精品解析：江苏省宿迁市沭阳县怀文中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

2024—2025学年度第二学期八年级期中 数学练习 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义逐项识别即可． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项D能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形． 故选D． 2. 在用反证法证明命题：“已知，求证：”时，第一步应先假设（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反证法的步骤，即①假设命题的结论不成立；②从这个结论出发，经过论证，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；③证明命题的结论一定成立． 直接利用反证法的第一步分析得出答案即可． 【详解】解：“已知，求证：”时，结论为且反证法第一步应先假设结论不成立 第一步应先假设， 故选：B． 3. 把分式中的x，y的值都扩大为原来的5倍，则分式的值（　　） A. 缩小为原来的 B. 不变 C. 扩大为原来的10倍 D. 扩大为原来的5倍 【答案】A 【解析】 【分析】先把分式中的x、y用5x，5y代替，再把所得式子与原式相比较即可． 【详解】把中的x，y的值都扩大为原来的5倍，则变为， 故选A 【点睛】本题考查的是分式的性质，熟练掌握分式是解题的关键. 4. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若测得之间的距离为，点之间的距离为，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图（见解析），先根据菱形的判定可得四边形ABCD是菱形，再根据菱形的性质可得，然后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】如图，连接AC、BD，交于点O，过点B作于点E，过点D作于点F，则， 由题意得：， 四边形ABCD是平行四边形， 在和中，， ， ， 平行四边形ABCD是菱形， ， 则在中，， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键． 5. 如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠EAO＝15°，则∠BOE的度数为（ ）． A. 85° B. 80° C. 75° D. 70° 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形的性质得出OA＝OB，再由角平分线得出△ABE是等腰直角三角形，得出AB＝BE，证明△AOB是等边三角形，得出∠ABO＝60°，OB＝AB，得出OB＝BE，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质即可得出结果． 详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ABC＝90°，OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD， ∴OA＝OB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AB＝BE， ∵∠EAO＝15°， ∴∠BAO＝45°+15°＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠ABO＝60°，OB＝AB， ∴∠OBE＝90﹣60°＝30°，OB＝BE， ∴∠BOE＝（180°﹣30°）＝75°． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 6. 如图，将绕顶点顺时针旋转得到，且点刚好落在线段上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键，由旋转的性质可得，，，由等腰三角形的性质与三角形内角和定理可求出答案． 【详解】解：∵将绕顶点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图，△ABC中，BE平分∠ABC，AE⊥BE于点E，M为AB的中点，连接ME并延长交AC于点N．若AB=6，BC=12，则线段EN的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】延长AE交BC于H，根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得∠MEB=∠ABE，角平分线可得∠ABE=∠CBE，即MN∥BC，进而可得BH=6，由HC=BC-BH可得答案． 详解】延长AE交BC于H，AE⊥BE， ∠MEB=∠ABE， ∵BE平分∠ABC， ∠ABE=∠CBE， ∠MEB =∠CBE， MN∥BC， ∴AE=EH，BH=AB=6， ∴HC=BC﹣BH=6， ∵AE=EH，AN=NC， ∴ 故选B． 【点睛】考查三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半. 8. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论： ①OA=OD； ②AD⊥EF； ③当∠A=90°时，四边形AEDF是正方形； ④AE2+DF2=AF2+DE2．其中正确的是（ ） A. ②③ B. ②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【详解】①不正确； ②因为AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DE=DF，∠EAD=∠FAD，AD公用，所以△ AED≌△AFD；∴AE=AF，所以AD垂直平分AO； ③因为∠A=∠AED=∠AFD=90°，可得四边形AEDF是矩形，由②得DE=DF，所以四边形ADEF是正方形； ④因为AE=AF，DE=DF，所以；所以选D． 二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分） 9. 若式子的值为零，则x的值为______． 【答案】﹣1 【解析】 【分析】直接利用分式的值为零则分子为零分母不等于零，进而得出答案． 【详解】∵式子的值为零， ∴x2﹣1＝0，（x﹣1）（x+2）≠0， 解得：x＝﹣1． 故答案为﹣1． 【点睛】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握相关性质是解题关键． 10. 在分式中，最简分式有______个． 【答案】2 【解析】 【分析】根据最简分式的定义对各个分式逐一判断即可得． 【详解】解： 是最简分式，故有2个. 故答案为：2 【点睛】本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．本题的关键是找出分子分母的公因式． 11. 