精品解析：2025年辽宁省抚顺市清原满族自治县九年级中考一模数学试题

2024-2025学年度下学期教学质量检测（一） 九年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题3分，共30分） 1. “陀螺”一词的正式出现是在明朝时期，打陀螺是一项深受各民族群众喜爱的体育运动．如图是一个水平放置的木陀螺（上面是圆柱体，下面是圆锥体）玩具，它的主视图是（ ）     A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了组合体的三视图， 根据圆柱和圆锥的主视图可得组合体的答案． 【详解】解：上面圆柱体的主视图是长方形，下面圆锥的主视图是三角形，主视图如图所示． 故选：A． 2. 下列四个图案中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 3. 如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 3 C. 5 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例即可解答． 【详解】解：∵在四边形中，，， ∴， ∴， 即， 解得， 故选：A． 4. 如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图像上的一点，过点A分别作轴于点M，轴于直N，若四边形的面积为2．则k的值是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】证明四边形是矩形，根据反比例函数值的几何意义，即可解答． 【详解】解：轴于点M，轴于直N，， 四边形是矩形， 四边形的面积为2， ， 反比例函数在第一、三象限， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定，反比例函数的值的几何意义，熟知在一个反比例函数图像上任取一点，过点分别作x轴，y轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积为是解题的关键． 5. 一个小球在如图所示的地面上自由滚动，小球停在阴影区域的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别计算整个图形的面积和阴影部分面积，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：整个图形面积， 阴影部分面积， ∴小球停在阴影区域的概率， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了几何概率公式，解题的关键是掌握几何概率公式：一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率． 6. 如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟知这两个定理用法是正确解答此题的关键． 根据垂径定理得出的长，根据勾股定理得，即可求解． 【详解】解：的直径垂直弦于点E，且，， ， 中，， ， 故答案为：B． 7. 定义运算：，例如：，则方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查新定义和解一元二次方程，理解定义和利用因式分解的方法解一元二次方程是解题的关键． 根据新定义得出方程，再解方程，求出其解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得：，； 故选：A． 8. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，即可求解． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 故选：C． 9. 如图，点E是正方形的边上一点，把绕点A顺时针旋转到的位置．过点A作于点H，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正方形的性质得到，，，由旋转得到，，进而根据“三线合一”得到点H是的中点，运用勾股定理在中，求得，进而根据直角三角形斜边上中线的性质即可解答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵由旋转得到， ∴，， ∵， ∴点H是的中点， ∵，， ∴， ∴在中，， ∵点H是的中点， ∴． 故选：D 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，综合运用相关知识是解题的关键． 10. 如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是图象法求一元二次方程的近似值、抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数与方程的关系等知识点，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴, ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在2、3之间， ∴与x轴的另一个交点在、0之间， ∴方程一定有一个根在和0之间，故②错误； ∵抛物线与直线有两个交点， ∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点在，0之间， ∴， ∵图象与y轴交点的纵坐标是2， ∴， ∴， ∴．故④错误． 综上，①③正确，共2个． 故选：B． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知方程的一个根为，则方程的另一个根为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．设方程的另一个根为m，根据两根之和等于，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个根为m， ∵方程有一个根为， ∴， 解得：． 故答案为：4． 12. 有20件外观相同的产品，其中有2件不合格，现从中随机抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了简单概率计算，根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：有20件外观相同的产品，其中有2件不合格，现从中随机抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率为． 故答案为：． 13. 秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为____________． 【答案】11 【解析】 【分析】根据两个图案相似，列出比例式即可求解． 【详解】解：因为是两片形状相同的枫叶图案， 所以两个枫叶相似； 故； 解得，； 故答案为：11． 【点睛】本题考查了相似图形的性质，解题关键是根据相似图形对应线段成比例，列出比例式求解． 14. 第14届国际数学教育大会（）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则的值为______． 图1 图2 【答案】## 【解析】 【分析】设，则，根据全等三角形，正方形的性质可得，再根据勾股定理可得，即可求出的值，根据即可求解． 【详解】解：根据题意，设，则， ∵，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 15. 如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，相交于点，．若，，则到的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过作于，证明，，，再证明，再结合勾股定理可得答案. 【详解】解：如图，过作于， 由作图可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴到的距离为； 故答案为： 【点睛】本题考查了作图−复杂作图：基本作图，三角形的内角和定理的应用，勾股定理的应用，等腰三角形的判定，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质，逐步操作． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示： （1）在图中画出沿轴翻折后的； （2）以点为位似中心，在轴上方作出按放大后的位似图形； （3）点的坐标______；与的面积比是______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）； 【解析】 【分析】（1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）根据位似图形的概念作出三个顶点的对应点，再首尾顺次连接即可； （3）结合图形和位似图形与轴对称图形的性质可得答案． 本题主要考查作图—轴对称变换和位似变换，解题的关键是掌握轴对称变换和位似变换的定义与性质． 【小问1详解】 如图所示，即为所求． 小问2详解】 如图所示，即为所求； 【小问3详解】 由图知，点的坐标为， 与的面积比是； 故答案为：，． 17. 某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图． 请根据图中信息，回答下列问题： （1）共调查了______名学生，图2中A所对应的圆心角度数为______； （2）请补全条形统计图； （3）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）50， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识，从统计图中获取数量和数量之间的关系，列举出所有可能出现的结果数，是解决问题的关键． （1）由B的人数除以所占百分比得出共调查的学生人数，再由乘以A的占比即可求解圆心角即可解决问题； （2）求出D、C的人数，即可解决问题； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：共调查的学生人数为：（名）， ∴图2中A所对应的圆心角度数为：， 故答案为：50，； 【小问2详解】 解：D的人数为：（人） ∴C的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：画树状图如下：     共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种， ∴抽到的学生恰好是一男一女的概率为． 18. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）当时，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反例函数的综合问题，待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式．一次函数与反比例函数的交点问题，两点之间的距离公式等知识，掌握反比例函数的性质以及一次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出反比例函数以及一次函数的解析式． （2）由已知条件求出点C，点B，点D的坐标，过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F，利用两点之间的距离公式分别求出，，的值，最后根据即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵轴于点C，交一次函数的图象于点D， ∴点B的横坐标为4．点D的横坐标为4． ∴， ∴， ∴ 过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F， ∴，点E的纵坐标为， ∴， 把代入，得， ∴， ∴点， ∴， ∴ 19. 某校数学兴趣小组通过对如图所示靠墙的遮阳篷进行实际测量，得到以下数据：遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（参考数据：，，）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，解直角三角形实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点A作于点G，作于点F，解求，再由，求出，然后根据等腰求出，最后由计算即可． 【详解】解：过点A作于点G，作于点F， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴． 答：阴影的长为． 20. 如图，内接于，为的直径，于点D，将沿所在的直线翻折，得到，点D的对应点为E，延长交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由折叠的性质得，，再证明，推出，据此即可证明是的切线； （2）先求得，在中，求得，再利用扇形面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∵沿直线翻折得到， ∴，， ∵是的半径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴于点C， 又∵为的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定与扇形面积公式，折叠的性质，解直角三角形．充分运用圆的性质，综合三角函数相关概念，求得线段长度是解题的关键． 21. 某商场销售一款衬衫，进价为每件元，物价部门规定每件衬衫的销售利润不高于进价的，在销售过程中发现，这款衬衫每月的销售量（件）与销售单价（元）之间满足如图所示的一次函数关系． （1）求与之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少时，该商场销售这款衬衫每月获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当销售单价为时，商场每月获得利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，明确题意、列出相关方程是解题关键． （1）设一次函数的解析式为，根据图象，将点，，代入，求二元一次方程组即可； （2）设商场每月获得的利润为，根据题意，列出等式，整理变形得，根据二次函数的图象与性质结合题意的“每件衬衫的销售利润不高于进价的”即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，设一次函数的解析式为， 将点，，代入 ，解得， 所求函数解析式为． 【小问2详解】 解：设商场每月获得的利润为， ， 每件衬衫的销售利润不高于进价的， ， ， 当时，利润最大，最大值为． 答：当销售单价为时，商场每月获得利润最大，最大利润是元． 22. 在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接． 【尝试发现】 （1）如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系为________； 【类比探究】 （2）当点D在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明； 【联系拓广】 （3）若，，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2），补图及证明见解析；（3）或 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，三角函数，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键． （1）过点作延长线于点，利用一线三垂直全等模型证明，再证明即可； （2）同（1）中方法证明，再证明即可； （3）分两种情况讨论：过点作延长线于点，求出，即可． 【详解】解：（1）如图，过点作延长线于点， 由旋转得，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）补全图形如图： ，理由如下： 过点作交于点， 由旋转得，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，当在的延长线上时，过点作于点，连接， 由（2）得，， ∴， ∴， ∴． 当在的延长线上时，过点作于点，如图，连接， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上：或 23. 在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点，例如：点，……都是和谐点． （1）判断函数的图象上________（填“是”或“否”）存在和谐点： （2）若二次函数的图象上有且只有一个和谐点． ①求a、c的值； ②若时，函数的最小值为，最大值为3，求实数m的取值范围． 【答案】（1）否 （2）①，；② 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质等等，正确理解题意是解题的关键． （1）假设存在和谐点，则可得到，由于方程无解，则假设不成立，即不存在和谐点； （2）①先把代入二次函数解析式推出，再根据只有一个和谐点得到方程只有一个实数根，由此得到，据此求出a的值进而求出c的值即可； ②根据①可得解析式为，则二次函数的对称轴为直线，由对称性求出当时，，再由当时，函数的最小值为，最大值为3，即可得到． 【小问1详解】 解： 若函数的图象上存在和谐点，则，即，此时方程无实数解， ∴：函数的图象上不存在和谐点， 故答案为：否； 【小问2详解】 解：①把代入中得， ∴， ∵二次函数的图象上有且只有一个和谐点， ∴二次函数与直线只有一个交点，即方程只有一个实数根， ∴方程只有一个实数根， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴； ②由①函数解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线，其顶点坐标为，则最大值为3， 在时，随的增大而增大，当时，， 根据对称轴可知，当时，， ∵当时，函数的最小值为，最大值为3， 根据函数图象可知，当时，函数的最小值为－1，最大值为3， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期教学质量检测（一） 九年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题3分，共30分） 1. “陀螺”一词的正式出现是在明朝时期，打陀螺是一项深受各民族群众喜爱的体育运动．如图是一个水平放置的木陀螺（上面是圆柱体，下面是圆锥体）玩具，它的主视图是（ ）     A. B. C. D. 2. 下列四个图案中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 3. 如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 3 C. 5 D. 9 4. 如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图像上的一点，过点A分别作轴于点M，轴于直N，若四边形的面积为2．则k的值是（ ） A 2 B. C. 1 D. 5. 一个小球在如图所示地面上自由滚动，小球停在阴影区域的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 定义运算：，例如：，则方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点E是正方形的边上一点，把绕点A顺时针旋转到的位置．过点A作于点H，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知方程的一个根为，则方程的另一个根为______． 12. 有20件外观相同的产品，其中有2件不合格，现从中随机抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率为______． 13. 秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为____________． 14. 第14届国际数学教育大会（）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则的值为______． 图1 图2 15. 如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，相交于点，．若，，则到的距离为________． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示： （1）在图中画出沿轴翻折后的； （2）以点为位似中心，在轴上方作出按放大后的位似图形； （3）点的坐标______；与的面积比是______． 17. 某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图． 请根据图中信息，回答下列问题： （1）共调查了______名学生，图2中A所对应的圆心角度数为______； （2）请补全条形统计图； （3）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率． 18. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）当时，求的面积． 19. 某校数学兴趣小组通过对如图所示靠墙遮阳篷进行实际测量，得到以下数据：遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（参考数据：，，）． 20. 如图，内接于，为的直径，于点D，将沿所在的直线翻折，得到，点D的对应点为E，延长交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 21. 某商场销售一款衬衫，进价为每件元，物价部门规定每件衬衫的销售利润不高于进价的，在销售过程中发现，这款衬衫每月的销售量（件）与销售单价（元）之间满足如图所示的一次函数关系． （1）求与之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少时，该商场销售这款衬衫每月获得的利润最大？最大利润是多少？ 22. 在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接． 【尝试发现】 （1）如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系为________； 【类比探究】 （2）当点D在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明； 联系拓广】 （3）若，，请直接写出的值． 23. 在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点，例如：点，……都是和谐点． （1）判断函数的图象上________（填“是”或“否”）存在和谐点： （2）若二次函数的图象上有且只有一个和谐点． ①求a、c的值； ②若时，函数的最小值为，最大值为3，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $