精品解析：2025年四川省绵阳市梓潼县模拟预测数学试题

2025年四川省绵阳市梓潼县中考诊断试卷 （数学） 注意事项：试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共36分）： 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个选项符合要求） 1. 下列各数中，比小的数是（　　） A. B. C. 4 D. 1 2. 下列各式运算正确的是（ ） A B. C. D. 3. 下面四个交通标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 某班在开展劳动教育课程调查中发现，第一小组6名同学每周做家务的天数依次为3，7，5，6，5，4（单位：天），则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 5和5 B. 5和4 C. 5和6 D. 6和5 6. 如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（ ） A B. 1 C. D. 7. 第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是圆锥的轴截面图形，是圆锥的高．若，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，于点D，添加下列条件后仍不能使成为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（　　） A. 3cm B. cm C. 2.5cm D. cm 12. 若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于的二次函数（为常数，）总有两个不同的倍值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷说明：非选择题，共114分 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）： 13 因式分解__________． 14. 祖国江山美丽如画，川西风光多姿多彩．据四川省某地相关部门通报，“五一”期间，全国各地众多游客前往旅游，共接待游客约1665000人次．将1665000用科学记数法表示应为_____ 15. 一个不透明的袋子中装有黑、白小球各两个，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球都是白球的概率为_______． 16. 如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为和若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为______米结果保留根号． 17. 如图，在矩形纸片中，，把该矩形纸片沿直线折叠，使点B落在点E处，连接，则的值为_________ 18. 如图，点在双曲线上，过点P的直线与坐标轴分别交于A，B两点，且．点M是该双曲线在第四象限上的一点，过点M的直线与双曲线只有一个公共点，并与坐标轴分别交于C，D两点．则四边形面积的最小值为_______ 三、解答题∶本大题共7个小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）计算： （2）先化简，再求值： ，其中 20. 为了解读书月活动对九年级同学日均阅读时长的影响，随机抽取一个班，分上旬、中旬、下旬三个阶段统计日均阅读时间，给出了活动上旬频数统计表、活动中旬频数折线统计图、活动下旬频数分布扇形统计图． 活动上旬频数统计表 日人均阅读 时间／时 学生 人数 30 15 2 0 （1）求上表中a的值； （2）若九年级共有1200人，且抽取的这个班学生的日人均阅读时间变化情况能很好地反映九年级学生的日人均阅读时间的变化情况，试估算至读书月活动结束时该年级学生日人均阅读时间在小时的人数． 21. 如图，内接于，D上一点，，E是外一点，，，连接． （1）若，求的长； （2）求证∶是的切线． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）直线与反比例函数和的图象分别交于点C，D，且，求点C的坐标． 23. 某中学开学初在体育用品商城购进A，B两种品牌足球，购买A品牌足球花了2500元，购买B品牌足球花了2000元，且购买A品牌足球的数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元． （1）购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元？ （2）该中学响应习近平总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进一些足球，使得两次购进的A，B两种品牌的足球总数达到125个．本次恰逢该体育用品商城对这两种品牌足球的．售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售．如果该中学此次购买A，B两种品牌足球的总费用不超过3260元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌足球？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过，两点，与x轴交于另一点C，直线与x轴交于点D，与y轴交于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是第二象限抛物线上的一个动点，连接，过点E作的垂线l，在l上截取线段，使，且点F在第一象限，过点F作轴于点M，设点P的横坐标为t，线段的长度为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，过点E作交的延长线于点H，连接，点G为的中点，当直线经过的中点Q时，求点F的坐标． 25. 定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形． （1）三等角四边形中，，求的取值范围； （2）如图，折叠平行四边形纸片，使顶点，分别落在边，上的点，处，折痕分别为，．求证：四边形是三等角四边形． （3）三等角四边形中，，若，则当的长为何值时，的长最大，其最大值是多少？并求此时对角线的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年四川省绵阳市梓潼县中考诊断试卷 （数学） 注意事项：试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共36分）： 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个选项符合要求） 1. 下列各数中，比小的数是（　　） A. B. C. 4 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大其值越小进行求解即可． 【详解】解；∵， ∴， ∴四个数中比小的数是， 故选：B． 2. 下列各式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．利用幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项正确，符合题意； D、不是同类项，选项错误，不符合题意； 故选C． 3. 下面四个交通标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键；因此此题可根据“一个图形绕某个点旋转180度之后能够与原图完全重合的”进行求解即可． 【详解】解：A．是中心对称图形，故符合题意； B．不是中心对称图形，故不符合题意； C．不是中心对称图形，故不符合题意； D．不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：A． 4. 如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图的意义和画法可以得出答案． 【详解】根据俯视图的意义可知，从上面看物体所得到的图形，选项C符合题意， 故答案选：C． 【点睛】本题主要考查组合体的三视图，注意虚线、实线的区别，掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键． 5. 某班在开展劳动教育课程调查中发现，第一小组6名同学每周做家务的天数依次为3，7，5，6，5，4（单位：天），则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 5和5 B. 5和4 C. 5和6 D. 6和5 【答案】A 【解析】 【分析】根据众数和中位数的概念求解． 【详解】解：将数据重新排列为3，4，5，5，6，7， 所以这组数据的众数为5，中位数， 故选：A． 【点睛】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 6. 如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵由题意可知CF是∠BCD的平分线， ∴∠BCE=∠DCE． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//CD， ∴∠DCE=∠E， ∴∠BCE=∠AEC， ∴BE=BC=3， ∵AB=2， ∴AE=BE-AB=1， 故选B． 【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键． 7. 第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，根据全等三角形，正方形的性质可得，再根据勾股定理可得，即可求出的值． 【详解】解：根据题意，设，则， ∵，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 8. 若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”，据此即可确定m的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， 不等式组的解集为， ， 故选：A． 9. 如图，是圆锥的轴截面图形，是圆锥的高．若，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求圆锥侧面展开图的圆心角度数，勾股定理求出母线长，根据圆锥的底面圆周长等于侧面展开图的弧长，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， 设展开图的圆心角的度数为，则：， ∴；即：展开图的圆心角的度数为； 故选：C． 10. 如图，在中，于点D，添加下列条件后仍不能使成为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了直角三角形定义和判定，勾股定理的逆定理、相似三角形，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． 此题根据直角三角形的定义和勾股定理的逆定理、相似三角形的判定方法判断即可． 【详解】A．∵，∴，又∵所以，即，故为直角三角形，故A不符合题意， B． 因为，而且，所以，那么，因为，所以，即为直角三角形，故B不符合题意， C． 因为，∴，所以，即为直角三角形，故C不符合题意． D． ，因为，所以，只能说明为等腰三角形，无法说明是直角三角形，故D符合题意． 故选：D 11. 如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（　　） A. 3cm B. cm C. 2.5cm D. cm 【答案】D 【解析】 【详解】分析：根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，再利用相似三角形的判定和性质解答即可． 详解：连接OB， ∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm． 在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2 解得：OE=3， ∴OB=3+2=5， ∴EC=5+3=8． 在Rt△EBC中，BC=． ∵OF⊥BC， ∴∠OFC=∠CEB=90°． ∵∠C=∠C， ∴△OFC∽△BEC， ∴，即， 解得：OF=． 故选D． 点睛：本题考查了垂径定理，关键是根据垂径定理得出OE的长． 12. 若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于的二次函数（为常数，）总有两个不同的倍值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用“倍值点”的定义得到方程，则方程的，可得，利用对于任意的实数总成立，可得不等式的判别式小于0，解不等式可得出的取值范围． 【详解】解：由“倍值点”的定义可得：， 整理得， ∵关于的二次函数（为常数，）总有两个不同的倍值点， ∴ ∵对于任意实数总成立， ∴ 整理得， ∴ ∴， ∴，或 当时，解得， 当时，此不等式组无解， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式以及二次函数与不等式的关系，理解新定义并能熟练运用是解答本题的关键． 第Ⅱ卷说明：非选择题，共114分 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）： 13. 因式分解__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14. 祖国江山美丽如画，川西风光多姿多彩．据四川省某地相关部门通报，“五一”期间，全国各地众多游客前往旅游，共接待游客约1665000人次．将1665000用科学记数法表示应为_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意的形式，以及指数的确定方法．根据，即得解． 【详解】解：， 故答案为： 15. 一个不透明袋子中装有黑、白小球各两个，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球都是白球的概率为_______． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：列表得： 黑1 黑2 白1 白2 黑1 黑1黑1 黑1黑2 黑1白1 黑1白2 黑2 黑2黑1 黑2黑2 黑2白1 黑2白2 白1 白1黑1 白1黑2 白1白1 白1白2 白2 白2黑1 白2黑2 白2白1 白2白2 共有16种等可能结果总数，其中两次摸出是白球有4种. ∴P（两次摸出是白球）=. 考点：概率. 16. 如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为和若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为______米结果保留根号． 【答案】 【解析】 【详解】【分析】在和中，利用锐角三角函数，用CH表示出AH、BH的长，然后计算出AB的长． 【详解】由于， ，， 在中，， 米， 在，， 米， 米， 故答案为. 【点睛】本题考查了解直角三角形应用——仰角、俯角问题，题目难度不大，解决本题的关键是用含CH的式子表示出AH和BH． 17. 如图，在矩形纸片中，，把该矩形纸片沿直线折叠，使点B落在点E处，连接，则的值为_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质与判定、折叠的性质、勾股定理的应用，熟练掌握相关知识内容是解题的关键；过点D作于点F，过点E作于点H，设，则，根据矩形的性质和翻折的性质可知，根据即可求解． 【详解】解：过点D作于点F，过点E作于点H，如图， ∵在矩形纸片中，， ∴设，则， ∴， 由折叠，得，， ∵， ∴，解得， ∴ ， 同理可得：，从而得； ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 故答案为：． 18. 如图，点在双曲线上，过点P的直线与坐标轴分别交于A，B两点，且．点M是该双曲线在第四象限上的一点，过点M的直线与双曲线只有一个公共点，并与坐标轴分别交于C，D两点．则四边形面积的最小值为_______ 【答案】8 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数解析式为，设直线解析式为，则代入可推出，再求出，得到，解直角三角形求出，，则；设，直线的解析式为，可得直线的解析式为，联立得，则，可得，则直线的解析式为，，则，根据即可得到答案． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为， 设直线解析式为， 把代入中得：，解得， 在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设，直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得， ∵直线与反比例函数只有一个公共点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴ ， ∵，当即时取等号， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，解直角三角形等等，解题的关键在于用点M的坐标表示出点D和点C的坐标，再根据表示出对应四边形的面积． 三、解答题∶本大题共7个小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）计算： （2）先化简，再求值： ，其中 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，求特殊角三角函数值，实数的运算，化简二次根式，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算特殊角三角函数值，化简二次根式，再计算零指数和负整数指数幂，最后根据实数的运算法则求解即可； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ． 当时，原式． 20. 为了解读书月活动对九年级同学日均阅读时长的影响，随机抽取一个班，分上旬、中旬、下旬三个阶段统计日均阅读时间，给出了活动上旬频数统计表、活动中旬频数折线统计图、活动下旬频数分布扇形统计图． 活动上旬频数统计表 日人均阅读 时间／时 学生 人数 30 15 2 0 （1）求上表中a的值； （2）若九年级共有1200人，且抽取的这个班学生的日人均阅读时间变化情况能很好地反映九年级学生的日人均阅读时间的变化情况，试估算至读书月活动结束时该年级学生日人均阅读时间在小时的人数． 【答案】（1）3 （2）360人 【解析】 【分析】本题考查统计图表，从统计图表中有效的获取信息，是解题的关键： （1）由折线图求出总人数，利用频数之和等于总人数求出的值即可； （2）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：由折线统计图知该班总人数为（人）， ． 【小问2详解】 解：由扇形统计图知该班日人均阅读时间在小时的学生占， 该年级学生日人均阅读时间在小时的人数为（人）． 答：该年级学生日人均阅读时间在小时的人数为360人． 21. 如图，内接于，D是上一点，，E是外一点，，，连接． （1）若，求的长； （2）求证∶是的切线． 【答案】（1）8 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据可得，然后证明，根据全等三角形的性质可得答案； （2）连接，首先证明，再根据三角形内角和定理和圆周角定理求出，然后计算出即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，连接， 由（1）得：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，切线的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）直线与反比例函数和的图象分别交于点C，D，且，求点C的坐标． 【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合： （1）利用待定系数法求解即可； （2）先利用反比例函数比例系数的几何意义得到，进而得到；再证明，推出，设，则，求出，可得，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为； 把，代入中得：， ∴， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示，过点B作轴于E，设与x轴交于F， ∵直线与反比例函数和的图象分别交于点C，D， ∴， ∴， ∴； ∵轴，点B在反比例函数的图象上， ∵， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴． 23. 某中学开学初在体育用品商城购进A，B两种品牌的足球，购买A品牌足球花了2500元，购买B品牌足球花了2000元，且购买A品牌足球的数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元． （1）购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元？ （2）该中学响应习近平总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进一些足球，使得两次购进的A，B两种品牌的足球总数达到125个．本次恰逢该体育用品商城对这两种品牌足球的．售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售．如果该中学此次购买A，B两种品牌足球的总费用不超过3260元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌足球？ 【答案】（1）购买一个品牌的足球需50元，购买一个品牌的足球需80元 （2）该中学此次最多可购买31个品牌足球 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程和不等式是解题的关键： （1）设购买一个品牌的足球需元，根据购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元，且购买A品牌足球的数量是购买B品牌足球数量的2倍，列出方程进行求解即可； （2）设此次购买个品牌足球，根据该中学此次购买A，B两种品牌足球的总费用不超过3260元，列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 解：设购买一个品牌的足球需元，则购买一个品牌的足球需元． 由题意得， 解得：． 经检验是原分式方程的解，且符合题意． ． 答：购买一个品牌的足球需50元，购买一个品牌的足球需80元． 【小问2详解】 解：由题意得，本次购买的足球总数为（个）． 设此次购买个品牌足球，则还需购买个品牌足球． 由题意得，解得． 又是正整数， 的最大值为31． 答：该中学此次最多可购买31个品牌足球． 24. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过，两点，与x轴交于另一点C，直线与x轴交于点D，与y轴交于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是第二象限抛物线上一个动点，连接，过点E作的垂线l，在l上截取线段，使，且点F在第一象限，过点F作轴于点M，设点P的横坐标为t，线段的长度为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，过点E作交的延长线于点H，连接，点G为的中点，当直线经过的中点Q时，求点F的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接把A、B坐标代入求出a、c得值即可； （2）分别过P、F向y轴作垂线，垂足分别为K、L，易证，可得出，再代入可求得解析式； （3）先求得F、H的坐标，发现点P和点H的纵坐标相等，则与x轴平行，根据平行线截线段成比例定理可得G也是的中点，由此表示出点G的坐标并列式，求出t的值并取舍，计算出点F的坐标． 【小问1详解】 解：抛物线经过、两点， 将点、代入，得 ， 解得 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 如解图，作轴于点，轴于点， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， . 点在第二象限，且其横坐标为， . 由，令，得， ，. ，即； 【小问3详解】 如解图，过点作轴于点，交于点，连接. 由知， ， ， 轴， ， 又， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又，， ， ， ， ， ∴ . 为的中点， ，. 由，解得，， 抛物线与轴的另一个交点， ， 为的中点， ，， ，， . 设， ，又， ， 即， ， 解得或（舍去）． 由（2）知得：， ， ． 【点睛】此题是二次函数的综合题，求二次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，二次函数与图形的综合问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 25. 定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形． （1）三等角四边形中，，求的取值范围； （2）如图，折叠平行四边形纸片，使顶点，分别落在边，上的点，处，折痕分别为，．求证：四边形是三等角四边形． （3）三等角四边形中，，若，则当的长为何值时，的长最大，其最大值是多少？并求此时对角线的长． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）当时，的长最大，最大值是，此时． 【解析】 【分析】（1）根据四边形的内角和是，确定出的范围； （2）由四边形为平行四边形，得到，且，再根据等角的补角相等，判断出，即可； （3）分三种情况分别讨论计算的长，从而得出当时，最长，最后计算出对角线的长． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵折叠， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是三等角四边形 小问3详解】 解：①当时，如图，过点作，， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∵，， ∴，，， 设，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴当时，的最大值是，即：当时，的最大值为； ②当时，三等角四边形是正方形， ∴； ③当时，为锐角，如图， ∵， ∴，综上所述，当时，的长最大，最大值是； 此时，，如图，过点作于，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了四边形的内角和是，平行四边形的性质，正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是分类画出图形，也是解本题的难点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$