小王掷一枚硬币，结果是一连4次掷出正面朝上，那么他第5次掷硬币时，出现正面向上的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的意义理解．概率等于所求情况数与总情况数之比． 根据一枚硬币只有正反两面求解即可． 【详解】解：∵一枚硬币只有两面，掷出正面朝上或朝下的概率均为， ∴他第5次掷硬币时出现正面朝上的机会为． 故答案为：． 12. 在不透明袋子里装有16个白球和黑球，这些球除颜色外完全相同，每次从袋子里摸出1个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.2513，估计袋中黑球有______个． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是熟练掌握用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：∵摸到白球的频率稳定在0.2513， ∴白球的个数为：个， ∴袋中黑球有：个． 故答案为：12． 13. 八年级（1）班在一次数学抽测中某道选择题的答题情况的统计图如下所示，根据统计图可得选C的有______人． 【答案】28 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用选D的人数除以其人数占比求出总人数，再用总人数乘以选C的人数占比即可得到答案． 【详解】解：人， ∴八年级（1）班的人数为50人， 人， ∴选C的有28人， 故答案为：28． 14. 如图，在矩形中，，点P为边上任意一点，过点P作，垂足分别为E、F，则 ____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理，得到，根据矩形的性质，得到，结合矩形的性质计算即可． 【详解】∵矩形中，， ∴， ∴，， 连接， 根据矩形的性质，得， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键． 15. 如图，在平行四边形ABCD中，于点E，于点F，若，，，则平行四边形ABCD的面积为______． 【答案】48 【解析】 【分析】已知平行四边形的高AE、AF，设，则，根据“等面积法”列方程，求BC，从而求出平行四边形的面积． 【详解】设，则，根据“等面积法”得 ，解得， 平行四边形ABCD的面积． 故答案为48． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，本题应用的知识点为：平行四边形一组邻边之和为平行四边形周长的一半，平行四边形的面积底高，可用两种方法表示． 16. 如图，在△ABC中，AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD．若从三个条件：①AB=AC；②AB=BC；③AC=BC中，选择一个作为已知条件，则能使四边形为菱形的是__（填序号）． 【答案】② 【解析】 【分析】根据②作条件，先证明四边形ADCE是平行四边形，再利用邻边相等，得到四边形ADCE是菱形. 【详解】解：当BA=BC时，四边形ADCE是菱形． 理由：∵AE∥CD，CE∥AD， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∵BA=BC， ∴∠BAC=∠BCA， ∵AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB， ∴∠DAC=∠DCA， ∴DA=DC， ∴四边形ADCE是菱形． 【点睛】本题考查的知识点是菱形的证明，解题关键是熟记菱形的性质. 17. 在四边形中，对角线且、，、分别是边、的中点，则_________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理的应用，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．取的中点，连接、，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出、，并求出，然后利用勾股定理列式计算即可得解． 【详解】解：如图，取的中点，连接、， 、分别是边、的中点， 且， 且， ， ， ． 故答案为：5． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，D为AC中点，P为AB上的动点，将P绕点D逆时针旋转得到P´，连CP´，则线段CP´的最小值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】先过P′作P′E⊥AC于E，根据△DAP≌△P′ED，可得P′E=AD=2，再根据当AP=DE=2时，DE=DC，即点E与点C重合，即可得出线段CP′的最小值为2． 【详解】解：如图所示，过P′作P′E⊥AC于E，则， ， 由旋转可得，DP=P′D，， ， ∴∠ADP=∠EP′D， 在△DAP和△P′ED中， ， ∴△DAP≌△P′ED(AAS)， ∴P′E=AD， ∵AC=4，D为AC中点， ∴P′E=AD=2， ， ∴当点E与点C重合时CP′最小， 此时CP′=EP′=2， ∴线段CP′的最小值为2， 故答案为，2． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、垂线段最短以及全等三角形判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据垂线段最短进行求解． 三、解答题（共10小题，共96分） 19. 先约分，再求值： 其中． 【答案】 【解析】 【分析】先把分式的分子分母分解因式，约分后把a、b的值代入即可求出答案． 【详解】解：原式= = = 当时 原式==． 【点睛】本题考查了分式的约分，解题的关键是熟练进行分式的约分，本题属于基础题型． 20. 某校八年级学生全部参加“初二生物地理会考”，从中抽取了部分学生的生物考试成绩，将他们的成绩进行统计后分为A、B、C、D四等级，并将统计结果绘制成如下的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题 （说明：测试成绩在总人数的前考生为A等级，前至前为B等级，前至前为C等级，以后为D等级） （1）抽取了______名学生成绩； （2）请把频数分布直方图补充完整； （3）扇形统计图中A等级所在的扇形的圆心角度数是______； （4）若测试成绩在总人数的前为合格，该校初二年级有名学生，求全年级生物合格的学生共约多少人． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）；（4）人 【解析】 【分析】（1）根据B等级的人数除以占的百分比确定出学生总数即可； （2）求出D等级的人数，补全频数分布直方图即可； （3）求出A等级所占比例，乘以360°即可得到结果； （4）由学生总数乘以90%即可得到结果． 【详解】解：（1）根据题意得：23÷46%＝50（名）， 则抽取了50名学生成绩； 故答案为：50； （2）D等级的学生有50﹣（10+23+12）＝5（名）， 补全直方图，如图所示： （3）根据题意得：×360°＝72°， 故答案为：72°； （4）根据题意得：800×90%＝720（人）， 则全年级生物合格的学生共约720人． 【点睛】此题考查了频数分布直方图，扇形统计图，以及用样本估计总体，读懂频数直方图和扇形统计图之间的联系是解题的关键. 21. 如图，在画有方格图的平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上． （1）作关于原点成中心对称的； （2）在x轴上求作一点P，使得的周长最小，点P的坐标是______； （3）若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是______． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—中心对称和轴对称，坐标与图形，平行四边形的性质，熟知点的坐标变化规律是解题的关键． （1）关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，据此得到A、B、C对应点的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）作点B关于x轴的对称点E，连接交x轴于P，则点P即为所求； （3）根据平行四边形对边平行可分为边和对角线两种情况画图求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即所求； 【小问2详解】 解：如图所示，作点B关于x轴的对称点E，连接交x轴于P，点即为所求； 故答案为： 【小问3详解】 解：如图所示，，即为所求． 故答案为：或 22. 如图，E，F是四边形的对角线上两点，，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本师考查全等三角形判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 先由得，再证明，得，，继而得，即可由平行四边形判定定理得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 23. 如图，在菱形中，，垂足为点E，且E为边的中点． （1）求的度数； （2）如果，求对角线的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质和垂直平分线的性质，可证是等边三角形，即可求解； （2）根据菱形的性质和30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，进而得到，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接、交于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∵E是中点，， 垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理等知识，掌握菱形的性质是解题关键． 24. 如图，已知菱形中，对角线相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）14 【解析】 【分析】（1）首先根据菱形的性质得到，然后利用平行线的性质得到，然后证明即可； （2）首先根据菱形的性质得到，然后利用勾股定理得到，进而求解即可． 【小问1详解】 如图，∵四边形为菱形， ∴；而，， ∴， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 ∵四边形为菱形， ∴，，， 由勾股定理得： ，而， ∴， ∴四边形的周长． 【点睛】此题考查了矩形的判定，菱形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 25. 如图，四边形中，，，点是的中点，与交于点，且是的中点. （1）求证：四边形是菱形： （2）若，，求四边形的面积. 【答案】（1）见解析；（2）15 【解析】 【分析】（1）由题意得四边形ADCE是平行四边形，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得AE=CE,即可证得； （2）由题意得：，再由菱形的性质得，即可求得面积． 【详解】证明 （Ⅰ）∵ ∴ ∵是中点 ∴ 在和中， ∴ ∴ ∵，是中点 ∴ ∴，且 ∴四边形平行四边形 且 ∴四边形是菱形 （2）∵，， ∴ ∵是中点 ∴ ∵四边形是菱形 ∴ ∴四边形的面积, 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，利用三角形中线的性质求三角形面积是解题的关键． 26. 如图，证明定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半． 已知：点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点． 求证：DE∥BC，DE＝BC． 【答案】见解析 【解析】 【分析】延长DE至F，使EF=DE，连接CF，通过证明△ADE≌△CFE和证明四边形BCFD是平行四边形即可证明三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半． 【详解】证明：延长DE至F，使EF＝DE，连接CF ∵E是AC中点， ∴AE＝CE， 在△ADE和△CFE中， ∴△ADE≌△CFE（SAS）， ∴AD＝CF，∠ADE＝∠F ∴BD∥CF， ∵AD＝BD， ∴BD＝CF ∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） ∴DF∥BC，DF＝BC， ∴DE∥CB，DE＝BC． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理的证明，用到的知识点有全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定和性质． 27. 我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． （1）下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． （2）若分式（m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m的值： （3）若分式的“巧整式”为． ①求整式A． ②是“巧分式”吗？ 【答案】（1）①③ （2） （3）①；②是“巧分式” 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简、因式分解及分式的混合运算．解决本题的关键是弄清楚“巧分式”的定义． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据“巧分式”的定义，得到关于的方程，求解即可； （3）①根据给出的“巧分式”的定义求解即可；②将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【小问1详解】 解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； 故答案为：①③； 【小问2详解】 解：分式（m为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为， ， ， ； 【小问3详解】 解：①分式的“巧整式”为． ， ，即； ②， 又是整式， 是“巧分式”． 28. 如图1，在正方形中，点E是边上一点，且点E不与C、D重合，过点A作的垂线交延长线于点F，连接． （1）计算的度数； （2）如图2，过点A作，垂足为G，连接．用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）先证明，再利用等腰直角三角形的性质得出结论； （2）连接，先证明，得出，取的中点M，连接，证明，从而得出结论． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形 ； 【小问2详解】 ． 理由：如图，取的中点，连接，， 是等腰直角三角形，， 是的中点， ， 同理，在中，， ， ，， ， ， ， ； ∵， 为的中位线， ，， ， 在中，， 为等腰三角形， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，作出合适的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期八年级期中 数学练习 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在用反证法证明命题：“已知，求证：”时，第一步应先假设（ ） A. B. C. D. 3. 把分式中的x，y的值都扩大为原来的5倍，则分式的值（　　） A. 缩小为原来的 B. 不变 C. 扩大为原来的10倍 D. 扩大为原来的5倍 4. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若测得之间的距离为，点之间的距离为，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠EAO＝15°，则∠BOE的度数为（ ）． A. 85° B. 80° C. 75° D. 70° 6. 如图，将绕顶点顺时针旋转得到，且点刚好落在线段上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，△ABC中，BE平分∠ABC，AE⊥BE于点E，M为AB的中点，连接ME并延长交AC于点N．若AB=6，BC=12，则线段EN的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 如图，AD是△ABC角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论： ①OA=OD； ②AD⊥EF； ③当∠A=90°时，四边形AEDF正方形； ④AE2+DF2=AF2+DE2．其中正确的是（ ） A. ②③ B. ②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分） 9. 若式子的值为零，则x的值为______． 10. 在分式中，最简分式有______个． 11. 小王掷一枚硬币，结果是一连4次掷出正面朝上，那么他第5次掷硬币时，出现正面向上概率是__________． 12. 在不透明袋子里装有16个白球和黑球，这些球除颜色外完全相同，每次从袋子里摸出1个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.2513，估计袋中黑球有______个． 13. 八年级（1）班在一次数学抽测中某道选择题的答题情况的统计图如下所示，根据统计图可得选C的有______人． 14. 如图，在矩形中，，点P边上任意一点，过点P作，垂足分别为E、F，则 ____________． 15. 如图，在平行四边形ABCD中，于点E，于点F，若，，，则平行四边形ABCD的面积为______． 16. 如图，在△ABC中，AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD．若从三个条件：①AB=AC；②AB=BC；③AC=BC中，选择一个作为已知条件，则能使四边形为菱形的是__（填序号）． 17. 在四边形中，对角线且、，、分别是边、的中点，则_________． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，D为AC中点，P为AB上的动点，将P绕点D逆时针旋转得到P´，连CP´，则线段CP´的最小值为_______． 三、解答题（共10小题，共96分） 19. 先约分，再求值： 其中． 20. 某校八年级学生全部参加“初二生物地理会考”，从中抽取了部分学生的生物考试成绩，将他们的成绩进行统计后分为A、B、C、D四等级，并将统计结果绘制成如下的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题 （说明：测试成绩在总人数的前考生为A等级，前至前为B等级，前至前为C等级，以后为D等级） （1）抽取了______名学生成绩； （2）请把频数分布直方图补充完整； （3）扇形统计图中A等级所在的扇形的圆心角度数是______； （4）若测试成绩在总人数的前为合格，该校初二年级有名学生，求全年级生物合格的学生共约多少人． 21. 如图，在画有方格图的平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上． （1）作关于原点成中心对称的； （2）在x轴上求作一点P，使得的周长最小，点P的坐标是______； （3）若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是______． 22. 如图，E，F是四边形的对角线上两点，，，．求证：四边形是平行四边形． 23. 如图，在菱形中，，垂足为点E，且E为边的中点． （1）求的度数； （2）如果，求对角线的长． 24. 如图，已知菱形中，对角线相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的周长． 25. 如图，四边形中，，，点是的中点，与交于点，且是的中点. （1）求证：四边形是菱形： （2）若，，求四边形面积. 26. 如图，证明定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半． 已知：点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点． 求证：DE∥BC，DE＝BC． 27. 我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． （1）下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． （2）若分式（m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m的值： （3）若分式的“巧整式”为． ①求整式A． ②是“巧分式”吗？ 28. 如图1，在正方形中，点E是边上一点，且点E不与C、D重合，过点A作的垂线交延长线于点F，连接． （1）计算的度数； （2）如图2，过点A作，垂足为G，连接．用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $