：①证明：如图，过点M作于点H，作于点P，过点E作于点 ， 四边形是矩形， ，， ∴ 又，， ， ， ，，， ， 平分，，， ， ， ； ②由（2）知是等腰直角三角形， ，， ， ，， 平分，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形的面积 23. 新定义：如果一个三角形的三个顶点都在同一条抛物线上，那么这个三角形叫做这条抛物线的内接三角形，这条抛物线叫做这个三角形的外接抛物线．例如：如图1，的三个顶点，，都在抛物线上，我们把叫做抛物线的内接三角形，抛物线叫做的外接抛物线． 问题： （1）已知点，，则的外接抛物线的解析式为______； （2）如图2，已知等边是抛物线的内接三角形，求顶点A，B的坐标； （3）如图2，已知是抛物线的内接三角形，，求边与y轴的交点P的坐标； （4）已知是抛物线的内接三角形，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧）． ①当是等腰直角三角形时，求的面积； ②当点C在y轴上，且是钝角三角形时，请直接写出c的取值范围． 【答案】（1） （2）点A的坐标是，点B的坐标是 （3） （4）①1；②或 【解析】 【分析】（1）根据点A、B、O三点坐标即可设抛物线解析式为，再将代入计算即可； （2）根据等边三角形的性质设B点坐标，代入解析式求解即可； （3）过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，证明∽，设点，点，根据相似比可得，再联立直线和二次函数解析式得到关于x的方程组，利用根与系数的关系即可求出点P坐标； （4）①由抛物线对称性可得点C为抛物线顶点，设，从而得到点B和点C的坐标，代入抛物线解析式即可求出a值，因而得解； ②由图象得当点A和点B在y轴同侧时，则为钝角三角形，此时；当点A和点B在y轴两侧时，可讨论临界值，因此得解． 【小问1详解】 解：，， 抛物线的对称轴为直线，即y轴， 在抛物线上， 设抛物线解析式为， 将代入得， 的外接抛物线的解析式为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设与y轴交于点M， 为等边三角形， ，， ， ， 设，则， ， 将B坐标代入得，， 解得，（不合题意，舍去， 点A的坐标是，点B的坐标是； 【小问3详解】 解：如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点， 设点，点，则，，，， ， ，， ， ， ， ， ， 解得或（舍去）， 设直线的解析式为， 由， 得， ， ， 当时，， 点P的坐标是； 【小问4详解】 解：①如图，设抛物线的对称轴交于点， 由抛物线和等腰直角三角形的对称性， 得，，， 设， 对称轴为， 点B的坐标为，点C的坐标为， 将点B，C的坐标分别代入，得， 解得或（舍去）， ，， ； ②点A和点B在x轴上，点C在y轴上， 若当点A和点B在y轴同侧时，则为钝角三角形， 如图， 此时或， 抛物线开口向上， ； 若时，则可先讨论的c的值， 如图， 设，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得或舍去， 此时时，； 综上，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$